多元函数求极值拉格朗日乘数法资料全
多元函数求极值(拉格朗日乘数法)-8页文档资料
第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。
如果都适合不等式 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。
使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。
例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。
例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。
依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。
一些典型的多元函数极值问题
一些典型的多元函数极值问题多元函数极值问题是数学分析中非常重要的研究对象，它们存在于许多实际问题中。
本文将介绍一些典型的多元函数极值问题，包括拉格朗日乘数法、约束条件下的优化、非线性规划等。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束多元函数极值的方法。
在该方法中，将约束条件加入到目标函数中，并利用等式约束条件和拉格朗日乘数，将多元函数极值转化为无约束多元函数极值问题。
下面以一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法。
假设有一个函数 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$，同时满足约束条件$x+2y+3z=6$，其中 $x,y,z$ 均为实数。
现在要求 $f(x,y,z)$ 在约束条件下的最小值。
根据拉格朗日乘数法，我们将函数 $f(x,y,z)$ 加上一个等式约束条件 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$，并构造拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
于是，我们可以写出拉格朗日函数：$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x+2y+3z-6)$$接下来，我们要求 $L(x,y,z,\lambda)$ 对 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，令其都等于零，求得极值点。
即：$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=4y+2\lambda=0 \\\dfrac{\partialL}{\partial z}=6z+3\lambda=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+3z-6=0 \end{cases}$$解方程组得到：$x=-\dfrac{\lambda}{2},y=-\dfrac{\lambda}{2},z=-\dfrac{\lambda}{2},\lambda=2$。
多元函数求极值（拉格朗日乘数法）
第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内),(y x f z =),(00y x 异于的点，如果都适合不等式),(00y x ，00(,)(,)f x y f x y <则称函数在点有极大值。
如果都适合不等式(,)f x y ),(00y x 00(,)f x y ，),(),(00y x f y x f >则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。
(,)f x y ),(00y x ),(00y x f 使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的2243y x z +=任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。
2243y x z +=例２ 函数在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处22y x z +-=函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。
xOy 22y x z +-=例３ 函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在xy z =点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数在点具有偏导数，且在点),(y x f z =),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：),(00y x 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证 不妨设在点处有极大值。
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
11
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x 2 + y 2 + z 2 2 x + 2 y 4 z 10 = 0
确定的函数 z = f ( x , y )的极值 .
解 法二 配方法 方程可变形为
( x 1)2 + ( y + 1)2 + ( z 2)2 = 16
于是 z 2 = ± 16 ( x 1) ( y + 1)
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
极值的一般步骤: 求函数 z = f ( x, y) 极值的一般步骤: 第一步 f x ( x, y) = 0 解方程组 f y ( x, y) = 0 求出实数解, 得驻点. 求出实数解 得驻点 第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A,B,C . 的符号, 第三步 定出 AC B 2 的符号 再判定是否是极值. 再判定是否是极值
6
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
3.极值的充分条件 . 定理2 充分条件) 定理2 (充分条件) 设函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 的某邻域内连续 有一阶及二阶连续偏导数 又 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0, 令 fxx ( x0 , y0 ) = A, fxy ( x0 , y0 ) = B, f yy ( x0 , y0 ) = C,
有f ( x , y0 ) < f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x , y0 )在x = x0处 有极大值 有极大值, 必有 fx ( x0 , y0 ) = 0;类似地可证 f y ( x0 , y0 ) = 0.
8-7条件极值与拉格朗日乘数法
7-7
4 拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0 下的
可能极值点，
1. 先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
其中 为拉格朗日乘数.
2. 由
f f
x y
( (
x x
, ,
y y
) )
x y
( (
x x
, ,
y y
) )
7-7
1 回顾：多元函数的最值的求法
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
设函数在有界闭区域 D 上连续，在D内 可微且只有有限个驻点。
则可按如下方法求最值：
将函数在区域 D 内的所有驻点处的 函数值及在D 的边界上的最大值和最小
值相互比较，其中最大者即为最大值， 最小者即为最小值.
比较可知 最大值为 1 ，最小值为 1 .
2
2
7-7
小结 11
求条件极值的方法: 1. 转化为无条件极值.
2. 利用拉格朗日乘数法. 注意要正确 地写出目标函数和约束条件.
7-7
12 思考题
思考题
若 f ( x0 , y)及 f ( x, y0 ) 在( x0 , y0 ) 点均取得 极值，则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )是否也取得极值？
Fx 3 x2 y2z 0
则
Fy 2x3 yz 0 Fz x3 y2 0
解得唯一驻点(6,4,2) ，
x y z 12
故最大值为 umax 63 42 2 6912.
根据具体情况从实际问题的物理、几何、经济意义
可以判断是否为最值
7-7
7 例题2
(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 解 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z ,
由题意知，周长： x y z 18
长方体的体积为 V xyz
18
下面要介绍解决条件极值问题的一般 方法: 拉格朗日乘数法
13
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法: 现要寻求目标函数 z f ( x, y ) 在约束条件 ( x , y ) 0
利用隐函数的概念与求导法 (1)
(2)
下取得 极值的必要条件. 如函数(1)在( x0 , y0 ) 取得所求的极值, 那末首先有 ( x0 , y0 ) 0 (3) 由条件 ( x, y ) 0 确定y是x的隐函数 y y( x ). 不必将它真的解出来,则 z f ( x , y ( x )),于是函数(1) 在( x0 , y0 ) 取得所 求的极值. 即, x x0 取得极值.
则f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC B 2 0时有极值,
当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值;
(2) AC B 2 0时没有极值; (3) AC B 2 0时 可能有极值,也可能无极值.
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
14
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z f ( x , y ( x ))在 x x0 取得极值.
z f ( x , y ) (1) ( x , y ) 0 ( 2)
由一元可导函数取得极值的必要条件知:
f dy f dz 0 (4) x x y 0 dx x x 0 x0 dx x x0 x x y y0 y y0 ( x, y ) 0 x ( x 0 , y0 ) dy 其中 代入(4)得: y ( x 0 , y0 ) dx x x0 ( x0 , y0 ) 0 ( 3) x ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 0 ( 5) y ( x 0 , y0 ) (3) ,(5)两式 就是函数(1)在条件(2)下的在( x0 , y0 ) 取得极值的必要条件.
多元函数的极值与拉格朗日乘法
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充分条件
如果多元函数$f(x)$在点$x_0$处的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）是正定的或 负定的，则该点为极小值或极大值点。
多元函数的极值示例
球面函数
考虑函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，该函数在原点$(0,0,0)$ 处取得极小值。
倒立方体函数
考虑函数$f(x,y,z)=-(x^2+y^2+z^2)$，该函数在原点 $(0,0,0)$处取得极大值。
拉格朗日乘法的应用场景
拉格朗日乘法适用于求解受约束条件 限制的多元函数的极值问题，如线性 规划、非线性规划、最优控制等问题。
在实际应用中，拉格朗日乘法可以用 于求解生产计划、资源分配、物流优 化等问题，以实现最优资源配置和最 大经济效益。
拉格朗日乘法的计算步骤
第一步
构造拉格朗日函数，将约束条件与目标函数 相结合。
第二步
对拉格朗日函数求极值，得到可能的极值点。
第三步
验证得到的极值点是否满足约束条件，并确 定是否为真正的极值点。
第四步
根据实际情况选择合适的算法进行求解，如 梯度下降法、牛顿法等。
04
拉格朗日乘法在多元函数极值中的应
用
应用方法
定义拉格朗日乘数
对于多元函数$f(x,y)$，引入F(x,y,lambda) = f(x,y) + lambda(g(x,y))$。
求解条件极值
将拉格朗日函数$F(x,y,lambda)$分别对$x, y, lambda$求偏导数，并令偏导数等于零，得到条件 极值方程组。
解方程组求极值
解条件极值方程组，得到可能的极值点，再 根据函数的性质判断这些点是否为极值点。
多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法
当两种产品产量 为多少时？ 可获得利润最大？ 最大利润是多少？
解： 收益函数是 Rx, y pAx pB y 10x 9y
利润函数是
Lx, y Rx, y Cx, y
(10x 9 y) [400 2x 3y 0.013x2 xy 3y2 ]
（1）B2 AC 0 时具有极值，当 A 0或C 0时 有极大值， 当 A 0或C 0 时有极小值；
（2） B2 AC 0 时没有极值；
（3）B2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值．
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
f x, y 3y2 6y 0 y
x 1
y1
10或
x 3 2 y2 2
得驻点 1,0, 1,2, 3,0, 3,2
（2）求二阶偏导数
f
x
x
x,
y
6
x
6;
f
yy
x,
y
6
y
6;
f
xy
x,
y
f
yx
减去总广告费， 两种方式的广告费共25千元， 怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大
利润是多少？
解
约束条件下的利润函数为
Lx, y S 25,
5
具体利润函数为 L(x, y) 40x 20y 5 x 10 y
多元函数条件极值的求解方法
多元函数条件极值的求解方法一、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的求解多元函数条件极值问题的方法，其基本思想是将约束条件转化为目标函数的等式约束，通过构造拉格朗日函数来求解极值点。
具体步骤如下：1.确定目标函数和约束条件。
假设目标函数为f(x,y,...)，约束条件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。
将目标函数和约束条件相乘，并引入拉格朗日乘子λ，构造拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)+λg(x,y,...)3.求解极值点。
对L(x,y,...,λ)分别对变量x,y,...,λ求偏导数，令其等于0，得到一组方程。
解方程组，得到拉格朗日乘子λ和变量的值。
4.检查结果。
将求得的解代入目标函数中，计算函数值，检查是否为极值点。
若不是，返回第3步，重新求解。
二、隐函数定理隐函数定理是求解多元函数条件极值问题的另一种方法，该方法适用于函数的值无法用显式的表达式表示的情况。
具体步骤如下：1.确定目标函数和约束条件。
假设目标函数为f(x,y,...)，约束条件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。
将约束条件g(x,y,...)=0表示为G(x,y,...,z)=0，其中z是一个待定参数。
3. 利用隐函数定理。
对 G(x, y, ..., z) 关于 z 求导，得到隐函数关系式 dz/dx = -∂G/∂x / ∂G/∂z，dz/dy = -∂G/∂y / ∂G/∂z。
求得dz/dx 和 dz/dy 后，得到 z(x, y) 的形式。
4.代入目标函数。
将x和y分别用z表示，得到函数f(z)。
对f(z)求导，令其等于0，解方程求得z(x,y)的极值点。
5.检查结果。
将求得的z(x,y)代入目标函数f(x,y,...)中，计算函数值，检查是否为极值点。
若不是，返回第4步，重新求解。
总结：拉格朗日乘子法适用于目标函数和约束条件可用显式表达式表示的情况下，且求解过程相对简单。
多元函数的极值及其求法
的梯度平行
引入辅助函数 L( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )
则极值点满足:
拉格朗日 乘数法
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个 约束条件的情形.
例如, 求函数 u f ( x, y, z ) 在条件 ( x, y, z ) 0 ,
( x, y, z ) 0下的极值.
( x , y ),
取 y y 0，则 f ( x , y ) f ( x , y ), 0 0 0
一元函数
d f ( x , y0 ) dx
x x0
f ( x , y 0 ) 在 x x 0 取得极大值 .
y
( x0 , y0 )
f x ( x0 , y0 ) 0.
2 2
2 2 2
的最大值和最小值.
0, 0,
解： 由 zx
zy
得驻点(
( x y 1) 2 x ( x y ) ( x y 1)
2 2 2 2
( x y 1) 2 y ( x y ) ( x y 1)
2 2 2
1 2
,
1
)和 (
1 2
f x ( x 0 , y 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y 0 ) 0 .（驻点）
多元函数的极值点如果有偏导数则必是驻点.
证:
不 妨 设 z f ( x , y )在 点 ( x 0 , y0 ) 处 有 极 大 值 ,
则对于 ( x 0 , y 0 )的某个邻域内的所有点 都有 f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ),
A f xx ( x 0 , y 0 ) , B f xy ( x 0 , y 0 ) , C f yy ( x 0 , y 0 ),
多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法
3、最值应用问题
函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 驻点 最值可疑点 偏导不存在的点 边界上的最值点 我们可以把最值问题分为两类：
（1）连续函数在开区域上的最值；
方法：将函数在D内的所有驻点和偏导不存在的点处的
函数值相互比较，其中最大者即为最大值，最 小者即为最小值. （2）连续函数在闭区域上的最值：
问题的实质：求 U ( x , y ) = ln x + ln y 在条 件 8 x + 10 y = 200下的极值点．
两个引例中都是求多元函数的最值！为了求最值， 先讨论与最值有密切联系的极值问题！ 从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不 同，多元函数的极值分为两类：
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC − B 的符号，再判定是否是极值.
2
注意： 如果 AC − B 2 = 0 ，只能用定义判定是否是极值！
例5.讨论函数
及
在点(0,0)
是否取得极值.
z
O
x
y
推广 如果三元函数 u = f ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条 件为 f x ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 .
无其他条件. 如引例1。
条件极值 ：对自变量附加条件的极值问题称为条件
极值. 如引例2。 思考：为什么一元函数的极值没有分类！
一、 多元函数极值的定义
第八节多元函数的极值及其求法
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
注 不是驻点也可能是极值点.
例如 函数 z x2 y 2 在点(0 0)处有极大值
但(0 0)不是函数的驻点
因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导 数不存在的点, 那么对这些点也应当 考虑. 多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来 求函数的最大值和最小值.
在条件 ( x, y ) 0 下, 求函数 z f ( x, y) 的极值
转 化
从条件 ( x, y ) 0中解出 y ( x)
求一元函数 z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题
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方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件 ( x, y ) 0 下, 求函数 z f ( x, y) 的极值 .
A
B
C
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例2.讨论函数
是否取得极值.
及
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值
z
o x
y
正
可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0 因此 为极小值.
当 x 2 y 2 0 时, z ( x 2 y 2 ) 2 z (0,0) 0
z
x
y
2z y y z 0
解方程组
2z x x z 0
2( x y) x y 0 x y z V0 0
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多元函数极值与拉格朗日乘数法
推广: 自变量多于两个，
约束条件多于一个的情况.
例 目标函数 u f ( x, y, z, t)
约束条件 ( x, y, z, t) 0 (x, y, z,t) 0
拉格朗日函数
L( x, y, z, t, 1, 2 ) f ( x, y, z, t) 1( x, y, z, t) 2 (x, y, z, t)
20
说明 上例的条件极值问题,是通过将约束条件代入 目标函数中求解; 但并不是所有情况下都能这样做，更多时候 用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的 一般方法—— 拉格朗日乘数法
21
Lagrange(拉格朗日)乘数法
求函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0
下的可能极值点, 先构造拉格朗日函数
(2) AC B2 0时, f ( x0 , y0 ) 不是极值;
(3)AC B2 0时 f ( x0 , y0 ) 可能是极值,
也可能不是极值.
4
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
2
说明
1、驻点
具有偏导的极值点
如,点(0,0)是函数z xy的 驻点,但不是极值点.
2、偏导数不存在的点， 也可能是极值点.
例 z x2 y2
z
在点(0,0)处的偏导数不存在,
O•
x
y
但(0,0)是函数的极大值点.
3
二元函数极值的充分条件
8.8 多元函数极值及其求法-文档资料
取得极值的必要条件： 定理1 设函数zf (x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点
(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： fx(x0，y0)0，fy(x0，y0)0．
类似地可推得，如果三元函数uf (x，y，z)在点(x0，y0，z0) 具有偏导数，则它在点(x0，y0，z0)具有极值的必要条件为
处有极小值f(1，0)5，所以f (1，2)不是极值；
在点(3，0)处，ACB 212·6<0，所以f (3，0)不是极值；
在点(3，2)处，ACB 212·(6)>0，又A<0，所以函数的
(3，2)处有极大值f(3，2)31．
应注意的问题： 不是驻点也可能是极值点． 例 如 函 数 z x 2 y 2 在 点 ( 0 ， 0 ) 处 有 极 大 值 ， 但 ( 0 ， 0 ) 不 是
函数的驻点．因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的 驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑．
z O
y
x
最大值和最小值问题：
解 设 水 箱 的 长 为 x m ， 宽 为 y m ， 则 其 高 应 为 2 m ． xy
此水箱所用材料的面积为
A 2 ( x y y · 2 x · 2 ) ， 即 2 ( x y 2 2 ) ( x > 0 ， y > 0 ) ． x x y y x y
令 A x 2 ( y x 2 2 ) 0 ， A y 2 ( x y 2 2) 0 ． 得 x 3 2 ， y 3 2 ． 由题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域
拉格朗日乘数法求极值例题
拉格朗日乘数法求极值例题在数学中，求解极值问题是一个非常重要的课题，而拉格朗日乘数法则是一种常用的求解多元函数极值的方法。
本文将以一个具体的例题为例，介绍拉格朗日乘数法的具体应用过程。
例题：求函数$f(x,y)=x^2+y^2$在条件$g(x,y)=x+y-1=0$下的极值。
解题步骤：1.建立拉格朗日函数$L(x,y,lambda) = f(x,y) + lambdag(x,y)$将$f(x,y)$和$g(x,y)$代入，得到：$L(x,y,lambda) = x^2+y^2+lambda(x+y-1)$2.求$L(x,y,lambda)$的一阶偏导数：$frac{partial L}{partial x} = 2x + lambda$$frac{partial L}{partial y} = 2y + lambda$$frac{partial L}{partial lambda} = x+y-1$3.将一阶偏导数都置为0，解出$x,y,lambda$的值：$frac{partial L}{partial x} = 2x + lambda = 0 Rightarrow x = -frac{lambda}{2}$$frac{partial L}{partial y} = 2y + lambda = 0 Rightarrow y = -frac{lambda}{2}$$frac{partial L}{partial lambda} = x+y-1 = 0 Rightarrow x+y=1$由第三个式子可知，$x$和$y$的和为1，将$x$和$y$代入前两个式子中，得到：$-lambda + lambda = 0$$-lambda + lambda = 0$由此可知，$lambda$可以为任意数值，因此需要进一步求解。
4.将$x$和$y$代入条件$g(x,y)=x+y-1=0$中，得到：$-frac{lambda}{2} - frac{lambda}{2} -1 = 0 Rightarrow lambda = -2$5.将$lambda$代入$x$和$y$的表达式中，得到：$x = -frac{lambda}{2} = 1$$y = -frac{lambda}{2} = 1$因此，函数$f(x,y)=x^2+y^2$在条件$g(x,y)=x+y-1=0$下的极值为$2$，此时$x=y=1$。
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第八节 多元函数的极值及其求法
教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定
方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：
一、 多元函数的极值及最大值、最小值
定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式
00(,)(,)f x y f x y <，
则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。
如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >，
则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。
使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的
任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y
x z +=的顶点。
例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处
函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为
负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。
例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点
),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：
0),(,0),(0000==y x f y x f y x
证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。
依极大值的定义，在点
),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式
),(),(00y x f y x f <
特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式
000(,)(,)f x y f x y <
这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有
0),(00=y x f x
类似地可证
0),(00=y x f y
从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面
))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-
成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。
仿照一元函数，凡是能使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(00y x 称为函数),(y x f z =的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。
但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数xy z =的驻点，但是函数在该点并无极值。
怎样判定一个驻点是否是极值点呢 ？下面的定理回答了这个问题。
定理2（充分条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(,0),(0000==y x f y x f y x ，令
C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===),(,),(,),(000000
则),(y x f 在),(00y x 处是否取得极值的条件如下：
(1)02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
(2)02<-B AC 时没有极值；
(3)02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
这个定理现在不证。
利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数
),(y x f z =的极值的求法叙述如下：
第一步 解方程组
0),(,0),(==y x f y x f y x
求得一切实数解，即可以得到一切驻点。
第二步 对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值A ，B 和C 。
第三步 定出2B AC -的符号，按定理2的结论判定00(,)f x y 是否是极值、
是极大值还是极小值。
例1 求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值。
解 先解方程组
22(,)3690,(,)360,x y f x y x x f x y y y ⎧=+-=⎪⎨=-+=⎪⎩
求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。
再求出二阶偏导数
(,)66,(,)0,(,)66xx xy yy f x y x f x y f x y y =+==-+
在点(1,0) 处，06122>⋅=-B AC 又0>A ，所以函数在(1,0)处有极小值
(1,0)5f =-；
在点(1,2) 处，0)6(122<-⋅=-B AC ，所以f (1,2)不是极值；
在点(-3,0) 处，06122<⋅-=-B AC ，所以f (-3,0)不是极值；
在点(-3,2) 处，0)6(122>-⋅-=-B AC 又0<A 所以函数在(-3,2)处有极大
值f (-3,2)=31。
例2 某厂要用铁板作成一个体积为2m 3的有盖长方体水箱。
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。
解 设水箱的长为xm ，宽为ym ，则其高应为m xy 2，此水箱所用材料的面积
)22(2xy x xy y xy A ⋅+⋅
+=， 即 )22(2y x xy A ++= （0>x ，0>y ）
可见材料面积A 是x 和y 的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点),(y x 。
令 0)2(22=-=x y A x ，
0)2(22=-=y x A y
解这方程组，得：
32=x ，32=y
从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。
二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x φ下的可能极值点，可以先构成辅助函数
),(),(),(y x y x f y x F λφ+=
其中λ为某一常数求其对x 与y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧==+=+.0),(,0),(),(,0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x φλφλφ （1）
由这方程组解出x ，y 及λ，则其中x ，y 就是函数),(y x f 在附加条件下0),(=y x φ的可能极值点的坐标。
这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。
例如，要求函数
),,,(t z y x f u =
在附加条件
0),,,(=t z y x φ，0),,,(=t z y x ψ
(2)
下的极值，可以先构成辅助函数 ),,,(),,,(),,,(),,,(21t z y x t z y x t z y x f t z y x F ψλφλ++=
其中1λ，2λ均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这样得出的t z y x 、、、就是函数),,,(t z y x f 在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。
至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。
例3 求表面积为2
a 而体积为最大的长方体的体积。
解 设长方体的三棱长为z y x ,,， 则问题就是在条件
0222),,,(2=-++=a xz yz xy t z y x ψ
（3）
下，求函数
xyz V = )000(>>>z y x ，，
的最大值。
构成辅助函数
)222(),,(2a xz yz xy xyz z y x F -+++=λ
求其对x 、y 、z 的偏导数，并使之为零，得到
⎪
⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++0)(20
)(20)(2z y xy z x xz z y yz （4）
再与(10)联立求解。
因y x 、、z 都不等于零，所以由(11)可得 y x ＝z y z x ++， z y ＝z x y x ++．
由以上两式解得
z y x ==
将此代入式(10)，便得
z y x ===a 66
这是唯一可能的极值点。
因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。
也就是说，表面积为2
a 的长方体中，
/6
的正方体的体积为最大，最大体积3/36V =。
小结：
本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。
在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求
极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。
最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。