多元函数求极值(拉格朗日乘数法)
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第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。
如果都适合不等式 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。
使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。
例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。
例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。
依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数极值常用的方法，该方法针对某些高考中二元及三元变量最值问题，不失为一种既实用又简便的方法。
拉格朗日乘数法：求在约束条件
,下f(x,y,z)的极值时，拉格朗日函数 L(x,y,z)= f(x,y,z)-λ μ ,可由L x =0, L y =0, L z =0, , ,解出函数可能的极值点，求出目标函数f(x,y,z)的极值。
这里L x =0, L y =0, L z =0可以理解为关于x,y,z 求偏导数，λ，μ称为拉格朗日乘数。
例．已知22
3x y xy ++=，求22x y xy +-的最大值和最小值。
1.已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则1x y ++的最小值为__________．
2.若正实数
的最大值是 ． 3.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值_________.
4.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )
5.设a,b,c 为实数，且满足a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为__________
6．已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, a 2+b 2+c 2=1,则a 的最大值为___________.
7．对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，
345a b c
-+的最小值为 .8.已知a,b [0,1],a+b=1,求 + +(1-a)(1-b)的取值范围。
（若去掉条件a+b=1呢）
y x ，x y +。
一些典型的多元函数极值问题
一些典型的多元函数极值问题多元函数极值问题是数学分析中非常重要的研究对象，它们存在于许多实际问题中。
本文将介绍一些典型的多元函数极值问题，包括拉格朗日乘数法、约束条件下的优化、非线性规划等。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束多元函数极值的方法。
在该方法中，将约束条件加入到目标函数中，并利用等式约束条件和拉格朗日乘数，将多元函数极值转化为无约束多元函数极值问题。
下面以一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法。
假设有一个函数 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$，同时满足约束条件$x+2y+3z=6$，其中 $x,y,z$ 均为实数。
现在要求 $f(x,y,z)$ 在约束条件下的最小值。
根据拉格朗日乘数法，我们将函数 $f(x,y,z)$ 加上一个等式约束条件 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$，并构造拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
于是，我们可以写出拉格朗日函数：$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x+2y+3z-6)$$接下来，我们要求 $L(x,y,z,\lambda)$ 对 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，令其都等于零，求得极值点。
即：$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=4y+2\lambda=0 \\\dfrac{\partialL}{\partial z}=6z+3\lambda=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+3z-6=0 \end{cases}$$解方程组得到：$x=-\dfrac{\lambda}{2},y=-\dfrac{\lambda}{2},z=-\dfrac{\lambda}{2},\lambda=2$。
多元函数求极值（拉格朗日乘数法）
第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内),(y x f z =),(00y x 异于的点，如果都适合不等式),(00y x ，00(,)(,)f x y f x y <则称函数在点有极大值。
如果都适合不等式(,)f x y ),(00y x 00(,)f x y ，),(),(00y x f y x f >则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。
(,)f x y ),(00y x ),(00y x f 使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的2243y x z +=任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。
2243y x z +=例２ 函数在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处22y x z +-=函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。
xOy 22y x z +-=例３ 函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在xy z =点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数在点具有偏导数，且在点),(y x f z =),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：),(00y x 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证 不妨设在点处有极大值。
多元函数条件极值拉格朗日乘数怎么解
多元函数条件极值拉格朗日乘数怎么解1. 转化为无条件极值在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点（可能的极值点）外，对自变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。
如求的极值，就是无条件极值问题。
然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。
比如，讨论表面积为的长方体的最大体积问题。
若设长方体的三度为, 则体积，同时应满足于是我们的问题的数学含义就是：当自变量满足条件下取何值时能使函数取得最大值。
（这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值）。
一般抽象出来，可表为如下形式：即函数在条件下的取极大（小）值问题。
今后，我们称这种问题为函数的条件极值问题。
对自变量有附加条件的极值称为条件极值。
一般称为目标函数，为约束条件( 或约束方程) 。
对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。
例如上述问题, 由条件, 解得, 于是得 V .只需求 V 的无条件极值问题。
例6 求函数在约束条件下的条件极值。
解由约束条件可解出代入目标函数，有：令得驻点由于当时，，当时，在时取极大值，又当时，由约束条件可解出，而，此例说明条件极值可有如下一种解法：如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。
通过讨论无条件极值可得问题的解答。
但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。
因此，对条件极值我们应讨论一般解法。
2. 关于条件极值的拉格朗日乘数法在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易。
需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法：要找函数 z = f ( x , y ) 在条件 j ( x , y ) = 0 下的可能极值点, 可以先构成辅助函数 F ( x , y ) = f ( x , y )+ lj ( x , y ) , 其中 l 为某一常数。
然后解方程组.由这方程组解出 x , y 及 l , 则其中( x , y ) 就是所要求的可能的极值点。
用拉格朗日乘数法求极值步骤
用拉格朗日乘数法求极值步骤全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日乘数法是一种常用的数学工具，用于求解带有约束条件的极值问题。
在实际问题中，很多情况下都会存在一些条件限制，而拉格朗日乘数法正是针对这种情况而提出的一种解决方法。
下面我们将详细介绍使用拉格朗日乘数法求极值的步骤。
我们先来看一个简单的例子，假设我们要求函数f(x, y) = x^2 +y^2 在条件g(x, y) = x + y = 1下的最小值。
这个问题可以用如下的拉格朗日函数表示：L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) = x^2 + y^2 - λ(x + y - 1)λ为拉格朗日乘数。
接下来的步骤就是通过对L(x, y, λ) 求偏导数来确定函数f(x, y) 在条件g(x, y) 下的极值点。
步骤一：计算L(x, y, λ) 对x, y的偏导数，并令其等于0，即求解以下方程组：步骤二：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
在本例中，解方程组可得x = y = 1/2，λ = 1。
代入原函数f(x, y) = x^2 + y^2 可得最小值为1/2。
问题的解是f(x, y) = 1/2。
上面是一个简单的例子，下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法求极值的一般步骤：步骤一：建立带有约束条件的拉格朗日函数。
假设我们要求函数f(x1, x2, ..., xn) 在条件g(x1, x2, ..., xn) = 0下的极值，那么其对应的拉格朗日函数为：步骤二：求解拉格朗日函数的梯度，令其等于零。
即求解以下方程组：∂L/∂x1 = ∂f/∂x1 - λ∂g/∂x1 = 0∂L/∂x2 = ∂f/∂x2 - λ∂g/∂x2 = 0...∂L/∂xn = ∂f/∂xn - λ∂g/∂xn = 0g(x1, x2, ..., xn) = 0步骤三：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
解方程组可能有多个解，需要通过二阶导数判断哪一个是极值点。
(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 解 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z ,
由题意知，周长： x y z 18
长方体的体积为 V xyz
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下面要介绍解决条件极值问题的一般 方法: 拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法: 现要寻求目标函数 z f ( x, y ) 在约束条件 ( x , y ) 0
利用隐函数的概念与求导法 (1)
(2)
下取得 极值的必要条件. 如函数(1)在( x0 , y0 ) 取得所求的极值, 那末首先有 ( x0 , y0 ) 0 (3) 由条件 ( x, y ) 0 确定y是x的隐函数 y y( x ). 不必将它真的解出来,则 z f ( x , y ( x )),于是函数(1) 在( x0 , y0 ) 取得所 求的极值. 即, x x0 取得极值.
则f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC B 2 0时有极值,
当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值;
(2) AC B 2 0时没有极值; (3) AC B 2 0时 可能有极值,也可能无极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z f ( x , y ( x ))在 x x0 取得极值.
z f ( x , y ) (1) ( x , y ) 0 ( 2)
由一元可导函数取得极值的必要条件知:
f dy f dz 0 (4) x x y 0 dx x x 0 x0 dx x x0 x x y y0 y y0 ( x, y ) 0 x ( x 0 , y0 ) dy 其中 代入(4)得: y ( x 0 , y0 ) dx x x0 ( x0 , y0 ) 0 ( 3) x ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 0 ( 5) y ( x 0 , y0 ) (3) ,(5)两式 就是函数(1)在条件(2)下的在( x0 , y0 ) 取得极值的必要条件.
多元函数微分学求最值,直接建立拉格朗日乘数法
多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法【多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法】引言在高等数学中，多元函数微分学是一个重要的分支，它研究多元函数的极值与最值问题。
其中一种常见的求最值的方法是通过建立拉格朗日乘数法。
本文将从简单到复杂的角度，逐步探讨多元函数微分学求最值的方法，并结合拉格朗日乘数法来解决实际问题。
一、多元函数的极值1.1 极值概念在单变量函数中，我们通过求导数，令导数为零来判断函数的极值点。
而在多元函数中，我们需要通过求偏导数来判断函数的极值点。
对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，偏导数用$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示。
1.2 极值的判断条件多元函数的极值点与一元函数类似，也需要满足导数为零的条件。
对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，如果在某一点$(a_1,a_2,…,a_n)$处，满足以下条件：$\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\\frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\……\\\frac{\partial f}{\partial x_n}(a_1,a_2,…,a_n)=0$那么该点就是函数的极值点。
但这仅仅是极值的必要条件，并不一定是充分条件。
二、最值问题的解决方法2.1 直接法在一元函数中，我们通过求导数来解决最值问题，而在多元函数中，我们也可以直接计算偏导数，并令其为零来解决最值问题。
举例说明：设有一个二元函数$f(x,y)=2x^2+3y^2$，我们要求在$x^2+y^2=1$的条件下，函数$f(x,y)$的最小值。
解法：根据条件$x^2+y^2=1$，我们可以得到一个方程组：$2x-λ\cdot2x=0\\2y-λ\cdot2y=0\\x^2+y^2-1=0$其中，λ为拉格朗日乘子。
多元函数的极值与拉格朗日乘法
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充分条件
如果多元函数$f(x)$在点$x_0$处的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）是正定的或 负定的，则该点为极小值或极大值点。
多元函数的极值示例
球面函数
考虑函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，该函数在原点$(0,0,0)$ 处取得极小值。
倒立方体函数
考虑函数$f(x,y,z)=-(x^2+y^2+z^2)$，该函数在原点 $(0,0,0)$处取得极大值。
拉格朗日乘法的应用场景
拉格朗日乘法适用于求解受约束条件 限制的多元函数的极值问题，如线性 规划、非线性规划、最优控制等问题。
在实际应用中，拉格朗日乘法可以用 于求解生产计划、资源分配、物流优 化等问题，以实现最优资源配置和最 大经济效益。
拉格朗日乘法的计算步骤
第一步
构造拉格朗日函数，将约束条件与目标函数 相结合。
第二步
对拉格朗日函数求极值，得到可能的极值点。
第三步
验证得到的极值点是否满足约束条件，并确 定是否为真正的极值点。
第四步
根据实际情况选择合适的算法进行求解，如 梯度下降法、牛顿法等。
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拉格朗日乘法在多元函数极值中的应
用
应用方法
定义拉格朗日乘数
对于多元函数$f(x,y)$，引入F(x,y,lambda) = f(x,y) + lambda(g(x,y))$。
求解条件极值
将拉格朗日函数$F(x,y,lambda)$分别对$x, y, lambda$求偏导数，并令偏导数等于零，得到条件 极值方程组。
解方程组求极值
解条件极值方程组，得到可能的极值点，再 根据函数的性质判断这些点是否为极值点。
多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法
当两种产品产量 为多少时？ 可获得利润最大？ 最大利润是多少？
解： 收益函数是 Rx, y pAx pB y 10x 9y
利润函数是
Lx, y Rx, y Cx, y
(10x 9 y) [400 2x 3y 0.013x2 xy 3y2 ]
（1）B2 AC 0 时具有极值，当 A 0或C 0时 有极大值， 当 A 0或C 0 时有极小值；
（2） B2 AC 0 时没有极值；
（3）B2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值．
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
f x, y 3y2 6y 0 y
x 1
y1
10或
x 3 2 y2 2
得驻点 1,0, 1,2, 3,0, 3,2
（2）求二阶偏导数
f
x
x
x,
y
6
x
6;
f
yy
x,
y
6
y
6;
f
xy
x,
y
f
yx
减去总广告费， 两种方式的广告费共25千元， 怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大
利润是多少？
解
约束条件下的利润函数为
Lx, y S 25,
5
具体利润函数为 L(x, y) 40x 20y 5 x 10 y
用拉格朗日数乘法求条件极值
用拉格朗日数乘法求条件极值拉格朗日乘数法是一种在条件极值问题中常用的数学方法。
它适用于多元函数在一定约束条件下求极值的情况，能够帮助我们找到目标函数在约束条件下取得极值的点。
下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法的原理和应用，并用一个具体的例子来说明。
首先，我们来介绍拉格朗日乘数法的原理。
假设我们要求一个多元函数f(f_1,f_2,…,f_f)在一定约束条件下的极值，即要求出f=(f_1,f_2,…,f_f)使得f(f)取得最大或最小值。
而约束条件可以用等式的形式表示，即f(f_1,f_2,…,f_f)=0。
为了求解这个问题，我们引入拉格朗日乘子f，将约束条件加入目标函数的表达式中，并构造一个新的函数f(f_1,f_2,…,f_f,f)=f(f_1,f_2,…,f_f)+ff(f_1,f _2,…,f_f)。
接下来，我们需要求解f(f_1,f_2,…,f_f,f)对各个自变量f_1,f_2,…,f_f和f的偏导数，并令其等于零，即求解以下方程组：∂f/∂f_1=0,∂f/∂f_2=0,…∂f/∂f_f=0,∂f/∂f=0.我们解得的解集即为目标函数在约束条件下的可能极值点。
下面我们用一个生动的例子来说明拉格朗日乘数法的应用。
假设我们要求函数f(f,f)=f^2+f^2的最小值，且约束条件为f+f=1。
我们首先构造拉格朗日函数f(f,f,f)=f^2+f^2+f(f+f−1)。
然后通过求解以下方程组来求解目标函数的极值点：∂f/∂f=2f+f=0,∂f/∂f=2f+f=0,∂f/∂f=f+f−1=0.解方程组得到f=1/2，f=1/2，f=−1。
将得到的解f=1/2，f=1/2代入f(f,f)中，可得到最小值为1/2。
通过这个例子，我们可以看出，拉格朗日乘数法能够在约束条件下帮助我们找到函数的极值点。
在实际中，拉格朗日乘数法常常被应用于经济学、物理学、工程学等领域中的优化问题求解。
综上所述，拉格朗日乘数法是一种强大的数学工具，可以用于求解多元函数在一定约束条件下的极值。
多元函数条件极值的求解方法
多元函数条件极值的求解方法一、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的求解多元函数条件极值问题的方法，其基本思想是将约束条件转化为目标函数的等式约束，通过构造拉格朗日函数来求解极值点。
具体步骤如下：1.确定目标函数和约束条件。
假设目标函数为f(x,y,...)，约束条件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。
将目标函数和约束条件相乘，并引入拉格朗日乘子λ，构造拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)+λg(x,y,...)3.求解极值点。
对L(x,y,...,λ)分别对变量x,y,...,λ求偏导数，令其等于0，得到一组方程。
解方程组，得到拉格朗日乘子λ和变量的值。
4.检查结果。
将求得的解代入目标函数中，计算函数值，检查是否为极值点。
若不是，返回第3步，重新求解。
二、隐函数定理隐函数定理是求解多元函数条件极值问题的另一种方法，该方法适用于函数的值无法用显式的表达式表示的情况。
具体步骤如下：1.确定目标函数和约束条件。
假设目标函数为f(x,y,...)，约束条件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。
将约束条件g(x,y,...)=0表示为G(x,y,...,z)=0，其中z是一个待定参数。
3. 利用隐函数定理。
对 G(x, y, ..., z) 关于 z 求导，得到隐函数关系式 dz/dx = -∂G/∂x / ∂G/∂z，dz/dy = -∂G/∂y / ∂G/∂z。
求得dz/dx 和 dz/dy 后，得到 z(x, y) 的形式。
4.代入目标函数。
将x和y分别用z表示，得到函数f(z)。
对f(z)求导，令其等于0，解方程求得z(x,y)的极值点。
5.检查结果。
将求得的z(x,y)代入目标函数f(x,y,...)中，计算函数值，检查是否为极值点。
若不是，返回第4步，重新求解。
总结：拉格朗日乘子法适用于目标函数和约束条件可用显式表达式表示的情况下，且求解过程相对简单。
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
当x 0时， f (0, y) y2在(0,0) 取极大值;
当 y 0时， f ( x,0) x 2在(0,0) 取极小值;
小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
3/29
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例２ 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
4/29
2、多元函数取得极值的条件
必有 f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
上的最大值与最小值.
解 如图,
先求函数在D 内的驻点，
y
x y6
D
D
o
x
13/29
解方程组
fx( x, y) 2xy(4 x f y( x, y) x2(4 x
y) x2 y 0 y) x2 y 0
得区域D 内唯一驻点(2,1), 且 f (2,1) 4,
3 abc. 2
27/29
四、小结
多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件）
多元函数求条件极值的原理
多元函数求条件极值的原理多元函数的条件极值是指在一定条件下使函数取得极大值或极小值的点。
求条件极值的原理包括拉格朗日乘数法和边界条件法两种方法。
一、拉格朗日乘数法：当多元函数在一定的约束条件下取得条件极值时，可以使用拉格朗日乘数法来求解极值点。
其基本思想是在考虑目标函数值的同时，引入一个约束函数，通过寻找约束函数和目标函数的共同极值点来得到条件极值。
设多元函数为f(x1,x2,...,xn)，约束条件为φ(x1,x2,...,xn)=0，其中φ(x1,x2,...,xn) 表示n-1 个关于x1,x2,...,xn 的函数，同样需要求导来得到其极值点。
具体步骤如下：1. 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn)，其中λ是拉格朗日乘数。
2. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数，并令其等于0。
3. 解方程组，得到x1,x2,...,xn 和λ的取值。
4. 将x1,x2,...,xn 和λ的取值代入f(x1,x2,...,xn) 计算函数值，得到条件极值。
拉格朗日乘数法的原理和求解过程比较复杂，但是可以通过引入拉格朗日乘数将约束条件转化为一个等式来求解条件极值问题。
二、边界条件法：边界条件法用于求解多元函数在给定边界条件下的条件极值问题。
当约束条件形式为不等式时，可以通过将不等式约束条件转化为等式约束条件，并在约束区域的边界上求解得到条件极值。
具体步骤如下：1. 将不等式约束条件转化为等式约束条件，得到约束函数φ(x1,x2,...,xn)=0。
2. 对多元函数f(x1,x2,...,xn) 和约束函数φ(x1,x2,...,xn) 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn)，其中λ是拉格朗日乘数。
3. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数，并令其等于0。
多元函数极值与拉格朗日乘数法
推广: 自变量多于两个，
约束条件多于一个的情况.
例 目标函数 u f ( x, y, z, t)
约束条件 ( x, y, z, t) 0 (x, y, z,t) 0
拉格朗日函数
L( x, y, z, t, 1, 2 ) f ( x, y, z, t) 1( x, y, z, t) 2 (x, y, z, t)
20
说明 上例的条件极值问题,是通过将约束条件代入 目标函数中求解; 但并不是所有情况下都能这样做，更多时候 用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的 一般方法—— 拉格朗日乘数法
21
Lagrange(拉格朗日)乘数法
求函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0
下的可能极值点, 先构造拉格朗日函数
(2) AC B2 0时, f ( x0 , y0 ) 不是极值;
(3)AC B2 0时 f ( x0 , y0 ) 可能是极值,
也可能不是极值.
4
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
2
说明
1、驻点
具有偏导的极值点
如,点(0,0)是函数z xy的 驻点,但不是极值点.
2、偏导数不存在的点， 也可能是极值点.
例 z x2 y2
z
在点(0,0)处的偏导数不存在,
O•
x
y
但(0,0)是函数的极大值点.
3
二元函数极值的充分条件
多元函数的拉格朗日乘数法
多元函数的拉格朗日乘数法多元函数的拉格朗日乘数法是一种用于求解多元函数约束条件下的极值问题的方法。
它是由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在18世纪末提出的，用于解决自然科学中的优化问题。
拉格朗日乘数法在经济学、工程学和物理学等领域都有广泛的应用。
一、拉格朗日乘数法的基本原理拉格朗日乘数法的基本原理可以通过以下步骤来说明：1. 建立约束条件：假设我们要求解的问题是最大化或最小化多元函数 f(x1, x2, ..., xn) 的取值，同时还有一些约束条件 g1(x1, x2, ..., xn) = c1, g2(x1, x2, ..., xn) = c2, ..., gm(x1, x2, ..., xn) = cm。
2. 构造拉格朗日函数：将约束条件与目标函数合并成一个拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm)，其中λ1, λ2, ..., λm 是称为拉格朗日乘数的系数。
3. 求解方程组：对拉格朗日函数求偏导数，并令其等于零，得到一组包括原函数和约束条件的方程组。
解这个方程组，可以得到原问题的极值点。
二、一个具体的例子为了更好地理解拉格朗日乘数法，我们来看一个具体的例子。
假设我们的目标是最大化函数 f(x, y) = x^2 + y^2，同时满足约束条件 g(x, y) = x + y = 1。
首先，我们构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = x^2 + y^2 + λ(x + y - 1)，其中λ 是拉格朗日乘数。
然后，对拉格朗日函数求偏导数：∂L/∂x = 2x + λ∂L/∂y = 2y + λ∂L/∂λ = x + y - 1将上述方程组与约束条件 g(x, y) = x + y - 1 相联立，可以得到以下方程组：2x + λ = 02y + λ = 0x + y - 1 = 0解这个方程组，我们可以求得 x = 1/2，y = 1/2，λ = -1。
用拉格朗日乘数法求极值步骤
用拉格朗日乘数法求极值步骤
《用拉格朗日乘数法求极值步骤》
拉格朗日乘数法是一种用于求取多元函数在一定条件下的极值的方法，通过引入拉格朗日乘数将条件约束考虑进来，从而将原来的优化问题转化为无约束的优化问题。
下面将介绍使用拉格朗日乘数法求极值的步骤。
第一步，建立原始函数和约束条件。
首先得有一个带有约束条件的多元函数，例如对于一元函数f(x)，约束条件可以是g(x) = 0。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，约束条件可以是g1(x1, x2, ..., xn) = 0, g2(x1, x2, ..., xn) = 0, ..., gm(x1, x2, ..., xn) = 0。
第二步，建立拉格朗日函数。
引入拉格朗日乘数λ，建立拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ) =
f(x1, x2, ..., xn) + λ(g1(x1, x2, ..., xn)^2 + g2(x1, x2, ..., xn)^2 + ... + gm(x1, x2, ..., xn)^2)。
第三步，求取拉格朗日函数的梯度。
计算拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ)对各变量的偏导数，得到梯度∇L = (∂L/∂x1, ∂L/∂x2, ..., ∂L/∂xn, ∂L/∂λ)。
第四步，解方程组。
令∇L = 0，解出所有的x1, x2, ..., xn, λ。
最后，对解进行验证。
将解代入原始函数和约束条件中，验证是否满足原问题的要求。
通过以上步骤，使用拉格朗日乘数法就可以求出多元函数在一定条件下的极值，这种方法在优化问题中有着广泛的应用。
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第八节 多元函数的极值及其求法
教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定
方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法
求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：
一、 多元函数的极值及最大值、最小值
定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式
00(,)(,)f x y f x y <，
则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。
如果都适合不等式
),(),(00y x f y x f >，
则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。
使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的任
一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从
几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面
2243y x z +=的顶点。
例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处函
数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，
点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。
例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：
0),(,0),(0000==y x f y x f y x
证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。
依极大值的定义，在点
),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式
),(),(00y x f y x f <
特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式
000(,)(,)f x y f x y <
这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有
0),(00=y x f x
类似地可证
0),(00=y x f y
从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面
))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-
成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。
仿照一元函数，凡是能使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(00y x 称为
函数),(y x f z =的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。
但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数xy z =的驻点，但是函数在该点并无极值。
怎样判定一个驻点是否是极值点呢 ？下面的定理回答了这个问题。
定理2（充分条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(,0),(0000==y x f y x f y x ，令
C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===),(,),(,),(000000
则),(y x f 在),(00y x 处是否取得极值的条件如下：
(1)02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
(2)02<-B AC 时没有极值；
(3)02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
这个定理现在不证。
利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数),(y x f z =的极值的求法叙述如下：
第一步 解方程组
0),(,0),(==y x f y x f y x
求得一切实数解，即可以得到一切驻点。
第二步 对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值A ，B 和C 。
第三步 定出2B AC -的符号，按定理2的结论判定00(,)f x y 是否是极值、
是极大值还是极小值。
例1 求函数
x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值。
解 先解方程组
22(,)3690,(,)360,x y f x y x x f x y y y ⎧=+-=⎪⎨=-+=⎪⎩
求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。
再求出二阶偏导数
(,)66,(,)0,(,)66xx xy yy f x y x f x y f x y y =+==-+
在点(1,0) 处，06122>⋅=-B AC 又0>A ，所以函数在(1,0)处有极小值
(1,0)5f =-；
在点(1,2) 处，0)6(122<-⋅=-B AC ，所以f (1,2)不是极值；
在点(-3,0) 处，06122<⋅-=-B AC ，所以f (-3,0)不是极值；
在点(-3,2) 处，
0)6(122>-⋅-=-B AC 又0<A 所以函数在(-3,2)处有极大值f (-3,2)=31。
例2 某厂要用铁板作成一个体积为2m 3的有盖长方体水箱。
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。
解 设水箱的长为xm ，宽为ym ，则其高应为m
xy 2，此水箱所用材料的面积
)22(2xy x xy y xy A ⋅+⋅+=， 即 )22(2y x xy A ++
= （0>x ，0>y ）
可见材料面积A 是x 和y 的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点),(y x 。
令 0)2(22=-=x y A x ， 0)2(22=-=y x A y
解这方程组，得：
32=x ，32=y 从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。
二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x φ下的可能极值点，可以先构成辅助函数
),(),(),(y x y x f y x F λφ+=
其中λ为某一常数求其对x 与y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+.0),(,0),(),(,0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x φλφλφ （1）
由这方程组解出x ，y 及λ，则其中x ，y 就是函数),(y x f 在附加条件下0),(=y x φ的可能极值点的坐标。
这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。
例如，要求函数
),,,(t z y x f u =
在附加条件
0),,,(=t z y x φ，0),,,(=t z y x ψ
(2)
下的极值，可以先构成辅助函数
),,,(),,,(),,,(),,,(21t z y x t z y x t z y x f t z y x F ψλφλ++=
其中1λ，2λ均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这样得出的t z y x 、、、就是函数),,,(t z y x f 在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。
至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。
例3 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积。
解 设长方体的三棱长为z y x ,,， 则问题就是在条件
0222),,,(2=-++=a xz yz xy t z y x ψ
（3）
下，求函数
xyz V = )000(>>>z y x ，，
的最大值。
构成辅助函数
)222(),,(2a xz yz xy xyz z y x F -+++=λ
求其对x 、y 、z 的偏导数，并使之为零，得到
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++0)(20
)(20
)(2z y xy z x xz z y yz
（4） 再与(10)联立求解。
因y x 、、z 都不等于零，所以由(11)可得
y x ＝z y z x ++， z y ＝z x y x ++．
由以上两式解得
z y x ==
将此代入式(10)，便得
z y x ===a 66
这是唯一可能的极值点。
因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在
这个可能的极值点处取得。
也就是说，表面积为2
a 的长方体中，/6
的正方体的体积为最大，最大体积3/36V =。
小结：
本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。
在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。
最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。