多元函数求极值(拉格朗日乘数法)
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第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。
如果都适合不等式 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。
使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。
例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。
例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。
依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。
多元函数求极值(拉格朗日乘数法)
第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义,熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法.教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数Z = f（χ,y)在点（χ0，y o)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于（x0,y o)的点，如果都适合不等式f （χ， y) ：： f (χo， y°）则称函数f（x,y）在点（X0，y O）有极大值f（X0，y o）。
如果都适合不等式f （χ， y） f (χo， y o）则称函数f（x，y）在点(χo，y o)有极小值f（χo，y o）.极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点。
C 2 丄JI 2例1函数Z=3X4y在点(0，0)处有极小值。
因为对于点(0, 0）的任一邻域内异于（0,0)的点，函数值都为正，而在点(0, 0）处的函数值为零。
从2 ，2 几何上看这是显然的，因为点(0, 0, 0）是开口朝上的椭圆抛物面Z=3X4y 的顶点2 2例2函数^-X y在点（0，0)处有极大值.因为在点(0，0）处函数值为零，而对于点(0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为负,—2 2"点(0, 0, 0)是位于X O y平面下方的锥面 ^—X y的顶点.例3 函数Z=Xy在点（0, 0）处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点（0, 0)处的函数值为零，而在点（0，0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理（(必要条件）设函数Z = f(χ, y)在点（χ0,y°)具有偏导数，且在点(χ0,y°) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零:fχ(χo， y o) = 0， f y(χ0， y o） =0证不妨设z = f（χ,y)在点（χ0,y o)处有极大值.依极大值的定义，在点（X0,y O)的某邻域内异于（X0，y O）的点都适合不等式f（χ, y) ：： f （χ0, y°）特殊地，在该邻域内取y = y。
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
拉格朗日乘数法求极值原理
拉格朗日乘数法求极值原理
格朗日乘数法，即Lagrange Multiplier方法，又称约束最优化方法,一种从满足某种条件的函数的局部最优解或全局最优解中寻找变量的方法。
它是1773年由意大利数学家罗杰拉格朗日提出的，是求解非线性最优化问题的一大利器。
拉格朗日乘数法可以用来求解约束和非约束多元函数极值问题，它利用一种被称作拉格朗日乘数的概念来解决约束最优化问题，该概念是一种把约束和目标函数化简为一个单目标函数的方法，这样就可以使用标准的最优化算法求解该函数的极值。
拉格朗日乘数法的具体原理及步骤：
首先，给定一个函数及对应的约束条件；
其次，将约束条件表示为拉格朗日函数，即将原函数及其约束条件约束到拉格朗日函数中；
第三，求这个拉格朗日函数的极值，并从极值中求出原函数的极值；
最后，得出原函数的极值以及约束条件的结果，即可求出满足约束条件的函数的最优解。
拉格朗日乘数法的实践中，可以通过求和项乘以拉格朗日乘数来形成新的函数即拉格朗日函数，其中，拉格朗日乘数代表了原函数及其约束条件之间的相互影响，其值为新函数的极值点，即求出拉格朗日乘数，就可以得到原函数的极值点。
拉格朗日乘数法在优化计算领域中有着广泛应用，它可以用来求
解解析最优化问题，也可以用来求解数值最优化问题，从而得到全局最优解或局部最优解，具有广泛的应用之用。
总之，拉格朗日乘数法是一种用于求解约束及非约束多元函数极值问题的有效算法，所得结果能够更好的满足约束条件，这正是它所独特的优势所在。
它也是经典的非线性最优化方法之一，具有广泛的应用前景。
多元函数求极值（拉格朗日乘数法）
第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内),(y x f z =),(00y x 异于的点，如果都适合不等式),(00y x ，00(,)(,)f x y f x y <则称函数在点有极大值。
如果都适合不等式(,)f x y ),(00y x 00(,)f x y ，),(),(00y x f y x f >则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。
(,)f x y ),(00y x ),(00y x f 使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的2243y x z +=任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。
2243y x z +=例２ 函数在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处22y x z +-=函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。
xOy 22y x z +-=例３ 函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在xy z =点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数在点具有偏导数，且在点),(y x f z =),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：),(00y x 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证 不妨设在点处有极大值。
拉格朗日乘数法求极值例题
拉格朗日乘数法求极值例题拉格朗日乘数法是求解多元函数极值问题的一种常用方法，它被广泛应用于经济学、物理学等领域。
本文将通过一个例题来详细介绍拉格朗日乘数法的应用。
例题：求函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在约束条件$g(x,y)=x+y-1=0$ 下的最小值。
解析：首先，我们需要确定拉格朗日乘数法的基本思路。
其核心是将约束条件与目标函数合并成一个函数，再通过求导的方式求得该函数的极值点。
具体步骤如下：1.建立拉格朗日函数设 $L(x,y,lambda)=f(x,y)+lambda g(x,y)$，其中$lambda$ 为拉格朗日乘数。
2.求解拉格朗日函数的偏导数$$begin{cases}frac{partial L}{partial x}=2x+lambda =0frac{partial L}{partial y}=2y+lambda =0frac{partial L}{partial lambda}=x+y-1=0end{cases}$$3.解方程组由上面的方程组可以解得 $x=frac{1}{2}$，$y=frac{1}{2}$，$lambda=-1$。
4.判断极值通过二阶导数判断可得，此时为函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 的最小值。
因此，该例题的最小值为$f(frac{1}{2},frac{1}{2})=frac{1}{2}$。
通过这个例题，我们可以看到拉格朗日乘数法的应用非常灵活，不仅可以求解二元函数的最值问题，还可以处理多元函数的极值问题。
而且，在实际问题中，拉格朗日乘数法常常被用于约束条件较为复杂的情况下，例如非线性约束条件或多个约束条件等。
总之，拉格朗日乘数法是一种非常实用的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用价值。
多元函数条件极值拉格朗日乘数怎么解
多元函数条件极值拉格朗日乘数怎么解1. 转化为无条件极值在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点（可能的极值点）外，对自变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。
如求的极值，就是无条件极值问题。
然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。
比如，讨论表面积为的长方体的最大体积问题。
若设长方体的三度为, 则体积，同时应满足于是我们的问题的数学含义就是：当自变量满足条件下取何值时能使函数取得最大值。
（这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值）。
一般抽象出来，可表为如下形式：即函数在条件下的取极大（小）值问题。
今后，我们称这种问题为函数的条件极值问题。
对自变量有附加条件的极值称为条件极值。
一般称为目标函数，为约束条件( 或约束方程) 。
对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。
例如上述问题, 由条件, 解得, 于是得 V .只需求 V 的无条件极值问题。
例6 求函数在约束条件下的条件极值。
解由约束条件可解出代入目标函数，有：令得驻点由于当时，，当时，在时取极大值，又当时，由约束条件可解出，而，此例说明条件极值可有如下一种解法：如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。
通过讨论无条件极值可得问题的解答。
但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。
因此，对条件极值我们应讨论一般解法。
2. 关于条件极值的拉格朗日乘数法在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易。
需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法：要找函数 z = f ( x , y ) 在条件 j ( x , y ) = 0 下的可能极值点, 可以先构成辅助函数 F ( x , y ) = f ( x , y )+ lj ( x , y ) , 其中 l 为某一常数。
然后解方程组.由这方程组解出 x , y 及 l , 则其中( x , y ) 就是所要求的可能的极值点。
用拉格朗日乘数法求极值步骤
用拉格朗日乘数法求极值步骤全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日乘数法是一种常用的数学工具，用于求解带有约束条件的极值问题。
在实际问题中，很多情况下都会存在一些条件限制，而拉格朗日乘数法正是针对这种情况而提出的一种解决方法。
下面我们将详细介绍使用拉格朗日乘数法求极值的步骤。
我们先来看一个简单的例子，假设我们要求函数f(x, y) = x^2 +y^2 在条件g(x, y) = x + y = 1下的最小值。
这个问题可以用如下的拉格朗日函数表示：L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) = x^2 + y^2 - λ(x + y - 1)λ为拉格朗日乘数。
接下来的步骤就是通过对L(x, y, λ) 求偏导数来确定函数f(x, y) 在条件g(x, y) 下的极值点。
步骤一：计算L(x, y, λ) 对x, y的偏导数，并令其等于0，即求解以下方程组：步骤二：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
在本例中，解方程组可得x = y = 1/2，λ = 1。
代入原函数f(x, y) = x^2 + y^2 可得最小值为1/2。
问题的解是f(x, y) = 1/2。
上面是一个简单的例子，下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法求极值的一般步骤：步骤一：建立带有约束条件的拉格朗日函数。
假设我们要求函数f(x1, x2, ..., xn) 在条件g(x1, x2, ..., xn) = 0下的极值，那么其对应的拉格朗日函数为：步骤二：求解拉格朗日函数的梯度，令其等于零。
即求解以下方程组：∂L/∂x1 = ∂f/∂x1 - λ∂g/∂x1 = 0∂L/∂x2 = ∂f/∂x2 - λ∂g/∂x2 = 0...∂L/∂xn = ∂f/∂xn - λ∂g/∂xn = 0g(x1, x2, ..., xn) = 0步骤三：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
解方程组可能有多个解，需要通过二阶导数判断哪一个是极值点。
多元函数微分学求最值,直接建立拉格朗日乘数法
多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法【多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法】引言在高等数学中，多元函数微分学是一个重要的分支，它研究多元函数的极值与最值问题。
其中一种常见的求最值的方法是通过建立拉格朗日乘数法。
本文将从简单到复杂的角度，逐步探讨多元函数微分学求最值的方法，并结合拉格朗日乘数法来解决实际问题。
一、多元函数的极值1.1 极值概念在单变量函数中，我们通过求导数，令导数为零来判断函数的极值点。
而在多元函数中，我们需要通过求偏导数来判断函数的极值点。
对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，偏导数用$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示。
1.2 极值的判断条件多元函数的极值点与一元函数类似，也需要满足导数为零的条件。
对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，如果在某一点$(a_1,a_2,…,a_n)$处，满足以下条件：$\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\\frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\……\\\frac{\partial f}{\partial x_n}(a_1,a_2,…,a_n)=0$那么该点就是函数的极值点。
但这仅仅是极值的必要条件，并不一定是充分条件。
二、最值问题的解决方法2.1 直接法在一元函数中，我们通过求导数来解决最值问题，而在多元函数中，我们也可以直接计算偏导数，并令其为零来解决最值问题。
举例说明：设有一个二元函数$f(x,y)=2x^2+3y^2$，我们要求在$x^2+y^2=1$的条件下，函数$f(x,y)$的最小值。
解法：根据条件$x^2+y^2=1$，我们可以得到一个方程组：$2x-λ\cdot2x=0\\2y-λ\cdot2y=0\\x^2+y^2-1=0$其中，λ为拉格朗日乘子。
东华大学《高等数学AⅡ》课件 第八章 多元函数的极值
例6. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z = V0 下水箱表面积 S = 2(xz + y z) + x y
最小.
令 F = 2(xz + yz) + x y + (x yz −V0 )
求出实数解，得所有驻点. 第二步 对于每一个驻点(x0, y0),
求出二阶偏导数的值A、B 、C. 第三步 定出AC−B2的符号，再判定是否是极值.
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法
பைடு நூலகம்
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6 y + 6
A
在点(1,0) 处
AC − B2 = 12 6 0, A 0,
为极小值;
在点(1,2) 处
AC − B2 = 12 (−6) 0,
不是极值;
在点(−3,0) 处
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制
条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) = 0下, 求函数 z = f (x, y) 的极值
多元函数的极值与拉格朗日乘法
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充分条件
如果多元函数$f(x)$在点$x_0$处的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）是正定的或 负定的，则该点为极小值或极大值点。
多元函数的极值示例
球面函数
考虑函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，该函数在原点$(0,0,0)$ 处取得极小值。
倒立方体函数
考虑函数$f(x,y,z)=-(x^2+y^2+z^2)$，该函数在原点 $(0,0,0)$处取得极大值。
拉格朗日乘法的应用场景
拉格朗日乘法适用于求解受约束条件 限制的多元函数的极值问题，如线性 规划、非线性规划、最优控制等问题。
在实际应用中，拉格朗日乘法可以用 于求解生产计划、资源分配、物流优 化等问题，以实现最优资源配置和最 大经济效益。
拉格朗日乘法的计算步骤
第一步
构造拉格朗日函数，将约束条件与目标函数 相结合。
第二步
对拉格朗日函数求极值，得到可能的极值点。
第三步
验证得到的极值点是否满足约束条件，并确 定是否为真正的极值点。
第四步
根据实际情况选择合适的算法进行求解，如 梯度下降法、牛顿法等。
04
拉格朗日乘法在多元函数极值中的应
用
应用方法
定义拉格朗日乘数
对于多元函数$f(x,y)$，引入F(x,y,lambda) = f(x,y) + lambda(g(x,y))$。
求解条件极值
将拉格朗日函数$F(x,y,lambda)$分别对$x, y, lambda$求偏导数，并令偏导数等于零，得到条件 极值方程组。
解方程组求极值
解条件极值方程组，得到可能的极值点，再 根据函数的性质判断这些点是否为极值点。
08-多元函数的极值及其求法课件
多元函数的极值及其求法多元函数的极值多元函数的最大值、最小值条件极值拉格朗日乘数法多元函数的极值定义 设函数()z f x y =,的定义域为D ,()000,P x y 则称函数在点()00,x y 有极大值(或极小值) ()00,f x y为D 的内点，若存在0P 的某个邻域()0U P D ⊂,如果对于该邻域内任何异于0P 的点(),x y , 都有()()00,,f x y f x y < (或()()00,,f x y f x y >),极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.例 函数2234z x y =+在点(0,0)处有极小值.()0,00z =, 例 函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值.当()(),0,0x y ≠时, 0z >.=在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小例函数z xy值.()0,00z=,而在点(0, 0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.设n 元函数()u f P =在点0P 的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于0P 的点P , 都有则称函数()fP 在点0P 有极大值(或极小值)()0f P .()()0f P f P < (或()()0f P f P >),定理1(必要条件) 设函数()z f x y =,在点()00,x y 具 有偏导数, 且在点()00,x y 处有极值, 则有()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =.不妨设()z f x y =,在点()00,x y 处有极大值. 证 依极大值的定义, 对于点()00,x y 的某邻域内异于()00,x y 的点(),x y , 都有不等式特殊地, 在该邻域内取0y y =而0x x ≠的点,也应有()()00,,f x y f x y <()()000,,f x y f x y <这表明一元函数()0,f x y 在0x x =处取得极大值,因而有()00,0x f x y =.类似地可证()00,0y f x y =.从几何上看, 这时如果曲面()z f x y =,在点()000,,x y z 处有切平面, 则切平面()()()()0000000,,x y z z f x y x x f x y y y -=-+-成为平行于xoy 坐标面的平面0z z =.凡是能使()00,0xf x y =, ()00,0y f x y =同时成立的点()00,x y 称为函数()z f x y =,的驻点.具有偏导数的函数的极值点必定是驻点.但函数的驻点不一定是极值点.例如, 函数z xy =在点 (0,0)处的两个偏导数都是零, 但(0,0)不是极值点.定理2(充分条件) 设函数()z f x y =,在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,令()00,xx f x y A =, ()00,xy f x y B =, ()00,yy f x y C =则()f x y ,在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:(2)20AC B -<时没有极值;(1) 20AC B ->时具有极值, 且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值;(3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值.极值的求法: 第一步 解方程组求得一切实数解, 即可得一切驻点.第二步 对于每一个驻点()00,x y , 求出二阶偏导数的 ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,值A 、B 和C .第三步 定出2AC B -的符号, 按定理2的结论判定()00,f x y 是否是极值、是极大值 还是极小值.例 求函数()3322,339f x y x y x y x =-++-的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f yx 得驻点为()1,0、()1,2、()3,0-、()3,2-.求得1,3x =- ; 0,2y =再求出二阶偏导数(),66xx f x y x =+,(),0xy f x y = ,(),66yy f x y y =-+.在点()1,0处,21260AC B -=⋅>, 又0A >,所以函数在()1,0处有极小值()1,05f =-;在点()1,2处, ()21260AC B -=⋅-<,所以()1,2f 不是极值;所以()3,0f -不是极值;所以函数在()3,2-处有极大值()3,231f -=.在点()3,0-处, 21260AC B -=-⋅<,在点()3,2-处,()21260AC B -=-⋅->, 又0A <,不是驻点也可能是极值点.例如,函数220,0处有极大值,=-+在点()z x y0,0不是函数的驻点.但()多元函数的最大值、最小值如果()f x y ,在有界闭区域D 上连续, 则()f x y ,在 D 上必定能取得最大值和最小值.假定函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻 点, 如果函数在D 的内部取得最大值(最小值), 那么这个 最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).求最大值和最小值的一般方法将函数()f x y ,在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大的就是最大 值, 最小的就是最小值.实际问题中如果根据问题的性质, 知道函数()f x y , 的最大值(最小值)一定在D 的内部取得, 而函数在D 内 只有一个驻点, 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 ()f x y ,在D 上的最大值(最小值).例 某厂要用铁板做成一个体积为38m 的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为x , 宽为y , 则其高应为xy8. 此水箱所用材料的面积为)0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x yx xy xy x xy y xy A令0)8(22=-=x y A x , 0)8(22=-=yx A y , 得2x =, 2y =.当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为82m 22=⋅时, 水箱所用的材料最省.条件极值拉格朗日乘数法例如, 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.求表面积为2a 的长方体的最大体积.设长方体的三棱的长为x y z 、、, 则体积V xyz =.x y z 、、还必须满足附加条件22()xy yz xz a ++=.由条件2)(2a xz yz xy =++, 解得)(222y x xy a z +-=, 于是得 V ))(2(22y x xy a xy +-=. 有些条件极值问题可以化为无条件极值问题.例如, 求表面积为2a 的长方体的最大体积.函数()z f x y =,在条件()0x y ϕ=,下取得极值的必要 条件.如果函数()z f x y =,在()00,x y 取得所求的极值, 则()00,0x y ϕ=.假定在()00,x y 的某一邻域内()f x y ,与()x y ϕ,均有连续的一阶偏导数, 将其代入目标函数()z f x y =,, 得的函数()y x ψ=, 定理, 由方程()0x y ϕ=,确定一个连续且具有连续导数而()00,0y x y ϕ≠. 由隐函数存在一元函数()()z f x x ψ=,.0x x =是一元函数()()z f x x ψ=,的极值点,由取得极值的必要条件, 有即()()0000d d ,,0d d x y x x x x z yf x y f x y xx--=+=()()()()00000000,,,0,x x y y x y f x y f x y x y ϕϕ-=设λϕ-=),(),(0000y x y x f y y , 则函数()z f x y =,在条件 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ ()0x y ϕ=,下在()00,x y 取得极值的必要条件是拉格朗日乘数法要找函数()z f x y =,在条件()0x y ϕ=,下的可能极值点, 可以先构成辅助函数()()()L x y f x y x y λϕ=+,,,其中λ为某一常数. 然后解方程组(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)0L x y f x y x y x x x L x y f x y x y y y y x y λϕλϕϕ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ, 则其中(),x y 就是所要求的可能的极值点.此方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.例 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱的长为x y z 、、, 构成辅助函数解方程组()()2,222L x y z xyz xy yz xz a λ=+++-,(,,)2()0(,,)2()0(,,)2()02222L x y z yz y z x L x y z xz x z y L x y z xy y x z xy yz xz aλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩ 得a z y x 66===, 这是唯一可能的极值点. 最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.。
多元函数的极值及其求法
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉 格 朗 日 乘 数 法
要 找 函 数zf(x,y)在 条 件(x,y)0下 的 可 能
极 值 点 ,
先构造函数 F(x, y) f (x, y) (x, y)，其中
为某一常数，可由
fx(x, y) x(x, y) 0,
0,
Ft(x, y,z,t) 0,
(x, y,z,t) 0, ( x , y , z , t ) 0 .
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.
例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 2 x y 2 y z2 x z a 2 0 下， 求函数 V x( x y 0 ,y z 0 , z 0 )的最大值.
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极大值；
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极小值；
极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 .
使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .
例1 函数z 3x2 4y2
例 5求 zx 2x y 2 y 1的 最 大 值 和 最 小 值 .
解令
zx(x2(y x2 2 1y )2 21 x)(2xy)0, zy(x2(y x2 2 1y )2 21 y)(2xy)0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1),
22
22
四、小结
多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法
多元函数求条件极值的原理
多元函数求条件极值的原理多元函数的条件极值是指在一定条件下使函数取得极大值或极小值的点。
求条件极值的原理包括拉格朗日乘数法和边界条件法两种方法。
一、拉格朗日乘数法：当多元函数在一定的约束条件下取得条件极值时，可以使用拉格朗日乘数法来求解极值点。
其基本思想是在考虑目标函数值的同时，引入一个约束函数，通过寻找约束函数和目标函数的共同极值点来得到条件极值。
设多元函数为f(x1,x2,...,xn)，约束条件为φ(x1,x2,...,xn)=0，其中φ(x1,x2,...,xn) 表示n-1 个关于x1,x2,...,xn 的函数，同样需要求导来得到其极值点。
具体步骤如下：1. 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn)，其中λ是拉格朗日乘数。
2. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数，并令其等于0。
3. 解方程组，得到x1,x2,...,xn 和λ的取值。
4. 将x1,x2,...,xn 和λ的取值代入f(x1,x2,...,xn) 计算函数值，得到条件极值。
拉格朗日乘数法的原理和求解过程比较复杂，但是可以通过引入拉格朗日乘数将约束条件转化为一个等式来求解条件极值问题。
二、边界条件法：边界条件法用于求解多元函数在给定边界条件下的条件极值问题。
当约束条件形式为不等式时，可以通过将不等式约束条件转化为等式约束条件，并在约束区域的边界上求解得到条件极值。
具体步骤如下：1. 将不等式约束条件转化为等式约束条件，得到约束函数φ(x1,x2,...,xn)=0。
2. 对多元函数f(x1,x2,...,xn) 和约束函数φ(x1,x2,...,xn) 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn)，其中λ是拉格朗日乘数。
3. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数，并令其等于0。
多元函数极值与拉格朗日乘数法
推广: 自变量多于两个，
约束条件多于一个的情况.
例 目标函数 u f ( x, y, z, t)
约束条件 ( x, y, z, t) 0 (x, y, z,t) 0
拉格朗日函数
L( x, y, z, t, 1, 2 ) f ( x, y, z, t) 1( x, y, z, t) 2 (x, y, z, t)
20
说明 上例的条件极值问题,是通过将约束条件代入 目标函数中求解; 但并不是所有情况下都能这样做，更多时候 用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的 一般方法—— 拉格朗日乘数法
21
Lagrange(拉格朗日)乘数法
求函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0
下的可能极值点, 先构造拉格朗日函数
(2) AC B2 0时, f ( x0 , y0 ) 不是极值;
(3)AC B2 0时 f ( x0 , y0 ) 可能是极值,
也可能不是极值.
4
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
2
说明
1、驻点
具有偏导的极值点
如,点(0,0)是函数z xy的 驻点,但不是极值点.
2、偏导数不存在的点， 也可能是极值点.
例 z x2 y2
z
在点(0,0)处的偏导数不存在,
O•
x
y
但(0,0)是函数的极大值点.
3
二元函数极值的充分条件
多元函数的拉格朗日乘数法
多元函数的拉格朗日乘数法多元函数的拉格朗日乘数法是一种用于求解多元函数约束条件下的极值问题的方法。
它是由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在18世纪末提出的，用于解决自然科学中的优化问题。
拉格朗日乘数法在经济学、工程学和物理学等领域都有广泛的应用。
一、拉格朗日乘数法的基本原理拉格朗日乘数法的基本原理可以通过以下步骤来说明：1. 建立约束条件：假设我们要求解的问题是最大化或最小化多元函数 f(x1, x2, ..., xn) 的取值，同时还有一些约束条件 g1(x1, x2, ..., xn) = c1, g2(x1, x2, ..., xn) = c2, ..., gm(x1, x2, ..., xn) = cm。
2. 构造拉格朗日函数：将约束条件与目标函数合并成一个拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm)，其中λ1, λ2, ..., λm 是称为拉格朗日乘数的系数。
3. 求解方程组：对拉格朗日函数求偏导数，并令其等于零，得到一组包括原函数和约束条件的方程组。
解这个方程组，可以得到原问题的极值点。
二、一个具体的例子为了更好地理解拉格朗日乘数法，我们来看一个具体的例子。
假设我们的目标是最大化函数 f(x, y) = x^2 + y^2，同时满足约束条件 g(x, y) = x + y = 1。
首先，我们构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = x^2 + y^2 + λ(x + y - 1)，其中λ 是拉格朗日乘数。
然后，对拉格朗日函数求偏导数：∂L/∂x = 2x + λ∂L/∂y = 2y + λ∂L/∂λ = x + y - 1将上述方程组与约束条件 g(x, y) = x + y - 1 相联立，可以得到以下方程组：2x + λ = 02y + λ = 0x + y - 1 = 0解这个方程组，我们可以求得 x = 1/2，y = 1/2，λ = -1。
用拉格朗日乘数法求极值步骤
用拉格朗日乘数法求极值步骤
《用拉格朗日乘数法求极值步骤》
拉格朗日乘数法是一种用于求取多元函数在一定条件下的极值的方法，通过引入拉格朗日乘数将条件约束考虑进来，从而将原来的优化问题转化为无约束的优化问题。
下面将介绍使用拉格朗日乘数法求极值的步骤。
第一步，建立原始函数和约束条件。
首先得有一个带有约束条件的多元函数，例如对于一元函数f(x)，约束条件可以是g(x) = 0。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，约束条件可以是g1(x1, x2, ..., xn) = 0, g2(x1, x2, ..., xn) = 0, ..., gm(x1, x2, ..., xn) = 0。
第二步，建立拉格朗日函数。
引入拉格朗日乘数λ，建立拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ) =
f(x1, x2, ..., xn) + λ(g1(x1, x2, ..., xn)^2 + g2(x1, x2, ..., xn)^2 + ... + gm(x1, x2, ..., xn)^2)。
第三步，求取拉格朗日函数的梯度。
计算拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ)对各变量的偏导数，得到梯度∇L = (∂L/∂x1, ∂L/∂x2, ..., ∂L/∂xn, ∂L/∂λ)。
第四步，解方程组。
令∇L = 0，解出所有的x1, x2, ..., xn, λ。
最后，对解进行验证。
将解代入原始函数和约束条件中，验证是否满足原问题的要求。
通过以上步骤，使用拉格朗日乘数法就可以求出多元函数在一定条件下的极值，这种方法在优化问题中有着广泛的应用。
拉格朗日乘数法求极值例题
拉格朗日乘数法求极值例题在数学中，求解极值问题是一个非常重要的课题，而拉格朗日乘数法则是一种常用的求解多元函数极值的方法。
本文将以一个具体的例题为例，介绍拉格朗日乘数法的具体应用过程。
例题：求函数$f(x,y)=x^2+y^2$在条件$g(x,y)=x+y-1=0$下的极值。
解题步骤：1.建立拉格朗日函数$L(x,y,lambda) = f(x,y) + lambdag(x,y)$将$f(x,y)$和$g(x,y)$代入，得到：$L(x,y,lambda) = x^2+y^2+lambda(x+y-1)$2.求$L(x,y,lambda)$的一阶偏导数：$frac{partial L}{partial x} = 2x + lambda$$frac{partial L}{partial y} = 2y + lambda$$frac{partial L}{partial lambda} = x+y-1$3.将一阶偏导数都置为0，解出$x,y,lambda$的值：$frac{partial L}{partial x} = 2x + lambda = 0 Rightarrow x = -frac{lambda}{2}$$frac{partial L}{partial y} = 2y + lambda = 0 Rightarrow y = -frac{lambda}{2}$$frac{partial L}{partial lambda} = x+y-1 = 0 Rightarrow x+y=1$由第三个式子可知，$x$和$y$的和为1，将$x$和$y$代入前两个式子中，得到：$-lambda + lambda = 0$$-lambda + lambda = 0$由此可知，$lambda$可以为任意数值，因此需要进一步求解。
4.将$x$和$y$代入条件$g(x,y)=x+y-1=0$中，得到：$-frac{lambda}{2} - frac{lambda}{2} -1 = 0 Rightarrow lambda = -2$5.将$lambda$代入$x$和$y$的表达式中，得到：$x = -frac{lambda}{2} = 1$$y = -frac{lambda}{2} = 1$因此，函数$f(x,y)=x^2+y^2$在条件$g(x,y)=x+y-1=0$下的极值为$2$，此时$x=y=1$。
多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法
减去总广告费， 两种方式的广告费共25千元， 怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大
利润是多少？
解
约束条件下的利润函数为
Lx, y S 25,
5
具体利润函数为 L(x, y) 40x 20y 5 x 10 y
在约束条件 x y 25
在点 3，2各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
则原函数在点 (3,2) ，取得最大值点。
在点 3，0各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
则原函数在点 (3,0) ，无极值点。
在点1，2各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 B2 AC 的符号，再判定是否是极值.
例4: 求函数f x, y x3 y3 3x2 3y2 9x的极值
拉格朗日函数是
G(x, y,) 40x 20y 25 x y 25
5 x 10 y
解一阶导数为零的方程组：
Gx x,
y
200
5 x2
0
Gy x,
y
200
10 y2
0
x y 25 0
解方程得 15,10
最大利润
x
x
x,
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第八节 多元函数的极值及其求法
教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定
方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法
求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：
一、 多元函数的极值及最大值、最小值
定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式
00(,)(,)f x y f x y <，
则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。
如果都适合不等式
),(),(00y x f y x f >，
则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。
使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的任
一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从
几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面
2243y x z +=的顶点。
例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处函
数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，
点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。
例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：
0),(,0),(0000==y x f y x f y x
证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。
依极大值的定义，在点
),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式
),(),(00y x f y x f <
特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式
000(,)(,)f x y f x y <
这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有
0),(00=y x f x
类似地可证
0),(00=y x f y
从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面
))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-
成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。
仿照一元函数，凡是能使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(00y x 称为函数),(y x f z =的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。
但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数xy z =的驻点，但是函数在该点并无极值。
怎样判定一个驻点是否是极值点呢 ？下面的定理回答了这个问题。
定理2（充分条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(,0),(0000==y x f y x f y x ，令
C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===),(,),(,),(000000
则),(y x f 在),(00y x 处是否取得极值的条件如下：
(1)02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
(2)02<-B AC 时没有极值；
(3)02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
这个定理现在不证。
利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数),(y x f z =的极值的求法叙述如下：
第一步 解方程组
0),(,0),(==y x f y x f y x
求得一切实数解，即可以得到一切驻点。
第二步 对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值A ，B 和C 。
第三步 定出2B AC -的符号，按定理2的结论判定00(,)f x y 是否是极值、
是极大值还是极小值。
例1 求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值。
解 先解方程组
22(,)3690,(,)360,x y f x y x x f x y y y ⎧=+-=⎪⎨=-+=⎪⎩
求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。
再求出二阶偏导数
(,)66,(,)0,(,)66xx xy yy f x y x f x y f x y y =+==-+
在点(1,0) 处，06122>⋅=-B AC 又0>A ，所以函数在(1,0)处有极小值
(1,0)5f =-；
在点(1,2) 处，
0)6(122<-⋅=-B AC ，所以f (1,2)不是极值； 在点(-3,0) 处，06122<⋅-=-B AC ，所以f (-3,0)不是极值；
在点(-3,2) 处，
0)6(122>-⋅-=-B AC 又0<A 所以函数在(-3,2)处有极大值f (-3,2)=31。
例2 某厂要用铁板作成一个体积为2m 3的有盖长方体水箱。
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。
解 设水箱的长为xm ，宽为ym ，则其高应为m xy 2，此水箱所用材料的面积
)22(2xy x xy y xy A ⋅+⋅
+=， 即 )22(2y x xy A ++= （0>x ，0>y ）
可见材料面积A 是x 和y 的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点),(y x 。
令 0)2(22=-=x y A x ，
0)2(22=-=y x A y
解这方程组，得：
32=x ，32=y
从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。
二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x φ下的可能极值点，可以先构成辅助函数
),(),(),(y x y x f y x F λφ+=
其中λ为某一常数求其对x 与y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+.0),(,0),(),(,0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x φλφλφ （1）
由这方程组解出x ，y 及λ，则其中x ，
y 就是函数),(y x f 在附加条件下0),(=y x φ的可能极值点的坐标。
这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。
例如，要求函数
),,,(t z y x f u =
在附加条件
0),,,(=t z y x φ，0),,,(=t z y x ψ (2)
下的极值，可以先构成辅助函数
),,,(),,,(),,,(),,,(21t z y x t z y x t z y x f t z y x F ψλφλ++=
其中1λ，2λ均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这样得出的t z y x 、、、就是函数),,,(t z y x f 在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。
至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。
例3 求表面积为2
a 而体积为最大的长方体的体积。
解 设长方体的三棱长为z y x ,,， 则问题就是在条件 0222),,,(2=-++=a xz yz xy t z y x ψ （3）
下，求函数
xyz V = )000(>>>z y x ，，
的最大值。
构成辅助函数
)222(),,(2a xz yz xy xyz z y x F -+++=λ
求其对x 、y 、z 的偏导数，并使之为零，得到
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++0)(20
)(20)(2z y xy z x xz z y yz
（4） 再与(10)联立求解。
因y x 、、z 都不等于零，所以由(11)可得
y x ＝z y z x ++， z y ＝z x y x ++． 由以上两式解得
z y x ==
将此代入式(10)，便得
z y x ===a 66
这是唯一可能的极值点。
因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。
也就是说，表面积为2
a 的长方体中，
/6
的正方体的体积为最大，最大体积3/36V =。
小结：
本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。
在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求
极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。
最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。