(完整word版)拉格朗日乘数法.doc

1. 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：
（1） f ( , )
x 2
y 2
,
若 x y 1 0;
x y
（2） f ( x, y, z,t ) x y z t, 若 xyzt c 4 （其中 x, y, z,t , 0, c 0 ）；
（3） f ( x, y, z) xyz ，若 x 2 y 2 z 2
1, x y z
0 .
解 (1) 设 L( x, y,
) x 2 y 2
( x y 1) 对 L 求偏导数 ,并令它们都等于 0,则有
L x 2x 0, L y 2 y
0,
L z
x y 1 0.
解之得
x y 1 , 1.由于当 x
, y
时 ,
f
.故函数必在唯一稳定点处
2 1 1 1
取得极小值 , 极小值 f ( ,
2 ) .
2 2
(2) 设 L (x, y, z, t,
) x y z
t
( xyzt c 4 ) 且
L x 1 yzt 0, L y 1
xzt 0, L z
1 xyt 0, L t 1
xyz 0,
L
xyzt c 4
0,
解方程组得 x y z t c. 由于当 n 个正数的积一定时 ,其和必有最小值 ,故 f 一定存在唯
一稳定点 (c, c ,c, c)取得最小值也是极小值 ,所以极小值 f(c, c ,c, c)=4c .
(3) 设 L( x, y, z, ,u)
xyz
( x 2 y 2
z 2 1) u( x
y z) ,并令
L x yz 2 x u 0, L y xz 2 y u 0, L z xy 2 z u 0,
L x 2 y 2
z 2 1
0,
L u
x y z 0,
解方程组得
x, y, z 的六组值为 :
1 2 1 1 1 x
1 x
x
x
x
x
6
6 6 6 6 6
1 1
2 1 , y
2 2 y , y , y , y
y
.
6 6 6
6
6
6
2 1 1 2 1 z
1 z
z z z z
6
6
6
6 6
6
又 f (x, y, z) xyz 在有界闭集
{( x, y, z) | x 2 y 2 z 2
1, x y z
0}
上连续 ,故有最值 .因此 ,极小值为
f ( 1 , 1
,
2 ) f (
2 , 1 , 1 )
3 1 ,
6 6
6
6
6
6
6
极大值为
f (
1 , 1 ,
2 ) f ( 2
, 1 , 1 ) 3 1 .
6
6
6
6
6
6
6
2.(1) 求表面积一定而体积最大的长方体； （2）求体积一定而表面积最小的长方体。

解：（ 1）设长方体的长、宽、高分别为 x, y, z ，表面积为 a 2 (a 0) ，
则体积为 f ( x, y, z) xyz ，限制条件为 2( xy yz xz) a 2 。

设 L( x, y, z, )
xyz
[ 2(xy
yz
xz) a 2 ]
L x yz 2 ( y z) 0, 并令
L y xz 2 ( x z)
0,
L z
xy 2 ( x y) 0,
L
2(xy yz xz) a 2
0,
解得 x
y z
a 。

6
因此求长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值
故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体
.
f ( a , a , a
) a 3 。

6
6
6
6 6
（2）设长方体的长、 宽、高分别为 x, y, z ，体积为 V ,则表面积
f ( x, y, z) 2( xy yz xz) ,
限制条件 : xyz V .
设 L( x, y, z, ) 2(xy yz xz) (xyz V )
L x 2( y z) yz 0,
并令L y 2( x z) xz 0,
解得 x y z 3 V L z 2( x y) xy 0,
L xyz V 0,
故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.
3.求空间一点( x0, y0, z0)到平面Ax By Cz D 0 的最短距离.
解 : 由题意 , 相当于求f (x, y, z) d 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2在条件Ax By Cz D 0 下的最小值问题.由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在.
设 L( x, y, z, ) f ( x, y, z) ( Ax By Cz D ) 且
L x 2(x x0 ) A 0, (1)
L y 2( y y0 ) B 0, (2)
L z 2(z z0 ) C 0, (3)
L Ax By Cz D 0, (4)
由(1),(2),(3) 得x x0 A , y y0 B , z z0 C .
2 2 2
代入 (4) 解得2( Ax0 By0 Cz0 D)
.
A2 B 2 C 2
所以
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 (z z0 ) 2 1 2( A2 B 2 C 2 ) Ax0 By0 Cz0 D
4 A2 B 2 C 2
故 d Ax0 By0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
为所求最短距离 .
4. :
在n 个正数的和为定值条件x1 x2 x n a 下 ,这n个正数的乘积x1 x2 x n 的
证明
最大值为a
n
. 并由此结果推出n个正数的几何中值不大于算术中值n n
n x1 x2 x n x1 x2
n x n .
证: 设f ( x1, x2, x n ) x1x2 x n,
L( x1 , x2 , x n , ) f (x1 , x2 , x n ) ( x1 x2 x n a) , ( x1 , x2 , , x n 0) ,
L
x1 x1 x2 x n x1 0,
L
x2 x1 x2 x n x2 0, a
解得
x1 x2 x n
L
x n x1x2 x n x n 0,
n L x1 x2 x n a 0, (4)
由题意知 ,最大值在唯一稳定点取得 .
f ( a
,
a
, ,
a
)
n
所以 f 最大
a
n . n n n n
故n x1 x2 x n n a n a x1 x2 x n n n n n
因此n x1 x2 x n x1 x2
x
n . n
5.设a1, a2, a n为已知的 n 个正数，求
n
f ( x1 , x2 , x n ) a k x k
k 1
在限制条件
x2 x2 x2 1
1 2 n
下的最大值。

n
解先求 f 在条件x i2 a2 (0 a 1) 下的条件最大值。

为此，设
i 1
n n
x k2 a 2 )(0 a 1) L(x1 , x2 , x n , ) a k x k (
k 1 k 1
L x k a k 2 x k 0(k 1,2, , n)
令
L
n
x k a 2 0
，k 1
解得
n 1
x k a k a /( a k ) 2 )(k 1,2, , n),
k 1
1
n 1 ( a k2 ) 2 .
2a k 1 此时，有
n n 1
a k x k a( a k2 ) 2 .
k 1 k 1
n n 1 n
于是， f 在条件x k2 a 2下的最大值为a( a k2 ) 2 .故f在条件x k2 1 下的最大值为k 1 k 1 k 1
sup n 1 n 1
a k2 ) 2 a k2 ) 2 .
( (
0 a 1 k 1 k 1
（注此题也可用柯西不等式，方法更简。

）
6．求函数
f (x1, x2 , x n ) x12x22x n2
在条件
n
a k x k 1(a k 0, k 1,2, , n)
k 1
下的最小值。

解设
n
L ( x1 , x2 , x n , ) f (x1 , x2 , x n ) ( a k x k 1 ),
k 1
L x k 2x k ak 0(k 1,2, , n)
令n , 解得
L a k x k 1 0
k 1
n
a k2 ) 1 a k , n
a k2 ) 1 (k
x k ( 2( 1,2, , n), k 1 k 1
n 维空间中原点到超平面n
a k x k
1
的最短距离。

由几何知，最短距离
依题意，相当于求
k 1
存在，而稳定点只有一个，故一定在唯一稳定点处取得最小值，故n n n
f最小 f [( a k2 ) 1 a1 ,( a k2 ) 1 a2 , , ( a k2 ) 1 a n ]
k 1 k 1 k 1
n
a k2 ) 1 .
(
k 1。