最新拉格朗日乘数法
不等式约束拉格朗日乘子法
不等式约束拉格朗日乘子法【最新版】目录一、引言二、不等式约束的拉格朗日乘数法概述1.背景介绍2.拉格朗日乘数法的基本思想三、不等式约束的拉格朗日乘数法的应用1.极值点在可行域内2.极值点在可行域外四、总结与展望正文一、引言拉格朗日乘数法是一种应用于优化问题的数学方法，可以帮助我们求解带有约束条件的极值问题。
在不等式约束的情况下，拉格朗日乘数法同样具有很好的应用效果。
本文将从不等式约束的拉格朗日乘数法的基本思想和应用实例两个方面进行介绍。
二、不等式约束的拉格朗日乘数法概述1.背景介绍在实际问题中，我们常常需要考虑一些不等式约束条件。
例如，在求解一个线性规划问题时，我们可能会遇到一些不等式约束条件，如某个变量的取值范围等。
不等式约束条件使得问题变得更加复杂，需要采用专门的方法进行求解。
2.拉格朗日乘数法的基本思想拉格朗日乘数法的基本思想是将原始问题转化为一个新的问题，新问题中的目标是求解一个带有拉格朗日乘数的函数的最小值。
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将原始问题的约束条件转化为函数的导数为零的条件，从而简化问题的求解过程。
在不等式约束的情况下，拉格朗日乘数法同样可以发挥作用。
三、不等式约束的拉格朗日乘数法的应用1.极值点在可行域内当极值点落在可行域内时，我们可以通过构建拉格朗日函数，并求解其梯度方程来找到最优解。
在这个过程中，我们需要分别讨论极值点在可行域内的不同情况，如极值点在可行域的边界上等。
2.极值点在可行域外当极值点落在可行域外时，我们需要通过求解拉格朗日函数在可行域边界上的最小值来找到最优解。
这种情况下，我们需要考虑拉格朗日乘数法的边界条件，以确定最优解的具体取值。
四、总结与展望不等式约束的拉格朗日乘数法是一种有效的求解优化问题的方法，在实际应用中具有广泛的应用前景。
多条件极值 拉格朗日乘数法推导
多条件极值拉格朗日乘数法推导下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法是一种优化问题的求解方法，它的原理是将约束条件引入目标函数中，通过求解构造出的拉格朗日函数的极值来得到最优解。
具体来说，假设我们要求解一个优化问题，其中有若干个约束条件。
我们可以将这些约束条件用等式或不等式的形式表示出来，然后将它们加入目标函数中，构造出一个新的函数，称为拉格朗日函数。
拉格朗日函数的形式为：
L(x, λ) = f(x) + λg(x)
其中，x 是优化问题的决策变量，f(x) 是目标函数，g(x) 是约束条件，λ是拉格朗日乘数。
接下来，我们需要求解拉格朗日函数的极值。
为了找到极值点，我们需要对L(x, λ) 分别对x 和λ求偏导数，并令它们等于0。
也就是说，我们需要求解以下方程组：
∂L/∂x = 0
∂L/∂λ= 0
求解这个方程组可以得到x 和λ的值，从而得到目标函数的最优解。
需要注意
的是，拉格朗日乘数λ的值是由约束条件决定的，它的物理意义是在满足约束条件的前提下，目标函数的变化率。
拉格朗日乘数法的优点在于它可以将约束条件转化为目标函数中的一部分，从而使得求解问题更加简单。
此外，它还可以应用于多个约束条件的情况，而不需要对每个约束条件都进行单独的求解。
拉格朗日乘数法解方程技巧
拉格朗日乘数法解方程技巧
（最新版）
目录
一、拉格朗日乘数法简介
二、拉格朗日乘数法的应用
三、解方程技巧
四、总结
正文
一、拉格朗日乘数法简介
拉格朗日乘数法是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找多元函数的极值。
这种方法由数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日提出，其核心思想是将有约束条件的最优化问题转化为无约束条件的极值问题。
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将约束方程的梯度与目标函数的梯度结合起来，从而构造出一个新的函数，称为拉格朗日函数。
求解拉格朗日函数的极值点，即可得到原问题的最优解。
二、拉格朗日乘数法的应用
拉格朗日乘数法广泛应用于各种最优化问题，如线性规划、非线性规划、动态规划等。
在实际问题中，我们通常需要解决带有约束条件的优化问题，例如在给定资源限制下最大化利润、在满足特定条件下最小化成本等。
这些问题可以借助拉格朗日乘数法来求解。
三、解方程技巧
在运用拉格朗日乘数法解方程时，我们需要遵循以下步骤：
1.构造拉格朗日函数：将目标函数和约束条件带入拉格朗日函数的定义式，得到拉格朗日函数。
2.求导：对拉格朗日函数分别对 x 和 y 求一阶偏导数，并令其等于零，得到方程组。
3.解方程组：求解方程组，得到极值点。
4.判断极值性：通过二阶导数检验或梯度检验，判断极值点是极大值、极小值还是鞍点。
5.应用极值点：将极值点代入原目标函数，得到最优解。
四、总结
拉格朗日乘数法是一种强大的数学工具，可以帮助我们在给定约束条件下解决最优化问题。
拉格朗日乘数法解方程技巧
拉格朗日乘数法解方程技巧（最新版3篇）目录（篇1）I.引言A.方程求解的重要性B.拉格朗日乘数法的基本原理II.拉格朗日乘数法原理A.拉格朗日函数的概念B.方程的等式约束条件C.拉格朗日乘数的定义III.解方程步骤A.求解拉格朗日函数的最大值B.解出拉格朗日乘数C.解出方程的其他未知数IV.应用示例A.简单的线性方程B.非线性方程的求解C.约束条件下的优化问题正文（篇1）拉格朗日乘数法是一种常用的数学方法，用于解决具有等式和不等式约束条件的优化问题。
这种方法基于拉格朗日函数的基本原理，通过最大化或最小化拉格朗日函数来求解方程。
首先，我们定义拉格朗日函数，它是一个关于方程中未知数的函数，以及等式和不等式约束条件的函数。
例如，对于一个具有两个未知数的方程，我们可以定义如下的拉格朗日函数：L(x1, x2, lambda) = f(x1, x2) + g(lambda)其中，f(x1, x2)是关于未知数x1和x2的函数，g(lambda)是关于拉格朗日乘数lambda的函数。
接下来，我们可以通过最大化或最小化拉格朗日函数来求解方程。
为了求解方程，我们需要求解拉格朗日函数的最大值。
我们可以使用微积分的知识来求解这个问题。
首先，我们需要找到拉格朗日函数的导数为零的点，即：f1 + f2 + g = 0其中，f1和f2分别是关于未知数x1和x2的偏导数，g是关于拉格朗日乘数lambda的导数。
这个方程组包含了所有未知数和拉格朗日乘数。
目录（篇2）I.引言A.方程求解的重要性B.拉格朗日乘数法的基本原理II.拉格朗日乘数法步骤A.构造拉格朗日函数B.对方程进行变形C.求解拉格朗日方程D.解得方程的解正文（篇2）方程求解在数学和工程学中具有广泛的应用。
传统的直接求解方法可能因方程的复杂度而变得困难。
在这种情况下，拉格朗日乘数法提供了一种有效的技巧。
拉格朗日乘数法是一种通过构造拉格朗日函数并求解其方程来求解方程的方法。
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法（拉格朗日乘子法）
首先关于φ(x,y)的偏导数：即多元函数对某一变元求导
例如φ(x,y)=
则其对x的偏导数为：=2x+y
其对y的偏导数为：=2y+x
做法：假设限制条件为φ(x,y)=M，目标函数f(x,y)。
则引入新变量使，
则用偏导数方法列出方程：
解出想x、y与，代入目标函数即可得到极值。
那该如何理解：
考虑两个变元的情况，
如上图，当f(x,y)取不同值时，得到一簇曲线，其类似于等高线。
当f(x,y)取不同值时，若f(x,y)和φ(x,y)=M有且只有一个交点时，取得最大值，在该点的法向量共线。
上面的方法就是求这个交点的方法。
原理我也不太清楚。
例题：设x,y为实数，若=1,则2x y的最大值是令f(x,y)= 2x y，φ(x,y)=
F(x,y,)= 2x y+()
求偏导数：=2+(8x+y)=0
=1+(2y+x)=0
两方程联立：可得2x=y，代入方程
解得：y=
则：2x y
令f(x,y)=, φ(x,y)=
F(x,y,)=+()
偏导数：=2x+(8x-5y)
=2y+(8y-5x)
显然易得=时方程成立
解得，==。
拉格朗日乘数法
拉格朗⽇乘数法 拉格朗⽇乘数法是⽤于求条件极值的⽅法。
对于条件极值，通常是将条件⽅程转换为单值函数，再代⼊待求极值的函数中，从⽽将问题转化为⽆条件极值问题进⾏求解。
但是如果条件很复杂不能转换，就要⽤到拉格朗⽇乘数法了。
拉格朗⽇乘数法使⽤条件极值的⼀组必要条件来求出⼀些可能的极值点（不是充要条件，说明求出的不⼀定是极值，还需要验证）。
如寻求函数z =f (x ,y ) 在条件φ(x ,y )=0 下取得极值的必要条件。
如果在(x 0,y 0)下取得z 的极值，则⾸先应该有：φ(x 0,y 0)=0 另外，假定在(x 0,y 0)的某⼀领域内f (x ,y )与φ(x ,y )均有连续的⼀阶偏导数（没有连续导数让导数为0求极值就没有意义了），并且φy (x 0,y 0)≠0。
由隐函数存在定理（对于z =φ(x ,y )若∃φy (x ,y )≠0与φx (x ,y )则d yd x =−φx (x ,y )φy (x ,y )）可知，条件⽅程φ(x ,y )=0在(x 0,y 0)某领域确定具有连续偏导数的函数y =ψ(x )，代⼊z 得：z =f [x ,ψ(x )] 于是这个极值可以直接由⼀个变量x 来确定，由⼀元可导函数取极值必要条件得：d zd xx =x 0=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)d y d x x =x 0=0 即：f x (x 0,y 0)−f y (x 0,y 0)φx (x 0,y 0)φy (x 0,y 0)=0 设f y (x 0,y 0)φy (x 0,y 0)=−λ。
为什么要这么设呢？我觉得是因为它本⾝就是未知的，但⼜不是完全未知，是两个偏导数之商，在这⾥⾯⾸先不容易计算，其次这个偏导数商的条件也没什么⽤，因此就直接设为完全未知的参数λ了。
结合以上可以获得条件极值(x 0,y 0)应该满⾜的必要条件（第⼆⾏式⼦直接代⼊λ可以发现就等于0）：f x (x 0,y 0)+λφx (x 0,y 0)=0f y (x 0,y 0)+λφy (x 0,y 0)=0φ(x 0,y 0)=0 为了⽅便表达，引⼊辅助函数L (x ,y )=f (x ,y )+λφ(x ,y ) 必要条件就变成L x (x 0,y 0)=0L y (x 0,y 0)=0L λ(x 0,y 0)=0 于是通过这个联⽴式求得的(x ,y )就是可能的条件极值点。
拉格朗日数乘法
拉格朗日乘数法专门用来解决带有限制条件的多元函数极值。
我们有连续可导二元函数z=f(x,y)并且有限制条件ϕ(x,y)=0那么我们要求的是z=f(x,y)在该限制条件下的极值。
首先构造函数gg(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y)现在问题变成了类似于我要对g(x,y)求极值，因此就变成了∂g(x,y)∂x=0∂g(x,y)∂y=0∂g(x,y)∂λ=0整理可得{Fx′=fx′(x,y)+λϕx′(x,y)=0Fy′=fy′(x,y)+λϕy′(x,y)=0Fλ′=ϕ(x,y)=0三个方程组联立，就得到了限制条件下的z的极值。
那么问题来了，为什么这种方法是奏效的？推导过程假设我们有函数f(x)，并且存在一个限制函数g(x)=0，我们要找f(x)的最大值。
这里x是D维向量。
x=[x1,x2,...,xD]那么限制方程g(x)=0，就是一个D-1维的限制曲面。
（很好理解吧？自由度少了1）考虑在限制曲面上的点x，以及同样位于这个限制曲面上的另一个临近点x+ϵ。
在x处对这个曲面上的临近点进行泰勒展开，则有g(x+ϵ)≈g(x)+ϵT∇g(x)* 一阶泰勒展开就简单理解为物理学的匀速运动方程，s1=s0+vt* ϵT：就是临近点的微小偏移，并且跟x一样是D维的，之所以有转置符号，是为了和后面的梯度做点乘，记住g是一个数* ∇ g(x)：我是对g(x)作泰勒展开，这个就是一阶导，即梯度那么我们首先应该注意到，g(x)=0，所以显然g(x)=g(x+ϵ)那么显然ϵT∇g(x)≈0在极限条件||ϵ||→0的情况下，我们有ϵT∇g(x)=0也就是说这俩向量垂直。
由于ϵ平行于限制曲面，那么∇g只能正交(垂直)于曲面。
接下来寻找限制曲面的一点x∗，使得f(x)最大。
那么我们假想一下，如果我们找到了这个x∗，在这个平面上f(x)是最大的，那么在这一点上，∇f(x)一定也正交于此限制曲面。
如果这个性质不满足，那么就余地让x∗稍微沿着梯度上升方向再挪那么一点，使得f(x)更大。
多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法
当两种产品产量 为多少时？ 可获得利润最大？ 最大利润是多少？
解： 收益函数是 Rx, y pAx pB y 10x 9y
利润函数是
Lx, y Rx, y Cx, y
(10x 9 y) [400 2x 3y 0.013x2 xy 3y2 ]
（1）B2 AC 0 时具有极值，当 A 0或C 0时 有极大值， 当 A 0或C 0 时有极小值；
（2） B2 AC 0 时没有极值；
（3）B2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值．
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
f x, y 3y2 6y 0 y
x 1
y1
10或
x 3 2 y2 2
得驻点 1,0, 1,2, 3,0, 3,2
（2）求二阶偏导数
f
x
x
x,
y
6
x
6;
f
yy
x,
y
6
y
6;
f
xy
x,
y
f
yx
减去总广告费， 两种方式的广告费共25千元， 怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大
利润是多少？
解
约束条件下的利润函数为
Lx, y S 25,
5
具体利润函数为 L(x, y) 40x 20y 5 x 10 y
拉格朗日乘子法
11.2(b)
z Describe how a wavefunction determines the dynamical properties of a system and how those properties may be perdicted.
z 1. In quantum mechanics all dynamical properties of a physical system have associated with them a corresponding operator. The system itself is described by a wavefunction.
11.1（b）
z Explain why Planck’s introduction of quantization accounted for the properties of black-body radiation
z 1. explain the energy density distribution of the radiation as a function of wavelength, in particular ,the observed drop to zero as λ 0
∂F ∂x1
=
0
=
∂f ∂x1
+ C1
∂y1 ∂x1
+ C2
∂y2 ∂x1
+ LCm
∂ym ∂x1
L
∂F ∂xn=来自0=∂f ∂xn
+ C1
∂y1 ∂xn
+ C2
∂y2 ∂xn
+ LCm
∂ym ∂xn
z 很显然，这n 个方程式已经巧妙地把约束条件融合到求解的要求之中 了。拉格朗日就是这样把约束条件的信息放到了求解进程中了。
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法阅读目录2. 数学实例3. 拉格朗日乘数法的基本形态4. 拉格朗日乘数法与KKT条件拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）之前听数学老师授课的时候就是一知半解，现在越发感觉拉格朗日乘数法应用的广泛性，所以特意抽时间学习了麻省理工学院的在线数学课程。
新学到的知识一定要立刻记录下来，希望对各位有些许帮助。
1. 拉格朗日乘数法的基本思想作为一种优化算法，拉格朗日乘子法主要用于解决约束优化问题，它的基本思想就是通过引入拉格朗日乘子来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题。
拉格朗日乘子背后的数学意义是其为约束方程梯度线性组合中每个向量的系数。
如何将一个含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题？拉格朗日乘数法从数学意义入手，通过引入拉格朗日乘子建立极值条件，对n个变量分别求偏导对应了n个方程，然后加上k个约束条件（对应k个拉格朗日乘子）一起构成包含了（n+k）变量的（n+k）个方程的方程组问题，这样就能根据求方程组的方法对其进行求解。
解决的问题模型为约束优化问题：min/max a function f(x,y,z), where x,y,z are not independent and g(x,y,z)=0.即：min/max f(x,y,z)s.t. g(x,y,z)=02. 数学实例首先，我们先以麻省理工学院数学课程的一个实例来作为介绍拉格朗日乘数法的引子。
麻省理工学院数学课程实例]求双曲线xy=3上离远点最近的点。
解：首先，我们根据问题的描述来提炼出问题对应的数学模型，即：min f(x,y)=x2+y2（两点之间的欧氏距离应该还要进行开方，但是这并不影响最终的结果，所以进行了简化，去掉了平方）s.t. xy=3.根据上式我们可以知道这是一个典型的约束优化问题，其实我们在解这个问题时最简单的解法就是通过约束条件将其中的一个变量用另外一个变量进行替换，然后代入优化的函数就可以求出极值。
拉格朗日未定乘数法
拉格朗日未定乘数法拉格朗日未定乘数法（Lagrange Multiplier Method）是应用于数学优化问题的一种求解方法。
它由意大利数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日在18世纪提出，并被广泛应用于经济学、工程学、物理学等领域。
本文将介绍拉格朗日未定乘数法的基本原理和应用范围。
首先，我们来了解一下为什么需要拉格朗日未定乘数法。
在数学优化问题中，我们常常需要在一定的约束条件下寻找目标函数的最大值或最小值。
而拉格朗日未定乘数法可以帮助我们处理带有约束条件的优化问题。
它通过引入未定乘子（Lagrange multiplier）将带有约束的优化问题转化为无约束的优化问题，从而简化解题过程。
其次，让我们来了解拉格朗日未定乘数法的基本原理。
假设我们有一个优化问题，其中的目标函数为f(x1,x2,...,xn)，约束条件为g(x1,x2,...,xn)=0。
我们可以引入一个未定乘子λ，构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λg(x1,x2,...,xn)。
然后，我们对拉格朗日函数分别对自变量和未定乘子求导，并令导数为零，得到一组方程。
通过求解这组方程，我们可以得到目标函数在约束条件下的最优解。
在实际应用中，拉格朗日未定乘数法可以解决各种类型的优化问题。
例如，在经济学中，我们可以利用拉格朗日未定乘数法求解限制预算下的最优消费组合问题；在工程学中，我们可以利用它来优化设计参数，满足一定的约束条件；在物理学中，我们可以利用它来求解约束系统的最小动作路径等。
总结起来，拉格朗日未定乘数法是一种常用的数学优化求解方法，它通过引入未定乘子将带有约束条件的优化问题转化为无约束的优化问题，从而简化求解过程。
它在经济学、工程学、物理学等领域有着广泛的应用。
通过掌握和应用拉格朗日未定乘数法，我们可以更加高效地解决各种优化问题。
希望通过本文的介绍，读者能够对拉格朗日未定乘数法有所了解，并在实际问题中灵活运用。
拉格朗日最小二乘法
拉格朗日最小二乘法
嘿，同学！今天咱们来聊聊拉格朗日最小二乘法。
这玩意儿啊，简单说就是一种数学方法，用来找到一组数据的最佳拟合直线或者曲线啥的。
比如说，咱们有一堆数据点，想找一条线或者一个曲线，让这些点到这条线或者曲线的距离的平方和最小，这就是拉格朗日最小二乘法干的事儿。
拉格朗日最小二乘法咋用
那这方法咋用呢？比如说，咱有一堆实验数据，想找出它们的规律，就可以用这个办法。
先设一个数学模型，像直线方程或者曲线方程，然后根据最小二乘法的原理，列出一个方程组，解这个方程组就能得到模型里的参数啦。
拉格朗日最小二乘法的重要性
你可别小看这拉格朗日最小二乘法，它在好多领域都超有用！像统计学、机器学习、物理实验数据分析啥的，都离不开它。
它能帮咱们从一堆杂乱的数据里找出有用的信息和规律，是不是很厉害？
拉格朗日最小二乘法是个很牛的数学工具，学会了它，能让咱们在处理数据的时候更得心应手哟！。
等式约束优化问题的求解方法
等式约束优化问题的求解方法等式约束优化问题是一类重要的数学问题。
它的求解方法在多个领域中得到广泛应用，如机器学习、运筹学、经济学等。
本文将介绍几种常见的求解等式约束优化问题的方法。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解等式约束优化问题的经典方法之一。
设等式约束为f(x)=0，目标函数为g(x)，则拉格朗日函数为：L(x,λ)=g(x)+λf(x)其中，λ称为拉格朗日乘子。
根据最优化问题的求解原理，若x*为最优解，则存在一个λ*使得L(x*,λ*)取最小值。
我们可以通过对L(x,λ)求偏导数，然后令它们等于0，得到x*和λ*的值。
具体来说，求解过程如下：1. 求g(x)的梯度，令其等于λf(x)的梯度，即：∇g(x*)=λ*∇f(x*)2. 求f(x)的值，令其等于0，即：f(x*)=03. 代入公式，解出λ*。
4. 代入公式，解出x*。
值得注意的是，拉格朗日乘数法求解等式约束优化问题的前提是强可行性条件成立，即在f(x)=0的前提下，g(x)的最小值存在。
二、牛顿法牛顿法也是一种常用的求解等式约束优化问题的方法。
它的思路是利用二阶导数信息迭代地逼近最优解。
具体来说，求解过程如下：1. 初始化x0。
2. 计算g(x)和f(x)的一阶和二阶导数。
3. 利用二阶导数信息，优化一个二次模型，即：min{g(x)+∇g(x0)(x-x0)+1/2(x-x0)^TH(x-x0)} s.t. f(x)=0其中H是目标函数g(x)的海塞矩阵。
4. 求解约束最小二乘问题的解x*，即为下一轮的迭代结果。
5. 判断是否满足终止条件。
若满足，则停止迭代，输出结果。
否则，返回第2步。
牛顿法比拉格朗日乘数法更加高效，但是它不保证每次迭代都能收敛到最优解。
三、序列二次规划算法序列二次规划算法是一种求解等式约束优化问题的黑箱算法。
其主要思路是将目标函数g(x)的二次型模型转化为约束最小二乘问题。
这个约束最小二乘问题可以通过牛顿法来求解。
拉格朗日乘数法解方程技巧
拉格朗日乘数法解方程技巧【原创实用版3篇】目录（篇1）一、拉格朗日乘数法简介二、拉格朗日乘数法的应用三、解方程技巧概述四、拉格朗日乘数法解方程的具体步骤五、拉格朗日乘数法解方程的案例分析六、总结与展望正文（篇1）一、拉格朗日乘数法简介拉格朗日乘数法，以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名，是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。
在数学最优问题中，拉格朗日乘数法将一个有 n 个变量与 k 个约束条件的最优化问题转换为一个有 n+k 个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。
这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。
二、拉格朗日乘数法的应用拉格朗日乘数法广泛应用于物理学、经济学、工程学等领域的最优化问题。
例如，在力学问题中，拉格朗日乘数法可以用于求解受约束的力学系统的平衡状态；在经济学中，拉格朗日乘数法可以用于求解最大化效用或利润的问题。
三、解方程技巧概述解方程技巧包括：观察法、代入法、消元法、因式分解法等。
观察法是根据方程的特点直接求解；代入法是将一个变量表示成另一个变量的函数，然后代入方程求解；消元法是通过加减消元、乘除消元等操作简化方程组；因式分解法是将方程分解成乘积的形式求解。
四、拉格朗日乘数法解方程的具体步骤拉格朗日乘数法解方程的具体步骤如下：1.构建拉格朗日函数：将原始问题转化为一个带有拉格朗日乘数的函数，该函数是原始目标函数和约束条件的线性组合。
2.求导：对拉格朗日函数求一阶偏导数，并令其等于零，得到一个或多个方程。
3.解方程：求解上述方程组，得到拉格朗日乘数法的解。
4.判断解的合法性：判断求得的解是否满足原始问题的约束条件，如果满足，则该解为有效解；如果不满足，则需要重新求解。
五、拉格朗日乘数法解方程的案例分析假设有一个二元函数 z(x,y)，附加条件为 x^2 + y^2 = 1，要求求解该函数在附加条件下的极值点。
拉格朗日乘数法
拉格朗⽇乘数法拉格朗⽇乘数法通常我们求函数极值的时候，通常我们会求导，并求出导函数等于0时变量的取值，例如求⼀下函数的极值：f(x)=x2+x求导得：f′(x)=2x+1使f′(x)=0f′(x)=2x+1=0x=−1 2所以当x=−12时，f(x)有最值。
但如果在约束条件下求最值呢？例如在双曲线xy=3上找出距离原点最近的点。
⽬标函数为f(x,y)=√x2+y2，约束条件为g(x,y)=xy=3注意：这两个函数的变量之间是不独⽴的，也就是说他们之间存在某种关系，从⽽限制了各变量的取值，例如这⾥的函数g=3就限制了各变量的取值我们现在要求f的最⼩值，因为x2+y2恒⾮负，所以我们可以求f(x,y)=x2+y2的最⼩值。
当f取不同的值时，与g会有不同的交点，或者没有交点。
当f与g相切时，f就能取最⼩值。
看其中⼀个交点因为f与g相切，所以他们的法向量是互相平⾏的，在这些法向量中，其中⼀个就是函数在该点的梯度。
在这⾥，蓝⾊为f在该点的梯度，红⾊为g在该点的梯度。
∵\therefore \triangledown f= \lambda \triangledown g\therefore \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y}即2x=\lambda y2y=\lambda x结合约束条件xy=3解得(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}),(\sqrt{3}, \sqrt{3})(\lambda可以为负，只是这⾥正好\lambda为负是⽆解⽽已)这种⽅法具有⼀般性吗？证明：举三个变量的例⼦。
在g=c这⼀⽔平集上（我不知道为什么称为⽔平集，因为它并不⽔平，只是表⽰g=c这⼀曲⾯）的⼀动点P，当P保持横坐标不变时，\frac{\partial f}{\partial x}也是不变的，那么当\frac{\partial f}{\partial y}=0时，该点就是这⼀曲线上的最值，如果我们把极值连成⼀曲线，再求导数（即\frac{\partial f}{\partial x}）为0的点，不就是曲⾯的极值吗？当然，这⾥只是简单地讲了x,y两个⽅向，动点P在曲⾯运动时可以取⽆数个⽅向（就像零向量有⽆数个⽅向），这些⽅向都与曲⾯相切(切平⾯)，当P任⼀⽅向(\widehat{u})的偏导数都为0时，P就是我们要求的点。
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,)L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的偏导数，并使之为0.即联立方程组：00L x L yL λ⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩由这个方程组解出,x y 及λ，这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.例1. 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三条棱长分别为,,x y z ，则问题转化为求在条件2(,,)2220x y z xy yz xz a ϕ=++−=下，函数(0,0,0)V xyz x y z =>>>的最大值.作拉格朗日函数2(,,)(222)L x y z xyz xy yz xz a λ=+++−对,,x y z 和λ分别求偏导数，有22()02()02()02220x y z L yz y z L xz x z L xy x y L xy yz xz a λλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++−=⎩ 解得6x y z a ===这是唯一可能的极值点.所以，表面积为2a 的长方体中，体积最大的长方体的体积为336a . 例2. (2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)曲线22231x xy y −−=上的点到坐标原点的距离的最小值为 .解 作拉格朗日函数2222(,)(231)L x y x y x xy y λ=++−−−对,,x y λ分别求偏导数并令其等于0，有22222022602310x y L x x y L y x y L x xy y λλλλλ⎧=+−=⎪=−−=⎨⎪=−−−=⎩ 由前两个式子可以得到，3x y x y x y−=+，即2240x xy y +−=，再因式分解，得[(2][(2]0x y x y ++=即(2x y =−+①或2)x y =−②①式代入条件222310x xy y −−−=，有22221(104y x y y +=⇒+=+= ②式代入条件，有20y =< 这显然不可能，故(,)f x y 有唯一可能的极值点00(,)x y ，且满足220014x y += 故曲线22231x xy y −−=.。
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拉格朗日乘数法§4 条件极值(一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值．(二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法．基本要求：(1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．(2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握．(2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题．(3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生．在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为«Skip Record If...»的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为«Skip Record If...»，则水箱容积«Skip Record If...»焊制水箱用去的钢板面积为«Skip Record If...»这实际上是求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»限制下的最小值问题。
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件«Skip Record If...»限制下，求函数«Skip Record If...»的极值条件极值与无条件极值的区别条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求马鞍面«Skip Record If...»被平面«Skip Record If...»平面所截的曲线上的最低点。
请看这个问题的几何图形（x31马鞍面）从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面«Skip Record If...»平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。
二. 条件极值点的必要条件设在约束条件«Skip Record If...»之下求函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»的极值 . 当满足约束条件的点«Skip Record If...»是函数«Skip Record If...»的条件极值点 , 且在该点函数«Skip Record If...»满足隐函数存在条件时, 由方程«Skip Record If...»决定隐函数«Skip Record If...», 于是点«Skip Record If...»就是一元函数«Skip Record If...»的极限点 , 有«Skip Record If...».代入«Skip Record If...», 就有«Skip Record If...»,( 以下«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»均表示相应偏导数在点«Skip Record If...»的值 . )即«Skip Record If...»«Skip Record If...»—«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» , 亦即 («Skip Record If...» , «Skip Record If...» ) «Skip Record If...»«Skip Record If...» ,«Skip RecordIf...»)«Skip Record If...» .可见向量(«Skip Record If...» , «Skip Record If...» )与向量«Skip Record If...»«Skip Record If...» , «Skip Record If...»)正交. 注意到向量«Skip RecordIf...»«Skip Record If...» , «Skip Record If...»)也与向量«Skip Record If...»«Skip Record If...» , «Skip Record If...»)正交, 即得向量(«Skip Record If...» , «Skip Record If...» )与向量«Skip Record If...»«Skip Record If...» , «Skip Record If...»)线性相关, 即存在实数«Skip Record If...», 使(«Skip Record If...»,«Skip Record If...» ) + «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»,«Skip Record If...»)«Skip Record If...».亦即«Skip Record If...»Lagrange乘数法 :由上述讨论可见 , 函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»在约束条件«Skip Record If...»之下的条件极值点应是方程组«Skip Record If...»«Skip Record If...»的解.引进所谓Lagrange函数«Skip Record If...», ( 称其中的实数«Skip Record If...»为Lagrange乘数 )则上述方程组即为方程组«Skip Record If...»因此，解决条件极值通常有两种方法1）直接的方法是从方程组（１）«Skip Record If...»中解出«Skip Record If...»并将其表示为«Skip Record If...»代入«Skip Record If...»消去«Skip Record If...»成为变量为«Skip Record If...»的函数«Skip Record If...»将问题化为函数«Skip Record If...»的无条件极值问题；2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出«Skip Record If...»来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。
通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程组（1）的困难，将求«Skip Record If...»的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数«Skip Record If...»的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求的极值的。
一. 用Lagrange乘数法解应用问题举例 :例1 抛物面«Skip Record If...»被平面«Skip RecordIf...»截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离.例3求函数«Skip Record If...»在条件«SkipRecord If...»下的极小值. 并证明不等式«Skip Record If...», 其中«Skip Record If...»为任意正常数 .现在就以上面水箱设计为例，看一看拉格朗日乘数法求解条件极值的过程解：这个问题的实质是求函数«Skip Record If...»在条件«Skip Record If...»下的最小值问题，应用拉格朗日乘法，令L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)';dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')dLdz=diff(L,'z')dLdv=diff(L,'v')dLdx =2*z+y+v*y*zdLdy =2*z+x+v*x*zdLdz =2*x+2*y+v*x*ydLdv =x*y*z-V令Ｌ的各偏导等零，解方程组求稳定点s1='2*z+y+v*y*z';s2='2*z+x+v*x*z';s3='2*x+2*y+v*x*y';s4='x*y*z-V';[v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4)v =[-2*2^(2/3)/V^(1/3)][ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V] [ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V]x0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)]y0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)]z0 =[ 1/2*2^(1/3)*V^(1/3)]这里显然只有实数解才有意义，所以Ｌ的稳定点只有下面一个«Skip Record If...»又已知所求的问题确实存在最小值，从而解出的稳定点就是最小值点，即水箱长宽与为高的２倍时用钢板最省。