拉格朗日乘数法

设 L( x, y, z, ) 2(xy yz xz) (xyz V )
L x 2( y z) yz 0,
并令 L y 2( x z) L z 2( x y)
xz 0, 解得 x y z 3 V
xy 0,
L xyz V 0,
故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体 .
3.求空间一点 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 Ax By Cz D 0 的最短距离 .
D)
.
所以
C. 2
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 (z z0 ) 2
1 2 ( A2 B 2 C 2 ) 4
Ax0 By0 Cz0 D A2 B 2 C 2
故d
Ax0 By0 Cz0 D
为所求最短距离 .
A2 B 2 C 2
4.证明 : 在 n 个正数的和为定值条件 x1 x 2
x n a 下 ,这 n 个正数的乘积 x1x2 x n 的
解 : 由 题 意 , 相 当 于 求 f (x, y, z) d 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 在 条 件
Ax By Cz D 0 下的最小值问题 .由几何学知 ,空间定点到平面的最短距离存在 .
设 L( x, y, z, ) f ( x, y, z) ( Ax By Cz D ) 且
k1
n
于是， f 在条件
x
2 k
k1
n
1
n
a 2 下的最大值为 a(
a
2 k
)
2
.
故
f
在条件
x
2 k
k1
k1
1 下的最大值为
0
sup a
n
1
( 1k
1
ak2 ) 2
n
1
( ak2 ) 2.
k1
（注此题也可用柯西不等式，方法更简。 ） 6．求函数
f (x1, x 2 , x n ) x12 x22
xn2
xn , )
n
ak xk
k1
n
(
x
2 k
a 2 )( 0
a
1)
k1
L xk
令
解得
xk
ak 2 xk 0(k 1,2, , n)
n
L
xk a2 0
，
k1
n
1
ak a /( ak ) 2 )(k 1,2, , n),
k1
此时，有
1
(
n
1
ak2 ) 2 .
2a k 1
n
ak xk
k1
n
1
a( ak2 ) 2 .
Lx1 x1 x2 xn x1
0,
Lx2 x1 x2 xn x2
0,
解得 x1 x2
Lxn x1x2 xn xn
0,
L x1 x2
xn a 0, (4)
由题意知 ,最大值在唯一稳定点取得 .
所以 f 最大
aa
a an
f( , , nn
,) n
nn .
a xn
n
故 n x1 x2
xn
an
n
nn
a x1 x2
x1
x
6
2 x1
x
6
6
1
1
y
,y
,y
6
6
2 ,y
6
2
1
1
z
z
z
z
6
6
6
又 f (x, y, z) xyz 在有界闭集
1x 6
1 ,y
6
2 z
6
1x 6
2 y
6
1 z
6
1
6 2
.
6 1
6
{( x, y, z) | x 2 y 2 z2 1, x y z 0}
上连续 ,故有最值 .因此 ,极小值为
f( 1 , 1 , 2 ) f ( 2 , 1 , 1 )
n
n
xn
因此 n x1 x2
xn
x1 x2
xn .
n
5.设 a1 , a 2, a n 为已知的 n 个正数，求
n
f ( x1, x2 , xn )
ak xk
k1
在限制条件
x12 x22
xn2 1
下的最大值。
n
解
先求 f 在条件
xi2 a 2 (0 a 1) 下的条件最大值。为此，设
i1
L(x1, x2 ,
.故函数必在唯一稳定点处
Lx 1 Ly 1
yzt 0, xzt 0,
Lz 1 xyt 0, Lt 1 xyz 0, L xyzt c4 0,
解方程组得 x y z t c. 由于当 n 个正数的积一定时 ,其和必有最小值 ,故 f 一定存在唯
一稳定点 (c, c ,c, c)取得最小值也是极小值 ,所以极小值 f(c, c ,c, c)=4c .
Lx 2(x x0 ) A 0, (1) L y 2( y y0 ) B 0, (2) Lz 2(z z0) C 0, (3) L Ax By Cz D 0, (4)
由(1),(2),(3) 得 x x0
A , y y0
B , z z0
2
2
代入 (4) 解得
2( Ax0 By0 Cz0 A2 B2 C 2
1.
k1
解 (1) 设 L( x, y, ) x 2 y2 ( x y 1) 对 L 求偏导数 ,并令它们都等于 0,则有
Lx 2x
0,
Ly 2y
0,
Lz x y 1 0.
解之得 x y 1 ,
1.由于当 x
,y
2
11 取得极小值 , 极小值 f ( , )
1.
22 2
时, f
(2) 设 L (x, y, z, t, ) x y z t ( xyzt c 4 ) 且
a
2 k
)
1(k
1,2,
, n),
k1
依题意，相当于求 n 维空间中原点到超平面
n
akxk
k1
1 的最短距离。由几何知，最短距离
存在，而稳定点只有一个，故一定在唯一稳定点处取得最小值，故
f 最小
n
n
f [(
a
2 k
)
1 a1 ,(
a
2 k
)
1a2,
k1
k1
n
,(
a
2 k
)
1an ]
k1
n
(
a
2 k
)
最大值为
an nn
.并由 此 结果 推出
n 个正数的几何中值不大于算术中值
n x1 x2 x n
x1 x 2
xn .
n
证: 设 f ( x1, x 2, x n ) x1x 2 x n ,
L( x1 , x2 , xn , ) f (x1, x2 , xn ) ( x1 x2
xn a) , ( x1, x2 , , xn 0) ,
(3) 设 L( x, y, z, ,u) xyz ( x 2 y2 z2 1) u( x y z) ,并令
Lx yz 2 x u 0, L y xz 2 y u 0, Lz xy 2 z u 0, L x 2 y 2 z 2 1 0, Lu x y z 0,
解方程组得 x, y, z的六组值为 :
xyz ，限制条件为 2( xy
yz
xz)
2
a。
设 L( x, y, z, ) xyz [ 2(xy yz xz) a 2 ]
L x yz 2 ( y z) 0,
L y xz 2 ( x z) 0,
并令
L z xy 2 ( x y) 0,
L 2(xy yz xz) a 2 0,
解得 x y z
a
。
6
66 6
6 66
极大值为
1, 36
1 12
211
1
f(
,
, ) f( ,
,)
.
6 66
6 6 6 36
2.(1) 求表面积一定而体积最大的长方体； （2）求体积一定而表面积最小的长方体。
解：（ 1）设长方体的长、宽、高分别为 x, y, z ，表面积为 a 2 (a 0) ，
则体积为 f ( x, y, z)
因此求长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值 故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体 .
a aa
a3
f( , , )
。
6 6 6 66
（2）设长方体的长、 宽、高分别为 x, y, z，体积为 V ,则表面积 f ( x, y, z) 2( xy yz xz) ,
限制条件 : xyz V .
在条件
n
ak xk
k1
1(a k
0, k 1,2, , n)
下的最小值。 解设
L ( x1, x2 , xn , ) f (x1, x2, xn )
n
( ak x k 1 ),
k1
Lxk 2xk ak 0(k 1,2, , n)
令
n
, 解得
L
ak xk 1 0k1nxk(
a
2 k
)
1ak ,
k1
n
2(
1. 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：
（1） f ( x, y) x2 y 2 ,若 x y 1 0;
（2） f ( x, y, z,t ) x y z t, 若 xyzt c4 （其中 x, y, z,t , 0, c 0 ）；