拉格朗日条件极值

拉格朗日乘子法的简单证明(不知道对不对)

应用例题：已知有一个体积为a 的铁块。把这个铁块打造成一个长方体，求其表面积s 的极小值。 解:依据题意有如下关系式

)1(a xyz = )2()(2222z y x s ++=

构造函数M 如下：

)3()

()(2),,,(222a xyz c z y x c z y x M -+++=

只要求M 函数的极值，即为s 的极值。 )4(04=+=∂∂cyz x x

M )5(04=+=∂∂cxz y y M )6(04=+=∂∂cxy z z M )7(0=-=∂∂a xyz c M

以上四个方程可解出四个未知数x ，y ，z ，c 。将(7)带入(4)，(5)，(6)后得：

)8(4442

22z y x ac ===-

可得: )9(431

a z y x ac

====- )01(431

-a c -=

此时，面积s 为：

)9(632a

s =

证明过程：拉格朗日乘子法，拉格朗日条件极值。

已知，自变量x 和y 符合关系式(1)，求表达式(2)的极值。

)1(0),(==y x F z )2(),(y x f )3(?)(y =x

解:若可以从(1)式中求出y 的表达式(3)，则可以把(3)式带入(2)式。此时，就变成求单个自变量的函数极值问题，即为(4)式。

)4(0))(,())(,(=+=dx

dy x y x f x y x f dx dz y x

对(1)进行全微分，可得(5)式,进而得到(6)式。 )6()5(0),(Y x

y x F F dx dy dy F dx F y x dF -==+=

将(6)式带入(4)式可得(7)式。

)7(0))(,())(,())(,())(,(=-=-=x y

y x y x y x F F x y x f x y x f F F x y x f x y x f dx dz

)8(),()

,(y x F y x f y y -=λ 设极值点坐标为(x 0,y 0),则此时将极值点坐标带入(7)，并采用(8)式记号后得(9)式 )9(0),(),()

,(),(),(),(000000000000=-=-=y x F y x f y x F y x F y x f y x f dx dz x x y x y x λ

)9(0),(),(0000=-=y x F y x f dx dz x x λ 反过来，我们假设存在(10)式，则将极值点的坐标(x 0,y 0)带入后可得(10)式等于0。 )10(0?),(),(==-=y x F y x f dx dz x x λ

依据(8)式定义知当坐标(x 0,y 0)确定后λ(x 0,y 0)为一常数(但此前λ(x,y)为变数)。 类似可得(11)式

)11(0),(),(0000=-=y x F y x f dy dz y y η

反过来，我们假设存在(12)式，则将极值点的坐标(x 0,y 0)带入后可得(12)式等于0。 )12(0?),(),(==-=y x F y x f dy

dz y y η

)31(),()

,(y x F y x f x x -=η 对于符合限制条件的自变量，在极值点处有(14)式成立,进而可得(15)式 )15()14(0

),(Y x

y x f f dx dy dy f dx f y x df -==+=

在极值点处(6)式和(15)式同时成立。对比(6)式和(15)式后得出(16)式。 )16(Y x

Y x f f F F -=-

因此，(6)式中的λ和(13)式中η相等。

以上事实提示我们可以预先构造出如下函数

)71(),(),(),,(y x F y x f y x g μλ+= 通过以上分析可知，在g 函数的极值(x 0,y 0)处，则必有以下三式同时成立 )81(0=∂∂+∂∂=∂∂x

F x f x g μ )91(0=∂∂+∂∂=∂∂y

F y f y g μ )20(0),(==∂∂y x F g μ

在极值点的时候，以上三个式子联立可以求得x 0,y 0,μ