8-7条件极值与拉格朗日乘数法
多条件极值 拉格朗日乘数法推导
多条件极值拉格朗日乘数法推导下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!多条件极值问题的拉格朗日乘数法推导1. 引言在数学和经济学等领域，我们经常会遇到多条件下求取函数的极值问题。
拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法是一种优化问题的求解方法，它的原理是将约束条件引入目标函数中，通过求解构造出的拉格朗日函数的极值来得到最优解。
具体来说，假设我们要求解一个优化问题，其中有若干个约束条件。
我们可以将这些约束条件用等式或不等式的形式表示出来，然后将它们加入目标函数中，构造出一个新的函数，称为拉格朗日函数。
拉格朗日函数的形式为：
L(x, λ) = f(x) + λg(x)
其中，x 是优化问题的决策变量，f(x) 是目标函数，g(x) 是约束条件，λ是拉格朗日乘数。
接下来，我们需要求解拉格朗日函数的极值。
为了找到极值点，我们需要对L(x, λ) 分别对x 和λ求偏导数，并令它们等于0。
也就是说，我们需要求解以下方程组：
∂L/∂x = 0
∂L/∂λ= 0
求解这个方程组可以得到x 和λ的值，从而得到目标函数的最优解。
需要注意
的是，拉格朗日乘数λ的值是由约束条件决定的，它的物理意义是在满足约束条件的前提下，目标函数的变化率。
拉格朗日乘数法的优点在于它可以将约束条件转化为目标函数中的一部分，从而使得求解问题更加简单。
此外，它还可以应用于多个约束条件的情况，而不需要对每个约束条件都进行单独的求解。
拉格朗日乘子法
拉格朗⽇乘⼦法拉格朗⽇乘数法（Lagrange multiplier）有很直观的⼏何意义。
举个2维的例⼦来说明：假设有⾃变量x和y，给定约束条件g(x,y)=c，要求f(x,y)在约束g下的极值。
我们可以画出f的等⾼线图，如下图。
此时，约束g=c由于只有⼀个⾃由度，因此也是图中的⼀条曲线（红⾊曲线所⽰）。
显然地，当约束曲线g=c 与某⼀条等⾼线f=d1相切时，函数f取得极值。
两曲线相切等价于两曲线在切点处拥有共线的法向量。
因此可得函数f(x,y)与g(x,y)在切点处的梯度（gradient）成正⽐。
于是我们便可以列出⽅程组求解切点的坐标(x,y)，进⽽得到函数f的极值。
想法就是：能够碰到极⼤极⼩值点的必要条件是：梯度场与切空间垂直，也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量，否则在切空间⽅向有分量，在流形上沿分量⽅向⾛，函数值会增加，沿反⽅向⾛，函数值会减少，不可能为局部极⼩或者极⼤值点。
⼀.⼀个基本的例⼦：假设你⽣活在三维欧⽒空间中，z⽅向的坐标数值上代表海拔⾼度。
如果你会飞，那么anyway，你想飞多⾼飞多⾼，所以你的海拔可以任意⾼也可以任意⼩，根本就没有最⼤值。
假定你是⼀个普通⼈类，你在⼀座⼭上，你的⽬标是爬到⼭顶，也就是说你希望⾃⼰的海拔⾜够⾼：当你真正到达⼭腰时，很容易“只缘⾝在此⼭中，不识此⼭真⾯⽬”，这时候如何判断是真的在往上爬呢，还是在往下⾛呢？在⾁眼所能看见的⼩范围内，你可以通过周边的局部地形来判断，假设它⼤概是这样：你就知道应该往⾼处（⼤概为红箭头⽅向）⾛，⽽不是绿箭头⽅向。
当然不⼀定⼀直沿这个⽅向直线式上升，可能还需要⾛到某个地⽅，再次做⼀下这种局部的考察，调整⼀下⽅向，保证⾃⼰能向⾼处⾛。
不过，什么是“⾼”的⼀边？这个概念究竟是如何形成的？我们知道，海拔，我们希望能够找到⼭⾯上的海拔最⾼点（⼭顶）。
梯度关于梯度⼀个很⾃然的结论就是：沿梯度⽅向是f增长最快的⽅向，反⽅向是下降最快的⽅向。
条件极值拉格朗日乘数法
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
法平面方程：
Fy Gy
Fz Gz
x
x0
Fz Gz
Fx Gx
y
y0
Fx Gx
Fy Gy
z
z0
0
例2、求曲线 x2 y2 z2 6 , x y z 0 在点
（ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。
解：
2 y 2z
T
1
1
即：
2z 2x ,
11
2x 2y
, 1
1
1, 2 ,1
T
1
,
y
' t
2t
,
z
' t
3t 2
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
T
1
,
2
,
3
切线方程：
x1 y1 z1
1
2
3
法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0
即： x + 2 y + 3 z = 6
2
y x
:
z
x
M0 x0 , y0 , z0
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 , 曲面在M处的法线方程为
浅谈拉格朗日乘数法在条件极值的应用
浅谈拉格朗日乘数法在条件极值的应用
作者：李强
来源：《现代职业教育·高职高专》2018年第07期
[摘要] 求多元函数最值问题和一元函数很类似，一元函数是通过求导数来判断函数的走势，找出极值，进一步找出最值，类似的，多元函数的最值也是通过求多元函数的极值，进一步找出最值。
以二元函数为例，先来讨论多元函数的无条件极值问题，再考虑有附加条件的极值，无条件极值问题往往讨论的是其极值点的搜索范围是目标函数的自然定义域，但是在生产实际中还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制，例如，一个直角三角形斜边长为l，自变量为两个直角边长x，y，现在要求直角三角形的周长最大值为多少，所以自变量x，y之间还必须满足x2+y2=l2这个附加条件。
像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值，无附加条件的极值为无条件极值。
考虑到将条件极值化为无条件极值并不是很容易，更多的条件极值还无法变成无条件极值，所以要寻找一种“万能”的求条件极值的方法，该方法可以直接寻求条件值的方法，可以不必先把条件极值化为无条件极值的问题，这种方法就是拉格朗日乘数法。
[关键词] 多元函数；条件极值；拉格朗日条件极值；数学建模
[中图分类号] O172 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）19-0110-02。
含边界在内的一般极值的必要条件与拉格朗日乘数法
第27卷第1期大学数学V ol.27,l.1 2011年2月COLLEGE M AT H EM AT ICS Feb.2011含边界在内的一般极值的必要条件与拉格朗日乘数法张新建,朱健民(国防科技大学理学院数学与系统科学系,长沙410073)[摘要]讨论包括定义域边界点在内的极值,称为一般极值.对可导的一元和多元函数给出了一般极值点的必要条件,这些必要条件与经典极值的必要条件是相容的.还利用一般极值的必要条件导出了条件极值的拉格朗日乘数法.[关键词]一般极值;必要条件;拉格朗日乘数法[中图分类号]O13[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2011)01-0179-03在高等数学的教材中[1,2]都规定函数的极值点(无论是一元还是多元函数)必须是函数定义域的内点,即不能是边界点,以下称这种极值点为经典极值点.这样的规定是为了方便地建立极值点的判断条件,例如,当函数可导时,则函数在某点处取(经典)极值的必要条件是函数在该点处的一阶导数等于零.这一必要条件成立就是以极值点必须是定义域内点为前提的.众所周知,若函数在定义域的边界上某点取极值,即使函数在该点(单侧)可导,导数也不一定为零.本文讨论包括定义域边界点在内的极值,称为一般极值.我们对可导函数给出了取一般极值的必要条件,这些必要条件与经典极值的必要条件是相容的.文中还利用一般极值的必要条件导出了条件极值的拉格朗日乘数法.1一元函数的一般极值定义1设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,x0I[a,b],若存在D>0,使得当x I N0(x0,D)H[a,b]时,恒有f(x)>f(x0),则称x0为f(x)在区间[a,b]上的一般极小值点,称f(x0)为f(x)在[a,b]上的一般极小值.这里N0(x0,D)={x:0<x-x0<D}.类似地定义一般极大值(点).一般极小值(点)和一般极大值(点)统称为一般极值(点).在定义1中,当x0是区间[a,b]的内点时,就是通常的极值点,即经典极值点;当x0是区间[a,b]的端点时,称为边界极值点.若设f c(x0)存在,则我们知道:当x0为经典极值点时,f c(x0)=0;当x0为边界极值点时,则要分情况.例如若x0为极小值点,则当x0为左端点时,f c(x0)\0;x0为右端点时, f c(x0)[0.下面的定理将给出统一描述.定理1设x0是f(x)在区间[a,b]上的一般极小值点,且f c(x0)存在,则存在D>0,当0<h<D 且x0+h I[a,b]时,恒有f c(x0)h\0.(1)证由一般极小值点的定义知,存在G>0,当0<|h|<G且x0+h I[a,b]时,有f(x0+h)-f(x0)>0.(2)又因为f(x)在x0处可导,则存在A(h)满足A(h)y0(h y0),使f(x0+h)-f(x0)=[f c(x0)+A(h)]h.(3)若f c(x0)=0,则(1)式显然成立.当f c(x0)X0时,存在0<D<G,当h<D时,[f c(x0)+A(h)]与[收稿日期]2008-03-27;[修改日期]2009-02-27180大学数学第27卷f c(x0)同号,再由(2)式知f c(x0)h>0(当h<D且x0+h I[a,b]时).综上知定理成立.根据定理1,当经典极小值点x0是区间[a,b]内点时,则(1)式中的h可正可负,从而f c(x0)=0;当x0是[a,b]的端点时,例如x0=a,则(1)式中的h只能为正,从而f c(x0)\0.同理,当x0=b时, f c(x0)[0.因此,定理1包含极值点的有关经典结果.定理1中的x0若为f(x)的一般极大值点,则相应于(1)式有f c(x0)h[0.2多元函数的一般极值以二元函数为例,以下的平面集合D在未声明时是指开或闭的连通集.定义2设二元函数f(x,y)在平面集合D上有定义,P0(x0,y0)I D.称P0是f(x,y)在D上的一般极小值点是指:存在D>0,当P(x,y)I N0(P0,D)H D时,有f(x,y)>f(x0,y0),其中N0(P0,D)是P0的空心D-圆形邻域.称f(x0,y0)为f(x,y)在D上的一般极小值.定义3设P0(x0,y0)I D.向量h={h1,h2}称为P0关于D的允许向量,如果存在向量函数r(D) ={r1(D),r2(D)},r(D)=o(D),和D0>0,使得当0<D<D0时,有P(x0+D h1+r1(D),y0+D h2+r2(D))I D.P0关于D的允许向量全体记为H(P0,D).定理2设f(x,y)在平面集合D上有定义,P0(x0,y0)I D为f(x,y)在D上的一般极小值点,且f(x,y)在P0处可微,则对任意的h I H(P0,D),有f c x(P0)h1+f c y(P0)h2\0.(4)证由一般极小值的定义知,存在D1>0,当P(x,y)I N0(P0,D1)H D时,有f(x,y)>f(x0,y0).对任意h={h1,h2}I H(P0,D),存在D0>0和向量值函数r(D)={r1(D),r2(D)}(r(D)=o(D)),使得P D(x0+D h1+r1(D),y0+D h2+r2(D))I D(0<D<D0).不妨取D0充分小,使P D I N0(P0,D1),于是f(P D)-f(P0)>0.再由f(x,y)在P0处可微知f(P D)-f(P0)=f c x(P0)(D h1+r1(D))+f c y(P0)(D h2+r2(D))+o(D)=[f c x(P0)h1+f c y(P0)h2]D+o(D),D y0.(5)若f c x(P0)h1+f c y(P0)h2=0,则(4)式成立.若f c x(P0)h1+f c y(P0)h2X0,则当D充分小时,上式右端与[f c x(P0)h1+f c y(P0)h2]D同号.而D>0,f(P D)-f(P0)>0,故f c x(P0)h1+f c y(P0)h2\0.即(4)式成立.若定理2中的P0为一般极大值点,则相应于(4)式有f c x(P0)h1+f c y(P0)h2[0.推论1若一般极值点P0为D的内点,则f c x(P0)=f c y(P0)=0.证当P0为D的内点时,知H(P0,D)包含所有二维向量,故由定理1知结论成立.推论2设P0为一般极值点,若H(P0,D)中至少有两个线性无关的向量使得(4)式等于零,则f c x(P0)=f c y(P0)=0.证将两个线性无关向量的坐标分别代入(4)式,再由线性代数方程组解理论即知.推论3设P0为一般极值点,若至少有两个线性无关的向量h,g使得?h,?g I H(P0,D),则f c x(P0)=f c y(P0)=0.证利用H(P0,D)含有?h,?g,即知h,g使(4)式等于零.再由推论2即得证.上述(1)式和(4)式给出了可导函数取一般极值的必要条件,与经典极值的必要条件是相容的.3拉格朗日乘数法求函数f(x,y)((x,y)I D)在约束条件g(x,y)=0下的极小值,就是求f(x,y)在集8={(x,y):(x,y)I D,g(x,y)=0}(6)上的一般极小值.首先给出下述引理.引理1 设由(6)式定义的8是连通集,P 0(x 0,y 0)I 8,g (x ,y )在P 0处可微,则对任意的向量h ={h 1,h 2}I H (P 0,8),有g c x (P 0)h 1+g c y (P 0)h 2=0.(7)证 因为h I H (P 0,8),则存在D 0>0和r (D )={r 1(D ),r 2(D )},r (D )=o (D ),当0<D <D 0时,有P D (x 0+D h 1+r 1(D ),y 0+D h 2+r 2(D ))I 8.类似于(5)式得g(P D )-g (P 0)=[g c x (P 0)h 1+g c y (P 0)h 2]D +o (D ),又因为P 0,P D I 8,即g(P D )=g(P 0)=0,于是g c x (P 0)h 1+g c y (P 0)h 2=0.引理2 设在(6)式中D 为开集,P 0(x 0,y 0)I 8,f (x ,y ),g(x ,y )在P 0处可微,且g c x (P 0),g c y (P 0)不同时为零.则使(7)式成立的任意向量h ,必有h I H (P 0,8).证 因为g cx (P 0),g c y (P 0)不同时为零,则存在数A 1,A 2,使得g c x (P 0)A 1+g c y (P 0)A 2=1.记u(D ,r )=g(x 0+D h 1+A 1r,y 0+D h 2+A 2r ),注意到上式,知u(0,0)=0,u c r (0,0)=1.由隐函数定理知,存在可导函数r =r (D )满足r (0)=0,且在D =0的某邻域内有u(D ,r (D ))=0,也即g(x 0+D h 1+A 1r (D ),y 0+D h 2+A 2r (D ))=0.又由隐函数求导法则和(7)式,知r c D (0)=-u c D (0,0)/u c r (0,0)=0,结合r (0)=0知r(D )=o (D ).因D 为开集,当D 充分小时,P D (x 0+D h 1+A 1r (D ),y 0+D h 2+A 2r(D ))I D,故P D I 8.综上知h I H (P 0,8).根据引理2知,h ={h 1,h 2}I H (P 0,8)的充分必要条件是(7)式成立.定理3(拉格朗日乘数法) 设D 为开集,由(6)式定义的8是连通集,P 0I D 为函数f (x ,y )((x ,y)I D)在条件g(x ,y )=0下的极值,且f (x ,y ),g(x ,y )在P 0处可微,g c x (P 0),g c y (P 0)不同时为零,则存在K X 0,使得f c x (P 0)=Kg c x (P 0), f c y (P 0)=K g cy (P 0).(8)证 若(8)式不成立,则代数方程组g c x (P 0)h 01+g c y (P 0)h 02=0,f c x (P 0)h 01+f c y (P 0)h 02=1有惟一解h 0={h 01,h 02}.取h *={h *1,h *2}=-h 0,代入上式有g c x (P 0)h *1+g c y (P 0)h *2=0,则由引理2知h *I H (P 0,8).但是f c x (P 0)h *1+f c y (P 0)h *2=-1<0,与定理2矛盾.第2节和第3节关于一般极值的所有结果及其证明方法均可推广到n 元函数的情形.[参 考 文 献][1] 菲赫金哥尔兹 .微积分学教程(第一卷第一分册)[M ].叶彦谦,等译.北京:人民教育出版社,1978.[2] 朱健民,李建平.高等数学[M ],北京:高等教育出版社,2007.Necessary Condition for General Local Extremum of Functionsand Lagrange Multiplier RuleZH AN G X in -j ian , ZH U J ian -min(Colleg e of Science,N ational U niv.o f Defense T echno lo gy ,Chang sha 410073,China)Abstract:N ecessary conditions fo r a class of g ener al lo cal extr emum of one -var iable and multiv ariate funct ions ar e pr oposed,these general local ex trema may occur at boundar y po ints o f the do g rang e multiplier r ule is deduced by the necessar y conditio n o f the g ener al ex tremum.Key words:general local extr emum;necessary co ndition;L ag range multiplier rule 181第1期 张新建,等:含边界在内的一般极值的必要条件与拉格朗日乘数法。
最新拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法§4 条件极值(一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值．(二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法．基本要求：(1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．(2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握．(2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题．(3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生．在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为«Skip Record If...»的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为«Skip Record If...»，则水箱容积«Skip Record If...»焊制水箱用去的钢板面积为«Skip Record If...»这实际上是求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»限制下的最小值问题。
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件«Skip Record If...»限制下，求函数«Skip Record If...»的极值条件极值与无条件极值的区别条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求马鞍面«Skip Record If...»被平面«Skip Record If...»平面所截的曲线上的最低点。
请看这个问题的几何图形（x31马鞍面）从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面«Skip Record If...»平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。
用拉格朗日乘数法求极值步骤
用拉格朗日乘数法求极值步骤全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日乘数法是一种常用的数学工具，用于求解带有约束条件的极值问题。
在实际问题中，很多情况下都会存在一些条件限制，而拉格朗日乘数法正是针对这种情况而提出的一种解决方法。
下面我们将详细介绍使用拉格朗日乘数法求极值的步骤。
我们先来看一个简单的例子，假设我们要求函数f(x, y) = x^2 +y^2 在条件g(x, y) = x + y = 1下的最小值。
这个问题可以用如下的拉格朗日函数表示：L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) = x^2 + y^2 - λ(x + y - 1)λ为拉格朗日乘数。
接下来的步骤就是通过对L(x, y, λ) 求偏导数来确定函数f(x, y) 在条件g(x, y) 下的极值点。
步骤一：计算L(x, y, λ) 对x, y的偏导数，并令其等于0，即求解以下方程组：步骤二：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
在本例中，解方程组可得x = y = 1/2，λ = 1。
代入原函数f(x, y) = x^2 + y^2 可得最小值为1/2。
问题的解是f(x, y) = 1/2。
上面是一个简单的例子，下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法求极值的一般步骤：步骤一：建立带有约束条件的拉格朗日函数。
假设我们要求函数f(x1, x2, ..., xn) 在条件g(x1, x2, ..., xn) = 0下的极值，那么其对应的拉格朗日函数为：步骤二：求解拉格朗日函数的梯度，令其等于零。
即求解以下方程组：∂L/∂x1 = ∂f/∂x1 - λ∂g/∂x1 = 0∂L/∂x2 = ∂f/∂x2 - λ∂g/∂x2 = 0...∂L/∂xn = ∂f/∂xn - λ∂g/∂xn = 0g(x1, x2, ..., xn) = 0步骤三：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
解方程组可能有多个解，需要通过二阶导数判断哪一个是极值点。
(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 解 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z ,
由题意知，周长： x y z 18
长方体的体积为 V xyz
18
下面要介绍解决条件极值问题的一般 方法: 拉格朗日乘数法
13
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法: 现要寻求目标函数 z f ( x, y ) 在约束条件 ( x , y ) 0
利用隐函数的概念与求导法 (1)
(2)
下取得 极值的必要条件. 如函数(1)在( x0 , y0 ) 取得所求的极值, 那末首先有 ( x0 , y0 ) 0 (3) 由条件 ( x, y ) 0 确定y是x的隐函数 y y( x ). 不必将它真的解出来,则 z f ( x , y ( x )),于是函数(1) 在( x0 , y0 ) 取得所 求的极值. 即, x x0 取得极值.
则f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC B 2 0时有极值,
当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值;
(2) AC B 2 0时没有极值; (3) AC B 2 0时 可能有极值,也可能无极值.
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
14
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z f ( x , y ( x ))在 x x0 取得极值.
z f ( x , y ) (1) ( x , y ) 0 ( 2)
由一元可导函数取得极值的必要条件知:
f dy f dz 0 (4) x x y 0 dx x x 0 x0 dx x x0 x x y y0 y y0 ( x, y ) 0 x ( x 0 , y0 ) dy 其中 代入(4)得: y ( x 0 , y0 ) dx x x0 ( x0 , y0 ) 0 ( 3) x ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 0 ( 5) y ( x 0 , y0 ) (3) ,(5)两式 就是函数(1)在条件(2)下的在( x0 , y0 ) 取得极值的必要条件.
拉格朗日乘数法的
拉格朗日乘数法的
拉格朗日乘数法是一种数学优化方法，它可以用来找到满足约束条件的最优解。
它的原理是基于拉格朗日原理，即一个函数的全局最小值可以通过极大极小原理找到。
拉格朗日乘数法以及它的变体是运筹学和数学分析中最重要的算法之一，用于求解最优化问题。
拉格朗日乘数法可以用于求解线性规划问题。
它被用于求解非线性问题，例如多种旅行者问题、背包问题和QAP问题，当这些问题被约束条件所约束时。
约束条件可以很灵活地表示，比如可能有等式约束、不等式约束、二进制约束或者其他类型的约束等，都可以被拉格朗日乘数法求解。
拉格朗日乘数法的主要步骤：1）对一个给定的极值优化问题，写出它的最优化目标函数，再加上一些约束条件；2）引入一个拉格朗日乘数，将目标函数和约束条件构成一个新的原始问题，即拉格朗日乘数主问题；3）利用拉格朗日乘数主问题来求解极值优化问题，从而得到极值优化问题的最优解。
拉格朗日乘数法是一种非常有用的数学优化方法，它可以用来求解线性、非线性最优化问题，并可以满足复杂的约束条件。
它的步骤清晰，值得信赖，可以用于许多应用场合，如运输问题、交叉销售问题等。
拉格朗日乘数法
§4 条件极值(一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值．(二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法．基本要求：(1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．(2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握．(2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题．(3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生．在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为zy x ,,， 则水箱容积 xyzV= 焊制水箱用去的钢板面积为xyyz xz z y x S ++=)(2),,(这实际上是求函数 ),,(z y x S 在xyzV = 限制下的最小值问题。
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件)(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ限制下，求函数 ),,,(21n x x xf 的极值条件极值与无条件极值的区别条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求马鞍面 122+-=y x z 被平面 XOZ平面所截的曲线上的最低点。
请看这个问题的几何图形（x31马鞍面）从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。
二. 条件极值点的必要条件 设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有0)(='+=x g f f dxdz y x .代入 ),(),()(00000y x y x xg y x ϕϕ-=', 就有0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,( 以下xf 、yf 、xϕ、yϕ均表示相应偏导数在点),(00y x的值 . )即 xfyϕ—yfx ϕ0= , 亦即 (x f , yf ) (⋅yϕ ,xϕ-)0= .可见向量(xf , yf )与向量(yϕ , xϕ-)正交. 注意到向量(xϕ , yϕ)也与向量(yϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , yf )与向量(xϕ , yϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使(xf ,y f ) + λ(x ϕ,yϕ)0=.亦即⎩⎨⎧=+=+.0 , 0yy x x f f λϕλϕLagrange 乘数法 : 由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,(, 0),,(, 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x因此，解决条件极值通常有两种方法 1）直接的方法是从方程组（１）,,,2,1,0),,,(21m k x x x n k ==ϕ中解出 mx x x,,,21并将其表示为mk x x x g x n m m k k ,,2,1,),,,(21 ==++代入 ),,,(21n x x x f 消去 m x x x ,,,21 成为变量为 nm x x ,,1 +的函数),,(),,,,,(),,(1111n m n m m n x x F x x g g f x xf ++==将问题化为函数 ),,(1n m x xF + 的无条件极值问题；2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出 mx x x,,,21来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法（拉格朗日乘子法）首先关于φ(x,y)的偏导数：即多元函数对某一变元求导例如φ(x,y)=则其对x的偏导数为：=2x+y其对y的偏导数为：=2y+x做法：假设限制条件为φ(x,y)=M，目标函数f(x,y)。
则引入新变量使，则用偏导数方法列出方程：解出想x、y与，代入目标函数即可得到极值。
那该如何理解：考虑两个变元的情况，如上图，当f(x,y)取不同值时，得到一簇曲线，其类似于等高线。
当f(x,y)取不同值时，若f(x,y)和φ(x,y)=M有且只有一个交点时，取得最大值，在该点的法向量共线。
上面的方法就是求这个交点的方法。
原理我也不太清楚。
例题：设x,y为实数，若=1,则2x y的最大值是令f(x,y)= 2x y，φ(x,y)=F(x,y,)= 2x y+()求偏导数：=2+(8x+y)=0=1+(2y+x)=0两方程联立：可得2x=y，代入方程解得：y=则：2x y令f(x,y)=, φ(x,y)=F(x,y,)=+()偏导数：=2x+(8x-5y)=2y+(8y-5x)显然易得=时方程成立解得，==春到四月，如火如荼，若诗似画，美到了极致，美到了令人心醉。
“你是一树一树的花开，是燕，在梁间呢喃，你是爱，是暖，是希望，你是人间的四月天”。
喜欢才女林徽因歌颂四月之美的这首《你是人间的四月天》，她将四月的万种风情描摹得淋漓尽致，读来如沐春风如饮甘露。
四月之美，美在清明。
时光刚刚跨入四月的门槛，清明就如期而至，“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂。
”清明是一种传承了数千年的古老文化，是一场活着的人祭奠逝去的祖先的亲情style。
“风吹旷野纸钱飞，古墓垒垒春草绿”，每到清明，人们不会忘记在天堂的祖先，都会放下手中繁忙的工作，即便远离故土，也会怀揣湿漉漉的心事回到乡下，挑拣一个最宜祭祀的日子，赶往祖先墓地，虔诚地献上一捧鲜花，点上几支香火，烧上一些纸钱，将祖先的坟墓装扮一新，以表达对已逝亲人的思念和祝福。
条件极值拉格朗日乘数法
F (x, y) x2 2 y2 (x2 y2 1)
则 Fx 2x 2x 0 Fy 4 y 2y 0
x2 y2 1 0
解得可能条件极值点为 （0，1）（, 0，1）（, 1，0）（, 1，0）
计算出 f (0,1) f (0,1) 2, f (1,0) f (1,0) 1,
曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在同一
平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
切平面方程为
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
2 y
2z,2z
2 x,2 x
2
y 1,2,1
2 3,0,3 61,0,3
切线方程：
x1 y2 z1
1
0
1
法平面方程： x - z = 0
(Tangent plane and normal line of surface)
1 设曲面方程为
F(x, y, z) 0
n
T
在曲面上任取一条通
0
z02 c2
1
0
y0
b， 3
z0
c 3
当切点坐标为 (a，b，c
)时,
333
四面体的体积最小Vmin
3 abc. 2
多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件）
无条件极值
多元函数的最值
条件极值
拉格朗日乘数法
11.4 微分法在几何上的应用
(Applications of differential calculus in geometry)
条件极值问题与Lagrange乘数法
( 0 a 2), 当 (x, y, z) S, 且 0 x , 0 y , 0 z 时, 使得
f (x, y,z) 3 a . 又设
第24页/共42页
而 f xx 0 ，所以 (0,0) 点是 f 的极小值点，极小值为 f (0,0) 0 。
再考察函数 f 在 D 的边界{( x, y) | x2 y 2 1}上的极值，
这是条件极值问题。
为此作 Lagrange 函数 L(x, y, ) ax2 2bxy cy 2 (x2 y 2 1) ，
在条件 x yz a3(a 0) 下的最小值, 并由此导出相
应的不等式.
解设
L 1 1 1 (xyz a3),x yz并使Lx1
x2 yz 0,
Ly 1 y2 xz 0,
Lz 1 z2 x y 0,
L
xyz
a3
0.
第20页/共42页
由此方程组易得 x y z a, 并有 f (a,a,a) 3 a . 下面给出 3 a 是条件最小值的理由.
使在条件 x yz V 下水箱表面积 S 2( x z yz) x y
最小.
令 L 2( x z yz) x y ( x yz V )
解方程组
2z y yz 0
⑴
2z x xz 0
⑵
2( x y) x y 0
⑶
xyz V 0
⑷
第12页/共42页
⑴ － ⑵ 得 ( y x)(1 z) 0
因为函数 ln u 严格单调，所以只要考虑函数 g 的极值就可以 得到 f 的极值。
最优化方法：拉格朗日乘数法
最优化⽅法：拉格朗⽇乘数法解决约束优化问题——拉格朗⽇乘数法拉格朗⽇乘数法（Lagrange Multiplier Method）应⽤⼴泛，可以学习⿇省理⼯学院的在线数学课程。
拉格朗⽇乘数法的基本思想 作为⼀种优化算法，拉格朗⽇乘⼦法主要⽤于解决约束优化问题，它的基本思想就是通过引⼊拉格朗⽇乘⼦来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的⽆约束优化问题。
拉格朗⽇乘⼦背后的数学意义是其为约束⽅程梯度线性组合中每个向量的系数。
如何将⼀个含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的⽆约束优化问题？拉格朗⽇乘数法从数学意义⼊⼿，通过引⼊拉格朗⽇乘⼦建⽴极值条件，对n个变量分别求偏导对应了n个⽅程，然后加上k个约束条件（对应k个拉格朗⽇乘⼦）⼀起构成包含了（n+k）变量的（n+k）个⽅程的⽅程组问题，这样就能根据求⽅程组的⽅法对其进⾏求解。
解决的问题模型为约束优化问题： min/max a function f(x,y,z), where x,y,z are not independent and g(x,y,z)=0. 即：min/max f(x,y,z) s.t. g(x,y,z)=0数学实例 ⾸先，我们先以⿇省理⼯学院数学课程的⼀个实例来作为介绍拉格朗⽇乘数法的引⼦。
【⿇省理⼯学院数学课程实例】求双曲线xy=3上离远点最近的点。
解： ⾸先，我们根据问题的描述来提炼出问题对应的数学模型，即： min f(x,y)=x2+y2（两点之间的欧⽒距离应该还要进⾏开⽅，但是这并不影响最终的结果，所以进⾏了简化，去掉了平⽅） s.t. xy=3. 根据上式我们可以知道这是⼀个典型的约束优化问题，其实我们在解这个问题时最简单的解法就是通过约束条件将其中的⼀个变量⽤另外⼀个变量进⾏替换，然后代⼊优化的函数就可以求出极值。
我们在这⾥为了引出拉格朗⽇乘数法，所以我们采⽤拉格朗⽇乘数法的思想进⾏求解。
拉格朗日乘数法推导
拉格朗日乘数法推导
拉格朗日乘数法是一种用来求解约束条件下多元函数极值的方法。
下面是拉格朗日乘数法的推导过程：
假设有一个有n个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，同时有m个约束条件g1(x1, x2, ..., xn) = c1, g2(x1, x2, ..., xn) = c2, ..., gm(x1, x2, ..., xn) = cm。
我们要求函数f在这些约束条件下的极值点。
首先，引入拉格朗日乘子λ1, λ2, ..., λm，构造拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm) = f(x1, x2, ..., xn) - λ1(g1(x1, x2, ..., xn) - c1) - λ2(g2(x1, x2, ..., xn) - c2) - ... - λm(gm(x1, x2, ..., xn) - cm)。
然后，我们对拉格朗日函数分别对自变量和拉格朗日乘子求偏导数，令其为0，得到以下方程组：
∂L/∂xi = 0, i=1,2, ...,n
∂L/∂λj = 0, j=1,2, ...,m
求解该方程组，得到拉格朗日乘数法的极值点。
以上就是拉格朗日乘数法的推导过程。
通过引入拉格朗日乘子构造拉格朗日函数，然后求解其极值点，可以得到多元函数在约束条件下的极值解。
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,)L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的偏导数，并使之为0.即联立方程组：00L x L yL λ⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩由这个方程组解出,x y 及λ，这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.例1. 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三条棱长分别为,,x y z ，则问题转化为求在条件2(,,)2220x y z xy yz xz a ϕ=++−=下，函数(0,0,0)V xyz x y z =>>>的最大值.作拉格朗日函数2(,,)(222)L x y z xyz xy yz xz a λ=+++−对,,x y z 和λ分别求偏导数，有22()02()02()02220x y z L yz y z L xz x z L xy x y L xy yz xz a λλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++−=⎩ 解得6x y z a ===这是唯一可能的极值点.所以，表面积为2a 的长方体中，体积最大的长方体的体积为336a . 例2. (2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)曲线22231x xy y −−=上的点到坐标原点的距离的最小值为 .解 作拉格朗日函数2222(,)(231)L x y x y x xy y λ=++−−−对,,x y λ分别求偏导数并令其等于0，有22222022602310x y L x x y L y x y L x xy y λλλλλ⎧=+−=⎪=−−=⎨⎪=−−−=⎩ 由前两个式子可以得到，3x y x y x y−=+，即2240x xy y +−=，再因式分解，得[(2][(2]0x y x y ++=即(2x y =−+①或2)x y =−②①式代入条件222310x xy y −−−=，有22221(104y x y y +=⇒+=+= ②式代入条件，有20y =< 这显然不可能，故(,)f x y 有唯一可能的极值点00(,)x y ，且满足220014x y += 故曲线22231x xy y −−=.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
比较可知 最大值为 1 ，最小值为 1 .
2
2
7-7
小结 12
求条件极值的方法: 1. 转化为无条件极值.
2. 利用拉格朗日乘数法. 注意要正确 地写出目标函数和约束条件.
7-7
13 思考题
思考题
若 f ( x0 , y)及 f ( x, y0 ) 在( x0 , y0 ) 点均取得 极值，则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )是否也取得极值？
7-7
1 回顾：求极值的一般步骤
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 B 2 AC 的符号，再判定是否是极值.
Fx 3 x2 y2z 0
则
Fy 2x3 yz 0 Fz x3 y2 0
解得唯一驻点(6,4,2) ，
x y z 12
故最大值为 umax 63 42 2 6912.
根据具体情况从实际问题的物理、几何、经济意义
可以判断是否为最值
7-7
8 例题2
在区域{( x,
7-7
5 拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0 下的
可能极值点，
1. 先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
其中 为拉格朗日乘数.
2. 由
f f
x y
( (
x x
, ,
y y
) )
x y
( (
x x
, ,
y y
) )
y) |
x2
y2
50}上,求z
x2
x y y2 1
的最大值和最小值.
解
zx
(x2
y2 1) 2x( x ( x2 y2 1)2
y)
0,
由
( x2 y2 1) 2 y( x y)
zy
( x2 y2 1)2
0,
得驻点( 1 , 1 )和( 1 , 1 ),
22
22
z( 1 , 1 ) 1 , 22 2
1 ( x, y, z, t ) 2 ( x, y, z, t )
其中1 ,2均为拉格朗日乘数，可由 偏导数为零及
约束条件解出 x, y, z, t ，即得可能的极值点的坐标.
7-7
7 例题1
将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 u x3 y2z 为最大.
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
0, 0,
( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中(x, y )就是可能的极值点的坐
标.
7-7
6 更一般的情形
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
要找函数u f ( x, y, z,t)在条件
( x, y, z,t) 0， ( x, y, z, t) 0
下的极值，
先构造函数F ( x, y, z,t) f ( x, y, z,t)
7-7
3 7.7 条件极值与拉格朗日乘数法
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
实例：求表面积为 S(固定) 、体积最大的长方
体的体积
V ( x, y, z) xyz
求极值
2xy 2 yz 2zx S 限制条件
7-7
4 求条件极值的方法
1. 转化为无条件极值问题. 2. 利用拉格朗日乘数法.
7-7
14 思考题解答
思考题解答
不是. 例如 f ( x, y) x 2 y 2,
当x 0时， f (0, y) y2在(0,0) 取极大值;
当 y 0时， f ( x,0) x 2在(0,0) 取极小值;
但 f ( x, y) x2 y2在(0,0) 不取极值.
7-7
2 回顾：多元函数的最值的求法
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
设函数在有界闭区域 D 上连续，在D内 可微且只有有限个驻点。
则可按如下方法求最值：
将函数在区域 D 内的所有驻点处的 函数值及在D 的边界上的最大值和最小
值相互比较，其中最大者即为最大值， 最小者即为最小值.
z( 1 , 1 ) 1 ,
22
2
7-7
9 例题2续
x y z x2 y2 1 在边界上 {( x, y) | x2 y2 50}
利用拉格朗日乘数法得可能的最值点为 （5，5）以及（－5，－5）：
z(5,5)=10/51
z(-5,-5)=-10/51
Байду номын сангаас
10 10 1 1
51 50 5 2