907.一次函数与反比例函数-奥数精讲与测试

知识点、重点、难点

函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。若

0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊

情况。

当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。

函数(0)k

y k x

=

≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。 当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0

k >时，反比例函数k

y x =分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0

k <时，函数k

y x

=分别在第二或第四象限内是单调递增函数。

若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠

当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。 当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。 当12k k ≠时，两直线相交。 当121k k =-时，两直线互相垂直。

求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。

例题精讲

例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。

解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。 设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B

得242,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得45

6,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

所以线段AB 为46

(14),55y x x =--≤≤

代入(1,)C c ，得462

1.555

c =⨯-=-

例2：求证：一次函数2110

22

k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。

解 由一次函数得(2)(21)(10),k y k x k +=---整理得

(21)2100x y k x y ----+=。因为等式对一切有意义的k 成立，所以得

2102100,x y x y --=⎧⎨

+-=⎩解得125

19,

5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

当125x =，195y =时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点1219,55⎛⎫

⎪⎝⎭.

例3：已知m 、n 、c 为常数，22

0m n -≠，并且(1)(1),mf x nf x cx -+-=求()f x 。

解 用1x -代换原方程中的x ，得(1)()(1).mf x nf x c x -+=- ○1

用1x +代换原方程中的x ，得()()(1).m f x n f x c x +-=+ ○2

m ⨯○

2n -⨯○1得22

()().m f x n f x mcx ncx mc nc -=++-因为220m n -≠，所以()22

()c m n x m n f x m n ++-⎡⎤⎣

⎦=-，所以

()c c

f x x m n m n

=+-+.

例4:如图，设111()(1),f x mx x m x m m m ⎛

⎫=+-=-+ ⎪⎝

⎭因为当1m ≥时，

1

0,()m f x m

-≥为递增函数，()f x 在[]0,1上的最小值为

11(1).1.f m m m m ⎛

⎫=-++ ⎪⎝

⎭

所以

1(0)(1).()(1)(01).

f m

g m m

f m m ⎧=≥⎪

=⎨⎪=<<⎩ 因此1

()g m m

=在[]1,+∞上为递减函数；

()g m m =在()0,1上为递增函数，故()g m 的最大值为(1) 1.g =

例5：画函数242x y x

-=

-的图像。

解 0x =，0x =，2

40x -=，2,x =±将整个数轴分为四段讨论

（见图）并定义域为2x ≠±的一切实数。

2,2,2,2,

x x y x x -⎧⎪-⎪

=⎨

+⎪⎪--⎩ 2;

20;

022

x x x x <--<<≤<>

例6：一次函数(1)y kx k k =->图像交x 轴于A 点，将此直线沿直线y x =翻折交y 轴于B 点，这两条直线相交于P 点，且四边形OAP B 的面积为3， 求k 的值。

解 设点P 坐标为'(,),t t 又OAP ∆与OBP ∆是翻折而成，所以

OAP S ∆面积是四边形OAPB 的一半等于

3

2

。设0y =代入,y kx k

=-得1,x =点A 为(1,0).由113

1,222

OAP

S OA PC t ∆=⨯=⨯⨯=得3,t =即点(3,3).p 因点P 在y kx k =-上，代

入得33,k k =-3

.2

k =

A 卷

一、填空题

1.设21(2)k y k x -=+是反比例函数，则k = ；其图像经过第 象限时；当0x >时，y 随x 增大而 。

2.两个一次函数312,y x =+3

3,2

y x =-

的图像与y 轴所围成的三角形面积是 。

3.等腰三角形一个底角的度数记作y ，顶角的度数记作x ，将y 表示成x 的函数是 ，其中x 的取值范围是 。

4.如果函数12

a

y =-

-的图像与直线32y x =-平行，则a = 。 5.已知四条直线3y mx =-、1y =-、3y =、1x =所围成的车边形的面积是12，则m = 。

6.一次函数y kx b =+的图像经过点(1,2)p 且与x 轴交于点A ，与y 轴交于

点B

。若sin 5

PAO ∠=

则线段OB 的长为 。 7.已知一次函数y kx b =+中，若x 的值每增加4，y 的值也相应增加8，则k = 。