九年级数学反比例函数周末清理

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北师大版九年级数学上册第六章《反比例函数》

如果 y=kx（k为常数，k≠0），那么y是x 的正比例函数.
探究一：初步了解反比例函数的形式，探究反比例函数
1.游泳池体积150（立方米），那么底面积s（平方米）和高h（米）之间的关系式为：h=___1_5__0_____.
s
2.京沪高速铁路全长约为1318km，列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车行完全程所需的时间t（h）与行驶
说一说
你能举出生活中反比例函数的例子吗？
基础练习
1.下列函数表达式中，x表示自变量，哪些是反比例函数？若是，请指出相应的k值。
（1）y = 0.4（2） y =5-x （3） y = 3x1
x
（4）xy = - 2（5）y =
x 2
（6） y =
1 6x
2. y是x的反比例函数，下图给出了x与 y的一些值:
x －5 －2 －1
y
2
5
12
① 求出这个反比例函Hale Waihona Puke 的表达式；2 77
② 根据函数表达式完成上表。
解： 1设y k k 0
x
当x -1, y -2时，k -1 2 -2
y 2 x
互动课堂
问题1:
若
y n6 x
是反比例函数，则n应
满足的条件是n 6.
问题2: 已知y是x的反比例函数，当x=2 时,y=5求：当x=1时，y的值.
北师大版九年级数学上册
第六章反比例函数 6.1 反比例函数
函数的定义
一般地.在某个变化过程中,有两个变量x和y, 如果给定一个x的值,相应地y就有唯一确定的值和它相对应,那么我们称y是x的函数，其中x 叫自变量,y叫因变量.
回顾与思考
如果y=kx+b（k、b为常数，k≠0），那么y 是x的一次函数.

专题反比例函数(10个考点)-九年级数学上学期期中期末考点大串讲(人教版)(原卷版)

专题06反比例函数（10个考点）【知识梳理+解题方法】一．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．二．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．三．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．五．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．六．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．七．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．八．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．九．根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．十．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．【专题过关】一．反比例函数的定义（共3小题）1．（2021秋•遵化市期末）下列函数关系式中属于反比例函数的是（）A．y＝4x B．2x+y＝4C．y＝x2+3D．2．（2022•东营模拟）函数y＝（m﹣2）是反比例函数，则m＝．3．（2022•西宁一模）函数的自变量x的取值范围是．二．反比例函数的图象（共4小题）4．（2021秋•大城县期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可以是（）A．﹣2B．C．1D．35．（2021秋•大城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．6．（2021秋•襄州区期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……探索思考：我我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．（1）画出函数图象．①列表：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣201234…y…﹣1﹣2﹣4421…②描点并连线．（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①，②；（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向平移个单位，其对称中心的坐标为．（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足时，y≥3．7．（2022•市南区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝，点A的坐标为（1，0），AB垂直于x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是（）A．如图①，四边形ABCO是矩形B．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象大致如图②所示C．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x（ax+b）+c与反比例函数y＝的图象大致如图③所示D．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣ac与反比例函数y＝在的图象大致如图④所示三．反比例函数图象的对称性（共3小题）8．（2022•高要区一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）9．（2022春•洪泽区月考）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是．10．（2022•自贡模拟）如图，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与x轴相切于点O，反比例函数（k＞0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）四．反比例函数的性质（共6小题）11．（2021秋•政和县期末）反比例函数中，反比例常数k的值为．12．（2022秋•青浦区期中）已知正比例函数y＝中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（）A．B．C．D．13．（2021秋•丰宁县期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一、第三象限B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小14．（2022•威县校级模拟）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），点C（0，6），双曲线L1：y＝﹣（x＜0）和双曲线L2：y＝（x＜0）．[把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”]（1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有个“优点”；（2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，那么k的取值范围为．15．（2022•杞县模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：x…﹣3﹣2﹣10123…y…m12101n…其中，m＝，n＝．（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点，在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值时y＝1，求自变量x的值．16．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣1﹣012…y…210121…描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1 x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为；（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；（4）当方程x+b＝有三个不同的解时，则b的取值范围为．五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）17．（2022•茂南区二模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是l1和l2，设点P 在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，则四边形P AOB的面积为（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1k2D．k2﹣k118．（2022•河池）如图，点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，P A⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为．19．（2022•开远市二模）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（）A．B．C．D．20．（2022•靖江市二模）反比例函数，（n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1、y2交于A、B两点．（1）当n＝﹣10时，求S△OAB；（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．21．（2022•德城区模拟）如图，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝1（1）若k＝2，则AO的长为，△BOD的面积为；（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共9小题）22．（2022秋•合浦县期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．D．（﹣2，1）23．（2021秋•碧江区期末）如图，△OAB、△BA1B1、△B1A2B2、…、△B n﹣1A n B n都是等边三角形，顶点A、A1、A2、…、A n在反比例函数（x＞0）的图象上，则B2020的坐标是．24．（2022秋•杜集区校级月考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是（填序号）；①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A （x A，y A）、B（x B，y B）两点，A在B的左边，x B﹣x A＝5，则m＝．25．（2022•思明区校级二模）阅读理解：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．（1）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值；（2）若实数a，b，c是“和谐三数组”，且满足a＞b＞c＞0，求点与原点O的距离OP的取值范围．26．（2022•牧野区校级三模）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线AC，BD的交点，点A，C 的坐标分别为A（﹣3，3），C（﹣1，0）．（1）反比例函数y1＝在第三象限的图象经过D点，求这个函数的解析式；（2）点E是否在函数y1＝的图象上？说明理由；（3）一次函数y2＝k2+b的图象经过点B，点D，根据图象直接写出不等式k2x+b＜的解集．27．（2022•荷塘区校级二模）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于C，D两点．（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；（2）当k＝1时：①若AC＝BD，求a与b的数量关系；②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．28．（2021秋•梧州期末）在函数y＝（其中a≠0，a为常数）经过点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x3＜0＜x1＜x2，则把y1、y2、y3按从小到大排列为．29．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求△OAC的周长．30．（2022秋•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y 轴上，顶点C在x轴上，反比例函数y＝k的图象过AB边上一点E，与BC边交于点D，BE＝2，OE＝10．（1）求k的值；（2）直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，点P是直线OF上一动点，当PD+PC的值最小时，直接写出这个最小值．七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）31．（2021秋•平泉市期末）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点F．（1）若点B的坐标为（﹣6，0），求m的值．（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的解析式．32．（2022•蓬江区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，OA＝2，OB＝4．（1）求反比例函数的解析式；（2）若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A'B'C'D'，当点D'在反比例函数的图象上时，请求出点B'的坐标，并判断点B'是否在该反比例函数的图象上，说明理由．33．（2022•睢阳区二模）如图，平行四边形ABCD的面积为12，AB∥y轴，AB，CD与x轴分别交于点M，N，对角线AC，BD的交点为坐标原点，点A的坐标为（﹣2，1），反比例函数的图象经过点B，D．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P为y轴上的点，连接AP，若△AOP为等腰三角形，求满足条件的点P的坐标．34．（2021秋•孟村县期末）已知y与x成反比例，当x＝﹣1时，y＝﹣6．（1）y与x的函数解析式为；（2）若点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）35．（2022•市南区校级一模）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y＝交于点A、D，过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB：S△ODE＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C的坐标；（3）直接写出关于x不等式：＞kx﹣3的解为．36．（2022•宝安区校级模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m ≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞﹣b的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞237．（2022•仁怀市模拟）如图，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点D，过点A作AC⊥x轴与反比例函数的图象相交于点C，若AC＝AD，则k的值为（）A．3B．4C．D．38．（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y1＝在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的表达式为y2＝k2x+b，回答下列问题：（1）求双曲线y1＝和直线AB的y2＝k2x+b表达式；（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；（3）求△AOB的面积．39．（2022•吉阳区模拟）如图，函数y＝与函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于（）A．24B．18C．12D．6九．根据实际问题列反比例函数关系式（共3小题）40．（2022秋•滁州期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．41．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t 小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．（1）写出v关于t的函数表达式；（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．42．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）一十．反比例函数的应用（共4小题）43．（2022秋•涟源市期中）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（）A．当I＜0.25时，R＜880B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）C．当R＞1000时，I＞0.22D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.2544．（2022•南阳二模）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（）A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m45．（2022•邓州市二模）给定一个函数：y＝x++1（x＞0），为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：（1）图象初探①列表如下x…1234…y…m3n…请直接写出m，n的值；②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．（2）性质再探请结合函数的图象，写出当x＝，y有最小值为；（3）学以致用某农户要建造一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：y＝x++3．根据以上信息，请回答以下问题：①水池总造价的最低费用为千元；②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？．46．（2021秋•丰南区期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？（3）工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？。

九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题(附答案解析)

九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。

部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)

部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)反比例函数（含答案）?解读考点知识点 1.反比例函数概念反比例函数概2.反比例函数图象念、图象和性3.反比例函数的性质质 4.一次函数的解析式确定名师点晴会判断一个函数是否为反比例函数。

知道反比例函数的图象是双曲线，。

会分象限利用增减性。

能用待定系数法确定函数解析式。

会用数形结合思想解决此类问题．反比例函5.反比例函数中比例系数的几何能根据图象信息，解决相应的实际问题．数的应用意义能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。

?2年中考【2021年题组】y?1．（2021崇左）若反比例函数kx的图象经过点（2，－6），则k的值为（）A．－12 B．12 C．－3 D．3【答案】A．【解析】y?试题分析：∵反比例函数kx的图象经过点（2，��6），∴k?2?(?6)??12，解得k=��12．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2．（2021苏州）若点A（a，b）在反比例函数A．0 B．��2 C．2 D．��6 【答案】B．【解析】y?y?2x的图象上，则代数式ab��4的值为（）试题分析：∵点（a，b）反比例函数22b?x上，∴a，即ab=2，∴原式=2��4=��2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 3．（2021来宾）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是（）- 1 -A． B． C．D．【答案】C．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．4．（2021河池）反比例函数y1?mx（x?0）的图象与一次函数y2??x?b的图象交于A，B两点，其中A（1，2），当y2?y1时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2 【答案】B．【解析】试题分析：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x＜2时，y2?y1．故选B．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．- 2 -5．（2021贺州）已知k1?0?k2，则函数y?k1x和y?k2x?1的图象大致是（）A．【答案】C．B．C． D．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 6．（2021宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（��3，0），（3，0），点P在y?反比例函数2x的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D．【解析】y?试题分析：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为��3，把x=��3代入此时P点有1个；22y??x得3，所以2222222(x?3)?()(x?3)?()22x，PB=x，AB2 ②当∠APB=90°，设P（x，x），PA=222222(x?3)?()?(x?3)?()222(3?3)xxPA?PB?AB==36，因为，所以=36，整理得2x4?9x2?4?0，所以x2?9?659?65x2?22，或，所以此时P点有4个；y?22y?x得3，所以此时P点有1个；③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题．7．（2021自贡）若点（的点，并且x1，y1），（x2，y2），（x3，y3y??），都是反比例函数1x图象上y1?0?y2?y3，则下列各式中正确的是（）- 3 -A．D．x1?x2?x3 B．x1?x3?x2 C．x2?x1?x3x2?x3?x1【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，点（的点，且（x1，y1）xy，xy，（2，2）（3，3）都是反比例函数y??1x上y1?0?y2?y3，xy，xy位于第三象限，x?x3，则（2，2）（3，3）y随x的增大而增大，2 x1，y1）位于第一象限，x1最大，故x1、x2、x3的大小关系是x2?x3?x1．故选D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．（2021凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面y?直角坐标系，双曲线3x经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C．考点：反比例函数系数k的几何意义．y?9．（2021眉山）如图，A、B是双曲线kx上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）48A．3 B．3 C．3 D．4- 4 -【答案】B．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 10．（2021内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点Ay?的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线有公共点，则k的取值范围为（）kx与正方形ABCDA．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 【答案】C．【解析】试题分析：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则Ay?的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线kx经过点（1，1）时，k=1；当双曲线kx经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．- 5 -11．（2021孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函y?数1ky?x的图象上．若点B在反比例函数x的图象上，则k的值为（）A．��4 B．4 C．��2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．41012．（2021宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）- 6 -【答案】A．B． C． D．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．y?13．（2021三明）如图，已知点A是双曲线2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）A．n??2m B．【答案】B．【解析】n??24n??m C．n??4m D．m2试题分析：∵点C的坐标为（m，n），∴点A的纵坐标是n，横坐标是：n，∴点A 的坐22标为（n，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：m，∴点B2nm?2222mmn??mn，∴m2n2?4，又∵m＜0，n＞0，∴的坐标为（m，m），又∵n，∴- 7 -mn??2，∴n??2m，故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．y?14．（2021株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数图象上的概率是（）12x1111A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．OA3?OB4．15．（2021乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，∠y?AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数kx的图象2过点C．当以CD为边的正方形的面积为7时，k的值是（）- 8 -A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题． 16．（2021重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴y?平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数ABCD的面积为（）3x的图象经过A，B两点，则菱形A．2 B．4 C．22 D．42 【答案】D．【解析】y?试题分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数3x的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D．- 9 -考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．17．（2021临沂）在平面直角坐标系中，直线y??x?2与反比例函数1y?x的图象有2个公共点，则b的取值范围是公共点，若直线y??x?b与反比例函数（）y?1x的图象有唯一A．b＞2 B．��2＜b＜2 C．b＞2或b＜��2 D．b＜��2 【答案】C．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18．（2021滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA12y??y?x、x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为的两边分别与函数（）- 10 -A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 19．（2021扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是．【答案】（��1，��3）．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（��1，��3）．故答案为：（��1，��3）．考点：反比例函数图象的对称性．20．（2021泰州）点（a��1，1）、（a+1，2）在反比例函数yyy?k?k?0?x的图象上，若y1?y2，- 11 -则a的范围是．【答案】��1＜a＜1．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．y?21．（2021南宁）如图，点A在双曲线23ky?x（x?0）上，x（x?0）点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【答案】63．【解析】y?试题分析：因为点A在双曲线2323x（x?0）上，设A点坐标为（a，a），因为四23边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，a），可得：3a?k=23a=63，故答案为：63．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．（2021桂林）如图，以?ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直y?角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是．kx的图象- 12 -【答案】9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k的几何意义；3．综合题；4．压轴题． 23．（2021贵港）如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y?x?1上，点B1，B2，…，y??Bn均在双曲线1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若则a2021= ．a1??1，【答案】2．- 13 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题．24．（2021南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1?1x，则y2与x的函数表达式是．【答案】【解析】y2?4x．试题分析：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵点A在反比例函数y1?1x上，11∴设A（a，a），∴OC=a，AC=a，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△ACOCOAACOCOA12?????OBD，∴BDODOB，∵A为OB的中点，∴BDODOB2，∴BD=2AC=a，- 14 -2k2y2?2a??4yx，∴k=aOD=2OC=2a，∴B（2a，a），设，∴2与x的函数表达式是：y2?44y2?x．故答案为：x．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题．y?25．（2021攀枝花）如图，若双曲线kx（k?0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为．363【答案】25．- 15 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题．93(x＞0)y?x26．（2021荆门）如图，点A1，A2依次在的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为．【答案】（62，0）．- 16 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 27．（2021南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OCy?是△OAB的中线，点B，C在反比例函数于．3x（x?0）的图象上，则△OAB的面积等9【答案】2．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题． 28．（2021烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比y?例函数kx（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．- 17 -15【答案】4．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题． 29．（2021玉林防城港）已知：一次函数y??2x?10的图象与反比例函数y?kx（k?0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，��2a+10），B（b，��2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交BC5?BD2，求△ABC的面积．于另一点C，连接BC交y轴于点D．若y?【答案】（1）81?x，B（1，8）；（2）（��4，��2）、（��16，2）；（3）10．- 18 -【解析】y?试题分析：（1）把点A的坐标代入kx，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=��2x+10，当y=0时，��2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5��4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴AHMH2MH??EHAH，∴12，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y?mx，1?y?x??2??x?4811?y??y?xy?2?x，2，则有4m?2，解得m=2，∴直线AP的解析式为解方程组?得：??x??4?y??2，∴点P的坐标为（��4，��2）或?．1②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（��16，2）．?- 19 -1综上所述：符合条件的点P的坐标为（��4，��2）、（��16，2）；?（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，CDCTBC5CTCD3????BD2．∵A（a，��2a+10）∴△CTD∽△BSD，∴BDBS．∵BD2，∴BS，B（b，��2b+10），∴C（��a，2a��考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．【2021年题组】1. （2021年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）y?4x上，分别经过A、B两点向轴作垂- 20 -④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．- 26 -9. （2021年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线y?2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线是．y?kx（k＜0）上运动，则k的值【答案】��6．考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．- 27 -10. （2021年江苏淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y?kx（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．【答案】（1）6；（2）y=��2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，．- 28 -考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.平行的判定．?考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。

九年级数学下册反比例函数知识点总结

九年级数学下册反比例函数知识点总结反比例函数是数学中常见的一种函数形式。

在反比例函数中，当自变量的值增大时，因变量的值会减小；当自变量的值减小时，因变量的值会增大。

下面是九年级数学下册关于反比例函数的知识点总结：1.反比例函数的定义：反比例函数是指一个函数，其方程形式为y = k/x，其中k是常数，x是自变量，y是因变量。

2.反比例函数的特点：当x为正数且逐渐增大，y的值会逐渐减小。

当x为正数且逐渐减小，y的值会逐渐增大。

如果x等于0，函数的值为无穷大或无穷小。

反比例函数的图像通常是一个曲线，经过原点，并且关于y轴和x轴都对称。

3.反比例函数的图像：反比例函数的图像通常是一个双曲线的一支。

当k为正数时，双曲线的开口朝上。

当k为负数时，双曲线的开口朝下。

当k的绝对值变大时，双曲线的形状越陡峭。

4.反比例函数的应用：反比例函数在实际生活中有许多应用，例如：速度与时间的关系：当行驶的时间增加时，速度会减小。

工作的时间与人数的关系：当完成工作的时间减少时，需要的人数会增加。

投资的金额与收益的关系：当投资的金额增加时，收益会减少。

5.反比例函数的求解：给定反比例函数的方程，可以通过代入不同的自变量的值来计算相应的因变量的值。

给定一组包含自变量和因变量的数值对，可以通过取自变量与因变量的乘积的比值来求解反比例函数的常数k。

以上是九年级数学下册关于反比例函数的知识点总结。

反比例函数在数学中扮演着重要的角色，并在实际生活中有许多应用。

通过理解这些知识点，可以更好地应用和解决与反比例函数相关的问题。

人教版九年级数学反比例函数知识点归纳

例如，在矩形面积一定的情况下，长与宽成反比。
工程技术和科学研究领域应用举例
电路设计
在电子工程中，电阻、电容等元件的参数之间往往存在反比关系。利用反比例函数可以优化电路
设计，提高电路性能。
经济学研究
在经济学中，价格与需求之间通常存在反比关系。价格越高，需求量越低；反之亦然。反比例函
数可用于描述这种经济现象。
转化思想
将复杂问题转化为简单问题，如将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式，再利用反比例函数的性质进行求解。
05
拓展延伸：反比例函数在高等数学中地位和作用
高等数学中反比例函数概念引入
01
在高等数学中，反比例函数作为一种基本的函数类型被引入，它描述了两个变量之
间的反比关系。
02
反比例函数的一般形式为 y=k/x（k≠0），其中k是常
一元二次方程求解方法回顾
01
配方法
通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，进而求解。
02
公式法
利用一元二次方程的求根公式进行求解。
03
因式分解法
将一元二次方程进行因式分解，得到两个一元一次方程，分
别求解。
反比例函数在一元二次方程中应用
01
02
03
判别式应用
利用反比例函数的性质，判断一元二次方程的根的情况，如判别式的正负等。
物理学应用
在物理学中，许多物理量之间存在反比关系。例如，万有引力定律中两物体之间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们距离的
平方成反比。
跨学科综合问题挑战
环境科学
在研究环境污染问题时，污染物的排放量与治理成本之间往往存在反比关系。利用反比例函数可以制定合理的治理方案，实现经济效益和环境效益的平衡。

人教版九年级数学第二十六章反比例函数

九年级数学·下新课标[人]第二十六章反比例函数1.结合具体情景体会反比例函数的意义,理解并掌握反比例函数的概念.2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.3.会用描点法画反比例函数图象.4.掌握反比例函数的图象和性质,并能运用相关性质解决有关问题.5.理解反比例函数中比例系数k的几何意义.6.能根据实际问题确定变量之间是反比例关系,并确定反比例函数解析式,能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题.1.从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,体会由特殊到一般的数学方法.3.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.4.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.3.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的反比例函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.函数知识是初中代数的核心内容,反比例函数也是新课标明确要求的初中学生必需体会和掌握的三种函数基本形式之一.本节课的内容,是在学生已经学习了函数及其图象的初步知识,以及系统地研究了一次函数的概念、图象、性质、简单应用,是在学生已经初步掌握研究函数的基本方法的基础上进行研究的.反比例函数是一种简单而又重要的函数,作为重要的数学模型,在解决日常生活、物理化学学科学习等实际问题中发挥了重要作用.通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力.本章内容从实际问题情景入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是对反比例函数的图象和性质的理解与掌握,通过画特殊的反比例函数的图象,归纳出一般反比例函数的图象特征和性质,体会由特殊到一般的数学学习方法,提高学生观察、分析、归纳总结的能力.对于某些解决实际问题的安排,力图加强反比例函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生应用数学的意识.数形结合思想贯穿本章内容,函数图象是研究函数性质的直观载体,从图象上直观观察函数的变化规律,整体把握函数的性质,而解析式是对函数性质的无限“解读”,但抽象不直观,所以将两者结合起来,共同研究函数的性质.本章重点是反比例函数的概念、图象、性质及应用,难点是反比例函数图象的生成过程,以及函数图象的间断及渐近性特点.根据学生特点,以前面学过的函数为基础,用类比的方法探究本章内容,重视反比例函数与一次函数、二次函数的联系、差异和综合运用.【重点】1.通过对实际问题情景的分析,确定反比例函数的解析式.2.会用描点法画反比例函数图象,并能从图象中认识反比例函数的性质.3.能用反比例函数性质解决简单的实际问题.【难点】1.能根据反比例函数图象特征及其性质解决有关问题.2.应用反比例函数解决实际问题,能解决与其他函数结合的问题.初中阶段从量变的角度研究函数,把函数定义为当一个量变化时,另一个量随这个量的变化而变化.根据学生的知识基础,一方面要以前面所学的函数概念及相关知识为基础,另一方面要进一步深化对函数内涵的理解和掌握.反比例函数是初中阶段学习的最后一类函数,因此,教学中要处理好新旧知识的联系,通过复习相关内容,类比前边所学函数的内容结构和思路,为全章的学习做好铺垫,尽量减少学生接受新知识的困难.在教学中,要重视反比例函数与已学函数,特别是与正比例函数的对比,教学时应引导从以下方面对比思考:函数解析式与函数图象的异同、常数k对函数图象的分布、增减性、变化趋势等性质的影响、自变量x的取值范围的异同.同时要重视反比例函数与一次函数、二次函数的联系、差异和综合运用.渗透数学重要思想与方法成为本章的主要线索,类比思想、从特殊到一般、数形结合思想、方程思想及待定系数法等数学思想和方法,贯穿整章的教学,教学过程中每课时都要注重数学思想的培养.单元概括整合 1课时26.1反比例函数1.了解反比例函数概念,能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式.2.会画反比例函数图象,并结合图象分析总结出反比例函数的性质.3.初步运用待定系数法确定反比例函数的解析式.4.能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的问题.1.从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.3.经历观察、分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,进一步体会数学建模思想.1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.让学生经历观察、比较、归纳、应用的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.3.体会数学与现实生活的紧密联系,增强学生应用数学解决实际问题的意识.【重点】1.理解反比例函数的概念.2.画反比例函数图象,理解反比例函数的性质.3.利用反比例函数的性质解决有关问题.【难点】1.理解反比例函数的意义.2.通过图象分析、总结反比例函数图象的特征和性质.3.灵活运用反比例函数的图象和性质解决综合问题.26.1.1反比例函数1.理解并掌握反比例函数定义.2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式及自变量的取值范围.1.让学生从实际问题情景中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数概念,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.【重点】1.理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.【难点】经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.【教师准备】多媒体课件1~7.【学生准备】预习教材P1~3.导入一:【课件1】同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以它们的平均速度有快有慢.(1)如果速度v一定,那么路程s与时间t是什么关系?(s=vt,是正比例函数)(2)如果时间t一定,那么路程s与速度v又是什么关系呢?(s=vt,是正比例函数)(3)如果路程s一定,那么速度v和时间t又是什么关系呢?v=st,是函数关系【思考】以上关系是函数吗?这个函数是不是我们前边学过的函数?【导入语】问题(1)(2)中的函数是一次函数(正比例函数),(3)中的函数不是前边学过的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.[设计意图]通过生活中的情景问题,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入新课的学习.导入二:【课件2】我们知道,导体中的电流I与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR,当U=220 V时:(1)你能用含有R的代数式表示I吗?(2)当R(3)变量I是R的函数吗?为什么?[设计意图]从学生身边的生活和已有知识出发,创设情景,目的是让学生感受到生活当中处处有数学,激发学生学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数概念做铺垫.同时,这个事例的引入也有助于学生从学科综合的角度进行学习.导入三:【复习提问】(1)什么是函数?什么是一次函数、二次函数?(2)一次函数、二次函数的学习过程是怎样的?【课件3】出示以往研究函数的基本思路:【师生活动】学生思考回答,教师点拨.[设计意图]通过复习一次函数、二次函数的概念,让学生从已有的知识体系中自然地构建出新知识.回忆学习一次函数、二次函数的研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,初步了解本章的基本内容和研究思路,为后续学习做好铺垫.1.感知反比例函数【出示课件4】(1)京沪线铁路全程为1463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化;(2)某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)随宽x(单位:m)的变化而变化;(3)已知北京市的总面积为1.68×104 km2,人均占有面积S(单位:km2/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化.教师引导学生针对上面三个事例思考:(1)每个事例中的两个变量是什么?(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?(3)有几个值与变化的量相对应?这种变化说明变量之间是什么关系?(4)题目中的等量关系是什么?如果是函数关系,其解析式是什么?(5)所列出的函数关系式有什么特点?[设计意图]通过问题组的形式,引导学生发现这些变量之间的关系是一种函数关系,并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数和二次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备,同时激发学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的.【学生活动】独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的函数解析式.【参考答案】(1)v=1463t (2)y=1000x(3)S=1.68×104n.(1)这三个函数是一次函数或二次函数吗?(2)这三个函数与前边学过的函数有什么不同?你能说出它们的共同特征吗?(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?(4)你能给这类函数下一个定义吗?【师生活动】学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.教师引导学生从两个方面思考:与一次函数和二次函数的解析式对比;给出的三个函数关系式等号右面是整式还是分式;三个函数关系式中的k值有什么特点.【总结(出示课件5)】一般地,形如y=kx(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.思考:(1)你身边哪些量之间存在着反比例函数关系?(2)在反比例函数y=kx中,k,x,y可以取任意实数吗?(3)反比例函数y=k中,自变量x的指数是1吗?为什么?(4)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?【师生活动】学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:反比例函数y=kx等号右边是分式形式.反比例函数中,比例系数k≠0,自变量x≠0,函数值y≠0.反比例函数的三种表示形式:y=kx,xy=k,y=kx-1.[设计意图]通过学生观察讨论,依据老师设计的问题串,类比已学函数,抽象出函数的本质特征,归纳出反比例函数的特征,学生经历概念的形成过程,从而达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结能力.思路二1.认识新的函数——反比例函数【出示课件6】下列五个事例:(1)某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)与宽x(单位:m)有何关系?(2)物理学中电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR.当U=220 V时,R与I有何关系?当R=10 Ω时,I与U有何关系?(3)京沪线铁路全程为1463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位:h)有何关系?(4)用10 m长的篱笆围成矩形的小花园.①如果花园的长为y m,宽为x m,那么y与x有何关系?②如果花园的长为x m,面积为y m2,那么y与x又有何关系?(5)已知北京市的总面积为1.68×104 km2,人均占有面积S(单位:km2/人)与全市总人口n(单位:人)有何关系?教师引导学生针对上面五个事例思考:(1)每个事例中的两个变量是什么?(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?这种变化说明变量之间是什么关系?(3)题目中的等量关系是什么?如果是函数关系,其解析式是什么?(4)所列出的函数关系式有什么特点?[设计意图]问题情景既有教材“思考”栏目的问题,又有新增设的跨学科的物理问题,这些事例都要求学生从实际问题中找到两个变量,确定函数解析式.使已学函数和要研究的新函数都呈现在学生面前,引发学生的认识冲突,为形成反比例函数概念、辨析反比例函数做好准备.【总结】经过学生交流研讨,确认五个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的函数解析式.(1)y=1000x .(2)R=220I;I=U10.(3)v=1463t.(4)①y=5-x.②y=5x-x2.(5)S=1.68×104n.【出示课件7】思考下列问题:【问题1】哪些是正比例函数、一次函数、二次函数?【问题2】哪些函数与问题1中的函数不同?能给这类函数下定义吗?【问题3】你能尝试写出类似问题1中这种函数的一般形式吗?【问题4】上述函数中的常数k分别是多少?【问题提示】上述情景中给出七个函数,其中第一、二、三、四个及第七个函数不是以往学习过的函数.通常情况下,我们用y表示函数,用k表示常量,用x表示自变量.这几个特殊的函数学生可以初步总结为y=kx.(2)理解反比例函数概念【问题1】反比例函数的一般式y=k的等号右边是什么式子?(提示:分式,其他的函数都是单项式或多项式)【问题2】反比例函数y=kx的比例系数k、自变量x取值有什么要求?(提示:都是不能为0的实数)【问题3】反比例函数解析式还可以写成其他形式吗?(提示:两个变量的乘积为定值;自变量x的指数为-1)[设计意图]通过前面的三个问题,观察学生是否能理解反比例函数的意义,是否能用数学语言表达反比例函数的解析式,是否理解自变量的取值范围(实际问题中自变量取值有所不同),是否掌握判断反比例函数的标准和方法.通过学生的观察、思考、合作、交流,反比例函数概念及模型的建立也就会水到渠成.下列函数:(1)y =5x ;(2)y =0.4x ;(3)y =3 x;(4)y =12x ;(5)xy =2;(6)y =5x +2.其中是反比例函数的是(填序号),它们的比例系数分别是 .〔解析〕根据反比例函数概念进行判断,易得(1),(2),(4),(5)是反比例函数,其中k 分别为5,0.4,12,2.〔答案〕(1)(2)(4)(5)5,0.4,12,2若y =(a -2)x |a |-3是反比例函数,则a 的值为.【师生活动】学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易错点. 〔解析〕根据反比例函数概念可得,反比例函数满足两个条件:(1)常数k ≠0;(2)自变量x 的指数为-1.由题意可得|a |-3=-1,且a -2≠0,解得a =-2.故填-2. [设计意图] 通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是忽略考虑k ≠0这一易错点.(教材例1)已知y 是x 的反比例函数,并且当x =2时,y =6.(1)写出y 关于x 的函数解析式; (2)当x =4时,求y 的值. 【师生活动】师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,学生之间互相纠正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤. 〔解析〕类比一次函数、二次函数求解析式的方法——待定系数法,设出函数解析式,将一对x ,y 的值代入,求出待定系数k. 解:(1)设所求函数解析式为y =k .因为当x =2时,y =6,所以有6=k 2.解得k =12.因此所求函数解析式为y =12x.(2)把x =4代入y =12x,得:y =124=3.[设计意图] 通过复习待定系数法,再次用这一方法求反比例函数解析式,并让学生体会反比例函数解析式中只有一个待定系数,所以代入一组值即可求出函数解析式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用,提高学生的归纳能力.[知识拓展](1)反比例函数y =k (k ≠0)等号右边分式的分母不能是多项式,只能是x 的一次单项式,如y =1x,y =32x等都是反比例函数,但y =2x +1中,y 就不是x 的反比例函数.(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成xy=k(k≠0),y=kx-1(k≠0)的形式.1.反比例函数定义:形如y=k(k为常数,且k≠0)的函数叫做反比例函数.2.反比例函数满足的条件:(1)函数右边是分式形式;(2)自变量的指数是-1;(3)比例系数不为0.3.反比例函数的三种表示形式:y=k(k≠0);xy=k(k≠0);y=kx-1(k≠0).4.反比例函数自变量的取值范围:x≠0.1.下列函数中,是反比例函数的是()A.y=2x+1B.y=0.75xD.xy=1C.y=1x-1解析:A中函数是一次函数;B中函数是正比例函数;C中函数右边分母不是x的单项式,所以A,B,C都不是反比例函数,只有D符合反比例函数定义.故选D.2.反比例函数y=(m+1)x-1中m的取值范围是()A.m≠1B.m≠-1C.m≠±1D.全体实数解析:在反比例函数y=kx-1中,比例系数k≠0,所以m+1≠0,所以m≠-1.故选B.3.若函数y=x2m-1为反比例函数,则m的值是.解析:根据反比例函数定义可得2m-1=-1,解得m=0.故填0.4.某蓄水池的排水管每小时排水8 m3,6 h可将满池水全部排空.(1)蓄水池的容积为;(2)若每小时排水用Q(m3)表示,则排水时间t(h)与Q(m3)的函数解析式为.解析:由题意可得等量关系为:单位时间内的排水量×排水时间=总排水量,所以蓄水池的容积为8×6=48(m3),故Qt=48,即t=48Q.答案:(1)48 m3(2)t=485.已知y与3x成反比例,且当x=1时,y=2.3(1)写出y与x的函数解析式;(2)当x=1时,求y的值;3(3)当y=1时,求x的值.2解:(1)设y 与x 的函数解析式为y =k 3x,把x =1,y =2代入,得23=k 3,所以k =2,所以y 与x 的函数解析式为y =23x.(2)当x =13时,y =2.(3) 当y =12时,12=23x,解得x =4.26.1.1 反比例函数思路一1.感知反比例函数3.例题讲解例1 例2例3一、教材作业【必做题】教材第3页练习第1,2题. 【选做题】教材第3页练习第3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列函数中,不是反比例函数的是 ( )A.y =-3xB.y =-32xC.y =1x -1D.3xy =22.下列反比例函数中,当x =2时,y 的值为-3的是()A.y =6xB.y =-6xC.y =-32xD.y =-23x3.若y =(a +1)x a2-2是反比例函数,则a 的值为 ( )A.1B.-1C.±1D.任意实数4.若一个矩形的面积为10,则这个矩形的长与宽之间的函数关系是 ( )A.正比例函数关系B.反比例函数关系C.一次函数关系D.不能确定5.下列函数:①y =2x -1;②y =-5x;③y =x 2+8x -2;④y =2x3;⑤y =12x;⑥y =a x.其中y 是x 的反比例函数的有(填序号).6.若反比例函数y =k x,当x =-1时,y =2,则k 的值是. 7.已知y 是x 的反比例函数,且当x =3时,y =8,那么当x =4时,y =.8.若梯形的下底长为x ,上底长为下底长的1,高为y ,面积为60,则y 与x 的函数解析式是(不考虑x 的取值范围).9.分别写出下列函数的解析式,指出是哪种函数,并确定其自变量的取值范围.(1)在路程为60 km 的运动中,速度v (单位:km/h )关于运动时间t (单位:h )的函数关系式;(2)某校要在校园中开辟出一块面积为84 m 2的矩形土地做花圃,这个花圃的长y (单位:m )关于宽x (单位:m )的函数关系式;(3)市政府计划建设一项水利工程,工程需要运送的土石总量为106米3,某运输公司承办了该项工程运送土石的任务,运输公司的平均工作量V (单位:米3/天)与完成运送任务所需要的时间t (单位:天)之间的函数关系式.10.已知y 与x 的反比例函数解析式为y =3x. (1)请完成下表:(2)求当x =-10时函数y 的值; (3)求当y =6时自变量x 的值. 【能力提升】11.将x =23代入反比例函数y =-1x中,所得函数值记为y 1,又将x =y 1+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y 2,再将x =y 2+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y 3,…,如此继续下去,则y 2014=.12.已知一个长方体的体积是100 cm 3,它的长是y cm ,宽是5 cm ,高是x cm . (1)写出用高表示长的解析式;(不用写出自变量取值范围)(2)当x =3时,求y 的值. 【拓展探究】13.已知y =y 1+y 2,y 1与x 2成正比例,y 2与x 成反比例,且当x =1时,y =3;当x =-1时,y =1.求当x =12时y 的值. 【答案与解析】1.C (解析:A ,B ,D 符合反比例函数定义,C 函数中的分母不是关于x 的单项式,所以不是反比例函数.故选C .)2.B (解析:把x =2分别代入各选项求出y 的值,只有B 中y 的值为-3.故选B .) 3.A (解析:根据反比例函数的定义,得a 2-2=-1,且a +1≠0,解得a 2=1,a ≠-1,∴a =1.故选A .)4.B (解析:题目中的等量关系为:长×宽=矩形面积,所以长×宽=10,即长等于10除以宽,所以长与宽是反比例函数关系.故选B .)5.②⑤(解析:①是一次函数,不是反比例函数;③y =x 2+8x -2是二次函数,不是反比例函数;④的分母中x 的指数是3,不是反比例函数;⑥y =a x中,a ≠0时,是反比例函数,没有此条件则不一定是反比例函数.只有②⑤符合反比例函数定义.故填②⑤.)6.-2(解析:把x =-1,y =2代入可得k =(-1)×2=-2.故填-2.)7.6(解析:设y =k ,把x =3,y =8代入,得k =24,所以y 与x 之间的函数解析式为y =24,把x =4代入得y =6.故填6.)8.y =90x(解析:根据梯形的面积公式可得12x +13x y =60,化简得y =90x.故填y =90x.)9.解:(1)v =60t,是反比例函数,t >0.(2)y =84x,是反比例函数,x >0.(3)V =106t,是反比例函数,t >0. 10.解:(1)-1-33 1(2)当x =-10时,y =-310.(3)当y =6时,6=3x,解得x =12.11.-3(解析:把x =2代入得y 1=-3,则 x 2=-3+1=-1,所以y 2=2,则 x 3=2+1=3,所以y 3=-1,则x 4=-1+1=2,所以y 4=-3.….观察y 1=y 4 ,所以三组一循环出现,2014除3余1,所以y 2014=y 1= -3.)12.解:(1)y =20x. (2)当x =3时,y =203.13.解:设y 1=k 1x 2,y 2=k2x,则y =y 1+y 2=k 1x 2+k2x.把x =1,y =3;x =-1,y =1代入得k 1+k 2=3,k 1-k 2=1.解得 k 1=2,k 2=1.所以y =2x 2+1x .当x =12时,y =2× 12 2+2=52.本课时精心设计了课程导入环节,顺利地把学生带入课时学习的情景之中,为学好本课时的内容做了很好的铺垫.在教学设计思路上,不是把概念直接交给学生,而是让学生通过比较反比例函数与其他函数区别的基础上得出结论,这样既巩固了先前的知识,又很好地做到了知识的迁移和延伸.依托教材的素材对教材进行了开发,依据教材的情景,设计了对学生具有启发性和引导性的问题,精心设置了教材例题之外的例题,更好地为实现本节课的教学目标服务.在复习一次函数和二次函数等函数知识的时候,给学生的时间较少,部分同学还没有很好地回忆和总结先前的知识,这在一定程度上造成了学生理解知识存在衔接的困难.在讨论问题组的时候,让学生自我学习和交流做得不够深入,老师过早地把问题结论提示给学生,对学生的思维活动没有做到很好的引导.在习题处理环节上,第一个例题可以让学生通过交流合作去完成.因为本课时的学习内容需要联系以往的函数知识,教师应该在课前让学生进行有针对性的复习.降低补充的两个例题的综合程度,把处理的重点放在巩固基础知识上,而不是强调对知识的综合练习.在明确了反比例函数的定义之后,建议学生利用函数解析式把不同的函数特点进行对比,这样更有利于学生对知识的掌握.练习(教材第3页)1.(1)t=2000v (2)h=1000S(3)p=100S2.解:y=-2x,xy=123中的y是x的反比例函数.3.解:(1)设函数解析式为y=k2(k≠0),所以4=k32,k=36,所以函数解析式为y=362.(2)y=361.52=16.(3)当y=6时,6=362,解得x=±6.。

九年级数学上册反比例函数讲解

九年级数学上册反比例函数讲解一、反比例函数的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如y = (k)/(x)(k为常数,k≠0,x≠0)的函数叫做反比例函数。

其中x是自变量，y是函数。

- 例如，当k = 3时，函数y=(3)/(x)就是一个反比例函数。

2. 反比例函数的其他形式。

- y = kx^-1(k≠0)，这是根据负指数幂的定义x^-1=(1)/(x)得到的。

- xy = k(k≠0)，这是将y=(k)/(x)两边同时乘以x得到的形式。

二、反比例函数的图象和性质。

（一）图象。

1. 画法。

- 列表：选取一些x的值（注意x≠0），计算出对应的y值。

例如对于y=(2)/(x)，当x = 1时，y = 2；当x=-1时，y=-2；当x = 2时，y = 1；当x=-2时，y=-1等。

- 描点：根据列表中的坐标(x,y)在平面直角坐标系中描出相应的点。

- 连线：用平滑的曲线将这些点连接起来。

由于x≠0，所以图象与坐标轴没有交点。

2. 图象形状。

- 反比例函数的图象是双曲线。

当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；当k < 0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。

（二）性质。

1. 当k>0时。

- 在每个象限内，y随x的增大而减小。

例如对于y=(3)/(x)，当x = 1时y = 3，当x = 2时y=(3)/(2)，2>1而(3)/(2)<3。

这里要强调是在每个象限内，因为如果不限制在同一象限，当x = - 1时y=-3，-1<1但-3 < 3，如果不强调象限就会得出错误结论。

2. 当k < 0时。

- 在每个象限内，y随x的增大而增大。

例如对于y =-(2)/(x)，当x=-1时y = 2，当x=-2时y = 1，-2 < - 1而1<2。

三、反比例函数解析式的确定。

1. 方法。

- 待定系数法。

如果已知反比例函数图象上一点(x_0,y_0)，将其代入y=(k)/(x)中，得到y_0=(k)/(x_0)，从而解得k=x_0y_0。

2020北师大版九年级数学上册反比例函数知识点总结

【文库独家】北师大版九年级上册第六章反比例函数知识点总结知识点1 反比例函数的定义一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

人教版九年级数学下册反比例函数知识点归纳及练习含答案

人教版九年级数学下册反比例函数知识点归纳及练习含答案在九年级数学下册教材中，反比例函数是一个重要的知识点。

它是函数的一种特殊形式，具有一些独特的性质和应用。

下面将对反比例函数的知识点进行归纳总结，并提供一些相关的练习题及答案。

一、反比例函数的定义反比例函数是指一个函数，它的函数关系是如下形式：y = k/x其中，k是常数，x和y分别是自变量和因变量。

二、反比例函数的性质1. 定义域和值域：对于反比例函数 y = k/x，其定义域是除数x不能为零的实数集，值域为除数k不能为零的实数集。

2. 反比例函数的图像：反比例函数的图像是一条经过原点(0,0)的曲线，其形状根据k的正负不同而有所变化。

当k>0时，反比例函数为一条开口向右上方的双曲线；当k<0时，反比例函数为一条开口向右下方的双曲线。

3. 反比例函数的性质：a) 反比例函数的图像关于y轴和x轴对称。

b) 当x>0时，y随着x的增大而减小；当x<0时，y随着x的减小而增大。

c) 当x等于1时，y等于k，这是反比例函数的特殊点。

d) 反比例函数可以通过求导得到，导数的值为-ky^2。

三、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 速度与时间的关系：当一个物体以恒定的速度运动时，它所用的时间与距离成反比。

2. 人均所得与人口数量的关系：当一个国家人口增加时，人均所得会相应减少。

3. 工人数量与完成一项任务所需时间的关系：当工人的数量增加时，完成一项任务所需的时间会相应减少。

四、练习题及答案1. 以下哪个函数是反比例函数？A. y = 2xB. y = x^2C. y = 3/xD. y = x + 1答案：C. y = 3/x2. 反比例函数 y = k/x 中，若k > 0，则函数的图像是一条__________的双曲线。

答案：开口向右上方3. 若反比例函数的定义域为(-∞, -4) ∪ (4, +∞)，则函数的值域为__________。

北师大版九年级数学上册反比例函数

（4）根据付款次数×每次付款数=12000-4000 解答即可.
【详解】（1）∵hS=450，∴ h
450
S
，∴比例系数为 450.
W
（2）∵Fs=W，∴ F s ，∴比例系数为W .
（3）∵xy=1000，∴ y
1000
x
，∴比例系数为 1000.
（4）∵xy=12000-4000，∴ y
3
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义确定 m 的值即可．
【详解】解：∵函数 y (m 1)x 是反比例函数，
m2 2
m2 2 1
∴ m 1 0 ，
解得： m 1 ；
故选：B
）
6．若函数 y m 1 x
m2 m1
是反比例函数，则 m 的值为 _____．
当 y＝35 时，即 35
解得： x
20
700
x
700
x
，
，
，
∵20－7＝13，
∴水温从 100 ℃降到 35 ℃所用的时间是 13 min，
故选：C．
4．已知经过闭合电路的电流 I（单位：A ）与电路的电阻 R（单位：）是反比例函数关系．
根
据下表判断 a 和 b 的大小关系为（
I /A
R/
（2）功是常数W 时，力 F 与物体在力的方向上通过的距离 s 的函数关系式；
（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花 1000 朵，完成的天数 y 与该班同
学每天制作的数量 x 之间的函数关系式；
（4）某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价 1.2 万元，首期付款 4 千元后，
分 x 次付清，每次付款相同. 每次的付款数 y （元）与付款次数 x 的函数关系式.

湘教版九年级数学上册第一章反比例函数《四清导航》单元清(含答案)

检测内容：第1章得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共24分) 1、下列函数中，不是反比例函数的是( )A 、y ＝5xB 、y ＝－m5x (m ≠0) C 、y ＝x －17 D 、y ＝－52x2、(2014·河池)若反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象过点(2，1)，则这个函数的图象一定过点( )A 、(2，－1)B 、(1，－2)C 、(－2，1)D 、(－2，－1) 3、已知反比例函数y ＝kx 的图象经过点P (－1，2)，则这个函数的图象位于( )A 、第二、三象限B 、第一、三象限C 、第三、四象限D 、第二、四象限 4、已知反比例函数y ＝1x，下列结论错误的是( )A 、图象经过点(1，1)B 、当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大C 、当x ＞1时，0＜y ＜1D 、图象在第一、三象限5、如图，一张正方形的纸片剪去两个一样的小长方形，得到一个“E ”图案，设小长方形的长和宽分别为x ，y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图象是( )6、(2014·怀化)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图，那么正比例函数y ＝kx 和反比例函数y ＝kx在同一坐标系中的图象大致是( )7、(2014·仙桃)如图，正比例函数y 1＝k 1x 和反比例函数y 2＝k 2x的图象交于A (1，2)，B 两点，给出下列结论：①k 1＜k 2；②当x ＜－1时，y 1＜y 2；③当y 1＞y 2时，x ＞1；④当x ＜0时，y 2随x 的增大而减小、其中正确的有( )A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个8、(2014·抚顺)如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点P 是双曲线y ＝kx (x ＞0)上的一个动点，PB ⊥y 轴于点B ，当点P 的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会( )A 、逐渐增大B 、不变C 、逐渐减小D 、先增大后减小二、填空题(每小题3分，共24分)9、点P (2m －3，1)在反比例函数y ＝1x的图象上，则m ＝_ __、10、汽车油箱中有油50升，已知汽车的油耗是a (升/百千米)，行驶的路程为s (百千米)，那么s 与a 的函数关系是____、11、已知函数y ＝(m －2)x 3－m 2是反比例函数，则m 的值为____、12、(2014·六盘水)如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b (k 1≠0)的图象与反比例函数y 2＝k 2x (k 2≠0)的图象交于A ，B 两点，观察图象，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是________________、第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图 13、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa )是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示、当气球内的气压大于150 kPa 时，气球将爆炸、为了保证安全，气球的体积应不小于__ __m 3、14、(2014·临沂)如图，反比例函数y ＝4x 的图象经过直角三角形OAB 的顶点A ，D 为斜边OA的中点，则过点D 的反比例函数的表达式为__ __、15、(2014·山西)如图，已知一次函数y ＝kx －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝8x 在第一象限内的图象交于点C ，且A 为BC 的中点，则k ＝__ __、16、(2014·东营)如图，函数y ＝1x 和y ＝－3x 的图象分别是l 1和l 2、设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形P AB 的面积为__ __、三、解答题(共72分)17、(8分)已知反比例函数y ＝k －1x (k 为常数，k ≠1)、(1)若点A (1，2)在这个函数的图象上，求k 的值；(2)若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围、18、(8分)小红家在七月初用购电卡买了1 000度电，设这些电够使用的天数为y ，小红家平均每天的用电度数为x 、 (1)求y 关于x 的函数表达式；(2)若她家平均每天用电8度，则这些电可以用多长时间？19、(8分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y ＝2x 的图象有一个交点A (m ，2)、 (1)求m 的值；(2)求正比例函数y ＝kx 的表达式；(3)试判断点B (2，3)是否在正比例函数图象上，并说明理由、20、(9分)如图是反比例函数y ＝5－2mx的图象的一支、(1)根据图象画出反比例函数图象的另一支，并确定常数m 的取值范围；(2)若点A (m －3，b 1)和点B (m －4，b 2)是该反比例函数图象上的两点，请判断点A ，B 所在象限及b 1与b 2的大小，并说明判断理由、21、(9分)一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象交于A (2，1)，B (－1，n )两点、(1)求反比例函数的表达式；(2)根据图象写出使一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x 的取值范围； (3)求△AOB 的面积、22、(9分)已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例，且x ＝1时，y ＝3；x ＝－1时，y ＝1、求x ＝－12时，y 的值、23、(10分)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种、如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时间x (小时)变化的函数图象，其中BC 段是双曲线y ＝kx 的一部分、请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有多少小时？ (2)求k 的值；(3)当x ＝16时，大棚内的温度约为多少摄氏度？24、(11分)(2014·镇江)六·一儿童节，小文到公园游玩、看到公园的一段人行弯道MN (不计宽度)，如图，它与两面互相垂直的围墙OP，OQ之间有一块空地MPOQN(MP⊥OP，NQ⊥OQ)，他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A，B，C是弯道MN上的三点，矩形ADOG，矩形BEOH，矩形CFOI的面积相等、爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图)，图中三块阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，并测得S2＝6(单位：平方米)、OG＝GH＝HI、(1)求S1和S3的值；(2)设T(x，y)是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数表达式；(3)公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，已知MP＝2米，NQ＝3米、问一共能种植多少棵花木？参考答案一、选择题(每小题3分，共24分) 1、下列函数中，不是反比例函数的是( C )A 、y ＝5xB 、y ＝－m5x (m ≠0) C 、y ＝x －17 D 、y ＝－52x2、(2014·河池)若反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象过点(2，1)，则这个函数的图象一定过点( D )A 、(2，－1)B 、(1，－2)C 、(－2，1)D 、(－2，－1) 3、已知反比例函数y ＝kx的图象经过点P (－1，2)，则这个函数的图象位于( D )A 、第二、三象限B 、第一、三象限C 、第三、四象限D 、第二、四象限 4、已知反比例函数y ＝1x，下列结论错误的是( B )A 、图象经过点(1，1)B 、当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大C 、当x ＞1时，0＜y ＜1D 、图象在第一、三象限5、如图，一张正方形的纸片剪去两个一样的小长方形，得到一个“E ”图案，设小长方形的长和宽分别为x ，y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图象是( A )6、(2014·怀化)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图，那么正比例函数y ＝kx 和反比例函数y ＝kx在同一坐标系中的图象大致是( C )7、(2014·仙桃)如图，正比例函数y 1＝k 1x 和反比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A (1，2)，B 两点，给出下列结论：①k 1＜k 2；②当x ＜－1时，y 1＜y 2；③当y 1＞y 2时，x ＞1；④当x ＜0时，y 2随x 的增大而减小、其中正确的有( C )A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个8、(2014·抚顺)如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点P 是双曲线y ＝kx (x ＞0)上的一个动点，PB ⊥y 轴于点B ，当点P 的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会( C )A 、逐渐增大B 、不变C 、逐渐减小D 、先增大后减小二、填空题(每小题3分，共24分)9、点P (2m －3，1)在反比例函数y ＝1x的图象上，则m ＝__2__、10、汽车油箱中有油50升，已知汽车的油耗是a (升/百千米)，行驶的路程为s (百千米)，那么s 与a 的函数关系是__s ＝50a__、 11、已知函数y ＝(m －2)x 3－m 2是反比例函数，则m 的值为__－2__、12、(2014·六盘水)如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b (k 1≠0)的图象与反比例函数y 2＝k 2x (k 2≠0)的图象交于A ，B 两点，观察图象，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是__－1＜x ＜0或x ＞2__、第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图 13、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa )是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示、当气球内的气压大于150 kPa 时，气球将爆炸、为了保证安全，气球的体积应不小于__0、64__m 3、14、(2014·临沂)如图，反比例函数y ＝4x 的图象经过直角三角形OAB 的顶点A ，D 为斜边OA的中点，则过点D 的反比例函数的表达式为__y ＝1x__、15、(2014·山西)如图，已知一次函数y ＝kx －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝8x 在第一象限内的图象交于点C ，且A 为BC 的中点，则k ＝__4__、16、(2014·东营)如图，函数y ＝1x 和y ＝－3x 的图象分别是l 1和l 2、设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形P AB 的面积为__8__、三、解答题(共72分)17、(8分)已知反比例函数y ＝k －1x (k 为常数，k ≠1)、(1)若点A (1，2)在这个函数的图象上，求k 的值；(2)若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围、解：(1)根据题意得k －1＝1×2，解得k ＝3；(2)由题意得k －1＞0，解得k ＞1、18、(8分)小红家在七月初用购电卡买了1 000度电，设这些电够使用的天数为y ，小红家平均每天的用电度数为x 、 (1)求y 关于x 的函数表达式；(2)若她家平均每天用电8度，则这些电可以用多长时间？解：(1)根据题意可得x ·y ＝1 000，即y ＝1 000x (x ＞0)；(2)当x ＝8时，y ＝1 0008＝125，故这些电可以用125天、19、(8分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y ＝2x 的图象有一个交点A (m ，2)、 (1)求m 的值；(2)求正比例函数y ＝kx 的表达式；(3)试判断点B (2，3)是否在正比例函数图象上，并说明理由、解：(1)∵反比例函数y ＝2x 的图象过点A (m ，2)，∴2＝2m ，解得m ＝1；(2)∵正比例函数y ＝kx 的图象过点A (1，2)，∴2＝k ×1，解得k ＝2，∴正比例函数的表达式为y ＝2x ；(3)点B (2，3)不在正比例函数的图象上、理由如下：将x ＝2代入y ＝2x ，得y ＝2×2＝4≠3，所以点B (2，3)不在正比例函数y ＝2x 的图象上、20、(9分)如图是反比例函数y ＝5－2m x的图象的一支、 (1)根据图象画出反比例函数图象的另一支，并确定常数m 的取值范围；(2)若点A (m －3，b 1)和点B (m －4，b 2)是该反比例函数图象上的两点，请判断点A ，B 所在象限及b 1与b 2的大小，并说明判断理由、解：(1)∵反比例函数y ＝5－2m x 的图象的一支在第一象限，∴5－2m ＞0，解得m ＜52、∵反比例函数的图象关于原点对称，据此可画出图象的另一支，图略；(2)点A ，B 在第三象限，b 1＜b 2、理由如下：由(1)知m ＜52，∴m －3＜－12，m －4＜－32，∴点A (m －3，b 1)和点B (m －4，b 2)都在第三象限的分支上、∵在第三象限内，y 随x 的增大而减小，且m －3＞m －4，∴b 1＜b 2、21、(9分)一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x的图象交于A (2，1)，B (－1，n )两点、 (1)求反比例函数的表达式；(2)根据图象写出使一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x 的取值范围；(3)求△AOB 的面积、解：(1)y ＝2x；(2)x ＞2或－1＜x ＜0；(3)由A (2，1)和B (－1，－2)可求得一次函数的表达式为y ＝x －1，∴C (1，0)、S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×1×1＋12×1×2＝32、22、(9分)已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例，且x ＝1时，y ＝3；x ＝－1时，y ＝1、求x ＝－12时，y 的值、解：设y 1＝k 1x 2(k 1≠0)，y 2＝k 2x (k 2≠0)，∴y ＝k 1x 2＋k 2x 、由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＝3，k 1－k 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，k 2＝1.∴y ＝2x 2＋1x ，当x ＝－12时，y ＝－32、23、(10分)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种、如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时间x (小时)变化的函数图象，其中BC 段是双曲线y ＝k x的一部分、请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有多少小时？(2)求k 的值；(3)当x ＝16时，大棚内的温度约为多少摄氏度？解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度为18 ℃的时间为12－2＝10(小时)；(2)∵点B (12，18)在双曲线y ＝k x 上，∴18＝k 12，解得k ＝216；(3)由(2)得y ＝216x，∴当x ＝16时，大棚内的温度为21616＝13、5 (℃)、24、(11分)(2014·镇江)六·一儿童节，小文到公园游玩、看到公园的一段人行弯道MN (不计宽度)，如图，它与两面互相垂直的围墙OP ，OQ 之间有一块空地MPOQN (MP ⊥OP ，NQ ⊥OQ )，他发现弯道MN 上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A ，B ，C 是弯道MN 上的三点，矩形ADOG ，矩形BEOH ，矩形CFOI 的面积相等、爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图)，图中三块阴影部分的面积分别记为S 1，S 2，S 3，并测得S 2＝6(单位：平方米)、OG ＝GH ＝HI 、(1)求S 1和S 3的值；(2)设T (x ，y )是弯道MN 上的任一点，写出y 关于x 的函数表达式；(3)公园准备对区域MPOQN 内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，已知MP ＝2米，NQ ＝3米、问一共能种植多少棵花木？解：(1)∵矩形ADOG 、矩形BEOH 、矩形CFOI 的面积相等，∴弯道为反比例函数图象的一部分、设函数表达式为y ＝k x (k ≠0)，OG ＝GH ＝HI ＝a ，则AG ＝k a ，BH ＝K 2a ，CI ＝k 3a，所以S 2＝k 2a ·a －k 3a ·a ＝6，解得k ＝36，所以S 1＝k a ·a －k 2a ·a ＝12k ＝12×36＝18，S 3＝k 3a ·a ＝13k ＝13×36＝12；(2)∵k ＝36，∴弯道函数表达式为y ＝36x、∵T (x ，y )是弯道MN 上的任一点，∴y ＝36x ；(3)∵MP ＝2米，NQ ＝3米，∴GM ＝362＝18，36OQ＝3，解得OQ ＝12、∵在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，∴x ＝2时，y ＝18，可以种8棵，x ＝4时，y ＝9，可以种4棵，x ＝6时，y ＝6，可以种2棵，x ＝8时，y ＝4、5，可以种2棵，x ＝10时，y ＝3、6，可以种1棵、故一共能种植17棵花木、。

九年级数学下册第二十六章反比例函数重点知识归纳(带答案)

九年级数学下册第二十六章反比例函数重点知识归纳单选题1、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE ．若AD 平分∠OAE ，反比例函数y =k x (k >0,x >0)的图象经过AE 上的两点A ，F ，且AF =EF ，△ABE 的面积为18，则k 的值为（）A ．6B ．12C ．18D ．24答案：B分析：先证明OB ∥AE ，得出S △ABE =S △OAE =18，设A 的坐标为（a ，k a ），求出F 点的坐标和E 点的坐标，可得S △OAE =12×3a×k a =18，求解即可．解：如图，连接BD ，∵四边形ABCD 为矩形，O 为对角线，∴AO=OD ，∴∠ODA=∠OAD ，又∵AD 为∠DAE 的平分线，∴∠OAD=∠EAD ，∴∠EAD=∠ODA ，∴OB ∥AE ，∵S △ABE =18，∴S △OAE =18，设A 的坐标为（a ，k a ）， ∵AF=EF ，∴F 点的纵坐标为k 2a ，代入反比例函数解析式可得F 点的坐标为（2a ，k 2a ）， ∴E 点的坐标为（3a ，0），S △OAE =12×3a×k a =18，解得k=12，故选：B ．小提示：本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出S △ABE =S △OAE =18是解题关键．2、若反比例函数y =k x 的图象经过点（2，4），则k 的值是（） A ．2B ．−2C ．8D ．−8答案：C分析：把点（2，4）代入y =k x ，求出k 的数值即可．解：把点（2，4）代入y =k x 得4=k 2，解得k =8．故选：C ．小提示：此题考查利用待定系数法求函数解析式，图象上点的坐标都适合函数解析式解题的关键．3、如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx+b （k 、b 是常数，且k≠0）与反比例函数y 2=c x （c 是常数，且c≠0）的图象相交于A （﹣3，﹣2），B （2，3）两点，则不等式y 1＞y 2的解集是（）A．﹣3＜x＜2B．x＜﹣3或x＞2C．﹣3＜x＜0或x＞2D．0＜x＜2答案：C分析：一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2= c图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．x∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2= c（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，x﹣2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，故选C．小提示：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．的图象上，则x1,x2,x3的大小关系是（）4、若点A(x1,−5),B(x2,2),C(x3,5)都在反比例函数y=10xA．x1<x2<x3B．x2<x3<x1C．x1<x3<x2D．x3<x1<x2答案：C分析：因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解x1,x2,x3，然后直接比较大小即可．，可求得x1=−2,x2=5,x3=2，比较其大小可得：x1＜x3＜x2．将A，B，C三点分别代入y=10x故选：C．小提示：本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可．(k为常数，且k≠0)的图象大致( )5、在同一平面直角坐标系中，函数y=x−k与y=kxA ．B ．C ．D ．答案：A 分析：根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的，本题得以解决．解：∵函数y =x −k 与y =k x （k 为常数，且k≠0）， ∴当k ＞0时，y =x −k 经过第一、三、四象限，y =k x 经过第一、三象限，故选项A 正确，选项B 错误；当k ＜0时，y =x −k 经过第一、二、三象限，y =k x 经过第二、四象限，故选项C 错误，选项D 错误，故选：A ．小提示：本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握是解题的关键.6、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B 在反比例函数y =k x （k >0，x >0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD ∥x 轴．若菱形ABCD 的面积为452，则k 的值为（）A ．54B ．154C ．4D ．5答案：D分析：设A(1，m)，B(4，n)，连接AC 交BD 于点M ，BM=4-1=3，AM=m-n ，由菱形的面积可推得m-n=154，再根据反比例函数系数的特性可知m=4n ，从而可求出n 的值，即可得到k 的值.设A(1，m)，B(4，n)，连接AC 交BD 于点M ，则有BM=4-1=3，AM=m-n ，∴S 菱形ABCD =4×12BM•AM ， ∵S 菱形ABCD =452，∴4×12×3（m-n ）=452，∴m-n=154，又∵点A ，B 在反比例函数y =k x ， ∴k=m=4n ，∴n=54，∴k=4n=5，故选D.小提示：本题考查了反比例函数k 的几何意义、菱形的性质、菱形的面积等，熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键.7、一次函数y =mx +n 的图像与反比例函数y =m x 的图像交于点A 、B ，其中点A 、B 的坐标为A （-1m ，-2m ）、B （m ，1），则△OAB 的面积（）A ．3B ．134C ．72D ．154答案：D分析：将点A 的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B 的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB 与y 轴交点D 的坐标，确定OD 的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．解：∵A （-1m ，-2m ）在反比例函数y =m x 的图像上， ∴m =(-1m ) • ( -2m )=2，∴反比例函数的解析式为y =2x ，∴B （2，1），A （-12，-4），把B （2，1）代入y =2x +n 得1=2×2+n ，∴n =-3，∴直线AB 的解析式为y =2x -3，直线AB 与y 轴的交点D （0，-3），∴OD =3，∴S △AOB =S △BOD +S △AOD=12×3×2+12×3×12 =154．故选：D ．．小提示：本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．8、为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y （万元）与月份x 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误．．的是（）A．4月份的利润为50万元B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D．9月份该厂利润达到200万元答案：C分析：直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．A、设反比例函数的解析式为y=kx，把(1,200)代入得，k＝200，∴反比例函数的解析式为：y=200x，当x＝4时，y＝50，∴4月份的利润为50万元，正确意；B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确；C、当y＝100时，则100=200x，解得：x＝2，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确．D、设一次函数解析式为：y＝kx＋b，则{4k+b=506k+b=110，解得：{k=30b=−70，故一次函数解析式为：y＝30x−70，故y＝200时，200＝30x−70，解得：x＝9，则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确．故选：C．小提示：此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．(k≠0)的图象经过点(2,−3)，则它的图象也一定经过的点是（）9、若反比例函数y=kxA．(−2,−3)B．(−3,−2)C．(1,−6)D．(6,1)答案：C分析：先利用反比例函数y=k(k≠0)的图象经过点(2,−3)，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐x标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．(k≠0)的图象经过点(2,−3)，解：∵反比例函数y=kx∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，1×（﹣6）＝﹣6，,6×1＝6≠﹣6，则它一定还经过（1，﹣6），故选：C．小提示：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k(k≠0)的图象是双曲线，图象上的点x（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．（x＞0）图象上的一点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接OA，如果10、如图，点A为函数y=kx△AOB的面积为2，那么k的值为（）A．1B．2C．3D．4答案：Dmn=2，所以mn=4，设点A坐标为（m，n），则有AB=m，OB=n，由题意可得：12又点A在双曲线y=k上，所以k=mn=4，x故选D.填空题的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＜y2，则x的取值范围11、如图，函数y1＝x+1与函数y2＝2x是x＜﹣2或 _____．答案：0＜x＜1分析：观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象的下方时对应的x的取值范围即可．解：由图象可知，y1＜y2时的x的取值范围为：x＜−2或0＜x＜1，所以答案是：0＜x＜1．小提示：本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．的图象交于M，N两点．若点M的坐标是(1,2)，则点N的坐标12、如图，已知直线y=2x与反比例函数y=2x是______．答案：（－1，－2）分析：直接利用正比例函数和反比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案．解：∵直线y=2x与反比例函数y=2x的图象交于M，N两点，∴M，N两点关于原点对称，∵点M的坐标是（1，2），∴点N的坐标是（-1，-2）．所以答案是：（－1，－2）.小提示：此题主要考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，正确得出M，N两点位置关系是解题关键．13、如图，点A是反比例函数y=kx(x<0)图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=______________．答案：−4分析：设点A(a,ka )，利用S△ABC=12×(−2a)×ka=4即可求出k的值．解：设点A(a,ka)，∵点D为线段AB的中点．AB⊥y轴∴AB=2AD=−2a，又∵S△ABC=12×(−2a)×ka=4，∴k=−4．所以答案是：−4小提示：本题考查利用面积求反比例函数的k的值，解题的关键是找出S△ABC=12×(−2a)×ka=4．14、已知反比例函数y=−k2−1x图象上的三个点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，其中x1<0<x2<x3，则y1，y2，y3的大小关系是______（用“＜”连接）．答案：y2<y3<y1分析：根据平方的非负性得出−k2−1＜0，再分析反比例函数y=−k2−1x图象上点的坐标特征解答即可．解：∵反比例函数y=−k2−1x中，−k2−1＜0，∴反比例函数图象位于第二，第四象限内，且每一象限内y随x的增大而增大．∵点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)在反比例函数y=−k2−1x图象上，且x1<0<x2<x3，∴y2<y3<0<y1，∴y2<y3<y1．所以答案是：y2<y3<y1．小提示：本题考查了根据反比例函数图象的性质比较反比例函数值的大小，根据平方的非负性判断反比例函数图象所处的象限，并熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．15、正比例函数y=kx与反比例函数y=1x的图象交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则代数式x1y2+x2y1的值是_________．答案：-2分析：联立方程组，用含k的式子表示x1,x2,y1,y2，再代入求解即可．解：正比例函数y=kx与反比例函数y=1x的图象交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，∴{y =kx y =1x解得：{x 1=√k k y 1=√k 或{x 2=−√k k y 2=−√k，∴x 1y 2+x 2y 1=√k k ×(−√k)+(−√k k )×√k =−2，所以答案是：-2．小提示：本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题和解二元一次方程组，联立方程组求解是解题的关键．解答题16、定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数y =12x +12的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y =x +2,y =x 2−x 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y =3x (x >0),y =−x +b 的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ．当△ABC 的面积为3时，求b 的值；（3）若函数y =x 2−2(x ≥m)的图象记为W 1，将其沿直线x =m 翻折后的图象记为W 2．当W 1,W 2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．答案：（1）函数y =x +2没有“等值点”；函数y =x 2−x 的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）b =4√3或−2√3；（3）m <−98或−1<m <2．．分析：（1）根据定义分别求解即可求得答案；（2）根据定义分别求A (√3，√3)，B (b 2，b 2)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；（3）由记函数y =x 2-2（x ≥m ）的图象为W 1，将W 1沿x =m 翻折后得到的函数图象记为W 2，可得W 1与W 2的图象关于x =m 对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．解：（1）∵函数y =x +2，令y =x ，则x +2=x ，无解，∴函数y =x +2没有“等值点”；∵函数y=x2−x，令y=x，则x2−x=x，即x(x−2)=0，解得：x1=2，x2=0，∴函数y=x2−x的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）∵函数y=3x，令y=x，则x2=3，解得：x=√3(负值已舍)，∴函数y=3x的“等值点”为A(√3，√3)；∵函数y=−x+b，令y=x，则x=−x+b，解得：x=b2，∴函数y=−x+b的“等值点”为B(b2，b2)；△ABC的面积为12BC•|x B−x A|=12•|b2|•|b2−√3|=3，即b2−2√3b−24=0，解得：b=4√3或−2√3；（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于x=m对称，∴函数W的解析式为{y=x2−2(x≥m)y=(2m−x)2−2(x<m)，令y=x，则x2−2=x，即x2−x−2=0，解得：x1=2，x2=−1，∴函数y=x2−2的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；令y=x，则(2m−x)2−2=x，即x2−(4m+1)x+4m2−2=0，当m≥2时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；当−1<m<2时，观察图象，恰有2个“等值点”；当m<−1时，∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，∴函数W2没有“等值点”，∴△=[−(4m+1)]2−4×1×(4m2−2)<0，整理得：8m+9<0，解得：m<−98．综上，m的取值范围为m<−98或−1<m<2．小提示：本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17、如图，点A(a,2)在反比例函数y=4x 的图象上，AB//x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y=kx于点B，已知AC=2BC．（1）求直线OA的解析式；的解析式；（2）求反比例函数y=kx上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．（3）点D为反比例函数y=kx；（3）3.答案：（1）y=x；（2）y=−2x分析：（1）先求解A的坐标，再把A的坐标代入正比例函数y=mx，解方程即可得到答案；（2）利用AC=2BC,先求解B的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；),而A(2,2),E为AD的中点，利用中点坐标公式求解D,E的坐标，再利用S△OAD=S△ODE+（3）设D(n,−2nOE(|x A|+|x D|)，计算即可得到答案.S△OAE=12的图象上，解：（1）∵点A(a,2)在反比例函数y=4x∴2a=4,a=2,则A(2,2),∴AC=2,设直线AO为：y=mx,∴2m=2,则m=1,所以直线AO为：y=x,（2）∵AB//x轴，AC=2BC=2．∴BC=1,∴B(−1,2),∴k=xy=−1×2=−2,.所以反比例函数为：y=−2x（3）设D(n,−2n),而A(2,2),E为AD的中点，∴x E=12(2+n)=0,∴n=−2,∴D(−2,1),E(0,32),∴S△OAD=S△ODE+S△OAE=12OE(|x A|+|x D|)=12×32×(2+2)=3.小提示：本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.18、如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x(x>0)的图象交于A(1,6)，B(3,n)两点．（1）求反比例函数的解析式和n的值；（2）根据图象直接写出不等式k1x+b<k2x的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．答案：（1）y=6x，2；（2）0<x<1或x>3；（3）8分析：（1）把A的坐标代入反比例函数解析式即可求得k2的值，然后把x=3代入即可求得n的值；（2）根据一次函数和反比例函数的图象即可直接求解；（3）利用待定系数法求得一次函数的解析式，设直线与x轴相交于点C，然后根据S△AOB=S△AOC−S△BOC即可求解．解：（1）∵A(1,6)在y=k2x的图象上，∴k2=6，∴反比例函数的解析式是y =6x ．又∵B(3,n)在y =k 2x 的图象上，∴n =63=2；（2）由图像可知：当0<x <1或x >3时，k 1x +b <k 2x ；（3）∵A(1,6)，B(3,2)在函数y =k 1x +b 的图象上，∴ {k 1+b =63k 1+b =2，解得：{k 1=−2b =8，则一次函数的解析式是y =−2x +8，设直线y =−2x +8与x 轴相交于点C ，则C 的坐标是(4,0)．∴S △AOB =S △AOC −S △BOC=12OC ⋅|y A |−12OC ⋅|y B | =12×4×6−12×4×2 =8．小提示：本题考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解决本题的关键．。

人教版九年级数学下册26.1.1《反比例函数》教案

3.反比例函数的图像及其变化规律。
4.反比例函数的应用：解决实际问题，如速度与时间的关系、浓度问题等。
本节内容旨在帮助学生理解反比例函数的概念，掌握其性质，并能运用其解决实际问题。
二、核心素养目标
1.理解与运用：通过学习反比例函数的定义和性质，使学生能够理解和运用反比例函数解决实际问题，培养数学抽象和数学建模的核心素养。
2.推理与论证：引导学生通过观察和分析反比例函数的图像，推理出其性质，提高逻辑推理和数学论证能力。
3.数学表达与交流：培养学生用数学语言准确表达反比例函数的概念和性质，提升数学表达和交流的核心素养。
4.问题解决：结合实际情境，让学生经历提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养数学问题解决的核心素养。
-反比例函数的性质在不同象限的应用：学生可能难以理解在不同象限内，\( x \)增大或减小时\( y \)值的变化方向。
-从实际问题中抽象出反比例函数模型：学生可能难以将实际问题转化为数学模型，需要教师引导。
举例：针对图像的双曲线特征，可以让学生通过绘图软件或手工绘图来观察和验证；对于反比例函数在不同象限的性质，可以通过具体数值的例子来说明，如\( x = 1, -1 \)时\( y \)的变化；在提取实际问题的数学模型时，可以设计一些与生活密切相关的情境题，如汽车油量与行驶距离的关系，帮助学生理解和应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如\( y = \frac{k}{x} \)（\( k \neq 0 \)）的函数，它在生活中有着广泛的应用。它是描述两个变量成反比关系的数学模型，对于解决实际问题具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一辆汽车以恒定速度行驶，速度与时间的关系就是反比例函数。通过这个案例，我们可以了解反比例函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。

九年级数学第三十章第1-2节反比例函数及其性质冀教版知识精讲

九年级数学第三十章第1－2节反比例函数及其性质冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：反比例函数及其性质 1. 反比例函数的定义.2. 反比例函数的图像和性质.二、知识要点： 1. 反比例函数（1）一般地，如果变量y 和x 之间的函数关系可以表示成y ＝k x（k 是常数，且k ≠0）的形式，则称y 是x 的反比例函数.（2）一般地，反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线. 双曲线是由两个分支组成的. 它不是连续的整体图形，而是断开的两个独立的分支，它无限接近两坐标轴但永远也不能到达坐标轴.（3）确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数y ＝k x中，只有一个待定系数，因此只需一对对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定解析式.注：如果xy ＝k （k 是常数，k ≠0），那么x 与y 这两个量成反比例关系，这里x 、y 既可代表单独的一个字母，也可代表多项式或单项式，成反比例的关系式，不一定是反比例函数，如y －3＝k z ＋2中，y －3与z ＋2成反比例，但y 与z 不是反比例函数；又如y ＝2x 2中，y与x 2成反比例，但y ，x 不是反比例函数，但反比例函数y ＝k x（k ≠0）中的两个变量必成反比例关系.2. 反比例函数的性质和图象反比例函数y ＝k x，当k ＞0时，图像的两个分支位于一、三象限. 在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大.3. 反比例函数y ＝kx （k ≠0）中的比例系数k 的几何意义过双曲线y ＝kx上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，所得的矩形PMON 的面积为S ＝PM ·PN ＝︱y ︱·︱x ︱＝︱xy ︱，∵y ＝kx，∴xy ＝k ，∴S ＝︱k ︱. 即①过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形的面积为︱k ︱. ②过双曲线上任意一点作x 轴（y 轴）的垂线，由该点、垂足和原点所构成的三角形的面积都是12︱k ︱.三、重点难点：本节的重点是反比例函数的图象和性质，难点是在学习过程中要全面理解其性质及图象的特征，结合图象来理解，采用数形结合的思想方法.【典型例题】例1. 判断下列函数式，y 与x 是反比例函数关系的有哪些？①y ＝2x ＋1；②y ＝πx ；③y ＝a x ；④y ＝4x 2＋x －x 2；⑤xy ＝3；⑥y ＝13x ；⑦x （y ＋1）＝3；⑧2x ·3y ＝7.分析：按照反比例函数关系式的特征判断. ①中，y 与x ＋1成反比例，不是y 与x 成反比例. ③中没有说明a 的条件. ⑦化简后为y ＝3x－1，不符合反比例函数的形式，所以①③⑦不是反比例函数. 对于②中，π为常数. ④中化简得y ＝4x . ⑤可变形为y ＝3x. ⑥可变形为y ＝13x . ⑧可变形为y ＝76x. 都符合反比例函数的一般形式，所以②④⑤⑥⑧是反比例函数.解：②④⑤⑥⑧是反比例函数. 评析：（1）判断两种量是否成反比例关系时，通常写出这两种量的关系式. 然后化简，再对照反比例函数式的特征进行解答. （2）反比例函数式y ＝k x（k 为常数，k ≠0）还可以写成y ＝kx －1或xy ＝k （k 为常数，k ≠0）.例2. 已知y 是x 的反比例函数，且当x ＝3时，y 的值是－5. （1）求y 与x 的关系式.（2）求当x ＝－5时，y 的值.分析：y 是x 的反比例函数，即x 与y 满足y ＝k x这个关系式，且当x ＝3时，y 的值是－5，将这两个数值代入即可求出k 的值.解：（1）设y ＝k x （k ≠0），把x ＝3，y ＝－5代入得，－5＝k3.解之得，k ＝－15，所以，解析式为y ＝－15x.（2）把x ＝－5代入，得y ＝－15－5＝3.所以，当x ＝－5时，y 的值是3.评析：待定系数法求反比例函数解析式的步骤是：（1）设出函数解析式的一般形式为y＝k x（k ≠0）. （2）把对应的x 与y 的值代入，得到一个关于k 的方程. （3）解方程，求出待定系数k 的值. （4）代入解析式即可得到要求的解析式.例3. （1）已知反比例函数y ＝（a －2）52-a x ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则该函数关系式是__________.（2）已知反比例函数y ＝1－3mx的图象上有两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值X 围是__________.分析：（1）因为反比例函数y ＝（a －2）52-a x ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0a 2－5＝－1 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a 2＝4 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＝±2 . 所以a ＝－2，当a ＝－2时，函数关系式为y ＝－4x .（2）反比例函数的图象有两种情况：当1－3m ＞0时，如图（1）所示，此时y 1＜y 2；当1－3m ＜0时，如图（2）所示，此时y 1＞y 2；故可得1－3m ＞0，即m ＜13.(2)解：（1）y ＝－4x （2）m ＜13评析：（1）对于y ＝k x（k 为常数，k ≠0）来说，当k ＞0时，反比例函数的图象的两个分支位于一、三象限. 在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大. 所以在此题中，应该有a －2＜0. （2）反比例函数y ＝kx，当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，但并不是说反比例函数的整个图象是从左往右上升的，因此一定注意“在每个象限内”这个条件.例4. （1）若反比例函数y ＝k x（k <0）的函数图像过点P （2，m ）、Q （1，n ），则m 与n 的大小关系是：m __________n （选择填“>”、“＝”、“<”）.（2）函数y ＝－ax ＋a 与y ＝－ax（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）分析：（1）由k ＜0知函数图象在二、四象限，且y 随x 的增大而增大，又图象过点P（2，m ）、Q （1，n ），2＞1，则m ＞n . （2）由函数图象判断－a 的正负，看是否一致，可以发现函数y ＝－ax ＋a 中，当x ＝1时，y ＝0，即直线过定点（1，0），所以可排除B 和D. 在A 中，根据直线的图象可知－a ＜0，根据双曲线的图象可知－a ＜0，它们是一致的. 在C 中，根据直线的图象可知－a ＞0，根据双曲线的图象可知－a ＜0，它们是不一致的，应排除.解：（1）＞（2）A例5. 点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线y ＝1x于点A ，连接OA.（1）如图（1）所示，当点P 在x 轴的正方向上运动时，R t △AOP 的面积大小是否变化？若不变，请求出R t △AOP 的面积；若改变，试说明理由.（2）如图（2）所示，在x 轴上的点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线DB 交双曲线y ＝1x于点B ，连接BO 交AP 于C ，设△AOP 的面积为S 1，梯形BCPD 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是S 1__________S 2. （选填“＞”“＜”或“＝”）解：（1）设A 点坐标为（x ，y ），则x ＞0，y ＞0.S △AOP ＝12·OP ·AP ＝12·x ·y ＝12×1＝12.所以当点P 在x 轴的正方向移动时，R t △AOP 的面积不发生变化.（2）由（1）的结果可知S △AOP ＝S △BOD ，而梯形BCPD 的面积小于S △BOD ，所以有S △AOP ＞S 梯形BCPD ，即S 1＞S 2.评析：从双曲线y ＝k x（k ≠0）上任一点向x 轴作垂线. 则该点垂足及坐标原点构成的三角形面积都相等，其值为12︱k ︱.【方法总结】1. 反比例函数的图象是双曲线，双曲线所在的象限由比例系数k 来决定，当k ＞0时，双曲线在第一、三象限；当k ＜0时，双曲线在第二、四象限. 在记忆反比例函数图象的性质时，要与正比例函数的性质相对照，不要混淆.2. 在反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象上任取一点向x 轴作垂线，则由垂足、原点及该点构成的三角形面积不变，其值为12︱k ︱.【预习导学案】（反比例函数的应用）一、预习前知1. 反比例函数的性质有哪些？2. 说一说下列常用公式：三角形面积公式，电阻公式，压强公式，功率公式等. 二、预习导学1. 三角形面积一定时，一边长和这边上的高是什么函数关系？2. 水池内装有12m 3的水，如果从排水管中每小时流出的水是xm 3，则经过yh 就可以把水放完. 求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围. 反思：如何从函数的角度解决实际问题？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 点P （1，3）在反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象上，则k 的值是（） A. 13B. 3C. －13D. －32. 下列函数表达式中，是反比例函数的是（）A. y ＝x －1B. y ＝1x －1C. y ＝x2D. xy ＝－23. 在反比例函数y ＝1－kx的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大，则k 的值可以是（） A. －1 B. 0 C. 1 D. 24. 一个长方形的面积为10，则这个长方形的长与宽之间的函数关系是（） A. 正比例函数关系 B. 反比例函数关系 C. 一次函数关系 D. 不能确定5. 如果两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）在反比例函数y ＝1x的图象上，那么（）A. y 2＜y 1＜0B. y 1＜y 2＜0C. y 2＞y 1＞0D. y 1＞y 2＞06. 若r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高. 当圆柱的侧面积一定时，则h 与r 之间的函数关系的图象大致是（）ABC D*7. 反比例函数y ＝kx（k ＞0）的部分图象如图所示，A 、B 是图象上两点，AC⊥x 轴于点C ，BD⊥x 轴于点D ，若△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，则S 1和S 2的大小关系为（）A. S 1＞S 2B. S 1＝S 2C. S 1＜S 2D. 无法确定**8. 如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线y ＝3x（x＞0）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会（）A. 逐渐增大B. 不变C. 逐渐减小D. 先增大后减小二、填空题1. 反比例函数y ＝k x的图像经过点（2，－1），则k 的值为__________. 2. 反比例函数y ＝15x 中，k ＝__________.3. 如果y ＝1x2n －5是反比例函数，则n ＝__________.4. 反比例函数y ＝2x图像的两支分别在第__________象限.5. 若A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是双曲线y ＝3x上的两点，且x 1＞x 2＞0，则y 1__________y 2.（填“＜”、“＝”、“＞”）*6. 点A （2，1）在反比例函数y ＝kx的图像上，当1＜x ＜4时，y 的取值X 围是__________. 7. 如图，双曲线y ＝k x与直线y ＝mx 相交于A 、B 两点，B 点坐标为（－2，－3），则A 点坐标为__________.**8. 如图所示，函数y ＝x 与y ＝4x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则△ABC 的面积为__________.三、解答题1. 已知反比例函数y ＝（m －12）x 22-m 的图像的两个分支分布在第二、四象限，求m 的值.2. 反比例函数y ＝2m －1x的图象如图所示，A （－1，b 1），B （－2，b 2）是该图象上的两点.（1）比较b 1与b 2的大小；（2）求m 的取值X 围.*3. 已知图中的曲线是反比例函数y ＝m －5x（m 为常数）图象的一支. （Ⅰ）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m 的取值X 围是什么？（Ⅱ）若该函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象在第一象限内的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，当△OAB 的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的解析式.试题答案一、选择题1. B2. D3. D4. B5. D6. B7. B8. C二、填空题1.－22. 153. 34. 一、三5. ＜6. 12＜y ＜2 7.（2，3） 8. 4三、解答题1. 根据题意m 2－2＝－1，则m ＝±1，又因为m －12＜0，所以m ＜12. 所以m ＝－1.2. （1）由图知，当0x <时，y 随x 增大而减小. 又－1＞－2，∴b 1＜b 2.（2）由2m －1＞0，得m ＞12.3. （Ⅰ）这个反比例函数图象的另一支在第三象限. 因为这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，所以m －5＞0，解得m ＞5.（Ⅱ）反比例函数的解析式为y ＝8x . 交点A 的坐标同时满足y ＝2x 和y ＝8x，即2x 2＝8，解得x ＝±2. 因为点A 在第一象限内，所以A （2，4）.。

人教版九年级数学下册作业课件第二十六章反比例函数周周练(一) 检测内容：

三、解答题(共 56 分) 12．(10 分)已知 y＝y1＋y2，y1 与 x2 成正比例，y2 与 x－2 成反比例，且当 x＝－1 时，y＝1；当 x＝0 时，y＝2.求 y 关于 x 的函数解析式．
解：设
y1＝k1x2，y2＝x－k2 2
，∴y＝k1x2＋x－k2 2
k1＋－k23＝1，，由题意得
(1)求此反比例函数的解析式； (2)求△BCE 的面积．
解：(1)当 y＝0 时，即 x－1＝0，∴x＝1，即直线 y＝x－1 与 x 轴交于点 A(1，0)，
∴OA＝1＝AD，又 CD＝3，∴点 C 的坐标为(2，3)，∴k＝2×3＝6，∴反比例函数的
解析式为 y＝6x
y＝x－1，
x＝3，
(2)联立方程组，得y＝6x，
A．36 B．18 C．12 D．9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、填空题(每小题 4 分，共 20 分)
7．已知 y＝(a－2)xa2－5 是反比例函数，则 a＝__－__2.
1－3m 8．已知反比例函数 y＝ x 的图象上两点 A(－3，y1)，B(1，y2).若 y1<y2，则
m 的取值范围是__m__<_13___．
(1)求直线 AB 与双曲线的解析式； (2)求△ABC 的面积．
解：(1)设双曲线的解析式为 y＝kx ，∵点 A(1，6)在该双曲线上，∴6＝k1 ，解得 k
＝6，∴y＝6x ，∵B(m，－2)在双曲线 y＝6x 上，∴－2＝m6 ，解得 m＝－3，∴B(－3，
a＋b＝6，
a＝2，
－2)，设直线 AB 的函数解析式为 y＝ax＋b，则有－3a＋b＝－2，解得b＝4， ∴
解得y＝2 (负值舍去)，∴点 B 的坐标为(3，2)，

反比例函数九年级知识点

反比例函数九年级知识点反比例函数是初中数学中的一个重要知识点。

在九年级学完正比例函数后，学生通常会在课堂上接触到反比例函数的概念和性质。

接下来，我们将深入探讨反比例函数及其应用。

一、反比例函数的定义反比例函数是指函数中的两个变量之间存在着一种特殊的关系：当一个变量的值增大时，另一个变量的值就会减小，反之亦然。

其数学表达形式为 y = k / x，其中 k 是比例常数，而 x 和 y 分别表示自变量和因变量。

二、反比例函数的性质1. 定义域和值域对于反比例函数 y = k / x，自变量x 可以取任意不为0的实数，因变量 y 的值域为全体实数。

2. 对称中心反比例函数的图像关于第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的坐标轴有对称性，且交点为(1, k)。

3. 单调性当自变量 x 变大时，因变量 y 逐渐减小；当自变量 x 变小时，因变量 y 逐渐增大。

因此，反比例函数是单调函数。

4. 渐近线对于反比例函数 y = k / x，当自变量 x 趋于正无穷大或负无穷大时，因变量 y 趋于0。

因此，反比例函数的图像与 x 轴和 y 轴分别有两条渐近线。

三、反比例函数的图像反比例函数的图像呈现出一条平面上的双曲线。

根据反比例函数的性质，我们可以知道，当自变量取较小的正数时，函数的值较大；当自变量取较大的正数时，函数的值较小。

图像的左侧和右侧都逐渐靠近 x 轴，说明函数值趋于无穷大。

而当自变量 x 离 0 越远时，函数值越接近于 0。

四、反比例函数的应用反比例函数广泛应用于各个领域，如物理学、经济学和生物学等。

以下是几个常见的应用示例：1. 电阻和电流欧姆定律规定电阻大小与通过电流的大小成反比例关系。

当电流增大时，电阻减小，反之亦然。

这种关系可以用反比例函数来描述。

2. 速度和时间在实际的物理运动中，速度与所用时间成反比例关系。

当速度增大时，所用时间减小，反之亦然。

反比例函数可以用来描述运动物体在不同速度下所用的时间。

新人教版九年级下册第二十六章“反比例函数”教材分析简介

新人教版九年级下册第二十六章“反比例函数”教材分析简介预览二、编写时考虑的几个问题1. 强调反比例函数是描述具有反比例关系问题的数学模型反比例函数是义务教育阶段学习的最后一类函数，函数是描述变化规律的数学模型．现实世界和数学中具有反比例关系的问题，我们可以用反比例函数描述．章引言中从路程一定的前提下，平均速度与时间的关系，引出反比例函数的内容．“26.1 反比例函数”通过“思考”中的三个具体问题，让学生发现每个问题中的两个变量，询问这两个变量具有什么关系，得出变量之间的表达式，指出它们的表达式具有相同形式，具有这类相同表达式的函数，我们称为反比例函数．“26. 2 实际问题与反比例函数”是现实世界中四个典型的实例，我们先把它们抽象为数学模型——反比例函数，它刻画了问题中的反比例关系，然后运用反比例函数的性质解决它们．在反比例函数概念的学习中，我们再次经历了概念学习的几个过程：（1）概念的引入——通过三个具体实例，反比例关系和函数的概念，引出反比例函数；（2）概念属性的归纳——对教科书中的三个实例进行分析、比较、综合，归纳三个实例的共同特征的形式；（3）概念的明确与表示——指出形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，并给出文字语言和数学符号语言的准确表示；（4）概念的辨析——在练习中，以实例为载体分析概念，并恰当使用反例，如“26.1.1 反比例函数”中的练习2和练习3；（5）概念的巩固应用——用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤，如“26.1.1 反比例函数”的例1；（6）概念的“精致”——通过概念的综合应用，如“26.1.2反比例函数的图象和性质”，“26.2实际问题与反比例函数”，进一步认识反比例函数的概念，加深对反比例函数概念的理解．2. 类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数预览二、编写时考虑的几个问题1. 强调反比例函数是描述具有反比例关系问题的数学模型反比例函数是义务教育阶段学习的最后一类函数，函数是描述变化规律的数学模型．现实世界和数学中具有反比例关系的问题，我们可以用反比例函数描述．章引言中从路程一定的前提下，平均速度与时间的关系，引出反比例函数的内容．“26.1 反比例函数”通过“思考”中的三个具体问题，让学生发现每个问题中的两个变量，询问这两个变量具有什么关系，得出变量之间的表达式，指出它们的表达式具有相同形式，具有这类相同表达式的函数，我们称为反比例函数．“26. 2 实际问题与反比例函数”是现实世界中四个典型的实例，我们先把它们抽象为数学模型——反比例函数，它刻画了问题中的反比例关系，然后运用反比例函数的性质解决它们．在反比例函数概念的学习中，我们再次经历了概念学习的几个过程：（1）概念的引入——通过三个具体实例，反比例关系和函数的概念，引出反比例函数；（2）概念属性的归纳——对教科书中的三个实例进行分析、比较、综合，归纳三个实例的共同特征的形式；（3）概念的明确与表示——指出形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，并给出文字语言和数学符号语言的准确表示；（4）概念的辨析——在练习中，以实例为载体分析概念，并恰当使用反例，如“26.1.1 反比例函数”中的练习2和练习3；（5）概念的巩固应用——用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤，如“26.1.1 反比例函数”的例1；（6）概念的“精致”——通过概念的综合应用，如“26.1.2反比例函数的图象和性质”，“26.2实际问题与反比例函数”，进一步认识反比例函数的概念，加深对反比例函数概念的理解．2. 类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数预览二、编写时考虑的几个问题1. 强调反比例函数是描述具有反比例关系问题的数学模型反比例函数是义务教育阶段学习的最后一类函数，函数是描述变化规律的数学模型．现实世界和数学中具有反比例关系的问题，我们可以用反比例函数描述．章引言中从路程一定的前提下，平均速度与时间的关系，引出反比例函数的内容．“26.1 反比例函数”通过“思考”中的三个具体问题，让学生发现每个问题中的两个变量，询问这两个变量具有什么关系，得出变量之间的表达式，指出它们的表达式具有相同形式，具有这类相同表达式的函数，我们称为反比例函数．“26. 2 实际问题与反比例函数”是现实世界中四个典型的实例，我们先把它们抽象为数学模型——反比例函数，它刻画了问题中的反比例关系，然后运用反比例函数的性质解决它们．在反比例函数概念的学习中，我们再次经历了概念学习的几个过程：（1）概念的引入——通过三个具体实例，反比例关系和函数的概念，引出反比例函数；（2）概念属性的归纳——对教科书中的三个实例进行分析、比较、综合，归纳三个实例的共同特征的形式；（3）概念的明确与表示——指出形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，并给出文字语言和数学符号语言的准确表示；（4）概念的辨析——在练习中，以实例为载体分析概念，并恰当使用反例，如“26.1.1 反比例函数”中的练习2和练习3；（5）概念的巩固应用——用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤，如“26.1.1 反比例函数”的例1；（6）概念的“精致”——通过概念的综合应用，如“26.1.2反比例函数的图象和性质”，“26.2实际问题与反比例函数”，进一步认识反比例函数的概念，加深对反比例函数概念的理解．2. 类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数。

九年级数学-反比例函数

第19讲反比例函数【板块一】反比例函数的定义和解析式1.定义：一般地，形如ky x=（k 为常数，k ≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.2.解析式：ky x=（k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）或1y kx -= （k ≠0）. 题型一根据定义判断反比例函数【例1】下列函数：①2x y =；@2y x =；③y =12y x =；⑤12y x =+；⑥12y x =- ；⑦2xy =； ⑧12y x -=；⑨22y x = .其中y 是x 的反比例函数的有（填序号）.【解析】②③④⑦⑧.题型二根据定义确定k 值或解析式【例2】（1）反比例函数32y x =- ，化为ky x=的形式，相应的k ＝；（2）函数ky x =中，当x ＝2时，y ＝3，则函数的解析式为【解析】（1）32- ；（2）6y x=.题型三根据定义确定待定系数的值【例3】（1）如果函数2+1m y x = 是关于x 的反比例函数，则m 的值为（2）若函数()252m y m x -=+ （m 为常数）是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式。

【解析】（1）－1；（2）m ＝2，y ＝4x .针对练习11.下列函数中，为反比例函数的是（B ）A . 3x y =B . 13y x =C . 13y x =-D .21y x=答案：B2.反比例函数y ＝一化为ky x=的形式后，相应的k ＝答案： 3.若关于x 的函数()2274m m y m x --=- 是反比例函数，求m 的值答案：3.【板块二】反比例函数的图象和性质式抓住反比例函数的性质并结合图象解题一般地，对于反比例函数()0ky k x=≠，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现： 1.图象分布当k＞0时，x，y（同号或异号），函数图象为第象限的两支曲线；当k＜0时，x，y（同号或异号），函数图象为第象限的两支曲线。

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反比例函数周末清理五
一、填空：
1、若反比例函数,5x
y -=当1->y 时，x 的取值范围是_____________________; 2、已知y-2与x+3成反比例，且当x=2时，y=-3,则y 与x 的函数关系式是_____________;
3、下列等式中，哪些是反比例函数？
.___________________.3)7(;31)6(23)5(;25)4(;21)3(;2)2(;311。

反比例函数有）（-=+=-===-==x y x
y x y x y xy x y x y 4、有一个面积为60的梯形，上底是下底长的3
1，若下底长为x,高为y,则y 与x 的函数关系式为_______________________;
5、已知y 与x 成反比例，x 与z 成反比例，则y 与z 成____________________________;
6、一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶1v 千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶2v
千米，那么可提前到达的时间是_______________________;
7、若关于x 的分式方程 131=---x
x m x 无解，则____________________; 8、若关于x 的分式方程
322=-+x m x 的解是负数，则m 的取值范围是_____________; 9、对于公式)(111221f f f f f ≠+= ，若已知,,2f f 则1f =___________________;
10、近似数0.350万精确到_______位，有_____个有效数字，用科学记数法表示为__________;
二、选择：
1、已知，点),),22111y x B y x P （、（在x
y 2-=上，当21x x <，则21y y 、的大小关系是（）212
12
1y y C y y B y y A >=<、、、定。

之间的大小关系不能确与、21y y D 三、计算 )11()11(1222b a b a -÷+、 32232)2
1()2(2-----÷-b a c ab 、
3225)103()102(3--⨯-⨯⨯、 4)20122(4)4
1(4020122011--+•-、
三、解方程
8-71-78)1(=--x x x 01
-)2(=+x n x m （x 是未知数，m ≠n,mn ≠0）
四、解答题
如图，已知直线y=kx+b 与双曲线x
k y =交于A(1,4)和B （3，m ）. （1）一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求⊿AOB 的面积；
（3）写出使反比例函数值小于一次函数值x 的取值范围。