高三数学平面向量一轮复习.

第七章平面向量

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．

2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律．

3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件．

4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．

向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．

主要考查：

1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．2．向量的坐标运算及应用．

3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．

第1课时向量的概念与几何运算

1．向量的有关概念

⑴ 既有 又有 的量叫向量．

的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．

⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ． ⑶ 且 的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法

⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．

⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ． 3．实数与向量的积

⑴ 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下： ① | λ |＝ ．

② 当λ＞0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＜0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＝0时，λ ． ⑵ λ(μ)＝ ． (λ＋μ)＝ ． λ(＋b )＝ ．

⑶ 共线定理：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ． 4．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ．

⑵ 设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，＝2212e y e x +，则与共线的充要条件是 ．

例1

．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点．设=，b AC =，求． 解：＝－＝4

1(＋)－＝－

43＋4

1 变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量等于（ ） A ．－＋2

1 B ．－－21 C ．－21 D ．＋BA 21

解:A

例2. 已知向量2132e e -=，2132e e +=，2192e e -=，其中1e 、2e 不共线，求实数λ、μ，使

μλ+=．

解:c ＝λ＋μb ⇒21e －92e ＝(2λ＋2μ)1e ＋(－3λ＋3μ)2e ⇒2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9⇒λ＝2，且μ＝－1

变式训练2：已知平行四边形ABCD 的对角线相交于O 点，点P 为平面上任意一点，求证：

PO PD PC PB PA 4=+++

证明 ＋＝2，＋＝2⇒＋＋＋＝4

例3. 已知ABCD 是一个梯形，AB 、CD 是梯形的两底边，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若a =，b =，试用a 、b 表示和．

解：连NC ，则==-=+=+=4141

；2

1-=-=

变式训练3：如图所示，OADB 是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又BM ＝3

1

，＝

3

1

，试用、表示，，． 解:＝61＋65b ，＝32＋32

b ，

＝

21a －6

1b 例4. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，t ∈R ，t 为何值时，，t ，3

1

(＋)三向量的终点在一条直线上？

解：设])(3

1

[b a a b t a +-=-λ (λ∈R)化简整理得：0)3

1()13

2(=-+-b t a λλ

∵不共线与，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-21

2303

0132t t λλλ 故21=

t 时，)(3

1

,,t +三向量的向量的终点在一直线上． 变式训练4：已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e ===== ，设t R ∈，如果3,2,a c b d ==

()e t a b =+

，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？

解：由题设知，23,(3)CD d c b a CE e c t a tb =-=-=-=-+

，,,C D E 三点在一条

直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE kCD = ，即(3)32t a tb ka kb -+=-+

，

整理得(33)(2)t k a k t b -+=-

.

①若,a b

共线，则t 可为任意实数；

②若,a b 不共线，则有33020

t k t k -+=⎧⎨-=⎩，解之得，65t =

.

综上，,a b 共线时，则t 可为任意实数；,a b 不共线时，65

t =.

的证明．

2

．注意与O 的区别．零向量与任一向量平行．

3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB ∥CD ，需证∥，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证∥即可．

4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．

第2课时 平面向量的坐标运算

1．平面向量的坐标表示

分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x 、y ，使得＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且|a |＝ ．

2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系． 3．平面向量的坐标运算：

若＝(x 1、y 1)，＝(x 2、y 2)，λ∈R ，则： ＋＝ a －b ＝ λa ＝

已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则＝ ．

4．两个向量＝(x 1、y 1)和＝(x 2、y 2)共线的充要条件是 ． 例1.已知点A （2，3），B （－1，5），且＝3

1

，求点C 的坐标． 解＝

3

1AB ＝(－1，32)，OC ＝AC OA +＝(1, 311)，即C(1, 311)

变式训练1.若(2,8)OA = ，(7,2)OB =- ，则3

1AB

= .

解: (3,2)--提示：(9,6)AB OB OA =-=--

例2. 已知向量＝(cos 2α，sin 2α)，＝(cos 2β，sin 2β)，|－|＝5

52，求cos(α－β)的值． 解:|a －b |＝

55

222552=--⇒)cos(βα2cos 2

2552βα--⇒＝55222552=--⇒)cos(βα⇒cos 2

βα-＝53⇒cos(α－β)＝257- 变式训练2.已知－2b ＝(－3，1)，2＋b ＝(－1，2)，求＋b ．