因式分解法求一元二次方程的根
求一元二次方程的整数根的方法
2.关于x的方程x2 mx m 1 0的两个根都是正整数，
求m的值.
解：设方程的两个正整数根分别为x1, x2 则x1 x2 m，于是m必为正整数 设＝m2－4m－4 k 2(k为非负整数)
则(m＋k－2)(m－k－2)＝8,
m＋k－2 m－k－2, m＋k－2与m－k－2
同奇偶，则
＝－
2
2 m＋1
所以m＋1＝1， 2，
所以m＝－3，－2，0，1
关于因式分解法的总结整理
• 当一元二次方程整数根具 有这样的特征：几个因式 的积=整数常数，此时方 可使用因式分解法。
•二、求根公式法
1.设关于x的方程x2－（m－2）x＋m2－m－2＝0有正整数根， 求正整数m的值.
解：＝(m - 2)2 4(m2 m 2) 3m2 12 0, 所以m2 4. 所以－2 m 2，所以m＝1或2； 当m＝1时，x＝1或－2； 当m＝2时，x1＝x2＝0. 所以m＝1【. 可否用因式分解法？】
一、因式分解法
1.设关于x的方程2x2 -mx-m2 -2＝0只有整数根，
求m的值.
解：设方程的两个整数根分别为x1, x2
则x1
x2
m ，于是m必为偶数. 2
原方程可化为（x－m）（2x m) 2因x，m均为整数
Байду номын сангаасx－m 1 2x m＝2
或
2x－x mm＝21或
2x－x mm＝－－1 2或
• 3、已知方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整根， 求a的值.(展开、移项、讨论)
• 4、
解：由韦达定理得 :
x1
x2
10 m m
,
x1x2
2m m
6
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
一元二次方程求根公式推导过程是什么
一元二次方程求根公式推导过程是什么想要了解一元二次方程的小伙伴赶紧来看看吧！下面由作者为你精心准备了“一元二次方程求根公式推导过程是什么”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的知识点！一元二次方程求根公式推导过程是什么一元二次方程的根公式是由配方法推导来的，那么由ax +bx+c（一元二次方程的基本形式）推导根公式的详细过程如下：1、ax +bx+c=0（a≠0，表示平方），等式两边都除以a，得x +bx+c=0；2、移项得x +bx=－c，方程两边都加上一次项系数b的一半的平方，即方程两边都加上b ；3、配方得x +bx+b =b －c，即（x+b）=（b -4ac）；4、开根后得x+b=±[√（b -4ac）]（√表示根号），最终可得x=[-b±√（b -4ac）]。
一元二次方程怎么解？第一种：直接开平方法——这种方法要求等式的左边为一个完全平方式，右边为一个非负的常数，即形如X2=a（a≥0）或者（mX2+n）=a（a≥0），这种形式的方程可直接通过开方后经过简单计算即可得到结果。
第二种：配方法——配方法一共有6个步骤。
第一步，将二次项系数化为1，即化为X²+bX+c=0的形式；第二步，将常数项移到方程右边；第三步，方程两边都加上一次项系数一半的平方；第四步，等式左边写成完全平方形式，右边合并同类项；第五步，等式两边同时开方；第六步，确定方程的解。
第三种：公式法——使用公式法时首先需要将等式化为标准形式，即为aX²+bX+c=0的形式。
方程的解可直接套用公式得出X=[-b±（b²-4ac）]，将标准形式中的a、b、c 代入即可。
第四种：因式分解法——因式分解法一共有四步。
第一步，将方程右边化为0；第二步，将方程左边进行同类项合并；第三步，将方程左边写成两个一次式的乘积；第四步，通过一次方程写出方程的两个解。
解一元二次方程的步骤分为审题、列方程、解方程，检验，答。
一元二次方程因式分解法的四种方法
一元二次方程因式分解法的四种方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、一元二次方程的概述三、因式分解法概述四、四种因式分解方法1.提取公因式法2.完全平方公式法3.平方差公式法4.完全平方公式与平方差公式的结合法五、每种方法的例题解析六、总结正文（篇1）一、引言在解决一元二次方程时，因式分解法是一种常用的方法，它可以帮助我们快速找到方程的解。
本文将为大家介绍四种因式分解的方法，以帮助大家更好地理解和运用这一方法。
二、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。
在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
三、因式分解法概述因式分解法是将一元二次方程的左边化为两个一次因式的积的形式，从而得到方程的解。
通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，从而简化了解题过程。
四、四种因式分解方法1.提取公因式法提取公因式法是指在方程的两边同时提取公因式，以达到简化方程的目的。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 为零的情况。
2.完全平方公式法完全平方公式法是指利用完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的二次项系数 a 为 1 的情况。
3.平方差公式法平方差公式法是指利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 不等于零且二次项系数 a 不等于 1 的情况。
4.完全平方公式与平方差公式的结合法当方程的二次项系数 a 不为 1，一次项系数 b 不为 0 时，我们可以将完全平方公式和平方差公式结合使用，以达到因式分解的目的。
五、每种方法的例题解析这里我们分别对四种因式分解方法进行例题解析，以便大家更好地理解和掌握这些方法。
六、总结因式分解法是一种解决一元二次方程的有效方法，掌握四种因式分解方法有助于我们在解题过程中更加灵活地选择合适的方法。
解一元二次方程的四种方法的利弊
解一元二次方程的四种方法的利弊随着数学的发展，解一元二次方程是数学学习中的基本内容之一。
为了解决一元二次方程，人们提出了各种各样的方法。
本文将介绍解一元二次方程的四种常见方法，并分析它们的利弊。
方法一：因式分解法原理因式分解法是一种将一元二次方程转化为多个一次方程的方法，通过因式分解将二次项分解成两个一次项的乘积，进而求出方程的解。
优点1.简单直观：因式分解法不需要过多的计算步骤，对于简单的一元二次方程求解任务非常有效。
2.适用范围广：因式分解法适用于多种形式的一元二次方程，如完全平方式、含有一次项的方式等。
缺点1.局限性：因式分解法仅适用于可以进行因式分解的一元二次方程，对于难以因式分解的方程则无法使用此方法。
2.计算复杂度高：对于具有复杂因式分解形式的方程，计算量较大，容易出现计算错误。
3.解的个数限制：因式分解法只能求解出方程的实数解，无法求解出复数解。
方法二：配方法原理配方法是通过将一元二次方程的二次项与一次项相乘，构造出一个完全平方式，然后通过转化求解方程的解。
优点1.适用广泛：配方法适用于多种类型的一元二次方程，可以应对一些无法使用因式分解法解决的方程。
2.可求解复数解：配方法可以求解出一元二次方程的复数解，能够提供更全面的解决方案。
缺点1.计算复杂：配方法需要进行一系列的代数运算和变换，计算过程相对复杂，易出错。
2.限制：对于一些特殊形式的一元二次方程，配方法无法处理，需要采取其他方法解决。
方法三：公式法原理公式法是通过一元二次方程的一般公式解来求解方程的根。
一元二次方程的一般公式解为：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。
优点1.通用性强：公式法是一种通用的求解一元二次方程的方法，适用于所有的一元二次方程。
2.快速准确：通过代入方程参数直接计算公式，可以迅速而准确地求解方程的解。
缺点1.存在限制：公式法仅适用于解可求得实数解的一元二次方程，无法求解复数解。
一元二次方程的根
初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42-依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 （1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）练习题参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。
一元二次方程求根方法
一元二次方程求根方法一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是学生们常常遇到的问题之一。
在解一元二次方程时，我们可以运用不同的方法来求根，本文将介绍几种常见的求根方法，并通过具体例子进行说明。
首先，我们来讨论一元二次方程的标准形式：ax² + bx + c = 0。
其中，a、b、c 为已知实数，且a ≠ 0。
求解一元二次方程的根，可以运用以下几种方法。
一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以利用因式分解法来求解。
例如，考虑方程x² - 5x + 6 = 0。
我们可以将方程进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
由此可知，方程的两个根分别为x = 2和x = 3。
二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以运用配方法来求解。
例如，考虑方程x² - 6x + 8 = 0。
我们可以通过配方法将方程转化为完全平方的形式，即(x - 3)² - 1 = 0。
进一步化简，得到(x - 3)² = 1。
通过开平方运算，我们可以得到方程的两个根分别为x = 2和x = 4。
三、求根公式求根公式是解一元二次方程的常用方法之一。
对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，其根可以通过求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)来得到。
例如，考虑方程x² - 4x - 5 = 0。
我们可以根据求根公式计算出方程的两个根分别为x = 5和x = -1。
四、图像法图像法是一种直观且易于理解的求解一元二次方程的方法。
我们可以通过绘制一元二次方程的图像，来观察方程的根。
例如，考虑方程x² - 2x - 3 = 0。
我们可以绘制出该方程的图像，发现方程的两个根分别为x = 3和x = -1。
五、因子法当一元二次方程的系数为整数时，我们可以通过因子法来求解。
例如，考虑方程x² - 7x + 10 = 0。
九年级数学：用因式分解法解一元二次方程
小明做得对吗?
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗 ？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来 x2 3x.
的小？颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小亮是这样想的: 030,15 00,
000. 反过 ,如 来 a 果 b 0 ,
那么a 0或b 0 或a b 0. 即,如果两个因式的积等于 0, 那么这两个数至少有一 个为0.
复习回顾：
1、用配方法解一元二次方程的关键是将方 程转化为_(_x_+_m_)_2=_n_（__n_≥__0_）__的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为 _____一_般__形_式_________
3、选择合适的方法解下列方程 （1）x2-6x=7 （2）3x2+8x-3=0
相信你行：
:
2.3y2y1.4
解:1.一元二次方程 解:2.一元二次方程
x2 70
3y2 y 14 0
的两个根 x1是 7,x2 7. x27(x7)x (7).
的3两y2个y根1 是y1 4 3 (2y, y22) y 73( . 7)
.
3
小结 拓展
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的 乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一
x5x 4 0.
x 0,或5x 4 0. 4
x1 0; x2 5 .
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转 化为两个一元一次方程.
2 .x 2 x x 2 0 , 4. 分别解两个一元一次方程，
x 21 x 0.
它们的根就是原方程的根.
一元二次方程 根
一元二次方程根一元二次方程是代数学中的重要概念，通过求根的方法，我们可以解决很多实际问题。
本文将带您深入了解一元二次方程的根，并探讨其应用。
一元二次方程可以表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数，而且a≠0。
这个方程的根是使方程等式成立的x的值。
我们先来看一下求根的方法。
常见的求根方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
因式分解法要求我们将方程x²+px+q=0写成(x-m)(x-n)=0的形式，通过分解出(p,q)的组合，得到方程的根为x=m或x=n。
配方法则是通过将一元二次方程写成完全平方的形式，如(x+p)²=q，然后对方程两边开平方得到x的值。
而求根公式法是一元二次方程根的常用解法。
根据一元二次方程的标准形式，我们可以使用求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)来求得方程的根。
求根公式由贝努利（Girolamo Cardano）在16世纪首先提出，后经费马（Pierre de Fermat）和笛卡尔（RenéDescartes）的改进，逐渐发展成我们现在所知道的形式。
接下来，让我们通过一个实际例子来理解一元二次方程根的意义和应用。
假设有一家工厂生产某种产品，根据实验数据分析，当生产成本为15000元时，该工厂每天可以生产1500件产品。
而当生产成本增加到20000元时，每天能够生产1000件产品。
我们的目标是通过一元二次方程来预测不同成本下的生产量。
首先，我们设生产成本为x，生产量为y。
根据题目给出的数据，我们可得到两个点(15000,1500)和(20000,1000)。
根据这两个点，我们可以列出两个方程：1500=a(15000)²+b(15000)+c和1000 =a(20000)²+b(20000)+c。
通过求解这个方程组，我们可以得到方程的解，即a、b、c的值。
然后，我们可以使用一元二次方程来预测其他成本下的生产量。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程一元二次方程就是一个一元多项式的二次次方程，它的格式一般是ax² + bx+ c = 0（其中a≠0）。
要解一元二次方程，通常用到的是因式分解的方法。
因式分解的方法是将一元二次方程变成两个一元一次方程，而解得的两个满足条件的一元一次方程中的x的值即为一元二次方程的根。
首先，要解一元二次方程，需要先将它转化成一元一次方程格式。
这一步可以通过将因式上乘以a来实现，即有：a(x²+ bx/a + c/a) = 0，于是我们可以将一元二次方程分解为两个一元一次方程，即：x² + bx/a + c/a = 0 和a = 0；其次，在解一元一次方程时，只要把方程按照常规形式写出来就可以了。
将上面的两个一元一次方程按照常规形式写出，即有：x² + (b/a)x + (c/a) = 0；a = 0；之后，在解x²+ (b/a)x + (c/a) = 0这个一元一次方程时，可以用a×b÷2来简化，并用b²－4ac来计算根。
需要注意的是，当b²－4ac<0时，证明该一元二次方程无解。
最后，我们要根据表达式计算出两个方程式中x的值。
首先，计算出b²－4ac，根据结果来判断一元二次方程是否有解。
如果b²－4ac>0，该一元二次方程就有解，由此可得x1 = (-b + √b²－4ac)/2ax2 = (-b - √b²－4ac)/2a最终得出的x1和x2就是一元二次方程的两个根，这样就解决了一元二次方程的问题。
总的来说，解决一元二次方程的时候，可以使用因式分解法，将一元二次方程分解成两个一元一次方程，再根据一元一次方程计算出x1和x2，最终就可以求出一元二次方程的根。
一元二次方程4种解法
一元二次方程4种解法
一元二次方程的4种解法是：一般式、工具方法、因式分解法和
求根公式法。
一、一般式：
一般式又称“把头挑出来法”或“十字相乘法”。
在这种方法中，首先把一元二次方程化为化简的一般式，如ax^2+bx+c=0，然后分别根
据a, b, c 的意义，将系数和常数参数代入系数表中，仿照公式的形
式完成无穷多种可能的解答，最后通过对称性和排除法的方法排除不
符合要求的解，从而得出结论。
二、工具方法：
工具方法就是联立矩阵等数学工具，来快速解决一元二次方程，
尤其是在涉及数量较大的情况下，使用矩阵来解决更加有利。
只要建
立好系数矩阵，就可以根据其特点，按照一定步骤，使用乘法、加法、分解等技巧，求得矩阵解，从而获得满足一元二次方程的解。
三、因式分解法：
因式分解法是把原方程转换成两个一元一次方程的形式，然后分
别求解，最后将解代入原方程，检验是否仍然满足原方程。
首先，将
原方程化成两个一元一次方程的形式，例如：ax^2+bx+c=0，我们把它
化为 (ax+m)(ax+n)=0，其中m和n分别是ax+m=0及ax+n=0的解。
然后，我们可以把m和n代入到原方程中，检验是否是原方程的解，即
看是否能使原方程成立。
四、求根公式法：
求根公式法是根据一元二次方程的特征，用公式求解一元二次方
程解。
一元二次方程有两个解，因此也有对应的两个求根公式，即复
根公式：x_1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)和x_2=(-b-sqrt(b^2-
4ac))/(2a)。
通过将常数值代入到公式，就可以求出一元二次方程的解。
一元二次恒成立问题三种解法
一元二次恒成立问题三种解法一元二次方程是高中数学中的重要概念，也是解析几何的基础之一。
在解一元二次方程的过程中，我们经常会遇到一元二次恒成立问题。
一元二次恒成立问题是指在给定条件下，要求解满足一元二次方程的未知数的取值范围。
在这篇文章中，我们将探讨三种解一元二次恒成立问题的方法。
解法一：因式分解法首先，我们来看一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
如果方程左边可以因式分解成两个一次因式的乘积，即可使用因式分解法解一元二次恒成立问题。
举例来说，如果给定的一元二次方程是x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将方程左边进行因式分解，得到(x + 2)(x + 3) = 0。
根据零乘法，方程成立的条件是(x + 2) = 0或(x + 3) = 0，即x = -2或x = -3。
因此，满足一元二次恒成立问题的解是x = -2或x = -3。
解法二：配方法配方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于一元二次方程无法直接因式分解的情况。
配方法的思路是通过添加适当的常数将方程变为一个完全平方的形式，从而解出方程。
例如，如果给定的一元二次方程是x^2 + 6x + 5 = 0，我们可以通过添加常数的方式，将方程变为(x + 3)^2 - 4 = 0。
进一步化简可得(x + 3)^2 = 4，然后开方得到x + 3 = ±2，即x = -3 ± 2。
因此，满足一元二次恒成立问题的解是x = -1或x = -5。
解法三：求判别式法判别式是解一元二次方程的重要工具，它可以用来判断方程的解的情况。
一元二次方程的判别式Δ的表达式为Δ = b^2 - 4ac。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解；当Δ < 0时，方程没有实数解。
利用判别式的结果，我们可以解决一元二次恒成立问题。
例如，如果给定的一元二次方程是x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以计算出Δ = (-4)^2 - 4(1)(4) = 0。
一元二次方程解法--公式法、因式分解法
课题 一元二次方程解法--公式法、因式分解法1、掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程。
2、熟练掌握一元二次方程的根的判别式，能就判别式的符号对一元二次方程斩根的情况进行讨论，并灵活运用判别式解一类与方程有关的数学问题。
3、会用分解因式法解简单的一元二次方程。
公式法、因式分解法解一元二次方程、根的判别式的应用。
一、知识点梳理：1、公式法：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
（1）求根公式：一般地,对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)， 当 b 2-4ac≥0时a acb b x 242-±-=♦ 用公式法解一元二次方程的前提是:♦ 1.必需是一元二次方程。
♦ 2.b 2-4ac ≥0.（2）用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值。
2、求出b 2-4ac 的值，将其与0比较。
3、代入求根公式 :4、写出方程的解： x 1=?, x 2=?（3）根的判别式：△=b 2-4ac ：⎪⎩⎪⎨⎧⇔〈-=∆⇔=-=∆⇔〉-=∆方程没有实数根时根方程有两个相等的实数时数根方程有两个不相等的实时040404222ac b ac b ac b 例题：公式法解下列方程（1） （2） 2x 2+5x-3=0x 32=+3x 22、因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法． 因式分解法的一般步骤： ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积：()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或 ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．（1）提公因式法 例题：解下列方程（1）3x （x+2）=5（x+2） （2）x （3x+2）-6(3x+2)=0 X=6或x=-2/3注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式。
一元二次方程式求根公式与因式分解法
⑶ x2 7x 15 =0 ⑸ x2 -2 3x 3 =0 一元二次方程式解法_ 2一元二次方程ax bx 0(a = 0)解法公式法：1.根的判别式为：/ = _________________________________ 求根公式x= ______________________________2.①/ =b2-4ac>0时方程ax2 - bx • c = O(a=O)有两个实数b _ . b2-4ac根为,2 ：2a2②0- ax bx 0(a = 0)没有实数根。
【例1】判断下列方程的跟的情况，如果有根请用求根公式求出方程的根。
⑴ 7x2—x —1=0 ⑵ 9x2=4(3x -1)⑷-2x2 - 3x 2=0⑹ x2 -(m 1)x m = 0(m 为常数)2判断下列方程的跟的情况，如果有根请用求根公式求出方程的根。
1、-X22、6x -6 = 0 ; 2 、x24x =2；3、4x21 = _3x4、x2-2mx+4( m-1)=0一元二次方程式解法一元二次方程ax2 bx c=0(a =0)解法：因式分解法一课前预习：1、若a -b=0则a _________ 或b _________ ; 一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为_____________ 和 ____________ ，方程的根平方差公式a2-b2=( )( )一元二次方程式解法：因式分解方法(一)提公因式法：可利用公式ab+ac=a( )将二次方程分解成两个因式求解(3) 4X2=11X例：利用因式分解方法解下列方程(1) 2X2+X=0(2) 3X2+6X=02 2(5)(2X-1『-X2=0 (6)(X-3)-X(X-3) =0练习：利用因式分解方法解下列方程(1) 2X2 -=0 (2) X2=-2X(3) 5 X2+7X=0⑷(X+2)2=3X+6; (5) ( 3X+2)2-4X2=0;2一元二次方程ax • bx • c二0(a = 0)因式分解法: (二)十字相乘法：观察下面式子(X-1)(X+5)=x2+(-1+5)x+(-1 X 5)= X2+4X-5(X+1)(X+6)= X 2+(1+6)X+1 X3= X2+7X+65(9)6x 2 — 11x+3=0 ; (10)4m 2+8m+3=0 ;(8)3a 2 — 7a — 6=0 ;(X+2)(X+3)=x2+(2+3)x+2 X 3= x2+5x+6有什么规律？如果是由式子的右边出发有什么办法变为左边形式?这种方法在数学里面叫做十字相乘法！2当方程ax bx 0(a = 0)三项都存在/ >0,即有两根的时候可用十 字相乘法 方法步骤是： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式顺口溜：竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
从求根公式看一元二次方程整数根的解法
一元二次方程中只要判别式可化为完全平方式的，都可以 采用因式分解法求解。在解此类题目时，首先进行观察看 能否用因式分解法直接求解，若观察不出则选用求根公式 1 求解．
二、从求根公式看配方法
• 例2.设m是不为零的整数，关于 x 的二次方程
mx 2 (m 1)x 1 0 有有理根，求m的值.
r
1 r
x1x2 x1 x2 2 （x1 1）（x2 1) 3
当用求根公式无法凑效时，可想法绕过求根公式，如利用 根与系数的关系等方法.
思考题：下面题目你能用几种方法求解？
.当m是什么整数时，关于x的方程 x 2 (m 1)x m 1 0 的两根都是整数？
一、从求根公式看因式分解法
ax2 2(2a 1)x 4(a 3) 0 至少有一个
整数解.
（x 2)2 a 2(x 6)
a
2(x 6) (x 2)2
2(x 6) (x 2)2
1
变式：若将例3中 的条件“整数a ”
改为“正整 a 数 ”，本题又
会产生怎样的解 法？
x2 2x 8 0
• 例1.已知方程 a2x2 (3a2 8a)x 2a2 13a 15 0
（其中 a 是非负整数）至少有一个整数根，
求 a 的值．
显然 a ≠0．故原方程为关于x的二次方程．
a2x2 (3a 8)ax （2a 3)(a 5) 0
ax (2a 3)ax (a 5) 0
x1
2a a
3
2
-
3 a
x2
a
5 a
1-
一元二次方程总复习知识点梳理(学生)
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
用因式分解法解一元二次方程详细
用因式分解法解一元二次方程【主体知识概括】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式时，比如，x 2－ 9＝0，这个方程可变形为 ( ＋ 3)( － 3) ＝ 0，要 ( x ＋ 3)( x －3) 等于 0，一定并且只需 ( x ＋ 3) 等于 0 或( x － 3) 等于 0，x x所以，解方程 ( x ＋ 3)( x － 3) ＝ 0 就相当于解方程 x ＋ 3＝ 0 或 x －3＝ 0 了，经过解这两个一次方程便可获得 原方程的解．这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的重点是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论依据是：若A ·B ＝0 A ＝ 0 或B ＝ 0．【基础知识解说】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0 的时候， 才能应用因式分解法解一元二 次方程．分解因式时，要依据状况灵巧运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法能够说是通法，即能解任何一个一元二次 方程．但对某些特别形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简易，有的用因式分解法简易．所以，在碰到一道题时， 应选择适合的方法去解． 配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实质解一元二次方程时， 一般不用配方法．而在此后的学习中，会经常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例 1：用因式分解法解以下方程：(1)y 2＋7 ＋ 6＝ 0； (2)t (2 t － 1) ＝ 3(2 t － 1) ；(3)(2 x －1)( x － 1) ＝ 1．y解：(1) 方程可变形为 ( y ＋ 1)( y ＋ 6) ＝ 0， y ＋ 1＝ 0 或 y ＋ 6＝ 0，∴ y 1＝－ 1， y 2＝－ 6． (2) 方程可变形为 t (2 t －1)－3(2 t －1)＝0，(2 t －1)( t －3)＝0，2t －1＝0或 t －3＝0，∴ t 1＝1， t 22＝ 3．(3) 方程可变形为 2x 2－ 3x ＝0．x (2 x － 3) ＝ 0，x ＝ 0 或 2x － 3＝ 0． ∴ x 1＝0， x 2＝3．2说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，假如左侧的代数式能够 分解为两个一次因式的乘积，而右侧为零时，则可令每一个一次因式为零，获得两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如 ( x－a)( x－b) ＝c的方程，其左侧是两个一次因式之积，但右侧不是零，所以应转变为形如( x－e)( x－f ) ＝0 的形式，这时才有x1＝ e， x2＝ f ，不然会产生错误，如(3) 可能产生以下的错解：原方程变形为：2x－ 1＝1 或x－ 1＝ 1．∴x1＝ 1，x2＝ 2．(3) 在方程 (2) 中，为何方程两边不可以同除以(2 t－1) ，请同学们思虑？例 2：用适合方法解以下方程：(1) 3 (1－ x)2＝ 27 ；(2) x2－6x－19＝0；(3)3 x2＝4x＋1；(4) y2－15＝2y；(5)5 x( x－3)－( x－3)( x＋1) ＝ 0；(6)4(3 x＋ 1) 2＝ 25( x－ 2) 2．解析：方程 (1) 用直接开平方法，方程(2) 用配方法，方程(3) 用公式法，方程(4) 化成一般式后用因式分解法，而方程(5) 、 (6) 不用化成一般式，而直接用因式分解法就能够了．2 ＝9 ，( x－1) 2 ＝ 3，x－ 1＝±3 ，∴ x ＝1＋ 3 ， x ＝1－ 3 ．解： (1)(1 － x)1 2(2) 移项，得x 2－ 6 ＝ 19，配方，得x2－ 6x＋ ( － 3) 2＝ 19＋( － 3) 2， ( － 3) 2＝ 28，－ 3＝± 27，x x x∴ x1＝3＋2 7 ， x2＝3－2 7 ．(3)移项，得 3x2－4x－ 1＝0，∵ a＝3， b＝－4， c＝－1，∴ x＝( 4)( 4)2 43 ( 1) 2 7 ，2 3 3∴ x1＝2 7，x2＝27 ．3 3(4) 移项，得y2－ 2y－ 15＝0，把方程左侧因式分解，得( y－ 5)( y＋ 3) ＝ 0；∴ y－5＝0或 y＋3＝0，∴ y1＝5， y2＝－3．(5)将方程左侧因式分解，得 ( x－ 3) ［ 5x－( x＋ 1) ］＝ 0， ( x－ 3)(4 x－ 1) ＝ 0，∴ x－3＝0或4x－1＝0，∴x1＝3， x2＝1．4(6)移项，得 4(3 x＋ 1) 2－ 25( x－ 2) 2＝ 0，［ 2(3 x＋ 1) ］2－［ 5( x－ 2) ］2＝ 0，［2(3 x＋ 1) ＋ 5( x－ 2) ］·［ 2(3 x＋ 1) － 5( x－2) ］＝ 0，(11 x－8)( x＋ 12) ＝ 0，∴11x－ 8＝ 0 或x＋ 12＝ 0，∴x1＝8，x2＝－ 12．11说明： (1) 对于无理系数的一元二次方程解法同有理数同样，只可是要注意二次根式的化简．(2) 直接因式分解就能转变成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这类形式的方程就不用要整理成一般式了．例 3: 解对于x的方程： ( a2－b2) x2－ 4abx＝a2－b2．解： (1) 当a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b｜时，方程为－4abx＝ 0．当 a＝b＝0时， x 为随意实数．当｜a｜＝｜ b｜≠0时， x＝0．(2)当 a2－ b2≠0，即 a＋ b≠0且 a－ b≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［ ( a＋b) x＋ ( a－b) ］［ ( a－b) x－ ( a＋b) ］＝ 0，∵ a＋ b≠0且 a－ b≠0，∴ x1＝b a， x2＝ab ．a b a b说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不一样状况分别求解．此题其实是分三种状况，即①a＝ b＝0；②｜ a｜＝｜ b｜≠0；③｜ a｜≠｜ b｜．2 2x 2 2xy 5 y 2例 4: 已知x－xy－ 2y＝ 0，且x≠ 0，y≠ 0，求代数式x 2 2xy 5 y 2 的值．解析：要求代数式的值，只需求出 x、y 的值即可，但从已知条件中明显不可以求出，要求代数式的分子、分母是对于 x、 y 的二次齐次式，所以知道x 与 y 的比值也可．由已知x2－ xy－2y2＝0因式分解即可得 x 与 y 的比值．解：由 x2－ xy－2y2＝0，得( x－2y)( x＋y)＝0，∴ x－2y＝0或 x＋y＝0，∴ x＝2y 或 x＝－ y．当 x＝2y 时，x22xy 5y 2 (2y) 2 2 2y y 5y 2 5y 2 5 ．x 2 2xy 5y 2 (2y ) 2 2 2y y 5y 2 13y 2 13当 x＝－ y 时，x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 2 2y 2 1．x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 4y 2 2说明：因式分解法表现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不单可用来解一元二次方程，并且在解一元高次方程、二元二次方程组及相关代数式的计算、证明中也有着宽泛的应用．【同步达纲练习】 1．选择题(1) 方程 ( x － 16)(x ＋8)＝0的根是 ()A ．x 1＝－ 16，x 2＝ 8B ．x 1＝ 16，x 2＝－ 8C ．x 1＝16，x 2＝ 8D ．x 1＝－ 16，x 2＝－ 8(2) 以下方程 4x 2－3x － 1＝0， 5x 2－ 7x ＋ 2＝ 0，13x 2－ 15x ＋2＝ 0 中，有一个公共解是 ( )A ．． x ＝1B ． x ＝ 2C ． x ＝ 1D ．x ＝－ 12(3) 方程 5 x ( x ＋3) ＝ 3( x ＋ 3) 解为 ( )1＝ 3 2B ． x ＝ 3A ． x 5 ， x ＝ 35C ． x 1＝－ 3， x 2＝－ 3D ． x 1＝ 3， x 2＝－ 355(4) 方程 ( y － 5)( y ＋ 2) ＝1 的根为 ( )A ． y 1＝5， y 2＝－ 2B ． y ＝ 5C ． y ＝－ 2D ．以上答案都不对(5) 方程 ( x － 1) 2－4( x ＋ 2) 2＝ 0 的根为 ( )A ． x 1＝1， x 2＝－ 5B ． x 1＝－ 1， x 2＝－ 5C ． x 1＝ 1， x 2＝ 5D ． x 1＝－ 1， x 2＝ 5(6) 一元二次方程 x 2＋ 5x ＝ 0 的较大的一个根设为 m ， x 2－ 3x ＋ 2＝ 0 较小的根设为 n ，则 m ＋ n 的值为( )A ． 1B ． 2C ．－ 4D ． 4(7) 已知三角形两边长为4 和 7，第三边的长是方程x 2－ 16x ＋ 55＝ 0 的一个根，则第三边长是( ) A ． 5 B ． 5 或 11 C ． 6D ． 11(8) 方程 x 2－3| x －1|＝1的不一样解的个数是( ) A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 2．填空题(1) 方程 t ( t ＋3)＝28的解为_______．(2) 方程 (2 x ＋ 1) 2＋ 3(2 x ＋1) ＝ 0 的解为 __________ ． (3) 方程 (2 y ＋ 1) 2＋ 3(2 y ＋1) ＋ 2＝ 0 的解为 __________．(4)对于 x 的方程 x2＋( m＋n) x＋ mn＝0的解为__________．(5)方程 x( x－ 5 )＝ 5 － x 的解为__________．3．用因式分解法解以下方程：(1) x2＋12x＝ 0；(2)4 x2－ 1＝ 0；(3) x2＝ 7x；(4) x2－4x－ 21＝0；(5)(x－1)( x＋3)＝12；(6)3 x2＋ 2x－ 1＝ 0；(7)10 x2－x－ 3＝0；(8)(x－1)2－4( x－1)－21＝0．4．用适合方法解以下方程：(1) x2－4x＋ 3＝ 0；(2)(x－2)2＝256；(3) x2－ 3x＋ 1＝0；(4) x2－2x－ 3＝ 0；(5)(2 t＋ 3) 2＝ 3(2 t＋ 3) ；(6)(3 －y) 2＋y2＝ 9；(7)(1 ＋2 ) x2－(1－2 ) x＝0；(8) 5 x2－ (5 2＋ 1) x＋10 ＝0；(9)2 x2－8x＝ 7( 精准到 0．01) ； (10)( x＋ 5) 2－2( x＋ 5) － 8＝ 0．5．解对于x 的方程：(1) x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2) x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；2222(3) x －2mx － 8m ＝ 0； (4) x ＋ (2 m ＋ 1) x ＋ m ＋ m ＝0． 6．已知x 2＋ 3xy －4y 2＝ 0( y ≠ 0) ，试求x y的值．x y7．已知 ( x 2＋y 2)( x 2－ 1＋y 2) － 12＝ 0．求x 2＋y 2的值． 8．请你用三种方法解方程：x ( x ＋12)＝864．9．已知x 2＋ 3x ＋ 5 的值为 9，试求 3x 2＋ 9x － 2 的值．10．一跳水运动员从 10 米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系 式 h ＝－5( t －2)( t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程 ( x 2－ 1) 2－ 5( x 2－1) ＋ 4＝0，我们能够将 x 2－1 视为一个整体，而后设x 2－ 1＝ y ，则 y 2＝( x 2－ 1) 2，原方程化为2－ 5 ＋ 4＝0，解此方程，得y 1＝ 1， y 2＝ 4．y y当 y ＝1时， x 2－1＝1， x 2＝2，∴ x ＝±2 ．当 y＝4时， x2－1＝4， x2＝5，∴ x＝± 5 ．∴原方程的解为 x1＝－ 2 ， x2＝ 2 ， x3＝－ 5 ， x4＝ 5 ．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，表现了转变的思想．(1)运用上述方法解方程： x4－3x2－4＝0．(2)既然能够将 x2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参照答案【同步达纲练习】1． (1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2． (1) t 1＝－ 7，t 2＝ 4(2) x 1＝－1 2， 2＝－2(3) y 1＝－1， y 2＝－3 (4) x 1＝－ ， 2＝－ n (5) x 1＝ 5 ， 2＝－1 x 2m x x3．(1) x 1＝0，x 2＝－ 12；(2) x 1＝－1，x 2＝1；(3) x 1＝0，x 2＝ 7；(4) x 1＝ 7，x 2＝－ 3；(5) x 1＝－ 5，x 2＝3；(6) x 1＝－ 1，22x 2＝1；3(7) x 1＝3，x 2＝－1；(8) x 1＝8， x 2＝－2．524． (1) x 1＝ 1， x 2＝ 3； (2) x 1＝ 18， x 2＝－ 14； (3) x 1＝35， x 2 ＝35； (4) x 1 ＝3， x 2＝－ 1；22(5) t 1＝0， t 2＝－3； (6) y 1＝ 0，y 2 ＝ 3； (7) x 1＝ 0，x 2＝ 22 － 3；2(8) x1＝5 x2＝ 10； (9) x 1≈， x 2＝－； (10)xx＝－ 7． ，1＝－ 1，255． (1) x 2－ 4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，( x － 2a ) 2＝ ( a － 1) 2， ∴ x －2a ＝±( a －1)，∴ x 1＝3a －1， x 2＝ a ＋1．(2) x 2＋(5－2k ) x ＋ k 2－5k －6＝0， x 2＋(5－2k ) x ＋( k ＋1)( k －6)＝0， ［ x －( k ＋1)］［ x －( k －6)］＝0， ∴ x 1＝ k ＋1，x 2＝( k －6)．(3) x 2－2 ＋ 2＝ 9 2 ，( x － ) 2＝ (3 ) 2mx m m m m ∴ x 1＝4m ， x 2＝－2m(4) x 2＋(2 m ＋1) x ＋m ( m ＋ 1) ＝ 0， ( x ＋m ) ［x ＋ ( m ＋ 1) ］＝ 0，∴ x 1＝－ m ，x 2＝－ m －16． ( x ＋ 4y )( x －y ) ＝ 0，x ＝－4y 或 x ＝y当 x＝－4y 时，xy ＝ 4 y y 5 ；x y 4 y y 3当 x＝ y 时，xy ＝ yy＝ 0．x y y y7． ( x2＋y2)( x2＋y2－ 1) － 12＝ 0，( x2＋y2 ) 2－ ( x2＋y2) －12＝0，( x2＋y2－ 4)( x2＋y2＋ 3) ＝ 0，∴ x2＋ y2＝4或 x2＋ y2＝－3(舍去)8．x1＝－ 36，x2＝ 249．∵x2＋ 3x＋ 5＝9，∴x2＋ 3x＝ 4，∴3x2＋9x－2＝ 3( x2＋ 3x) － 2＝ 3×4－ 2＝ 10 10． 10＝－ 5( t－ 2)(t ＋1)，∴ t ＝1( t ＝0舍去) 11． (1)x1＝－2，x2＝2(2)(x2－2)( x2－5)＝0，( x＋2 )(x－ 2 )(x＋ 5 )(x－5 )＝0。
一元二次方程因式分解法由来
一元二次方程因式分解法由来一元二次方程因式分解法是解决一元二次方程的一种常用方法，它的由来可以追溯到求解一元二次方程的历史。
古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前5世纪提出了最早的一元二次方程解法，他认为一元二次方程的解应该是有理数。
根据这个思路，他首先将一元二次方程转化成形如x^2 = a的方程，然后通过几何构造的方法求解。
但是，当方程的解是无理数时，这种方法就失效了。
随后，欧洲文艺复兴时期的数学家卡尔丢斯发现了解一元二次方程的一种新方法——因式分解。
他在《大瑞士方程书》中描述了这一方法，并提供了一些具体的例子。
这本书于1572年出版，为欧洲数学发展做出了重要贡献，成为早期代数学的经典著作之一。
在此基础上，17世纪的法国数学家维埃特在其著作《代数析》中进一步完善了因式分解法，并提出了一种系统的解一元二次方程的方法。
他认为一元二次方程的解是有理数、无理数或者虚数，并根据不同情况进行了分类讨论。
这些分类标准的提出，使得解一元二次方程的方法更为统一和系统。
到了18世纪，欧洲数学家拉格朗日和欧拉进一步将因式分解法与复数相结合，发展出了复数域上的一元二次方程解法。
他们认为虚数也是一元二次方程的解，且复数解具有共轭对称关系。
这种解法在解决方程的无理根和复根时特别有用，为后续数学发展提供了重要的理论基础。
随着数学的不断发展，人们对一元二次方程的解法进行了深入研究和优化。
例如，19世纪的数学家高斯发现了求解一元二次方程的求根公式，即著名的“高斯消元法”，它能够直接求出一元二次方程的解，而无需通过因式分解的方法。
综上所述，一元二次方程因式分解法的由来可以追溯到古希腊时期的毕达哥拉斯，经过了卡尔丢斯、维埃特、拉格朗日、欧拉等数学家的不断研究和完善。
这些数学家们的努力和创新为解决一元二次方程提供了重要的思想和方法，使得数学的发展更加丰富多样。
因式分解法作为一种经典的解方程方法，至今仍然被广泛应用于数学教学和实际问题的求解中。
求解一元二次方程根的方法
求解一元二次方程根的方法一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b和c为已知实数，且a不等于0。
求解一元二次方程的根是数学中的一个基本问题，下面将介绍几种常用的求解方法。
1. 因式分解法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果其可以因式分解为(a1x+m)(a2x+n)=0,其中a1、a2、m和n为实数，则方程的根为x=-m/a1和x=-n/a2。
例如，对于方程x^2-5x+6=0，可以因式分解为(x-2)(x-3)=0，因此方程的根为x=2和x=3。
2. 公式法：一元二次方程的求根公式为x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)。
对于方程ax^2+bx+c=0，可以根据公式求解其根。
首先计算判别式D=b^2-4ac，然后根据D的值进行分类讨论：- 当D>0时，方程有两个不相等的实根，即x1=[-b+√D]/(2a)和x2=[-b-√D]/(2a)；- 当D=0时，方程有两个相等的实根，即x1=x2=-b/(2a)；- 当D<0时，方程没有实根，但可以求得两个共轭复根，即x1=(-b+√(-D)i)/(2a)和x2=(-b-√(-D)i)/(2a)，其中i为虚数单位。
例如，对于方程x^2-5x+6=0，根据公式法可以计算出D=5^2-4*1*6=1，因此方程的根为x=[5±√1]/2，即x=2和x=3。
3. 完全平方式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果其可以表示为(a√x+b)^2=0，其中a、b为实数，则方程的根为x=-(b/a)^2。
例如，对于方程4x^2-4x+1=0，可以将其表示为(2√x-1)^2=0，因此方程的根为x=1/2。
以上是常用的几种求解一元二次方程根的方法。
在实际问题中，根据方程的形式和已知条件可以选择合适的方法进行求解。
掌握这些求解方法可以帮助我们更好地理解和解决与一元二次方程相关的数学问题。
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x 3.
这个数是3.
小明做得对吗?
小亮是这样解的 : 解 :由方程x 2 3x, 得：x 2 3x 0. xx 3 0. x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
我思 我进步
定义：当一元二次方程一边为____，而另一边____分解成两个因式的
反串互动 展示提升
探究一：用因式分解法解下列方程
(1)5x2=4x (2)x-2=x(x-2).
探究二：用因式分解法解下列方程
（1）x2-4=0; (2)(x+1)2-25=0. （3）x2-6x+9=0
达标评价 迁移训练
自学检测：
（1）（4x-1）(5x+7)=0
（2） (x-2)（x-3）=12
我最棒
（ 1） （ 2） （ 3）
用分解因式法解下列方程
(2 x 2)3x 4 0;
(2x 3) 4(2x 3)
2
16 (3x 2) 0;
2
（ 4）
x 8x 16 0;
2
动脑筋
争先赛
4x2x 1 32x 1
(3x 2) 4( x 3) 0
2.3xx 1 2 2 x;
3.(x 2) 2x 3 ;
2 2
4.2( x 3)2 x 2 9;
要细心哟！
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解,. • 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型.
2
定向自学 交流探究
阅读感知
1.阅读P67：一个数的平方与这个数的3倍 有可能相等吗？若设这个数为x,则可列方
x 3x. 程为_______________ 。
2
心动不如行动
小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
小明是这样解的 :
解 : 方程x 2 3x两 边都同时约去x, 得.
2
2
回扣目标
课堂小结
定义：
A=0或B=0
AB=0
因式分解法解一元二次方程的步骤
因式分解的方法,突程.
课后 作业
知识的升华
必做题：P62习题2.7 1,2题;
选做题： 1.5( x 2 x) 3( x 2 x);
走进数学世界 感受完美生活
第四中学:李晓雪
一元二次方程的解法
----分解因式法
授课教师：第四中学 李晓雪
联旧启新 导入新课
1.一元二次方程的一般形式？ 2.解方程： x2
（用不同方法求解） 5 x 0.
3.分解因式的方法有几种？用你学过的方法 分解因式。
2
2
( x 1) 25.（3） x 6 x 9. （ 1） ( x 1) 5( x 1（ ) 2）
______时，我们可以用小亮的方法来解，这种解一元二次方程的 方法叫_____________________。
其步骤为：
（1）将方程右边化成__________；
（2）方程左边可分解成两个因式的________形式；
（3）让每个因式分别为____。
最后两个_______方程的根即为一元二次方程的根。