锐角三角函数知识点与典型例题讲义

《锐角三角函数》讲义

知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：

在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA=；∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围

例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．

第1题图

①＝______， ＝______；

②＝______， ＝______； ③＝______， ＝______．

例2. 锐角三角函数求值：

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，

sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．

例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．

求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．

典型例题：类型一：直角三角形求值

1．已知Rt △ABC 中，,12,4

3

tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=

∠4

3

sin AOC 求AB 及OC 的长．

3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠5

3

sin AOC

(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ；(2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．

4. 已知A ∠是锐角，，求A cos ，A tan 的值

对应训练：

1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为

A

．

55B ．255 C ．1

2

D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5

3

，那么tan A 的值等于（ ）.

A ．35

B .45

C .34

D . 43

类型二. 利用角度转化求值：

1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．

DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．

2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，及x 轴的正半轴交于点D ，B 是y

轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．

12

B ．3

C ．35

D ．4

5

3.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则

sin α=．

4.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，，则这个菱形的面积=cm 2．

5.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为

3

2

，2AC =，则sin B 的值是（）

A ．

23B ．32 C ．34 D ．43

6. 如图6，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )

D C B A O

y x

第8题图

Ａ．

34 Ｂ．43

Ｃ．

35 Ｄ．45

7. 如图7，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若 ，则AD 的长为( )

A ．2

B ．2

C ．1

D ．22 8. 如图8，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =求∠B 的度数及边BC 、

AB 的长.

类型三. 化斜三角形为直角三角形

例1如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．

例2．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．

求：sin ∠ABC 的值．

对应训练 1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）

2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．

3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是

A.23 cm 2 .43 cm 2C.63 cm 2

D.12 cm 2

类型四：利用网格构造直角三角形

例1 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值（） A ．

12 B ．55 C ．1010 D ．255

对应练习：

1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.

2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 A.41 B. 31 C.2

1

D.1

3．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（）

A ． 5 5 B. 2 5 5 C.12

D. 2

特殊角的三角函数值

当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而 例1．求下列各式的值．

1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2． 2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2

. 3）计算：3－

1+(2π－1)0－

3

3

tan30°－tan45° 锐角α 30° 45° 60° sin α cos α

tan α

C

B

A A

B

O