2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十八)立体几何理
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专题强化训练(十八) 立体几何
一、选择题
1．[2019·石家庄一模]已知三棱锥P －ABC 中，PC ⊥AB ，△ABC 是边长为2的正三角形，
PB ＝4，∠PBC ＝60°；
(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；
(2)设F 为棱PA 的中点，求二面角P －BC －F 的余弦值．
解：(1)在△PBC 中，∠PBC ＝60°，BC ＝2，PB ＝4，由余弦定理可得PC ＝23， ∴PC 2
＋BC 2
＝PB 2
， ∴PC ⊥BC ，
又PC ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ，
∴PC ⊥平面ABC ，∵PC ⊂平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面ABC .
(2)解法一：在平面ABC 中，过点C 作CM ⊥CA ，以CA ，CM ，CP 所在的直线分别为x ，y ，
z 轴建立空间直角坐标系C －xyz .
则C (0,0,0)，P (0,0,23)，A (2,0,0)，B (1，3，0)，F (1,0，3)． 设平面PBC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ CB →·m ＝x 1＋3y 1＝0，CP →·m ＝23z 1＝0，
取y 1＝－1，则x 1＝3，z 1＝0，
即m ＝(3，－1,0)为平面PBC 的一个法向量． 设平面BCF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
CB →·n ＝x 2＋3y 2＝0，CF →·n ＝x 2＋3z 2＝0，
取x 2＝3，则y 2＝－1，z 2＝－1，即n ＝(3，－1，－1)为平面BCF 的一个法向量， |cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m ||n |＝|3＋1＋0|2×3＋(－1)2＋(－1)2＝255
，
由题图可知二面角P －BC －F 为锐角， ∴二面角P －BC －F 的余弦值为25
5
.
解法二：由(1)可知PC ⊥平面ABC ，又PC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面ABC ，
∴二面角P －BC －F 的余弦值就是二面角A －BC －F 的正弦值， 作FM ⊥AC 于点M ，则FM ⊥平面ABC ， 作MN ⊥BC 于点N ，连接FN ，则FN ⊥BC ， ∴∠FNM 为二面角A －BC －F 的平面角． ∵点F 为PA 的中点，∴点M 为AC 的中点， 在Rt △FMN 中，FM ＝12PC ＝3，MN ＝3
2，
∴FN ＝
152，∴sin ∠FNM ＝FM FN ＝25
5
， ∴二面角P －BC －F 的余弦值为25
5
.
2．[2019·郑州质量预测二]如图，等腰直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，平面ABEF ⊥平面ABC,2AF ＝AB ＝BE ，∠FAB ＝60°，AF ∥BE .
(1)求证：BC ⊥BF ；
(2)求二面角F －CE －B 的正弦值．
解：(1)等腰直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，即BC ⊥AB ，
又平面ABC ⊥平面ABEF ，平面ABC ∩平面ABEF ＝AB ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ABEF ，又BF ⊂平面ABEF ， ∴BC ⊥BF .
(2)由(1)知BC ⊥平面ABEF ，故建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，
设AF ＝1，则由已知可得B (0,0,0)，C (0,2,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，E (－1,0，3)，EC →
＝(1,2，
－3)，
EF →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫5
2，0，－
32，BC →
＝(0,2,0)， 设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有 ⎩⎪⎨
⎪⎧ n ·EC →＝0，n ·EF →＝0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －3z ＝0，
52
x －3
2z ＝0，令x ＝3，则z ＝5，y ＝23，即n ＝(3，
23，5)为平面CEF 的一个法向量．
设平面BCE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则有 ⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·EC →＝0，
m ·BC →＝0
⇒⎩⎨
⎧
x 1＋2y 1－3z 1＝0，
2y 1＝0，
∴y 1＝0，x 1＝3z 1，令x 1＝3，则m ＝(3，0,1)为平面BCE 的一个法向量．
设二面角F －CE －B 的平面角为θ，则|cos θ|＝|m·n |m ||n |＝3＋52×210＝10
5
，
∴sin θ＝
15
5
， ∴二面角F －CE －B 的正弦值为
155
. 3．[2019·太原一模]如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，
AD ⊥CD ，四边形CDEF 是菱形，∠DCF ＝60°，CD ＝2AD ＝2AB ，AE ＝5AD .
(1)证明：CE ⊥AF ；
(2)已知点P 在线段BC 上，且CP ＝λCB ，若二面角A －DF －P 的大小为60°，求实数
λ的值．
解：(1)∵四边形CDEF 是菱形， ∴DE ＝CD ＝2AD ，CE ⊥DF ，
∵AE ＝5AD ，∴AE 2
＝5AD 2
＝AD 2
＋DE 2
， ∴AD ⊥DE ，
∵AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面CDEF ，