2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十八)立体几何理

专题强化训练(十八) 立体几何

一、选择题

1．[2019·石家庄一模]已知三棱锥P －ABC 中，PC ⊥AB ，△ABC 是边长为2的正三角形，

PB ＝4，∠PBC ＝60°；

(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；

(2)设F 为棱PA 的中点，求二面角P －BC －F 的余弦值．

解：(1)在△PBC 中，∠PBC ＝60°，BC ＝2，PB ＝4，由余弦定理可得PC ＝23， ∴PC 2

＋BC 2

＝PB 2

， ∴PC ⊥BC ，

又PC ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ，

∴PC ⊥平面ABC ，∵PC ⊂平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面ABC .

(2)解法一：在平面ABC 中，过点C 作CM ⊥CA ，以CA ，CM ，CP 所在的直线分别为x ，y ，

z 轴建立空间直角坐标系C －xyz .

则C (0,0,0)，P (0,0,23)，A (2,0,0)，B (1，3，0)，F (1,0，3)． 设平面PBC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ CB →·m ＝x 1＋3y 1＝0，CP →·m ＝23z 1＝0，

取y 1＝－1，则x 1＝3，z 1＝0，

即m ＝(3，－1,0)为平面PBC 的一个法向量． 设平面BCF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧

CB →·n ＝x 2＋3y 2＝0，CF →·n ＝x 2＋3z 2＝0，

取x 2＝3，则y 2＝－1，z 2＝－1，即n ＝(3，－1，－1)为平面BCF 的一个法向量， |cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m ||n |＝|3＋1＋0|2×3＋(－1)2＋(－1)2＝255

，

由题图可知二面角P －BC －F 为锐角， ∴二面角P －BC －F 的余弦值为25

5

.

解法二：由(1)可知PC ⊥平面ABC ，又PC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面ABC ，

∴二面角P －BC －F 的余弦值就是二面角A －BC －F 的正弦值， 作FM ⊥AC 于点M ，则FM ⊥平面ABC ， 作MN ⊥BC 于点N ，连接FN ，则FN ⊥BC ， ∴∠FNM 为二面角A －BC －F 的平面角． ∵点F 为PA 的中点，∴点M 为AC 的中点， 在Rt △FMN 中，FM ＝12PC ＝3，MN ＝3

2，

∴FN ＝

152，∴sin ∠FNM ＝FM FN ＝25

5

， ∴二面角P －BC －F 的余弦值为25

5

.

2．[2019·郑州质量预测二]如图，等腰直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，平面ABEF ⊥平面ABC,2AF ＝AB ＝BE ，∠FAB ＝60°，AF ∥BE .

(1)求证：BC ⊥BF ；

(2)求二面角F －CE －B 的正弦值．

解：(1)等腰直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，即BC ⊥AB ，

又平面ABC ⊥平面ABEF ，平面ABC ∩平面ABEF ＝AB ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ABEF ，又BF ⊂平面ABEF ， ∴BC ⊥BF .

(2)由(1)知BC ⊥平面ABEF ，故建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，

设AF ＝1，则由已知可得B (0,0,0)，C (0,2,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，E (－1,0，3)，EC →

＝(1,2，

－3)，

EF →

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫5

2，0，－

32，BC →

＝(0,2,0)， 设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有 ⎩⎪⎨

⎪⎧ n ·EC →＝0，n ·EF →＝0

⇒⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2y －3z ＝0，

52

x －3

2z ＝0，令x ＝3，则z ＝5，y ＝23，即n ＝(3，

23，5)为平面CEF 的一个法向量．

设平面BCE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则有 ⎩⎪⎨

⎪⎧

m ·EC →＝0，

m ·BC →＝0

⇒⎩⎨

⎧

x 1＋2y 1－3z 1＝0，

2y 1＝0，

∴y 1＝0，x 1＝3z 1，令x 1＝3，则m ＝(3，0,1)为平面BCE 的一个法向量．

设二面角F －CE －B 的平面角为θ，则|cos θ|＝|m·n |m ||n |＝3＋52×210＝10

5

，

∴sin θ＝

15

5

， ∴二面角F －CE －B 的正弦值为

155

. 3．[2019·太原一模]如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，

AD ⊥CD ，四边形CDEF 是菱形，∠DCF ＝60°，CD ＝2AD ＝2AB ，AE ＝5AD .

(1)证明：CE ⊥AF ；

(2)已知点P 在线段BC 上，且CP ＝λCB ，若二面角A －DF －P 的大小为60°，求实数

λ的值．

解：(1)∵四边形CDEF 是菱形， ∴DE ＝CD ＝2AD ，CE ⊥DF ，

∵AE ＝5AD ，∴AE 2

＝5AD 2

＝AD 2

＋DE 2

， ∴AD ⊥DE ，

∵AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面CDEF ，