中点四边形专题
各种四边形各边中点形成什么图形
《各种四边形各边中点形成什么图形》专项练习中点四边形定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形解决办法：连接对角线，利用三角形中位线定理证明一、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形已知：四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：连接AC）利用三角形中位线证明，两组对边分别平行的四边形是平行四边形二、顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形已知：平行四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：连接AC）利用三角形中位线证明，一组对边培训且相等的四边形是平行四边形三、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形已知：矩形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是菱形（提示：连接AC、BD）利用矩形对角线相等、中位线性质可得四边相等的四边形是菱形四、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形已知：菱形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是矩形（提示：连接AC、BD）利用菱形对角线垂直、中位线性质可得四个角是直角的四边形是矩形五、顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形已知：正方形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是正方形利用正方形对角线垂直相等、中位线性质可得四边相等又有一直角的四边形是正方形六、顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形已知：梯形ABCD中，AD//BC AB=DC, 点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是菱形（提示：连接AC，BD）利用梯形对角线相等、中位线性质可得四边相等的四边形是菱形。
中点四边形模型(4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
重难点专项突破：中点四边形模型（4种题型）【知识梳理】【考点剖析】题型一、利用中点求长度例1.如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（）A．20米B．11米C．10米D．9米【答案】A【解析】∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 各边的中点，∴EF 、FG 、GH 、HE 分别为△ABC 、△BCD 、△CDA 、△ABD 的中位线， ∴EF ＝12AC ＝112（米），FG ＝12BD ＝92（米），HG ＝12AC ＝112（米）， HE ＝12BD ＝92（米），∴四边形EFGH 总长度＝EF +FG +GH +HE ＝20（米）， 故选：A ．【变式1】在四边形ABCD 中，8AC BD ==，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则22EG FH +的值为（ ）A ．18B ．36C ．48D ．64【答案】D【解析】连接EF 、FG 、GH 、EH ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴11//,//,,22EF AC HG AC EF AC FG BD ==，∴//EF HG ，同理//EH FG ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AC BD =，∴EF FG =，∴平行四边形 EFGH 为菱形， ∴EG FH ⊥，2EG OG =，2FH OH =，()2222222221(2)(2)4448642EG FH OE OH OE OH EH BD ⎛⎫+=+=+==⨯== ⎪⎝⎭故选：D ．【变式2】如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，连结矩形各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为（ ）cm ．A ．20B ．C ．D ．25【答案】A 【解析】连接BD ，∵H 、G 是AD 与CD 的中点，∴HG 是△ACD 的中位线， ∴HG=12AC=5cm ，同理EF=5cm ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴根据矩形的对角线相等，即BD=AC=10cm ， ∵H 、E 是AD 与AB 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线， ∴EH=12BD=5cm ，同理FG=5cm ，∴四边形EFGH 的周长为20cm ． 故选A ．【变式3】如图，点O 为四边形ABCD 内任意一点，E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，OC ，OD 的中点，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．不能确定【答案】C【解析】∵E ，F 分别为OA ，OB 的中点，∴EF 是△AOB 的中位线，∴EF=12AB=3， 同理可得：FG=12BC=5，HG=12DC=6，EH=12AD=4，∴四边形EFGH 的周长为=3+5+6+4=18， 故选C ．题型二、利用中点求面积例2.如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，若△EFG 的面积为4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】记△BEF ,△DGH ,△CFG ,△AEH 的面积分别为1234,,,S S S S ，四边形ABCD 的面积为S .连接AC .∵BF =CF ，BE =AE ，CG =DG ，AH =DH ，∴EF ∥AC ,1,2EF AC =GH ∥AC ,12GH AC =，∴EF ∥GH ，EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴S 平行四边形EFGH =2S △EFG =8，∵△BEF ∽△BAC ，∴11,4S S ABC =同理可得214S S ACD ，= ∴1211()44ABC ACD S S S S S +=+=， 同法可得3414S S S +=，∴123412S S S S S ，+++= ∴S 四边形EFGH =12S ， ∴S =2S 四边形EFGH =16.故选C.【变式1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心．（1）写出一种你学过的和美四边形______；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（ ） A ．矩形 B ，菱形 C ．正方形 D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG 、、OH 、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若4,2,5AB BC CD ===,求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A ；（3）S 1+S 3=S 2+S 4；（4 【解析】（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形， 如图，四边形ACBD 中，对角线AB ⊥CD ，即为“和美四边形”， 点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AD 、BD 、BC 的中点， ∴EF ∥CD ∥HG ，且EF=HG=12CD ，EH ∥FG ∥AB ，且EH=FG=12AB ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AB ⊥CD ，∴EF ⊥EH ，∴平行四边形EFGH 是矩形；故选：A ．（3）连接AC 和BD ，由和美四边形的定义可知，AC ⊥BD ，则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°， 又E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴△AOE 的面积=△BOE 的面积，△BOF 的面积=△COF 的面积，△COG 的面积=△DOG 的面积，△DOH 的面积=△AOH 的面积，∴S 1+S 3=△AOE 的面积+△COF 的面积+△COG 的面积+△AOH 的面积=S 2+S 4；（4）如图，连接AC 、BD 交于点O ，则AC ⊥BD ， ∵在Rt △AOB 中，AO 2=AB 2-BO 2，Rt △DOC 中，DO 2=DC 2-CO 2，AB=4，BC=2，CD=5，∴可得AD 2=AO 2+DO 2=AB 2-BO 2+DC 2-CO 2=AB 2+DC 2-BC 2=42+52-22=37，即可得AD =．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，6BD =，E ，F ，G ，H 分别是四边的中点，则四边形EFGH 的面积为__________．【答案】12【解析】∵点E 、F 分别为边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC ， ∵AC=8，∴EF=4，同理，HE ∥BD ，HE=1BD 32=， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∵EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥AC ，∵EF ∥AC ，∴EF ⊥HE ，∴四边形EFGH 是矩形， ∴矩形EFGH 的面积=HE ×EF=12． 故答案为：12．题型三、找规律问题例3.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A 、1B 、1C 、1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ，再取各边中点2A 、2B 、2C 、2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ，……，依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为（ ）A ．162n−B ．182n − C ．412n −−D ．不确定【答案】B【解析】∵四边形A 1B 1C 1D 1的四个顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴A 1B 1∥AC ，A 1B 112=AC ，∴△BA 1B 1∽△BAC ．∴△BA 1B 1和△BAC 的面积比是相似比的平方，即14． 即1114BA B S=S △ABC ，同理可证：1114DD C S =S △ADC ， 1114AD A S =S △ABD ，S △CB 1C 114=S △BDC ，∴111112A B C D S =四边形S 四边形ABCD ，同法可证2222111112A B C D A B C D S S =四边形四边形，又四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝4，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积是16．∴四边形A n B n ∁n D n 的面积116822n n −==．故选：B ．【变式1】如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ⊥，6AC =，10BD =．（1）试判断四边形1111D C B A 的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C，3D ……以此类推，取11n n A B −−，11n n B C −−，11n n C D −−，11n n D A −−的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：①四边形1111D C B A 的面积是__________； ②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516，则n =________； ③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积___________． 【答案】（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n − 【解析】（1）四边形1111D C B A 是矩形，证明：∵1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点， ∴11A B AC ，11C D AC ，∴1111A B C D ，同理可得1111A D B C ∥，∴四边形1111D C B A 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，易得1111A B B C ⊥，∴四边形1111D C B A 是矩形； （2）①由题意可知：A 1B 1=12AC=3，A 1D 1=12BD=5，四边形1111D C B A 的面积=3×5=15；②由构图过程可得：A 2D 2=B 2C 2=12B 1D 1=12C 2D 2=B 2A 2=12A 1C 1=12可知四边形2222A B C D 为菱形，∴2222A B C D S =222212A C B D ⨯=111112A B B C ⨯=152；同理可求：3333A B C D S =154，4444A B C D S =158，…，n n n n A B C D S =1152n −，故当四边形n n n n A B C D 的面积为1516时，1152n −=1516，解得：n=5；③由②可知：用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积为1152n −.故答案为：（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n −题型四、中点综合问题例4.通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。
四边形中点四边形规律总结
四边形中点四边形规律总结四边形中点四边形规律总结介绍四边形中点四边形是指一个四边形的对角线的中点连成的四边形。
这种四边形有一些特殊的性质和规律，本文将对其进行全面总结。
性质一：对角线互相平分从一个四边形的任意两个相邻顶点出发，可以画出两条对角线。
这两条对角线在交点处将四边形分成了两个三角形。
根据几何学知识可知，这两个三角形是全等的，因此它们的底部也是相等的。
而由于对角线互相平分，所以它们底部各自等于整个四边形底部的一半。
性质二：中心连线互相平分连接一个四边形的相邻顶点和中心，可以得到4条线段。
这些线段都是由相邻顶点和中心构成，因此它们长度相等，并且互相平分。
性质三：对角线交点为重心连接一个四边形的对角线会得到一个交点，即重心。
重心是由每个顶点与其对面顶点之间连线所交于一点而得到的。
在这种情况下，重心将每条连线分成两条长度相等的线段。
性质四：对角线互相垂直对于一个四边形，如果它的对角线互相平分，那么它们必定互相垂直。
这个性质可以通过利用勾股定理证明得出。
规律一：中点四边形面积为原四边形面积的一半由于中点四边形是由对角线中点构成的，因此它的面积是原四边形面积的一半。
这个规律可以通过将原四边形分成两个三角形，然后再将中点四边形分成两个三角形来证明。
规律二：中心连线构成平行四边形连接一个四边形的相邻顶点和中心所得到的4条线段会构成一个平行四边形。
这个规律可以通过利用向量几何来证明得出。
规律三：重心到顶点距离为重心到中心距离的二分之一连接一个四边形的对角线会得到一个交点，即重心。
在这种情况下，重心到每个顶点之间连线距离都等于重心到中心之间连线距离的二分之一。
这个规律可以通过利用向量几何来证明得出。
规律四：对角线互相垂直的条件对于一个四边形，如果它的对角线互相垂直，那么它们必定平分彼此的交点角度。
这个规律可以通过利用正弦定理证明得出。
结论四边形中点四边形有许多特殊的性质和规律，包括对角线互相平分、中心连线互相平分、对角线交点为重心、对角线互相垂直等等。
(完整版)2014年几何专题训练中点四边形难题突破【原创】
中点四边形训练几何专题一．选择题（共5小题）1．顺次连接圆内接梯形四边的中点所得的四边形是（)A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形2．顺次连接凸四边形各边中点所得到的四边形是正方形时,原四边形对角线需满足的条件是（）A．对角线相等且垂直C．对角线垂直B．对角线相等D．一条对角线平分另一条对角线3．如图，在四边形ABCD中，E,H，F，G分别是AB，BD，CD,AC 的中点，要使四边形EHFG为菱形，需要添加条件（)A．AC=BD B．AD=CD C．AB=BC D．AD=BC4．下列说法正确的是（）A．依次连接任意四边形各边中点可以得到一个矩形B．依次连接矩形各边的中点能得到一个矩形C．依次连接正方形各边的中点能得到一个正方形D．依次连接菱形各边的中点能得到一个菱形5．如图，矩形ABCD中,AB=6,AD=8,顺次连结各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2…,依此类推，则四边形A7B7C7D7的周长为（）A．14B．10C．5D．2.5二．解答题（共9小题）6．如图,在四边形ABCD中，AC=BD，且AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．7．如图，在四边形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．(1）求证：四边形EFGH是菱形；(2)若AC=8，求EG2+FH2的值．8．如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AC、AB的中点,BD与CE交于点O．点F、G分别是线段BO、CO的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；(2）如图2，若AO=BC，求证:四边形DEFG是菱形；（3)若AB=AC，且AO=BC=6,直接写出四边形DEFG的面积．9．如图,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．(1）判断四边形EFGH的形状，并说明你的理由；(2）连接BD和AC，当BD、AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形．（不要求证明）10．已知：如图，四边形ABCD中,对角线相交于点O、E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点．（1）请说明四边形EFGH的形状,并证明你的结论;(2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．11．课题学习:(1)如图1，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是_________ 形，正方形ABCD的面积记为S1，EFGH的面积为S2,则S1和S2间的数量关系：_________ ；（2)如图2，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是_________ 形，菱形ABCD的面积为S1，EFGH的面积为S2，则S1和S2间的数量关系：_________ ；(3）如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD,垂足为O，E、F、G、H分别为各边的中点．四边形EFGH是_________ 形；若梯形ABCD的面积记为S1,四边形EFGH的面积记为S2，由图可猜想S1和S2间的数量关系为：_________ ；(4）如图4，E、G分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点，H、F分别是边形AD、BC 上的点，且四边形EFGH为平行四边形，若把平行四边形ABCD的面积记为S1，把平行四边形形EFGH的面积记为S2，试猜想S1和S2间的数量关系，并加以证明．12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．试判断线段MN、PQ的关系，并加以证明．13．如图,梯形ABCD中，AD∥BC,M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．求证:MN 和PQ互相平分．14．证明：中点四边形的面积为原四边形面积的一半（不用相似三角形)．。
四边形中点知识点
四边形中点知识点四边形是一个拥有四条边的几何图形，它的四个顶点可以用直线相连，形成四个内角和四个外角。
在四边形中，中点是指连接两个非相邻顶点的线段的中点。
本文将通过逐步思考的方式，介绍四边形中点的一些基本知识点。
第一步：了解四边形和中点的定义四边形是一个几何图形，它有四条边和四个顶点。
四边形的中点是指连接两个非相邻顶点的线段的中点。
例如，如果我们有一个四边形ABCD，连接顶点A和C的线段AC的中点就是四边形中点。
第二步：了解四边形中点的性质四边形中点具有一些有趣的性质。
首先，连接四边形的相对边的中点会形成一个平行四边形。
例如，在四边形ABCD中，连接顶点A和C的线段AC的中点和连接顶点B和D的线段BD的中点所形成的线段会平行且等于彼此。
第三步：了解四边形中点的重要性四边形中点在几何学中有着重要的作用。
它可以帮助我们更好地理解四边形的性质和特征。
其中一个重要的应用是在证明四边形平行的问题中。
如果我们能够证明四边形的对角线中点连线平行，那么我们就能得出四边形是平行四边形的结论。
第四步：探索四边形中点的性质在四边形中，连接相对顶点的线段的中点被称为对角线中点。
对角线中点有一些有趣的性质。
首先，四边形的对角线中点相互连接会形成一个平行四边形。
其次，如果四边形的对角线中点互相连接，那么这两条线段的交点将是四边形的中点。
第五步：应用四边形中点的知识应用四边形中点的知识可以帮助我们解决一些几何问题。
例如，如果我们知道一个四边形的两个对角线的中点，我们可以通过连接这两个中点来构造一个平行四边形。
另外，我们还可以利用四边形中点的性质来证明四边形的平行性、相似性等等。
总结：通过逐步思考，我们可以了解到四边形中点的定义、性质和重要性。
四边形中点对于理解四边形的性质、进行证明和解决几何问题非常有帮助。
深入研究四边形中点的知识将为我们探索几何学的更多奥秘提供基础。
注：本文介绍了四边形中点的基本知识点，但未涉及Ai人工智能等字样。
中点四边形专题
《中点四边形》专题
班级 姓名
成名每在穷苦日，败事多因得意时。
四边形
梯形
直角梯形
平行四边形 四边形
梯形 矩形 正方形 菱形 等腰 直角
梯形 梯形
1、猜想连接任意四边形中点所得中点四边形是什么特殊的四边形？并说明理由。
已知：
求证：
证明：
2、如果把上面的任意四边形变成是平行四边形、矩形、菱形、正方形，它的中点四边形的形状又如何呢？大家分别探究一下。
※原四边形是平行四边形时：
依次连接平行四边形各边中点所形成的中点四边形是。
（备用图）
原四边形是矩形时：依次连接矩形各边中点所形成的中点四边形是。
（备用图）
原四边形是菱形时：依次连接菱形各边中点所形成的中点四边形是 。
（备用图）
原四边形是正方形时：依次连接正方形各边中点所形成的中点四边形是 。
（备用图）
3、反之若中点四边形EFGH 分别为矩形、菱形和正方形，则四边形ABCD 是否一定分别为菱形、矩形（等腰梯形）、正方形？
1：如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 是AD 中点，N 是BC 中点，E 是CD 中点，F 是AB 中点。
（1） 若EF=MN ，则BD ⊥ME ； （2） 若AC=BD ，则EF=MN ； （3） 若AC ⊥BD ，则EF=MN 。
2：如图（1）（2）（3），最外面的矩形、菱形、正方形的面积为1，则最里面的中点四边形的面积。
B C B
D A
C。
【初中数学】人教版八年级下册专题训练（二）中点四边形(练习题)
人教版八年级下册专题训练（二）中点四边形(146) 1.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求EG2+FH2的值．2.四边形ABCD为边长等于1的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH(四边形EFGH称为原四边形的中点四边形)，再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形……则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于．3.如图所示，E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是形，并说明理由;(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并说明理由．4.如图，在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是BC,AD,BD,AC的中点．(1)求证：EF与GH互相平分；(2)当四边形ABCD的边满足条件时,EF⊥GH．5.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是（）A.矩形B.平行四边形C.菱形D.任意四边形6.顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是（）A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形7.若四边形的对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形8.如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当中点四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD是矩形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确的是(填序号)．9.如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，E,F,G,H分别是AD,AB,CB,CD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．10.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形11.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是（）A.矩形B.正方形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形12.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB,CD应满足的条件是．13.如图所示，E,F,G,H为四边形ABCD各边的中点，若对角线AC，BD的长都为20，则四边形EFGH的周长是（）A.80B.40C.20D.1014.如图,已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60∘,则四边形EFGH的面积为cm2.15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为．16.如图，在四边形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点，则EG2+FH2=．参考答案1.【答案】:如图，连接EF ，FG ，GH ，EH ，∵E ，H 分别是AB ，DA 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH =12BD =3. 同理可得EF ，FG ，GH 分别是△ABC ，△BCD ，△ACD 的中位线， ∴EF =GH =12AC =3，FG =12BD =3，∴EH =EF =GH =FG =3，∴四边形EFGH 为菱形，∴EG ⊥HF ，且垂足为O ，∴EG =2OE ，FH =2OH ．在Rt △OEH 中，根据勾股定理得：OE 2+OH 2=EH 2=9，等式两边同时乘4得4OE 2+4OH 2=9×4=36，∴(2OE)2+(2OH)2=36，即EG 2+FH 2=36．【解析】:连接EH,HG,GF,FE ，根据题目条件提供的四个中点，结合中位线的性质，证明四边形EFGH 为菱形，再根据菱形的性质及勾股定理求出结果.2.【答案】:116【解析】:根据题意，结合图形寻找规律：第二、四、六、八个中点四边形为菱形，第一个菱形边长为12，第二个菱形边长为14，第三个菱形边长为18，第四个菱形边长为116，即为第八个菱形的边长3(1)【答案】当四边形ABCD 是矩形时，四边形EFGH 是菱形．理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ．∵E ，F ，H 分别是AB ，BC ，AD 的中点，∴EF=12AC，EH=12BD，∴EF=EH．同理可得EF=GH=GF，∴四边形EFGH是菱形【解析】:利用矩形及中位线的性质，结合菱形的判定方法进行推导证明.(2)【答案】当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．理由：∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=12AC，同理，EH∥BD，EH=12BD，GF=12BD，GH=12AC．∵AC=BD，∴EF=EH=GH=GF，∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴菱形EFGH是正方形【解析】:根据三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半，先判断出AC=BD，又正方形的四个角都是直角，可以得到正方形的邻边互相垂直，然后证出AC与BD垂直，得到四边形ABCD满足的条件.4(1)【答案】证明：连接GE,GF,HF,EH．∵E,G分别是BC,BD的中点,∴EG=12CD．同理FH=12CD,FG=12AB,EH=12AB,∴EG=FH,GF=EH，∴四边形EHFG是平行四边形．∴EF与GH互相平分【解析】:根据题中提供的四个中点，得到几组中位线，利用中位线的性质，及平行四边形的判定方法，推导出四边形EHFG是平行四边形，进而推导出结论(2)【答案】当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH．【解析】:理由如下:当EF⊥GH时,四边形EGFH是菱形,此时GF=EG．∵EG=12CD,FG=12AB,∴AB=CD．∴当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH5.【答案】:C【解析】:顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是菱形．如图，∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，∴EH∥BD，EH=12BD，FG∥BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=FG=12BD，∴四边形EFGH为平行四边形．又∵EF为△ABC的中位线，∴EF=12AC．又∵EH=12BD，且AC=BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH为菱形．故选C．6.【答案】:B【解析】:利用菱形的性质、矩形的判定方法及中位线的性质推导出结果.7.【答案】:B【解析】:如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD．又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EH，EH⊥EF，EF⊥FG，FG⊥HG．故可判定该四边形是矩形．故选B．8.【答案】:①④【解析】:如图四边形ABCD，连接AC，BD．∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，GF∥BD，∴EF∥GH，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确．若四边形ABCD是矩形，则AC=BD．∵EF=12AC，EH=12BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，故②错误．若四边形EFGH是菱形，则AC=BD，但四边形ABCD不一定是矩形，故③错误．若四边形ABCD是正方形，则AC=BD，AC⊥BD，∴四边形EFGH是正方形，故④正确．∴正确的叙述是①④．9.【答案】:连接AC，BD，交于点O，如图．∵E，F，G，H分别是AD，AB，CB，CD的中点，∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，EF=GH=12BD，EH=FG=12AC，∴四边形EFGH是平行四边形．∵AD=CD，AB=CB，∴点D，B都在线段AC的垂直平分线上，∴DB垂直平分AC，∴DB⊥AC，OA=OC．∵EF∥DB，∴EF⊥AC．∵FG∥AC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形【解析】:利用三角形的中位线解题.10.【答案】:D【解析】:若得到的四边形是矩形，那么邻边互相垂直，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解.11.【答案】:C【解析】:若得到的四边形是菱形，那么四条边都相等，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必相等，由此得解.12.【答案】:AB=CD【解析】:若四边形EFGH是菱形，则GH=EH，又根据题中条件所给的四个中点，利用中位线的性质推导出AB=2GH，CD=2EH，所以AB=CD.13.【答案】:B【解析】:∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，∴HG=EF=12AC，GF=HE=12BD，∴四边形EFGH的周长=HG+EF+GF+HE=12(AC+AC+BD+BD)=12×(20+20+20+20)=40 14.【答案】:9√3【解析】:连接AC,BD,相交于点O,如图所示, ∵点E,F,G,H分别是菱形四边的中点,∴EH=12BD=FG,EH∥BD∥FG, EF=12AC=HG,∴四边形EHGF是平行四边形．∵菱形ABCD中,AC⊥BD,∴EF⊥EH,∴平行四边形EFGH是矩形．∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60∘,∴∠ABO=30∘.∵AC⊥BD,∴∠AOB=90∘,∴AO=12AB=3cm,∴AC=6cm．在Rt△AOB中,由勾股定理，得OB=√AB2−OA2=3√3cm, ∴BD=6√3cm．∵EH=12BD,EF=12AC,∴EH=3√3cm,EF=3cm,∴矩形EFGH的面积=EF·EH=9√3cm2. 故答案为9√315.【答案】:12【解析】:∵E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，∴HE=12AC=4,HE∥AC,GF∥AC,∴HE∥GF．同理，HG∥EF,HG=12BD=3,∴四边形EFGH是平行四边形．∵AC⊥BD，∴∠EHG=90∘,∴四边形EFGH是矩形，∴四边形EFGH的面积为3×4=1216.【答案】:50【解析】:连接HG，EH，EF，FG，∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴HG=EF=12AC=4，EH=FG=12BD=3，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴HE∥BD，HE=12BD，同理FG∥BD，FG=12BD，∴四边形HEFG是平行四边形．∵AC⊥BD，∴HG⊥EH，∴四边形HEFG为矩形，∴EG2+FH2=EF2+FG2+EF2+EH2=52+52=50。
专题20 中点四边形模型(学生版)-中考数学几何模型重点突破讲练
2
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边形 EFGH 为平行四边形；（2）四边形 EFGH 的周长为 AC BD 。
又因为 EF、FG、GH、EH 分别是 BCA 、 CDB 、 DAC 、 ABD 的中位线，
相似三角形的面积之比等于相似比的平方，
S BEF
1 4
SABC ，
S CGF
1 4 SCDB ， SDHG
1 4 SDAC
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
4．如图，在矩形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是四条边的中点，AB＝2，BC＝4，则四边形 EFGH 的面积
为（ ）
A．4
B．6
C．3
D．8
5．李优的窗帘厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料，用于生产批形状如图所示的窗帘图案来
点缀窗帘，点 E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料
三、解答题 13．如图，四边形 ABCD 的四边中点分别为 E、F、G、H，顺次连接 E、F、G、H． （1）判断四边形 EFGH 形状，并说明理由； （2）若 AC＝BD，判断四边形 EFGH 形状，并说明理由．
14．四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 边的中点，顺次连接各边中点得到的新 四边形 EFGH 称为中点四边形．
（裁剪两种布料时，损耗不计）．若生产这批图案需要甲布料 50 匹，那么需要乙布料（ ）
A．150 匹
B．100 匹
C．50 匹
D．25 匹
6．已知：如图，在矩形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别为边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点．若
AB 2，AD 4 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
专题01 中点四边形模型(全国通用)(原卷版)
专题01 中点四边形模型中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。
结论1: 点M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形MNPQ 是平行四边形结论2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【典例2】（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相平分且相等C．互相垂直D．相等【典例3】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2023春•福山区期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的C．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和3．（2023春•覃塘区期末）在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝3，AD＝4，则中点四边形EFGH的面积为（）A．8B．6C．4D．34．（2023春•费县期末）顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．对角线相等的四边形C．菱形D．对角线互相垂直的四边形5．（2023•商丘模拟）一个四边形四边中点的连线所构成的中点四边形是菱形，那么这个原四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．对角线相等6．（2023春•路北区期末）顺次连接矩形各边中点，所得图形的对角线一定满足（）A．互相平分．B．互相平分且相等C．互相垂直．D．互相平分且垂直7．（2023春•达州期末）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．11D．138．（2023•浦东新区二模）顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形ABCD一定是（）A．菱形B．对角线相等的四边形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形9．（2023•晋中模拟）如图，顺次连接正六边形纸板ABCDEF各边中点得到一个新的正六边形．若将一个飞镖随机投掷到正六边形纸板ABCDEF上，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．10．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BDC．AC⊥BD且AC＝BD D．不确定11．（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD12．（2022春•惠城区校级期中）在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，得到中点四边形EFGH．当AC＝BD时，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形13．（2022•老河口市模拟）如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH 一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．对角线相等的四边形14．（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（）A．48B．24C．32D．1215．（2023春•金湖县期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝8，AD＝10，则AO的长为．16．（2022春•皇姑区期末）在四边形ABCD中，AC＝6cm，BD＝9cm，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长为cm．17．（2023秋•丹东期末）【问题初探】数学活动课上，张老师引导学生探究中点四边形的形状及性质．首先，张老师给出中点四边形的定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．接下来张老师提出问题：如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH是什么形状？中点四边形EFGH的面积与原四边形ABCD的面积有怎样的关系？请各组讨论，并给出证明过程．班级的“希望小组”经讨论发现：中点四边形EFGH是平行四边形，且中点四边形EFGH的面积是原四边形ABCD面积的一半．证明如下：证明：如图2，连接AC，BD∵点H，G分别为AD，CD的中点∴HG是△ADC的中位线，根据三角形中位线定理可得：HG与AC的位置关系为，数量关系为．同理可得：EF∥AC，∴HG∥EF，HG＝EF∴四边形EFGH是平行四边形根据线段HG，AC的关系，进而可得△DHG∽△DAC，且＝同理∴（1）请你将“希望小组”的证明过程补充完整．【类比探究】（2）在（1）问的讨论过程中，“善思小组”有了新的发现：中点四边形EFGH的形状还可能是菱形、矩形或正方形，中点四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度有一定的数量关系．张老师把这个问题同时给了其它小组进行研究．请你结合（1）的分析过程，解决下面的问题：（其中①，②问直接填空）①当对角线AC，BD满足关系时，中点四边形EFGH为菱形？②当对角线AC，BD满足关系时，中点四边形EFGH为矩形？③中点四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度有怎样的数量关系，并说明理由．【学以致用】（3）如图3，在四边形ABCD内部有一点O，连接OA，OB，OC，OD，点H，G分别是AD，BC的中点，连接HG，若∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝150°，OA＝OB＝2，OC＝OD＝3，求HG的长．18．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是；（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．19.（2022春•仙居县期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积．。
2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1-17 中点四边形(巩固篇)
专题1.17 中点四边形专题（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH，我们把四边形EFGH叫做四边形ABCD的“中点四边形”．若四边形ABCD是矩形，则矩形ABCD的“中点四边形”一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，若E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，顺次连接E、F、G、H四点，得到四边形EFGH，则下列结论不正确的是（）A．四边形EFGH一定是平行四边形B．当AB=CD时，四边形EFGH是菱形C．当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形D．四边形EFGH可能是正方形3．在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点EG2＋FH2的值为（）A．72B．64C．48D．364．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是（）A．S1=3S2B．2S1=3S2C．S1=2S2D．3S1=4S25．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：=，则四边形EFGH为矩形；⊥若AC BD⊥若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；⊥若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相垂直平分；⊥若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为20cm，则四边形EFGH的周长是()A．80cm B．40cm C．20cm D．10cm7．如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（）A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形C．可能是轴对称图形D．当AC=BD时它是矩形8．顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（）．A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形9．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则对四边形EFGH表述最确切的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH是菱形C．四边形EFGH是正方形D．四边形EFGH是平行四边形10．如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是()A．当M，N，P，Q是各边中点，四边MNPQ一定为平行四边形B．当M，N，P，Q是各边中点，且90∠=时，四边形MNPQ为正方形ABC=时，四边形MNPQ为菱形C．当M，N、P，Q是各边中点，且AC BD⊥时，四边形MNPQ为矩形D．当M，N、P、Q是各边中点，且AC BD二、填空题11．如图，连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ，只要添加_____条件，就能保证四边形EFGH 是菱形．12．如图，在四边形ABCD 中，AC =BD =6，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则EG 2+FH 2=______．13．如图，四边形 ABCD 是菱形， E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD 内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是__________．14．如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，则顺次连接四边形ABCD 各边中点所得四边形的周长是_____．15．如图，已知矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 的周长等于_____cm ．16．如图，H 是⊥ABC 内一点，BH ⊥CH ，AH ＝6，CH ＝3，BH =4，D 、E 、F 、G 分别是AB 、AC 、CH 、BH 的中点，则四边形DEFG 的周长是______．17．如图，四边形ABCD 为正方形，点E F G H 、、、分别为AB BC CD DA 、、、的中点，其中4BD =，则四边形EFGH 的面积为________________________．18．如图，四边形ABCD 的对角线AC BD ⊥，E ，F ，G ，H 分别是AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若在四边形ABCD 内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为_____________．19．如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，EF ＝2EH ，则AB 与EH 的数量关系是AB ＝_____EH ．20．如图，点A ，B ，C 为平面内不在同一直线上的三点．点D 为平面内一个动点．线段AB ，BC ，CD ，DA 的中点分别为M ，N ，P ，Q ．在点D 的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ 是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ 是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ 是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ 是正方形．所有正确结论的序号是_____．三、解答题21．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是，证明你的结论；（2）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是菱形；（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？22．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？23．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是．（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，⊥APB＝⊥CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．（3）若改变（2）中的条件，使⊥APB＝⊥CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．24．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，顺次连接E、G、F、H．（1）求证：四边形EGFH是菱形．（2）当⊥ABC与⊥DCB满足什么关系时，四边形EGFH为正方形，并说明理由．（3）猜想：⊥GFH、⊥ABC、⊥DCB三个角之间的关系，并证明你的猜想是成立的．25．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，中点四边形EFGH 是_______________．（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA PB =，PC PD =，APB CPD ∠=∠，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．（3）若改变（2）中的条件，使90APB CPD ∠=∠=︒，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状（不必证明）．参考答案1．C 【分析】原四边形ABCD 是矩形时，它的对角线相等，那么中点四边形EFGH 是菱形（平行四边形相邻的两边都相等）．解：连接AC 和BDH 、G 分别是AD 、DC 的中点，HG ∴是DAC ∆的中位线， HG AC ∴∥，1=2HG AC同理，//EF AC ，EH FG BD ∥∥，1=2EH BD ．∴四边形EFGH 是平行四边形． 四边形ABCD 是矩形时，∴AC BD =，则HG EF =， ∴平行四边形EFGH 是菱形 故选：C.【点拨】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定等知识点． 2．C 【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 解：⊥E 、F 分别是BD 、BC 的中点，⊥EF⊥CD ，EF=12CD ，⊥H 、G 分别是AD 、AC 的中点， ⊥HG⊥CD ，HG=12CD ， ⊥HG⊥EF ，HG=EF ，⊥四边形EFGH 是平行四边形，A 说法正确，不符合题意；⊥F、G分别是BC、AC的中点，⊥FG=12AB，⊥AB=CD，⊥FG=EF，⊥当AB=CD时，四边形EFGH是菱形，B说法正确，不符合题意；当AB⊥BC时，EH⊥EF，⊥四边形EFGH是矩形，C说法错误，符合题意；当AB=CD，AB⊥BC时，四边形EFGH是正方形，说法正确，不符合题意；故选：C．【点拨】此题考查中点四边形、三角形中位线定理，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．3．B【分析】作辅助线，构建四边形EFGH，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质等量代换可得结论．解：连接EF、FG、GH、EH，⊥E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，⊥EF⊥AC，HG⊥AC，11,22EF AC FG BD==，⊥EF⊥HG，同理EH⊥FG，⊥四边形EFGH为平行四边形，⊥AC=BD，⊥EF=FG，⊥平行四边形EFGH为菱形，⊥EG⊥FH，EG=2OG，FH=2OH，⊥EG 2+FH 2=（2OE ）2+（2OH ）2=4（OE 2+OH 2）=4EH 2=2214()8642BD ⨯==,故选：B ．【点拨】本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形有机结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明．4．C 【分析】根据题意由E 为AB 中点，且EF 平行于AC ，EH 平行于BD ，得到△BEK 与△ABM 相似，△AEN 与△ABM 相似，利用面积之比等于相似比的平方，得到△EBK 面积与△ABM 面积之比为1：4，且△AEN 与△EBK 面积相等，进而确定出四边形EKMN 面积为△ABM 的一半，同理得到四边形MKFP 面积为△MBC 面积的一半，四边形QMPG 面积为△DMC 面积的一半，四边形MNHQ 面积为△ADM 面积的一半，四个四边形面积之和即为四个三角形面积之和的一半，即为四边形ABCD 面积的一半．解：设AC 与EH 、FG 分别交于点N 、P ，BD 与EF 、HG 分别交于点K 、Q ，⊥E 是AB 的中点，EF⊥AC ，EH⊥BD ， ⊥⊥EBK⊥⊥ABM ，△AEN⊥⊥EBK ， ⊥14EBK ABMS S=，S △AEN =S △EBK ， ⊥12EKMN ABM S S =四边形，同理可得12KFPM BCM S S 四边形=，12QGPM DCM S S =四边形，12HQMN DAM S S =四边形， ⊥12EFGH ABCDS S 四边形四边形=， ⊥四边形ABCD 的面积为S 1，中点四边形EFGH 的面积记为S 2，则S 1与S 2的数量关系是S 1=2S 2．故选C ．【点拨】此题主要考查了中点四边形以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练应用三角形中位线的性质是解题关键．5．A【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH是平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．解：⊥E、F分别是边AB、BC的中点，⊥EF⊥AC，EF=12AC，同理可知，HG⊥AC，HG=12AC，⊥EF⊥HG，EF=HG，⊥四边形EFGH是平行四边形，若AC=BD，则四边形EFGH是菱形，故⊥说法错误；若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形，故⊥说法错误；若四边形EFGH是平行四边形，AC与BD不一定互相垂直平分，故⊥说法错误；若四边形EFGH是正方形，AC与BD互相垂直且相等，故⊥说法正确；故选：A．【点拨】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，掌握三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．6．B解：利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC，或BD的一半，进而求四边形周长即可．7．C解：连接AC，BD，⊥点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，⊥EF=HG=12AC，EH=FG=12BD，⊥四边形EFGH是平行四边形，⊥四边形EFGH一定是中心对称图形，当AC⊥BD时，⊥EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，⊥四边形EFGH可能是轴对称图形，故选C．【点拨】本题考查中点四边形；平行四边形的判定；矩形的判定；轴对称图形．8．D【分析】利用连接四边形各边中点得到的四边形是正方形，则结合正方形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．解：如图点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是正方形．⊥点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是正方形．⊥EF=EH，EF⊥EH，⊥BD=2EF，AC=2EH，EF//BD，EH//AC⊥AC=BD，AC⊥BD，即四边形ABCD满足对角线相等且垂直，选项D满足题意．故选：D．【点拨】本题考查了利用三角形中位线定理得到新四边形各边与相应线段之间的数量关系和位置．熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．9．B【分析】根据三角形中位线定理得到EH=12BC，EH⊥BC，得到四边形EFGH是平行四边形，根据菱形的判定定理解答即可．解：⊥点E、H分别是AB、AC的中点，⊥EH=12BC ，EH⊥BC ，同理，EF=12AD ，EF⊥AD ，HG=12AD ，HG⊥AD ， ⊥EF=HG ，EF⊥HD ，⊥四边形EFGH 是平行四边形， ⊥AD=BC ， ⊥EF=EH ，⊥平行四边形EFGH 是菱形， 故选B ．【点拨】本题考查的是中点四边形的概念和性质、掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．10．B 【分析】连接AC 、BD ，根据三角形中位线定理得到PQ AC ∥，12PQ AC =，MN AC ∥，12MN AC =，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 解：连接AC 、BD 交于点O ，M ，N ，P ，Q 是各边中点， ⊥PQ AC ∥，12PQ AC =，MN AC ∥，12MN AC =，⊥PQ MN ∥，PQ MN =，∴四边MNPQ 一定为平行四边形，A 说法正确，不符合题意；90ABC ∠=时，四边形MNPQ 不一定为正方形，B 说法错误，符合题意；AC BD =时，MN MQ =，∴四边形MNPQ 为菱形，C 说法正确，不符合题意；AC BD ⊥时，90MNP ∠=，∴四边形MNPQ 为矩形，D 说法正确，不符合题意. 故选B ．【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．11．AC＝BD【分析】根据中位线的性质易得四边形EFGH为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等．解：⊥E、F为AD、AB中点，⊥EF为⊥ABD的中位线，⊥EF BD，EF=12BD，同理可得GH BD，GH=12BD，FG AC，FG=12AC，⊥EF GH，EF=GH，⊥四边形EFGH为平行四边形，⊥当EF=FG时，四边形EFGH为菱形，⊥FG=12AC，EF=12BD，EF=FG⊥AC=BD，故答案为：AC＝BD．【点拨】本题考查菱形的判定，四边相等的四边形是菱形和中位线定理，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不大．12．36【分析】连接EF，FG，GH，EH，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，得到EH，EF，FG，GH分别是⊥ABD，⊥ABC，⊥BCD，⊥ACD的中位线，根据三角形中位线定理得到EH，FG等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC=BD=6，得到EH=EF=GH=FG=3，根据四边都相等的四边形是菱形，得到EFGH为菱形，然后根据菱形的性质得到EG⊥HF，且EG=2OE，FH=2OH，在Rt⊥OEH中，根据勾股定理得到OE2+OH2=EH2=9，再根据等式的性质，在等式的两边同时乘以4，根据4=22，把等式进行变形，并把EG=2OE，FH=2OH 代入变形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值解：如图，连接EF，FG，GH，EH，⊥E、H分别是AB、DA的中点，⊥EH是⊥ABD的中位线，⊥EH=12BD=3，同理可得EF，FG，GH分别是⊥ABC，⊥BCD，⊥ACD的中位线，⊥EF=GH=12AC=3，FG=12BD=3，⊥EH=EF=GH=FG=3，⊥四边形EFGH为菱形，⊥EG⊥HF，且垂足为O，⊥EG=2OE，FH=2OH，在Rt⊥OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9，等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36，⊥（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36．故答案为36．【点拨】此题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理以及等式的基本性质，本题的关键是连接EF，FG，GH，EH，得到四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质得到EG⊥HF，建立直角三角形，利用勾股定理来解决问题．13．12解：则根据菱形的性质可得菱形ABCD的面积=12AC·BD，根据E、F、G、、H为各边中点可得四边形HEFG为矩形，根据中点可得HE=FG=12BD，HG=EF=12AC，则矩形HEFG的面积=12BD·12AC=14AC·BD，即四边形HEFG的面积是菱形ABCD面积的一半，则可得概率为12．故答案为；12．14．14【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝GH＝1BD2＝3，EH＝FG＝12AC＝4，代入四边形的周长式子求出即可．解：⊥E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，⊥EF＝GH＝1BD2＝3，EH＝FG＝12AC＝4，⊥EF+FG+GH+EH＝3+4+3+4＝14，故答案为14【点拨】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能熟练运用性质求出EF+GH+EH+FG=AC+BD是解此题的关键．15．20【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG，GF，EF，EH的长，再求出四边形EFGH 的周长即可.解：如图，连接AC、BD，四边形ABCD是矩形，AC＝BD＝8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，HG＝EF＝12AC＝4cm，EH＝FG＝12BD＝4cm，四边形EFGH的周长等于4＋4＋4＋4＝16cm.【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.16．11【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到ED=FG=12BC，EF=DG=12AH，而⊥CHB为直角三角形，可求出BC，再求出EF、HG、EH、FG的长，代入即可求出四边形EFGH的周长．解：⊥BH⊥CH，BH=4，CH=3，由勾股定理得：BC，⊥D、E、F、G分别是AB、AC、CH、BH的中点，⊥ED=FG=12BC，EF=DG=12AH，⊥AH=6，⊥EF=DG=3，ED=FG=52，⊥四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×（2.5+3）=11．故答案为11．【点拨】本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据三角形的中位线定理求出EF、DG、ED、FG的长是解此题的关键．17．4.【分析】先判定四边形EFGH为矩形，再根据中位线的定理分别求出EF、EH的长度，即可求出四边形EFGH的面积.解：⊥四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，⊥⊥AEH、⊥BEF、⊥CFG、⊥DGH都为等腰直角三角形，⊥⊥HEF、⊥EFG、⊥FGH、⊥GHE都为直角，⊥四边形EFGH是矩形，边接AC，则AC=BD=4，又⊥EH是⊥ABD的中位线，⊥EH=12BD=2，同理EF=12AC=2，⊥四边形EFGH的面积为2×2=4.故答案为4.【点拨】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理.18．12##0.5【分析】先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形．解：如图，⊥E、F、G、H分别是线段AD，AB，BC，CD的中点，⊥EH、FG分别是△ACD、△ABC的中位线，EF、HG分别是△ABD、△BCD 的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EF⊥BD，GH⊥BD且EF=12BD，GH=12BD，⊥四边形EFGH是平行四边形，又⊥AC⊥BD，⊥EF⊥FG⊥四边形EFGH是矩形，⊥四边形EFGH的面积=EF•FG=14 AC•BD，⊥四边形ABCD的面积=12AC•BD，⊥这一点落在图中阴影部分的概率为：114122AC BDAC BD，故答案为：12．【点拨】本题主要考查了几何概率，中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．19【分析】连接AC、BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即可．解：连接AC、BD交于O，⊥四边形ABCD是菱形，⊥AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，⊥点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，⊥EH＝12BD，EH⊥BD，GH＝12AC，GH⊥AC，⊥EF＝2EH，⊥OA＝2OD，⊥AB，⊥AB，【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．20．①②③④．【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到PQ⊥AC，PQ=12AC，MN⊥AC，MN=12AC，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．解：⊥当AC与BD不平行时，中点四边形MNPQ是平行四边形；故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；⊥当AC与BD相等且不平行时，中点四边形MNPQ是菱形；故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；⊥当AC与BD互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形MNPQ是矩形；故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；⊥如图所示，当AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ是正方形．故存在两个中点四边形MNPQ是正方形．故答案为：⊥⊥⊥⊥．【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．21．（1）平行四边形，证明见分析；（2）AC=BD；（3）矩形【分析】（1）连接BD、AC，利用三角形的中位线性质和平行四边形的判定定理即可解答；（2）根据菱形的判定定理即可解答；（3）根据矩形的性质和菱形的判定解答即可．解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形，证明：连接BD、AC，⊥四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，⊥12EH FG BD==，12EF HG AC==，⊥四边形EFGH是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）当四边形ABCD的对角线满足AC=BD条件时，四边形EFGH是菱形，理由：⊥BD=AC，12EH FG BD==，12EF HG AC==，⊥=EH FG EF HG，⊥四边形EFGH是菱形，故答案为：AC=BD；（3）由于矩形的对角线相等，且由（1）（2）结论知，矩形的中点四边形是菱形．【点拨】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、三角形的中位线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．22．（1）平行四边形，理由见分析；（2）平行四边形；理由见分析；（3）菱形、矩形、正方形．理由见分析．【分析】（1）连接BD ，根据三角形的中位线定理，可得EH ⊥GF ，EH =FG ，即可求证；（2）连接AC ，DB ，根据三角形的中位线定理，可得EH ⊥GF ，EH =FG ，即可求证； （3）利用（1）的判定方法，再根据三角形的中位线定理和矩形、菱形、正方形的判定方法来判定，即可求证．解：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下：已知四边形ABCD ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，连接BD ，如图1：⊥E 是AB 的中点，H 是AD 的中点，⊥EH 是⊥ABD 的中位线，⊥//EH BD ，12EH BD = ，⊥G 是CD 的中点，F 是BC 的中点，⊥FG 是⊥BCD 的中位线，⊥//FG BD ，12FG BD = ， ⊥EH ⊥GF ，EH =FG ，⊥四边形EFGH 为平行四边形；（2）任意平行四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下：已知平行四边形ABCD，E，N，M，F分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图2：⊥E，F分别是DA，DC的中点，⊥EF是⊥ACD的中位线，⊥EF⊥AC，EF=12AC，⊥M，N分别是BC，AB的中点，⊥MN是⊥ABC的中位线，⊥MN⊥AC，MN=12AC，⊥EF⊥MN，EF=MN，⊥四边形MNEF是平行四边形；（3）如果原四边形为矩形，则形成的中点四边形为菱形，理由如下：已知矩形ABCD，H，E，F，G分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图：⊥四边形ABCD是矩形，⊥AC=BD，⊥E是AB的中点，H是AD的中点，⊥EH是⊥ABD的中位线，⊥EH=12BD，⊥G是CD的中点，F是BC的中点，⊥GF是⊥BCD的中位线，⊥GF =12BD ， ⊥E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，⊥EF 是⊥ABC 的中位线，⊥EF =12AC ，⊥G 是CD 的中点，H 是AD 的中点，⊥GH 是⊥ACD 的中位线，⊥GH =12 AC ，又⊥AC =BD ，⊥EF =GF =EH =GH ，四边形EFGH 是菱形；如果原四边形为菱形，则形成的中点四边形为矩形，理由如下；已知菱形ABCD ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，，BC ，CD ，AD 的中点，连接BD ，AC ，如图：⊥四边形ABCD 是菱形，⊥AC ⊥BD ，⊥E 是AB 的中点，H 是AD 的中点，⊥EH 是⊥ABD 的中位线，⊥EH ⊥BD ，12EH BD = ，⊥G 是CD 的中点，F 是BC 的中点，⊥GF 是⊥BCD 的中位线，⊥GF ⊥BD ，12GF BD = ， ⊥EH ⊥BD ⊥GF ，EH =GF ，⊥四边形EFGH 是平行四边形，又⊥AC ⊥BD ，⊥E是AB的中点，F是BC的中点，⊥EF是⊥ABC的中位线，⊥EF⊥AC，⊥EH⊥EF，⊥四边形EFGH是矩形；如果原四边形为正方形，则形成的中点四边形为正方形，理由如下：已知正方形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，AC，如图：⊥四边形ABCD是正方形，⊥AC⊥BD，AC=BD，⊥E是AB的中点，H是AD的中点，⊥EH是⊥ABD的中位线，BD，⊥EH⊥BD，EH=12⊥G是CD的中点，F是BC的中点，⊥GF是⊥BCD的中位线，⊥GF⊥BD，GF=1BD，2⊥EH⊥BD⊥GF，EH=GF，⊥四边形EFGH是平行四边形，又⊥AC⊥BD，⊥AC⊥EH，⊥E是AB的中点，F是BC的中点，⊥EF是⊥ABC的中位线，AC，⊥EF⊥AC，EF=12⊥四边形EFGH是矩形，⊥AC=BD，⊥EF=EH，⊥四边形EFGH是正方形．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．23．（1）平行四边形；（2）菱形，见分析；（3）正方形【分析】（1）连接BD，根据三角形中位线定理证明EH⊥FG，EH=FG，根据平行四边形的判定定理证明即可；（2）证明⊥APC⊥⊥BPD，根据全等三角形的性质得到AC=BD，再证明EF=FG，根据菱形的判定定理证明结论；（3）证明⊥EHG=90°，利用⊥APC⊥⊥BPD，得到⊥ACP=⊥BDP，即可证明⊥COD=⊥CPD=90°，再根据平行线的性质证明⊥EHG=90°，根据正方形的判定定理证明即可．解：（1）如图1，连接BD，⊥点E，H分别为边AB，DA的中点，⊥EH⊥BD，EH=12 BD，⊥点F，G分别为边BC，CD的中点，⊥FG⊥BD，FG=12 BD，⊥EH⊥FG，EH=GF，⊥中点四边形EFGH是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）结论：四边形EFGH 是菱形，理由：如图2，连接AC ，BD ．⊥⊥APB =⊥CPD ，⊥⊥APB +⊥APD =⊥CPD +⊥APD ，即⊥APC =⊥BPD ，在⊥APC 和⊥BPD 中，AP BP APC BPD PC PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥APC ⊥⊥BPD （SAS ），⊥AC =BD ，⊥点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，⊥EF =12AC ，FG =12BD ， ⊥EF =FG ，由（1）知中点四边形EFGH 是平行四边形，⊥平行四边形EFGH 是菱形；（3）结论：四边形EFGH 是正方形，理由：如图2，设AC 与BD 交于点O ．AC 与PD 交于点M ，⊥⊥APC ⊥⊥BPD ，⊥⊥ACP =⊥BDP ，⊥⊥DMO =⊥CMP ，⊥⊥COD =⊥CPD =90°，⊥EH ⊥BD ，AC ⊥HG ，⊥⊥EHG =⊥DOC =90°，由（2）知中点四边形EFGH是菱形，⊥菱形EFGH是正方形．【点拨】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线．24．（1）见分析（2）当⊥ABC＋⊥DCB＝90°时，四边形EGFH为正方形（3）⊥GFH＋⊥ABC＋⊥DCB＝180°【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到EG＝12AB，EH＝12CD，HF＝12AB，EG//AB，HF//AB，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到⊥ABC＝⊥HFC，⊥DCB＝⊥GFB，根据平角的定义得到⊥GFH＝90°，于是得到结论；（3）由平行线的性质得到⊥ABC＝⊥HFC，⊥DCB＝⊥GFB，根据平角的定义即可得到结论．解：（1）⊥E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，⊥EG＝12AB，EH＝12CD，HF＝12AB，EG//AB，HF//AB，⊥四边形EGFH是平行四边形，EG＝EH，⊥四边形EGFH是菱形；（2）当⊥ABC＋⊥DCB＝90°时，四边形EGFH为正方形，理由：⊥GF//CD，HF//AB，⊥⊥ABC＝⊥HFC，⊥DCB＝⊥GFB，⊥⊥ABC＋⊥DCB＝90°，⊥⊥GFH＝90°，⊥菱形EGFH是正方形；（3）⊥GFH＋⊥ABC＋⊥DCB＝180°，理由：⊥GF//CD，HF//AB，⊥⊥ABC＝⊥HFC，⊥DCB＝⊥GFB，⊥⊥BFG＋⊥GFH＋⊥HFC＝180°，⊥⊥GFH＋⊥ABC＋⊥DCB＝180°．【点拨】本题考查了中点四边形，菱形的判定和性质，正方形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．25．（1）平行四边形；（2）四边形EFGH 是菱形，证明见分析；（3）四边形EFGH 是正方形．【分析】（1）如图1中，连接BD ，根据三角形中位线定理可得：EH ⊥FG ，EH FG =，然后利用平行四边形的判定定理即可证明；（2）四边形EFGH 是菱形．先证明APC BPD ≌，得到AC BD =，再利用三角形中位线定理可得EF FG =，根据菱形的判定定理即可证明；（3）四边形EFGH 是正方形，只要证明90EHG ∠=︒，利用APC BPD ≌，得ACP BDP ∠=∠，即可证明90COD CPD ∠=∠=︒，然后根据正方形的判定定理即可得出结论．解：（1）证明：如图1中，连接BD ，⊥点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，⊥EH ⊥BD ，12EH BD =， ⊥点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，⊥FG ⊥BD ，12FG BD =， ⊥EH ⊥FG ，EH GF =，⊥四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：如图2中，连接AC ，BD ，⊥APB CPD ∠=∠， ⊥APB APD CPD APD ∠+∠=∠+∠ 即APC BPD ∠=∠， 在APC ∆和BPD ∆中， AP PB APC BPD PC PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥()APC BPD SAS ∆∆≌， ⊥AC BD =⊥点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点， ⊥12EF AC =，12FG BD =， ⊥EF FG =，⊥四边形EFGH 是平行四边形， ⊥四边形EFGH 是菱形；（3）四边形EFGH 是正方形，证明：如图2中，设AC 与BD 交于点O ，AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N ． ⊥APC BPD ≌，⊥ACP BDP ∠=∠，⊥DMO CMP ∠=∠， ⊥90COD CPD ∠=∠=︒， ⊥EH ⊥BD ，AC ⊥HG ， ⊥90EHG ENO BOC DOC ∠=∠=∠=∠=︒，⊥四边形EFGH是菱形，⊥四边形EFGH是正方形．【点拨】题目主要考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理及三角形的中位线的性质，熟练掌握知识点并作出相应辅助线是解题关键．。
四边形的中点专题
四边形的中点专题四边形的中点专题1..如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF丄DE与BC延长线交于点F.连接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H.(1)若BF=BD=2 ，求BE的长；(2)若M是EF中点，求证：MC垂直平分DB(1)解：•••四边形ABCDE方形，•••/ BCD=90，••• Rt△ BCD中, BC2 CD2 BD2，2 2即BC22 2 • BC=AB=1T DF丄DE, ADE y EDC=90 =Z EDC k CDF•/ ADE y CDFADE CDF在^ ADE?3 CDF中， AD CD ，A DCF 90•△ ADE^A CDF(ASA，-——2•AE=CF=BF-BC=2 1 • BE=AB-AE=1-1 .2 =21(2)证明：如图：连接DM BM T DF丄DE M为EF中点，• DM= EF,2vZ EBF=90，M 为EF 中点，• BM」EF,：BM=DM2• M在BD的垂直平分线上v BC=CD,.C在BD的垂直平分线上• MC垂直平分DB2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线丄AC于点E,求证：AD=2OE证明：取CD的中点F,连接EF, OFv四边形ABCD是平行四边形，•AO=COV DE I AC••/ DEC=90•••EF=FCV CD// AB•••/ CAB2 DCA=x.•••/ FEC K DCE= x.•••/ DAC K FOC=2 x.•••/ FEO K EFO= x••• OE=OFAD=2OE3.在平行四边形ABC冲，对角线相交于点O. E、F、P分别OB OC AD的中点, 且AC=2AB 求证：EP=EF证明：连接AE, V四边形ABCD是平行四边形3题••• AD=BC AC=2OA=2OC： AC=2AB•••OA=AB V E 为OB中点,••• AE! BD （三线合一定理），•••K AED=90 , V P 为AD中点,••• AD=2Ep v BC=AD •- BC=2EPV E、F分别是OB OC中点，• BC=2EF • EP=EF4.如图，点E为正方形ABCD外一点，/ BCE K BAE=15 ,AE=T3,O为BD的中点，连接OE,求OE的长。
人教版八年级下册数学作业课件 第十八章 解题技巧专题：中点四边形问题
∴EH 是△ABD 的中位线．∴EH＝12BD，EH∥BD. 同理得 FG＝12BD，FG∥BD. ∴EH＝FG，EH∥FG. ∴四边形 EFGH 是平行四边形．
(2)当 AC 与 BD 满足 AC＝BD 时，四边形 EFGH 是菱形，并证明你的结论； 证明如下：∵E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四 条边上的中点，
∴EH＝12BD，EF＝12AC. 由(1)知四边形 EFGH 是平行四边形． 又∵AC＝BD，∴EH＝EF.
∴四边形 EFGH 是菱形．
(3)当 AC 与 BD 满足 AC⊥BD 时，四边形 EFGH 是矩形；当 AC 与 BD 满足 AC⊥BD 且 AC＝BD 时，四边形 EFGH 是正方形(不用证明)．
2．我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形
叫做“对角线垂直四边形”．如图①，在四边形 ABCD
中，AC⊥BD，四边形 ABCD 就是“对角线垂直四边
形”．
(1)下列四边形中，一定是“对角线
垂直四边形”的是 CD ；
A.平行四边形； B.矩形；
，在“对角线垂直四边形”ABCD 中，点 E、 F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点．求 证：四边形 EFGH 是矩形； 证明：∵点 E、F、G、H 分别是 边 AB、BC、CD、DA 的中点， ∴HG∥AC，EF∥AC.∴HG∥EF. 同理可得 HE∥GF， ∴四边形 EFGH 是平行四边形． ∵DB⊥AC，∴HE⊥HG.∴∠EHG＝90°. ∴四边形 EFGH 是矩形．
中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.中点四边形的定义：将任意四边形各条边的中点顺次连接起来得到的四边形叫做中点四边形。
2.中点四边形的判定：①任意四边形的中点四边形是平行四边形。
②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。
（菱形的中点四边形是矩形）③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。
（矩形的中点四边形是菱形）④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。
（正方形的中点四边形是正方形）练习题1、（2022•玉林）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相垂直C．互相平分且相等D．互相垂直且相等【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，【解答】解：如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，∴AC⊥BD，AC＝BD，故选：D．2、（2022•德阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和C．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和D．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的【分析】根据三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，进而逐一判断即可．【解答】解：A．如图，连接AC，BD，在四边形ABCD中，∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故A选项错误；B．∵四边形EFGH的内角和等于360°，四边形ABCD的内角和等于360°，故B选项错误；C．∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH＝BD，FG＝BD，∴EH+FG＝BD，同理：EF+HG＝AC，∴四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和，故C选项正确；D．四边形EFGH的面积不等于四边形ABCD的面积的，故D选项错误．故选：C．。
中点四边形知识点总结
中点四边形知识点总结
嘿，朋友们！今天咱来好好唠唠中点四边形的知识点。
先说说啥是中点四边形呢？简单来讲，就是依次连接四边形各边中点所得的四边形。
就好比建房子，原来的四边形是房子的框架，中点四边形就是框架中间的那部分！比如说，有个四边形 ABCD，那连接 AB、BC、CD、DA 的中点，就得到了中点四边形。
为啥要研究中点四边形呢？那可太重要啦！它有着好多神奇的性质呢。
比如说，不管原来的四边形是什么形状，中点四边形总是平行四边形，就像不管天气怎么变，太阳总会升起一样神奇呀！你想啊，一个乱七八糟的四边形，经过这么一连接中点，嘿，就变出个平行四边形来了。
咱再深入研究一下。
如果原来的四边形是矩形，那中点四边形就是菱形啦，这像不像是丑小鸭变成了白天鹅呀！例如一个矩形的各边中点连接起来，哇塞，菱形就出现啦。
还有哦，如果原来那个四边形是正方形，那中点四边形还是正方形呢，这也太酷了吧！就好像一个超级厉害的人，不管在什么环境下都依然厉害。
“哎呀，那研究这个有啥实际用处呀？”你可能会这么问。
这用处可大啦！比如在建筑设计里，工程师们可得了解这些呀，不然怎么把房子建得稳稳当当的呢！在数学竞赛里，这也是经常考的知识点呢。
总之呀，中点四边形的知识点真的很有趣也很实用。
咱可得把它学好啦，说不定啥时候就能派上大用场呢！所以呀，大家一定要认真对待它哟，准没错！。
中点四边形课后练习参考答案
《中点四边形》课后练习一、选择题（本大题共10小题）1．（2020春•崇川区校级期中）已知四边形ABCD的对角线相等，顺次连接四边形的四条边中点，所得到的新四边形的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥BD，GH∥BD，EF BD，GH BD，EH AC，根据菱形的判定定理证明即可．【解析】∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，∴EF∥BD，GH∥BD，EF BD，GH BD，EH AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC＝BD，EF BD，EH AC，∴EF＝EH，∴平行四边形EFGH是菱形，故选：C．2．（2020春•清江浦区期末）已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，且AC＝10，BD＝8，那么顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形面积为（）A．40B．20C．16D．8【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，求证四边形KLMN为矩形和KN．KL的长，然后即可求出四边形KLMN的面积．【解析】如图，∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，∴四边形KLMN为矩形，∴KN∥AC，且KN AC，∵AC＝10，∴KN10＝5，同理KL＝4，则四边形KLMN的面积为4×5＝20．故选：B．3．（2020春•木兰县期中）顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EF AC，EH BD，EH∥BD，EF∥AC，根据正方形的判定定理解答即可．【解析】如图，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴EF AC，EH BD，EH∥BD，EF∥AC，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∴AC＝BD，∵EH∥BD，EF∥AC，∠HEF＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，∴四边形ABCD可能是正方形，故选：D．4．（2020春•徐州期中）如图，是一组由菱形和矩形组成的图案，第1个图中菱形的面积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推…，则第2020个图中阴影部分的面积可以用含S的代数式表示为（）（S≥2且S是正整数）A．B．C．D．【分析】观察图形发现第2个图形中的阴影部分的面积为，第3个阴影部分的面积为，依此类推，得到第n 个图形的阴影部分的面积即可．【解析】观察图形发现：第2个图形中的阴影部分的面积为，第3个图形中的阴影部分的面积为，…第n个图形中的阴影部分的面积为．故第2020个图中阴影部分的面积可以用含S的代数式表示为，故选：B．5．（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形C．若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形D．若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH 为菱形，故本选项不符合题意；B、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；C、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD，且AC⊥BD，存在EF＝FG＝GH＝HE，∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为正方形，故本选项不符合题意；D、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC与BD互相平分，且AC＝BD，故四边形EFGH为菱形，故本选项符合题意；故选：D．6．（2020秋•荥阳市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（）A．2B．2+2C．4+2D．4+4【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，推出BC＝2AC＝4，AB AC＝2，由BD＝CD，推出AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，推出中点四边形GHIJ是矩形，求出IJ．IH，即可解决问题．【解析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，∴BC＝2AC＝4，AB AC＝2，∵BD＝CD，∴AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，∴中点四边形GHIJ是矩形，∵AD＝AC＝DC，∴∠ADC＝60°，∵AE∥DB，∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∵AE＝AD，∴△AED是等边三角形，∴AD＝DE＝2，∵AJ＝JE，AI＝ID，∴IJ DE＝1，∵BH＝DH，AI＝ID，∴IH AB，∴四边形GHIJ的周长＝2（1）＝2+2，故选：B．7．（2020秋•九龙坡区校级期中）如图，将正方形（图①）作如下操作：第1次，分别连接各边中点，得到5个正方形（图②）；第2次将图②中左上角的正方形按上述方法再分割得到9个正方形（图③），…，以此类推，若要得到2033个正方形，则需要操作（）次．A．506B．507C．508D．509【分析】根据正方形的个数变化规律，可得第n次得到（4n+1）个正方形，据此可得结论．【解析】∵第1次：得到4+1＝5个正方形；第2次：得到4×2+1＝9个正方形；…以此类推，第n次得到（4n+1）个正方形，若第n次得到2033个正方形，则4n+1＝2033，解得：n＝508．故选：C．8．（2020春•仙居县期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE．若EH＝3EF，则下列结论正确的是（）A．AB EF B．AB＝2EF C．AB＝3EF D．AB EF【分析】连接AC、BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即可．【解析】连接AC、BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，∴EF AC，EF∥AC，EH BD，EH∥BD，∵EH＝3EF，∴OB＝3OA，∴AB OA，∴AB EF，故选：D．9．（2019秋•海淀区校级月考）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA中点，AC⊥BD．则下列相关叙述中错误的是（）A．连接EG，FH，则有EG＝FHB．若BD，则以E，F，G，H为顶点的四边形为正方形C．连接EG，FH，相交于点O，则OE＝OF＝OG＝OHD．若EF＝3，FG＝4，则EG＝5【分析】如图，连接EH，HG，FG，EF．EG，FH，设EG交FH于点O．证明四边形EFGH是矩形即可解决问题．【解析】如图，连接EH，HG，FG，EF．EG，FH，设EG交FH于点O．∵AE＝EB，AH＝DH，∴EH∥BD，EH BD，同法可证FG∥BD，FG BD，EF∥AC，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵ACBD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EH⊥EF，∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是矩形，∴EG＝FH，∴OE＝OG＝OF＝OH，∴∠EFG＝90°，若EF＝3，FG＝4，则EG5．故选项A，C，D正确，故选：B．10．（2019春•青山区期中）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形A n B n∁n D n．则下列结论正确的个数有（）①四边形A1B1C1D1是矩形；②四边形A4B4C4D4是菱形；③四边形A5B5C5D5的周长为；④四边形A n B n∁n D n的面积是．A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：①根据矩形的判定与性质作出判断；②根据菱形的判定与性质作出判断；③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；④根据四边形A n B n∁n D n的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．【解析】①连接A1C1，B1D1．∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；∵AC⊥BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1＝A1C1（矩形的两条对角线相等）；∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），∴四边形A2B2C2D2是菱形；故①结论正确；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故②结论正确；③根据中位线的性质易知，A5B5A3B3A1B1AC，B5C5B3C3B1C1BD，∴四边形A5B5C5D5的周长是2（a+b），故③结论正确；④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，∴S四边形ABCD＝ab÷2；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形A n B n∁n D n的面积是．故④结论正确．综上所述，①②③④正确．故选：A．二．填空题（共8小题）11．（2020春•广陵区校级期中）若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是AC＝BD．【分析】根据三角形中位线定理得到EF BD，EH AC，根据菱形的性质得到EF＝EH，得到答案．【解析】∵E、F、H分别是边AD、AB、CD的中点，∴EF BD，EH AC，∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝EH，∵EF BD，EH AC，∴AC＝BD，故答案为：AC＝BD．12．（2020春•高淳区期末）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D在△ABC内，且BD＝CD，∠BDC＝90°，E、F、G、H分别是AB、AC、BD、CD的中点，则四边形EFHG的面积为．【分析】连接AD并延长交BC于点P，根据线段垂直平分线的定义得到BP＝CP＝5，AP⊥BC，根据勾股定理求出AP，根据直角三角形的性质求出PD，得到AD的长，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFHG为矩形，根据矩形的面积公式计算，得到答案．【解析】连接AD并延长交BC于点P，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AP是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP＝5，AP⊥BC，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，BP＝CP，∴DP BC＝5，在Rt△APB中，AP12，∴AD＝12﹣5＝7，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF BC＝5，EF∥BC，同理，GH BC，GH∥BC，EG BC＝3.5，EG∥AD，∴GH＝EF，GH∥EF，∴四边形EFHG为平行四边形，∵EF∥BC，EG∥AD，AP⊥BC，∴四边形EFHG为矩形，∴四边形EFHG的面积＝5，故答案为：．13．（2020春•邗江区期末）已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，且AC＝10，BD＝8，那么顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形面积为20．【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，得到四边形KLMN为矩形和KN、KL的长，求出四边形KLMN的面积．【解析】如图，∵K、L分别为AD、AB的中点，∴KL是△ABD的中位线，∴KL BD＝4，KL∥BD，同理，NM BD，NM∥BD，ML AC＝5，ML∥AC，∴KL＝MN，KL∥MN，∴四边形KLMN为平行四边形，∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，NM∥BD，ML∥AC，∴KL⊥ML，∴四边形KLMN为矩形，∴四边形KLMN的面积为4×5＝20，故答案为：20．14．（2020春•东海县期末）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第2020个矩形的面积为．【分析】易得第二个矩形的面积为（）2，第三个矩形的面积为（）4，依此类推，第n个矩形的面积为（）2n﹣2．【解析】已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2；第三个矩形的面积是（）2×3﹣2；…故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2＝（）n﹣1．∴第2020个矩形的面积为，故答案是：．15．（2020春•广陵区期中）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加AC＝BD条件，就能保证四边形EFGH是菱形．【分析】易得新四边形为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等．【解析】∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH即为平行四边形，∴根据菱形的性质，只要再有一组邻边相等就为菱形，只要添加的条件能使四边形EFGH一组对边相等即可，例如AC＝BD，故答案为：AC＝BD．16．（2020•湘阴县一模）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是AC⊥BD．【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直．【解析】如图，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF AC，同理HG∥AC，HG AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD；故答案为：AC⊥BD．17．（2020春•新乐市期末）对于任意矩形ABCD，若M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的中点，下面四个结论中，①四边形MNPQ是平行四边形；②四边形MNPQ是矩形；③四边形MNPQ是菱形；④四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①③．【分析】连接AC、BD，由三角形中位线定理得出MN∥AC，MN AC，PQ∥AC，PQ AC，MQ∥BD，MQ BD，则MN∥PQ，MN＝PQ，MN＝MQ，证出四边形MNPQ是平行四边形，四边形MNPQ是菱形；①③正确；当AC⊥BD时，MN⊥MQ，四边形MNPQ是矩形，四边形MNPQ是正方形，②④不正确，即可得出结论．【解析】连接AC、BD，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的中点，∴MN是△ABC的中位线，PQ是△ACD的中位线，MQ是△ABD的中位线，∴MN∥AC，MN AC，PQ∥AC，PQ AC，MQ∥BD，MQ BD，∴MN∥PQ，MN＝PQ，MN＝MQ，∴四边形MNPQ是平行四边形，∴四边形MNPQ是菱形；故①③正确；当AC⊥BD时，MN⊥MQ，四边形MNPQ是矩形，四边形MNPQ是正方形．故②④不正确；故答案为：①③．18．（2020•通州区一模）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①②③④．【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到PQ∥AC，PQ AC，MN∥AC，MN AC，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【解析】①当AC与BD不平行时，中点四边形MNPQ是平行四边形；故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②当AC与BD相等且不平行时，中点四边形MNPQ是菱形；故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③当AC与BD互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形MNPQ是矩形；故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④如图所示，当AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ是正方形．故存在两个中点四边形MNPQ是正方形．故答案为：①②③④．。
中点四边形的证明
中点四边形的证明人教版八年级数学在学完第19章《四边形》后有一个《数学活动》“中点四边形”，虽然仅仅是个数学活动，但是，在一些习题上经常出现有关这方面的题目，现把有关规律总结如下，望各位老师指正。
中点四边形和原四边形对角线关系密切，首先证明普通四边形的中点四边形。
1、四边形中点连线为平行四边形。
如图，在四边形ABCD中, E、F、G H为四边中点求证：四边形EFGH为平行四边形证明：如图T E、F为AD AB的中点••• EF//BD同理：HG//BD• HG//EF同理：EH//FG•四边形EFGH是平行四边形2、当一个四边形的两条对角线相等时，其中点四边形是菱形。
如图，在矩形ABCC中，E、F、G H为四边中点。
求证：四边形EFGH是菱形证明：T E、F为AD AB的中点• EF=1/2BD同理：HG=1/2BD••• HG二EF=1/2BD同理：EH=FG=1/2AC•四边形EFGH是平行四边形v AC=BD• 1/2AC=1/2BDB G C即：EF=GF•平行四边形EFG H是菱形3、当一个四边形两对角线互相垂直时，其中点四边形为矩形。
如图，在菱形ABCD中, E、F、G H为四边中点求证：四边形EFGH是矩形证明：v E、F为AD AB的中点•EF//BD同理：HG//BD• HG//EF同理：FG//AC; EH//FG•四边形EFGH是平行四边形v四边形ABC兎菱形•/ AOB=90•/ FNO h AOB=90•/ EFG M FNO =90•平行四边形EFGH是矩形4、当一个四边形的两对角线相等且互相垂直时，其中点四边形是正方形如图，在正方形ABCD K E、F、G H为四边中点求证：四边形EFGH是正方形证明：T E、F为AD AB的中点••• EF//BD; EF=1/2BD同理：HG//BD HG=1/2BD• HG//EFHG=EF=1/2BDB G C同理：EH//AC//FG; EH=FG=1/2AC•四边形EFGH是平行四边形T四边形ABC兎正方形•/ AOB=90AC=BD•/ FNO h AOB h FNO =901/2AC=1/2BD即：EF=GF•平行四边形EFGH是正方形所以说，中点四边形和原四边形对角线关系密切，事实上，中点四边形的形状是有原四边形的对角线决定的。
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1．如图，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的四边的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE
得到四边形EFGH ，我们把这种四边形叫做中点四边形。
(1)。
当ABCD 是四边形时，中点四边形EFGH 是什么图形？
(2)。
当ABCD 变为平行四边形时，中点四边形EFGH 是什么图形？
(3)。
当ABCD 变为菱形时，中点四边形EFGH 是什么图形？
(4)。
当ABCD 变为矩形时，中点四边形EFGH 是什么图形？
(5)。
当ABCD 变为正方形时，中点四边形EFGH 是什么图形？
F G H E A D C B
A
D C B
(6)。
当ABCD 变为对角线相等的四边形时，中点四边形EFGH 是什么图形？
(7)。
当ABCD 变为对角线垂直的四边形时，中点四边形EFGH 是什么图形？
(8)。
当ABCD 变为对角线相等且垂直的四边形时，中点四边形EFGH 是什么图形？
练习．点O 是△ABC 所在平面内一动点，连结OB 、OC ，并把AB 、OB 、 OC 、CA 的中点D 、E 、F 、G 顺次连结起来，设DEFG 能够成四边形。
（1）如图，当点O 在△ABC 内时，求证：四边形DEFG 是平行四边形；（2）当点O 移到△ABC 外时，上小题的结论是否仍成立？
（3）若四边形DEFG 为矩形，则点O 所在位置应满足什么条件，试说明理由。
B。