复合函数相关性质和经典例题
复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质
复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质复合函数练习题：计算复合函数的导数与相关性质复合函数是数学中一种重要的概念，它在微积分、代数以及其他数学领域中都有广泛的应用。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解复合函数的导数计算以及相关的性质。
练习题一：设函数f(x) = x^2和g(x) = √x，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。
解答：首先，我们先求f(g(x))的导数。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为f'(g(x)) * g'(x)。
因此，我们需要先求出f'(x)和g'(x)。
对于函数f(x) = x^2，我们可以直接求导得到f'(x) = 2x。
对于函数g(x) = √x，我们也可以直接求导得到g'(x) = 1 / (2√x)。
接下来，将f'(x)和g'(x)代入链式法则公式中，我们可以得到f(g(x))的导数为f'(g(x)) * g'(x) = 2g(x) * (1 / (2√g(x))) = √g(x)。
同样的方法，我们使用链式法则来求g(f(x))的导数。
根据链式法则，g'(f(x)) * f'(x)。
将g(x)和f'(x)代入公式中，我们可以得到g(f(x))的导数为g'(f(x)) * f'(x) = (1 / (2√f(x))) * 2f(x) = (√f(x) / f(x))。
练习题二：设函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。
解答：首先，求出函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1的导数。
对于函数f(x) = sin(x)，我们可以直接求导得到f'(x) = cos(x)。
对于函数g(x) = x^2 + 1，我们可以直接求导得到g'(x) = 2x。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
复合函数应用题
复合函数应用题在复合函数应用题中，我们需要考虑如何有效地运用函数的复合性质来解决问题。
复合函数是指一个函数的输入值是另一个函数的输出值，通过组合这两个函数可以得到一个新的函数。
在实际问题中，我们经常会遇到需要使用复合函数的情况，下面将通过几个例子来说明如何应用复合函数解决实际问题。
例题一：某人每个月工资为1000元，每个月的花销为其工资的30%，每年的收入为工资-花销。
求该人一年能存下多少钱？解：我们可以将该问题建立成一个复合函数的问题。
设x为月工资，则花销函数为f(x)=0.3x，收入为g(x)=x-f(x)。
将这两个函数进行复合得到h(x)=g(f(x))=(1-0.3)x=0.7x。
因此，该人一年能存下的钱为0.7*1000*12=8400元。
例题二：某商品原价为200元，商家打7折促销，顾客拿到一张优惠券再减20元，求顾客最终需要支付的金额。
解：同样，我们可以构建一个复合函数来解决这个问题。
设原价为x元，则折扣价为f(x)=0.7x，优惠券减价为g(x)=x-20。
最终顾客需要支付的金额为h(x)=g(f(x))=0.7x-20。
代入x=200，得到顾客最终需要支付的金额为0.7*200-20=140元。
通过以上例题，我们可以看出复合函数在实际问题中的应用是十分灵活多样的。
只要我们能够准确地建立函数之间的关系，并灵活运用复合函数的性质，就能够轻松解决各种复杂的应用题。
复合函数不仅可以帮助我们简化问题，还可以提高问题的解决效率，是数学中一个非常重要且有用的概念。
希望通过这些实例，大家能够更好地掌握复合函数的应用技巧，提升解题能力。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
2
x 1
在区间 [0,) 上都是增函数。
其中正确命题的序号是：__________。 （把你认为正确的命题序号都填上）
7
2.函数 y e |ln x| | x 1 | 的图象大致是（
）
6
Go the distance
3． （2008 江苏南通模拟， 5 分） 设 f ( x) o g l
3 3
a
（ a 0 且 a 1） ， 若 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 1 （ xi R ， x
a a a 函数.而实质上原函数的最大单调增区间是 , ,由 ,3 , 得 3 ,即 a 6 . 2 2 2
【过关检测】
1. （1） f ( x)
x 2 5x 4 ;
2） g ( x) ( ) 4( ) 5
4.求复合函数的单调性 若 u g ( x) 增函数 减函数 增函数 减函数 即“同增异减”法则 5.复合函数的奇偶性 一偶则偶，同奇则奇
【例题讲解】
y f ( x)
增函数 减函数 减函数 增函数
则 y f [ g ( x)] 增函数 增函数 减函数 减函数
一、复合函数定义域解析式 例1 设函数 f ( x) 2 x 3, g ( x) 3x 5 ，求 f ( g ( x)), g ( f ( x)) ．
1 2
2
2.求函数 y 4
x
3 2 x 5 的单调区间和值域.
例2
求 f ( x) = 5 - 4 x - x 2 的单调区间及值域
变式练习 2 求函数 f(x)= 2
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
复合函数习题大全
复合函数习题大全
1.基本概念
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。
设有函数f(x)
和g(x)，则两个函数的复合函数可以表示为f(g(x))。
2.复合函数的求导
对于两个函数的复合函数，可以通过链式法则来求导。
设有函
数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))的导数可以表示为f'(g(x)) * g'(x)。
3.复合函数的求值
要求复合函数的值，需要先将内层函数的输出作为外层函数的
输入。
计算复合函数的值时，需要按照函数的定义顺序依次进行计算。
4.复合函数的题示例
题1：
已知函数f(x) = 2x^2 + 3x，g(x) = x + 1，求复合函数f(g(x))的
表达式。
题2：
已知函数f(x) = 3x - 1，g(x) = 2x^2，求复合函数f(g(x))的导数
f'(g(x)) * g'(x)。
题3：
给定函数f(x) = sin(x)，g(x) = cos(x)，求复合函数f(g(x))的值。
题4：
已知函数f(x) = x^2，g(x) = x + 1，求复合函数f(g(x))的值。
题5：
已知函数f(x) = 2x，g(x) = x^3，求复合函数f(g(x))的导数
f'(g(x)) * g'(x)。
以上是一些关于复合函数的题示例，通过解答这些题，可以帮
助理解和掌握复合函数的基本概念、求导方法和求值过程。
让我们通过练习习题，加深对复合函数的理解吧！。
(完整word版)复合函数相关性质和经典例题
定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数，其中)(u f y =通常称为外层函数，)(x g u =称为内层函数。
求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间,我们一般可以按照下面这几个步骤来进行:（1） 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =；（2） 求外层函数)(u f y =的单调区间（包括增区间和减区间）B A 、等；（3） 令内层函数A x g u ∈=)(，求出x 的取值范围M ；（4） 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则M 便是原复合函数)]([x g f y =的一个单调区间；若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间;（5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性；（6） 令内层函数B x g u ∈=)(,同理，重复上述（3)、（4）、（5）步骤。
若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤.（7） 设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数（8） (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增.（9） (2） 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减。
（10） (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增.（11） （4) 若)(x f y =减,)(x g y =增，则))((x g f y =减.（12） 结论：同曾异减（13） 例1. 求函数222)(-+=x xx f 的单调区间.（14） 解题过程： （15） 外层函数：t y 2=（16） 内层函数:22-+=x x t （17） 内层函数的单调增区间：],21[+∞-∈x （18） 内层函数的单调减区间：]21,[--∞∈x （19） 由于外层函数为增函数（20） 所以,复合函数的增区间为：],21[+∞-∈x （21） 复合函数的减区间为： ]21,[--∞∈x （22） 求函数)23(log 221x x y --=的单调区间.（23） 解 原函数是由外层函数u y 21log =和内层函数223x x u --=复合而成的； （24） 易知),0(+∞是外层函数u y 21log =（25） 令0232>--=x x u ，解得x 的取值范)1,3(-； （26） 解题过程：（27） 外层函数：t y 2log =（28） 内层函数:22-+=x x t （29） 022>-+=x x t（30） 由图知：（31） 内层函数的单调增区间:],1[+∞∈x（32） 内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x（33） 由于外层函数为增函数（34） 所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x（35） 复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x结合二次函数的图象可知)1,3(-不是内层函数223x x u --=的一个单调区间，但可以把区间)1,3(-划分成内层函数的两个单调子区间]1,3(--和)1,1[-，其中]1,3(--是其单调增区间，)1,1[-是其单调减区间；于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，]1,3(--是原函数的单调减区间,)1,1[-是原函数的单调增区间。
复合函数的知识的总结及例的题目
复合函数问题一、复合函数定义：设y=f<u>的定义域为A,u=g<x>的值域为B,假如A ⊇B,如此y 关于x 函数的y=f ［g<x>］叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：<1>、f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D,即x D ∈,所以f 的作用X 围为D,又f 对g x ()作用,作用X 围不变,所以D x g ∈)(,解得x E ∈,E 为[]f g x ()的定义域.例1.设函数f u ()的定义域为〔0,1〕,如此函数f x (ln )的定义域为_____________. 解析：函数f u ()的定义域为〔0,1〕即u ∈()01，,所以f 的作用X 围为〔0,1〕 又f 对lnx 作用,作用X 围不变,所以01<<ln x 解得x e ∈()1，,故函数f x (ln )的定义域为〔1,e 〕例2. 假如函数f x x ()=+11,如此函数[]f f x ()的定义域为______________. 解析：先求f 的作用X 围,由f x x ()=+11,知x ≠-1即f 的作用X 围为{}x R x ∈≠-|1,又f 对f<x>作用所以f x R f x ()()∈≠-且1,即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111,解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 〔2〕、[]f g x ()的定义域,求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D,即x D ∈,由此得g x E ()∈,所以f 的作用X 围为E,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以x E E ∈，为f x ()的定义域.例3. f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，,如此函数f x ()的定义域为_________. 解析：f x ()32-的定义域为[]-12，,即[]x ∈-12，,由此得[]3215-∈-x ， 所以f 的作用X 围为[]-15，,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以[]x ∈-15，即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. f x x x ()lg 22248-=-,如此函数f x ()的定义域为-------解析：先求f 的作用X 围,由f x x x ()lg 22248-=-,知x x 2280-> 解得x 244->,f 的作用X 围为()4，+∞,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以x ∈+∞()4，,即f x ()的定义域为()4，+∞〔3〕、[]f g x ()的定义域,求[]f h x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D,即x D ∈,由此得g x E ()∈,f 的作用X 围为E,又f 对h x ()作用,作用X 围不变,所以h x E ()∈,解得x F ∈,F 为[]f h x ()的定义域.例5. 假如函数f x()2的定义域为[]-11，,如此f x (log )2的定义域为____________.解析：f x()2的定义域为[]-11，,即[]x ∈-11，,由此得2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，f 的作用X 围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥,又f 对log 2x 作用,所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，,解得[]x ∈24，即f x (log )2的定义域为[]24，评注：函数定义域是自变量x 的取值X 围〔用集合或区间表示〕f 对谁作用,如此谁的X 围是f 的作用X 围,f 的作用对象可以变,但f 的作用X 围不会变.利用这种理念求此类定义域问题会有"得来全不费功夫〞的感觉,值得大家探讨.三、复合函数单调性问题〔1〕引理证明函数))((x g f y =.假如)(x g u =在区间b a ,(〕上是减函数,其值域为<c,d>,又函数)(u f y =在区间<c,d>上是减函数,那么,原复合函数))((x g f y =在区间b a ,(〕上是增函数.证明：在区间b a ,(〕内任取两个数21,x x ,使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(〕上是减函数,所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间<c,d>上是减函数,所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <, 故函数))((x g f y =在区间b a ,(〕上是增函数. 〔2〕．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定.为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为："同向得增,异向得减〞或"同增异减〞. 〔3〕、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ确定函数的定义域；ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =. ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ假如两个函数在对应的区间上的单调性一样〔即都是增函数,或都是减函数〕,如此复合后的函数))((x g f y =为增函数；假如两个函数在对应的区间上的单调性相异〔即一个是增函数,而另一个是减函数〕,如此复合后的函数))((x g f y =为减函数.〔4〕例题演练例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间,并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 如此---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为如此当1>a 时,假如1>x ,∵1232--=x x u 为增函数,∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 假如31-<x ,∵1232--=x x u 为减函数.∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数.当10<<a 时,假如1>x ,如此)123(log )(2--=x x x f a 为减函数,假如31-<x ,如此)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.例3、.y=a log <2-xa >在［0,1］上是x 的减函数,求a 的取值X 围. 解：∵a ＞0且a ≠1当a ＞1时,函数t=2-xa >0是减函数由y=a log <2-xa >在［0,1］上x 的减函数,知y=a log t 是增函数, ∴a ＞1由x ∈［0,1］时,2-xa ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2当0<a<1时,函数t=2-xa >0是增函数由y=a log <2-xa >在［0,1］上x 的减函数,知y=a log t 是减函数, ∴0<a<1由x ∈［0,1］时,2-xa ≥2-1＞0, ∴0<a<1 综上述,0<a<1或1＜a ＜2例4、函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f 〔a 为负整数〕的图象经过点R m m ∈-),0,2(,设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数,且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论. ［解析］由0)2(=-m f ,得02)3(2=-+--a m a am , 其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a , 解得.37213721+≤≤-a ∵a 为负整数,∴.1-=a∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ,即.1)(2+-=x x f 242221)1()]([)(x x x x f f x g +-=++--==, ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F 假设存在实数)0(<p p ,使得)(x F 满足条件,设21x x <,∴].12)()[()()(2221222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ,当)3,(,21--∞∈x x 时,)(x F 为减函数,∴0)()(21>-x F x F ,∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴182221>+x x , ∴11612)(2221-->-++-p p x x p ,∴.0116≥--p ①当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F∵02221>-x x ,∴11612)(2221--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②由①、②可知161-=p ,故存在.161-=p 一．指数函数与对数函数．同底的指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数；〔二〕主要方法：1．解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域；2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论； 3．比拟几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差． 〔三〕例题分析：例1．〔1〕假如21a b a >>>,如此log bba,log b a ,log a b 从小到大依次为； 〔2〕假如235x y z ==,且x ,y ,z 都是正数,如此2x ,3y ,5z 从小到大依次为； 〔3〕设0x >,且1x x a b <<〔0a >,0b >〕,如此a 与b 的大小关系是〔〕 〔A 〕1b a <<〔B 〕1a b <<〔C 〕1b a <<〔D 〕1a b <<解：〔1〕由21a b a >>>得b a a <,故log b ba<log b a 1<<log a b ．〔2〕令235x y z t ===,如此1t >,lg lg 2t x =,lg lg 3t y =,lg lg 5tz =,∴2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y ⋅--=-=>⋅,∴23x y >； 同理可得：250x z -<,∴25x z <,∴325y x z <<．〔3〕取1x =,知选〔B 〕．例2．函数2()1x x f x a x -=++(1)a >,求证：〔1〕函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；〔2〕方程()0f x =没有负数根． 证明：〔1〕设121x x -<<,如此1212121222()()11xx x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++,∵121x x -<<,∴110x +>,210x +>,120x x -<,∴12123()0(1)(1)x x x x -<++； ∵121x x -<<,且1a >,∴12x xa a <,∴120x x a a -<,∴12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； 〔2〕假设0x 是方程()0f x =的负数根,且01x ≠-,如此000201xx a x -+=+,即00000023(1)31111x x x ax x x --+===-+++, ① 当010x -<<时,0011x <+<,∴0331x >+,∴03121x ->+,而由1a >知01x a <, ∴①式不成立；当01x <-时,010x +<,∴0301x <+,∴03111x -<-+,而00x a >, ∴①式不成立．综上所述,方程()0f x =没有负数根．例3．函数()log (1)xa f x a =-〔0a >且1a ≠〕．求证：〔1〕函数()f x 的图象在y 轴的一侧；〔2〕函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．证明：〔1〕由10x a ->得：1x a >,∴当1a >时,0x >,即函数()f x 的定义域为(0,)+∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧； 当01a <<时,0x <,即函数()f x 的定义域为(,0)-∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧． ∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；〔2〕设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点,且12x x <,如此直线AB 的斜率1212y y k x x -=-,1122121log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-,当1a >时,由〔1〕知120x x <<,∴121x x a a <<,∴12011x xa a <-<-,∴121011x xa a -<<-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k >； 当01a <<时,由〔1〕知120x x <<,∴121x x a a >>,∴12110x xa a ->->, ∴12111x xa a ->-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k >． ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．同步练习〔二〕同步练习：1、函数)x (f 的定义域为]1,0[,求函数)x (f 2的定义域.答案：]1,1[-2、函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-,求)x (f 的定义域. 答案：]9,3[-3、函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-,求|)1x 2(|f -的定义域.答案：)23,1()0,21(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg,如此⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为〔 〕A.()()4,00,4 -B.()()4,11,4 --C.()()2,11,2 --D.()()4,22,4 --解：选C.由202x x +>-得,()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩,解得()()4,11,4x ∈--.故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4--5、函数)(x f 的定义域为)23,21(-∈x ,求)0)(()()(>+=a ax f ax f x g 的定义域.［解析］由,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-.232,2321,2321,2321a x a ax a a x ax 〔1〕当1=a 时,定义域为}2321|{<<-x x ； 〔2〕当a a 2323>,即10<<a 时,有221a a ->-, 定义域为}232|{a x a x <<-；〔3〕当a a 2323<,即1>a 时,有221aa -<-,定义域为}2321|{ax a x <<-.故当1≥a 时,定义域为}2321|{a x a x <<-；当10<<a 时,定义域为}.232|{a x a x <<-［点评］对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进展讨论,要注意思考讨论字母的方法. 练习二〔5〕同步练习：1．函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕的单调递减区间是〔 〕A ．〔－∞,1〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,23〕D ．〔23,＋∞〕 解析：先求函数定义域为〔－o ,1〕∪〔2,＋∞〕,令t 〔x 〕＝x 2＋3x ＋2,函数t 〔x 〕在〔－∞,1〕上单调递减,在〔2,＋∞〕上单调递增,根据复合函数同增异减的原如此,函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕在〔2,＋∞〕上单调递减．答案：B2找出如下函数的单调区间.〔1〕)1(232>=++-a a y x x ； 〔2〕.2322++-=x x y答案：<1>在]23,(-∞上是增函数,在),23[+∞上是减函数. 〔2〕单调增区间是]1,1[-,减区间是]3,1[.3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y xa 且的单调性.答案：,1>a 时),0(+∞为增函数,01>>a 时,)0,(-∞为增函数. 4．求函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的定义域、值域和单调区间．解：由μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4＞0,解得x ＞4或x ＜1,所以x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,当x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋,所以函数的值域是R ＋．因为函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕是由y＝31log μ〔x 〕与μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4复合而成,函数y ＝31log μ〔x 〕在其定义域上是单调递减的,函数μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4在〔－∞,25〕上为减函数,在［25,＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域与复合函数单调性,y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的增区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间,即〔－∞,1〕；y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的减区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4为增函数的区间,即〔4,＋∞〕． 变式练习 一、选择题1．函数f 〔x 〕＝)1(log 21－x 的定义域是〔 〕A ．〔1,＋∞〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,2〕D ．]21(， 解析：要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,所以⎪⎩⎪⎨⎧≥0)1(log 0121－＞－x x 解得1＜x ≤2．答案：D2．函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕的单调递减区间是〔 〕A ．〔－∞,1〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,23〕D ．〔23,＋∞〕 解析：先求函数定义域为〔－o ,1〕∪〔2,＋∞〕,令t 〔x 〕＝x 2＋3x ＋2,函数t 〔x 〕在〔－∞,1〕上单调递减,在〔2,＋∞〕上单调递增,根据复合函数同增异减的原如此,函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕在〔2,＋∞〕上单调递减． 答案：B3．假如2lg 〔x －2y 〕＝lg x ＋lg y ,如此xy的值为〔 〕 A ．4B ．1或41 C ．1或4D ．41错解：由2lg 〔x －2y 〕＝lg x ＋lg y ,得〔x －2y 〕2＝xy ,解得x ＝4y 或x ＝y ,如此有x y ＝41或y x ＝1．答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x －2y ＞0,所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ． 答案：D4．假如定义在区间〔－1,0〕内的函数f 〔x 〕＝a 2log 〔x ＋1〕满足f 〔x 〕＞0,如此a 的取值X 围为〔 〕 A ．〔0,21〕B ．〔0,1〕 C ．〔21,＋∞〕D ．〔0,＋∞〕 解析：因为x ∈〔－1,0〕,所以x ＋1∈〔0,1〕．当f 〔x 〕＞0时,根据图象只有0＜2a ＜l,解得0＜a ＜21〔根据本节思维过程中第四条提到的性质〕． 答案：A 5．函数y ＝lg 〔x－12－1〕的图象关于〔 〕 A ．y 轴对称B ．x 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝lg 〔x －12－1〕＝x x －＋11lg ,所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝xx －＋11lg 的函数都为奇函数． 答案：C 二、填空题y ＝a log 〔2－ax 〕在［0,1］上是x 的减函数,如此a 的取值X 围是__________．解析：a ＞0且a ≠1⇒μ〔x 〕＝2－ax 是减函数,要使y ＝a log 〔2－ax 〕是减函数,如此a ＞1,又2－ax ＞0⇒a ＜x2〔0＜x ＜1〕⇒a ＜2,所以a ∈〔1,2〕． 答案：a ∈〔1,2〕7．函数f 〔x 〕的图象与g 〔x 〕＝〔31〕x的图象关于直线y ＝x 对称,如此f 〔2x －x 2〕的单调递减区间为______．解析：因为f 〔x 〕与g 〔x 〕互为反函数,所以f 〔x 〕＝31log x如此f 〔2x －x 2〕＝31log 〔2x －x 2〕,令μ〔x 〕＝2x －x 2＞0,解得0＜x ＜2．μ〔x 〕＝2x －x 2在〔0,1〕上单调递增,如此f ［μ〔x 〕］在〔0,1〕上单调递减； μ〔x 〕＝2x －x 2在〔1,2〕上单调递减,如此f ［μ〔x 〕］在［1,2〕上单调递增． 所以f 〔2x －x 2〕的单调递减区间为〔0,1〕． 答案：〔0,1〕8．定义域为R 的偶函数f 〔x 〕在［0,＋∞］上是增函数,且f 〔21〕＝0, 如此不等式f 〔l og 4x 〕＞0的解集是______．解析：因为f 〔x 〕是偶函数,所以f 〔－21〕＝f 〔21〕＝0．又f 〔x 〕在［0,＋∞］上是增函数,所以f 〔x 〕在〔－∞,0〕上是减函数．所以f 〔l og 4x 〕＞0⇒l og 4x ＞21或l og 4x ＜－21．解得x ＞2或0＜x ＜21．答案：x ＞2或0＜x ＜21三、解答题9．求函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的定义域、值域和单调区间．. 解：由μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4＞0,解得x ＞4或x ＜1,所以x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,当x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋,所以函数的值域是R ＋．因为函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕是由y ＝31log μ〔x 〕与μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4复合而成,函数y ＝31log μ〔x 〕在其定义域上是单调递减的,函数μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4在〔－∞,25〕上为减函数,在［25,＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域与复合函数单调性,y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的增区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间,即〔－∞,1〕；y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的减区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4为增函数的区间,即〔4,＋∞〕． 10．设函数f 〔x 〕＝532＋x ＋xx 2323lg ＋－, 〔1〕求函数f 〔x 〕的定义域；〔2〕判断函数f 〔x 〕的单调性,并给出证明；〔3〕函数f 〔x 〕的反函数f －1〔x 〕,问函数y ＝f －1〔x 〕的图象与x 轴有交点?假如有,求出交点坐标；假如无交点,说明理由．解：〔1〕由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0,解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－23＜x ＜23． 〔2〕令μ〔x 〕＝532＋x ,随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数； x x 2323＋－＝－1＋x236＋随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数． 又y ＝lg x 在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y ＝x x 2323lg ＋－是减函数,所以f 〔x 〕＝532＋x ＋x x 2323lg ＋－是减函数． 〔3〕因为直接求f 〔x 〕的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．设函数f 〔x 〕的反函数f －1〔x 〕与工轴的交点为〔x 0,0〕．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知,f 〔x 〕与y 轴的交点是〔0,x 0〕,将〔0,x 0〕代入f 〔x 〕,解得x 0＝52．所以函数y ＝f －1〔x 〕的图象与x 轴有交点,交点为〔52,0〕.。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
千里之行，始于足下。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)复合函数是指由两个或多个函数相互作用形成的新函数。
在数学中，复合函数是一种常见的概念，并且在高等数学、线性代数、微积分等多个领域中都有应用。
本文将对复合函数的知识点进行总结，并通过分类讲解一些例题。
一、复合函数的定义：设有函数f和g，对于g的定义域中的每个x，存在f的定义域中的y，使得y=g(x)，则有一个复合函数h(x)=f(g(x))，它的定义域是所有能使得g(x)的值能成为f(x)定义域中的自变量的值的x。
二、复合函数的求解步骤：1. 确定复合函数的形式h(x)=f(g(x))。
2. 确定g(x)的定义域和f(x)的定义域，并找到能使得g(x)的值成为f(x)的自变量的值。
3. 将g(x)的值代入f(x)中，得到新的函数h(x)。
三、复合函数的性质：1. 复合函数的定义域是g(x)的定义域和f(x)的定义域的交集。
2. 复合函数的值域是f(x)的值域的子集。
四、复合函数的例题分类讲解：1. 简单的复合函数求导：例题1：已知f(x)=x²和g(x)=2x+1，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
解析：首先计算g'(x)=2，然后计算f'的导函数f'(x)=2x。
根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=2(2x+1)*2=8x+4。
2. 复合函数中含有指数函数：例题2：已知f(x)=eˣ和g(x)=ln(x)，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
解析：首先计算g'(x)=1/x，然后计算f'的导函数f'(x)=eˣ。
根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=eˣ*(1/x)=eˣ/x。
3. 复合函数中含有三角函数：例题3：已知f(x)=sin(x)和g(x)=x²，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
复合函数知识总结及例题
复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
复合函数知识总结及例题
复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A, u=g(x)的值域为B,若A=B,则y关于X函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，U叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f (χ)的定义域，求f[g(χ) 1的定义域思路：设函数f (X)的定义域为D，即X ∙ D ,所以f的作用范围为D，又f对g(χ)作用，作用范围不变，所以g(x)∙ D ,解得X ∙E，E为f Ig(X)]的定义域。
例1.设函数f (u)的定义域为(O，1)，贝U函数f (Inx)的定义域为___________________ 。
解析：函数f (U)的定义域为(0，1)即u • (0，1),所以f的作用范围为(0，1)又f对InX作用，作用范围不变，所以0 ：：： In X ：：： 1解得X • (1, e),故函数f (In x)的定义域为(1, e)1例2.若函数f (X)= ----------- ,则函数f [f (x)]的定义域为 ___________________ 。
X +11解析：先求f的作用范围，由f (X) ,知X = -1X +1即f的作用范围为■ RlX= ,又f对f(χ)作用所以f (X) ∙R且f (x) - -1 ,即f If(X) 1中X应r d x≠-1X 式一1 L满足彳即｛1 ,解得x≠一1且x≠一2I f(X)H—1 —≠-1ιX +1故函数f If (X) 的定义域为CX R|x = -1且Xn -2(2)、已知f Ig(X)】的定义域，求f (x)的定义域思路：设f Ig(X) 1的定义域为D,即X ∙D ,由此得g(x) ∙E ,所以f的作用范围为E,又f对X作用，作用范围不变，所以X ∙E, E为f (X)的定义域。
例3.已知f (3 —2x)的定义域为X E[―1, 2 ],则函数f (x)的定义域为 _________________ 。
复合函数知识总结及例题
答案： [ 3, 9 ]
3、 已知函数 y f ( x 2 ) 的定义域为 ( 1, 0 ) ，求 f (| 2 x 1 |) 的定义域。
1 ( , 0)
答案： 2
3 (1, )
2
2x
x
2
4、设 f x lg
，则 f
f
的定义域为（
）
2x
2
x
A.
4 ,0 0, 4
B. 4, 1 1,4
C. 2, 1 1, 2
3, x2
3 ,∴ x12 x22 18 ,
∴ p ( x12 x22 ) 2 p 1 16 p 1 ,
∴ 16 p 1 0 .
①
当 x1 , x 2 ( 3, 0 ) 时 , F ( x ) 增函数 ,∴ F ( x1 ) F ( x 2 ) 0 .
∵ x12
x
2 2
0 ,∴
p ( x12
x
2 2
D. 4, 2 2 ,4
2x
解：选 C.由
0 得， f ( x ) 的定义域为 x | 2 x 2 。故
2x
x
2
2,
2
，解得
2
2
2.
x
x x 4, 1 1, 4 。故 f
2
2
f
的定义域为 4, 1 1, 4
x
13
5、已知函数 f ( x ) 的定义域为 x ( , ) ，求 g ( x )
22
f ( ax )
F ( x ) 在区间 ( , f ( 2 )] 上是减函数，且在区间 ( f ( 2 ), 0 ) 上是减函数？并证明你的结论。
［解析］由已知 f ( m 2 ) 0 ，得 am 2 ( a 3 ) m a 2 0 ，
离散数学复合函数f°g例题a到a
离散数学复合函数f°g例题a到a摘要：1.离散数学中的复合函数概念2.复合函数的性质3.例题：复合函数f°g在集合a到a上的应用正文：离散数学中的复合函数是指将两个函数f和g组合在一起，形成一个新的函数。
复合函数的定义为：若f是从X到Y的函数，g是从Y到Z的函数，则复合函数f°g是从X到Z的函数。
具体地，对于X中的元素x，我们有f(x)在Y中的像，然后这个像在g的作用下得到Z中的元素f(x)°g(x)。
复合函数具有以下性质：1.结合律：对于任意的函数f、g和h，有(f°g)°h = f°(g°h)。
2.交换律：对于任意的函数f和g，有f°g = g°f。
3.单位元：对于任意的函数f，有id°f = f，其中id是恒等函数。
4.逆函数：若f是从X到Y的函数，g是从Y到X的函数，且f°g = id （恒等函数），则g°f是f的逆函数。
现在我们来看一个复合函数f°g在集合a到a上的例题。
题目：设f和g分别是集合a上的函数，且f(x)°g(x) = x。
解题步骤如下：1.首先，我们需要找到f(x)和g(x)的表达式。
由于f(x)°g(x) = x，我们可以设f(x) = a，g(x) = b，其中a和b是未知的函数。
2.接下来，我们需要求解a和b的关系。
将f(x)和g(x)的表达式代入f(x)°g(x) = x，得到a°b = x。
根据复合函数的性质，我们知道a°b = ab。
因此，我们有ab = x。
3.根据ab = x，我们可以得到b = x/a。
由此，我们知道g(x) = x/a。
4.将g(x) = x/a代入f(x)°g(x) = x，得到f(x)°(x/a) = x。
解这个方程，我们可以得到f(x) = a。
(2021年整理)复合函数相关性质和经典例题
（完整）复合函数相关性质和经典例题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）复合函数相关性质和经典例题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）复合函数相关性质和经典例题的全部内容。
定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数，其中)(u f y =通常称为外层函数，)(x g u =称为内层函数。
求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：（1） 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =;（2） 求外层函数)(u f y =的单调区间（包括增区间和减区间）B A 、等；（3） 令内层函数A x g u ∈=)(，求出x 的取值范围M ；（4） 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则M 便是原复合函数)]([x g f y =的一个单调区间；若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间,这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间;（5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性；（6） 令内层函数B x g u ∈=)(,同理，重复上述(3）、（4）、（5）步骤。
若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ，则同步骤（6)类似，不断地重复上述步骤。
（7） 设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数（8） （1） 若)(x f y =增，)(x g y =增,则))((x g f y =增.（9） (2） 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减。
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定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数，其中)(u f y =通常称为外层函数，)(x g u =称为内层函数。
求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：
（1） 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =；
（2） 求外层函数)(u f y =的单调区间（包括增区间和减区间）B A 、等；
（3） 令内层函数A x g u ∈=)(，求出x 的取值范围M ；
（4） 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则M 便是原复合函数
)]([x g f y =的一个单调区间；
若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间；
（5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性；
（6） 令内层函数B x g u ∈=)(，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。
若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。
（7） 设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数
（8） (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增.
（9） (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减.
（10） (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增.
（11） (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减.
（12） 结论：同曾异减
（13） 例1. 求函数222
)(-+=x x x f 的单调区间.
（14） 解题过程：
（15） 外层函数：t y 2=
（16） 内层函数：22-+=x x t （17） 内层函数的单调增区间：],2
1[+∞-∈x （18） 内层函数的单调减区间：]2
1,[--∞∈x （19） 由于外层函数为增函数 （20） 所以，复合函数的增区间为：],2
1[+∞-∈x （21） 复合函数的减区间为： ]2
1,[--∞∈x （22） 求函数)23(log 221x x y --=的单调区间.
（23） 解 原函数是由外层函数u y 2
1log =和内层函数223x x u --=复合而成的； （24） 易知),0(+∞是外层函数u y 2
1log =的单调减区间； （25） 令0232>--=x x u ，解得x 的取值范围为)1,3(-；
（26） 解题过程：
（27） 外层函数：t y 2log =
（28） 内层函数：22-+=x x t
（29） 022>-+=x x t
（30） 由图知：
（31） 内层函数的单调增区间：],1[+∞∈x
（32） 内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x
（33） 由于外层函数为增函数
（34） 所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x
（35） 复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x 结合二次函数的图象可知)1,3(-不的一个单调区间，但可以把区间)1,3(-划分成内层函数的两个单调子区间]1,3(--和
)1,1[-，其中]1,3(--是其单调增区间，)1,1[-是其单调减区间；
于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，]1,3(--是原函数的单调减区间，
)1,1[-是原函数的单调增区间。
例2.求函数)2(log )(22-+=x x x f 的单调区间.
解题过程：
外层函数：t y 2log =
内层函数：22-+=x x t
022>-+=x x t
由图知：
内层函数的单调增区间：],1[+∞∈x
内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x
由于外层函数为增函数
所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x
复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x。