数学建模过程.ppt
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数学建模—概率模型 ppt课件
数学建模—概率模型
v3统计图(examp05-03) v箱线图（判断对称性） v频率直方图（最常用） v经验分布函数图 v正态概率图（+越集中在参考线附近，越近似正态分布）
v4分布检验 vChi2gof,jbtest,kstest,kstest2,lillietest等 vChi2gof卡方拟合优度检验，检验样本是否符合指定分布。它把观测数据分 组，每组包含5个以上的观测值，根据分组结果计算卡方统计量，当样本够 多时，该统计量近似服从卡方分布。 vjbtest,利用峰度和偏度检验。
3 单因素一元方差分析步骤
（ example07_01.m 判断不同院系成绩均值是否相等）
数据预处理
正态性检验 lillietest （p>0.05接受）
方差齐性检验 vartestn （p>0.05接受）
方差分析
anoval （ｐ＝0 有显著差别）
多重比较：两两比较，找出存在显著差异的学院，multcompare
构造观测值矩阵，每一列对应因素Ａ的一个水平，每一行对应因素Ｂ的一个
水平
方差分析
anova2 得到方差分析表
方差分析表把数据差异分为三部分（或四部分）： 列均值之间的差异引起的变差 列均值之间的差异引起的变差 行列交互作用引起的变差 （随机误差） 后续可以进行多重比较，multcompare，找出哪种组合是最优的
Computer Science | Software Engineering & Information System
数学建模—概率模型
目的：用一个函数近似表示变量之间的不确定关系。 1 一元线性回归分析 做出散点图，估计趋势；计算相关系数矩阵； regress函数，可以得到回归系数和置信区间,做残差分析，剔除异常点，重 新做回归分析 Regstats 多重线性或广义回归分析，它带有交互式图形用户界面，可以处 理带有常数项、线性项、交叉项、平方项等模型 robustfit函数：稳健回归（加权最小二乘法）
数学建模——线性回归分析82页PPT
2019/11/15
zhaoswallow
2
表1 各机组出力方案 （单位：兆瓦，记作MW）
方案\机组 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1
2
3
4
5
6
7
8
120
73
180
80
125
125
81.1
90
133.02 73
180
80
125
125
81.1
90
3 -144.25 -145.14 -144.92 -146.91 -145.92 -143.84 -144.07 -143.16 -143.49 -152.26 -147.08 -149.33 -145.82 -144.18 -144.03 -144.32
4 119.09 118.63 118.7 117.72 118.13 118.43 118.82 117.24 117.96 129.58 122.85 125.75 121.16 119.12 119.31 118.84
5 135.44 135.37 135.33 135.41 135.41 136.72 136.02 139.66 137.98 132.04 134.21 133.28 134.75 135.57 135.97 135.06
6 157.69 160.76 159.98 166.81 163.64 157.22 157.5 156.59 156.96 153.6 156.23 155.09 156.77 157.2 156.31 158.26
ˆ0
ˆ1 xi )2
min
0 ,1
高中数学北师大版 必修一 数学建模的主要步骤 课件
即 t^2-25t+150≤0，解得10≤t≤15.
即税率应控制在10%-15%为宜.
环节三
学习与反思
检测
1.某新产品投放市场后第一个月销售
100台，第二个月销售200台，第三个
月销售400台，第四个月销售790台，
则下列函数模型中能较好地反映销量
y与投放市场的月数x之间关系的是
(
)
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋
一般不容易求得精确值,这就
要根据需要求近似解.
(4)检验结果
用实际现象或数据检验求得
的解是否符合实际.如果不符
合实际情况,就要重新建模.
环节二
案例分析
案例分析
例1.某工厂今年1月、2月、3月生产
某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3
万件.为了估计以后每个月的产量，
以这三个月的产品数量为依据，用一
设围成的矩形场地的长为x m，
－
－
则宽为
m，则S＝
＝ (－
x2＋200x)．
当x＝100时，Smax＝2 500(m2)．
检测
3.已知投资x万元经销甲商品所获得
的利润为P＝ ；投资x万元经销乙商
品所获得的利润为Q＝
(a＞0)．
若投资20万元同时经销这两种商品或
个函数来模拟该产品的月产量y与月
份x的关系.模拟函数可以选择二次函
数或函数y=a•bx+c(其中a，b，c为常
数)，已知4月该产品的产量为1. 37万
件，试问用以上哪个函数作为模拟函
数较好？并说明理由
解：由题意，设 1 =
= 2 +qx+r(p≠0),
即税率应控制在10%-15%为宜.
环节三
学习与反思
检测
1.某新产品投放市场后第一个月销售
100台，第二个月销售200台，第三个
月销售400台，第四个月销售790台，
则下列函数模型中能较好地反映销量
y与投放市场的月数x之间关系的是
(
)
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋
一般不容易求得精确值,这就
要根据需要求近似解.
(4)检验结果
用实际现象或数据检验求得
的解是否符合实际.如果不符
合实际情况,就要重新建模.
环节二
案例分析
案例分析
例1.某工厂今年1月、2月、3月生产
某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3
万件.为了估计以后每个月的产量，
以这三个月的产品数量为依据，用一
设围成的矩形场地的长为x m，
－
－
则宽为
m，则S＝
＝ (－
x2＋200x)．
当x＝100时，Smax＝2 500(m2)．
检测
3.已知投资x万元经销甲商品所获得
的利润为P＝ ；投资x万元经销乙商
品所获得的利润为Q＝
(a＞0)．
若投资20万元同时经销这两种商品或
个函数来模拟该产品的月产量y与月
份x的关系.模拟函数可以选择二次函
数或函数y=a•bx+c(其中a，b，c为常
数)，已知4月该产品的产量为1. 37万
件，试问用以上哪个函数作为模拟函
数较好？并说明理由
解：由题意，设 1 =
= 2 +qx+r(p≠0),
《数学建模》PPT课件
( x2
x1)
f
f (x2 ) (x2 ) f
2 1 ( x1) 22
1
f
( x1 )
f
(x2 )
3
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
2 (12 f (x1)f (x2 ))1/2
如函数的导数容易求得，一般首先考虑使用三次插值
法，因为它具有较高效率。对于只需要计算函数值的方
法中，二次插值法是一个很好的方法，它的收敛速度较
优化模型
（2）多项式近似法 该法用于目标函数比较复杂的情 况。此时寻找一个与它近似的函数代替目标函数，并用 近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。常用的近 似函数为二次和三次多项式。
二次内插涉及到形如下式的二次函数数据拟合问题：
mq() a2 b c
其中步长极值为：
b
2a
完整版课件ppt
求解单变量最优化问题的方法有很多种，根据目标函 数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。 直接法不需要对目标函数进行求导，而间接法则需要用 到目标函数的导数。
完整版课件ppt
4
优化模型
1、直接法 常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种： （1）消去法 该法利用单峰函数具有的消去性质进行
反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区 间，直到搜索区间缩小到给定允许精度为止。一种典型 的消去法为黄金分割法(Golden Section Search）。黄金 分割法的基本思想是在单峰区间内适当插入两点，将区 间分为三段，然后通过比较这两点函数值的大小来确定 是删去最左段还是最右段，或同时删去左右两段保留中 间段。重复该过程使区间无限缩小。插入点的位置放在 区间的黄金分割点及其对称点上，所以该法称为黄金分 割法。该法的优点是完整算版课法件p简pt 单，效率较高，稳定性好5 。
数学建模——线性回归分析-82页PPT精选文档
2019/11/16
zhaoswallow
5
16
166.88
141.4
-144.34
118.67
134.67
159.28
17
164.07
143.03
-140.97
118.75
133.75
158.83
18
164.27
142.29
-142.15
118.85
134.27
158.37
19
164.57
141.44
9
根据表1和表2围绕方案0的1--32组实验数 据，可以列出关于未知数的32个方程的方程 组，利用SAS或Matlab编程求解方程组，得
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zhaoswallow
10
为了确定li和x1,L , x8之间是否有线性关系， 还需要根据样本值运用假设检验来判断， 以确定求得的回归方程是否有价值。
129.63 73
180
80
125
125
81.1
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158.77 73
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81.1
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145.32 73
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78.596 180
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75.45
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90.487 180
80
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141.58 125
81.1
90
数学建模介绍PPT课件
•对任意的，有f()、 g()
•至少有一个为0，
16
本问题归为证明如下数学命题： 数学命题:（本问题的数学模型）
已知f()、 g()都是的非负连续函数，对任意的 ，有f() g()=0，且f(0) >0、 g(0)=0 ，则有存在0， 使f(0)= g(0)=0
模型求解 证明：将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换，由 f(0)>0、 g(0)=0 变为f(/2) =0、 g(/2) >0
的解答
解
释
数学模型 的解答
12
实践
理论
实践
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成 数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答
将数学语言表述的解答“翻译”回实际对 象 用现实对象的信息检验得到的解答
13
4、建模实例：
例1、椅子能在不平的地面上放稳吗？
• 模型假设 • 1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面
• 要学习数学建模，应该了解如下与数学建模 有关的概念：
3
• 原型（Prototype）
• 人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、 管理的实际对象称为原形。原型有研究对象、 实际问题等。
• 模型（Model)
• 为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、 提炼而构成的原型替代物称为模型。模型有 直观模型、物理模型、思维模型、计算模型、 数学模型等。
• 一个原型可以有多个不同的模型。
4
数学模型：
由数字、字母、或其他数学符号组成、描 述实际对象数量规律的数学公式、图形或算 法称为数学模型
数学建模：
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
5
2019如何建立一个数学模型.ppt
例2.4：AMCM-89A题要求对蠓虫加以分类。 在采用概率判别方法建模之前，作了如下假设：
1、两类蠓虫的触角与翅膀长度的总体均值、标准差
和相关系数与学习样本所能反映的值是相符的， 2、触角长度x和y服从二维正态分布
这两条假设为从概率论的角度对蠓虫进行分类提供了根据，
由于统计方法的应用必须建立在对大量样本进行分 析的基础上，而我们面临的问题是，题中所给的数 据（15个学习样本）太少，因此优秀论文作者清醒 指出，这些假设未必一定可靠，这显示了他们对实 际问题及所用方法的深刻见解，
根据赛题的实际情况，对建立的模型作出合 理的简化是解决问题的关键。
例4.1 CMCM-98B
根据题意，得到购买Si的金额为xi的交易费为
0, xi 0 ci ( xi ) pi ui ,0 xi ui p x ,x u i i i i
但因M相当大，Si若被选中，其投资额xi一般都超过ui， 交易费可简化为
如何建立一个完整的数学模型
仇秋生
数理信息工程学院
一个完整的数学建模过程主要由三部分组成： 1、用适当的数学方法对实际问题进行描述 2、采取各种数学和计算机手段求解模型 3、从实际的角度分析模型的结果，考察其是否合理、 是否具有实际意义？
一、模型准备
了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征
（3）统计分析模型
如AMCM-89A可以用统计学中的Fisher判别法对蠓虫 加以分类。 （4）插值与拟合模型 这是离散数据连续化处理时常用的方法。如 AMCM-86A题海底地形的描绘，AMCM-91A水塔水流 量的估计等。
（5）其它。如计算机模拟，神经网络等。
方法总结：
用的最多的方法是：微分方程、优 化化方法和概率统计的方法. 插值与拟合，随机模拟在数据处理时 很有必要。 灰色系统理论、神经网络、模糊数学 经常被乱用。 层次分析只能做半定量分析
北师大版高中数学课件必修第1册第八章 数学建模活动(一)
(1)成立项目小组,确定工作目标,准备测量工具;
(2)小组成员查阅有关资料,进行讨论交流,寻求测量效率高的方法,设计测
量方案(最好设计两套测量方案);
(3)分工合作,明确责任.例如,测量、记录数据、计算求解、撰写报告的分
工等;
(4)撰写报告,讨论交流.可以用照片、模型、PPT等形式展现获得的成果.
想的结果.
对上面的测量报告,教师和同学给出评价.例如,对测量方法,教师和种可行的测量方法;对测量
结果,教师评价为“良”,同学评价为“中”,因为两种方法得到的结果相差较大.
对测量结果的评价,教师和同学产生差异的原因是教师对测量过程的部分
项目实施加分,包括对自制测量仰角的工具等因素作了误差分析;同学则进
其中α,β,a,h如图所示.
两次测角法示意图
2.镜面反射法
(1)将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能够看到房顶的位置,测量
人与镜子的距离;
(2)将镜子后移a m,重复(1)中的操作;
(3)楼高
ℎ
x 的计算公式为 x=
.
2 -1
其中a1,a2是人与镜子的距离,a是两次观测时镜面之间的距离,h是人的“眼
根据上述要求,每个小组要完成以下工作:
(1)选题
(2)开题
可以在课堂上组织开题交流,让每一个项目小组陈述初步测量方案,教师和
其他同学可以提出质疑.例如:
如果有学生提出要通过测量仰角计算高度,教师可以追问:怎么测量?用什
么工具测量?目的是提醒学生,事先设计出有效的测量方法和选用实用的
测量仪器.
如果有学生提出要通过测量太阳的影长计算高度,教师可以追问:几时测量
与未来计算的关联.
在讨论的基础上,项目小组最终形成各自的测量方案.讨论的目的是让学生
(2)小组成员查阅有关资料,进行讨论交流,寻求测量效率高的方法,设计测
量方案(最好设计两套测量方案);
(3)分工合作,明确责任.例如,测量、记录数据、计算求解、撰写报告的分
工等;
(4)撰写报告,讨论交流.可以用照片、模型、PPT等形式展现获得的成果.
想的结果.
对上面的测量报告,教师和同学给出评价.例如,对测量方法,教师和种可行的测量方法;对测量
结果,教师评价为“良”,同学评价为“中”,因为两种方法得到的结果相差较大.
对测量结果的评价,教师和同学产生差异的原因是教师对测量过程的部分
项目实施加分,包括对自制测量仰角的工具等因素作了误差分析;同学则进
其中α,β,a,h如图所示.
两次测角法示意图
2.镜面反射法
(1)将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能够看到房顶的位置,测量
人与镜子的距离;
(2)将镜子后移a m,重复(1)中的操作;
(3)楼高
ℎ
x 的计算公式为 x=
.
2 -1
其中a1,a2是人与镜子的距离,a是两次观测时镜面之间的距离,h是人的“眼
根据上述要求,每个小组要完成以下工作:
(1)选题
(2)开题
可以在课堂上组织开题交流,让每一个项目小组陈述初步测量方案,教师和
其他同学可以提出质疑.例如:
如果有学生提出要通过测量仰角计算高度,教师可以追问:怎么测量?用什
么工具测量?目的是提醒学生,事先设计出有效的测量方法和选用实用的
测量仪器.
如果有学生提出要通过测量太阳的影长计算高度,教师可以追问:几时测量
与未来计算的关联.
在讨论的基础上,项目小组最终形成各自的测量方案.讨论的目的是让学生
数学建模PPT课件
“树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？”
二、相关的数学基础
• 线性规划 • 概率统计 • 图论 • 常微分方程 • 最优化理论
三、如何组队及合作
• 根据数学建模竞赛章程，三人组成一队，这 三人中必须一人数学基础较好，一人应用数学 软件（如Matlab,lindo,maple等）和编程（如 c,Matlab,vc++等）的能力较强，一人科技论文 写作的水平较好。科技论文的写作要求整篇论 文的结构严谨，语言要有逻辑性，用词要准确。
2
• 它要用到各方面的综合的知识，但还不限于 此．参赛选手不只是要有各方面的知识，还要 驾驭这些知识，应用这些知识处理实际问题的 能力。知识是无止境的，还必须有善于获得新 的知识的能力。总之，数学建模竟赛，既要比 赛各方面的综合知识，也要比赛各方面的综合 能力。它的特点就是综合，它的优点也是综合。 在这个意义上看，它与任何一个学科领域内的 纯知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优 点也就是不纯，综合就是不纯。
• 三人之间要能够配合得起来。若三人之间配 合不好，会降低效率，导致整个建模的失败。
• 如果可能的话，最好是数学好的懂得编程的 一些知识，编程好的了解建模，搞论文写作也
5
• 要了解建模，这样会合作得更好。因为 数学好的在建立模型方案时会考虑到编 程的便利性，以利于编程；编程好的能 够很好地理解模型，论文写作的能够更 好、更完全地阐述模型。否则会出现建 立的模型不利于编程，程序不能完全概 括模型，论文写作时会漏掉一些不经意 的东西。
• 于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计 方法。
• 4. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又 称为过程统计方法。
• 三、仿真和其他方法
• 1. 计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方 法，等效于抽样试验。
二、相关的数学基础
• 线性规划 • 概率统计 • 图论 • 常微分方程 • 最优化理论
三、如何组队及合作
• 根据数学建模竞赛章程，三人组成一队，这 三人中必须一人数学基础较好，一人应用数学 软件（如Matlab,lindo,maple等）和编程（如 c,Matlab,vc++等）的能力较强，一人科技论文 写作的水平较好。科技论文的写作要求整篇论 文的结构严谨，语言要有逻辑性，用词要准确。
2
• 它要用到各方面的综合的知识，但还不限于 此．参赛选手不只是要有各方面的知识，还要 驾驭这些知识，应用这些知识处理实际问题的 能力。知识是无止境的，还必须有善于获得新 的知识的能力。总之，数学建模竟赛，既要比 赛各方面的综合知识，也要比赛各方面的综合 能力。它的特点就是综合，它的优点也是综合。 在这个意义上看，它与任何一个学科领域内的 纯知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优 点也就是不纯，综合就是不纯。
• 三人之间要能够配合得起来。若三人之间配 合不好，会降低效率，导致整个建模的失败。
• 如果可能的话，最好是数学好的懂得编程的 一些知识，编程好的了解建模，搞论文写作也
5
• 要了解建模，这样会合作得更好。因为 数学好的在建立模型方案时会考虑到编 程的便利性，以利于编程；编程好的能 够很好地理解模型，论文写作的能够更 好、更完全地阐述模型。否则会出现建 立的模型不利于编程，程序不能完全概 括模型，论文写作时会漏掉一些不经意 的东西。
• 于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计 方法。
• 4. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又 称为过程统计方法。
• 三、仿真和其他方法
• 1. 计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方 法，等效于抽样试验。
数学建模ppt第一章.ppt
问题分析
多步决策过程
3名商人 3名随从
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员
要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河.
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk)~过程的状态
《数精学品课建程模》
描述、优化、预报、决策 … …
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
《数精学品课建程模》
1.6 怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则
想像力
洞察力
判断力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手，认真作几个实际题目
《数精学品课建程模》
第1章 作业
研究人口变化规律 控制人口过快增长
《数精学品课建程模》
常用的计算公式 今年人口 x0, 年增长率 r
k年后人口
x x (1 r)k
k
0
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
dx dt rx, x(0) x0
x(t t) x(t) rt x(t)
一、教材 P 22-23 ex 3(5); 9(3)
二、补充题：巧分蛋糕问题
专家估计
r=0.2557, xm=392.1
《数精学品课建程模》
阻滞增长模型(Logistic模型) 模型检验
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 ) x(1990 ) x x(1990 ) rx(1990 )[1 x(1990 ) / xm ]
数学建模——回归分析模型 ppt课件
有最小值：
n n i 1 i 1
i
2 2 ( y a bx ) i i i
ppt课件
ˆx ˆi a ˆ b y i
6
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a, b, 2估计
n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
数学建模——回归分析模型
Keep focused Follow me —Jiang
ppt课件
1
数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
ppt课件
2
数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型：
可决系数（判定系数） R 2 为:
可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。 ppt课件 通常可决 系数大于0.80即判定通过检验。 模型检验还有很多方法，以后会逐步接触
15
2 e ESS RSS i R2 1 1 TSS TSS (Yi Y )2
数学建模——回归分析模型
2 i i 1
残差平 方和
13
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— 估计 j 令上式 Q 对 j 的偏导数为零，得到正规方程组，
用线性代数的方法求解，求得值为：
ˆ ( X T X )1 X TY
ˆ 为矩阵形式，具体如下： 其中 X , Y ,
数学建模算法(共10张PPT)
• function [D,path]=floyd(a)
•
n=size(a,1);
• D=a;
• path=zeros(n,n);
• for i=1:n
•
for j=1:n
•
if D(i,j)~=inf
•
path(i,j)=j;
•
end
•
end
•
end
•
for k=1:n
•
for i=1:n
•
for j=1:n
数学建模算法
第1页，共10页。
• Dijkstra算法 • 1.定义概览 • Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算
法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径 。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到 扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最 短路径算法，在很多专业课程中都作为根本内容有 详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注 意该算法要求图中不存在负权边。 • 问题描述：在图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的 长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路 径。〔单源最短路径〕
•
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
•
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
•
path(i,j)=path(i,k);
•
end
•
end
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Floyd算法是一个经典的动态规划算法。 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。 Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。 主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。 所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明 从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的 最短路径的距离。 主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。 从任意一条单边路径开始。 D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); end path(i,j)=j; Floyd-Warshall算法〔Floyd-Warshall algorithm〕是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同 时也被用于计算有向图的传递闭包。 end 所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明 从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的 最短路径的距离。 所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，那么权为无穷大。 Floyd-Warshall算法〔Floyd-Warshall algorithm〕是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同 时也被用于计算有向图的传递闭包。 从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过假设干个节点k到j。
数学建模实例ppt课件
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
28
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
即每立方米受污染的水中含有Cm3 A
的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用
23
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
24
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： x 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
25
追线模型：
x
d2y dx2
k
1 dy 2 dx
由已知，T (0) 37 , T (t) 29 , T (t 1) 27 可得微分方程的特解：
T (t) 16 4 t 21 3
由T (t) 29，代入解得 t 2.4094
因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。
图1 尸体的温度
下降曲线
4
建立微分方程的常用方法
1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，
19
（1）问题分析与模型的建立
1、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物 质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量 成比例”。而C14的比例数为每年八千分之一。
2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所
以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？”
若设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12
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系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把
定性的思维和结论用定量的手段表示出来。 如：层次分析法。
2 建模步骤
模型准备
模型假设
模型检验 模型应用
模型分析
模型建立 模型求解
1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目 的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际 对象的特征。
有时需查资料或到有关单位了解情况等。
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•20=6.3
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•20=3.4
席位数 10 6 4
席位数 10 6 4
现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
为了在表决提案时避免可能出现10：10的平局，再设一个席 位。
21个席位的分配结果
系别 人数 所占比例
2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问 题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模 型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失 败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问 题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各 个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步 工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素， 尽量将问题均匀化、线性化。
120 10
12
12-10=2
B
100 10
10
C
1020 10
3）模型建立：
•分清变量类型，恰当使用数学工具；
•抓住问题的本质，简化变量之间的关系；
•要有严密的数学推理，模型本身要正确；
•要有足够的精确度。
4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理 以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方 法，计算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计 算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数 近似、有效数字等）。
4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。
5）按建模目的分
描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、
决策模型、控制模型等。
6）按对模型结构的了解程度分
白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括 力学、热学、电学等。
存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？
2 建模分析 目标：建立公平的分配方案。
反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。
系别 甲 乙 丙
人数 100 60 40
席位数 10 6 4
每席位代表的人数 100/10=10 60/6=10 40/4=10
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度
数学建模过程
现实对象的信
表述 数学模型
息
验 证
（归纳） （
求演 解绎
）
现实对象的 解释 数学模型的
解答
解答
现实对象与数学模型的关系
建立数学模型的方法和步骤
1 方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。
F ma
统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分
析，得到其内在的规律。 如：多元统计分析。
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570
席位数
11 7 3
现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。
模型的分类
1）按变量的性质分： 离散模型 确定性模型 线性模型 单变量模型 连续模型 随机性模型 非线性模型 多变量模型
2）按时间变化对模型的影响分
静态模型 动态模型
参数定常模型 参数时变模型
3）按模型的应用领域（或所属学科）分 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等。
三 产品的抽样检验
一 席位分配问题
某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，
丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各
有多少个席位？
1 问题的提出
按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则
mq p N
m 表示某单位的席位数 p 表示某单位的人数
N 表示总人数 q 表示总席位数
20个席位的分配结果
5）模型分析：结果分析、数据分析。 变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优 决策控制。
6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实 际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性 和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶 段性和部分性符合好。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。
甲 103 10 103/10=10.3
中
乙 63 6
63/6=10.5
差
丙 34 4
34/4=8.5
好
系别 人数 席位数 每席位代表的人数
甲 103 11 103/11=9.36
乙 63 7
63/7=9
丙 34 3
34/3=11.33
公平程度 中 好 差
一般地，
单位 人数
A
p1
B
p2
席位数
n1 n2
灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题， 包括生态、气象、经济、交通等。
黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现 象，如生命科学、社会科学等。
初等模型
初等模型是指可以用初等数学的方法来构 造和求解的模型。我们来建立以下四个问题 的数学模型。
我们来解决以下几个问题：
一 席位分配问题
二 核军备竞赛
每席位代表的人数
p1 n1
p2 n2
当
p1 p2 n1 n2
席位分配公平
但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来 判断。
1) p1 p2 称为“绝对不公平”标准。 n1 n2
此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。
单位 A
人数p 席位数n 每席位代 绝对不公 表的人数 平标准
系别 甲 乙 丙
人数 100 60 40
所占比例 100/200 60/200 40/200
分配方案 (50/100)•20=10 (30/100)•20=6 (20/100)•20=4
现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•20 =10.3
定性的思维和结论用定量的手段表示出来。 如：层次分析法。
2 建模步骤
模型准备
模型假设
模型检验 模型应用
模型分析
模型建立 模型求解
1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目 的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际 对象的特征。
有时需查资料或到有关单位了解情况等。
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•20=6.3
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•20=3.4
席位数 10 6 4
席位数 10 6 4
现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
为了在表决提案时避免可能出现10：10的平局，再设一个席 位。
21个席位的分配结果
系别 人数 所占比例
2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问 题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模 型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失 败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问 题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各 个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步 工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素， 尽量将问题均匀化、线性化。
120 10
12
12-10=2
B
100 10
10
C
1020 10
3）模型建立：
•分清变量类型，恰当使用数学工具；
•抓住问题的本质，简化变量之间的关系；
•要有严密的数学推理，模型本身要正确；
•要有足够的精确度。
4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理 以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方 法，计算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计 算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数 近似、有效数字等）。
4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。
5）按建模目的分
描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、
决策模型、控制模型等。
6）按对模型结构的了解程度分
白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括 力学、热学、电学等。
存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？
2 建模分析 目标：建立公平的分配方案。
反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。
系别 甲 乙 丙
人数 100 60 40
席位数 10 6 4
每席位代表的人数 100/10=10 60/6=10 40/4=10
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度
数学建模过程
现实对象的信
表述 数学模型
息
验 证
（归纳） （
求演 解绎
）
现实对象的 解释 数学模型的
解答
解答
现实对象与数学模型的关系
建立数学模型的方法和步骤
1 方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。
F ma
统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分
析，得到其内在的规律。 如：多元统计分析。
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570
席位数
11 7 3
现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。
模型的分类
1）按变量的性质分： 离散模型 确定性模型 线性模型 单变量模型 连续模型 随机性模型 非线性模型 多变量模型
2）按时间变化对模型的影响分
静态模型 动态模型
参数定常模型 参数时变模型
3）按模型的应用领域（或所属学科）分 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等。
三 产品的抽样检验
一 席位分配问题
某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，
丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各
有多少个席位？
1 问题的提出
按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则
mq p N
m 表示某单位的席位数 p 表示某单位的人数
N 表示总人数 q 表示总席位数
20个席位的分配结果
5）模型分析：结果分析、数据分析。 变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优 决策控制。
6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实 际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性 和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶 段性和部分性符合好。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。
甲 103 10 103/10=10.3
中
乙 63 6
63/6=10.5
差
丙 34 4
34/4=8.5
好
系别 人数 席位数 每席位代表的人数
甲 103 11 103/11=9.36
乙 63 7
63/7=9
丙 34 3
34/3=11.33
公平程度 中 好 差
一般地，
单位 人数
A
p1
B
p2
席位数
n1 n2
灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题， 包括生态、气象、经济、交通等。
黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现 象，如生命科学、社会科学等。
初等模型
初等模型是指可以用初等数学的方法来构 造和求解的模型。我们来建立以下四个问题 的数学模型。
我们来解决以下几个问题：
一 席位分配问题
二 核军备竞赛
每席位代表的人数
p1 n1
p2 n2
当
p1 p2 n1 n2
席位分配公平
但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来 判断。
1) p1 p2 称为“绝对不公平”标准。 n1 n2
此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。
单位 A
人数p 席位数n 每席位代 绝对不公 表的人数 平标准
系别 甲 乙 丙
人数 100 60 40
所占比例 100/200 60/200 40/200
分配方案 (50/100)•20=10 (30/100)•20=6 (20/100)•20=4
现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•20 =10.3