数学建模过程.ppt

4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。
5）按建模目的分
描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、
决策模型、控制模型等。
6）按对模型结构的了解程度分
白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括 力学、热学、电学等。
三 产品的抽样检验
一 席位分配问题
某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，
丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各
有多少个席位？
1 问题的提出
按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则
mq p N
m 表示某单位的席位数 p 表示某单位的人数
N 表示总人数 q 表示总席位数
20个席位的分配结果
3）模型建立：
•分清变量类型，恰当使用数学工具；
•抓住问题的本质，简化变量之间的关系；
•要有严密的数学推理，模型本身要正确；
•要有足够的精确度。
4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理 以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方 法，计算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计 算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数 近似、有效数字等）。
5）模型分析：结果分析、数据分析。 变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优 决策控制。
6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实 际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性 和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶 段性和部分性符合好。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。
存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？
2 建模分析 目标：建立公平的分配方案。
反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。
系别 甲 乙 丙
人数 100 60 40
席位数 10 6 4
每席位代表的人数 100/10=10 60/6=10 40/4=10
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度
灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题， 包括生态、气象、经济、交通等。
黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现 象，如生命科学、社会科学等。
初等模型
初等模型是指可以用初等数学的方法来构 造和求解的模型。我们来建立以下四个问题 的数学模型。
我们来解决以下几个问题：
一 席位分配问题
二 核军备竞赛
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•20=6.3
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•20=3.4
席位数 10 6 4
席位数 10 6 4
现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
为了在表决提案时避免可能出现10：10的平局，再设一个席 位。
21个席位的分配结果
系别 人数 所占比例
甲 103 10 103/10=10.3
中
乙 63 6
63/6=10.5
差
丙 34 4
34/4=8.5
好
系别 人数 席位数 每席位ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ表的人数
甲 103 11 103/11=9.36
乙 63 7
63/7=9
丙 34 3
34/3=11.33
公平程度 中 好 差
一般地，
单位 人数
A
p1
B
p2
席位数
n1 n2
系别 甲 乙 丙
人数 100 60 40
所占比例 100/200 60/200 40/200
分配方案 (50/100)•20=10 (30/100)•20=6 (20/100)•20=4
现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•20 =10.3
120 10
12
12-10=2
B
100 10
10
C
1020 10
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570
席位数
11 7 3
现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。
系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把
定性的思维和结论用定量的手段表示出来。 如：层次分析法。
2 建模步骤
模型准备
模型假设
模型检验 模型应用
模型分析
模型建立 模型求解
1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目 的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际 对象的特征。
有时需查资料或到有关单位了解情况等。
每席位代表的人数
p1 n1
p2 n2
当
p1 p2 n1 n2
席位分配公平
但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来 判断。
1) p1 p2 称为“绝对不公平”标准。 n1 n2
此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。
单位 A
人数p 席位数n 每席位代 绝对不公 表的人数 平标准
2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问 题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模 型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失 败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问 题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各 个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步 工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素， 尽量将问题均匀化、线性化。
模型的分类
1）按变量的性质分： 离散模型 确定性模型 线性模型 单变量模型 连续模型 随机性模型 非线性模型 多变量模型
2）按时间变化对模型的影响分
静态模型 动态模型
参数定常模型 参数时变模型
3）按模型的应用领域（或所属学科）分 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等。
数学建模过程
现实对象的信
表述 数学模型
息
验 证
（归纳） （
求演 解绎
）
现实对象的 解释 数学模型的
解答
解答
现实对象与数学模型的关系
建立数学模型的方法和步骤
1 方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。
F ma
统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分
析，得到其内在的规律。 如：多元统计分析。