人教版_2021年中考数学二轮复习--几何综合题(附答案)
中考数学第二轮复习专题(14个)
中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。
4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
专题4.5圆---利用“瓜豆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
上述模型在数学江湖中也被称作“捆绑动点轨迹模型”
Q
强化训练
“瓜豆”模型
提升能力
1.如图,正方形ABCD中,AB=12,E是BC边上一点,CE=7,F是正方形内部一点,
且EF=3,连接EF,DE,DF,并将△DEF绕点D逆时针旋转90º得到△DMN(点M,N
10
分别为点E,F的对应点),连接CN,则CN长度的最小值为_____.
2
2
E G
D
A
圆型运动轨迹
典例精讲
考点2-2
【引例】如图,已知A是⊙O外一点,P是⊙O上的动点,线段AP的中点为Q,连
接OA,OP.若⊙O的半径为2,OA=4,则线段OQ的最小值是(
A.0
B.1
C.2
B )
D.3
【思考】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？
解：连接AO,取AO的中点M,连接QM,PO.
O
A
(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠OAM=∠PAQ；
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q
与P的关系相当于旋转+伸缩.
古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.种圆得圆,种线得线,谓之“瓜豆模型”.
2
倍而得到的,所以点P所在圆的圆心绕点A逆时针旋转90º，
再乘以 2 就是点C所在圆的圆心B´,而半径也缩小
2
2倍,
2
即 2 .根据点圆最值模型,可知：BB´-CB´≤BC≤BB´+CB´,
即3 2 ≤BC≤ 5 2 ,因此最大值与最小值的差为 3 2 .
几何综合(解析版)--中考数学抢分压轴题秘籍(全国通用)
几何综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）几何综合问题在中考中以填空题和解答题的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变换的性质和二次函数的最值等相关知识，以及分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①几何图形中的线段最值问题②探究图形面积的分割问题；③探究图形面积的最值问题.右图为几何综合问题中各题型的考查热度.题型1：线段最值问题①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题解题模板：1.（2021秋•白云区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出符合题意的图形，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，利用勾股定理即可求得结论．【解答】解：由题意，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，如图，由对称性可知：圆心O在AC上．AC＝＝4．∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥EC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°．∴△OEC为等腰直角三角形．∴OC＝OE＝．∴CG＝OC﹣OG＝﹣1．∴AG＝AC﹣CG＝4﹣（﹣1）＝3+1．故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接OE，利用切线的性质得到OE⊥EC是解题的关键．【变式1-1】（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．【分析】（1）要证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；（2）根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴，∴，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如图2所示，同理可得，FN＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，∴，即，解得，AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．综上所述：GE的长为：，5．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2.（2022春•广陵区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是4．【分析】过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，根据菱形的性质得到AB＝BC，BO 平分∠ABC，AO⊥BD，再判断△ABC为等边三角形得到∠ABC＝∠ACB＝60°，则∠OBC＝30°，所以PH＝BP，则MP+PB＝MP+PH，所以MP+PH的最小值为MN的长，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出MN即可．【解答】解：过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，∵AB＝AC＝10，∴AB＝AC＝BC＝10，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBC＝30°，∴PH＝BP，∴MP+PB＝MP+PH，当M、P、H共线时，MP+PH的值最小，即MP+PH的最小值为MN的长，∵AM＝2，∴CM＝10﹣2＝8，在Rt△MNC中，∵∠MCN＝60°，∴CN＝CM＝4，∴MN＝CN＝4，即MP+PB的最小值为4．故答案为：．【点评】本题考查了胡不归问题：利用垂线段最短解决最短路径问题，把PB转化为PH是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和等边三角形的性质．【变式2-1】（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，首先得出BD＝4，AD＝3，根据sin∠ABD＝，得EP＝，则PC+PB的最小值为PC+PE的最小值，即求CH的长，再通过等积法即可解决问题．【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵sin A＝＝，AB＝5，∴BD＝4，由勾股定理得AD＝，∴sin∠ABD＝，∴EP＝，∴PC+PB＝PC+PE，即点C、P、E三点共线时，PC+PB最小，∴PC+PB的最小值为CH的长，＝，∵S△ABC∴4×4＝5×CH，∴CH＝．∴PC+PB的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，垂线段最短、勾股定理等知识，将PC+PB的最小值转化为求CH的长，是解题的关键．3.（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的纵坐标为．【分析】根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E （0，2），求得直线EC的解析式为y＝x+2，解方程组即可得到结论．【解答】解：∵∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解，得，∴P（，），故答案为：．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．【变式3-1】（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x 轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为（﹣，0）．【分析】在BC上截取BH＝3，可证四边形BHEF是平行四边形，可得BF＝EH，由对称性可得DE＝D'E，则四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，由EF和BD是定值，则当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF 的周长有最小值，即当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，利用待定系数法可求HD'解析式，即可求解．【解答】解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四边形BHEF是平行四边形，∴BF＝EH，∵点D与点D'关于x轴对称，∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，∵点B（﹣4，6），∴点H（﹣1，6），设直线D'H的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，∴当y＝0时，x＝﹣，∴点E（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，确定点E的位置是解题的关键．4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE＝1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是．【分析】根据题意得出作EF∥AC且EF＝，连接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：作EF∥AC且EF＝，连接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，延长DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN平移至E′F′处，则四边形MNE′F′为平行四边形，则当BM+EN＝BM+FM＝BF′时四边形BMNE的周长最小，由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴＝，∴＝，解得：PQ＝，∴PC＝，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝＝．故答案为．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M，N的位置是解题关键．【变式4-1】如图，已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A（1，3），B（m，0），C（m+2，0），D（5，1），当四边形ABCD的周长最小时，m的值为．【分析】因为AD，BC的长度都是固定的，所以求出AB+CD的长度就行了．问题就是AB+CD什么时候最短．把D点向左平移2个单位到D′点；作D′关于x轴的对称点D″，连接AD″，交x轴于P，从而确定C点位置，此时AB+CD最短．设直线AD″的解析式为y＝kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得m的值．【解答】解：将C点向左平移2单位与B重合，点D向左平移2单位到D′（3，1），作D′关于x轴的对称点D″，根据作法知点D″（3，﹣1），设直线AD″的解析式为y＝kx+b，则，解得k＝﹣2，b＝5．∴直线AD″的解析式为y＝﹣2x+5．当y＝0时，x＝，即B（，0），m＝．故答案为：．【点评】考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是熟悉关于x轴的对称点，两点之间线段最短等知识．题型2：面积平分问题解题模板：技巧精讲1：利用中线平分图形面积的方法2.利用对称性平分图形面积的方法5.（1）问题提出：如图（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为AC上一点且AD＝2，过点D作直线DE交△ABC于点E，使得△ABC被分成面积相等的两部分，则DE的长为2．（2）类比发现：如图（2），五边形ABOCD，各顶点坐标为：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C （4，0），D（4，2）请你找出一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD分为面积相等的两部分，求出该直线对应的函数表达式．（3）如图（3），王叔叔家有一块四边形菜地ABCD，他打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD 分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD ＝90°过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分？若存在，求出平分该四边形面积的线段长：若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF于O．证明DE平分△ABC的面积，利用平行线分线段成比例定理求出CE即可解决问题．（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，求出点M的坐标即可解决问题．（3）先求出四边形ABCD的面积，即可得出四边形ABQD的面积，从而求出QM，再用平行线分线段成比例定理求出BM，即可得出DM，最后用勾股定理即可．【解答】解：（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF 于O．∵AF＝FC，＝S△BFC，∴S△AFB∵BD∥EF，＝S△BDF，∴S△BDE＝S△BOE，∴S△DFO＝S四边形ABED，∴S△ECD∴DE平分△ABC的面积，∵AC＝8，AD＝2，∴AF＝CF＝4，DF＝2，∵EF∥BD，∴＝，∴＝，∴CE＝4，∴DE＝＝＝2，故答案为2．（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，∵直线AO的解析式为y＝x，∴直线BE解析式为y＝x+2，∴点E坐标（﹣，0），∵直线AC的解析式为y＝﹣4x+16，∴直线DF的解析式为y＝﹣4x+18，∴点F坐标为（，0）∴EF的中点M坐标为（，0），∴直线AM的解析式为：y＝x﹣4．（3）如图3中，连接BD，AC交于点O．在BC上取一点Q，过Q作QM⊥BD，∵AB＝AD＝200、BC＝CD＝200，∴AC是BD的垂直平分线，在Rt△ABD中，BD＝AB＝200，∴DO＝BO＝OA＝100，在Rt△BCO中，OC＝＝300，＝S△ABD+S△CBD＝BD×（AO+CO）＝×200×（100+300）＝80000，∴S四边形ABCD∵在一条过点D的直线将筝形ABCD的面积二等分，＝S四边形ABCD＝40000，∴S四边形ABQD＝×BD×OA＝20000，∵S△ABD＝BD×QM＝×200×QM＝100QM＝S四边形ABQD﹣S△ABD＝20000，∴S△QBD∴QM＝100，∵QM∥CO．∴＝，∴＝，∴BM＝，∴DM＝BD﹣BM＝，在Rt△MQD中，DQ＝＝＝．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，几何作图，勾股定理，等积问题等知识，解题的关键是把多边形转化为三角形是解决问题的关键，记住三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．【变式5-1】（2022•江北区模拟）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．解决问题：（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是三角形的中线；②如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，DC上，连接EF，与AD交于＝S△DGF，则EF是（填“是”或“不是”）△ABC的一条二分线．点G．若S△AEG（2）如图2，四边形ABCD中，CD平行于AB，点G是AD的中点，射线CG交射线BA于点E，取EB 的中点F，连接CF．求证：CF是四边形ABCD的二分线．（3）如图3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，EF是四边形ABDE的一条二分线，求DF的长．【分析】（1）①由平面图形的二分线定义可求解；②由面积的和差关系可得S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，可得EF是△ABC的一条二分线；＝S△CEF，由AB∥DC，G是AD的中点，证明△CDG≌△EAG，所（2）根据EB的中点F，所以S△CBF＝S△CEF，所以S四边形AFCD＝S△CBF，可得CF是四边形ABCD的二分线；以S四边形AFCD＝S△DEC＝S△ABE，可得S△HED＝（3）延长CB使BH＝CD，连接EH，通过全等三角形的判定可得S△BEHS四边形ABDE，即可得DF＝DH＝．【解答】解：（1）∵三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；∴三角形的中线是三角形的二分线，故答案为三角形的中线②∵AD是BC边上的中线＝S△ACD＝S△ABC，∴S△ABD＝S△DGF，∵S△AEG+S△AEG＝S四边形BDGE+S△DGF，∴S四边形BDGE＝S△ABD＝S△ABC，∴S△BEF∴EF是△ABC的一条二分线故答案为：是（2）∵EB的中点F，＝S△CEF，∴S△CBF∵AB∥DC，∴∠E＝∠DCG，∵G是AD的中点，∴DG＝AG，在△CDG和△EAG中，∴△CDG≌△EAG（AAS），＝S△DCG，∴S△AEG＝S△CEF，∴S四边形AFCD＝S△CBF，∴S四边形AFCD∴CF是四边形ABCD的二分线．（3）如图，延长CB使BH＝CD，连接EH，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，∵BC＝7∴BD+CD＝7∴BD+BH＝7＝HD∵∠BED＝∠A，∠BED+∠DEC＝∠A+∠ABE∴∠ABE＝∠CED，且AB＝CE＝7，∠A＝∠C∴△ABE≌△CED（ASA）＝S△EDC，∴AE＝CD，BE＝DE，∠AEB＝∠EDC，S△ABE∴AE＝BH，∵∠CBE＝∠CEB∴∠AEB＝∠EBH∴∠EBH＝∠EDC，且BE＝DE，BH＝CD∴△BEH≌△DEC（SAS）、＝S△DEC，∴S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，∴S△BEH＝S四边形ABDE，∴S△HED∵EF是四边形ABDE的一条二分线，＝S四边形ABDE＝S△HED，∴S△DEF∴DF＝DH＝【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是本题的关键．【变式5-2】（2021•西安一模）问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究（2）如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图③，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将△ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出△AOM与△BON的面积相等；（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，交OA于点G，则△OBG的面积等于△AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为△BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．【解答】解：（1）如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝，∵点D为BC的中点，∴AD＝BC＝．＝S△BON，理由如下：（2）S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB，由图可知，S△AOM如图②，过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E，∴MD∥NE，∠MDE＝90°，又∵MN∥DE，∴四边形MDEN是矩形，∴MD＝NE，＝，S△ABN＝，∵S△ABM＝S△ABN，∴S△ABM＝S△BON．∴S△AOM（3）存在，直线BP的表达式为：y＝x+4．如图③，连接AB，过点O作OF∥AB，交CA的延长线于点F，交OA于点G，＝S△AFG，由（2）的结论可知，S△OBG＝S△BCF，∴S四边形OACB取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求．∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），∴线段AB所在直线表达式为：y＝﹣x+4，线段AC所在直线的表达式为：y＝3x﹣12，∴直线OF的表达式为：y＝﹣x，联立，解得，∴F（3，﹣3），∵点P是CF的中点，∴P（，），∴直线BP的表达式为：y＝x+4．【点评】主要考查了勾股定理，中点的性质，面积转化以及待定系数法求一次函数表达式等内容，熟练掌握勾股定理的内容，中点性质的应用，作出辅助线，进行面积的转化是解答本题的关键．题型3：面积最值问题6.（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴△AMB∽△CGB，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，∵ED＝DC，∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，∴△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，＝＝＝，∴S△BDE当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．；【变式6-1】（1）如图①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面积S△ABC；（2）如图②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面积S△ABC（3）如图③，四边形ABCD，AC＝m，BD＝n，对角线AC交于O点，他们所成锐角为β，求四边形ABCD ．的面积S四边形ABCD【分析】（1）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（2）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（3）过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，解直角三角形求出AE、CF，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：（1）如图①，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC＝90°，∵∠C＝60°，AC＝4，∴AM＝AC×sin60°＝4×＝2，∵BC＝6，＝×BC×AM＝×6×2＝6；∴△ABC的面积S△ABC（2）如图②，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC＝90°，∵∠C＝α，AC＝b，∴AM＝AC×sinα＝b×sinα＝b sinα，∵BC＝a，＝×BC×AM＝×a×b sinα＝ab sinα；∴△ABC的面积S△ABC（3）如图3，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，BD＝n，OA+OC＝m，∵AC、BD夹角为β，∴AE＝OA•sinβ，CF＝OC•sinβ，＝S△ABD+S△BDC∴S四边形ABCD＝BD•AE+BD•CF＝BD•（AE+CF）＝BD•（OA•sinβ+OC•sinβ）＝BD•AC•sinβ＝mn sinβ．＝mn sinβ．即四边形ABCD的面积S四边形ABCD【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积的应用，此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．【变式6-2】如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，证出∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG，得出∠DCG＝∠DAE＝90°，证出∠DCG+∠DCB＝180°，即可得出结论；（2）分情况讨论：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，则AC∥EK∥AD，证明△ADE∽△BEH，由相似三角形的性质得出＝，求出BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积，即可得出结果；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝4﹣x；（3）由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠DCG+∠DCB＝180°，∴点G在直线BC上；（2）解：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，如图1所示：则AC∥EK∥AD，∴∠HEK＝∠EHB，∠DEK＝∠EDA，∵∠EHB+∠BEH＝90°，∠EDA+∠AED＝90°，∠HEK+∠DEK＝90°，∴∠EDA＝∠BEH，∠AED＝∠EHB，∴△ADE∽△BEH，∴＝，即＝，∴BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积＝2×2﹣×2×x﹣×（2﹣x）×＝；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝×2×（4﹣x）＝4﹣x；（3）解：由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；∵BD＝＝＝2，∴BF+FG＝2BD＝4，∴点F运动的路径长为4．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．1．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD＝60°，连接BD，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且AE＝BF，连接DE、DP、EF．（1）如图①，当点E是边AB的中点时，求∠EDF的度数；（2）如图②，当点E是边AB上任意一点时，∠EDF的度数是否发生改变？若不改变，请证明；若发生改变，请说明理由；（3）若点P是线段BD上一动点，求PF+DP的最小值．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，可证△ABD，△BCD 是等边三角形，由等边三角形的性质可证DE＝DF，∠EDF＝60°，可得结论；（2）证明△ADE≌△BDF（SAS），根据全等三角形的性质得∠ADE＝∠BDF，由角的和差即可得∠EDF ＝∠ADB＝60°；（3）过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG′⊥AD于点G′，交BD于点P′，可得GP＝DP•sin60°＝DP，则PF+DP＝PF+GP，当点F、P、G三点共銭，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG′的长，过点D作DH⊥BC于点H，则DH＝FG'，PF+DP的最小值即为DH的长，由△BDC是等边三角形可得DH＝CD•sin60°＝3，即可求得PF+DP的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，边长为6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD，△BCD是等边三角形，∵点E是边AB的中点，AE＝BF，∴点F是边BC的中点，∴∠ADE＝∠BDE＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴∠EDF＝∠BDE+∠BDF＝60°；（2）∠EDF的度数不改变，证明：△ABD，△BCD是等边三角形，∴AD＝BD，∠DAB＝∠DBC＝60°，∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴∠ADE＝∠BDF，∴∠EDF＝∠ADB＝60°；（3）如图，过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG′⊥AD于点G′，交BD于点P′，∵∠ADB＝60°，∴GP＝DP•sin60°＝DP，∴PF+DP＝PF+GP，∴当点F、P、G三点共銭，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG′的长，过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴DH＝FG'，∴PF+DP的最小值即为DH的长，∵DH⊥BC，△BDC是等边三角形，∴DH＝CD•sin60°＝3，∴PF+DP的最小值为3．【点评】本题考查了四边形的综合应用，掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，最短路径等知识，添加恰当辅助线构造构造在直角三角形是解本题的关键．2．（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．【分析】（1）先证明四边形DBCE是平行四边形，再由BE⊥DC，得四边形DBCE是菱形；（2）作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，可得PM+PN＝PM+PN'，即知MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，可得DH＝DB•sin∠DBC＝，即可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延长线上，∴DE∥BC，∴四边形DBCE是平行四边形，∵BE⊥DC，∴四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，∴DH＝DB•sin∠DBC＝2×＝，∴PM+PN的最小值为．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及菱形的判定，等边三角形性质及应用，对称变换等，解题的关键是掌握解决“将军饮马”模型的方法．3．（2014•海南）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x 轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF＝PM2最小．【解答】方法一：解：（1）∵对称轴为直线x＝2，∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k．将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5．（2）当a＝1时，E（1，0），F（2，0），OE＝1，OF＝2．设P（x，﹣x2+4x+5），如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN＝x，ON＝﹣x2+4x+5，∴MN＝ON﹣OM＝﹣x2+4x+4．S四边形MEFP＝S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME＝（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE＝（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+∴当x＝时，四边形MEFP的面积有最大值为，把x＝时，y＝﹣（﹣2）2+9＝．此时点P坐标为（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3．令y＝﹣x2+4x+5＝3，解得x＝2±．∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF＝PM2最小．设直线PM2的解析式为y＝mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，解得：m＝，n＝﹣，∴y＝x﹣．当y＝0时，解得x＝．∴F（，0）．∵a+1＝，∴a＝．∴a＝时，四边形PMEF周长最小．方法二：（1）略．（2）连接MF，过点P作x轴垂线，交MF于点H，有最大值时，四边形MEFP面积最大．显然当S△PMF当a＝1时，E（1，0），F（2，0），∵M（0，1），∴l MF：y＝﹣x+1，设P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣t+1），＝（P Y﹣H Y）（F X﹣M X），∴S△PMF＝（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）＝﹣t2+t+4，∴S△PMF最大值为，∴当t＝时，S△PMF＝EF×MY＝×1×1＝，∵S△MEF的最大值为+＝，∴S四边形MEFP∴P（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+4x+5＝0，解得：x＝2±，∵点P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF长度固定，当ME+PF最小时，PMEF的周长取得最小值，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1），∵四边形MEFM1为平行四边形，∴ME＝M1F，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1），∴M2F＝M1F＝ME，当且仅当P，F，M2三点共线时，此时ME+PF＝PM2最小，∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F（a+1，0），∴K PF＝K M1F，∴，∴a＝．【点评】本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称﹣最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．4．（2021•靖江市校级一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，若AE＝2，则求EF的长．（请从“线段的长度或线段的位置关系”的方向设计条件及问题，并解答）【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3＝EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．【解答】若AE＝2．则求EF的长．解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得：EF＝＝＝2．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．5．（2012•新密市自主招生）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF＝4，则△DEF面积的最大值为．【分析】首先过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，由菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，即＝DE•FG）＝﹣（x﹣2）2+，可求得AD＝CD＝4，∠FDG＝60°，然后设AE＝x，即可得S△DEF然后根据二次函数的性质，即可求得答案．【解答】解：过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，∴∠FDG＝180°﹣∠ADB＝60°，设AE＝x，∵AE+CF＝4，∴CF＝4﹣x；∴DE＝AD﹣AE＝4﹣x，DF＝CD﹣CF＝4﹣（4﹣x）＝x，在Rt△DFG中，FG＝DF•sin∠GDF＝x，＝DE•FG＝×（4﹣x）×x＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+，∴S△DEF∴当x＝2时，△DEF面积的最大，最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了菱形的性质、三角函数的性质以及二次函数的最值问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用．6．（2022•杭州模拟）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为等腰直角三角形，连接BD，BB′与CE的数量关系是BB'＝CE．（2）当0°＜α＜360°且a≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点E，C，D，B′为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE与B′E的数量关系．。
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用-综合题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用-综合题专训及答案解直角三角形的应用综合题专训1、(2018扬州.中考模拟) 有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示．已知箱体长AB=50cm，拉杆的伸长距离最大时可达35cm，点A，B，C在同一条直线上．在箱体底端装有圆形的滚轮⊙A，⊙A与水平地面MN相切于点D．在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平地面的距离CE为59cm．设AF∥MN．（1）求⊙A的半径长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感到较为舒服．某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE为80cm，=64°．求此时拉杆BC的伸长距离．（精确到1cm，参考数据：，，）2、(2017南京.中考模拟) 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．3、(2018嘉兴.中考模拟) 已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H．（1）如图1，求证：PQ=PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB=30 ，连接AG交PD于F，连接BF，tan∠BFE= ，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD=6 ，连接QG交BC于点M，求QM的长．4、(2019金华.中考真卷) 如图，在OABC，以O为图心，OA为半径的圆与C相切于点B，与OC相交于点D．（1）求的度数。
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F。
若EF=AB，求∠OCE的度数．5、(2019包河.中考模拟) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，EO⊥AB，垂足为O，EO交AC于E，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D．（1）求证：∠AEO+∠BCD=90°；（2）若AC=CD=3，求⊙O的半径。
备考2023年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数系数k的几何意义-综合题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数系数k的几何意义-综合题专训及答案反比例函数系数k的几何意义综合题专训1、(2014苏州.中考真卷) 如图，已知函数y= （x＞0）的图象经过点A、B，点A 的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C 作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．（1）求△OCD的面积；（2）当BE= AC时，求CE的长．2、(2017重庆.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A（1，2）和点B（m，n）（m＞1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．（1）求该反比例函数解析式；（2）当△ABC面积为2时，求点B的坐标．（3） P为线段AB上一动点（P不与A、B重合），在（2）的情况下，直线y=ax ﹣1与线段AB交于点P，直接写出a的取值范围．3、(2018吴中.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0），B（0，1）．（1）求点C的坐标；（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式．（3）若把上一问中的反比例函数记为y1，点B′，C′所在的直线记为y2，请直接写出在第一象限内当y1＜y2时x的取值范围．4、(2018深圳.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF =4S△DFO，求点D的坐标．5、(2018潘集.中考模拟) 如图，点C在反比例函数y= 的图象上，过点C作CD⊥y 轴，交y轴负半轴于点D，且△O DC的面积是3．（1）求反比例函数y= 的解析式；（2）若CD=1，求直线OC的解析式．6、(2018高安.中考模拟) 已知矩形ABCD的长AB=2，AB边与x轴重合，双曲线y= 在第一象限内经过D点以及BC的中点E．（1）求A点的横坐标；（2）连接ED，若四边形ABED的面积为6，求双曲线的函数关系式．7、(2017新泰.中考模拟) 已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b ＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q 也在该函数y=kx+b的图象上．（1） k的值是；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y= 图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若= ，则b的值是．8、(2021镇江.中考模拟) 如图1，直线l交x轴于点C，交y轴于点D，与反比例=3函数y= （k＞0）的图象交于两点A、E，AG⊥x轴，垂足为点G，S△ADG（1）k=；（2）求证：AD=CE；（3）如图2，若点E为平行四边形OABC的对角线AC的中点，求平行四边形OABC的面积．9、(2017聊城.中考真卷) 如图，分别位于反比例函数y= ，y= 在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且= ．（1）求反比例函数y= 的表达式；（2）过点A作x轴的平行线交y= 的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．10、(2019九江.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF =4S△DFO，求点D的坐标．11、(2017西华.中考模拟) 如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，点F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y= 的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？12、(2017黄冈.中考模拟) 如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B在函数y= （k＞0，x＞0）的图象上点P（m，n）是函数图象上任意一点，过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足分别为E，F．并设矩形OEPF和正方形OABC 不重合的部分的面积为S．（1）求k的值；（2）当S= 时，求P点的坐标；（3）写出S关于m的关系式．13、(2019花都.中考模拟) 如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（k＜0，x＞0）的图象上．点B的横坐标为4，且点B在直线y＝x﹣5上．（1）求k的值；（2）若OA⊥OB，求tan∠ABO的值．14、(2020.中考模拟) 如图，抛物线L: （常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线于点P，且OA·MP=12.（1）求k值；（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围.15、如图，点在反比例函数的图象上，轴于点M，点B是反比例函数的图象上一动点，过点作轴于点N．（1）求反比例函数的解析式．（2）连接MN，BM．小华说：“当时，随着的增大而减小．”你同意小华的说法吗?请说明理由．反比例函数系数k的几何意义综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
中考数学二轮复习 专题二 解答重难点题型突破 题型六 二次函数与几何图形综合题试题-人教版初中九年级
题型六 二次函数与几何图形综合题类型一 二次函数与图形判定1．(2017·某某)在同一直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2－2x －3与抛物线C 2：y ＝x 2＋mx ＋n 关于y 轴对称，C 2与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 在点B 的左侧．(1)求抛物线C 1，C 2的函数表达式； (2)求A 、B 两点的坐标；(3)在抛物线C 1上是否存在一点P ，在抛物线C 2上是否存在一点Q ，使得以AB 为边，且以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·随州)在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为__________，点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．(2017·某某模拟)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2016·某某)如图①，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线PD ，过点B 作BD⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图②，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标.类型二 二次函数与图形面积1．(2017·某某)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．2．(2017·某某)如图甲，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).3．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y 轴交于点C，且其对称轴l为x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某模拟)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为x＝1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝x＋1经过A，且与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式．(2)如图②，点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点(不含B，C两点)，设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？(3)如图③，将△ODB沿直线y＝x＋1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分，请直接写出此时平移的距离．类型三二次函数与线段问题1．(2017·某某)如图，已知抛物线y＝ax2－23ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；(3)证明：当直线l绕点D旋转时，1AM ＋1AN均为定值，并求出该定值．2．(2017·某某模拟)如图①，直线y ＝34x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0，－1)，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点B ，点C 的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D 在抛物线上，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，且四边形DFEG 为矩形，设点D 的横坐标为x(0＜x ＜4)，矩形DFEG 的周长为l ，求l 与x 的函数关系式以及l 的最大值；(3)将△AOB 绕平面内某点M 旋转90°或180°，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A 1的横坐标.3．(2017·某某)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.类型四二次函数与三角形相似1．(2016·某某)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝－ax＋c相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．(1)直线的表达式为__________；抛物线的表达式为__________；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标.3．如图①，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋33经过A(3，0)，G(－1，0)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM 面积的最大值；(3)抛物线的对称轴交x 轴于点P ，过点E(0，233)作x 轴的平行线，交AB 于点F ，是否存在着点Q ，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y＝错误!x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△Q与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.题型六第23题二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定1．解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2－2x－3，C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3；(2)在C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3中，令y＝0可得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3)存在．设P(a ，b)，则Q(a ＋4，b)或(a －4，b)， ①当Q(a ＋4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a ＋4)2＋2(a ＋4)－3， 解得a ＝－2，∴b ＝a 2－2a －3＝4＋4－3＝5， ∴P 1(－2，5)，Q 1(2，5)． ②当Q(a －4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a －4)2＋2(a －4)－3， 解得a ＝2.∴b ＝4－4－3＝－3， ∴P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3)．综上所述，所求点的坐标为P 1(－2，5)，Q 1(2，5)； P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3). 2．解：(1)∵抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23， ∴其梦想直线的解析式为y ＝－233x ＋233，联立梦想直线与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－233x ＋233y ＝－233x 2－433x ＋23，解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0，∴A(－2，23)，B(1，0)；(2)当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形， 如解图①，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则AD ＝2，在y ＝－233x 2－433x ＋23中，令y ＝0可求得x ＝－3或x ＝1，∴C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴AC ＝（－2＋3）2＋（23）2＝13， 由翻折的性质可知AN ＝AC ＝13，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN ＝AN 2－AD 2＝13－4＝3， ∵OD ＝23，∴ON ＝23－3或ON ＝23＋3，当ON ＝23＋3时，则MN ＞OD ＞CM ，与MN ＝CM 矛盾，不合题意， ∴N 点坐标为(0，23－3)；当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP ⊥x 轴于点P ，如解图②，在Rt △AMD 中，AD ＝2，OD ＝23，∴tan ∠DAM ＝MDAD ＝3，∴∠DAM ＝60°，∵AD ∥x 轴，∴∠AMC ＝∠DAM ＝60°， 又由折叠可知∠NMA ＝∠AMC ＝60°， ∴∠NMP ＝60°，且MN ＝CM ＝3， ∴MP ＝12MN ＝32，NP ＝32MN ＝332，∴此时N 点坐标为(32，332)；综上可知N 点坐标为(0，23－3)或(32，332)；(3)①当AC 为平行四边形的边时，如解图③，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC ＝EF ，∴∠ACK ＝∠EFH ， 在△ACK 和△EFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACK ＝∠EFH ∠AKC ＝∠EHF AC ＝EF，∴△ACK ≌△EFH(AAS )， ∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝23，∵抛物线对称轴为x ＝－1，∴F 点的横坐标为0或－2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点横坐标为0时，则F(0，233)，此时点E 在直线AB 下方，∴E 到x 轴的距离为EH －OF ＝23－233＝433，即E 点纵坐标为－433，∴E(－1，－433)； 当F 点的横坐标为－2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去； ②当AC 为平行四边形的对角线时， ∵C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴线段AC 的中点坐标为(－52，3)，设E(－1，t)，F(x ，y)，则x －1＝2×(－52)，y ＋t ＝23，∴x ＝－4，y ＝23－t ，代入直线AB 解析式可得23－t ＝－233×(－4)＋233，解得t ＝－433，∴E(－1，－433)，F(－4，1033)；综上可知存在满足条件的点F ，此时E(－1，－433)、F(0，233)或E(－1，－433)、F(－4，1033).3．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －8a ＋c 4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝4， ∴所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2) 设点Q 的坐标为(m ，0)，如解图①，过点E 作EG ⊥x 轴于点G. 由－12x 2＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)，∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2，∵QE ∥AC ，∴△BQE ∽△BAC ，∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26，∴EG ＝2m ＋43，∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ·CO－12BQ·EG＝12(m ＋2)(4－2m ＋43)＝－13m 2＋23m ＋83＝－13(m－1)2＋3，又∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时Q(1，0)；图①图②(3)存在．在△ODF 中． (ⅰ)若DO ＝DF ，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2， 又∵在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°，此时，点F 的坐标为(2，2)， 由－12x 2＋x ＋4＝2，得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，此时，点P 的坐标为P(1＋5，2)或P(1－5，2)； (ⅱ)若FO ＝FD ，如解图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ， 由等腰三角形的性质得：OM ＝MD ＝1，∴AM ＝3， ∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F(1，3)， 由－12x 2＋x ＋4＝3，得x 1＝1＋3，x 2＝1－3，此时，点P 的坐标为：P(1＋3，3)或P(1－3，3)； (ⅲ)若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为22，而OF ＝OD ＝2＜22，与OF ≥22矛盾， ∴AC 上不存在点使得OF ＝OD ＝2，此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形． 综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3). 4．解：(1)∵点C(0，4)在直线y ＝－43x ＋n 上，∴n ＝4，∴y ＝－43x ＋4，令y ＝0，解得x ＝3，∴A(3，0)，∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)，∴c ＝－2，6＋3b －2＝0，解得b ＝－43，∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2；(2)∵点P 的横坐标为m ，且点P 在抛物线上， ∴P(m ，23m 2－43m －2)，∵PD ⊥x 轴，BD ⊥PD ，∴点D 坐标为(m ，－2)， ∴|BD|＝|m|，|PD|＝|23m 2－43m －2＋2|，当△BDP 为等腰直角三角形时，PD ＝BD ， ∴|m|＝|23m 2－43m －2＋2|＝|23m 2－43m|.∴m 2＝(23m 2－43m)2，解得：m 1＝0(舍去)，m 2＝72，m 3＝12，∴当△BDP 为等腰直角三角形时，线段PD 的长为72或12；(3)∵∠PBP′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5， ∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝35，①当点P′落在x 轴上时，如解图①，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P ′D ′＝PD ＝23m 2－43m ，在Rt △P ′D ′N 中，cos ∠ND ′P ′＝ND′P′D′＝cos ∠PBP ′＝35，∴ND ′＝35(23m 2－43m)，在Rt △BD ′M 中，BD ′＝－m ，sin ∠DBD ′＝D′M BD′＝sin ∠PBP ′＝45，∴D ′M ＝－45m ，∴ND ′－MD′＝2，∴35(23m 2－43m)－(－45m)＝2， 解得m ＝5(舍去)或m ＝－5，如解图②， 同①的方法得，ND ′＝35(23m 2－43m)，MD ′＝45m ，ND ′＋MD′＝2， ∴35(23m 2－43m)＋45m ＝2， ∴m ＝5或m ＝－5(舍去)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)，②当点P′落在y 轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x 轴，交BD 于M ，过点P′作P′N⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ， ∴∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，同①的方法得：P′N＝45(23m 2－43m)，BM ＝35m ，∵P ′N ＝BM ，∴45(23m 2－43m)＝35m ， 解得m ＝258或m ＝0(舍去)，∴P(258，1132)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)或P(258，1132).类型二 二次函数与图形面积1．解：(1)根据题意得A(－4，0)，C(0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b ＋c 2＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1，∴B(1，0)，如解图①，过D 作DM ∥y 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1S 2＝DE BE ＝DMBN ，设D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴M(a ，12a ＋2)，∵B(1，0)，∴N(1，52)，∴S 1S 2＝DMBN ＝－12a 2－2a 52＝－15(a ＋2)2＋45； ∴当a ＝－2时，S 1S 2有最大值，最大值是45；②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5， ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P(－32，0)，∴PA ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC)＝43，如解图②，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ， 情况一：∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12，即RC DR ＝12，令D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴DR ＝－a ，RC ＝－12a 2－32a ，∴－12a 2－32a －a ＝12，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2， ∴x D ＝－2，情况二：∠FDC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠FDC ＝43，设FC ＝4k ，∴DF ＝3k ，DC ＝5k ， ∵tan ∠DGC ＝3k FG ＝12，∴FG ＝6k ，∴CG ＝2k ，DG ＝35k ，∴RC ＝255k ，RG ＝455k ， DR ＝35k －455k ＝1155k ，∴DR RC ＝1155k 255k ＝－a －12a 2－32a ，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2911， ∴点D 的横坐标为－2或－2911.2．解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B(3，0)，C(0，3)，把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3； (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴抛物线对称轴为x ＝2，P(2，－1)， 设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC ＝22＋（t －3）2＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25， ∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC ＝MP 、MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M(2，32)；②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M(2，7)；③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为(2，32)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)；(3)如解图，在0＜x ＜3对应的抛物线上任取一点E ，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E(x ，x 2－4x ＋3)，则F(x ，－x ＋3)， ∵0＜x ＜3，∴EF ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ，∴S △CBE ＝S △EFC ＋S △EFB ＝12EF·OD＋12EF·BD＝12EF·OB＝12×3(－x 2＋3x)＝－32(x －32)2＋278，∴当x ＝32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为(32，－34)，即当E 点坐标为(32，－34)时，△CBE 的面积最大.3．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l 为x ＝－1，∴B(－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3； (2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设抛物线对称轴l 交x 轴于点Q. ∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°.∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°， ∴∠BPM ＝∠NBQ.又∵∠BMP ＝∠BQN ＝90°，PB ＝NB ，∴△BPM ≌△NBQ ，∴PM ＝BQ.∵抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于点A(1，0)和点B ，且对称轴为x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－3，0)，点Q 的坐标为(－1，0)， ∴BQ ＝2，∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点， ∴结合图象可知点P 的纵坐标为－2，将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3， 解得x 1＝－1－2，x 2＝－1＋2(舍去)， ∴此时点P 的坐标为(－1－2，－2)； (3) 存在．如解图②，连接AC ，PC.可设点P 的坐标为(x ，y)(－3＜x ＜0)，则y ＝x 2＋2x －3， ∵点A(1，0)，∴OA ＝1.∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴令x ＝0，得y ＝－3，即点C(0，－3)，∴OC ＝3. 由(2)可知S四边形PBAC＝S △BPM ＋S四边形PMOC＋S △AOC ＝12BM·PM＋12(PM ＋OC)·OM＋12OA·OC＝12(x＋3)(－y)＋12(－y ＋3)(－x)＋12×1×3＝－32y －32x ＋32，将y ＝x 2＋2x －3代入可得S 四边形PBAC ＝－32(x 2＋2x －3)－32x ＋32＝－32(x ＋32)2＋758.∵－32＜0，－3＜x ＜0，∴当x ＝－32时，S 四边形PBAC 有最大值758，此时，y ＝x 2＋2x －3＝－154.∴当点P 的坐标为(－32，－154)时，四边形PBAC 的面积最大，最大值为758.4．解：(1)把y ＝0代入直线的解析式得x ＋1＝0，解得x ＝－1，∴A(－1，0)． ∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴B 的坐标为(3，0)． 将x ＝0代入抛物线的解析式得y ＝－3，∴C(0，－3)．设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，将C(0，－3)代入得－3a ＝－3，解得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3； (2)如解图①，连接OP.将x ＝0代入直线AD 的解析式得y ＝1，∴OD ＝1. 由题意可知P(t ，t 2－2t －3)． ∵S 四边形DCPB ＝S △ODB ＋S △OBP ＋S △OCP ，∴S ＝12×3×1＋12×3×(－t 2＋2t ＋3)＋12×3×t ，整理得S ＝－32t 2＋92t ＋6，配方得：S ＝－32(t －32)2＋758，∴当t ＝32时，S 取得最大值，最大值为758；(3)如解图②，设点D′的坐标为(a ，a ＋1)，O ′(a ，a)．当△D′O′E 的面积∶△D′EB′的面积＝1∶2时，则O′E∶EB ′＝1∶2. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝1， ∴E(a ＋1，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得(a ＋1)2－2(a ＋1)－3＝a ，整理得：a 2－a －4＝0，解得a ＝1＋172或a ＝1－172，∴O ′的坐标为(1＋172，1＋172)或(1－172，1－172)，∴OO ′＝2＋342或OO′＝34－22， ∴△DOB 平移的距离为2＋342或34－22， 当△D′O′E 的面积∶△D ′EB ′的面积＝2∶1时，则O′E∶EB ′＝2∶1. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝2，∴E(a ＋2，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得：(a ＋2)2－2(a ＋2)－3＝a ，整理得：a 2＋a －3＝0，解得a ＝－1＋132或a ＝－1－132.∴O ′的坐标为(－1＋132，－1＋132)或(－1－132，－1－132)．∴OO′＝－2＋262或OO′＝2＋262.∴△DOB 平移的距离为－2＋262或2＋262.综上所述，当△D′O′B′沿DA 方向平移2＋342或2＋262单位长度，或沿AD 方向平移34－22或－2＋262个单位长度时，ED ′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分. 类型三 二次函数与线段问题1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a ＝3，解得a ＝－13.令y ＝0，得ax 2－23ax －9a ＝0，∵a ≠0，∴x 2－23x －9＝0，解得x ＝－3或x ＝3 3. ∴点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(33，0)，∴抛物线的对称轴为x ＝3； (2)解：∵OA ＝3，OC ＝3， ∴tan ∠CAO ＝3，∴∠CAO ＝60°. ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO ＝30°， ∴DO ＝33AO ＝1，∴点D 的坐标为(0，1)， 设点P 的坐标为(3，a)．∴AD 2＝4，AP 2＝12＋a 2，DP 2＝3＋(a －1)2. 当AD ＝PA 时，4＝12＋a 2，方程无解．当AD ＝DP 时，4＝3＋(a －1)2，解得a ＝0或a ＝2， ∴点P 的坐标为(3，0)或(3，2)．当AP ＝DP 时，12＋a 2＝3＋(a －1)2，解得a ＝－4. ∴点P 的坐标为(3，－4)．综上所述，点P 的坐标为(3，0)或(3，－4)或(3，2);(3)证明：设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得－3m ＋3＝0，解得m ＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. 设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.把y ＝0代入y ＝kx ＋1，得kx ＋1＝0，解得：x ＝－1k ，∴点N 的坐标为(－1k ，0)，∴AN ＝－1k ＋3＝3k －1k.将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立，解得x ＝2k －3，∴点M 的横坐标为2k －3.如解图，过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G.则AG ＝2k －3＋ 3.∵∠MAG ＝60°，∠AGM ＝90°， ∴AM ＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2k －3.∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝k －323k －2＋2k 23k －2＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝32. 2．解：(1)∵直线l ：y ＝34x ＋m 经过点B(0，－1)，∴m ＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝34x －1，∵直线l ：y ＝34x －1经过点C ，且点C 的横坐标为4，∴y ＝34×4－1＝2，∵抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(2)令y ＝0，则34x －1＝0，解得x ＝43，∴点A 的坐标为(43，0)，∴OA ＝43，在Rt △OAB 中，OB ＝1，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝（43）2＋12＝53， ∵DE ∥y 轴，∴∠ABO ＝∠DEF ，在矩形DFEG 中，EF ＝DE·cos ∠DEF ＝DE·OB AB ＝35DE ，DF ＝DE·sin ∠DEF ＝DE·OA AB ＝45DE ，∴l ＝2(DF ＋EF)＝2×(45＋35)DE ＝145DE ，∵点D 的横坐标为t(0＜t ＜4)， ∴D(t ，12t 2－54t －1)，E(t ，34t －1)，∴DE ＝(34t －1)－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∴l ＝145×(－12t 2＋2t)＝－75t 2＋285t ，∵l ＝－75(t －2)2＋285，且－75＜0，∴当t ＝2时，l 有最大值285；(3)“落点”的个数有4个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．如解图③，设A 1的横坐标为m ，则O 1的横坐标为m ＋43，∴12m 2－54m －1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1， 解得m ＝712，如解图④，设A 1的横坐标为m ，则B 1的横坐标为m ＋43，B 1的纵坐标比A 1的纵坐标大1，∴12m 2－54m －1＋1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝43， ∴旋转180°时点A 1的横坐标为712或43.3．(1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；(2)证明：设直线AF 的解析式为y ＝kx ＋m ， 将点A(－1，1)代入y ＝kx ＋m 中，即－k ＋m ＝1， ∴k ＝m －1，∴直线AF 的解析式为y ＝(m －1)x ＋m. 联立直线AF 和抛物线解析式成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2my 2＝2m 2－m ， ∴点G 的坐标为(2m ，2m 2－m)． ∵GH ⊥x 轴，∴点H 的坐标为(2m ，0)． ∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ＝12x(x －1)，∴点E 的坐标为(1，0)．设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，将A(－1，1)，E(1，0)代入y ＝k 1x ＋b 1中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k 1＋b 1＝1k 1＋b 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12b 1＝12，∴直线AE 的解析式为y ＝－12x ＋12.设直线FH 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，将F(0，m)、H(2m ，0)代入y ＝k 2x ＋b 2中，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝m 2mk 2＋b 2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－12b 2＝m， ∴直线FH 的解析式为y ＝－12x ＋m.∴FH ∥AE ；(3)解：设直线AB 的解析式为y ＝k 0x ＋b 0，将A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝k 0x ＋b 0中，⎩⎪⎨⎪⎧－k 0＋b 0＝14k 0＋b 0＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 0＝1b 0＝2， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋2.当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(t －2，t)，点Q 的坐标为(t ，0)．当点M 在线段PQ 上时，过点P 作PP′⊥x 轴于点P′，过点M 作MM′⊥x 轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如解图所示．∵QM ＝2PM ， ∴QM′QP′＝MM′PP′＝23，∴QM ′＝43，MM ′＝23t ，∴点M 的坐标为(t －43，23t)，又∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴23t ＝12(t －43)2－12(t －43)， 解得t ＝15±1136，当点M 在线段QP 的延长线上时， 同理可得出点M 的坐标为(t －4，2t)， ∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴2t ＝12×(t －4)2－12(t －4)，解得t ＝13±892.综上所述：当运动时间为15－1136秒、15＋1136秒、13－892秒或13＋892秒时，QM ＝2PM.类型四 二次函数与三角形相似 1．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)， ∴设抛物线解析式为y ＝a(x －1)2＋1，又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2＋2x ，联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， ∴B(2，0)，C(－1，－3)；(2)证明：如解图，分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于D 、E 两点， 则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，EC ＝3， ∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，即∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是直角三角形；(3)解：假设存在满足条件的点N ，设N(x ，0)，则M(x ，－x 2＋2x)， ∴ON ＝|x|，MN ＝|－x 2＋2x|，由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝32， ∵MN ⊥x 轴于点N ∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，∴当△MNO 和△ABC 相似时有MN AB ＝ON BC 或MN BC ＝ONAB，①当MN AB ＝ON BC 时，则有|－x 2＋2x|2＝|x|32，即|x|×|－x ＋2|＝13|x|，∵当x ＝0时M 、O 、N 不能构成三角形， ∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，即－x ＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝73，此时N 点坐标为(53，0)或(73，0)，②当MN BC ＝ON AB 时，则有|－x 2＋2x|32＝|x|2，即|x|×|－x ＋2|＝3|x|，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1， 此时N 点坐标为(－1，0)或(5，0)，综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为(53，0)或(73，0)或(－1，0)或(5，0).2．解：(1)把A 、C 两点坐标代入直线y ＝－ax ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋c ＝0c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13c ＝1， ∴直线的表达式为y ＝13x ＋1，把A 点坐标和a ＝－13代入抛物线解析式可得9×(－13)－3b ＋1＝0，解得b ＝－23，∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2－23x ＋1；(2)∵点D 为抛物线在第二象限部分上的一点，∴可设D(t ，－13t 2－23t ＋1)，则F(t ，13t ＋1)，∴DF ＝－13t 2－23t ＋1－(13t ＋1)＝－13t 2－t ＝－13(t ＋32)2＋34.∵－13＜0，∴当t ＝－32时，DF 有最大值，最大值为34，此时D 点坐标为(－32，54)；(3)设P(m ，－13m 2－23m ＋1)，如解图，∵P 在第四象限，∴m ＞0，－13m 2－23m ＋1＜0，∴AN ＝m ＋3，PN ＝13m 2＋23m －1，∵∠AOC ＝∠ANP ＝90°，∴当以P 、A 、N 为顶点的三角形与△ACO 相似时有△AOC ∽△PNA 和△AOC ∽△ANP ，①当△AOC ∽△PNA 时，则有OC NA ＝AO PN ，即1m ＋3＝313m 2＋23m －1，解得m ＝－3或m ＝10，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝10，此时P 点坐标为(10，－39)；②当△AOC ∽△ANP 时，则有OC NP ＝AO AN ，即113m 2＋23m －1＝3m ＋3，解得m ＝2或m ＝－3，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝2，此时P 点坐标为(2，－53)；综上可知P 点坐标为(10，－39)或(2，－53).3．解：(1)将A 、G 点坐标代入函数解析式，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋33＝0，a －b ＋33＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝23，∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋23x ＋33； (2)如解图①，作ME ∥y 轴交AB 于E 点， 当x ＝0时，y ＝33，即B 点坐标为(0，33)， 直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋33，设M(n ，－3n 2＋23n ＋33)，E(n ，－3n ＋33)， ME ＝－3n 2＋23n ＋33－(－3n ＋33)＝－3n 2＋33n ， S △ABM ＝12ME·AO＝12(－3n 2＋33n)×3＝－332(n －32)2＋2738，当n ＝32时，△ABM 面积的最大值是2738；(3)存在；理由如下：OE ＝233，AP ＝2，OP ＝1，BE ＝33－233＝733，当y ＝233时，－3x ＋33＝233，解得x ＝73，即EF ＝73，将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△B′EC(如解图②)， ∵OB ⊥EF ，∴点B′在直线EF 上，∵C 点横坐标绝对值等于EO 长度，C 点纵坐标绝对值等于EO －PO 长度， ∴C 点坐标为(－233，233－1)，如解图，过F 作FQ ∥B′C，交EC 于点Q ， 则△FEQ ∽△B′EC，由BE EF ＝B′E EF ＝CEEQ ＝3，可得Q 的坐标为(－23，－33)；根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q′(－23，533)也符合条件.4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185， ∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，∴可设P(t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ， ∴M(t ，0)，N(t ，35t ＋3)，∴PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，联立直线CD 与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝35x ＋3y ＝35x 2－185x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝365，∴C(0，3)，D(7，365)，分别过C 、D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E 、F ，如解图①，则CE ＝t ，DF ＝7－t ，∴S △PCD ＝S △P ＋S △PDN ＝12PN·CE＋12PN·DF＝72PN ＝72[－35(t －72)2＋14720]＝－2110(t －72)2＋102940， ∴当t ＝72时，△PCD 的面积最大，最大值为102940；②存在．∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°， ∴当△Q 与△PBM 相似时，有NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM两种情况， ∵CQ ⊥PN ，垂足为Q ，∴Q(t ，3)，且C(0，3)，N(t ，35t ＋3)，∴CQ ＝t ，NQ ＝35t ＋3－3＝35t ，∴NQ CQ ＝35，∵P(t ，35t 2－185t ＋3)，M(t ，0)，B(5，0)，∴BM ＝5－t ，PM ＝0－(35t 2－185t ＋3)＝－35t 2＋185t －3，当NQ CQ ＝PM BM 时，则PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t)，解得t ＝2或t ＝5(舍去)，此时P(2，－95)；当NQ CQ ＝BM PM 时，则BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t ＝349或t ＝5(舍去)，此时P(349，－5527)；综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(2，－95)或(349，－5527).。
2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编(通用版)几何综合(二)(含答案与解析)
2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编（通用版）几何综合（二）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．2．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE 交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A．B．2C．D．3解：如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD的距离．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE平分∠ABD，∴∠ABO＝∠EBD，OA＝OF，∴∠EBD＝∠CBD＝∠ABO，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴OF＝OA＝AB•tan30°＝2×＝2，故选：B．3．（2021•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA'B'的度数为（）A．αB．α﹣45°C．45°﹣αD．90°﹣α解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，∴AC＝A'C，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACA'＝90°，∴△ACA'是等腰直角三角形，∴∠CA'A＝45°，∵∠BAC＝α，∴∠CA'B'＝α，∴∠AA'B'＝45°﹣α．故选：C．4．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．+1B．+3C．+1D．4解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC＝＝＝，∵点F为BC的中点，∴EF＝BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，故选：C．二．填空题（共8小题）5．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE ＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为8．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，∴∠BEA＝90°，∵BC＝7，∴BE+CE＝7，∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，又∵AC＝5，在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，解得：CE＝3，又∵点F是AC的中点，∴，∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．故答案为：8．6．（2021•大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是2．解：∵菱形ABCD，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∵AB′⊥BD，∴∠BAB'＝，∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，∴BE＝B'E，AB＝AB'，∴∠ABB'＝，∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，∴∠BEB'＝90°，在Rt△BEB'中，由勾股定理得：BB'＝，故答案为：2．7．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为．解：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE＝∠FBE，∵CF⊥BE，∴∠BEC＝∠BEF＝90°，又∵BE＝BE，∴△BEC≌△BEF（ASA），∴CE＝FE，BF＝BC＝2，同理：CH＝GH，DG＝CD＝，∴HE是△CGF的中位线，∴HE＝，在矩形ABCD中，，，由勾股定理得：BD＝，∴GF＝BF+DG﹣BD＝，∴HE＝，故答案为：．8．（2021•营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S＝1，则S△ABC＝24．△EFG解：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（ASA），∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，∴S△ADM＝2S△DMF＝2，∵DM为△ABG的中位线，∴＝，∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，∵DE是△ABC的中位线，∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，故答案为：24．9．（2021•本溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D 的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是①③④（填序号即可）．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．∴∠BEP+∠AEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠BEP＝∠AGE．∵∠FGQ＝∠AGE，∴∠BEP＝∠FGQ．∵∠B＝∠F＝90°，∴△PBE～△QFG．故①正确；②过点C作CM⊥EG于M，由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，在△BEC和△MEC中，，∴△BEC≌△MEC（AAS）．∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．∵CG＝CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），∴S△CMG＝S△CDG，∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，∴②不正确；③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，即EC平分∠BEG．∴③正确；④连接DH，MH，HE，如图，∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，∵EC⊥HP，∴∠CHP＝45°．∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，∴EH⊥CG．∴EG2﹣EH2＝GH2．由折叠可知：EH＝CH．∴EG2﹣CH2＝GH2．∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC＝∠EHC＝90°，∴E，M，H，C四点共圆，∴∠HMC＝∠HEC＝45°．在△CMH和△CDH中，，∴△CMH≌△CDH（SAS）．∴∠CDH＝∠CMH＝45°，∵∠CDA＝90°，∴∠GDH＝45°，∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．∵∠HGQ＝∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴．∴GH2＝GQ•GD．∴GE2﹣CH2＝GQ•GD．∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故答案为：①③④．10．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝6．解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，∵AE＝3，∴DE＝＝＝5，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴∠CDH＝∠EDH，∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，∴∠CDH＝∠F，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，∴∠BCE＝∠F，∴EC∥AF，∴＝，∴＝，∴CF＝6，故答案为：6．11．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为4．解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴△BDH∽△BFE，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．12．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1．解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，∴OE＝OF＝1，∴OC平分∠BCD，∵四边形ABCD为正方形，∴点O在AC上，∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，故答案为3+1．三．解答题（共18小题）13．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC 的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，∴CD＝AB＝a．（2）四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB＝∠ACB＝90°，∴DF∥AC；由折叠得，DF＝DB，∵DB＝AB，∴DF＝AB；∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∴DF＝AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD＝AB，∴AD＝DF，∴四边形ADFC是菱形．（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°；由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝×90°＝45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE+∠BDE＝270°，∴∠BDE＝135°．综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．14．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．（1）求AM的长．（2）tan∠MBO的值为．解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴△AEM∽△CBM，∴＝，∵AE＝AD，∴AE＝BC，∴＝＝，∴AM＝CM＝AC＝1．（2）∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1，∴tan∠MBO＝＝．故答案为：．15．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB ﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P 作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．解：（1）如图，在Rt△PDQ中，AD＝，∠PQD＝60°，∴tan60°＝＝，∴DQ＝AD＝1．（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．（3）当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD于点N，同（1）可得MQ＝AD＝1．∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝x+1，当x+1＝3时x＝2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC＝＝，∴∠DBC＝30°，∵∠PQD＝60°，∴∠DEQ＝90°．∵sin30°＝＝，∴EQ＝DQ＝，∵sin60°＝＝，∴EN＝EQ＝（x+1），∴y＝DQ•EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）．当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2），∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝x2﹣2x+2，∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝﹣x2+x﹣（2＜x≤3）．当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝4﹣x，∴y＝DC•CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）．综上所述，y＝16．（2021•长春）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝45度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝60度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；（2）若AB＝，则线段AP的长为2﹣2．操作一：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠BAD＝90°，由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，即∠EAF＝45°，故答案为：45；操作二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，由操作一得：∠EAF＝45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN＝45°，∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，∴∠NFE＝∠CFE＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60；（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN＝FN，∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE＝30°，在△ANP和△FNE中，，∴△ANP≌△FNE（ASA）；（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，∴AP＝FE，PN＝EN，∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，∴∠NEF＝∠CEF＝60°，∴∠AEB＝60°，∵∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝1，∴AE＝2BE＝2，设PN＝EN＝a，∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，∵AN+EN＝AE，∴a+a＝2，解得：a＝﹣1，∴AP＝2a＝2﹣2，故答案为：2﹣2．17．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF//BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．解：（1）证明：连接OD，如图，∵点D是的中点，∴，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥EF，∴EF为⊙O的切线；（2）设BC、AD交于点N，∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，∴，∴DN＝，∵点D是的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠BDN＝∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴，即：，∴BD＝2，∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，∴DM＝BD＝2．18．（2021•长春）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P 从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为2；（2）用含t的代数式表示线段BP的长；（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，∴AD＝AC＝2．故答案为：2．（2）当0＜t≤5时，点P在线段AB上运动，PB＝AB﹣AP＝5﹣t，当5＜t＜8时，点P在BC上运动，PB＝t﹣5．综上所述，PB＝．（3）如图，当点A'落在AB上时，DP⊥AB，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当点A'落在BC边上时，DP⊥AC，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，点A'运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，∴＜t＜时，点A'在△ABC内部．（4）如图，0＜t＜5时，∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，∠ADP+∠A'AD＝∠BAC+∠B＝90°，∴∠ADP＝∠BAC，∴AE＝AD＝1，∵cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当5＜t＜8时，∵∠AA'B＝∠B＝∠A'AD，∠BAC+∠B＝90°，∴∠BAC+∠A'AD＝90°，∴PE∥BA，∴∠DPC＝∠B，∵在Rt△PCD中，CD＝＝2，CP＝8﹣t，tan∠DPC＝，∴tan∠DPC＝＝＝，∴t＝．综上所述，t＝或．19．（2021•大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．（1）证明：连接OB，如图1，∵直线MN与⊙O相切于点D，∴OD⊥MN，∵BC∥MN，∴OD⊥BC，∴＝，∴∠BOD＝∠COD，∵∠BAC＝∠BOC，∴∠BAC＝∠COD；（2）∵E是OD的中点，∴OE＝DE＝2，在Rt△OCE中，CE＝＝＝2，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝2，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝4，在Rt△ABE中，AE＝＝＝2．20．（2021•丹东）已知，在正方形ABCD中，点M、N为对角线AC上的两个动点，且∠MBN＝45°，过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点E，垂足分别为F、G，设△AFM的面积为S1，△NGC 的面积为S2，△MEN的面积为S3．（1）如图（1），当四边形EFBG为正方形时，①求证：△AFM≌△CGN；②求证：S3＝S1+S2．（2）如图（2），当四边形EFBG为矩形时，写出S1，S2，S3三者之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG：GC＝m：n（m＞n），请直接写出AF：FB的值．解：（1）①在正方形ABCD和正方形EFBG中，AB＝CB，BF＝BG，∠F AM＝∠GCN＝45°，∠AFM＝∠CGN＝90°，∴AB﹣BF＝CB﹣BG，即AF＝CG，∴△AFM≌△CGN（ASA）②如图1，连接BD，则BD过点E，且BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝45°，由①知△AFM≌△CGN，∴AM＝CN，∵∠BAM＝∠BCN，AB＝BC，∴△ABM≅△CBN（SAS），∴BM＝BN，∠ABM＝∠CBN，∵∠MBN＝45°＝∠ABD，∴∠FBM+∠MBO＝∠MBO+∠OBN，∴∠FBM＝∠OBN，∵∠BFM＝∠BON＝90°，∴△FBM≅△OBN（AAS），∴FM＝ON，∵∠AFM＝∠EON＝90°，∠F AM＝∠OEN＝45°，∴△AFM≅△EON（AAS），同理△CGN≌△EOM（AAS），∴S△EOM＝S△CGN，S△EON＝S△AFM，∵S3＝S△MEN＝S△EOM+S△EON＝S△CGN+S△AFM，∴S3＝S1+S2．（2）S3＝S1+S2，理由如下：如图2，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形，四边形EFBG为矩形，∴BD⊥AC，∠BFM＝∠BON＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AC＝BD＝2OB，∵∠MBN＝45°，∠FBM＝∠OBN＝45°﹣∠MBO，∴△FBM∽△OBN，∴，同理△BOM∽△BGN，∴，∴，∴OB2＝BF⋅BG，∵，S矩形EFBG＝BF⋅BG，∴S矩形EFBG＝S△ABC，∴S1+S2＝S△ABC﹣S五边形MFBGN，S3＝S矩形EFBG﹣S五边形MFBGN，∴S3＝S1+S2．（3）根据题意可设BG＝mx，GC＝nx，AB＝BC＝（m+n）x，∴，即，∴BF＝＝＝，∴，∴AF：BF＝：＝（m﹣n）：（m+n）．21．（2021•大连）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿BA﹣AC的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿BC﹣CD运动，设运动时间为t秒．（1）求AC的长；（2）若S△BPQ＝S，求S关于t的解析式．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，∴AC的长为5；（2）当0＜t≤1.5时，如图，S＝；当1.5＜t≤4时，如图，作PH⊥BC于H，∴CP＝8﹣2t，∵sin∠BCA＝，∴，∴，∴S＝＝﹣；当4＜t≤7时，如图，点P与点C重合，S＝．综上所述：S＝．22．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠F AB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴＝，即＝，∴CE＝AF，∵AF＝AE，∴CE＝AE，∵AE+CE＝AC＝2，∴AE＝，∴AF＝AE＝．23．（2021•大连）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．（1）找出与∠DBF相等的角并证明；（2）求证：∠BFD＝∠AFB；（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求．解：（1）如图1，∠BAE＝∠DBF，证明：∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD，∠ABD＝∠AEF，∴∠DBF+∠ABF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BAE+∠ABF，∴∠BAE+∠ABF＝∠DBF+∠ABF，∴∠BAE＝∠DBF．（2）证明：如图2，连接AD交BF于点G，∵AB＝BD，AE＝EF，∴，∵∠ABD＝∠AEF，∴△ABD∽△AEF，∴∠BDG＝∠AFB，∵∠BGD＝∠AGF，∴△BGD∽△AGF，∴，∴，∵∠AGB＝∠FGD，∴△AGB∽△FGD，∴∠BAD＝∠BFD，∵∠BAD＝∠BDG＝∠AFB，∴∠BFD＝∠AFB．（3）如图3，作点D关于直线BF的对称点D′，连接MD′、DD′，作EH∥MD′交AC于点H，则BF垂直平分DD′，∴D′F＝DF，D′M＝DM，∵MF＝MF，∴△D′MF≌△DMF，∴∠EHF＝∠MD′F＝∠MDF，∵∠EDF+∠MDF＝180°，∠EHA+∠EHF＝180°，∴∠EDF＝∠EHA，∵∠EFD＝∠AFB＝∠EAH，EF＝AE，∴△EFD≌△EAH（AAS），∴DF＝AH，∵，D′F＝DF，∴，∵AF＝kDF，∴，∴．24．（2021•本溪）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．证明：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠OAE＝∠BAC，∴∠OEA＝∠BAC，∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接DE，∵OC＝9，AC＝4，∴OA＝OC﹣AC＝5，∵AD＝2OA，∴AD＝10，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，∵DE＝＝＝6，∴cos∠DAE＝＝＝，在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴＝，∴AB＝5，∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵EF是⊙O的切线，∴∠FEO＝90°，∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，∴∠FEB＝∠OED，∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，∴△FBE∽△ODE，∴＝，∴＝，∴BF＝．25．（2021•营口）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．（1）求证：AF＝CE；（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．（1）证明：连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE．（2）结论：CE2+BF2＝BC2．理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，∵△ADF≌△CDE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ACD＝45°，∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，∴∠BAF＝∠ACE，∵AB＝CA，AF＝CE，∴△BAF≌△ACE（SAS），∴BF＝AE，∵∠AEC＝∠DEC﹣∠DEF＝135°﹣45°＝90°，∴AE2+CE2＝AC2，∴BF2+CE2＝BC2．（3）解：设EH＝m．∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，∴△ADH∽△CEH，∴＝＝＝＝2，∴DH＝2m，∴AD＝CD＝2m+2，∴EC＝m+1，在Rt△CEH中，CH2＝EH2+CE2，∴22＝m2+（m+1）2，∴2m2+2m﹣3＝0，∴m＝或（舍弃），∴AE＝AH+EH＝，∴AD＝1+，∴AC＝AD＝+．26．（2021•本溪）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，由旋转知：EP＝EB，∴△BPE是等边三角形，∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠AEP＝∠CBP，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∴△APE≌△CPB（SAS），∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，即∠APC＝∠BPE＝60°，∴△APC是等边三角形，∴AP＝AC；方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，∴PE∥BC∥AD，∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴四边形ADQE是菱形，∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，∴△AEQ是等边三角形，∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，∵四边形BCQE是平行四边形，∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，∴∠AEP＝∠AQC，∴△AEP≌△AQC（SAS），∴AP＝AC；（2）AB2+AD2＝2AF2，理由：如图2，连接CF，在▱ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°，∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴BF＝EF，∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，∴∠CBF＝∠AEF，∴△BCF≌△EAF（SAS），∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°，∵sin∠ACF＝，∴AC＝＝＝＝AF，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴AB2+AD2＝2AF2；（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，∵BE＝AB，AB＝CD，∴AB＝CD＝2BE，设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，∴GM＝GN，∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，＝＝＝＝2，∴S△CDG＝2S△ADG，∴S△CDG＝S△ACD＝a2，由（1）知PE∥BC，∴∠AEH＝∠B＝60°，∵∠H＝90°，∴AH＝AE•sin60°＝a，∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，∴＝＝．②如图4，当点E在AB延长线上时，由①同理可得：S△CDG＝•S△ACD＝××2a××3a＝a2，S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，∴＝＝，综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴△AEG∽△CDG，∴＝（）2，＝，①当点E在AB上时，∵BE＝AB，∴AE＝BE＝AB＝CD，∴＝（）2＝，又∵＝＝，∴＝，即＝3，∴＝＝3，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，∴AE＝AD，∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，∴△AED≌△EAP（SAS），∴S△AED＝S△EAP，∴＝•＝•＝3×＝；②如图4，当点E在AB延长线上时，∵BE＝AB，∴AE＝AB＝CD，由①知，AD＝AE＝CD，∵EP＝BE＝AE＝AD，EP∥AD，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，∴＝＝，∵＝（）2＝（）2＝，∴＝••＝××＝；综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．27．（2021•山西）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，，∴R＝3．②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．∵AM∥CO，∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．∴∠MAO＝∠M＝60°．∴OA＝OM．∴△OAM为等边三角形．∴OM＝OA＝AM＝7.5．∵AM∥CO，∴△BCO∽△BAM．∴．∴．∴OC＝3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．28．（2021•陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．（1）求证：∠COB＝∠A；（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．（1）证明：取的中点M，连接OM、OF，∵＝2，∴＝＝，∴∠COB＝∠BOF，∵∠A＝∠BOF，∴∠COB＝∠A；（2）解：连接BF，如图，∵CD为⊙O的切线，∴AB⊥CD，∴∠OBC＝∠ABD＝90°，∵∠COB＝∠A，∴△OBC∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝8，29．（2021•山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F 为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴＝＝1，∴EH＝HB，∴BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DF＝CD，∴BG＝AB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．∵S平行四边形ABCD＝AB•DJ，∴DJ＝＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ＝＝＝2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tan A＝＝＝2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x＝，∴MT＝，∵tan A＝tan A′＝＝2，∴NH＝2，∴S△ABM＝S△A′BM＝×5×＝，∴S四边形BHNM＝S△A′BM﹣S△NHA′＝﹣×1×2＝．30．（2021•陕西）问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，过点E作EG⊥CH于G，∴∠H＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∴∠ADH＝∠BAD＝45°，在Rt△ADH中，AD＝6，（2）存在，如图2，分别延长AE与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米，设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣2x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM＝800×1200﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）＝4（x﹣350）2+470000，∴当x＝350时，S四边形OPMN最小＝470000（平方米），AM＝1200﹣2x＝1200﹣2×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000平方米，此时，点N到点A的距离为350米．。
备考2021年中考数学二轮复习：图形的性质_四边形_矩形的性质,综合题专训及答案
与
的重叠部分为
，在坐
标平面内是否存在一点 ，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请
说明理由.
15、 (2020绵阳.中考真卷) 如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O，⊙M为△BCD的内切圆，切点分别为N，P，Q，DN ＝4，BN＝6．
（1） 求BC，CD； （2） 点H从点A出发，沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动，当点H运动到点D时停止，过点H作HI∥BD交 AC于点I，设运动时间为t秒． ①将△AHI沿AC翻折得△A I，是否存在时刻t，使点 恰好落在边BC上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理
（1） 当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE. （2） 如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的
结论；
②活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数. （参考数据： ≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75） 10、 (2020百色.中考模拟) 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角 线BD上.
的图象
（1） 求点B的坐标.
（2） 若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式. 2、
(2019辽阳.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，矩形
的边
的图象经过点 ，点 的坐标为 ，
.
交 轴于点 ，
轴，反比例函数
（1） 求反比例函数的解析式；
（2） 点 为 轴上一动点，当
备考2024年中考数学二轮复习-函数_一次函数_一次函数图象与几何变换-综合题专训及答案
备考2024年中考数学二轮复习-函数_一次函数_一次函数图象与几何变换-综合题专训及答案一次函数图象与几何变换综合题专训1、(2016南京.中考真卷) 如图，把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2x的图象；也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图象．类似地，我们可以认识其他函数．（1）把函数y= 的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，得到函数y= 的图象；也可以把函数y= 的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y= 的图象．（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．（Ⅰ）函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数的图象；（Ⅱ）为了得到函数y=﹣（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y=﹣x2的图象上所有的点．A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥（3）函数y= 的图象可以经过怎样的变化得到函数y=﹣的图象？（写出一种即可）2、(2017天津.中考模拟) 如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒．（1）当t=2时，则AP=，此时点P的坐标是．（2）当t=3时，求过点P的直线l：y=﹣x+b的解析式？（3）当直线l：y=﹣x+b从经过点M到点N时，求此时点P向上移动多少秒？（4）点Q在x轴时，若S△ONQ=8时，请直按写出点Q的坐标是．3、(2019莲湖.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣ x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出﹣ x＞的解集；（3）将直线l1：y＝﹣ x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式.4、(2019海.中考模拟) 如图，正例函数y＝kx（k＞0）的图象与反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象交于点A，过A作AB⊥x轴于点B.已知点B的坐标为（2，0），平移直线y＝kx，使其经过点B，并与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求k和m的值（2）点M是线段OA上一点，过点M作MN∥AB，交反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象交于点N，若MN＝，求点M的坐标5、(2019.中考模拟) 如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+3相交于坐标轴上的A，B两点，顶点为C．（1）填空：b＝，c＝；（2）将直线AB向下平移h个单位长度，得直线EF．当h为何值时，直线EF与抛物线y＝x2+bx+c没有交点？（3）直线x＝m与△ABC的边AB，AC分别交于点M，N．当直线x＝m把△ABC的面积分为1：2两部分时，求m的值．6、(2011福州.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，A、B均在边长为1的正方形网格格点上．（1）求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自变量x的取值范围；（2）将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，请在答题卡指定位置画出线段BC．若直线BC的函数解析式为y=kx+b，则y随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）．7、(2018松滋.中考模拟) 建立模型：（1）如图 1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，顶点C在直线 l 上．操作：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证△CAD≌△BCE．模型应用：（2）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y= x+8与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．（3）如图3，在直角坐标系中，点B（10，8），作BA⊥y轴于点 A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．8、(2018潜江.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x与反比例函数y= （k≠0）在第二象限内的图象相交于点A（m，1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线y=﹣ x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点C，且△ABO的面积为，求直线BC 的解析式．9、(2013玉林.中考真卷) 如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t 的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．10、(2017泸州.中考真卷) 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y=﹣的图象交于点B（a，4）（1）求一次函数的解析式；（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1=k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2= 的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．11、(2020赤峰.中考真卷) 如图，巳知二次函数y =ax2+bx +c(a≠0)的图象与x轴交于A(1 ，0) ，B(4，0)两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点.（1）直接写出二次函数的解析式________；（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；（3）过（2）中的点Q作QE // y轴，交x轴于点E.若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点.是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶点)与△BOC相似?如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由.12、(2021石家庄.中考模拟) 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，B两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b 的值．13、(2021新华.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线 经过第一象限的点 和点 ，且 ，过点 作 轴，垂足为， 的面积为 ．（1） 求B 点的坐标；（2） 求直线 的函数表达式；（3） 直线 经过线段 上一点P （P 不与A 、B 重合），求a 的取值范围．14、(2021恩施.中考模拟) 如图，一次函数 的图象与反比例函数 （ 为常数且 ）的图象相交于 ， 两点.（1） 求反比例函数的表达式；（2） 将一次函数 的图象沿 轴向下平移 个单位 ，使平移后的图象与反比例函数 的图象有且只有一个交点，求 的值.15、如图，一次函数 ＝k x ＋ b （k≠0）与反比例函数 （m≠0）的图象交于点A （1，2）和B （－2，a ），与y 轴交于点M.（1） 求一次函数和反比例函数的解析式；（2） 在y 轴上取一点N ，当△AMN 的面积为3时，求点N 的坐标；（3） 将直线 向下平移2个单位后得到直线y 3 ， 当函数值 时，求x 的取值范围.一次函数图象与几何变换综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
备考2021年中考数学二轮复习：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质,综合题专训及答案
备考2021年中考数学二轮复习：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质，综合题专训及答案备考2021中考数学二轮复习：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质，综合题专训1、(2015沈阳.中考真卷) 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC 相交于点E．（1）求∠OCA的度数；（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）2、(2017东城.中考模拟) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB=a，AD：DE=4：1，写出求DE长的思路．3、(2017山西.中考模拟) 阅读与思考婆罗摩笈多（Brahmagupta），是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明过程如下：已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CN= DN．证明：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．∴∠BAP=∠BPM．∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．∴…（1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分．（2）已知：如图2，△ABC内接于⊙O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D在⊙O上，∠BCD=60°，连接AD，与B C交于点P，作PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为．4、(2019鄞州.中考模拟) 如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F。
专题34 利用相似解决四边形问题——几何综合-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)
专题34 利用相似解决四边形问题——几何综合（解析版）专题诠释：几何综合题是中考必考题型。
试题一般以全等或相似为中心 , 以四边形为重点 , 常常是三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.解题策略：解答几何综合题应注意 :(1) 注意观察、分析图形 , 把复杂的图形分解成几个基本图形 , 通过添加辅助线补全或构造基本图形 .(2) 掌握常规的证题方法和思路 ;(3) 运用转化的思想解决几何证明问题 , 运用方程的思想解决计算问题。
另外还用结合数学思想和方法。
第一部分 专题典例剖析类型一 利用相似解决平行四边形问题1．（2022•贺州）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且ED ＝BF ，连接AF ，CE ，AC ，EF ，且AC 与EF 相交于点O ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若AC 平分∠FAE ，AC ＝8，tan ∠DAC =34，求四边形AFCE 的面积．思路引领：（1）根据平行四边形性质得出AD ＝BC ．AE ∥FC ，根据等量减等量差相等，得出AE ＝FC ，从而证明四边形AFCE 是平行四边形；（2）先证明平行四边形AFCE 是菱形，根据三角函数求出EO ＝3，求出S △AEO =12AO •EO ＝6，从而求出四边形AFCE 的面积．（1）证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝BC ．AE ∥FC ，∵ED ＝BF ，∴AD ﹣ED ＝BC ﹣BF ，∴AE ＝FC ，∴四边形AFCE 是平行四边形；（2）解：∵AE ∥FC ，∴∠EAC ＝∠ACF ，∴∠EAC＝∠FAC，∴∠ACF＝∠FAC，∴AF＝FC，∵四边形AFCE是平行四边形，∴平行四边形AFCE是菱形，∴AO=12AC＝4，AC⊥EF，在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC=3 4，∴EO＝3，∴S△AEO=12AO•EO＝6，S菱形＝4S△AEO＝24．总结提升：本题考查了解直角三角形、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键．2．（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14．（1）若AB＝8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．思路引领：（1）证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积是16，同理可得△EFC的面积＝9，根据面积差可得答案．解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD AB =DE BC =14，∵AB ＝8，∴AD ＝2；（2）∵△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC =（DE BC ）2＝（14）2=116，∵△ADE 的面积为1，∴△ABC 的面积是16，∵四边形BFED 是平行四边形，∴EF ∥AB ，∴△EFC ∽△ABC ，∴S △EFC S △ABC =（34）2=916，∴△EFC 的面积＝9，∴平行四边形BFED 的面积＝16﹣9﹣1＝6．总结提升：本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．3．（2021•长春）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝4，BD ＝8，点E 在边AD 上，AE =13AD ，连结BE 交AC 于点M ．（1）求AM 的长．（2）tan ∠MBO 的值为 ．思路引领：（1）由菱形的性质可得△AEM ∽△CBM ，再由AM CM =AE BC求解．（2）由tan ∠MBO =MO BO求解．解：（1）在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴△AEM∽△CBM，∴AMCM=AEBC，∵AE=13 AD，∴AE=13 BC，∴AMCM=AEBC=13，∴AM=13CM=14AC＝1．（2）∵AO=12AC＝2，BO=12BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM=12AO＝1，∴tan∠MBO=OMBO=14．故答案为：1 4．总结提升：本题考查菱形与直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的性质与解直角三角形的方法．类型二利用相似解决矩形问题4．（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．思路引领：（1）根据矩形的性质可得∠ADE＝∠ABF，∠∠DAE+∠BAE＝90°，结合题干AF⊥AE可得∠BAF+∠BAE＝90°，进而可得∠DAE＝∠BAF，进而可得△ADE∽△ABF，利用相似三角形的性质可得BF的长度；（2）先根据AG∥CE，GC∥AE进而可得四边形AGCE是平行四边形，通过勾股定理可得GF2、EF2、AE2，再过点G作GM⊥AF于点M，易得△MGF∽△AEF，进而利用相似三角形的性质可得GM的长，即可得GM＝GB，进而可得GF是∠AFB的角平分线，最后利用角平分线得性质可得EA＝EC，即可得平行四边形AGCE是菱形．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，∴∠DAE+∠BAE＝90°，∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAF，∴△ADE∽△ABF，∴ADAB=DEBF，即48=aBF，∴BF＝2a，（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AG∥CE，∵GC∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．∴AG＝CE＝8﹣a，∴BG＝AB﹣AG＝8﹣（8﹣a）＝a，在Rt△BGF中，GF2＝a2+（2a）2＝5a2，在Rt△CEF中，EF2＝（2a+4）2+（8﹣a）2＝5a2+80，在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，如图，过点G作GM⊥AF于点M，∴GM∥AE，∴△MGF∽△AEF，∴GMAE=GFEF，∴GM2AE2=GF2EF2，∴GM216+a2=5a25a2+80，∴GM＝a，∴GM＝BG，又∵GM⊥AF，GB⊥FC，∴GF是∠AFB的角平分线，∴EA＝EC，∴平行四边形AGCE是菱形．解法二：∵AG∥CE，CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AG＝CE，∵AB＝CD，∴BG＝DE＝a，∴tan∠EFC=GBBF=ECCF=12，∴EC＝a+2＝8﹣a∴a＝3，∴AE=32+42=5，∴AE＝CE＝5，∴四边形AGCE是菱形．总结提升：本题主要考查相似三角形的判定与性质、菱形的判定、矩形性质等，解题关键是熟练掌握相关性质与判定．5．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．思路引领：（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得∠3＝∠6，从而求证BF⊥AC；（2）根据相似三角形的判定进行分析判断；（3）利用相似三角形的性质分析求解．（1）证明：如图，在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，∴∠6+∠5＝90°，∴BF⊥AC；（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，∴△ECF∽△OBF，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠BFA＝∠OFB，∴△BAF∽△OBF；（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．又∵∠OFB＝∠BFA，∴△OBF∽△BFA．∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，∴△OBF∽△ECF．∴EFOF=CFBF，∴23=CFBF，即3CF＝2BF，∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9，∴3OC＝2BF+9∴3OA＝2BF+9①，∵△ABF∽△BOF，∴OFBF=BFAF，∴BF2＝OF•AF，∴BF2＝3（OA+3）②，联立①②，可得BF＝1±19（负值舍去），∴DE＝BE＝2+1+19=3+19．总结提升：本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．6．（2022秋•苏州期末）如图，矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB上向右运动，运动时间为t秒，连接DP交AC于点Q．（1）求证：△DCQ∽△PAQ；（2）若△ADQ是以AD为腰的等腰三角形，求运动时间t的值．思路引领：（1）由题意可知AB∥CD，从而可知∠DCQ＝∠PAQ，由∠DQC＝∠PQA，可证△DCQ∽△PAQ；（2）由矩形性质可得及勾股定理可知，AC＝5，DP=9+t2，分两种情况：①当AD＝AQ时，②当AD ＝DQ时，分别利用相似三角形列出比例式可求解得t的值．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCQ＝∠PAQ，又∵∠DQC＝∠PQA，∴△DCQ∽△PAQ；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，CD＝4，∴AC＝5，由题意知，AP＝t，DP=AD2+AP2=9+t2，①当AD＝AQ时，即：AQ＝3，CQ＝2∵△DCQ∽△PAQ，∴CQAQ=DCAP，即：23=4t，解得：t＝6；②当..时，即：DQ＝3，PQ=DP―DQ=9+t2―3∵△DCQ∽△PAQ，∴DQPQ=DCAP，即：39+t2―3=4t，整理得：34t+3=9+t2，两边同时平方得：916t2+92t+9=9+t2，整理得：t2―727t=0，解得：t=727或t＝0（舍去）．综上：△ADQ是以AD为腰的等腰三角形时，t＝6或t=72 7．总结提升：本题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形定义、矩形性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，分类讨论求解是解决问题的关键．类型三利用相似解决菱形问题7．（2022•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC 交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BEEC=14，则tan∠BCF的值为 ．思路引领：（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由DE⊥AC，即可得出结论；（2）设BE＝a，则CE＝4a，由菱形的性质得AE＝CE＝4a，AE∥CF，则∠BEA＝∠BCF，再由勾股定理得AB=15a，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．（1）证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：∵BEEC=14，∴CE＝4BE，设BE＝a，则CE＝4a，由（1）可知，四边形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF，∵∠ABC＝90°，∴AB=AE2―BE2=(4a)2―a2=15a，∴tan∠BCF＝tan∠BEA=ABBE=15aa=15，故答案为：15．总结提升：本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．8．（2022秋•海淀区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，经过点C 的直线分别与AB ，AD 的延长线相交于点P ，Q ，QB ，PD 相交于点O ．（Ⅰ）求证：BD 2＝PB •DQ ；（Ⅱ）求证：BD 2＝OD •PD ．思路引领：（Ⅰ）由四边形ABCD 是菱形，得到AB ＝AD ＝BC ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，根据平行线的性质得到∠PBC ＝∠A ＝∠CDQ ，∠APQ ＝∠DCQ ，∠AEF ＝∠DCF ，于是求得△BCP ∽△CDQ ，得到BP CD=BC DQ ，等量代换即可得到BP BD =BD DQ ；（Ⅱ）推出△DBP ∽△QBD ，根据相似三角形的性质得到∠BED ＝∠FBD ，证得△BDO ∽△PBD ，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠PBC ＝∠A ＝∠CDQ ，∠APQ ＝∠DCQ ，∴△BCP ∽△CDQ ，∴BP CD =BC DQ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝BC ＝CD ，∴BP BD =BD DQ，∴BD 2＝PB •DQ ；（Ⅱ）∵BP BD =BD DQ，∵∠PBD ＝∠BDQ ＝120°，∴△DBP∽△QBD，∴∠BPD＝∠QBD，∵∠BDO＝∠BDP，∴△BDO∽△PBD，∴BDDP=DOBD，∴BD2＝OD•PD．总结提升：本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．9．（2022秋•汝州市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE ∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝43时，直接写出EA的长．思路引领：（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC＝90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形．又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．∴四边形ODEC是矩形．（2）解：∵Rt△ADO中，∠ADO＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD=12AD＝23，AO＝6，∴AC＝12，EC＝23，∴AE＝233．总结提升：本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．10．（2022秋•白塔区月考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．（1）求证：AF2＝EF•GF；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．思路引领：（1）先由菱形的性质得到AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，然后结合BF＝BF得到△ABF≌△CBF，进而得到AF＝CF；由菱形得到∠BAD＝∠BCD、AD∥BE，从而得到∠DAF＝∠DCF、∠DAF＝∠FEC，再结合∠CFG＝∠EFC得到△CFG∽△EFC，然后利用相似三角形的性质得到CF2＝EF•GF，最后结合AF＝CF得到AF2＝EF•GF；（2）先由∠BAD＝120°得到∠DCE＝60°，然后结合菱形边长为2得到CD的长，进而利用DE⊥BC 得到CE、AE的长，然后通过证明△FAD∽△FEB、△GAD∽△GEC，进而得到AF、AG的长，最后得到FG的长．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF．∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，∴∠DAF＝∠FEC，∵△ABF≌△CBF，∴∠BAF＝∠BCF，∴∠DAF＝∠DCF，∴∠GCF＝∠CEF，∵∠CFG＝∠EFC，∴△CFG∽△EFC，∴CFEF=FGCF，∴CF2＝EF•GF，∵AF＝CF，∴AF2＝EF•GF．（3）解：∵∠BAD＝120°，∴∠DCE＝60°，∵菱形边长为2，∴CD＝AD＝2，∵DE⊥BC，∴∠ADE＝∠CED＝90°，∴∠CDE＝30°，∴CE=12CD=1，DE=3，∴AE=AD2+DE2=22+(3)2=7，BE＝BC+CE＝2+1＝3，∵AD∥BE，∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，∴AFEF=ADBE=23，AGEG=ADCE=21，∴AF=25AE=275，AG=23AE=273，∴FG＝AG﹣AF=273―275=4715．总结提升：本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的三边关系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的性质得到相关的角相等．类型一利用相似解决正方形问题11．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，四边形DEFC是边长为4的正方形，且D、E、F分别在边AC、AB、BC上．把三角形ADE绕点E逆时针旋转一定的角度．（1）当点D与点F重合时，点A的对应点G落在边BC上，此时四边形ACGE的面积为 ；（2）当点D 的对应点D 1落在线段BE 上时，点A 的对应点为点A 1，在旋转过程中点A 经过的路程为l 1，点D 经过的路程为l 2，且l 1：l 2＝3：2，求线段AD 1的长．思路引领：（1）由题意可知，△ADE ≌△GFE ，所以S 四边形ACGE ＝S △ADE +S 四边形DCGE ＝S △GFE +S 四边形DCGE 等于正方形DEFC 的面积，求解即可；（2）由l 1：l 2＝3：2得AE DE =32，求出AE ＝6，在Rt △ADE 中，求出AD ，在Rt △AD 1A 1中，求出AD 1．解：（1）由题意可知，△ADE ≌△GFE ，DC ＝CF ＝EF ＝DE ＝4，∴S 四边形ACGE =S △ADE +S 四边形DCGE =S △GFE +S 四边形DCGE =S 正方形DCFE =DC 2=42=16，故答案为：16；（2）如图：设旋转角为n °，则l 1=nπ⋅AE 180，l 2=nπ⋅DE 180，∵l 1：l 2＝3：2，∴nπ⋅AE 180nπ⋅DE 180=AE DE =32，∵DE ＝4，∴AE ＝6，∴AD 1＝AE +D 1E ＝AE +DE ＝10，在Rt △ADE 中，AD =AE 2+DE 2=62+42=25，在Rt △AD 1A 1中，AD 1=AD 12+A 1D 12=102+(25)2=430．总结提升：本题考查了旋转的性质、正方形的性质、弧长公式、以及用勾股定理求线段长度；熟练利用旋转的性质、勾股定理求线段长度是解题的关键．12．（2022秋•成华区期末）如图，点E 是正方形ABCD 的对角线CA 延长线上一点，连接BE ，将BE 绕点B 顺时针旋转90°至BF ，连接EF ，EF 交AD 于点G ．（1）求证：△ABE ∽△AEG ；（2）若正方形ABCD 的边长为4，点G 为AD 的中点，求AE 的长．思路引领：（1）由AB ＝CB ＝AD ＝CD ，∠ABC ＝∠D ＝90°，得∠BAC ＝∠DAC ＝45°，则∠BAE ＝∠EAC ＝180°﹣45°＝135°，由旋转得BE ＝BF ，∠EBF ＝90°，则∠BEF ＝45°，可推导出∠AEG ＝∠AEG ＝45°﹣∠AEB ，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABE ∽△AEG ；（2）由AB ＝AD ＝4，得AG =12AD ＝2，由△ABE ∽△AEG ，得AE AG =AB AE ，可求得AE ＝22．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ＝AD ＝CD ，∠ABC ＝∠D ＝90°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∴∠BAE ＝∠EAC ＝180°﹣45°＝135°，∵将BE 绕点B 顺时针旋转90°得到BF ，∴BE ＝BF ，∠EBF ＝90°，∵∠BEF ＝∠F ＝45°，∴∠AEG ＝45°﹣∠AEB ，∵∠ABE ＝∠BAC ﹣∠AEB ＝45°﹣∠AEB ，∴∠ABE ＝∠AEG ，∴△ABE ∽△AEG ．（2）解：∵正方形ABCD 的边长为4，点G 为AD 的中点，∴AB ＝AD ＝4，∴AG =12AD ＝2，∵△ABE ∽△AEG ，∴AE AG =AB AE，∴AE 2＝AB •AG ＝4×2＝8，∴AE ＝22，∴AE 的长是22．总结提升：此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∠ABE ＝∠AEG 是解题的关键．13．（2022秋•洛阳期末）如图，把边长为3的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0°＜n ＜90°）得到正方形ODEF ，DE 与BC 交于点P ，ED 的延长线交AB 于点Q ，交OA 的延长线于点M ，若BQ ：AQ ＝4：1，求AM 的值．思路引领：由BQ ：AQ ＝3：1，AQ ：AB ＝1：4，再由△ODM ∽△QAM 可得AM ：DM ＝1：4，设AM ＝x ，在Rt △ODM 中由勾股定理即可求解；解：∵BQ ：AQ ＝3：1，∴AQ AB =14，∵把边长为3的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜90）得到正方形ODEF ，∴OD ＝AB ＝OA ＝3，∠ODE ＝∠OAB ＝90°，∴∠ODM ＝∠QAM ＝90°，又∵∠M ＝∠M ，∴△ODM ∽△QAM ，∴AQ OD =AM DM =AQ AB =14，设AM ＝x ，则DM ＝4x ，OM ＝3+x ，在Rt△ODM中，由勾股定理得：OD2+DM2＝OM2，即32+（4x）2＝（3+x）2，解得：x=25或0（舍去），∴AM=2 5．总结提升：本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．14．（2022秋•邹平市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．思路引领：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理易求得DE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出AF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°．∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4，∵AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ，在Rt △ADE 中，DE =AD 2+AE 2=32+32=32，∵△ADF ∽△DEC ，∴AD DE =AF DC，即332=AF 4，∴AF =4×332=22．总结提升：本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法及性质．第二部分 专题提优训练1．（2023•偃师市一模）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ．已知四边形BFED 是平行四边形，DE BC =14．（1）若AB ＝12，求线段AD 的长．（2）若△ADE 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．思路引领：（1）证明△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC 的面积是16，同理可得△EFC 的面积＝9，根据面积差可得答案．解：（1）∵四边形BFED 是平行四边形，∴DE ∥BF ，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB =DE BC =14，∴AD＝3；（2）∵△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=（DEBC）2＝（14）2=116，∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积是16，∵四边形BFED是平行四边形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴S△EFCS△ABC=（34）2=916，∴△EFC的面积＝9，∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．总结提升：本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．2．（2022秋•济南期末）如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点，直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2，AE=2，S△AEF=2 3．①求AB的长；②求△EBC的面积．思路引领：（1）根据平行四边形的性质，可以得到BA∥CD，然后即可得到∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，从而可以得到结论成立；（2）①根据相似三角形的性质和题目中的数据，平行四边形的性质，可以计算出AB的长；②根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可以计算出△EBC的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF；（2）解：①由（1）知△AEF∽△DCF，∴AEDC=AFDF，∵AF：DF＝1：2，AE=2，∴2DC=12，∴DC＝22，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴AB＝22；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴S△EAFS△EBC=（EAEB）2，∵S△AEF=23，AB＝22，AE=2，∴EB＝EA+AB＝32，∴EAEB=232=13，∴23S△EBC=(13)2，解得S△EBC＝6，即△EBC的面积是6．总结提升：本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2022秋•金东区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，动点E在边BC上，连结DE，过点A 作AH⊥DE，垂足为H，AH交CD于F．（1）求证：△CDE∽△DAF；（2）当FC＝1时，求EC的长．思路引领：（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝∠BCD＝90°．根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据矩形的性质得到DC＝AB＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，又∵AH⊥DE，∴∠EDC＝90°﹣∠DFA＝∠DAF，∴△ADF∽△DCE；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝3，∵FC＝1，∴DF＝DC﹣FC＝2，∵△ADF∽△DCE，∴ADDC=DFEC，∴EC=DC⋅DFAD=3×26=1．总结提升：本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4．（2022秋•惠济区校级期末）如图1，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E为BD上的一个动点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE，连接AF．（1）若点E与点B重合（如图2），判断AF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）若以A，F，B，E为顶点的四边形是平行四边形，BD＝3，请直接写出线段BE的长度．思路引领：（1）如图2，先根据矩形的性质得到AD ＝BC ，AD ∥BC ，然后判断四边形AFBD 为平行四边形，从而得到AF ＝BD ，AF ∥BD ；（2）当AB 为对角线时，如图1，先根据矩形的性质得到OC ＝OA ，OB ＝OD ，再根据三角形中位线的性质得到OE ∥AF ，OE =12AF ，当AB 为对角线时，如图1，根据平行四边形的性质得到AF ＝BE ，则OB =32BE ，此时BE ＝1；当AB 为边时，如图3，此时E 点与D 点重合，从而得到BE ＝BD ＝3．解：（1）AF ＝BD ，AF ∥BD ．理由如下：如图2，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵EF ＝CF ，∴EF ＝AD ，∵AD ∥EF ，∴四边形AFBD 为平行四边形，∴AF ＝BD ，AF ∥BD ．（2）∵四边形ABCD 为矩形，∴OC ＝OA ，OB ＝OD ，∵CE ＝EF ，∴OE ∥AF ，OE =12AF ，当AB 为对角线时，如图1，∵四边形AFBE 为平行四边形，∴AF ＝BE ，∴OB ＝OE +BE =32BE ，∵BD ＝3，∴32BE＝1.5，∴BE＝1；∴当AB为边时，如图3，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AB＝CE，而AB＝CD，∴此时E点与D点重合，∴BE＝BD＝3，综上所述，BE的长为1或3．总结提升：本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；也考查了平行四边形的判定和三角形中位线性质．5．（2022秋•路南区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，点P为AB边上一动点，DP交AC 于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒2个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC？思路引领：（1）根据矩形的性质可得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠DCQ＝∠QAP，∠PDC＝∠QPA，进而可得判定△APQ∽△CDQ；（2）首先证明△DAP∽△ABC，结合相似三角形即可得到t的值．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠DCQ＝∠QAP，∠PDC＝∠QPA，∴△APQ∽△CDQ；（2）解：当t＝2时，DP⊥AC；∵∠ADC＝90°，DP⊥AC，∴∠AQD＝∠AQP＝∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠APQ＝∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB，∴△DAP∽△ABC，∴DAAB=APBC，∴816=2t8解得：t＝2，即当t＝2时，DP⊥AC．总结提升：此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例．6．（2022秋•嘉定区校级期末）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB 于点M，点N在射线MB上，且∠ANE＝∠DCE．（1）如图，求证：AE是AM和AN的比例中项；（2）当点N在线段AB的延长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长．思路引领：（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用△EDC∽△CAD，得出比例式求得线段DE，AE，利用△AME∽△DEC求得线段AM，利用（1）的结论求得线段AN，则MN＝AN﹣AM．（1）证明：∵EM⊥EC，∴∠AEM+∠DEC＝90°．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∵∠ANE＝∠DCE，∴∠ANE＝∠AEM．∵∠A＝∠A，∴△ANE∽△AEM，∴AEAN=AMAE．∴AE2＝AM•AN，∴AE是AM和AN的比例中项；（2）解：如图，AC=AD2+CD2=32+42=5．∵AC与NE互相垂直，∴∠AFE＝90°，∴∠ANE+∠NAF＝90°．∵∠NAF+∠CAD＝90°，∴∠ANE＝∠DAC．∵∠ANE＝∠DCE，∴∠DAC ＝∠DCE ，∵∠D ＝∠D ，∴△EDC ∽△CAD ，∴CD AD =DE CD，∴34=DE 3，∴DE =94，∴AE ＝AD ﹣DE =74．∵EM ⊥EC ，∴∠AEM +∠DEC ＝90°．∵四边形ABCD 为矩形，∴∠MAE ＝∠D ＝90°，∴∠DEC +∠ECD ＝90°，∴∠AEM ＝∠DCE ，∴△AME ∽△DEC ，∴AE AM =CD DE，∴74AM =394，∴AM =2116．由（1）知：AE 2＝AM •AN ，∴AN =73，∴MN ＝AN ﹣AM =73―2116=4948．总结提升：本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2022秋•唐河县期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点M 以1cm /s 的速度从A 点出发，沿AB 向点B 运动，同时动点N 以2cm /s 的速度从点D 出发，沿DA 向点A 运动，设运动的时间为t 秒（0＜t ＜3）．（1）当t 为何值时，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的19？（2）是否存在某一时刻t ，使得以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）根据矩形的性质求出∠BAD ＝90°，求出AM 、AN ，根据三角形的面积公式，利用S =19×18建立方程，解之即可；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t 值即可说明存在，反之则不存在．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝6cm ，∠BAD ＝90°，AM ＝tcm ，AN ＝6﹣2t （cm ），∴S △AMN =12AN •AM =12×（6﹣2t ）×t ＝﹣（t ―32）2+94（0≤t ≤3），依题意得：﹣（t ―32）2+94=19×3×6，t 2﹣3t +2＝0，t 1＝2，t 2＝1．答：经过1秒或2秒时，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的19；（2）设运动时间为t 秒，由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（6﹣2t ）（cm ），AM ＝t （cm ），若△NMA ∽△ACD ，则有AD ：AN ＝CD ：AM ，即6：（6﹣2t ）＝3：t ，解得t ＝1.5，若△MNA ∽△ACD则有AD ：AM ＝CD ：AN ，即6：t ＝3：（6﹣2t ），解得t ＝2.4，答：当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似．总结提升：本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．8．（2022秋•运城期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，连接AE交BD于点G，交CD于点H．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）求证：DG2＝FG•BG；（3）若AB＝14，BC＝24，求线段GH的长度．思路引领：（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）由已知可证得△ADG∽△EBG，△AGF∽△EGD，根据相似三角形的对应边成比例即可得到DG2＝FG•BG；（3）由已知可得到DH，AH的长，又因为△ADG∽△EBG，从而求得AG的长，则根据GH＝AH﹣AG 就得到了线段GH的长度．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵延长BC到点E，使CE＝BC，∴AD∥CE，AD＝CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）证明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，∴DGBG=AGGE，∵四边形ACED是平行四边形，∴AC∥DE，∵△AGF∽△EGD，∴AGEG=FGDG，∴DGBG=FGDG，∴DG2＝FG•BG；（3）解：∵四边形ACED为平行四边形，AE，CD相交点H，∴DH=12DC=12AB＝7，AD＝CE＝24，在Rt△ADH中，AH2＝AD2+DH2，∴AH＝25，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴AE＝50，∵△ADG∽△EBG，∴AGEG=ADBE=12，∴AG=12 GE，∴GE＝2AG，∴AG=13×AE=503，∴GH＝AH﹣AG=25 3．总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．9．（2021秋•三原县期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD．（1）求DE的长；（结果保留根号）（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF．①求证：△AGE∽△DGF；②求DF的长．（提示：过点E作EH⊥CD于点H．）思路引领：（1）只要证明DE 是等边△DBC 的高即可解决问题；（2）①由△AGD ∽△EGF ，可得AG EG =DG FG ，推出AG DG =EG FG，又∠AGE ＝∠DGF ，即可推出△AGE ∽△DGF ；②求出CF 的长即可解决问题．（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴CB ＝CD ，∵∠C ＝60°，∴△CDB 是等边三角形，∴DB ＝DC ＝AB ＝4，∵BE ＝EC∴DE ⊥BC ，∴DE ＝CD •sin C °＝23．（2）①证明：∵AD ∥BC∴∠ADG ＝∠DEC ＝90°，∴∠ADG ＝∠GFE ＝90°，又∵AGD ＝∠EGF ，∴△AGD ∽△EGF ，∴AG EG =DG FG ，∴AG DG =EG FG ，∵∠AGE ＝∠DGF ，∴△AGE ∽△DGF ，②解：作EH ⊥CD 于H ．∵△AGE∽△DGF，∴∠EAG＝∠GDF＝30°，∵∠GFE＝∠ADG＝90°，∴EF=12AE=1242+(23)2=7，在Rt△ECH中，CH＝1，EH=3，在Rt△EFH中，FH=(7)2―(3)2=2，∴CF＝2+1＝3，∴DF＝CD﹣CF＝1．总结提升：本题主要考查相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．10．（2022•江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．思路引领：（1）根据两角相等可得两三角形相似；（2）根据（1）中的相似列比例式可得结论．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴ABAE=ACAB，∵AB＝6，AC＝4，∴6AE=46，∴AE=364=9．总结提升：本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．11．（2021秋•宝塔区校级期末）如图，在菱形ABOC中，对角线AO，BC相交于点D，BE⊥AC于点E，A0与BE交于点H．（1）求证：△BAD∽△HBD；（2）延长OC交BE的延长线于点F．求证：HB2＝HE•HF．思路引领：（1）由题意可知，∠ADB＝∠HEA＝90°．由互余及菱形的性质可知，∠CAD＝∠DBH＝∠BAD，由此可得结论；（2）如图，连接CH，由菱形的性质可知，AD垂直平分BC，所以HB＝HC，则∠HBC＝∠HCB．由平行的性质可得，∠HCF＝90°．可证△FHC∽△CHE，所以HC：HE＝HF：HC，进而可得结论．证明：（1）∵四边形ABOC是菱形，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADB＝90°．∵BE⊥AC于点E，∵∠CAD+∠AHE＝∠DBH+∠BHD＝90°，∠AHE＝∠BHD，∴∠CAD＝∠DBH，∴∠BAD＝∠DBH．又∵∠ADB＝∠BDH，∴△BAD∽△HBD．（2）如图，连接CH，∵四边形ABOC是菱形，∴AD垂直平分BC，∴HB＝HC，∴∠HBC＝∠HCB．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠BEC＝90°，∴∠HBC+∠ACB＝90°，∴∠HCB+∠ABC＝90°．∵CF∥AB，∴∠ABC+∠HCB+∠HCF＝180°，∴∠HCF＝90°．∵∠HCF＝∠HEC＝90°，∠FHC＝∠CHE，∴△FHC∽△CHE，∴HC：HE＝HF：HC，∴HC2＝HE•HF，∴HB2＝HE•HF．总结提升：本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质及平行线的性质等若干几何知识点，具有一定的综合性与难度．12．（2022秋•未央区校级期末）已知有一块三角形材料∠ABC，其中BC＝120cm，高AD＝80cm，现需要在三角形ABC上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形EFGH的顶点E、F分别在边AB，AC上，H、G在BC上，裁下的正方形EFGH的边长是多少？思路引领：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出边长．解：∵正方形EFGH的边HG在BC上，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴EFBC=AMAD，∴设EF＝xcm，则EH＝EH＝MD＝xcm，∴x120=80―x80，∴解得：x＝48，∴这个正方形零件的边长为48cm．总结提升：本题主要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．27．（2022秋•东明县校级期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当CEEB=13时，求S△CEFS△CDF的值；（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=12 BG．思路引领：（1）由四边形ABCD是正方形得BC＝AD，由CEEB =13得CEBC=14，则CEAD=14，再证明△CFE∽△AFD，得EFDF =CEAD=14，即可求得S△CEFS△CDF=EFDF=14；（2）由E是BC的中点得CE＝BE=12BC，则CE=12AD，再证明△CFE∽△AFD，得CFAF=CEAD=12，由FG∥AB，根据平行线分线段成比例定理得CGBG =CFAF=12，所以CG=12BG．（1）解：如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AD，∵CEEB=13，∴CEBC=14，∴CEAD=14，∵CE∥AD，∴△CFE∽△AFD，∴EFDF=CEAD=14，∵△CEF与△CDF在EF、DF边上的高相等，∴S△CEFS△CDF=EFDF=14，∴S△CEFS△CDF的值是14．（2）证明：如图②，∵E是BC的中点，∴CE＝BE=12 BC，∴CE=12 AD，∵CE∥AD，∴△CFE∽△AFD，∴CFAF=CEAD=12，∵FG⊥BC于点G，∴∠FGC＝∠ABC＝90°，∴FG∥AB，∴CGBG=CFAF=12，∴CG=12 BG．总结提升：此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，证明△CFE∽△AFD是解题的关键．。
2021年中考数学真题 几何综合压轴问题(解答题)-(原卷版)
33几何综合压轴问题（解答题）一、解答题1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形ABC中，BAC∠=︒．点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，90F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90︒得到AG，连接GC，HB．（1）证明：AHB AGC≌；（2）如图2，连接GF，HC，AF交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有90∠=︒；HFG①若4==，当EH的长度为多少时，AQG为等腰三角形？AB AC2．（2021·湖北中考真题）问题提出如图（1），在ABC和DEC中，=，EC DC=，点E在ABC内部，直线AD与BE交于点∠=∠=︒，BC ACACB DCE90F，线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展 如图（3），在ABC 和DEC 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，BC kAC =，EC kDC =（k 是常数），点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ，直接写出一个等式，表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系．3．（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，AD 为ABC 的角平分线，60ADC ∠=︒，点E 在AB 上，AE AC =．求证：DE 平分ADB ∠．（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G ．若FB FC =，2DG =，3CD =，求BD 的长．（拓展延伸）（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,2BAD BCA DCA ∠∠=∠，点E 在AC 上，EDC ABC ∠=∠．若5,2BC CD AD AE ===，求AC 的长．4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形ABCD 内接于O ，BD 为直径，AD 上存在点E ，满足AE CD =，连结BE 并延长交CD 的延长线于点F ，BE 与AD 交于点G ．（1）若DBC α∠=，请用含α的代数式表列AGB ∠．（2）如图2，连结,CE CE BG =．求证；EF DG =．（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG ，2AD =．①若tan ADB ∠=，求FGD 的周长． ①求CG 的最小值．5．（2021·浙江中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．①求APO ∠'的度数．①求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．6．（2021·浙江中考真题）已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠==，求BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =．（3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．7．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作CF //AD 交线段AE 于点F ，连接BF ． （1）求证：ABF EAD △≌△；（2）如图2，若9AB =，5CD =，ECF AED ∠=∠，求BE 的长；（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求BE EC的值．8．（2021·四川中考真题）在等腰ABC中，AB AC=，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．（1）如图1，若60C∠=°，点D关于直线AB的对称点为点E，结AE，DE，则BDE∠= ________；（2）若60C∠=°，将线段AD绕点A顺时针旋转60︒得到线段AE，连结BE．①在图2中补全图形；①探究CD与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，若AB ADkBC DE==，且ADE C∠=∠，试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．9．（2021·山东中考真题）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且BD CD=．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD ED=；（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．①若CF CH⋅=⋅；=，如图2，求证：CF AF FO AH①若圆的半径为2，1BD=，如图3，求AC的值．10．（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且1AE=，小亮以BE 为边作等边三角形BEF，如图1，求CF的长；（2）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B 的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．11．（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则EAF∠=度．操作二：如图①，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠=AEF度．在图①中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证ANP FNE△≌△：．（2）若AB=AP的长为．12．（2021·湖南中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，N 是BC 边上的一点，D 为AN 的中点，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于T ，且AT BN =，连接BT ．（1）求证：BN CN =；（2）在如图中AN 上取一点O ，使AO OC =，作N 关于边AC 的对称点M ，连接MT 、MO 、OC 、OT 、CM 得如图．①求证：TOM AOC ∽；①设TM 与AC 相交于点P ，求证：1//,2PD CM PD CM =． 13．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD 是半径为3的①O 的一条弦，BD ＝A 是①O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作平行四边形ABCD ．（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．①求证：平行四边形ABCD是菱形；①求平行四边形ABCD的面积．（2）若点A运动到优弧BD上，且平行四边形ABCD有一边与①O相切．①求AB的长；①直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．14．（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若︒︒︒等大小的角，可以采用如下方法：身旁没有量角器或三角尺，又需要作60,30,15操作感知：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图13-1）．第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图13-2）．猜想论证：（1）若延长MN 交BC 于点P ，如图13-3所示，试判定BMP 的形状，并证明你的结论．拓展探究：（2）在图13-3中，若AB a BC b ==，，当a b ，满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD 中剪出符（1）中的等边三角形BMP ？ 15．（2021·海南中考真题）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，且点E 不与点B C 、重合，点F 是BA 的延长线上一点，且AF CE =．（1）求证：DCE DAF ≌；（2）如图2，连接EF ，交AD 于点K ，过点D 作DH EF ⊥，垂足为H ，延长DH 交BF 于点G ，连接,HB HC ．①求证：HD HB =；①若DK HC ⋅=，求HE 的长．16．（2021·甘肃中考真题）问题解决：如图1，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，,DE AF DE AF =⊥于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长CB 到点H ，使得BH AE =，判断AHF △的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，DE 与AF 相交于点G ，,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==，求DE 的长．17．（2021·四川中考真题）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MN PM的值； （3）在（2）的条件下，若BC =PMN 面积的最大值．18．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在ABCD 中，BE AD ⊥，垂足为E ，F 为CD 的中点，连接EF ，BF ，试猜想EF 与BF 的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将ABCD 沿着BF （F 为CD 的中点）所在直线折叠，如图①，点C 的对应点为'C ，连接'DC 并延长交AB 于点G ，请判断AG 与BG 的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将ABCD 沿过点B 的直线折叠，如图①，点A 的对应点为'A ，使'A B CD ⊥于点H ，折痕交AD 于点M ，连接'A M ，交CD 于点N ．该小组提出一个问题：若此ABCD 的面积为20，边长5AB =，BC =图中阴影部分（四边形BHNM ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．19．（2021·浙江中考真题）问题：如图，在ABCD 中，8AB =，5AD =，DAB ∠，ABC ∠的平分线AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：2EF =．探究：（1）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变．①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；①当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求AD AB 的值．20．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<≤︒，得到矩形'''AB C D[探究1]如图1，当90α=︒时，点'C 恰好在DB 延长线上．若1AB =，求BC 的长．[探究2]如图2，连结'AC ，过点'D 作'//'D M AC 交BD 于点M ．线段'D M 与DM 相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB 分别交'AD ，'AC 于点P ，N （如图3），MN ，PN 存在一定的数量关系，并加以证明．21．（2021·浙江中考真题）如图，在菱形ABCD 中，ABC ∠是锐角，E 是BC 边上的动点，将射线AE 绕点A 按逆时针方向旋转，交直线CD 于点F ．（1）当AE BC EAF ABC ，时，①求证：AE AF =；①连结BD EF ，，若25EF BD =，求ABCDＡＥＦ菱形ＳＳ的值； （2）当12EAF BAD ∠=∠时，延长BC 交射线AF 于点M ，延长DC 交射线AE 于点N ，连结AC MN ，，若42AB AC ==，，则当CE 为何值时，AMN 是等腰三角形． 22．（2017·山东德州市·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF //AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动；①当点Q 与点C 重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长；①若限定P 、Q 分别在边BA 、BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离．23．（2020·广西中考真题）已知：在矩形ABCD 中，6AB =，AD =P 是BC 边上的一个动点，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点P 重合，点D 落在点G 处，折痕为EF ．（1）如图1，当点P 与点C 重合时，则线段EB =_______________，EF =_____________； （2）如图2，当点P 与点B ，C 均不重合时，取EF 的中点O ，连接并延长PO 与GF 的延长线交于点M ，连接PF ，ME ，MA ．①求证：四边形MEPF 是平行四边形：①当1tan 3MAD ∠=时，求四边形MEPF 的面积．24．（2020·山东中考真题）在等腰①ABC 中，AC ＝BC ，ADE 是直角三角形，①DAE ＝90°，①ADE ＝12①ACB ，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ．（1）当①CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出①EAB与①CBA的数量关系是．线段BE与线段CF的数量关系是；①如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰①ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．（2）当①CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．25．（2021·天津中考真题）已知ABC内接于,,42=∠=︒，点D是OO AB AC BAC上一点．（①）如图①，若BD为O的直径，连接CD，求DBC∠的大小；∠和ACD（①）如图①，若CD//BA，连接AD，过点D作O的切线，与OC的延长线交于点E，求E∠的大小．26．（2021·浙江中考真题）如图，锐角三角形ABC内接于O，BAC∠的平分线AG 交O于点G，交BC边于点F，连接BG．(1)求证：ABG AFC∽△．(2)已知AB a，AC AF b==，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．(3)已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），ABD CBE∠=∠，求证：2=⋅．BG GE GD27．（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将①ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与①DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，①BHC的大小是否变化？为什么？28．（2021·甘肃中考真题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知,AB C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB于点,D AC于点E，连接,AD CD；①以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F（,F A两点不重合），连接DF BD BF．,,BC BF的数量关系．（2）直接写出引理的结论：线段,29．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，对于点A和''分线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到O的弦B C''（,B C别是,B C的对应点），则称线段BC是O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．30．（2021·湖北中考真题）如图，在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上一点（BO DO >），OE AB ⊥，垂足为E ，以OE 为半径的O 分别交DC于点H ，交EO 的延长线于点F ，EF 与DC 交于点G ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若G 是OF 的中点，2OG =，1DG =．①求HE 的长；①求AD的长．31．（2021·山东中考真题）如图，在O中，AB是直径，弦CD AB⊥，垂足为H，E为BC上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE FP=．（1）求证：FE是O的切线；（2）若O的半径为8，3F=，求BG的长．sin532．（2021·四川中考真题）如图，①O的半径为1，点A是①O的直径BD延长线上的一点，C为①O上的一点，AD＝CD，①A＝30°．（1）求证：直线AC是①O的切线；（2）求①ABC的面积；（3）点E在BND上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；①当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．33．（2021·重庆中考真题）在ABC 中，AB AC =，D 是边BC 上一动点，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转至AE 的位置，使得180DAE BAC ∠+∠=︒．（1）如图1，当90BAC ∠=︒时，连接BE ，交AC 于点F ．若BE 平分ABC ∠，2BD =，求AF 的长；（2）如图2，连接BE ，取BE 的中点G ，连接AG ．猜想AG 与CD 存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG ，CE ．若120BAC ∠=︒，当BD CD >，150AEC ∠=︒时，请直接写出BD DG CE-的值． 34．（2021·四川中考真题）如图，点D 在以AB 为直径的①O 上，过D 作①O 的切线交AB 延长线于点C ，AE CD ⊥于点E ，交①O 于点F ，连接AD ，FD ． （1）求证：DAE DAC ∠=∠；（2）求证：DF AC AD DC ⋅=⋅；（3）若1sin 4C ∠=，AD =EF 的长．35．（湖南省益阳市2021年中考数学真题）如图，在等腰锐角三角形ABC 中，AB AC =，过点B 作BD AC ⊥于D ，延长BD 交ABC 的外接圆于点E ，过点A 作AF CE ⊥于F ，,AE BC 的延长线交于点G ．（1）判断EA 是否平分DEF ∠，并说明理由；（2）求证：①BD CF =；①22BD DE AE EG =+⋅．36．（2021·湖南中考真题）如图①，E F 、是等腰Rt ABC 的斜边BC 上的两动点，45,EAF CD BC ∠=︒⊥且CD BE =．（1）求证：ABE ACD △≌△；（2）求证：222EF BE CF =+；（3）如图①，作AH BC ⊥，垂足为H ，设,EAH FAH αβ∠=∠=，不妨设AB =，请利用（2）的结论证明：当45αβ+=︒时，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅成立． 37．（2021·黑龙江中考真题）如图所示，四边形ABCD 为正方形，在ECH 中，90,,ECH CE CH HE ∠=︒=的延长线与CD 的延长线交于点F ，点D B H 、、在同一条直线上．（1）求证：CDE CBH ≌；（2）当15HB HD =时，求FD FC 的值； （3）当3,4HB HG ==时，求sin CFE ∠的值．38．（2021·四川中考真题）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，连接,AC BC ，D 为AB 延长线上一点，连接CD ，且BCD A ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若O ABC 的面积为CD 的长；（3）在（2）的条件下，E 为O 上一点，连接CE 交线段OA 于点F ，若12EF CF =，求BF 的长．39．（2021·湖南中考真题）如图，在Rt ABC △中，点P 为斜边BC 上一动点，将ABP △沿直线AP 折叠，使得点B 的对应点为B '，连接AB '，CB '，BB '，PB '． （1）如图①，若PB AC '⊥，证明：PB AB ''=．（2）如图①，若AB AC =，3BP PC =，求cos B AC '∠的值．（3）如图①，若30ACB ∠=︒，是否存在点P ，使得AB CB '=．若存在，求此时PC BC 的值；若不存在，请说明理由．40．（2021·浙江中考真题）（推理）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌． （运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长．（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若ABkBC=，45HDHF=，求DEEC的值（用含k的代数式表示）．41．（2021·江苏中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；(2)当正方形AEFG旋转至图①位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．42．（2021·湖北中考真题）在矩形ABCD中，2AB=，4=AD，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE AD⊥于E，将AEF沿EF翻折得到GEF△，点G 在射线AD上，连接CG．（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，90∠=︒，延长GF交AB于H，连FGC接CH．①求证：CDG GAH△∽△；①求tan GHC∠．（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，90GCF∠=︒，判断GCF与AEF 是否全等，并说明理由．。
备考2023年中考数学二轮复习-图形的性质_三角形_勾股定理的应用-综合题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-图形的性质_三角形_勾股定理的应用-综合题专训及答案勾股定理的应用综合题专训1、(2014南通.中考真卷) 如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于点G．（1）若M为边AD中点，求证△EFG是等腰三角形；（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．2、(2019扬中.中考模拟) 如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE.连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF.（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB=2，求BD的长.3、(2019绍兴.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+ ，0），对于线段AB和点P给出如下定义：当∠APB＝90°时，称点P为线段AB的“直角视点”.（1）若t＝﹣，在点C（0，），D（﹣1，），E（，）中，能够成为线段AB“直角视点”的是.（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（，0），∠OMN ＝30°.①线段AB的“直角视点”P在直线MN上，且∠ABP＝60°，求点P的坐标.②在①的条件下，记Q为直线MN上的动点，在点Q的运动过程中，△QAB的周长存在最小值，试求△QAB周长的最小值.③若线段AB的所有“直角视点”都在△MON内部，则t的取值范围是.4、(2015宁波.中考模拟) 如图，在直角坐标系中点A（2，0），点P在射线（x＜0）上运动，设点P的横坐标为a，以AP为直径作⊙C，连接OP、PB，过点P作PQ⊥OP交⊙C于点Q．（1）证明：∠AOP=∠BPQ；（2）当点P在运动的过程中，线段PQ的长度是否发生变化，若变化，请用含a的代数式表示PQ的长；若不变，求出PQ的长；（3）当tan∠APO= 时，①求点Q坐标；②点D是圆上任意一点，求QD+OD的最小值．5、(2016余姚.中考模拟) 如图，墙面OC与地面OD垂直，一架梯子AB长5米，开始时梯子紧贴墙面，梯子顶端A沿墙面匀速每分钟向下滑动1米，x分钟后点A 滑动到点A′，梯子底端B沿地面向左滑动到点B′，OB′=y米，滑动时梯子长度保持不变．（1）当x=1时，y=米；（2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）研究（2）中函数图象及其性质．①填写下表，并在所给的坐标系中画出函数图象；②如果点P（x，y）在（2）中的函数图象上，求证：点P到点Q（5，0）的距离是定值；（4）梯子底端B沿地面向左滑动的速度是6、(2017慈溪.中考模拟) 按照有关规定：距高铁轨道 200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．如图是一个小区平面示意图，矩形ABEF为一新建小区，直线MN为高铁轨道，C、D是直线MN上的两点，点C、A、B在一直线上，且DA⊥CA，∠ACD=30°．小王看中了①号楼A单元的一套住宅，与售楼人员的对话如下：（1）小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由；（2）若一列长度为228米的高铁以252千米/小时的速度通过时，则A单元用户受到影响时间有多长？（温馨提示：≈1.4，≈1.7，≈6.1）7、(2018长清.中考模拟) 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，求△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD=2，试求出线段CP的最大值.8、(2019烟台.中考真卷) 如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边，可绕点开合，在边上有一固定点，支柱可绕点转动，边上有六个卡孔，其中离点最近的卡孔为，离点最远的卡孔为.当支柱端点放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得的长为，为，支柱为.（1）当支柱的端点放在卡孔处时，求的度数；（2）当支柱的端点放在卡孔处时，，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)9、(2016德州.中考真卷) 2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？（参考数据：son42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）10、(2018柳北.中考模拟) 如图，已知矩形ABCD中，点P为AD边上的一个动点，O 为对角线BD的中点，PO的延长线交BC于点E．（1）求证：；（2）若厘米，厘米，点P从点A出发，以的速度向D运动不与D重合设点P的运动时间为tmin，当t为何值时，四边形PBED 是菱形．11、(2020.中考模拟) 定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：（1）如图，已知A、B是上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点Q是直线上的一点，若在上存在一点P，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．12、(2021盐城.中考模拟) 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）① ________；②b与c的关系为________，a与d的关系为________.13、(2021苏州.中考模拟) 图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖落在的位置（如图2所示），已知厘米，厘米，厘米.（1）求点到的距离；（2）求E、两点的距离.14、如图①，Rt ABC和Rt BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．（1）观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；（3）拓展延伸：若BC＝， BE＝1，当旋转角α＝∠ACB 时，请直接写出线段AD的长度．15、已知：RtΔACB中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于E，点F为弧EC的中点，OF的延长线交CB于D．（1）求证：CD＝BD；（2）连接EC交OD于G，若AC＝6、CD＝4，求GF的长．勾股定理的应用综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换(折叠问题)-综合题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换（折叠问题）-综合题专训及答案翻折变换（折叠问题）综合题专训1、(2016连云港.中考真卷) 我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如右图，AO为入射光线，入射点为O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON．问题思考：（1）如图1，一束光线从点A处入射到平面镜上，反射后恰好过点B，请在图中确定平面镜上的入射点P，保留作图痕迹，并简要说明理由；（2）如图2，两平面镜OM、ON相交于点O，且OM⊥ON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B．小昕说，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点B．除了小昕的两种做法外，你还有其它做法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由；问题拓展：（3）如图3，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=30°，一束光线从点S出发，且平行于平面镜OM，第一次在点A处反射，经过若干次反射后又回到了点S，如果SA和AO的长均为1m，求这束光线经过的路程；（4）如图4，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=15°，一束光线从点P出发，经过若干次反射后，最后反射出去时，光线平行于平面镜OM．设光线出发时与射线PM的夹角为θ（0°＜θ＜180°），请直接写出满足条件的所有θ的度数（注：OM、ON足够长）2、(2017磴口.中考模拟) 如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C 落在点E处，BE与AD交于点F．（1）求证：△ABF≌△EDF；（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．3、(2017吉林.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE，△ADE 沿DE折叠后得到△FDE，点F在矩形ABCD的内部，延长DF交于BC于点G．（1）求证：FG=BG；（2）若AB=6，BC=4，求DG的长．4、(2019吴兴.中考模拟) 定义：长宽比为：为正整数的矩形称为矩形下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：过点G作CD∥AB，使点D、点C分别落在边AF，BE上.则四边形ABCD 为矩形．（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）点M是边AB上一动点．如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，，连接求的值；连结AC，CM，当△AMC为等腰三角形时，将△CBM沿着CM翻折，点B的对称点为B’,连结AB’求的值.5、(2018龙湾.中考模拟) 如图，以AB为直径作⊙O，点C为⊙O上一点，劣弧CB 沿BC翻折，交AB于点D，过A作⊙O的切线交DC的延长线于点E．（1）求证：AC=CD；（2）已知tanE= ，AC=2，求⊙O的半径．6、(2016江西.中考真卷) 解方程组与证明（1）解方程组：．（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．求证：DE∥BC．7、(2016郓城.中考模拟) 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．8、(2018荆州.中考真卷) 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．（1）求证：△AFG≌△AFP；（2）△APG为等边三角形．9、(2018柳州.中考模拟) 如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．（1）求∠2、∠3的度数；（2）求长方形纸片ABCD的面积S．10、(2019仁寿.中考模拟) （本小题满分9分）如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP 沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC 于点N．（1）求证：AD2=DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若，求的值．11、(2016贵阳.中考模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=；（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．12、(2011遵义.中考真卷) 把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB=6cm，BC=8cm，求线段FG的长．13、(2020拱墅.中考模拟) 如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H 点．（1）求证：△ABE∽△DEG．（2）若AB=3，BC=5①点E在移动的过程中，求DG的最大值②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长．14、(2020.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B 恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2） P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m.①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；②是否存在点P，使S△A′MN = S△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由.15、(2020湖州.中考真卷) 已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B 沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E.（1）特例感知：如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝AC；（2）变式求异：如图2，若∠C＝90°，m＝，AD＝7，过点D作DH⊥AC 于点H，求DH和AP的长；（3）化归探究：如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围.翻折变换（折叠问题）综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
备考2021年中考数学二轮复习：图形的性质_相交线与平行线_垂线段最短,综合题专训及答案
，﹣）1，则 PB+PD已知是边长为逆时针方向旋转得到AE，连接DE.如图，猜想是三角形；（直接写出结果）CA时，；（直接写出结果）在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理（1） 如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 是AB 边上任意一点，则CD 的最小值为．（2） 如图②，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、点N 分别在BD 、BC 上，求CM+MN 的最小值．（3） 如图③，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BE F 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度．若不存在，请说明理由．4、(2020宁波.中考模拟) 已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n）是抛物线上的一个动点．（1）如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，请通过测量或计算，比较PA 与PB 的大小关系：PAPB （直接填写“＞”“＜”或“=”，不需解题过程）；（2） 请利用（1）的结论解决下列问题：①如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ，AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，简单说明理由；②如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式．5、(2015南平.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax +bx 的对称轴为x= ， 且经过点A （2，1），点P 是抛物线上的动点，P 的横坐标为m （0＜m ＜2），过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，PB 交OA 于点C ，点O 关于直线PB 的对称点为D ，连接CD ，AD ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式;（2）填空：①用含m 的式子表示点C ，D 的坐标：C （ ， ），D （ ， ）；2②当m= 时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标.6、(2019河南.中考模拟) 如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG ．（1）发现①线段DE、BG之间的数量关系是；②直线DE、BG之间的位置关系是．（2）探究如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）应用如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．7、(2018湖南.中考真卷) 如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）8、(2017郴州.中考真卷) 如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．9、(2016南山.中考模拟) 如图，平面直角坐标系中，O 为菱形ABCD 的对称中心，已知C （2，0），D （0，﹣1），N 为线段CD 上一点（不与C 、D重合）．（1）求以C 为顶点，且经过点D 的抛物线解析式；（2）设N 关于BD 的对称点为N ，N 关于BC 的对称点为N ，求证：△N BN ∽△ABC ；（3）求（2）中N N 的最小值；（4）过点N 作y 轴的平行线交（1）中的抛物线于点P ，点Q 为直线AB 上的一个动点，且∠PQA=∠BAC ，求当PQ 最小时点Q 坐标．10、(2019云南.中考模拟) 已知△ABC 是边长为4的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA ＝6，点D 是射线OM 上的动点，当点D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ， 连接DE ．（1） 如图1，求证：△CDE 是等边三角形．（2） 设OD ＝t ，①当6＜t ＜10时，△BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE 周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t 为何值时，△DEB 是直角三角形（直接写出结果即可）．11、(2019岐山.中考模拟) 问题探究：（1） 已知：如图①，△ABC 中请你用尺规在BC 边上找一点D ，使得点A 到点BC 的距离最短.（2） 托勒密（Ptolemy ）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图②，P 是正△ABC 外接圆的劣弧BC 上任一点（不与B 、C 重合），请你根据托勒密（Ptolemy ）定理证明：PA=PB+PC（3） 如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m 、60m 的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃121212圾箱在点P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由.12、(2020和平.中考模拟) 如图，在△ABC中，，tanA=3，∠ABC=45°，射线BD从与射线BA重合的位置开始，绕点B按顺时针方向旋转，与射线BC重合时就停止旋转，射线BD与线段AC相交于点D，点M是线段BD的中点．（1）求线段BC的长；（2）①当点D与点A、点C不重合时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接ME，MF，在射线BD旋转的过程中，∠EMF的大小是否发生变化？若不变，求∠EMF的度数；若变化，请说明理由．②在①的条件下，连接EF，直接写出△EFM面积的最小值________．13、(2020石家庄.中考模拟) 如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧，为的内心．（1）求证：；（2）设，用含的式子表示为，则求的最大值为．（3）当时，的取值范围为，则，．14、(2020阜阳.中考模拟) 已知在中，，，点为射线上一点（与点不重合），过点作于点，且（点与点在射线同侧），连接，．（1）如图1，当点在线段上时，请直接写出的度数．（2）当点在线段的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）在（1）的条件下，与相交于点，若，直接写出的最大值．15、(2020无锡.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图像经过点A（-2，0），B（0，-2 ）、过D （1，0）作平行于y轴的直线l；（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为.（3） M（s，t）为直线l上的一个动点，若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则求M，N点的坐标；备考2021中考数学二轮复习：图形的性质_相交线与平行线_垂线段最短，综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
题型四 解直角三角形-2021年中考数学二轮复习重点题型专项训练(含解析)
数学第二轮复习-----题型四解直角三角形1.如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A. 11米 B.（36﹣15）米 C. 15米 D. （36﹣10）米2.如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO=70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO=50°，那么AC的长度约为______米．（sin70°约等于0.94，sin50°约等于0.77，cos70°约等于0.34，cos50°约等于0.64）第1题图第2题图第3题图第4题图3.一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为______米．4.居家学习期间，小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度．如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45°，底部的俯角为38°；又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为31.6m．求该大楼的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）5.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α般要满足60°≤α≤75°，现有一架长5.5m的梯子．（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？（2）当梯子底端距离墙面2.2m时，α等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．）6.某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i=1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）7.如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．8.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．9.如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH=α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα=，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E 会不会触碰到汽车货厢顶部．10.某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B 处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米，参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73）11.鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB=30°，AB=4km，∠ABD=105°，求BD的长．12.由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且小岛与航母相距80海里，航母再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．13.在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C、E、D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）14如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60°方向上，与港口A相距60海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西45°方向，则从B到达C需要多少小时？第2页，共6页1.【答案】D【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出BE的长度，难度一般．过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而甲楼高AC=ED=BD-BE．【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE=30米，∠BAE=30°，∴BE=30×tan30°=10（米），∴AC=ED=BD-BE=（36-10）（米）．∴甲楼高为（36-10）米．故选：D．2.【答案】1.02【解析】解：由题意可得：∵∠ABO=70°，AB=6m，∴sin70°==≈0.94，解得：AO=5.64（m），∵∠CDO=50°，DC=6m，∴sin50°=≈0.77，解得：CO=4.62（m），则AC=5.64-4.62=1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO，CO的长是解题关键．3.【答案】【解析】解：在Rt△BCD中，∵tanβ=，∴BD =，在Rt△ACD中，∵tanα==，∴tanα=，解得：CD =，故答案为：．在Rt△BCD中有BD =，在Rt△ACD中，根据tanα==可得tanα=，解之求出CD即可得．本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是根据两直角三角形的公共边利用三角函数建立方程求解．4.【答案】解：作AH⊥CD于H，如图：则四边形ABDH是矩形，∴HD=AB=31.6m，在Rt△ADH中，∠HAD=38°，tan∠HAD =，∴AH ===≈40.51（m），在Rt△ACH中，∠CAH=45°，∴CH=AH=40.51m，∴CD=CH+HD=40.51+31.6≈72.1（m），答：该大楼的高度约为72.1m．【解析】作AH⊥CD于H，则四边形ABDH是矩形，得出HD=AB=31.6m，由三角函数定义求出AH≈40.51（m），证出CH=AH=40.51m，进而得出答案．本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．5.【答案】解：（1）由题意得，当α=75°时，这架梯子可以安全攀上最高的墙，在Rt△ABC中，sinα=，∴AC=AB•sinα≈5.3，答：使用这架梯子最高可以安全攀上5.3m的墙；（2）在Rt△ABC中，cosα==0.4，则α≈66.4°，∵60°≤66.4°≤75°，∴此时人能够安全使用这架梯子．【解析】（1）根据正弦的定义求出AC，得到答案；（2）根据余弦的定义求出α，根据题意判断即可．本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．6.【答案】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，∵CD⊥AD，∴易得四边形BEDF是矩形，∴FD=BE，FB=DE，在Rt△ABE中，BE：AE=1：2.4=5：12，设BE=5x，AE=12x，根据勾股定理，得AB=13x，∴13x=52，解得x=4，∴BE=FD=5x=20，AE=12x=48，∴DE=FB=AD-AE=72-48=24，∴在Rt△CBF中，CF=FB×tan∠CBF ≈24×≈32，∴CD=FD+CF=20+32=52（米）．答：大楼的高度CD约为52米．【解析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，可得四边形BEDF是矩形，设BE=5x，AE=12x，根据斜坡AB 的坡度为i=1：2.4，利用勾股定理可得x的值，再根据锐角三角函数即可进一步求大楼的高度CD．7.【答案】解：过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE=30°，∠CAD=60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD=tan60°==，∴AD ==20，∴BE=AD =20，在Rt△BCE中，tan∠CBE=tan30°==，∴CE =20=20，∴ED=CD-CE=60-20=40，∴AB=ED=40（米），答：楼房的高度为40米．【解析】过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE=30°，∠CAD=60°，解直角三角形即可得到结论．此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，用到的知识点是俯角的定义、特殊角的三角函数值，关键是作出辅助线，构造直角三角形．8.【答案】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，则AE=MN=CF=1.6m，EF=AC=35m，∠BEN=∠DFN=90°，EN=AM，NF=MC，第4页，共6页则DF=DC-CF=16.6-1.6=15m，在Rt△DFN中，∵∠DNF=45°，∴NF=DF=15m，∴EN=EF-NF=35-15=20m，在Rt△BEN中，∵tan∠BNE =，∴BE=EN•tan∠BNE=20×tan55°≈20×1.43=28.6m，∴AB=BE+AE≈28.6+1.6≈30m．答：居民楼AB的高度约为30米．【解析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE=MN=CF=1.6m，EF=AC=35m，再根据锐角三角函数可得BE 的长，进而可得AB的高度．9.【答案】解：∵BH=0.6米，sinα=，∴AB ==1米，∴AH=0.8米，∵AF=FC=2米，∴BF=1米，作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，∵EF=FB=AB=1米，∠EKF=∠FJB=∠AHB=90°，∠EFK=∠FBJ=∠ABH，∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，∴EK=FJ=AH，BJ=BH，∴BJ+EK=0.6+0.8=1.4＜2，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数求出BM+EN的长度，再与2比较大小即可解答本题．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．10.【答案】解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE=45°，∴AE=CE=x米，∵AB=20米，∴BE=（x-20）米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan63.4°≈2（x-20）米，∴2（x-20）=x，解得：x=40，在Rt△DAE中，DE=AE·tan30°=40×=米，∴CD=CE-DE =40-≈17（米），答：大楼部分楼体CD的高度约为17米．【解析】此题考查解直角三角形的应用——仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答．设楼高CE为x米，于是得到BE=（x-20）米，解直角三角形即可得到结论．11.【答案】解：作BE⊥AD于点E，∵∠CAB=30°，AB=4km，∴∠ABE=60°，BE=2km，∵∠ABD=105°，∴∠EBD=45°，∴∠EDB=45°，∴BE=DE=2km，∴BD ==2km，即BD的长是2km．【解析】根据∠CAB=30°，AB=4km，可以求得BE的长和∠ABE的度数，进而求得∠EBD的度数，然后利用勾股定理即可求得BD的长．本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12.【答案】解：过点B作BD⊥AC于点D，由题意，得：∠BAD=60°，∠BCD=45°，AB=80，在Rt△ADB中，∠BAD=60°，∴AD =AB=40，BD =AB =40，在Rt△BCD中，∠BCD=45°，∴BD=CD =40，∴BC =BD =40，答：BC的距离是40海里．【解析】过点B作BD⊥AC于点D，根据题意得到∠BAD=60°，∠BCD=45°，AC=80，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．13.【答案】解：过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G ，在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠BAF=0.8×0.9=0.72，AF=AB•cos∠BAF=0.8×0.4=0.32，∴FC=AF+AC=4.32，∵四边形FCGB是矩形，∴BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，∵∠BDG=45°，∴∠BDG=∠GBD，∴GD=GB=4.32，∴CD=CG+GD=5.04，在Rt△ACE中，∠AEC=50°，CE =，∴DE=CD-CE=5.04-3.33=1.71≈1.7，答：小水池的宽DE为1.7米．【解析】过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．此题考查的知识点是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．14.【答案】解：过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，在点B的正北方向上取点N，由题意得：∠MAB=∠NBA=90°，∠MAC=60°，∠NBC=45°，AC =60海里，∴∠CDA=∠CDB=90°，∵在Rt△ACD中，∠CAD=∠MAB-∠MAC=90°-60°=30°，∴CD =AC =30（海里），在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=∠NBD-∠NBC=90°-45°=45°，∴BC =CD=60（海里），∴60÷50=1.2（小时），∴从B处到达C岛处需要1.2小时．【解析】此题考查了解直角三角形的应用-方向角，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，在点B的正北方向上取点N，在直角三角形ACD中，求出CD 的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BC的长，进而求出所求时间即可．第6页，共6页。
备考2021年中考数学二轮复习：数与式_代数式_定义新运算,综合题专训及答案
（2） 如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的右侧），与x轴交于点C ，D． ①若∠CAB=90°，求m的值； ②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值 时，求m的值．
9、 (2018长沙.中考真卷) 我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
对数的定义：一般地，若 ＝N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN,比如指数式24＝16可以转化为 对数式4＝log216，对数式2＝log525,可以转化为指数式52＝25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M•N）＝logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),理由如下： 设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an, ∴M•N＝am•an＝am+n,由对数的定义得m+n＝loga（M•N）
（3） 如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（
点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△C
OD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；
又∵m+n＝logaM+logaN
∴loga（M•N）＝logaM+logaN
根据阅读材料，解决以下问题：
（1） 将指数式34＝81转化为对数式； （2） 求证：loga ＝logaM－logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),
2021年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合型解答题》专题突破训练(附答案)
2021年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合型解答题》专题突破训练（附答案）1．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A在直线DE上，过C点作CF⊥DE 于F，过B点作BG⊥DE于G．（1）发现问题：如图1，当B、C两点均在直线DE上方时，线段AG、BG和CF存在的数量关系是．（2）类比探究：当△ABC绕点A顺时针旋转至图2的位置时，线段AG、BG和CF之间的数量关系是否会发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请写出你的猜想，并给予证明；（3）拓展延伸：当△ABC绕点A顺时针旋转至图3的位置时，若CF＝1，AG＝2，请直接写出△ABC的面积．2．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB＝CB，（提示：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E）（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，则CD＝，CB ＝．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，点E 在AC边上，连接BE．（1）如图①，若点F是BE的中点，连接DF，且AF＝5，AE＝6，求DF的长；（2）如图②，若AF⊥BE于点F，并延长AF交BC于点G，当点E是AC的中点时，连接EG，求证：AG+EG＝BE；（3）在（2）的条件下，连接DF，请直接写出∠DFG的度数．4．如图1，两块直角三角纸板（Rt△ABC和Rt△BDE）按如图所示的方式摆放（重合点为B），其中∠BDE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD＝DE＝AC＝2．将△BDE绕着点B 顺时针旋转．（1）当点D在BC上时，求CD的长；（2）当△BDE旋转到A，D，E三点共线时，画出相应的草图并求△CDE的面积（3）如图2，连接CD，点G是CD的中点，连接AG，求AG的最大值和最小值．5．已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）如图，若AC＝12，BC＝5，AB＝13，求CD的长；（2）如图，E是AC上一点，且CE＝CB；①作EF⊥AB于点F，试探究线段EF、CD、BD三者的数量关系；②连ED，将ED绕E点逆时针旋转90°到EF，连BF交CD于点G，求证：FG＝BG．6．已知：如图，在△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，按图所示的方法将△ACD 沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处．（1）求折痕AD的长；（2）点P是边AB上的动点（点P与点A、B不重合），设AP＝x，△APD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点P是边AB上的动点（点P与点A、B不重合），当△APD为等腰三角形时，求AP的长．7．（1）如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在间一直线上，连接BE 求证：AD＝BE．（2）如图②△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90，点A、D、E 在同一直线上，CM为△DCE边DE上的高，连接BE．①求证：2CM+BE＝AE；②若将图②中的△DCE绕点C旋转至图③所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．8．如图1，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣2），线段AB绕着点A顺时针旋转90°得到线段AC，点C第三象限，连接BC得△ABC．（Ⅰ）求C点的坐标；（Ⅱ）求△ABC的面积；（Ⅲ）如图2，P为y轴负半轴上的一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以点P 为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过点D作DE⊥x轴于E点，请判断OP与DE的差是否是一个定值，并说明理由．9．如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为a（0＜a≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1＝CE1；（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，则旋转角为a＝（直接写结果）（3）连接P A，△P AB面积的最大值为（直接写结果）10．在△ABC中点P是△ABC内一点，且∠APC＝90°+∠ABC，连接PB，试探究P A，PB，PC满足的等量关系．下面我们按照从特殊到一般的顺序来研究．（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACP'，连接PP'，请补充图形，并由此得到P A，PB，PC满足的等量关系为；（2）如图2，当△ABC为含30°角的直角三角形时，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，将线段AP绕点A逆时针旋转90°，得到AP'．在AP'上截取AQ＝AP，连接PQ，CQ．请补全图形，写出P A，PB，PC满足的等量关系式，并给出证明；（3）如图3，当△ABC三边长分别为AB＝4，AC＝5，BC＝6时，直接写出P A，PB，PC满足的等量关系式（不需证明）．11．点A（﹣4，0）、点B（0，n）为y轴负半轴上一动点，过点B作BC⊥AB，且BC＝AB．（1）直接写出点C的坐标（用含n的式子表示）；（2）如图2，点C关于y轴的对称点为C′，连AC′并延长，交y轴于点D．在点B 移动的过程中，OD的长是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，求点D的坐标；（3）如图3，点F（3，0）在x轴上，过点B作BG⊥BF，且BG＝BF，连接CG交y 轴于H．若点H恰好为CG的中点，求BH的长．12．如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连结OD．（1）求证：△COD是等边三角形．（2）当α＝150°时，判断△AOD的形状，并说明理由．（3）当△AOD是等腰三角形时，直接写出α的度数．13．在△ABC中AC＝BC，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．（1）如图1，当α＝60°时，①求证：△ABD是等边三角形．②求证：BE垂直平分AD；（2）若AB＝12，AC＝BC＝10，将其他条件保持不变，①如图2，当α＝60°时，求BE的长；②在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE的值．（温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．）14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点P为AB边上一点，Q为BC边上一点，且∠BPQ＝∠APC，过点A作AD⊥PC，交BC于点D，直线AD分别交直线PC、PQ于E、F．（1）求证：∠FDQ＝∠FQD；（2）把△DFQ沿DQ边翻折，点F刚好落在AB边上点G，设PC分别交GQ、GD于M、N，试判定MN与EN的数量关系，并给予证明．15．在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，D（0，8），将矩形OBCD 折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（I）如图①，已知折痕与边BC交于点A，若OD＝2CP，求点A的坐标．（Ⅱ）若图①中的点P恰好是CD边的中点，求∠AOB的度数．（Ⅲ）如图②，在（I）的条件下，擦去折痕AO，线段AP，连接BP，动点M在线段OP上（点M与P，O不重合），动点N在线段OB的延长线上，且BN＝PM，连接MN 交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度（直接写出结果即可）16．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8．在边AB，AC分别取点D，E．连接DE．将△ADE沿DE翻折得△A′DE，且点A给好落在△ABC的边上．（1）如图1，点A在边AB上，若BA′＝2，求AD的长；（2）如图2，点A在边AC上，连接BA′，若BA′平分∠ABC，求折痕DE的长；（3）如图3，点A在边BC上，当△ADE为等腰三角形时，求其腰长．17．（1）如图1，等腰三角形纸片ABC，∠BAC＝30°，按图2将纸片沿DE折叠，使得点A与点B重合，此时∠DBC．（2）在（1）的条件下，将△DEB沿直线BD折叠，点E恰好落在线段DC上的点E′处，如图3，此时∠E′BC＝．（3）若另取一张等腰三角形纸片ABC，沿直线DE折叠（点D、E分别为折痕与直线AC、AB的交点），使得点A与点B重合，再将所得图形沿直线BD折叠，使得点E落在点E′的位置，直线BE′与直线AC交于点M．设∠BAC＝m°（m＜90），画出折叠后的图形，并直接写出对应的∠MBC的大小．（用含m的代数式表示）18．将两块全等的含30°角的三角尺按如图1所示的方式摆放在一起，它们较短的直角边BC＝EC＝3．（1）将△ECD沿直线l向左平移到图2的位置，使点E′落在AB上，则CC′＝；（2）将△ECD绕点C逆时针旋转到图3的位置，使点E′落在AB上，则△ECD绕点C 旋转的度数为；（3）将△ECD沿直线AC翻折到图4的位置，ED′与AB相交于点F，求证：AF＝FD′．19．已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB．（1）问题发现如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为，BD、AB、CB之间的数量关系为．（2）拓展探究当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．（3）解决问题当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2时，CB＝．20．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，△BPE和△CQE的形状有什么关系，请证明；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，△BPE和△CQE有什么关系，说明理由；（3）当BP＝1，CQ＝时，求P、Q两点间的距离．参考答案1．解：（1）发现问题：如图1，过点B作BH⊥CF于点H，∵BH⊥CF，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形BGFH是矩形，∴BH＝FG，FH＝BG，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠FCB＝90°，且∠FCB+∠CBH＝90°，∴∠ACF＝∠CBH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，∴△ACF≌△CBH（AAS），∴CH＝AF，BH＝CF＝FG，∵AG＝AF+FG，∴AG＝AF+CF＝CH+CF＝CF+CF﹣HF＝2CF﹣BG；故答案为：AG＝2CF﹣BG，（2）类比探究：数量关系发生改变，AG＝2CF+BG理由如下：如图2，过点B作BH⊥CF于H，∵BH⊥CF，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形BGFH是矩形，∴BH＝FG，FH＝BG，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠FCB＝90°，且∠FCB+∠CBH＝90°，∴∠ACF＝∠CBH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，∴△ACF≌△CBH（AAS），∴CH＝AF，BH＝CF＝FG，∴AG＝AF+FG＝CH+BH＝CF+FH+CF＝2CF+BG；（3）拓展延伸：如图3，过点C作CH⊥BG于H，∵CH⊥BG，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形CHGF是矩形，∴CH＝FG，CF＝GH，∠FCH＝90°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°＝∠FCH，∴∠ACF＝∠BCH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，∴△ACF≌△BCH（AAS），∴CH＝CF＝GF＝1，∴AF＝AG+GF＝3，∴AC＝CB＝＝＝，∴S△ABC＝×AC×BC＝5．2．解：（1）如图（2）：AB﹣BD＝CB．理由如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠ECD，∴∠BCD＝∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD，∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠D，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．又∵BE＝AB﹣AE，∴BE＝AB﹣BD，∴AB﹣BD＝CB．如图（3）：BD﹣AB＝CB．理由如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D，又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．又∵BE＝AE﹣AB，∴BE＝BD﹣AB，∴BD﹣AB＝CB．（2）MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，∴综合了第一个图和第二个图两种情况，若是第1个图：由（1）得：△ACE≌△DCB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴∠AEC＝45°＝∠CBD，过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形．BD＝BH，∴BH＝DH＝1，直角△CDH中，∠DCH＝30°，∴CD＝2DH＝2，CH＝，∴CB＝+1；若是第二个图：过D作DH⊥CB交CB延长线于H．解法类似上面，CD＝2，得出CB＝﹣1；故答案为：2，+1或﹣1．3．解：（1）∵将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，∴AB＝AC，BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，且∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点F是BE的中点，AF＝5，∠BAC＝90°，∴BE＝10，∴AB＝＝＝8，∴AC＝8，∴EC＝2，∵BD＝CD，BF＝EF，∴DF＝EC＝1，（2）如图②，过点C作CH⊥AC交AG的延长线于点H，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴∠ABC＝∠BAD＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∵∠BEA+∠CAH＝90°，∠CAH+∠H＝90°，∴∠H＝∠BEA，且AB＝AC，∠AFB＝∠ACH＝90°，∴△ABE≌△CAH（AAS）∴BE＝AH，AE＝CH，∠CAH＝∠ABE，∵AE＝CE，∴CE＝CH，∵∠ACH＝90°，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠GCH，且CE＝CH，CG＝CG，∴△CEG≌△CHG（SAS）∴EG＝GH，∵BE＝AH＝AG+GH，∴AG+EG＝BE；（3）如图②，连接NG，∵∠ABC＝∠BAD＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∴AD＝BD＝CD，∵∠BAN＝∠ACG＝45°，AB＝AC，∠ABE＝∠CAH，∴△ABN≌△CAG（ASA）∴AN＝CG，∴AD﹣AN＝CD﹣CG，∴DN＝DG，∴∠DNG＝45°∵∠NDG＝∠NFG＝90°，∴点N，点F，点G，点D四点共圆，∴∠DFG＝∠DNG＝45°．4．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，∴BC＝AC÷tan30°＝2，∵BD＝2，∴CD＝BC﹣BD＝2﹣2．（2）如图2中，当A、D、E共线时，易证四边形ACBD是矩形，∴S△CDE＝×DE×CA＝×2×2＝2．如图3中，当A、E、D共线时，作CH⊥AD于H．在Rt△ADB中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠CAH＝30°，∴CH＝AC＝1，∴S△CDE＝×DE×CH＝×2×1＝1．（3）如图4中，取BC的中点H，连接GH．∵CG＝GD，CH＝HB，∴HG＝BD＝1，∴点G的运动轨迹是以H为圆心1为半径的圆，在Rt△ACH中，AH＝＝＝，∴AG的最小值＝AH﹣GH＝﹣1，AG的最大值＝AH+GH＝+1．5．（1）解：如图1中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，∴CD＝＝．（2）解：①结论：CD﹣EF＝BD．理由：如图2中，作EH⊥CD于H．∵∠EFD＝∠FDH＝∠EHD＝90°，∴四边形EFDH是矩形，∴EF＝DH，∵∠EHC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ECH+∠CEH＝90°，∠ECH+∠BCD＝90°，∴∠CEH＝∠BCD，∵CE＝BC，∴△EHC≌△CDB（AAS），∴CH＝BD，∴CD﹣EF＝CD﹣DH＝CH＝BD．②证明：如图3中，作EH⊥CD于H．FM⊥DC交DC的延长线于M，ET⊥MF交MF 的延长线于T，连接CT．∵∠EHC＝∠M＝∠ETM＝90°，∴四边形EHMT是矩形，∴∠TEH＝90°，EH＝TM，∵∠DEF＝∠TEH＝90°，∴∠TEF＝∠HED，∵∠ETF＝∠EHD＝90°，EF＝ED，∴△ETF≌△DHD（AAS），∴ET＝EH＝TM，DH＝TF，∵△EHC≌△CDB，∴CH＝BD，EH＝CD＝TM，∴FM＝CH＝BD，∵∠FMG＝∠BDG＝90°，∠FGM＝∠BGD，FM＝BD，∴△FMG≌△BDG（AAS），∴FG＝BG．6．解：（1）如图1中，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝＝8，由翻折可知：CD＝DC′，AC＝AC′＝6，设CD＝DC′＝x，在Rt△BDC中，∵BD2＝C′D2+C′B2，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，∴AD＝＝＝3．（2）如图2中，由题意：y＝•P A•DC′＝×x×3x（0＜x＜10）．（3）如图3中，①当P A＝PD时，设P A＝PD＝m，在Rt△PCD中，∵PD2＝DC′2+C′P2，∴m2＝32+（6﹣m）2，解得m＝，∴P A＝．②当AD＝AP′＝3时，△ADP′是等腰三角形，③当PD＝AD时，点P在AB的延长线上不符合题意．综上所述，满足条件的P A的值为或3．7．解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°﹣∠CDB＝∠BCE．且AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE；（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∵CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM；②结论不成立，AE＝2CM﹣BE，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∵CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝DE﹣AD＝2CM﹣BE；8．解：（Ⅰ）如图1，∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，过点C作CF⊥x轴于F，∴∠AFC＝90°＝∠AOB，∴∠ACF+∠CAF＝90°，由旋转知，AC＝AB，∠BAC＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，∴∠ACF＝∠BAO，在△ACF和△BAO中，，∴△ACF≌△BAO（AAS），∴CF＝AO＝1，AF＝BO＝2，∴OF＝OA+AF＝3，∵点C在第三象限，∴C（3，﹣1）；（Ⅱ）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2＝12+22＝5，由旋转知，AC＝AB，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴S△ABC＝AC•AB＝AB2＝；（Ⅲ）OP与DE的差不是一个定值，理由：∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，∵△APD是等腰直角三角形，∴AP＝DP，∠APD＝90°，∴∠APO+∠DPG＝90°，过点D作DG⊥y轴于G，∴∠DGP＝90°＝∠POA，∴∠PDG+∠DPG＝90°，∴∠APO＝∠PDG，∴△AOP≌△PGD（AAS），∴PG＝OA＝1，∵DE⊥x轴，∴∠OED＝90°＝∠EOG＝∠DGO，∴四边形OGDE是矩形，∴DE＝OG，当点D在第四象限时，如图2，PG＝OP﹣OG＝OP﹣DE，∴OP﹣DE＝1，当点D在第一象限时，如图3，PG＝OP+OG＝OP+DE，∴OP+DE＝1．9．解：（1）在△ABD1和△ACE1中∴△ABD1≌△ACE1∴BD1＝CE1；（2）BD1与AC的交点记作点G，如图（2），由（1）知△ABD1≌△ACE1，∴∠ABD1＝∠ACE1，∵∠AGB＝∠CGP，∴∠CPG＝∠BAG＝90°∴∠CPD1＝90°，∵∠CPD1＝2∠CAD1，∴∠CAD1＝∠CPD1＝45°，∴旋转角α＝90°+∠CAD1＝135°故答案为135°；（3）如图3，∵AC＝AB＝4，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝AE＝2，由旋转知，AD1＝AE1＝AD＝2作PH⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1＝2，则BD1═＝2，∴∠ABP＝30°，∴PB＝BD1+PD1＝2+2，∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PH＝+．∴△P AB的面积最大值为AB×PH＝4+4，故答案为4+4．10．解：（1）将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACP'，连接PP'，∵将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACP'，∴△ABP≌△ACP′，∴AP＝AP′，由旋转变换的性质可知，∠P AP′＝60°，P′C＝PB，∴△P AP′为等边三角形，∴∠APP′＝60°，∠APC＝90°+∠ABC，∴∠APC＝150°，∴∠P′PC＝90°，∴PP′2+PC2＝P′C2，∴P A2+PC2＝PB2，故答案为：P A2+PC2＝PB2；（2）结论：PB2＝4P A2+3PC2．理由：将线段AP绕点A逆时针旋转90°，得到AP'．在AP'上截取AQ＝AP，连接PQ，CQ．∵∠BAC＝∠P AQ＝90°，＝＝，∴＝，∴△BAC∽△P AQ，∴∠ABC＝∠APQ＝30°，∵∠APC＝90°+∠ABC＝120°，∴∠CPQ＝90°，∴CQ2＝PQ2+PC2，∵∠BAC＝∠P AQ，∴∠P AB＝∠CAQ，∵＝，∴△BAP∽△CAQ，∴＝＝，∴CQ＝PB，∵PQ＝＝AP，∴（PB）2＝（AP）2+PC2，∴PB2＝4P A2+3PC2．（3）如图3中，结论：25PB2＝36P A2+16PC2．理由：将线段AP绕点A逆时针旋转使得∠P AP′＝∠BAC，得到AP'．在AP'上截取AQ ＝AP，连接PQ，CQ．∵∠BAC＝∠P AQ，＝＝，∴＝，∴△BAC∽△P AQ，∴∠ABC＝∠APQ，∵∠APC＝90°+∠ABC，∴∠CPQ＝90°，∴CQ2＝PQ2+PC2，∵∠BAC＝∠P AQ，∴∠P AB＝∠CAQ，∵＝，∴△BAP∽△CAQ，∴＝＝，∴CQ＝PB，∵PQ＝AP，∴（PB）2＝（AP）2+PC2，∴25PB2＝36P A2+16PC2．11．解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴，∵CE⊥BE，BC⊥AB，∴∠BEC＝90°＝∠ABC，∴∠C+∠EBC＝90°，且∠ABO+∠OBC＝90°，∴∠ABO＝∠C，且AB＝BC，∠AOB＝∠BEC＝90°，∴△AOB≌△BEC（AAS）∴BE＝AO＝4，EC＝OB＝﹣n，∴OE＝4﹣（﹣n）＝4+n，∴点C（﹣n，4+n）；（2）OD的长没有发生变化，理由如下：如图2，连接BC'，CC'，∵点C关于y轴的对称点为C′，∴∠DBC＝∠DBC'，BC＝BC'，且BE＝BE，∴△BEC'≌△BEC（SAS）∴BC＝BC'，∵△AOB≌△BEC，∴BC＝AB，∠EBC＝∠BAO，∴AB＝BC'，∠C'BD＝∠BAO，∴∠BAC'＝∠BC'A，∴∠BAO+∠DAO＝∠ADO+∠DBC'，∴∠DAO＝∠ADO，且∠AOD＝90°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°，∴AO＝DO＝4，∴点D（0，4）（3）如图3，在y轴上取点E，使HE＝HB，连接CE，∵点F（3，0），点A（﹣4，0）∴AF＝7，∵点H恰好为CG的中点，∴CH＝GH，且∠GHB＝∠EHC，EH＝BH，∴△BHG≌△EHC（SAS）∴BG＝EC＝BF，∠CEH＝∠GBH，∴GB∥EC，∴∠ECB+∠GBC＝180°，∵∠ABC＝∠GBF，∴∠ABF+∠GBC＝180°，∴∠ABF＝∠ECB，且EC＝BG＝BF，AB＝BC，∴△ABF≌△BCE（SAS）∴AF＝BE＝7，∴BH＝BE＝．12．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，由旋转，得OC＝OD，OC＝∠BCO＝∠ACD，∴∠BCO+∠OCA＝∠ACD+∠OCA，∴∠OCD＝∠ACB＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，△AOD是直角三角形，理由：由旋转，得∠ADC＝∠BOC＝150°，由（1）知，△COD为等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）解：由（1）知，△COD为等边三角形，∴∠CDO＝∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣α﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°，∵△AOD是等腰三角形，①当∠ADO＝∠AOD时，即α﹣60°＝190°﹣α，解得：α＝125°；②当∠ADO＝∠OAD时，则α﹣60°＝50°，解得：α＝110°；③当∠OAD＝∠AOD时，即50°＝190°﹣α，解得：α＝140°；即α的度数为110°或125°或140°．13．（1）①证明：如图1中，∵△AED是由△ABC绕点A顺时针旋转60°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形．②证明：如图1中，∵△ABD是等边三角形，∴BA＝BD，∵EA＝ED，∴点B，点E在线段AD的垂直平分线上，∴BE垂直平分线段AD．（2）①解：如图2中，延长BE交AD于F．由②知BF⊥AD，AF＝DF，∴AF＝DF＝6，∵AE＝AC＝10，∴EF＝＝＝8，在等边三角形ABD中，BF＝AB•sin∠BAF＝12×＝6，∴BE＝BF﹣EF＝6﹣8．②如图所示，连接EC交AB于H．∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC＝∠DAG+∠DAE+∠ABC＝180°，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE＝180°，∴∠BAE＝∠ABC，∵AC＝BC＝AE，∴∠BAC＝∠ABC，∴∠BAE＝∠BAC，∴AB⊥CE，且CH＝HE＝CE，∴BE＝BC＝10．14．（1）证明：如图1，，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，由三角形的外角的性质，可得∠FDQ＝∠F AB+∠ABC＝∠F AB+45°，∵AD⊥PC，∴∠AEP＝90°，∴∠F AB+∠APC＝90°，∴∠APC＝90°﹣∠F AB，又∵∠BPQ＝∠APC，∴∠BPQ＝90°﹣∠F AB，∴∠FQD＝∠BQP＝180°﹣∠BPQ﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣∠F AB）﹣45°＝∠F AB+45°∴∠FDQ＝∠FQD．（2）解：MN与EN的数量关系是：MN＝3EN．如图2，延长DC至H，使HC＝CD，连接AH，过点B作BI∥GQ，交CP延长线于点I，，∵HC＝CD，AC⊥HD，∴△ADH是等腰三角形，∴AD＝AH，∴∠H＝∠ADH＝∠FDQ＝∠FQD＝∠BQP，∵把△DFQ沿DQ边翻折，得到△DGQ，∴△GDQ≌△FDQ，∴∠FDQ＝∠GDQ，又∵∠H＝∠FDQ＝∠BQP，∴∠H＝∠BQP＝∠GDQ，∴AH∥DG∥PQ，∴，∠GQP＝∠DGQ，在△APC和△BPQ中，∴△APC∽△BPQ，∴，又∵，∴，∴BC＝QH，∴BQ＝HC，又∵HC＝CD，∴BQ＝HC＝CD．∵把△DFQ沿DQ边翻折，得到△DGQ，∴∠DFQ＝∠DGQ，又∵∠GQP＝∠DGQ，∴∠GQP＝∠DFQ，∴AD∥GQ，四边形DFQG是平行四边形，∴，FD＝GQ，∵AH∥PF，∴＝，又∵DH＝2CD，BQ＝CD，∴，∴，∴（DQ+2CD）（DQ﹣CD）＝0，解得DQ＝CD，或DQ＝﹣2CD（舍去），∵＝1，∴BP＝PG，∵BI∥GQ，∴＝1，∴BI＝GM，∵BI∥GQ，AD∥GQ，∴AD∥BI，∴，∴，∴，∴MN＝3EN．15．解：（1）∵D（0，8），∴OD＝BC＝8，∵OD＝2CP，∴CP＝4，设OB＝OP＝DC＝x，则DP＝x﹣4，在Rt△ODP中，OD2+DP2＝OP2，即：82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∵∠OP A＝∠B＝90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC＝DP：CA，∴8：4＝（x﹣4）：AC，则AC＝＝3，∴AB＝5，∴点A（10，5）；（2）∵点P恰好是CD边的中点，设DP＝PC＝y，则DC＝OB＝OP＝2y，在Rt△ODP中，OD2+DP2＝OP2，即：82+y2＝（2y）2，解得：y＝，∵∠OP A＝∠B＝90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC＝DP：CA，∴8：y＝y：AC，则AC＝＝，∴AB＝8﹣＝，∵OB＝2y＝，∴tan∠AOB＝＝＝，∴∠AOB＝30°；（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵OP＝OB，MQ∥AN∴∠OPB＝∠OBP＝∠MQP，∴MP＝MQ，∵BN＝PM，∴BN＝QM．∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF，在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．∴QF＝QB，∴EF＝EQ+QF＝PQ+QB＝PB，由（Ⅰ）中的结论可得：PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，∴PB＝＝4，∴EF＝PB＝2，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．16．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵AC＝BC＝8，∴AB＝8，∵BA′＝2，∴AA′＝AB﹣BA′＝6，∵AD＝DA′，∴AD＝3（2）如图2中，∵BA′平分∠ABC，A′C⊥BC，A′D⊥AB，∴A′C＝A′D，∵AD＝DA′，∴A′C＝A′D＝AD，设A′C＝A′D＝AD＝x，则AA′＝x，∴x+x＝8，∴x＝8（﹣1），∴DE＝AA′＝8﹣4．（3）如图3中，①当AD＝AE时，设AD＝AE＝a，则CE＝CA′＝a，∴a+a＝8，∴a＝16﹣8，∴AD＝AE＝16﹣8．②当DE＝DA时，ED⊥AB，此时点A′与B重合，AD＝DE＝AB＝4．③当ED＝EA时，DE⊥AC，此时点A′与C重合，DE＝AE＝AC＝4．17．解：（1）如图2中，∵∠ABC＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝75°，∵△ADE折叠至△BDE，∴DBE＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝45°．故答案为45°（2）如图3中，∵△DBE折叠至△DBE′，∴∠DBE′＝∠DBE＝30°，∴∠DBE′＝∠DBC﹣∠CBE′＝45°﹣30°＝15°．故答案为15°．（3）如图4，0°＜m＜36°时，∠MBC＝90°﹣m°；（其中：图5，m＝30°时，点M与点E′重合；图6，30°＜m＜36°时，∠MBC＝90°﹣m°；图7，m＝36°时，点M与点C重合；）如图8，36°＜m＜60°时，∠MBC＝m°﹣90°；如图9，m＝60°时，点D与点C重合，BE′≠AC，不存在点M；如图10，60°＜m＜90°时，∠MBC＝270°﹣m°．18．（1）解：CC′＝3﹣．理由如下：由平移知，C'E'∥AC，C'E'＝CE＝3，∴∠BE'C'＝∠A＝30°，∵BC＝EC＝3，在Rt△BC'E'中，∠BE'C'＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，得BE'＝2BC'∴BE'2﹣BC'2＝C'E'2，即：4BC'2﹣BC'2＝9，∴BC'＝，∴CC′＝BC﹣BC'＝3﹣；故答案为：3﹣；（2）解：△ECD绕点C旋转的度数即∠ECE′的度数；∵∠ABC＝60°，BC＝CE′＝3，AB＝6，∴△E′BC是等边三角形，∴BC＝E′C＝E′B＝3，∴AE′＝E′C＝3，∴∠E′AC＝∠E′CA，∴∠ECE′＝∠BAC＝30°；故答案为：30°；（3）证明：在△AEF和△D′BF中，∵AE＝AC﹣EC，D′B＝D′C﹣BC，又∵AC＝D′C，EC＝BC，∴AE＝D′B，又∵∠AEF＝∠D′BF＝180°﹣60°＝120°，∠A＝∠CD′E＝30°，∴△AEF≌△D′BF，∴AF＝FD'19．解：（1）如图1，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ACB，∠BCD＝90°﹣∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D＝360°，∴∠BAC+∠D＝180°，∵∠CAE+∠BAC＝180°，∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE＝CB，∴BE＝AE+AB＝DB+AB，∴BD+AB＝CB；故答案为：BD＝AE，BD+AB＝CB；（2）如图2，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE＝CB，∴BE＝AE﹣AB＝DB﹣AB，∴BD﹣AB＝CB；（3）如图3，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠DCE，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE＝CB，∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣DB，∴AB﹣DB＝CB；∵△BCE为等腰直角三角形，∴∠BEC＝∠CBE＝45°，∵∠ABD＝90°，∴∠DBH＝45°过点D作DH⊥BC，∴△DHB是等腰直角三角形，∴BD＝BH＝2，∴BH＝DH＝，在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，DH＝，∴CH＝DH＝×＝，∴BC＝CH﹣BH＝﹣；故答案为：﹣．20．解：（1）△BPE≌△CQE．理由∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）△BPE∽△CEQ．理由：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，∴∠BEP＝∠EQC，∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CEQ；（3）如图②，连结PQ，∵△BPE∽△CEQ，∴＝，∵BP＝1，CQ＝，BE＝CE，∴＝，∴BE＝CE＝，∴BC＝3，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴AB＝AC＝3，∴AQ＝CQ﹣AC＝，P A＝AB﹣BP＝2，在Rt△APQ中，PQ＝＝．。
2021年九年级中考第二轮数学专题复习：圆的综合 强化训练(一)
2021年九年级中考第二轮数学专题复习：圆的综合强化训练（一）1．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E，点F分别在半径OC，OD上（不与点O，点C，点D重合），连接AE，EB，BF，FA．（1）若CE＝DF，求证：四边形AEBF是菱形．（2）过点O作OG⊥EB，分别交EB，⊙O于点H，点G，连接BG．①若∠COG＝∠EBG，判断△OBG的形状，说明理由．②若点E是OC的中点，求的值．2．已知：在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝m°（0＜m≤180），点C 是上的一个动点，直线AC与直线OB相交于点D．（1）如图1，当0＜m＜90，△BCD是等腰三角形时，求∠D的大小（用含m的代数式表示）；（2）如图2，当m＝90点C是的中点时，联结AB，求的值；（3）将沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE＝1时，求线段AD的长．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P在边BC上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心，PB为半径作圆，圆P与射线BD的另一个交点为点E，直线CE与射线AD交于点G．点M为线段BE的中点，联结PM．设BP＝x，BM＝y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（2）联结AP，当AP∥CE时，求x的值；（3）如果射线EC与圆P的另一个公共点为点F，当△CPF为直角三角形时，求△CPF的面积．4．如图所示，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB．（2）求证：BC2＝CE•CP．（3）当AB＝4时，求劣弧BC长度（结果保留π）．5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D在AB上，AD ＝2，以点A为圆心，AD长为半径的弧交AC于点E，与BC交于点F ，G，P是上一点．将AP绕点A逆时针旋转120°，得到AQ，连接CQ，AF．（1）若BP与所在圆相切，判断CQ与所在圆的位置关系．并加以证明；（2）求BF的长及扇形EAF的面积；（3）若∠PAB＝m°，当∠ACQ＝30°，直接写出m的值．6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，BO的延长线交AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）若＝，求tan∠ABD．7．已知：如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点），延长AI与△ABC的外接圆交于点D，连接BD，DC．求证：（1）DI＝DB；（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求DI的长．8．有一些代数问题，我们也可以通过几何方法进行求解，例如下面的问题：已知：a＞b＞0，求证：＞．经过思考，小明给出了几何方法的证明，如图：①在直线l上依次取AB＝a，BC＝b；②以AC为直径作半圆，圆心为O；③过B点作直线l的垂线，与半圆交于点D，连接OD．请回答：（1）连接AD，CD，由作图的过程判断，∠ADC＝90°，其依据是；（2）根据作图过程，试求线段BD、OD（用a，b的代数式表示），请写出过程；（3）由BD⊥AC，可知BD＜OD，其依据是，由此即证明了这个不等式．9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝90°．D是⊙O上一点，连接CD，与AB交于点F，过点A作⊙O的切线交DC延长线于点E，已知AC＝EC．（1）求证：AD＝AE；（2）若AE＝2，EF＝2，求⊙O的直径．10．如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝15，cot∠BAC＝，点P 是射线AB上一点，联结PQ，⊙O经过点A且与QP相切于点P，与边AC 相交于另一点D．（1）当圆心O在射线AB上时，求⊙O的半径；（2）当圆心O到直线AB的距离为时，求线段AP的长；（3）试讨论以线段PQ长为半径的⊙P与⊙O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范围．11．如图，已知扇形AOB的半径OA＝4，∠AOB＝90°，点C、D分别在半径OA、OB上（点C不与点A重合），联结CD．点P是弧AB上一点，PC＝PD．（1）当cot∠ODC＝，以CD为半径的圆D与圆O相切时，求CD的长；（2）当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求∠OCD的度数；（3）如果OC＝2，且四边形ODPC是梯形，求的值．12．如图，已知半圆O的直径AB＝4，点P在线段OA上，半圆P与半圆O 相切于点A，点C在半圆P上，CO⊥AB，AC的延长线与半圆O相交于点D，OD与BC相交于点E．（1）求证：AD•AP＝OD•AC；（2）设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）当点E在半圆P上时，求半圆P的半径．13．如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD ∥AC交⊙O于点D，连接CD，OC，且OC交DB于点E．若．（1）求∠COB的大小和⊙O的半径长．（2）求由弦CD，BD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留π）．14．如图1，▱ABCF的顶点A，B，C在⊙O上，AB＝AC．（1）求证：AF为⊙O的切线；（2）如图2，CF与⊙O交于点E，连接BE．若AB＝BE，CE＝EF，求cos∠BEC的值．15．四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝CD．（1）如图1，求证∠ABC＝2∠ACD；（2）过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P（如图2）．若tan∠CAB ＝，BC＝1，求PD的长．参考答案1．解：（1）在⊙中，OA＝OB＝OC＝OD，∵CE＝DF，∴OC﹣CE＝OD﹣DF，∴OE＝OF，∵AB⊥CD，即AB⊥EF，∴四边形AEBF是菱形．（2）①△OBG是等边三角形．理由如下：∵AB⊥CD，OG⊥EB，∴∠COB＝∠OHB＝90°，∴∠COG＝90°﹣∠BOH＝∠EBO，∵∠COG＝∠EBG，∴∠EBO＝∠EBG，∵BH＝BH，∠BHO＝∠BHG＝90°∴△BHO≌△BHG（ASA）∴OB＝GB，∵OB＝OG，∴OB＝OG＝GB，∴△OBG是等边三角形．②设⊙的半径长为2m，则OC＝OG＝OB＝2m，∵点E是OC的中点，∴OE＝m，∴BE＝＝m；∵∠EOH＝90°﹣∠BOH＝∠EBO，∴＝＝cos∠EBO，∴＝，∴HO＝m，∴GH＝2m﹣m，∴＝＝．2．解：（1）C在AB弧线上，∴∠OBC为锐角，∴∠CBD为钝角，则△BCD是等腰三角形时，仅有BC＝BD这一种情况，∴∠D＝∠BCD，连接OC则OA＝OC＝OB，∴∠OAC＝∠OCA，∠OCD＝∠OBC，∴∠OBC＝∠D+∠BCD＝2∠D，在△OCD中，∠COD+2∠D+2∠D＝180°，∴∠AOC＝m°﹣∠COD＝m°+4∠D﹣180°，∴∠AOC＝×（180°﹣∠AOC）＝180°﹣﹣2∠D，在△AOD中，m°+∠OAC+∠D＝180°，∴180°+﹣∠D＝180°，∴∠D＝；（2）过D作DM⊥AB延长线于M，连接OC，∵C为中点，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC且AO＝CO＝BO，∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC，∴∠ACO+∠BCO＝×（360°﹣90°）＝135°，∴∠BCD＝45°，∴45°+∠ODA＝∠ABC+∠ABD＝45°+∠ABC，∴∠ABC＝∠ADO＝∠BAC，∴BD＝AB＝2（勾股定理），∴BM＝DM＝2（∠MBD＝∠OBA＝45°，∴BM＝DM），∴AM＝AB+BM＝2+2，∴AN＝AB＝，又∵CN⊥AB，DM⊥AB，∴△ANC∽△AMD，∴，∴＝＝6+4；（3）图2如下：∵E为弧线AEC与OB切点，∴A、E、C在半径为2的另一个圆上，∵O′E＝2，OE＝1，∴OO′＝（勾股定理），又∵OA＝OC＝2，O′A＝O′C＝2，∴四边形AOCO′是菱形，∴AC⊥OO′且AC、OO′互相平分，且∠O′OE共角，∴△O′OE∽△DOP，∴＝且OP＝OO′＝，∴OP＝，∴AP＝＝（Rt△APO′的勾股定理）∴AD＝AP+PD＝．3．解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝4，BC＝8，∠BCD＝90°，∴BD＝＝4，∵M为弦BE的中点，P为圆心，∴PM⊥BE，∠BMP＝90°，∵AD∥BC，∴∠PBM＝∠DBC，∴＝＝cos∠DBC，∴＝，∴y＝x，当点G与点A重合时，则点E为BD中点，此时y＝BD＝，由x＝，得x＝，∴y关于x的函数解析式y＝x（≤x＜8）；（2）如图1，当AP∥CE时，则四边形APCG是平行四边形，AG＝PC，∴DG＝BP＝x．由BM＝x，得BE＝x，DE＝4﹣x∵DG∥BC∴△DGE∽△BCE，∴＝＝＝；∴＝，整理，得x2+8x﹣40＝0，解得x 1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2（不符合题意，舍去）.∴x＝﹣4+2．（3）如图2，若∠PFC＝90°，则点F与点E重合，不符合题意；如图3，当∠PCF＝90°时，则点E与点D重合，此时y＝×4＝2，由x＝2，得x＝5，∴PC＝8﹣5＝3，CF＝CD＝4，∴S△CPF＝×3×4＝6；如图4，当∠CPF＝90°时，过点E作EQ⊥BC交BC的延长线于点Q，在BC边上取一点H，连接DH，使DH＝BH，由图3得，当点E与点D重合时，则点P与图4中的点H重合，此时，CH ＝3，DH＝5，∴CH：CD：DH＝3：4：5，∵∠EPQ＝∠DHC＝2∠DBC，∠Q＝∠DCH＝90°，∴△EPQ∽△DHC，∴PQ：EQ：PE＝3：4：5，∵PE＝BP＝PF＝x，∴EQ＝x，PQ＝x∵PF∥EQ，∴△CPF∽△CQE，∴＝＝＝，∴PC＝PQ＝×x＝x，∴8﹣x＝x，解得x＝6，∴PC＝8﹣6＝2，PF＝6，∴S△CPF＝×2×6＝6．综上所述，△CPF的面积为6．4．（1）证明：连接AC，BC，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠F＝90°，∴AF∥OC，∴∠FAC＝∠OCA，∴∠FAC＝∠OAC，∴CA平分∠FAB．（2）证明：∵CD是直径，∴∠CBD＝90°，∴∠CBP＝90°，∵CE⊥OB，∴∠CEB＝∠CBP＝90°，∵PC切⊙O于点C，∴∠PCB＝∠CAB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，∵∠CAB＝∠BCE，∴∠PCB＝∠BCE，∴△BCE∽△PCB，∴，∴BC2＝CE•CP；（3）解：，设CF＝3a，CP＝4a，∵BC2＝CE•CP＝3a•4a＝12a2，∴BC＝2a，在Rt△BCE中，sin∠CBE＝，∴∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴△COB是等边三角形，∵AB＝4，∴OB＝BC＝2，∴劣弧BC的长＝＝π．5．解：（1）CQ与所在圆相切；证明：由旋转知，AP＝AQ，∠PAQ＝120°，∵∠BAC＝120°，∴∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠PAC＝∠BAC﹣∠PAC，∴∠ACQ＝∠ABP，∵AC＝AB，∴△ACQ≌△ABP（SAS），∴∠AQC＝∠APB，∵BP与所在圆相切，∴∠APB＝90°，∴∠AQC＝90°，∵AQ＝AP，∴CQ与所在圆相切；（2）如图，过点A作AN⊥BC于N，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝30°，∴AN＝AB＝，∴BN＝AN＝3，①当点F在点G的左边时，过点F作FM⊥AB于M，设FM＝m，在Rt△BMF中，BF＝2m，BM＝m，∴AM＝AB﹣BM＝（2﹣m），在Rt△AMF中，根据勾股定理得，FM2+AM2＝AF2，∴m2+[（2﹣m）]2＝22，∴m＝1或m＝2，∴BF＝2m＝2或4（舍），∴BF＝AF，∴∠BAF＝∠ABC＝30°，∴∠EAF＝90°，∴S扇形EAF＝＝π；②当点F在点G的右边时，同①的方法得，BF＝4，S扇形EAF＝﹣＝；即当BF＝2时，扇形EAF的面积为π，当BF＝4时，扇形EAF的面积为；（3）由（1）知，△ACQ≌△ABP，∴∠ABP＝∠ACQ＝30°，∵∠ABP＝30°，∴点P在BC上，即点P与点F或G重合，当点P与点F重合时，∠PAB＝∠BAF，由（2）知，∠BAF＝30°，∴m＝30，当点P与点G重合时，∠PAB＝∠BAG＝90°，∴m＝90，即m的值为30或90．6．解：（1）连接AO，并延长交BC于点H，∵AB＝AC，∴．∴AH⊥BC．∴AH平分∠BAC．∴∠BAC＝2∠BAH．∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAH．∴∠BAC＝2∠ABD．（2）过A作AE∥BC，交BD延长线于点E，∵AE∥BC，∴．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝BC．∴．∵AE∥BC，∴．设OB＝OA＝4a，则OH＝3a．∴BH＝．AH＝OA+OH＝7a．∵∠ABD＝∠BAH，∴tan∠ABD＝tan∠BAH＝．7．（1）证明：连接BI，如图1所示：∵点I是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠BID＝∠BAI+∠IBA，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∠CBD＝∠CAD，∴∠BID＝∠IBD，∴DI＝DB；（2）解：过点D作DE⊥BC于E，如图2所示：由（1）得：∠BAD＝∠CAD，∴，∴BD＝CD，∵DE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝30°，∴DE＝BE＝1，BD＝2DE＝2，∴DI＝BD＝2．8．解：（1）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°（直径所对的圆周角是直角）．故答案为：直径所对的圆周角是直角；（2）∵BD⊥AC，∴∠ABD＝∠CBD＝90°．∴∠BAD+∠ADB＝90°．∵∠ADC＝90°，∴∠CDB+∠ADB＝90°．∴∠BAD＝∠CDB．∴△ABD∽△DBC．∴．∴BD2＝AB•BC＝ab．∴BD＝．∵AB＝a，BC＝b，∴AC＝a+b．∴OD＝．（3）∵BD⊥AC，∴BD＜OD（直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短）．∴＞．故答案为：垂线段最短．9．（1）证明：∵∠ACB＝90°．∴AB是⊙O的直径，∵EA是⊙O的切线，∴BA⊥EA，∴∠EAC+∠CAB＝90°，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠B，∵AC＝EC，∴∠EAC＝∠E，∴∠E＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D，∴AD＝AE；（2）解：∵∠EAF＝90°，AE＝2，EF＝2，∴AF＝＝2，由（1）知：AD＝AE＝2，∵∠B＝∠E，∠ACB＝∠EAF＝90°，∴△ACB∽△FAE，∴＝，∴AB＝AC，如图，过点A作AG⊥CD于点G，设AC＝EC＝t，则CF＝2﹣t，∵tan∠E＝＝，sin∠E＝＝＝，∴AG＝，∴FG＝＝，∴EG＝EC+CG，∴CG＝CF﹣FG＝2﹣t﹣＝﹣t，∵AC2＝AG2+CG2，∴t2＝（）2+（﹣t）2，解得t＝，∴AB＝AC＝t＝3．∴⊙O的直径是3．10．解：（1）如图1中，∵点O在PA上，PQ是⊙O的切线，∴PQ⊥AP，∵cot∠PAQ＝＝，∴可以假设PA＝3k，PQ＝4k，则AQ＝5k＝15，∴k＝3，∴PA＝9，PQ＝12，∴⊙O的半径为．（2）如图2﹣1中，当点O在射线AB的上方时，过点Q作QK⊥AB于K，过点O作OH⊥AB于H．∵PQ是⊙O的切线，∴∠PHO＝∠OPQ＝∠PKQ＝90°，∴∠OPH+∠QPK＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，∴△PHO∽△QKP，∴＝，设PA＝2m，则AH＝PH＝m，PK＝9﹣2m，∴＝，解得，m＝或﹣3，经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意．∴AP＝3．如图2﹣2中，当点O在射线AB的下方时，同法可得AP＝．综上所述，满足条件的AP的值为3或．（3）如图3﹣1中，当⊙P与⊙O内切时，由△PHO∽△QKP，可得＝＝，∵OH⊥AP，∴AH＝PH，∴AP＝2PH，QK＝2PH，∴PA＝QK＝12，如图3﹣2中，当⊙O与AC相切于点A时，∵∠OAQ＝∠OPQ＝90°，OQ＝OQ，OA＝OP，∴Rt△OAQ≌Rt△OPQ（HL），∴AQ＝PQ，∵OA＝OP，∴OQ垂直平分线段AP，∴AP＝2AH＝18，观察图像可知：当⊙O与⊙P内含时，0＜AP＜12．当⊙O与⊙P内切时，AP＝12．当⊙O与⊙P相交时，12＜AP＜18．11．解：（1）如图1中，∵∠COD＝90°，cot∠ODC＝＝，∴可以假设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k，∵以CD为半径的圆D与圆O相切，∴CD＝DB＝5k，∴OB＝OC＝8k，∴AC＝OC＝4k＝2，∴k＝，∴CD＝．（2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵＝，∴∠AOP＝∠POB，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC，∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL），∴∠EPC＝∠FPB，∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠EPF＝∠CPB＝90°，∴∠PCB＝∠PBC＝45°，∵OP＝OB，∠POB＝45°，∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°，∴∠CBO＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠OCD＝90°﹣22.5°＝67.5°．（3）如图3﹣1中，当OC∥PD时，∵OC∥PD，∴∠PDO＝∠AOD＝90°，∵CE⊥PD，∴∠CED＝90°，∴四边形OCED是矩形，∴OC＝DE＝2，CE＝OD，设PC＝PD＝x，EC＝OD＝y，则有，可得x＝2﹣2（不合题意的已经舍弃），∴PD＝2﹣2，∴＝＝﹣1．如图3﹣2中，当PC∥OD时，∵PC∥OD，∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°，∴四边形OCED是矩形，∴OC＝DE＝2，CE＝OD，∵OP＝4，OC＝2，∴PC＝＝＝2，∴PD＝PC＝2，∴PE＝＝＝2，∴EC＝OD＝2﹣2，∴＝＝＝3+，综上所述，的值为﹣1或3+．12．解：（1）连接CP，如图：∵AP＝CP，AO＝DO，∴∠A＝∠ACP＝∠ADO，∴△ACP∽△ADO，∴，∴AD•CP＝OD•AC，∴AD•AP＝OD•AC；（2）∵半圆O的直径AB＝4，∴AO＝2，∵半圆P的半径为x，∴OP＝2﹣x，∵CO⊥AB，∴∠COP＝90°，∴CO2＝CP2﹣OP2＝x2﹣（2﹣x）2＝4x﹣4，Rt△AOC中，AC＝＝2，∵∠A＝∠ACP＝∠ADO，∴CP∥DO，∴，又线段CD的长为y，∴，变形得：y＝，x范围是0＜x≤2；（3）设半圆P与AB交于G，连接EG，过E作EH⊥AB于H，如图：设半圆P的半径为x，由（2）知AC＝2，∵CO⊥AB，∴BC＝AC＝2，∵CP∥DO，∴，而OB＝2，PB＝4﹣x，∴，∴BE＝，∵点E在半圆P上，∴∠EGB＝∠ACB，且∠B＝∠B，∴△CAB∽△GEB，∴＝，∴，∴EG＝，∵AC＝BC，∴EG＝BG，而BG＝AB﹣AG＝4﹣2x，∴＝4﹣2x，解得x＝或（大于2，舍去），∴半圆P的半径为x＝．13．解：（1）∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°∵BD∥AC，∴∠BEO＝∠ACO＝90°，∴DE＝EB＝BD＝（cm），∵∠D＝30°，∴∠O＝2∠D＝60°，在Rt△BEO中，sin60°＝，∴＝，∴OB＝5，故⊙O的半径长为5cm；（2）由（1）可知，∠O＝60°，∠BEO＝90°，∴∠EBO＝∠D＝30°∵∠CED＝∠BEO，BE＝ED，，∴△CDE≌△OBE（ASA），∴S阴影＝S扇形＝＝（cm2）．答：阴影部分的面积为cm2．14．（1）证明：连接OB，OC，OA，延长AO交BC于点D，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵四边形ABCF为平行四边形，∴AF∥BC，∴∠FAO＝∠ADB＝90°，∴AF为⊙O的切线；（2）解：连接AE，过点B作BH⊥FC，交FC的延长线于点H，∵四边形ABCF为平行四边形，∴AF＝BC，AF∥BC，∴∠FAC＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠AEC+∠AEF＝180°，∠AEC+∠ABC＝180°，∴∠AEF＝∠ABC＝∠ACB＝∠FAC，∵∠F＝∠F，∴△FAE∽△FCA，∴，∴AF2＝FE•FC，设CE＝EF＝1，CH＝x，∴AF2＝2，∴AF＝，∴CF＝AB＝AC＝BE＝2，BC＝，∵BH2＝BC2﹣CH2＝BE2﹣EH2，∴，解得，x＝，∴EH＝，∴cos∠BEC＝＝．15．解：（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠ACD，∴∠ADC+2∠ACD＝180°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝2∠ACD，（2）连接OD交AC于E，如图：∵PD为⊙O切线，∴OD⊥DP，∵AD＝CD，∴弧AD＝弧CD，∴OD⊥AC，AE＝CE，∵∠DEC＝90°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ECP＝90°，∴四边形DECP是矩形，∴DP＝EC，∵tan∠CAB＝，BC＝1，∴＝＝，∴AC＝，∴EC＝AC＝．。
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2021年中考数学二轮复习--几何综合题Ⅰ、综合问题精讲:几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键．解几何综合题，还应注意以下几点:⑴注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．⑵掌握常规的证题方法和思路．⑶运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等)．Ⅱ、典型例题剖析【例1】(南充，10分)⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．(1)求证:DF是⊙O的切线．(2)若AE＝14，BC＝12，求BF的长．解:(1)证明:连接OD，AD． AC是直径，∴AD⊥BC．⊿ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC．又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角，∴∠C＝∠BED．故∠B＝∠BED，即DE＝DB．点F是BE的中点，DF⊥AB且OA和OD是半径，即∠DAC＝∠BAD＝∠ODA．故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线．(2)设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ．又 BD ＝CD ＝21BC ＝6， 根据BE AB BD BC ⋅=⋅，2(214)612x x ⋅+=⨯．化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-(不合题意，舍去)． 则 BF 的长为2．点拨:过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行．【例2】(重庆，10分)如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证:BD＝CD 。
证明:因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE而∠BDE＝∠AB D ＋∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD所以 ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB＝180°－∠BDE∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC在△ADB 和△ADC 中，∠BAD＝∠CADAD ＝AD∠ADB ＝∠ADC所以 △ADB≌△ADC 所以 BD ＝CD 。
(注:用“AAS”证三角形全等，同样给分) AB C D E点拨:要想证明BD=CD ，应首先观察它们所在的图形之间有什么联系，经观察可得它们所在的三角形有可能全等．所以应从证明两个三角形全等的角度得出，当然此题还可以采用“AAS ”来证明．【例3】(内江，10分)如图⊙O 半径为2，弦BD ＝32，A 为弧BD的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上。
求:四边形ABCD 的面积。
解:连结OA 、OB ，OA 交BD 于F 。
⎭⎬⎫===⊥⇒2 3,BD A OB FD BF BD OF 的中点为弧 1AF 1OF =⇒=⇒ ABD 1S BD AF 32∆⇒=⋅= ADE CDE ABE CBE AE CE S S ,S S ∆∆∆∆=⇒==322S S ABD ABCD ==⇒∆四边形【例4】(博兴模拟，10分)国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造．莲花村六组有四个村庄A 、B 、CD 正好位于一个正方形的四个顶点．现计划在四个村庄联合架一条线路，他们设计了四种架设方案，如图2－4－4中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．解:不妨设正方形的边长为1，显然图2－4－4⑴、⑵中的线路总长相等都是3．图2－4－4⑶中，利用勾股定理可求得线路总长为2 2 ≈2．828．图2－4－4(4)中，延长EF 交BC 于H ，由 ∠FBH ＝30°，BH=12， 利用勾股定理，可求得333121FH EF FH ∴=-=所以⑷中线路总长为:4EF+EF=433(113 2.732.-=+≈显然图2－4－4⑷线路最短，这种方案最省电线．点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短，通过利用勾股未理讲行计算线路长，然后通过比较，得出结论．【例5】(绍兴)如图矩形ABCD 中，过A ，B 两点的⊙O 切CD 于E ，交BC 于F ，AH⊥BE 于H ，连结EF 。
⑴求证:∠CEF＝∠BAH ,⑵若BC ＝2CE ＝6，求BF 的长。
⑴证明:∵CE 切⊙O 于E ，∴∠CEF=∠EBC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°∴∠ABE+∠EBC=90°，∵AH 丄BE ，∴∠ABE+∠BAH=90°∴∠BAH=∠EBC ，∴∠CEF ＝∠BAH⑵解: ∵CE 切⊙O 于E∴CE 2=CF ·BC ，BC=2CE=6∴CE 2=CF ·6，所以CF= 32 ∴BF=BC-CF=6－32 =92点拨:熟练掌握切线的性质及切线长定理是解决此题的关键．Ⅲ、综合巩固练习:(100分；90分钟)一、选择题(每题3分，共21分)1．如图2－4－6所示，是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图，已知桌面的直径为1．2米， 桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为( )A ．0．036π平方米;B ．0．81π平方米;C ．2π平方米;D 、3．24π平方米2．某学校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆三种方案，其中使花坛面积最大的 图案是( )A ．正三角形;B ．正方形;C ．圆;D ．不能确定3．下列说法:①如果两个三角形的周长之比是1:2，那么这两个三角形的面积之比是1:4；②平行四边形是中心对称图形；③经过三点有且只有一个圆；④相等的角是对顶角，其中错误是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．等腰三角形的一个内角为70°，则这个三角形其余的内角可能为( )A ．700，400 B ．700，550 C ．700，400或550，550 D ．无法确定5．如图2－4－7所示，周长为68的矩形被分成了7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为( )A ．98B ．196;C ．280D ．2846．在△ABC 中，若23|sin 1|(cos )0A B -+-=，则∠C 的度数为( ) A ．60o B ．30 o C ．90 o D ．45 o7．下列命题中是真命题的个数有( )⑴直角三角形的面积为2，两直角边的比为1。
2，则它的斜边长为10 ；⑵直角三角形的最大边长为 3 ，最短边长为l ，则另一边长为 2 ；(3)在直角三角形中，若两条直角边为n 2－1和2n ，则斜边长为n 2＋1；⑸等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每题3分，共27分)8．如图2－4－8所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC= 3 cm ．将△ABC 绕点B 旋转至△A ′BC ′的位置，且使点A 、B 、C ′三点在一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是_____．9．若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别记为346,,,S S S 则346,,,S S S 由大到小的排列顺序是:__________.10若菱形的一个内角为60°，边长为4，则它的面积是__________．11 已知数4，6，请再写出一个数，使这三个数中一个数是另外两个数的比例中项，这个数是________(只需填写一个数)．12一油桶高 0．8m ，桶内有油，一根木棒长1m ，从桶盖小口(小口靠近上壁)斜插入桶内，一端到桶底内壁，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0．87m ，则桶内油面的高度为__________.13 等腰三角形底边中点与一腰的距离为5cm ，则腰上的高为__________cm ．14 在平坦的草地上有 A 、B 、C 三个小球，若已知 A 球和 B 球相距3米，A 球与C 球相距1米，则B 球与C 球可能相距________米．(球的半径可忽略不计，只要求填出一个符合条件的数)15 如果圆的半径为3cm ，那么60°的圆心角所对的弧长为____cm ．16 如图2－4－9所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔAIJ =1，则S正方形ABCD =______.三、解答题(每题13分，52分)17. 已知:如图 2－4－10所示，在 Rt △ABC 中，AB=AC ，∠A ＝90°，点D 为BA 上任一点，DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点．试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论．18. 今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度可以忽略不计，请设计三种不同的修路方案，画图并简述步骤．19. 如图 2－4－11所示，已知测速站P到公路l的距离PO为40米，一辆汽车在公路l 上行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒，并测得∠APO=60○，∠BPO=30○，计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米(结果保留四个有效数字)并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度．20. 如图2－4－12所示，EF为梯形ABCD的中位线．AH平分∠DA B交EF于M，延长DM交AB于N．求证:AADN是等腰三角形．。