人教版八年级数学上册多边形及其内角和教案

多边形及其内角和教案
三维目标
1．掌握多边形的定义，多边形的内、外角及凸多边形的有关概念．
2．理解多边形的对角线的概念，探索一个多边形能画几条对角线．
3．经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，•发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
教学重点:理解有关多边形的概念；探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系及转化思想的渗透．
教学难点:探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系．
教学过程
导入新课
前面我们已经研究过三角形的有关概念、性质，那么边数大于三的图形的概念和性质是什么呢？它们和三角形中的有关概念和性质是否有相似之处呢？让我们一起来探究一下．推进新课
动手试一试，你会有收获
活动1．问题：
由三角形的有关概念类推有关多边形的概念．
设计意图：在三角形的基础上，学习多边形或把多边形的有关问题转化为三角形．师生活动：1．多边形的定义
师：大家还记得三角形的定义吗？
生：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
师：大家能否据此猜想一下多边形的定义呢？
生：可以．由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形．师：它们之间一点区别也没有吗？请大家认真讨论后作答．
生：有区别，三角形中有三条线段，多边形中不止有三条线段．
师：大家看课本上的定义，和猜想得到的定义有何区别？
生：加了一个条件：在平面内．
师：是的．三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点、五点甚至更多的点就有可能在同一平面内，也有可能不在同一个平面内，而我们在初中阶段主要探讨的是平面几何，所以应在前面加上条件：在平面内．
在定义中应抓住几点：①在同一平面内；②若干条线段；③首尾顺次相连．
具体来讲四边形、n边形的定义，你可以吗？
生：在平面内，由四条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做四边形．
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……若一个多边形由几条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形．
师：总结得非常好．请看屏幕上出现的图形中有哪些多边形呢？（出示投影片如图1所示）
生：有六边形和八边形．
2．多边形的内角和外角
师：先回忆三角形的内角和外角．
生：三角形中相邻两边所组成的角叫做三角形的内角．三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．
师：能类推多边形的内角和外角的定义吗？
生：多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角．
尝试反馈巩固练习
（出示投影片如图2所示）
问题：
指出图中的内角和外角，相邻的内角与外角之间的关系如何．
设计意图：检验对内角和外角的定义是否掌握．
师生活动：师：大家先思考，然后互相交流．
生：如图2是一个五边形，∠BAE，∠ABC，∠C，∠D，∠CDE是它的内角，∠1，∠2，∠3是它的外角，因为∠1+∠BAE=∠2+∠AED=∠3+∠ABC=180°．所以可知：相邻的内角与外角之间的关系是互补并且相邻，所以是邻补角．
3．凸多边形的定义
师：在图3中，你能发现有什么不同吗？请大家细心观察，认真思考，互相讨论，•然后归纳出结论．
生：在图3（1）中，把线段CD向两边延长，发现整个四边形都在这条直线CD•的同一侧；图3（2）中，把线段CD向两方延长后，整个四边形不都在这条直线的同一侧．
师：很好．
在多边形中，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，否则叫凹多边形，本节我们只讨论凸多边形．
4．正多边形的定义
师：大家能从字面意思来作出解释吗？
生：所谓正，就是不歪，如果歪的话，可能是边长不等，或者角度不等造成的，而不歪就是边长相等，角度相等的多边形．
师：非常棒，确实是这样的．
正多边形的定义即为各个角都相等，各条边都相等的多边形．如图4•就是正多边形．活动2．问题：
掌握多边形的对角线的定义，并探究多边形的对角线和边数之间的关系．
设计意图：一方面是训练学生的探究能力，另一方面为下一节求多边形的内角和作准备．师生活动：大家能猜想一下对角线这个名词的意思吗？
生：对角线就是相对的角之间的连线．
师：有道理．但也还有点问题，如果是四边形，每一个角都有一个相对的角，如果是五边形，那么每个角是否有相对角？有几个呢？
生：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
师：知道多边形的对角线的定义后，下面我们亲自来画一些多边形的对角线，画出三角形、四边形、五边形、六边形所有的对角线，并观察过每一个顶点可画出几条对角线． 生：三角形没有对角线，因为没有不相邻的两个顶点：
四边形中，过一个顶点可画一条对角线，共可画两条对角线；
五边形中，过一个顶点可画两条对角线，共可画出五条对角线；
六边形中，过一个顶点可画三条对角线，共可画出九条对角线．
师：下面我们从这三种情况中找一下规律：
四边形的边数是4，有2条对角线；
五边形的边数是5，有5条对角线；
六边形的边数是6，有9条对角线．
多边形的边数和对角线之间有关系吗？如果有，请找出来，如果是n 边形，•可画几条对角线呢？
生：从对角线的定义可知，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫多边形的对角线．那么在n 边形中，以一个顶点为例，•除了它自身和左右与它相邻的三个顶点外，这一点与其他各点都可连接画出对角线，也就是说从n•边形的一个顶点可画出（n-3）条对角线，n 边形共有n 个顶点，所以应该画出n （n-3）条对角线．
师：这位同学分析得有道理．
下面我们把刚才的三种情况验证一下．
生：当n=4时，4（4-3）=4；
当n=5时，5（5-3）=10；
当n=6时，6（6-3）=18．
与实践得出的结论不相符．
师：从这两种情况来看4、10、18分别是2、5、9的2倍，为什么都是2倍？再讨论解决．
生：如图5，在五边形中，对角线AC 以A 为顶点时计算了一次，以C 为顶点时又计算
了一次，所以在n （n-3）中每条对角线都算了两次，因此应该除
以2，即为共有的对角线数量．因此n 边形的对角线数量应为
(3)2
n n 条．
师：分析得非常棒．
下面我们再探究从n边形的一个顶点出发作出的对角线，把n边形分成几个三角形？
生：四边形中，过一个顶点可作出1条对角线，把四边形分成了2个三角形；
五边形中，过一个顶点可作出2条对角线，把五边形分成了3个三角形；
六边形中，过一个顶点可作出3条对角线，把六边形分成了4个三角形．
由此可知，过n边形的一个顶点可作出（n-3）条对角线，把n边形分成了（n-2）个三角形．
师：大家真的很了不起哟．
尝试反馈巩固练习
问题：过十边形的一个顶点可作出几条对角线？把十边形分成了几个三角形？
设计意图：检查刚才讨论的问题是否掌握．
师生活动：
生：这还不简单，可作出7条对角线，把十边形分成了8个三角形．
课堂小结
本节课学习了多边形的含义，正多边形、多边形的内角、外角，对角线，凸多边形的定义；重点探究了n边形的边数n与对角线的数量之间的关系，以及过n•边形的一个顶点可作出（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形．为下节课讨论n边形的内角和作好了准备．
布置作业
习题7．3 1．
活动与探究
1．一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
答案：不一定相等．如图6①四条边都相等，但它的内角不相等．
2．一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
答案：如图6②，四边形的内角都相等，它的边不相等，•所以一个多边形的内角都相等，它的边不一定相等．
3．十二边形共有几条对角线？过一个顶点可作几条对角线？•可把十二边形分成多少个三角形？
答案：十二边形共有12(123)
2
⨯-
＝54条对角线，过一个顶点可作9条对角线，•可把
十二边形分成10个三角形．
备课资料:从三角形内角和想起
三角形的内角和是180°，那么三角形的外角和（当说到三角形外角和时，三角形的每一个顶点处的外角只算其中一个）是多少度呢？
如图7，∠ABC+∠GBC=180°，∠BCA+∠HCA=180°，∠CAB+∠FAB=180°．
所以∠ABC+∠GBC+∠BCA+∠HCA+∠CAB+∠FAB=3×180°=540°．
而∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°．
所以∠GBC+∠HCA+∠FAB=2×180°=360°，即三角形的外角和为360°．
让△ABC逐渐缩小，直至A，B，C三个点重合（如图8•所示）•，•此时三角形的外角∠FAG，∠GBH，∠HCF都变成了什么？
一般地，凸多边形的外角和又是多少度呢？
仍以凸五边形为例（如图9所示），凸多边形每一个内角与一个外角构成一个平角，即为180°，五个这样的平角为5×180°=900°．但现在要求的是其外角和，•所以还需减去其内角和，而内角和为3×180°，于是凸五边形的外角和为2×180°．
你会类似于三角形那样把凸五边形缩为一点，去想象它的外角和是多少度吗？
当然，凸五边形的外角和还可以从“思维实验”的角度去想象：如图3，当从五边形的顶点A出发面向B，按“A─B─C─D─E─A”行进一周时，•你的视线转动了多少度？显然仍为360°．
不管三角形的形状、位置和大小怎样，它们的内角和都是180°，令人惊奇．•而所有的凸多边形的外角和都是360°，更令人惊叹．难怪有人认为，•外角和比内角和更能反映多边形的本质．
细心的同学会发现，我们在多边形的前面都加了一个“凸”字，凸多边形是什么意思呢？那是指“多边形总在任意一边所在直线的同一侧”．人们自然会问：如果是凹多边形，其内、外角和又该是多少？这个问题请同学自己思考并解答．。