可微性的几何意义及应用

并令 x0 1, y0 4, x 0.08, y 0.04.
由公式 (3)，有
1. 08 3. 96 f ( x0 x , y0 y ) f (1,4) f x (1,4)x f y (1,4)y
1 4 0.08 14 ln1 ( 0.04) 1. 32.
§1 可微性与偏导数
一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件 四、可微性的几何意义及应用
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四、可微性的几何意义及应用
若一元函数 y f ( x ) 可微， 我们把平面曲线 S 在其上某一 点 P ( x0 , y0 ) 的切线 PT 定义为
S
过点 P 的割线 PQ， 当Q 沿 S 趋近 P 时的极限位置
P
Q
T
PQ 与 PT 的夹角
也将随 Q →P 而趋于 0
用 h 表示点 Q 到直线 PT 的距离 ， 用d 表示点 Q 到点 P 的距离， 由于
S
Q
d
P
h sin , d
h
因此当 Q 沿 S 趋于 P 时,
h 0 等同于 0. d
T

图 17 - 2
我们引进曲面 S 在点 P 的 切平面的定义.
定理 17.4 曲面 z f ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))
存在不平行于 z 轴的切平面 的充要条件是
P0 ( x0 , y0 ) 可微. 函数 f 在点
定理 17.4 说明: 函数 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微, 则曲面
z f ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为
z
定义 3 设曲面 S 上一点P, Π 为通过点 P 的一个平面, S 上的动点 Q 到定点 P 和到平面Π 的距离 分别记为 d 和 h.
x
O
P

d

h
Q
S
y
图 17 - 3
若当 Q 在 S 上以任意方式趋近于 P 时, 恒有 h 0, d 则称Π 为曲面 S 在点 P 的切平面, 称 P 为切点.
d z f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y ,
则是切平面 PM1 MM 2 上 相应的那一段增量 NM.
M1
z
Q1

S

Q

Q 2
M
P
N
2 N
2
M
N1
O
( x0 , y0 )
y

x
( x0 x, y0 y)
1 例8 应用公式 S ab sin C 计算某三角形的面积, 2
现测得 a 12.50, b 8.30, C 30. 若测量 a , b 的误 差为 0.01, 测量 C 的误差为 0.1 , 试求用此公式
计算三角形面积时的绝对误差限和相对误差限.
解 依题意，测量 a, b, C 的绝对误差限分别为 | a | 0.01 , | b | 0.01 , | C | 0.1 . 1800
f x ( x0 , y0 ) 2a x0 , f y ( x0 , y0 ) 2b y0 , 由公式 (13), 解：
在点 P 处的切平面方程为
z z 0 2ax 0 (x x 0 ) 2b y 0 (y y 0 ).
又因 z0 a x0 b y0 , 所以它可化简为
| S | 0. 13.
又因
1 1 1 S ab sin C 12.50 8.30 25. 94, 2 2 2
所以 S 的相对误差限为
S 0.13 0. 5 %. S 25.94
过切点 P 与切平面垂直的直线 称为曲面在点 P 的法线.
二元函数全微分的几何意义: 当自 当自变量由 ( x0 , y0 ) 变为 ( x0 x , y0 y ) 时, 函 数 z f ( x , y ) 的增量 z 是 z 轴方向上的一段 NQ; 而在点 ( x0 , y0 ) 的全微分 dz
z
M1
S

Q
Q 2
Q1
M

P
N
2 N
2
M
N1
O
( x0 , y0 )

y

x
( x0 x, y0 y)
于是, z 与 dz 之差是 MQ 那一段，它的长度将随着
0 而趋于 0, 而且是较 高阶的无穷小量.
2 2 例6 试求抛物面 z a x b y 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 处 2 2 z a x b y 的切平面方程与法线方程，其中 0 0 0 .
2 2
2 ax 0x 2b y 0y z z 0 0.
由公式 (14), 在点 M 处的法线方程为 x x0 y y0 z z0 . 2 a x0 2 b y0 1
近似计Fra Baidu bibliotek和误差估计： 例7 求 1. 08 3. 96 的近似值.
y f ( x , y ) x , 解设
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ).
由切平面方程知道，法向量为 n ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ), 1 ), 于是过切点 P 的法线方程为 x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y( x0 , y0 ) 1
S S S 由于 | S | | d S | a b C a b C S S S | a | | b | | C | a b C
1 1 | b sin C | | a | | a sin C | | b | 2 2 1 | ab cos C | | C |, 2 因此将各数据代入上式, 即得 S 的绝对误差限为