2020年湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中高考(理科)数学(4月份)模拟试卷 含解析

2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|3x2﹣13x＜0}，B＝{y|y＝3x+1}，则A∩（∁U B）＝（）A．B．（0，1]C．D．（0，1）2．若复数z满足z•（4﹣2i）＝3+i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？则下列说法正确的是（）A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步B．问题[三四]中扇形的面积为平方步C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步D．问题[三四]中扇形的面积为平方步4．运行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2时，输出的S的值为﹣20，则判断框中可以填（）A．k＜3？B．k＜4？C．k＜5？D．k＜6？5．已知正项数列{a n}的首项为1，{a n2}是公差为3的等差数列，则使得a n＞6成立的n的最小值为（）A．11B．12C．13D．146．若函数f（x）＝（4mx﹣n）2的大致图象如图所示，则（）A．m＞0，0＜n＜1B．m＞0，n＞1C．m＜0，0＜n＜1D．m＜0，n＞1 7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AA1⊥平面A1B1C1，则下列选项中，能使异面直线BC1与A1C相互垂直的条件为（）A．∠ACA＝45°B．∠ACA＝45°C．四边形ABB1A1为正方形D．四边形BCC1B1为正方形8．已知非零实数m，n满足m2•|m|＞n2•|n|，则下列结论错误的是（）A．ln|m|＞ln|n|B．C．|m|+sin|m|＜|n|+sin|n|D．m2＞n29．若首项为的数列{a n}满足2（2n+1）a n a n+1+a n+1＝a n，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．B．C．D．10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）在上单调递减B．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称C．D．当时，11．在正方形ABCD中，已知AB＝2，（0≤λ≤1），（0≤μ≤1），||，若≥x，则x的取值范围为（）A．B．C．D．12．过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B．已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．或2二、填空题（共4小题）13．的展开式中，项的系数为．14．若直线y＝9x+a与曲线y＝x3﹣3x相切，则a＝．15．某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为，乙完成任务的概率为，丙、丁完成任务的概率均为，若四人完成任务与否相互独立，则至少2人完成任务的概率为．16．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l1，l2，过点F且与抛物线C分别交于点M，N和点P，Q，弦MN和PQ的中点分别为D，E，若l1⊥l2，则下列结论正确的是．①|MN|+|PQ|的最小值为32；②以M，N，P，Q四点为顶点的四边形的面积的最小值为128；③直线DE过定点（6，0）；④焦点F可以同时为弦MN和PQ的三等分点．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，．（1）求△ABC外接圆的面积；（2）若b+c＝8，求△ABC的面积．18．如图，四棱锥S﹣ABCD中，二面角S﹣AB﹣D为直二面角，E为线段SB的中点，∠DAB＝∠CBA＝3∠ASB＝3∠ABS＝90°，tan∠ASD＝，AB＝4．（1）求证：平面DAE⊥平面SBC；（2）求二面角C﹣AE﹣D的大小．19．2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降1.4%，环比下降0.1%某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相应的出厂价格，该企业统计了2019年1～10月份产品的生产数量x（单位：万件）以及销售总额y（单位：十万元）之间的关系如表：x 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 y 4.25 4.37 4.40 4.55 4.64 4.75 4.92 5.03 5.14 5.26（1）计算的值；（2）计算相关系数r，并通过r的大小说明y与x之间的相关程度；（3）求y与x的线性回归方程，并推测当产量为3.2万件时销售额为多少．（该问中运算结果保留两位小数）附：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；相关系数．参考数据：，，．20．已知斜率存在且不为0的直线l过点D（1，0），设直线l与椭圆交于A，B两点，椭圆C的左顶点为P．（1）若△PAB的面积为，求直线l的方程；（2）若直线PA，PB分别交直线x＝3于点M，N，且，记直线AB，RD的斜率分别为k，k'．探究：k•k'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x（x2+8x﹣4）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式在[0，+∞）上恒成立，且m≠0，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1与x轴交于O，A两点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程及曲线C1的极坐标方程；（2）若直线l与曲线在第一象限交于点M，且线段MA的中点为N，点P 在曲线C1上，求|PN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知x，y，z均为正数，且，求证：（8x+2）（8y+2）（8z+2）≥27；（2）已知实数m，n满足m≥1，，求证：2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A＝{x|3x2﹣13x＜0}，B＝{y|y＝3x+1}，则A∩（∁U B）＝（）A．B．（0，1]C．D．（0，1）【分析】根据二次不等式的求法先求出集合A，结合指数函数的性质可求B，进而可求．解：依题意得，，B＝{y|y＝3x+1}＝{y|y＞1}，则∁U B＝{y|y≤1}，所以A∩（∁U B）＝（0，1]，故选：B．2．若复数z满足z•（4﹣2i）＝3+i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：依题意得，，故在复平面内复数z所对应的点为，该点位于第一象限，故选：A．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？则下列说法正确的是（）A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步B．问题[三四]中扇形的面积为平方步C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步D．问题[三四]中扇形的面积为平方步【分析】利用扇形面积计算公式即可得出．解：依题意，问题[三三]中扇形的面积为平方步，问题[三四]中扇形的面积为平方步．故选：B．4．运行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2时，输出的S的值为﹣20，则判断框中可以填（）A．k＜3？B．k＜4？C．k＜5？D．k＜6？【分析】这是一个当型循环结构，反复求和，注意a的值正负交替．只需逐次循环，直到得到s＝﹣20，根据k的值判断．解：运行该程序，第一次循环，S＝2，a＝﹣2，k＝2；第二次循环S＝﹣6，a＝2，k＝3；第三次循环，S＝12，a＝﹣2，k＝4；第四次循环，S＝﹣20，a＝2，k＝5，此时输出S 的值，观察可知，仅选项C符合题意，故选：C．5．已知正项数列{a n}的首项为1，{a n2}是公差为3的等差数列，则使得a n＞6成立的n的最小值为（）A．11B．12C．13D．14【分析】依题意得，，从而．令，得，由此能求出使得a n＞6成立的n的最小值．解：∵正项数列{a n}的首项为1，{a n2}是公差为3的等差数列，∴依题意得，，故．令，得3n﹣2＞36，解得，∵n∈N*，∴使得a n＞6成立的n的最小值为13，故选：C．6．若函数f（x）＝（4mx﹣n）2的大致图象如图所示，则（）A．m＞0，0＜n＜1B．m＞0，n＞1C．m＜0，0＜n＜1D．m＜0，n＞1【分析】通过函数值为0，求出x的表达式，判断m，n的范围，排除选项AD，通过m ＜0，利用函数的单调性，结合x与y的关系，判断排除选项C，即可．解：令f（x）＝0，即4mx＝n，则mx＝log4n，即，由图可知，，故m＞0时n＞1，m＜0时0＜n＜1，排除A、D；当m＜0时，易知y＝4mx是减函数，且当x→+∞时，y→0则f（x）→n2，C明显不合题意，排除C，故选：B．7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AA1⊥平面A1B1C1，则下列选项中，能使异面直线BC1与A1C相互垂直的条件为（）A．∠ACA＝45°B．∠ACA＝45°C．四边形ABB1A1为正方形D．四边形BCC1B1为正方形【分析】推导出AA1⊥AB，AB⊥AC，从而AB⊥平面CC1A1，进而AB⊥A1C．当异面直线BC1与A1C相互垂直时，可得A1C⊥平面ABC1，从而A1C⊥AC1，四边形ACC1A1为正方形，进而∠A1CA＝45°，当∠A1CA＝45°时，可得BC1⊥A1C．解：如图，因为AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥AB，又AB⊥AC，AA1∩AC＝A，所以AB⊥平面CC1A1，因为A1C⊂平面ACC1A1，所以AB⊥A1C．当异面直线BC1与A1C相互垂直时，由AB∩BC1＝B，可得A1C⊥平面ABC1，因为AC1⊂平面ABC1，所以A1C⊥AC1，所以四边形ACC1A1为正方形，所以∠A1CA＝45°，反之亦然，即当∠A1CA＝45°时，可得BC1⊥A1C，故选：A．8．已知非零实数m，n满足m2•|m|＞n2•|n|，则下列结论错误的是（）A．ln|m|＞ln|n|B．C．|m|+sin|m|＜|n|+sin|n|D．m2＞n2【分析】由非零实数m，n满足m2•|m|＞n2•|n|，可得|m|3＞|n|3＞0，|m|＞|n|＞0，进而判断出结论．解：因为非零实数m，n满足m2•|m|＞n2•|n|，所以|m|3＞|n|3＞0，所以|m|＞|n|＞0，所以ln|m|＞ln|n|，，m2＞n2，所以选项A、B、D均正确；对于选项C，当，时，，所以选项C 错误．故选：C．9．若首项为的数列{a n}满足2（2n+1）a n a n+1+a n+1＝a n，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．B．C．D．【分析】先根据2（2n+1）a n a n+1+a n+1＝a n，推得，再令n取n﹣1可得新等式，两等式再结合叠加法求出数列{a n}的通项，即可求解结论．解：依题意得a n≠0，由2（2n+1）a n a n+1＝a n﹣a n+1，可得，则，，……，，以上式子左右两边分别相加可得，即，即＝，故a1+a2+a3+…+a2020＝＝，故选：C．10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）在上单调递减B．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称C．D．当时，【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：依题意得，，故函数f（x）在上先减后增，故A错误；因为将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后其图象对应的函数解析式为，函数g（x）的图象关于原点对称，故B错误；因为，所以是函数f（x）图象的一条对称轴，即，故C正确；当时，，则，故D错误．综上所述，故选：C．11．在正方形ABCD中，已知AB＝2，（0≤λ≤1），（0≤μ≤1），||，若≥x，则x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】可以点A为原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设E（2，m），F（n，2），从而得出．根据即可得出，进而可得出（m+n+4）2≥32，从而得出，从而得出，这样即可得出x的范围．解：以A为坐标原点，线段AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设E（2，m），F（n，2），则，由，得，化简可得mn＝4﹣2（m+n），∴，故（m+n+4）2≥32，因为m≥0，n≥0，故，当且仅当时等号成立，∴，故x的取值范围为．故选：A．12．过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B．已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．或2【分析】分两种情况讨论A，B在y轴的同侧和两侧，可得圆心M在∠AOB的角平分线上，过M作垂直于OA，AF的垂线，由题意可得四边形MTAN为正方形，再由题意可得FA＝b，所以OA＝a，由题意可得NA，ON的值，求出外接圆的半径，由题意可得a，b的关系求出离心率．【解答】解（1）若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限．如图，设△OAB内切圆的圆心为M，则M在∠AOB的平分线Ox上，过点M分别作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得|FA|＝b，又|OF|＝c，所以|OA|＝a，又，所以，所以，从而可得．（2）若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限如图，易知|FA|＝b，|OF|＝c，|OA|＝a，所以△OAB的内切圆半径为，所以，又因为|OB|2＝|AB|2+a2，所以，|OB|＝2a，所以∠BOA＝60°，∠AOF＝60°，则，从而可得．综上，双曲线C的离心率为或2．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．的展开式中，项的系数为240．【分析】先求其通项公式，再令x的指数为﹣2求出r即可求解结论．解：依题意可得，的展开式的通项为T r+1＝，令，解得r＝2，故项的系数为．故答案为：240．14．若直线y＝9x+a与曲线y＝x3﹣3x相切，则a＝﹣16或16．【分析】先根据导数的几何意义求出切点的横坐标，然后点入曲线方程求出切点坐标，再代入切线求出a的值．解：设切点坐标为（x0，y0），由y'＝3x2﹣3，得切线斜率，故，解得x0＝±2，故切点为（2，2）或（﹣2，﹣2），分别代入y＝9x+a中，可得a＝﹣16或a＝16．故答案为：﹣16或16．15．某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为，乙完成任务的概率为，丙、丁完成任务的概率均为，若四人完成任务与否相互独立，则至少2人完成任务的概率为．【分析】先求出4个人都没有完成任务的概率和4个人中有3个没有完成任务的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少2人完成任务的概率．解：4个人都没有完成任务的概率为，4个人中有3个没有完成任务的概率为：，故至少2人完成任务的概率为．故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l1，l2，过点F且与抛物线C分别交于点M，N和点P，Q，弦MN和PQ的中点分别为D，E，若l1⊥l2，则下列结论正确的是①②③．①|MN|+|PQ|的最小值为32；②以M，N，P，Q四点为顶点的四边形的面积的最小值为128；③直线DE过定点（6，0）；④焦点F可以同时为弦MN和PQ的三等分点．【分析】直接利用直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，两点间的距离公式的应用求出结果．解：依题意得直线l1，l2的斜率均存在，且F（2，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l1：y＝k（x﹣2），联立方程，得整理可得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，所以，则，以代替k可得，|PQ|＝8+8k2，，当且仅当k＝±1时取等号，所以①正确；四边形的面积，当且仅当k＝±1时取等号，所以②正确；因为，E（2+4k2，﹣4k），所以直线DE的方程为＝，即k（x﹣6）﹣（1﹣k2）y＝0，恒过定点（6，0），故③正确；若点F为弦MN的三等分点，不妨设，则（2﹣x2，﹣y2）＝2（x1﹣2，y1），所以2﹣x2＝2x1﹣4，即2x1+x2＝6，又x1x2＝4，解得（舍去）或，代入，得，与两直线垂直矛盾，故④错误．综上所述，故答案为：①②③．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，．（1）求△ABC外接圆的面积；（2）若b+c＝8，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数结合sin B≠0，可求cos A的值，结合范围A∈（0，π），可求A的值，进而利用正弦定理可求△ABC外接圆的半径，进而可求△ABC外接圆的面积．（2）由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）依题意得：，故：，则：2b cos A﹣c cos A＝a cos C，所以：2sin B cos A＝sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C），即：2sin B cos A＝sin B，因为：sin B≠0，所以：，因为：A∈（0，π），所以：，所以：（R为△ABC外接圆的半径），则：，故△ABC外接圆的面积．（2）由．及余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，又，b+c＝8，所以：，解得：bc＝12．故．18．如图，四棱锥S﹣ABCD中，二面角S﹣AB﹣D为直二面角，E为线段SB的中点，∠DAB＝∠CBA＝3∠ASB＝3∠ABS＝90°，tan∠ASD＝，AB＝4．（1）求证：平面DAE⊥平面SBC；（2）求二面角C﹣AE﹣D的大小．【分析】（1）根据条件利用面面垂直性质得到AD⊥AB，线面垂直定理等即可证明AD ⊥平面SAB，进而得到AD⊥BS，从而BS⊥平面DAE，平面DAE⊥平面SBC．（2）建立如图所示直角坐标系，求出平面CAE的法向量，平面DAE的一个法向量为，利用二面角公式结合图形即可求出二面角解：（1）∵二面角S﹣AB﹣D为直二面角，∴平面SAB⊥平面ABCD，∴∠DAB＝90°，∴AD⊥AB，∵平面ABCD∩平面SAB＝AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面SAB，又BS⊂平面SAB，∴AD⊥BS，∵∠ASB＝∠ABS，∴AS＝AB，又E为BS的中点，∴AE⊥BS，又AD∩AE＝A，∴BS⊥平面DAE，∵BS⊂平面SBC，∴平面DAE⊥平面SBC．（2）如图，连接CA，CE，在平面ABS内作AB的垂线，建立空间直角坐标系A﹣xyz，∵，∴AD＝2，∴A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，2），，，∴，，设平面CAE的法向量为，则即，令x＝1，则，，∴是平面CAE的一个法向量，∵SB⊥平面DAE，∴平面DAE的一个法向量为，∴，由图可知二面角C﹣AE﹣D的平面角为锐角，故二面角C﹣AE﹣D的大小为60°．19．2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降1.4%，环比下降0.1%某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相应的出厂价格，该企业统计了2019年1～10月份产品的生产数量x（单位：万件）以及销售总额y（单位：十万元）之间的关系如表：x 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 y 4.25 4.37 4.40 4.55 4.64 4.75 4.92 5.03 5.14 5.26（1）计算的值；（2）计算相关系数r，并通过r的大小说明y与x之间的相关程度；（3）求y与x的线性回归方程，并推测当产量为3.2万件时销售额为多少．（该问中运算结果保留两位小数）附：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；相关系数．参考数据：，，．【分析】（1）直接求解，和，即计算样本中心点，（2）根据相关系数求值，即可判断y与x之间的相关程度；（3）根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．解：（1）依题意，，．（2）依题意，，因为0.997＞0.75，所以y与x之间具有很强的相关性．（3）由，所以所求回归直线方程为，故当x＝3.2时，．20．已知斜率存在且不为0的直线l过点D（1，0），设直线l与椭圆交于A，B两点，椭圆C的左顶点为P．（1）若△PAB的面积为，求直线l的方程；（2）若直线PA，PB分别交直线x＝3于点M，N，且，记直线AB，RD的斜率分别为k，k'．探究：k•k'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）先用分割法表示出△PAB的面积即S△PAB＝S△PDA+S△PDB，从而得到；设直线l的方程为x＝my+1，将其与椭圆的方程联立，结合韦达定理可用含m的式子表示出|y A﹣y B|，从而建立关于m的方程，解之即可；（2）直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，k（x1﹣1）），B（x2，k（x2﹣1）），然后分别表示出直线PA和PB的方程，令x＝3，可分别求得M、N两点的坐标，因为，于是可以用含k，x1，x2的式子表示出点R的坐标，将直线l的方程与椭圆的方程联立，把由韦达定理得到的等式代入R的纵坐标化简可得，在表示出k'，有，故而可得解．解：（1）设A（x A，y A），B（x B，y B）．因为D（1，0），椭圆C的左顶点为P（﹣2，0），所以|PD|＝3，故，故，设直线l的方程为x＝my+1，联立，整理得（m2+2）y2+2my﹣3＝0，所以，，故，解得m2＝6，，故直线l的方程为或．（2）由题意得，直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，k（x1﹣1）），B（x2，k（x2﹣1）），联立，整理得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0，则①，②，又P（﹣2，0），所以直线PA的方程为，令x＝3，解得，同理可得，，设R（x R，y R），因为，所以x R＝3，，将①②代入上式并化简可得，所以，故，为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x2+8x﹣4）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式在[0，+∞）上恒成立，且m≠0，求实数m的取值范围．【分析】（1）先求导，求导函数的零点，判断每个被零点分开的区间导数的正负，可知单调性．（2）令x＝0时求出m≥1，然后求在m≥1时，m的取值范围，分离参数求最值，求出m．【解答】解（1）依题意，x∈R，f'（x）＝e x（x2+8x﹣4+2x+8）＝e x（x2+10x+4），令f'（x）＝0，即x2+10x+4＝0，解得，故当时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．注：，处写成闭区间也给分．（2）令，由题意得，当x＝0时，g（0）＝m﹣1≥0，则有m≥1．下面证当m≥1时，对任意x≥0，都有g（x）≥0．由于x∈R时，1﹣sin x≥0，当m≥1时，则有．故只需证明对任意x≥0，都有．易知h（x）＝x﹣sin x在[0，+∞）上单调递增，所以当x≥0时，h（x）≥h（0）＝0，即x≥sin x，所以1﹣x≤1﹣sin x，则，设，x≥0，则．当x≥0时，e x≥1，，所以F'（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，所以当x≥0时，F（x）≥F（0）＝0，所以对任意x≥0，都有．所以当m≥1时，对任意x≥0，都有，故实数m的取值范围为[1，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1与x轴交于O，A两点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程及曲线C1的极坐标方程；（2）若直线l与曲线在第一象限交于点M，且线段MA的中点为N，点P在曲线C1上，求|PN|的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用，建立等量关系求出结果．解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程2x＝4+y，即2x﹣y﹣4＝0，所以直线l的普通方程为2x﹣y﹣4＝0．由曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，将x＝ρcosθ，ρ2＝x2+y2代入上式，可得ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ，所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（2）由解得或，所以M（4，4），由（1）可得A（2，0），因为线段MA的中点为N，所以N（3，2），由（1）可知曲线C1表示圆，其圆心为C1（1，0），半径r＝1，所以，因为点P在曲线C1上，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知x，y，z均为正数，且，求证：（8x+2）（8y+2）（8z+2）≥27；（2）已知实数m，n满足m≥1，，求证：2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n．【分析】（1）先利用均值不等式可得，同理可得，，以上三式相乘可得，结合得证；（2）利用分析法，即证（m﹣1）（2n﹣1）（2mn﹣1）≥0，而m≥1，，则m﹣1≥0，2n﹣1≥0，2mn﹣1≥0，由此容易得证．【解答】证明：（1）由题可得，当且仅当时取等号；同理可得，，故，当且仅当时取等号，因为，所以（8x+2）（8y+2）（8z+2）≥27，当且仅当时取等号．（2）要证2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n，即证4m2n2﹣4mn2+2n﹣2m2n+m﹣1≥0，即证4mn2（m﹣1）﹣（2mn+2n）（m﹣1）+m﹣1≥0，即证（m﹣1）（4mn2﹣2mn﹣2n+1）≥0，即证（m﹣1）[2mn（2n﹣1）﹣（2n﹣1）]≥0，即证（m﹣1）（2n﹣1）（2mn﹣1）≥0，因为m≥1，，所以m﹣1≥0，2n﹣1≥0，2mn﹣1≥0，所以（m﹣1）（2n﹣1）（2mn﹣1）≥0，所以2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n．。