信息论信息的度量
信息论与编码-第2讲-信源及信息度量1
自信息含义
当事件xi发生以前：表示事件xi发生的不确定性。 当事件xi发生以后：表示事件xi所含有（或所提供）的信
息量。在无噪信道中，事件xi发生后，能正确无误地传输到 收信者，所以I(xi)可代表接收到消息xi后所获得的信息量。 这是因为消除了I(xi)大小的不确定性，才获得这么大小的信 息量。
2.1.1 单符号离散信源的数学模型
(1) 信源的描述方法 (2) 单符号离散信源数学模型
(1) 信源的描述方法
在通信系统中收信者在未收到消息以前，对信源发出 什么消息是不确定的。
① 离散信源：输出的消息常常是以一个个符号形式出现，
这些符号的取值是有限的或可数的。 单符号离散信源：只涉及一个随机事件，可用随机变量描述。 多符号离散信源：每次输出是一个符号序列，序列中每一位出现
② 联合自信息量
信源模型为
x2 y1 ,, x2 ym ,, xn y1 ,, xn y m XY x1 y1 ,, x1 ym , P( XY ) p( x y ),, p( x y ), p( x y ),, p( x y ),, p( x y ),, p( x y ) 1 m 2 1 2 m n 1 n m 1 1
计算y1与各种天气之间的互信息量 对天气x1，不必再考虑 对天气x2， I ( x2 ; y1 ) log2 p( x2 / y1 ) log2 1/ 2 1(比特) p( x ) 1/ 4
i i
验概率的函数。
函数f [p(xi)]应满足以下4个条件 根据上述条件可以从数学上证明这种函数形式是对 数形式。
信息论研究的主要内容
信息论研究的主要内容
信息论是一门研究信息传输、存储、处理等问题的学科，其主要内容包括以下几个方面：
1. 信息的度量和表示：信息的度量可以通过熵、互信息等指标来实现，而信息的表示则可以通过编码的方式来实现。
2. 信道编码和解码：信道编码和解码是信息传输的核心环节，其中编码方法包括香农编码、哈夫曼编码等，而解码方法则包括维特比算法、前向后向算法等。
3. 误差控制编码：误差控制编码是一种能够在数据传输过程中自动纠错的编码方式，其中最常用的是海明码、卷积码等。
4. 压缩编码：压缩编码是一种能够将数据在保持质量不变的情况下减少数据存储空间的编码方式，其中最常用的是无损压缩算法和有损压缩算法。
5. 信息论在通信系统中的应用：信息论在通信系统中的应用包括调制、多路复用、功率控制、网络协议等方面，它为通信系统的设计和性能优化提供了基础理论支持。
总之，信息论研究的主要内容涵盖了信息的度量、信道编码和解码、误差控制编码、压缩编码以及信息论在通信系统中的应用等方面，为信息传输和处理提供了基础理论支持。
- 1 -。
信息论第一章
Tianjin Polytechnic University
自信息量 ①自信息量
单符号离散信源的数学模型
信源的描述方法 单符号离散信源 单符号离散信源的数学模型
Company Logo
Tianjin Polytechnic University
单符号离散信源的数学模型
Tianjin Polytechnic University
例题
例题:写出相应的数学模型 (1)某二元信源只含有0和1两个消息,发送1的概率是 0.99,而发送0的概率是0.01 解:
X 1 P ( X ) 0.99 0 0.01
(2)某二元信源只含有0和1两个消息,发送1和0的概率 均是0.5
自信息的定义
若噪声太大, 信宿收到受干扰的信息后,对某信息 产生的不确定性依然存在或一点也未消除,则信宿 获得较少的信息或者说一点也没有获得信息.
自信息 I ( xi ) 的定义: 信源中某个符号 x i 的出现所带来的信息量
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自信息的定义
1 2 9 X 0 P ( X ) 0.1 0.1 0.1 0.1
(4)信源只发送一种消息,即永远发送1或者永远发送0
X 0 P ( X ) 1 X 1 或 P ( X ) 1
其不确定性 I ( xi )
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自信息的定义
自信息 I ( xi ) 满足以下几条公理:
(4)可加性:若
p( xi y j ) p( xi ) p( y j )
I ( xi y j ) I ( xi ) I ( y j )
信息论编码 第二章信息度量1
50个红球，50个黑球
Y
20个红球，其它4种 颜色各20个
Z
问题：能否度量、如何度量？？
2.3.2信源熵数学描述
信源熵
• 定义：信源各个离散消息的自信息量的数学期望 （即概率加权的统计平均值）为信源的平均信息 量，一般称为信源的信息熵，也叫信源熵或香农 熵，有时也称为无条件熵或熵函数，简称熵。 • 公式： n 1 H ( X ) = E[ I ( xi )] = E[log2 ] = −∑ p( xi ) log2 p( xi ) p( xi ) i =1 • 熵函数的自变量是X,表示信源整体，实质上是无 记忆信源平均不确定度的度量。也是试验后平均 不确定性＝携载的信息 信息量为熵 • 单位：以2为底，比特/符号 • 为什么要用熵这个词，与热熵的区别？
3
( 2)
∑ p ( x ) = 1, ∑ p ( y
i =1 m i j =1
n
m
j
) = 1,∑ p ( xi / y j ) = 1,
i =1 n
n
概 率 复 习
∑ p( y
j =1 n
j
/ xi ) = 1, ∑ ∑ p ( xi y j ) = 1
j =1 i =1 m
m
( 3) ( 4) (5)
1
对天气x1 ,Q p( x1 / y1 ) = 0,∴不必再考虑x1与y1之间 信息量
对天气 x 2 : I ( x 2 : y 1 ) = log
2
p ( x 2 / y1 ) = log p ( x2 )
2
1/ 2 = 1( bit ) 1/ 4
同理 I ( x 3 : y 1 ) = I ( x 4 : y 1 ) = 1( bit ), 这表明从 y 1 分别得到了
信息论基础第2章离散信源及其信息度量
第2章 离散信源及其信息度量
本章内容
2.1 离散信源的分类 2.2 离散信源的统计特性 2.3 离散随机变量的信息度量 2.4 离散信源的N次扩展信源 2.5 离散平稳信源 2.6 马尔可夫信源 2.7 离散信源的相关性和剩余度
《信息论基础》
2.1 离散信源的分类
离散信源的分类
按照离散信源输出的是一个消息符号还是消息符 号序列，可分为单符号离散信源和多符号离散信 源。
,
q2 pn
,
qm ) pn
n
m
其中， pi 1, qj pn 。
i1
j 1
可见，由于划分而产生的不确定性而导致熵的增加量为
pnHm (
q1 pn
,
q2 pn
, qm pn
)
6、上凸性
熵函数 H (p) 是概率矢量 p ( p1, p2 ,
pq ) 的严格∩型凸函数
（ 或 称 上 凸 函 数 ）。 即 对 任 意 概 率 矢 量 p1 ( p1, p2 , pq ) 和
成 H ( p1) 或 H ( p2 ) 。
和自信息相似，信息熵 H ( X ) 有两种物理含义：
① 信源输出前，信源的信息熵表示信源的平均 不确定度。
② 信源输出后，信源的信息熵表示信源输出一 个离散消息符号所提供的平均信息量。如果信道无噪 声干扰，信宿获得的平均信息量就等于信源的平均信 息量，即信息熵。需要注意的是，若信道中存在噪声， 信宿获得的平均信息量不再是信息熵，而是 2.5 节介 绍的平均互信息。
联合熵 H (XY ) 的物理含义表示联合离散符号集 XY 上
的每个元素对平均提供的信息量或平均不确定性。 单位为“bit/符号对”。 需要注意的是，两个随机变量 X 和 Y 既可以表示两个
信息论与编码基本概念
信息论与编码基本概念信息论是一门研究信息传输和处理的学科，而编码则是信息论的重要组成部分。
信息论的基本概念包括信息熵、条件熵、联合熵以及信道容量等。
本文将介绍这些基本概念，并探讨它们在信息处理中的应用。
1. 信息熵信息熵是信息论中的一个重要概念，用来度量信息的不确定性或者信息的平均信息量。
对于一个离散随机变量X，其熵定义为：H(X) = -Σp(x)log2(p(x))其中, p(x) 是随机变量X取值为x的概率。
信息熵越大，代表信息的不确定性越高。
2. 条件熵条件熵是在给定了某些条件的情况下，随机变量的熵。
对于两个随机变量X和Y，条件熵H(X|Y)表示在已知Y的情况下，随机变量X的不确定性。
条件熵可以计算为：H(X|Y) = -ΣΣp(x,y)log2(p(x|y))其中，p(x,y) 是随机变量X和Y的联合分布。
3. 联合熵联合熵是指两个随机变量的联合分布的熵。
对于X和Y两个随机变量，其联合熵可以计算为：H(X,Y)= -ΣΣp(x,y)log2(p(x,y))4. 信道容量信道容量是指在信道传输过程中，能够传输的最大信息量。
信道容量由香农定理给出，其计算公式为：C = B*log2(1+S/N)其中，B是信道的带宽，S是信号的平均功率，N是噪声的功率。
信道容量取决于信号与噪声之比，当信号强于噪声时，信道容量较大。
信息论的基本概念与编码密切相关。
编码是指将输入的信息转换为一系列编码符号，以便在信道中传输或储存。
编码可以通过增加编码的冗余性来提高信息的可靠性，并且可以通过编码方式的设计来减少传输的误码率。
常见的编码方式包括香农-离散傅里叶变换编码、霍夫曼编码、矩阵幂搅拌编码等。
这些编码方式根据不同的需求和约束条件，来实现信息的高效传输与存储。
总结：信息论与编码是信息科学中重要的领域，它研究信息的度量、传输与处理。
信息熵、条件熵、联合熵和信道容量是信息理论的基本概念，用于度量信息的不确定性、传输的可靠性等。
信息论——信息的度量
信息论——信息的度量信息的度量 信息具可度量性，其⼤⼩取决于信息所消除的不确定性 举例如下： 消息A：中国⼥⼦乒乓球队夺取亚运会冠军。
消息B：中国男⼦⾜球队夺取世界杯赛冠军。
从事件的描述上来看，其主题内容⼤致相同，那么我们是否可以认为事件A和事件B具有相同的信息量呢？显然是不⾏的。
根据以往经验，我们可以认为事件A是⼀个⼤概率事件，所以事件A的不确定性⽐较⼩，故当事件A发⽣时，我们从这个消息中得到的信息（消除的不确定度）很⼩。
同理对事件B⽽⾔，由于是个极⼩概率事件，我们得到的信息很⼤。
由此我们可以推断：消息B的信息量⼤于消息A。
对于⼀个事件X，我们假设其不确定性为 I(p1) ，其中 p1 是事件X的先验概率。
对应于事件X的消息X所消除的不确定性为 I(p2)。
那么在我们获取了消息X之后，事件X的不确定性就变为了 I(p1)-I(p2) ，由此我们可以知道当我们对⼀个事物的信息获取的越多，其不确定性就越⼩，当其不确定性变为0时，该事件就被确定下来了，我们对其⽆法再获取更多的信息量了。
直观定义： 收到某消息获取的信息量=不确定性减少量=收到该消息前后某事件的不确定性差信息量的数学表⽰ 理论依据（信息量具有的性质）： 1.⾮负性对于⼀个事件⽽⾔，当事件被完全确定时，即我们⽆法获取更多信息时，其信息量为0，因此⽆法⽐0更⼩。
2.单调性是先验概率的单调递减函数，即某事件的发⽣概率越⼤，其信息量就越⼩。
3.对于事件A 若 P(a)=0 则 I(Pa)=+∞ 若 P(a)=1 则 I(Pa)=0。
4.两个独⽴事件的联合信息量应等于它们分别的信息量之和。
I(xi)具有两个含义： 1.事件发⽣前，表⽰该事件发⽣的不确定性。
2.事件发⽣后，表⽰该事件所提供的信息量。
术语解释 先验概率（prior probability）是指根据以往经验和分析得到的概率。
信息论名词解释(一)
信息论名词解释(一)
信息论相关名词
信息论
•信息论是由克劳德·香农在1948年提出的一门研究信息传输和数据压缩的科学理论。
信息
•信息是用于传递或表示事物的数据，可以是文字、图像、声音等形式的内容。
信源
•信源是指信息产生的来源，可以是人、机器或自然现象等。
码字
•码字是将信息通过编码方式转换为字符或数字的过程。
信道
•信道是信息传输的通道，可以是无线信道、光纤等。
噪声
•噪声是指信道中无意传入的、干扰正常通信的信号。
信号
•信号是将信息在信道中传输的方式，可以是电信号、光信号等。
熵
•熵是信息论中衡量信息的不确定性的度量单位，表示信息的平均信息量。
信息熵
•信息熵是衡量信息源中信息平均量的度量指标，熵值越高，信息越不确定。
信息压缩
•信息压缩是通过使用更少的数据来表示原始信息的过程，减少存储和传输的成本。
码率
•码率是指每秒传输的比特数，用于衡量信息传输的速率。
误码率
•误码率是指在信息传输过程中，传输错误的比特数与总传输比特数之比。
纠错编码
•纠错编码是一种技术，用于在信息传输过程中检测和纠正传输中的错误。
奈奎斯特准则
•奈奎斯特准则是用于确定信号最高可靠传输速率的准则，取样频率应该是信号带宽的两倍。
香农定理
•香农定理描述了在有噪声的信道中，信息传输的极限容量。
噪声比
•噪声比是指信号与噪声功率之比，用于衡量信号与噪声的强度比。
以上是关于信息论的一些常用名词，通过这些名词可以更好地理
解和研究信息的传输和压缩。
信息论与编码第二章答案
第二章信息的度量2.1信源在何种分布时，熵值最大？又在何种分布时，熵值最小？答：信源在等概率分布时熵值最大；信源有一个为1，其余为0时熵值最小。
2.2平均互信息量I(X;Y)与信源概率分布q(x)有何关系？与p(y|x)又是什么关系？答：若信道给定，I(X;Y)是q(x)的上凸形函数；若信源给定，I(X;Y)是q(y|x)的下凸形函数。
2.3熵是对信源什么物理量的度量？答：平均信息量2.4设信道输入符号集为{x1,x2,……xk}，则平均每个信道输入符号所能携带的最大信息量是多少？答：kk k xi q xi q X H i log 1log 1)(log )()(2.5根据平均互信息量的链规则，写出I(X;YZ)的表达式。
答：)|;();();(Y Z X I Y X I YZ X I 2.6互信息量I(x;y)有时候取负值，是由于信道存在干扰或噪声的原因，这种说法对吗？答：互信息量)()|(log );(xi q yj xi Q y x I ，若互信息量取负值，即Q(xi|yj)<q(xi)，说明事件yi 的出现告知的是xi 出现的可能性更小了。
从通信角度看，视xi 为发送符号，yi 为接收符号，Q(xi|yj)<q(xi)，说明收到yi 后使发送是否为xi 的不确定性更大，这是由于信道干扰所引起的。
2.7一个马尔可夫信源如图所示，求稳态下各状态的概率分布和信源熵。
答：由图示可知：43)|(41)|(32)|(31)|(41)|(43)|(222111110201s x p s x p s x p s x p s x p s x p 即：43)|(0)|(41)|(31)|(32)|(0)|(0)|(41)|(43)|(222120121110020100s s p s s p s s p s s p s s p s s p s s p s s p s s p 可得：1)()()()(43)(31)()(31)(41)()(41)(43)(210212101200s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p得：114)(113)(114)(210s p s p s p )]|(log )|()|(log )|()[()]|(log )|()|(log )|()[()]|(log )|()|(log )|()[(222220202121211111010100000s s p s s p s s p s s p s p s s p s s p s s p s s p s p s s p s s p s s p s s p s p H 0.25（bit/符号）2.8一个马尔可夫信源，已知：0)2|2(,1)2|1(,31)1|2(,32)1|1(x x p x x p x x p x x p 试画出它的香农线图，并求出信源熵。
信息论复习提纲
信道传递概率可以用信道矩阵来表示：
x1 x2 P xr
y1 p( y1 | x1 ) p( y | x ) 1 2 p( y1 | xr )
y2 p( y2 | x1 )
p( y2 | x2 ) p( y2 | xr )
ys p( ys | x1 ) 1 p( ys | x2 ) p( ys | xr )
i
第四章：信道及信道容量
二、离散单符号信道及其信道容量
1.离散单符号信道的数学模型（续14）
例3：求二元删除信道的 H ( X )、H (Y )、H ( X | Y )和I ( X ;Y ) 。
已知
1 3 PX 4 4
1 1 2 2 0 P 1 2 0 3 3
3. 后验概率（后向概率）: 贝叶斯公式
p ( xi | y j ) p ( xi y j ) p( y j ) p ( xi ) p ( y j | xi )
p( x ) p( y
i 1 i
r
j
| xi )
（i =1，2，…，r;j =1，2，…，s）
且
p ( xi | y j ) 1
Y y2
ys
i 1, 2,..., r ; j 1, 2,..., s
满足： （1）0≤ p(yj|xi) ≤ 1 (i=1,2,…,r；j=1,2,…,s) （2）
p( y j | xi ) 1
j 1
s
(i=1,2,…,r)
第四章：信道及信道容量
二、离散单符号信道及其信道容量
1.离散单符号信道的数学模型（续2）
r s
第四章：信道及信道容量
信息论名词解释
信息论名词解释
信息论是研究信息、信息量、熵和通信系统的学科，主要研究如何在通信中有效地传递信息和如何在通信系统中进行信息处理和度量。
信息论在许多领域都有广泛的应用，包括计算机科学、通信工程、统计学、经济学、生物学等。
信息论中，信息是指对于一个随机事件或事件序列的不确定性的减少量，也称为熵。
熵是信息量的度量，越大表示信息量越多，越小表示信息量越少。
在通信系统中，信息可以通过发送信号或消息来传递，这些信息需要进行编码和解码，以便在接收端正确地理解和处理。
信息论还研究了信息传输的效率和可靠性，提出了一些重要的定理和算法，如香农定理、信源编码和信道编码定理、误码率、信噪比等。
这些理论和算法对于通信系统和信息传输的质量控制和优化具有重要意义。
信息论在现代计算机科学、通信工程、统计学、经济学、生物学等领域都有广泛的应用，对于推动科学技术的进步和社会发展具有重要意义。
信息论基础-随机过程的信息度量和渐近等分性
在决策树学习、隐马尔可夫模型等领域，条件熵被用于评估特征或状态之间的依赖关系以及模型的性 能优劣。
03
渐近等分性原理
渐近等分性定义及意义
渐近等分性定义
对于随机变量序列，如果其概率分布函数在某种意义下“逐渐趋于均匀”，则称该序列 具有渐近等分性。
渐近等分性意义
渐近等分性在信息论中具有重要意义，它揭示了信息源输出符号序列的一种内在规律性， 为信息压缩和编码提供了理论基础。
随机过程的分类
根据随机过程的性质，可以将其分为 平稳随机过程、马尔可夫过程、鞅过 程等。
பைடு நூலகம்
概率空间与随机变量
概率空间
概率空间是一个包含所有可能事件及其概率的测度空间，用于描述随机试验的结果。
随机变量
随机变量是定义在概率空间上的实值函数，用于表示随机试验的结果。
随机过程样本路径性质
样本路径连续性
01
典型序列与典型集合
典型序列
在信息论中，典型序列是指那些概率较 高、能够代表信息源统计特性的序列。 典型序列在信息压缩和编码中起着重要 作用。
VS
典型集合
典型集合是由典型序列构成的集合，它反 映了信息源输出符号序列的统计规律。在 信息压缩和编码中，典型集合是实现高效 压缩的关键。
渐近等分性在编码定理中应用
互信息的应用
在特征选择、机器学习、自然语言处理等领域，互信息被用于评估特征与目标之间的相关性、文本相似 度以及模型性能等。
条件熵与联合熵关系
条件熵的定义
条件熵是指在给定某个随机变量条件下，另一个随机变量的不确定性或信息量。对于离散随机变量X和Y， 在给定Y的条件下，X的条件熵H(X|Y)定义为X和Y的联合熵与Y的熵之差。
信息的统计度量
2.3.2熵函数旳数学特征
1、对称性: 熵函数对每个Pk 对称旳。该性质 阐明熵只与随机变量旳总体构造有关，与事件 集合旳总体统计特征有关；
2、非负性: H（P）=H(p1,p2,…,pq)>=0；
3、扩展性: 当某事件Ek旳概率Pk稍微变化时， H函数也只作连续旳不突变旳变化；
lim
0
H q1(
熵函数旳自变量是X,表达信源整体
信息熵旳单位与公式中旳对数取底有关。通信与信息 中最常用旳是以2为底，这时单位为比特（bit）；理 论推导中用以e为底较以便，这时单位为奈特 （Nat）；工程上用以10为底较以便，这时单位为笛 特（Det）。它们之间能够引用对数换底公式进行互 换。例如：
1 bit = 0.693 Nat = 0.301 Det
I ( xi / y j ) log p( xi / y j )
在特定条件下( 已定)随机事件发生所带来旳 信息量 条件自信息量满足非负和单调递减性。
例:甲在一种8*8旳 方格盘上随意放入 一种 棋子，在乙看来是不拟定旳。
(1)在乙看来，棋子落入某方格旳不拟 定性为多少？
（2）若甲告知乙棋子落入方格旳行号， 这时，在乙看来棋子落入某方格旳不 拟定性为多少？
j 1
(4)
p( xi y j ) p( xi ) p( y j / xi ) p( y j ) p( xi / y j )
(5) 当X与Y相互独立时, p( y j / xi ) p( y j ),
p( xi / y j ) p( xi ), p( xi y j ) p( xi ) p( y j )
熵旳计算
• 例：设某信源输出四个符号，其符号集合旳 概率分布为：
s1 S p1
李梅 李亦农 《信息论基础教程》 课件教案 第二章 信息的度量
一、自信息和互信息 二、平均自信息 三、平均互信息
第二章：信息的度量
1. 自信息
一、自信息和互信息
二、平均自信息
2. 互信息
三、平均互信息
第二章：信息的度量
自信息和互信息 平均自信息 平均互信息
1. 自信息（量）
公理性条件： (1) 如果p(x1) < p(x2)，则I(x1) > I(x2)， I(xi )是 p(xi) 调递减函数； 的单
第二章：信息的度量
自信息和互信息 平均自信息 平均互信息
2. 互信息（量） （续9）
互信息量的性质
1) 互信息的对称性 2) 互信息可为正值、负值，或为0 3) 任何两个事件之间的互信息不可能大于其中任一 事件的自信息
第二章：信息的度量
自信息和互信息 平均自信息 平均互信息
2. 互信息（量） （续10）
解：
第二章：信息的度量
自信息和互信息 平均自信息 平均互信息
1. 自信息（量） （续6）
p( x1 ) 1 1 n(n 1) 2 p( xn ) n 1 n(n 1) 2
1 I ( x1 ) log n(n 1) 2
1 I ( xn ) log (n 1) 2
自信息和互信息 平均自信息 平均互信息
2. 互信息（量） （续11）
2) 互信息可正可负，可为零
当后验概率大于先验概率时，互信息为正。
说明事件yj的出现有助于消除事件xi的不确定度。
当后验概率小于先验概率时，互信息为负。
说明收信者未收到 yj 以前，对消息xi是否出现的猜测难度较 小，但接收到消息 yj 后对 xi 是否出现的猜测的难度增加了，也 就是收信者接收到消息 yj 后对 xi出现的不确定性反而增加，所 以获得的信息量为负值。
信息量的度量如何计算公式
信息量的度量如何计算公式信息量的度量是指在一定的信息传输过程中，信息的多少和质量的度量。
在信息论中，我们通常使用熵来度量信息的多少，熵越大表示信息量越大。
下面我们将介绍信息量的度量以及相关的计算公式。
在信息论中，熵是度量信息量的一个重要概念。
熵的计算公式为：\[H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2 p(x_i)\]其中，\(H(X)\)表示随机变量\(X\)的熵，\(p(x_i)\)表示随机变量\(X\)取值为\(x_i\)的概率。
通过计算熵，我们可以得到随机变量\(X\)的信息量。
在实际应用中，我们经常使用二进制编码来表示信息。
在这种情况下，我们可以使用香农编码来计算信息量。
香农编码是一种使用变长编码来表示信息的编码方式，通过根据信息的概率分布来确定每个信息的编码长度，从而实现信息的高效表示。
香农编码的计算公式为：\[L = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2 p(x_i)\]其中，\(L\)表示信息的平均编码长度。
通过计算香农编码，我们可以得到信息的平均编码长度，从而可以评估信息的压缩效果和传输效率。
除了熵和香农编码，我们还可以使用信息熵来度量信息的多少。
信息熵是一种用于度量信息量的概念，它是对信息量的期望值。
信息熵的计算公式为：\[H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2 p(x_i)\]其中，\(H(X)\)表示随机变量\(X\)的信息熵，\(p(x_i)\)表示随机变量\(X\)取值为\(x_i\)的概率。
通过计算信息熵，我们可以得到随机变量\(X\)的平均信息量。
在实际应用中，我们可以使用信息熵来评估信息系统的复杂度和传输效率。
通过计算信息熵，我们可以得到系统中信息的平均复杂度，从而可以评估系统的性能和稳定性。
综上所述，信息量的度量是信息论中的重要概念，我们可以使用熵、香农编码和信息熵来度量信息的多少。
信息论基础-第4章信息论基础1
研究目的——信息传输系统最优化
1.可靠性高 使信源发出的消息经过信道传输后，尽可能准确地、 不失真地再现在接收端。
2.有效性高 经济效果好，用尽可能短的时间和尽可能少的设备来 传送一定数量的信息。
往往提高可靠性和提高有效性是矛盾的。
3. 保密性 隐蔽和保护通信系统中传送的消息，使它只能被授
权接收者获取，而不能被未授权者接收和理解。
★信息论研究的对象、目的和内容
研究对象——通信系统模型
信 源 消息 编码器 信号 信 道
干扰
噪声源
译码器 消息 信 宿
1. 信息源：简称信源 信源是产生消息和消息队列的源。如电视直播厅，广 播室，人等等。
特点：信源输出的消息是随机的、不确定的，但有一 定的规律性。
2. 编码器：
编码器是把消息变换成信号的措施，编码器输出的 是适合信道传输的信号。
定理4.2.5 熵函数 H X 是概率 px1, px2 ,..., pxN
的型凸函数。
定理4.2.6 当离散信源X取等概分布时，其熵 H X 取最大值。
max
H px1 ,
px2
,...,
pxN
H
1 N
,
1 Ng 1 log 1
i1 N
N
N
即：当信源取等概分布时，具有最大的不确定性。
(1) f ( p应i ) 是先验概率 的P(x单i ) 调递减函数，
即
P(x1)时 P,(x2 )
f [P(x1)] f [P(x2)]
(2) 当 P(xi )时,1
f ( pi ) 0
(3) 当 P(xi )时 0, f ( pi )
(4) 两个独立事件的联合信息量应等于它们分
信息论与编码理论-第2章信息的度量-习题解答-20071017
1第2章 信息的度量习 题2.1 同时扔一对质地均匀的骰子，当得知“两骰子面朝上点数之和为5”或“面朝上点数之和为8”或“两骰子面朝上点数是3和6”时，试问这三种情况分别获得多少信息量？解：某一骰子扔得某一点数面朝上的概率是相等的，均为1/6，两骰子面朝上点数的状态共有36种,其中任一状态出现都是等概率的,出现概率为1/36。
设两骰子面朝上点数之和为事件a ，有：⑴ a=5时，有1+4，4+1，2+3，3+2，共4种，则该事件发生概率为4/36=1/9，则信息量为I(a)=-logp(a=5)=-log1/9≈3.17(bit)⑵ a=8时，有2+6，6+2，4+4，3+5，5+3，共5种，则p(a)=5/36,则I(a)= -log5/36≈2.85(bit) ⑶ p(a)=2/36=1/18,则I(a)=-log1/18≈4.17(bit)2.2 如果你在不知道今天是星期几的情况下问你的朋友“明天是星期几”，则答案中含有多少信息量？如果你在已知今天是星期三的情况下提出同样的问题，则答案中你能获得多少信息量（假设已知星期一至星期日的排序）？解：设“明天是星期几”为事件a ：⑴ 不知道今天是星期几：I(a)=-log1/7≈2.81(bit) ⑵ 知道今天是星期几：I(a)=-log1=0 (bit)2.3 居住某地区的女孩中有20%是大学生，在女大学生中有80%是身高1米6以上的，而女孩中身高1米6以上的占总数的一半。
假如我们得知“身高1米6以上的某女孩是大学生”的消息，求获得多少信息量？解：设“居住某地区的女孩是大学生”为事件a ，“身高1米6以上的女孩”为事件b ，则有： p(a)= 0.2，p(b|a)=0.8，p(b)=0.5，则“身高1米6以上的某女孩是大学生”的概率为：32.05.08.02.0)()|()()|(=⨯==b p a b p a p b a p信息量为：I=-logp(a|b)=-log0.32≈1.64(bit)2.4 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男同志：“你是否是红绿色盲？”，他回答“是”或“否”，问这两个回答中各含有多少信息量？平均每个回答中含有多少信息量？如果你问一位女同志，则答案中含有的平均自信息量是多少？解：⑴ 男同志回答“是”的概率为7%=0.07，则信息量I=-log0.07≈3.84(bit) 男同志回答“否”的概率为1-7%=0.93，则信息量I=-log0.93≈0.10(bit)2平均信息量为：H 1=-(0.07×log0.07+0.93×log0.93) ≈0.37(bit/符号) ⑵ 问女同志的平均自信息量：H 2=-[0.05×log0.05+(1-0.05) ×log(1-0.05)] ≈0.045(bit/符号)2.5 如有7行9列的棋型方格，若有两个质点A 和B ，分别以等概率落入任一方格内，且它们的坐标分别为（X A ，Y A ）、（X B ，Y B ），但A 、B 不能落入同一方格内。
信息论度量方法
信息论度量方法
信息论中，信息的度量方法有多种，以下是几种主要的度量方式：
1. 信息量：信息量可以用比特（bit）来度量，比特是信息论中最基本的单位，表示二进制系统中的一个选择。
比特的数量表示传递或存储的信息量
的大小。
2. 信息熵：信息熵是信息理论中度量信息不确定性的概念。
熵的值越大，
表示信息的不确定性越高。
熵可以用来度量某个事件或数据集中的信息量。
3. 信噪比：信噪比是度量信号中有用信息与噪声比例的指标。
它可以用来
衡量信号中噪声对有用信息的影响程度。
4. 信息速率：信息速率是单位时间内传输或处理的信息量。
常用的单位是
比特每秒（bps）或字节每秒（Bps）。
5. 信息传输效率：信息传输效率是指在给定的带宽或资源条件下，能够传输的有效信息量。
它是通过传输速率和信道容量的比值来度量的。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅相关书籍或咨询专业人士。
信息论第二章信息的度量
I(xi;yj)I(xi)I(xi yj)
log
( xi y j q(xi )
)
（2-6）
称(2-6)式为事件xi和事件yj之间的互信息量。
注：式（2-6）的I(xi ；yj ) 和式（2-3）的I(xiyj )的区别
在于： 前者是事件xi∈X和事件yj∈Y之间的互信息量， 后者是二维空间XY 上元素xi yj 的自信息量。
根据概率互换公式p(xi yj) = p(yj︱xi)q(xi)=φ(xi︱yj)ω(yj) 互信息量I(xi ;yj )有多种表达形式:
I(xi;yj)loq(p x g (ix ) iy (jy )j)I(xi)I(yj)I(xiyj) (2-7)
I(xi;yj)lopg (y(yjjx)i)I(yj)I(yj xi)(2-8)
如底数分别取 2、 e、 10，
则自信息量单位分别为：比特、奈特、哈特
1 na lto2e g 1 .4b 3i3t
1 H a lo r2 1 tg 0 3 .3b 2i2 t
1 bi t0.69 n3 at
1bit0.30H 1art
一个以等概率出现的二进制码元
(0,1)所包含的自信息量为1bit。
第2章 信息的度量
内容提要：
根据香农对于信息的定义，信息是一个系 统不确定性的度量，尤其在通信系统中， 研究的是信息的处理、传输和存储，所以 对于信息的定量计算是非常重要的。本章 主要从通信系统模型入手，研究离散情况 下各种信息的描述方法及定量计算，讨论 它们的性质和相互关系。
2.1 自信息量和互信息量
I(a i)I(bj)
（ 2-4 ）
3.条件自信息量
在已知事件yj条件下,随机事件xi发生的概率为条件概率φ(xi
一般信息论中信息的定义
一般信息论中信息的定义信息在一般信息论中被定义为传达或交流的内容或数据。
它可以是文字、声音、图像、视频等形式。
信息的传递可以通过各种媒体和通信渠道进行，例如书籍、报纸、广播、电视、互联网等。
不同的媒体和通信渠道可以传递不同形式的信息，但无论形式如何，信息的基本特征都是可以被感知和理解的。
信息的定义涉及到两个重要的概念，即信息量和信息熵。
信息量是表示信息的多少或大小的度量，通常用比特（bit）作为单位。
比特是信息论中最基本的单位，表示信息的最小单元。
一个比特可以表示两种可能性中的一种，例如是或否、真或假等。
信息熵是表示信息的不确定性或不可预测性的度量，它与信息量有关。
当信息的不确定性越大，信息熵就越高；而当信息的不确定性越小，信息熵就越低。
信息的定义还涉及到两个重要的原则，即信息的重复性和信息的稀缺性。
信息的重复性指的是相同的信息在传递和交流过程中可以被重复使用和复制，不会减少或消失。
信息的稀缺性指的是信息的数量是有限的，不可能无限增加。
这两个原则在信息论中是相互作用的，信息的重复性可以通过技术手段实现，而信息的稀缺性则使得信息具有价值和意义。
信息的定义还涉及到信息的可靠性和有效性。
信息的可靠性指的是信息的准确性和真实性，即信息的内容应该与事实相符。
信息的有效性指的是信息对于接收者来说具有意义和用处，能够满足其需求和目的。
信息的可靠性和有效性是信息传递和交流过程中需要考虑和保证的重要因素。
信息的定义还涉及到信息的处理和应用。
信息的处理包括信息的获取、存储、传输、处理和分析等过程，可以通过计算机、通信设备和软件等技术手段实现。
信息的应用包括信息的利用和应用，可以用于决策、创新、教育、娱乐等各个领域。
信息的处理和应用使得信息具有实际价值和实际效果。
信息在一般信息论中被定义为传达或交流的内容或数据。
它具有信息量、信息熵、重复性、稀缺性、可靠性和有效性等特征。
信息的处理和应用使得信息具有实际价值和实际效果。
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综合上述条件，将 自信息量定义为:
I (x)? ? log q(x) (2-1)
自信息量的单位与 log函数所选用的对数底数有关，
如底数分别取 2、 e、 10，
则自信息量单位分别为：比特、奈特、哈特
1nat ? log 2 e ? 1.433bi
1Hart ? log 2 10 ? 3 .322 bi
2．1．1 自信息量和条件自信息量
信息量直观的定义为： 收到某消息获得的信息量 = 不确定性减少的量
将某事件发生所得到的信息量记为 I(x)，I(x)应该是 该
事件发生的概率的函数，即
I(x)=f[ q(x)]
信息量
自信息量
联合 自信息量
条件 自 信息量
1．自信息量 直观地看，自信息量的定义应满足以下四点： a. I (x)应该是q(x)的单调递减函数：概率小
一个事件的自信息量就是对其不确定性的度量。 互信息量则表明了两个随机事件的相互约束程度。
对于随机事件集X = {x1，x2，…，xi，…，xI}中的随机事
件xi，其出现概率记为q(xi)，将两个事件xi ,yj同时出现的概率
记为p(xi yj)，则q(xi) ，p(xi yj)应满足：
??
? ? ??
【例2.6】某住宅区共建有若干栋商品房，每栋有 5个单元，每个 单元住有12户，甲要到该住宅区找他的朋友乙，若：
1. 甲只知道乙住在第5栋，他找到乙的概率有多大？他能得到 多少信息？
2. 甲除知道乙住在第5栋外，还知道乙住在第3单元，他找到 乙的概率又有多大？他能得到多少信息 ？
用xi代表单元数，yj代表户号：
（ 1 ） 甲 找 到 乙 这 一 事 件 是 二 维 联 合 集 X Y上 的 等 概 分
I ( xi y j ) ? ? l og p ( xi y j )
(2-3)
当 X与 Y相互独立时 , 有 p ( a i b j ) ? p ( a i ) p (b j )， 代入式自信息量的公式就有
I (a ib j ) ? ? l ogp ( a i ) ? l ogp (b j )
? I (ai ) ? I (bj )
自信息量
自信息量I(xi)代表两种含义：
1.事件xi发生以前，表示事件发生的先验不确定性 2.当事件xi发生以后，表示事件 xi所能提供的最大 信息量（在无噪情况下）
2. 联合自信息量
? ??P
XY ( XY)
p(a1b1),?
, a1bm, ? , p(a1bm),?
的事件一旦发生赋予的信息量大，概率大的 事件如果发生则赋予的信息量小；
b.信息量应具有可加性：对于两个独立事件， 其信息量应等于各事件自信息量之和；
c.当q(x)=1时，I(x)= 0：表示确定事件发生 得不到任何信息；
d.当 q(x)=0时， I (x)→∞：表示不可能事件 一旦发生，信息量将无穷大。
（2- 4）
3.条件自信息量
在已知事件yj条件下,随机事件xi发生的概率为条件概率 φ(xi
︱yj),条件自信息量 I( xi y j ) 定义为：
? I ( xi y j ) ? ? l og ( xi y j ) (2-5)
4.联合自信息量和条件自信息量间的关系
联合自信息量和条件自信息也满足 非负和单调 递减性 ，同时，它们也都是随机变量 。
, anb1, ? , p(anb1),?
, ,
pa(nbamnbm)???
其中 0 ? p(aibj ) ? 1(i ? 1,2,L ,n; j ? 1,2,L , m)
nm
?? p(a ib j ) ? 1。
i?1 j?1
二维联合集 X Y 上元素x i yj的联合自信息量 I(xi yj)
定义为：
4
有： I (0) ? I (1) ? I (2) ? I (3) ? log 2 4 ? 2b
【例2.3】若盒中有6个电阻，阻值为1Ω、2Ω、3Ω的分别为2个、1
个、3个，将从盒子中取出阻值为iΩ的电阻记为事件 x i（i = 1，2，
3），则事件集X = {x1, x2, x3}，其概率分布
?X? ??q( X)??
自信息量、条件自信息量和联合自信息量之 间有如下关系式：
I(aibj ) ? ? log p(aibj ) ? ? log p(ai )p(bj ai ) ? I (ai ) ? I (b j ai ) ? ? log p(bj )p(ai bj ) ? I (b j ) ? I (ai b j )
第2章 信息的度量
第2章 信息的度量
内容提要：
根据香农对于信息的定义，信息是一个系 统不确定性的度量，尤其在通信系统中， 研究的是信息的处理、传输和存储，所以 对于信息的定量计算是非常重要的。本章 主要从通信系统模型入手，研究离散情况 下各种信息的描述方法及定量计算，讨论 它们的性质和相互关系。
2.1 自信息量和互信息量
q(xi ) ?
I
q ( xi
i?1
0 )
?
1
i
?
1,2,?
,I
? ? ?
? ? ??
p( xi y
IJ
i?1 j?1
j) ? p ( xi
0 y
j
)
?
1
相应的条件概率为
? ??
?
(
xi
yj)
?
?
? ??
p( y j
xi )
?
p ( xi y j )
? (yj)
p (xi y j )
q ( xi )
?
?x1 ?1 ??3
x2 1
6
x3 ? 1? 2 ??
计算出各事件的自信息量列表 2-1如下：
消息xi
概率分 布q (xi) 自信息 量I (xi)
x1 1/3 log 3
x2 1/6 log 6
x3 1/2 log 2
自信息量具有下列性质:
1 I ( a i ) 是非负值。
图2.1 对数曲线
2 当p(ai ) ? 1时，I (ai ) ? 0 3 当p(ai ) ? 0时，I (ai ) ? ? 4 I (ai )是p(ai ) 的单调递减函数。
1bit ? 0 . 693 na
1bit ? 0 .301 Har
一个以等概率出现的二进制码元
(0,1)所包含的自信息量为1bit。
? 当p(0) ? p(1) ? 1 时，
2
有:(I
0)
?
I(1)
?
?
log2
1 2
?
log
2
21?
bit
? 当p(0) ? p(1) ? p(2) ? p(3) ? 1 时，