实际问题与一元二次方程(单、双循环)

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第8课时：《一元二次方程》(3)——实际问题与一元二次方程

第5课时《一元二次方程》（3）——实际问题与一元二次方程【知识点拨】1．单（双）循环问题：设参与数量为x ，总次数为a 时，则①单循环问题的方程是；②双循环问题的方程是。

[例题1]1、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共进行了110场，共有多少队参加比赛？如果设有x 队参加比赛，则根据题意列出的方程是。

2、一个凸多边形共有27条对角线，它是__________边形。

2．平均增长（下降）率问题：设增长（下降）前的数量为a ，增长（下降）后的数量为b ，增长（下降）次数为n ，平均增长（下降）率为x 时，则①平均增长（下降）率问题的方程是；②平均增长（下降）次数是2时，方程是。

[例题2]1、某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．（1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注： %100⨯=年初投入资金年利润年获利率）（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．解:（1）∵%100⨯=年初投入资金年利润年获利率， ∴第一年年终的总资金是(5050)p +万元，即50(1)p +万元.（2）则依题意得：50(1)(110%)66p p +++=把（1+p ）看成一个整体，整理得：2(1)0.1(1) 1.320p p +++-=，解得:1 1.2p +=或1 1.1p +=-，∴120.2, 2.1p p ==-(不合题意舍去).∴p =0.2=20%.∴第一年的年获利率是20%.3．数字问题：①若个位上数字、十位上数字、百位上数字分别为a 、b 、c ，则这个数为a b c ++10100；②扎实掌握整数、奇数、偶数等数量关系，还有。

一元二次方程的实际运用(传播,变化率,单双循环,面积)

一元二次方程的实际运用一、本讲内容的教材地位一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位。

其中一元二次方程的应用是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点。

它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。

本节是一元二次方程的应用，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型二、教学目标知识与技能：学会利用一元二次方程的知识解决实际问题，将实际问题转化为数学模型。

过程与方法：经历由实际问题转化为一元二次方程的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。

情感、态度与价值观：通过合作交流进一步感知方程的应用价值，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。

同时让学生在学习活动中培养合作精神和克服困难的勇气，从而使学生获得成功的体验，建立自信心。

三、重点：培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，学习数学建模思想。

难点：将同类题对比探究，培养学习分析、鉴别的能力。

四、课时2小时五、教学环节安排（一）复习旧知，导入新课（二）师生合作，探究新知（三）自编自创，提升自我（四）课堂练习，巩固新知（五）归纳总结，知识升华（六）作业设计，延伸拓展六、教学过程（一）、复习旧知，导入新课俗话说：“好的开端是成功的一半”同样，好的引入能帮助学生复习旧知识，并起到激发兴趣的作用。

因此我们用学生已学的知识提出问题：列方程解应用题的一般步骤有几步？哪几步？（二）、师生合作，探究新知1、传播问题传播问题虽学生常见，但数量关系较为抽象，所以从谚语入手，让学生有感性认识：“一传十、十传百、百传千千万”在此基础上以学案为载体出示一下问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设计意图：让学生计算三轮后患流感的人数，使学生认识到传染病的危害性。

体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。

问题：1、开始有一人患了流感，第一轮设他传染了x人，则第一轮后，共有个人患了流感。

实际问题与一元二次方程题型归纳总结

实际问题与一元二次方程题型归纳总结实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

1.审清题意，弄清已知量与未知量；2.找出等量关系；3.设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；4.列出一元二次方程；5.求出所列方程的解；6.检验方程的解是否正确，是否符合题意；7.作答。

二、典型题型1、数字问题例1：有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练：1.两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2.一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A。

25 B。

36 C。

25或36 D。

-25或-362、传播问题公式：(a+x)=M，其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数例3：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题2n(n-3)例4：1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5：一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（）A。

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21.3 实际问题与一元二次方程1．列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系．（2）设：设出未知数．（3）列：找出相等关系，列出方程．（4）解：解方程，求出未知数的值．（5）验：检验方程的解是否符合实际意义．（6）答：写出答案．2．常见实际问题（1）传播问题：传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数．（2）平均增长（降低）率问题：①设基数为a ，平均增长率为x ，则第一次增长后的值为()1a x +，两次增长后的值为()21a x +，依次类推，n 次增长后的值为 ()1na x + ．②设基数为a ，平均降低率为x ，则第一次降低后的值为()1a x -，两次降低后的值为()21a x -，依次类推，n 次降低后的值为 ()1na x - ．（3）几何图形面积问题：几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公式或体积公式列出方程．（4）数字问题：若一个两位数十位、个位上的数字分别为a 、b ，则这个两位数表示为 10a b + ；若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a 、b 、c ，则这个三位数表示为 10010a b c ++ ．（5）单、双循环问题：设参加队伍有n 个队，则单循环问题中总的比赛场数为 ()112n n - 场；双循环问题中总的比赛场数为场()1n n -．（6）销售利润问题： =-利润售价进价；-==利润售价进价利润率进价进价；()=⨯+售价进价利润率；=-=⨯1总利润总售价总成本单个利润总销售．（7）存款利息问题：利息本金利率．=+本息和本金利息；=⨯题型一：传播问题1．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）A．1+x＝225 B．1+x2＝225C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2）＝2252．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？题型二：增长率问题3．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=1004．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．题型三：数字问题5．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为()A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=2256．一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4，设个位数是x，则所列方程为()A．x2＋(x＋4)2＝10(x－4)＋x－4 B．x2＋(x＋4)2＝10x＋x＋4C．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4 D．x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4题型四：营销问题7．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？题型五：工程问题9．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）10．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，求甲最多施工多少米？（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖12m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖14m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．题型六：行程问题11．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？12．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．注：步数×平均步长＝距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x的值；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．题型七：图表信息问题13．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；月份用水量（吨）交水费总金额（元）4 7 705 5 40根据上表数据，求规定用水量a的值．14．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收a100元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：月份用水量（吨）交费总数（元）7 140 2648 95 152（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？题型八：动态几何题15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ 的面积为15cm2，则点P运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s16．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P 以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（）A．2s或235s B．1s或225s C．225s D．2s或225s17．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为10时运动时间t的值；（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．一、单选题18．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（）.A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=57019．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人20．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．721．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2＝1000B．200+200×2x＝1000C ．200+200×3x ＝1000D ．200[1+（1+x ）+（1+x ）2]＝100022．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( ) A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人23．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．24．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？一：选择题25．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x ．根据题意列方程，则下列方程正确的是（） A ．22500(1)9100x +＝ B ．22500(1%)9100x +＝C ．22500(1)2500(1)9100x x +++＝D ．225002500(1)2500(1)9100x x ++++＝26．某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg 的单价销售，则每天可售出100kg ，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x 元/kg ，依题意可列方程为（） A ．()()2010021800x x +-= B ．()22010018000.5x x ⎛⎫⎪=⎭-⎝+ C ．20100218000.5x x -⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭D ．()1002201800x x ⎡⎤--=⎣⎦27．某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，那么，符合题意的方程是（）A ．()0.6310.68x +=B ．()20.6310.68x += C ．()0.63120.68x +=D ．()20.63120.68x +=28．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（）A ．180（1﹣x ）2=461B ．180（1+x ）2=461C ．368（1﹣x ）2=442D ．368（1+x ）2=44229．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（） A ．560（1＋x ）2＝315 B ．560（1－x ）2＝315 C ．560（1－2x ）2＝315D ．560（1－x 2）＝31530．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（） A ．x(x+1)=1035B ．x(x-1)=1035C ．12x(x+1)=1035D ．12x(x-1)=103531．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）. A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%二、填空题32．如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m ，则根据题意，可列方程为_______.33．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．34．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为_____．35．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.36．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为________．37．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．38．中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为_____．(用百分数表示)三、解答题39．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.8 32 29.6 28 …售价x（元/千克）…22.6 24 25.2 26 …（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？40．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加20%9a，求a的值．41．为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价x(单位∶万元)成一次函数关系．(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？42．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？43．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．44．已知：如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P 以3cm/S的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/S的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ面积为33cm²（2）P，Q两点从出发点出发几秒时，P，Q间的距离是为10cm．45．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．46．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？47．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提离大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2%a，每户物管费将会减少3%10a；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6%a，每户物管费将会减少1%4a．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少518%a，求a的值．48．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．1．C 【分析】此题可设1人平均感染x 人，则第一轮共感染(1)x +人，第二轮共感染(1)1(1)(1)x x x x x +++=++人，根据题意列方程即可．【详解】解：设1人平均感染x 人，依题意可列方程：2(1)225+=x ．故选：C ．2．（1）每轮传染中平均每个人传染了15个人；（2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x 个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×（1+15），即可求出结论．【详解】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x 个人，依题意，得：1+x +x （1+x ）＝256，解得：x 1＝15，x 2＝﹣17（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．（2）256×（1+15）＝4096（人）．答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．A 【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x ，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x ，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x ）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x ）（1+x ）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即： 80（1+x ）2=100，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．4．（1）6万座；（2）70%.【分析】（1）2020年全省5G 基站的数量=目前广东5G 基站的数量×4，即可求出结论；（2）设2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，根据2020年底及2022年底全省5G 基站数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G 基站的数量是1.546⨯=（万座）.答：到2020年底，全省5G 基站的数量是6万座.（2）设年平均增长率为x ，由题意可得：()26117.34x +=，解得：10.7=70%x =，2 2.7x =-（不符合，舍去）答：2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．C 【分析】最大数为x ，则我们只需要将最小数用x 表示出来即可列出方程．【详解】∵最大数为x ，∴最小数用x 表示为：x-16，∴列方程为：x (x ﹣16)=225，故选：C【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程． 6．C 【分析】由题意知，这个两位数的十位数字为x ＋4，则这个两位数为10(x ＋4)＋x ，其个位数字与十位数字的平方和为x 2＋(x ＋4)2；根据其个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，可得方程，【详解】依题意得十位数字为：x ＋4，则这个数为：10(x ＋4)＋x ，个位数字与十位数字的平方和为：x 2＋(x ＋4)2. ∵个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，∴x 2＋(x ＋4)2＝10(x ＋4)＋x －4.故选C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键根据等量关系列出方程；7．（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．（2）设每件商品应降价x 元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40-x ）（20+2x ）=1200，整理，得x 2-30x +200=0，解得：x 1=10，x 2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x 2=20应舍去，∴x =10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．8．（1）4元或6元；（2）九折【分析】（1）设每千克核桃降价x 元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x 元根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x 2×20）=2240，化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯ 答：该店应按原售价的九折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．9．（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．（2）甲队最多施工6个月才能使工程款不超过1500万元．【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x 个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”．（2）设甲队施工m 个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1350万元，列不等式求解．【详解】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x 个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，根据题意，得()()x x 56x x 5+=++，即2x 7x 300--=，解得12x 10x 3==-，（不合题意，舍去）．∴x 515+=．。

实际问题与一元二次方程(简析版)

实际问题与一元二次方程一、“握手问题”1、节日聚会中，每人都和其他人握手一次，现在有若干人共握手45次，问共有多少人参加聚会？分析：设共有x 人参加聚会，可列方程：45)1(21=-x x 2、某校足球联赛，采用单循环的赛制，一共比赛10场，问一共有多少支球队参加比赛？分析：设共有x 支球队参加比赛，可列方程：10)1(21=-x x 3、参加商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有公司共签订了45分合同，问共有多少家公司参加商品交易会？分析：共有x 家公司参加商品交易会，可列方程：45)1(21=-x x 4、新年到来，几位朋友相互赠送贺卡，共送出贺卡72张，问这群朋友共有几人？分析：设这群朋友共有x 人，可列方程：72)1(=-x x二、“平均增长率”问题。

1、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设平均增长率为x ，可列方程：950)1(200)1(2002002=++++x x2、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？分析：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是x 可列方程： 31.3)1()1(12=++++x x3、一只感染病毒的白鼠经过两天传染后发现共有256只小白鼠患病，问在每天的传染中平均一只小白鼠传染多少只白鼠？分析：设平均一只小白鼠传染x 只白鼠，可列方程：256)1(2=+x4、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设种存款方式的年利率为x ，利息=本金×利率×存期到期后的本息和=本金+利息=（第一年剩余的1000元+第一年的利息）+第二年的利息可列方程：1320)20001000(20001000=+++x x x5、两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品的年平均下降额较大？哪种药品的年平均下降率较大？分析：甲种药品的平均下降额为：1000230005000=-元乙种药品的平均下降额为：1200236006000=-元设甲种药品的平均下降率为x ，乙种药品的平均下降率为y可列方程：3000)1(50002=-x ；3600)1(60002=-y6．一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，则列出的方程是________ 分析:原有纯药液：63升，容器容积63升第一次操作：倒出纯药液x 升，容器内还有纯药液)63(x -升，溶液浓度%1006363⨯-x第二次操作：倒出纯药液6363xx -⋅升，容器内还有纯药液63)63(63)63()63(2x x x x -=---升，由此可列方程：2863)63(2=-x三、商品营销问题1、某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的幅度大？（每每问题）分析：设甲种贺年卡每张降价x 元，乙种贺年卡每张降价y 元每天的盈利=单张贺卡的利润×每天的销量可列方程：120)1001.0500)(3.0(=⨯+-x x ，120)3425.0200)(75.0(=⨯+-y y2、两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，生产1t 乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1t 乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?3、新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 分析：设甲种冰箱每台定价x 元，则：每台冰箱可盈利)2500(-x 元；比原售价降低)2900(x -元；实际每天销量比原来增加：4502900⨯-x从而列方程：5000)45029008)(2500(=⨯-+-xx 同理可求出乙种冰箱的定价。

实际问题与一元二次方程

实际问题与一元二次方程<1>握手（单循环）问题：二分之一n（n-1）=握手总次数例：某校七年级举行乒乓球单循环赛比赛(参加比赛的每一个选手都与其他所有选手各比赛一场），共比赛32场，求有多少个学生？<2>送照片：n(n-1)=总张数例：初三毕业晚会时每人互相送照片一张，一共要90张照片，有多少人？<3>勾股定理问题：a平方+b平方=c平方例：一个直角三角形的斜边长7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，求两条直角边的长度？<4>多边形对角线条数：二分之一n（n-3）=总条数例：一个多边形有14条对角线，那么这个多边形边数是多少？<5>连续两次增长(降低)百分率：a（1+或减x）平方=以后的量例：甲工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份到一月份平均增长的百分率为多少?<6>镶边问题：(a+2x)（b+2x)=总面积例：在一幅长70cm宽50cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边，如果使金色纸边的面积是1300平方厘米，求金色纸边的宽度？<7>最大利润问题:(一件利润)件数=总利润例:某百货大楼服装柜在销售者发现：“某”牌童装平均每天可售出20件,每件利润40元为了迎接国庆节市场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加利润,如果每件降价4元,那么平均每天多售出8件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元那么每件童装应降价多少？<8>传染病问题：1+x+x(1+x)=总人数，两轮后：（1+x）平方=总人数例:某养鸡场突发流感疫情，一只带病毒的小鸡经过两天的传染后，使鸡场共有169只小鸡感染患病，在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？<9>树枝分叉：1+x+x平方=总枝数例:一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?。

21.3实际问题与一元二次方程

21.3实际问题与一元二次方程单循环和双循环问题1.（1）2人互赠礼物，每人要送 1 份礼物，共赠出 2 份礼物（2）3人互赠礼物，每人要送 2 份礼物，共赠出 6 份礼物（3）4人互赠礼物，每人要送 3 份礼物，共赠出 12 份礼物（4）x 人互赠礼物，每人要送（x-1）份礼物，共赠出 x （x-1）份礼物 2.（1）2人握手，每人和他人握手 1 次，共握手 1 次。

（2）3人握手，每人和他人握手 2 次，共握手 3 次。

（3）4人握手，每人和他人握手 3 次，共握手 6 次。

（4）x 人握手，每人和他人握手（x-1）次，共握手 12x （x-1）次。

总结：（1）互赠问题∶若每两人之间进行2次活动，则x 人共进行了x （x-1）次活动；（2）握手问题∶若每两人之间进行1次活动，则x 人共进行了12x （x-1）次活动；（3）x 人握手总次数=x 人互赠总次数×12题型1：单循环和双循环问题1.在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x 人，可得方程（） A ．x （x ﹣1）＝190B ．x （x ﹣1）＝380C ．x （x ﹣1）＝95D ．（x ﹣1）2＝380【答案】A【解析】【解答】解：设共有x 人参加联欢会，可得方程：x （x ﹣1）÷2＝95，x （x ﹣1）＝190．故答案为：A ．【分析】根据“ 共握手95次 ”即可列出方程。

【变式1-1】要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x 个队参加比赛，则x 满足的关系式为（） A ．12x （x +1）＝90B ．12x （x ﹣1）＝90C ．x （x +1）＝90D ．x （x ﹣1）＝90【答案】D【解析】【解答】解：设有x 个队参赛，则x （x ﹣1）＝90．故答案为：D ．【分析】设有x 个队参赛，根据参加一次足球联赛每两队之间都进行两场比赛，可得共比赛x （x ﹣1）场，根据共比赛90场建立方程即可.【变式1-2】某旅游团旅游结束时，其中一名旅客建议大家互相握手道别，细心的小明发现，每两个参加旅游的人互握一次手，共握了66次，问这次旅游的旅客人数是多少？【答案】解：这次旅游的游客人数为 x .依题意，得 12x ( x -1 ) =66 ，解得 x 1 =12 ， x 2 =-11 (不合题意，舍去) 答：这次旅游的游客人数为12.【解析】【分析】设这次旅游的游客人数为 x ，根据题意列出方程，解方程求出x 的值，再进行检验，即可得出答案.传播问题（2轮）：解决传播问题的关键点需要找清楚两个量：１）每一轮传播的传播源的数量a ，２）每一个传播源每轮传播的数量x 。

2231实际问题与一元二次方程单双循环数字问题[1]

2
x2x560
解得: x1 8 , x2 7 (舍去)
答:应邀请8个球队参加比赛.
例2：参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得:
x x 1=90
2231实际问题与一元二次方程单双循环数字问题
2231实际问题与一元二次方程单双循环数字问题
x(x1) 45 2
3、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 182件，求生物兴趣小组有多少个人?
解：设生物兴趣小组有x个人。
由题意得：x（x-1）=182
2231实际问题与一元二次方程单双循环数字问题
解得: x1 6 , x2 5(舍去)
答:应邀请6个球队参加比赛.
跟踪练习2:要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间比赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得: 单循环比赛场数 =28
单循环比赛的场数际问题与一元二次方程(4) 单（双）循环、数字问题
例1：要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间比赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得: 单循环比赛场数 =15
单循环比赛的场数=队数乘以队数减1再除以2
xx1 15
2
x2x300
x（x-1）=2070
2231实际问题与一元二次方程单双循环数字问题
x(x1) 56 2
数字问题
例1：两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？
例2：一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数。

一元二次方程的实际应用(病毒传播、增长率、单(双)循环、图形面积、涨降价销售问题)含答案

7.(8 分 ) 树西瓜经营户以 2 元 / 千克的进价购进一批小型西瓜 , 以 3 元 / 千克的价格出售 , 每天可售出 200 千克 , 为了促销 , 该经营户决定降价销售 , 经调查发现 , 这种小型西瓜每降价 0.1 元 / 千克 , 每天可多售出 40 千克 , 另外 , 每天的房租等固定成本共 24 元 , 该经营户要想每天赡利 200 元 , 应将每十克小型西瓜的售价降低多少元 ?
11.分 )(菜 8机械厂七月份生产零件 52 万个 , 第三季度生产零件 196 万个、设该厂八、九月份平均每月的增长率为 z, 那么满足的方程是 ?
12.(8 分 )2015 年树市曾爆发登革热疫情 , 登革热是一种传染性病毒 , 在病毒传播中 , 若 1 个人悦病 , 则经过两轮传染就共有 144 人悟病 . (D) 每轮传染中平均一个人传染了几个人 ? (2) 若病毒得不到有效控制 , 按照这样的传染违度 , 三轮传染后 , 患病的人数共有多少人 ?
6.(8分 ) 桅商店销售枸种电扇 , 每台进货价为 150 元 , 经市场调研 , 当每台售价为 230 元时 , 平均每天能售出8 台 : 当每台售价每降 10 元时 , 平均每天就能多售出 4 台。若商店要想使这种电扇的销售利润平均每天达到 1000元 , 则每台电扇的定价应为多少元 ?

实际问题与一元二次方程单双循环数字问题

由题意得：
x(x ? 1) ? 56 2
数字问题
例1：两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？
例2：一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数
字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数。
4、参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？解：设共有x家公司参加商品交易会。
x?x ? 1? ? 28
2
x2 ? x ? 56 ? 0
解得: x1 ? 8 , x2 ? ?7 (舍去)
答:应邀请8个球队参加比赛.
例2：参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得:
x ?x ? 1 ?= 9 0
练习1：一个QQ群里共有若干个好友，每个好友都给群里其他好友发送了一条消息，这样共有870条消息，那么这个QQ群里有多少个好友？
由题意得：
x(x ? 1) ? 45 2
3、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 182件，求生物兴趣小组有多少个人?
解：设生物兴趣小组有x个人。
由题意得：x（x-1）=182
【达标检测】（只列方程） 1、参加一次同学聚会，每两人都握了一次手, 所有人共握手 56次,有多少人参加聚会? 2、参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 3、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求生物兴趣小组有多少个人?

(完整版)实际问题与一元二次方程题型知识点归纳总结,推荐文档

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练习：已知：如图所示，在△ ABC 中， B 90, AB 5cm, BC 7cm . 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果 P,Q 分别从 A, B 同时出发，那么几秒后，△ PBQ 的面积等于 4cm2？（2）如果 P,Q 分别从 A, B 同时出发，那么几秒后， PQ 的长度等于 5cm？（3）在（1）中，△ PQB 的面积能否等于 7cm2?说明理由.
共比赛 110 场，则联赛中共有多少个队参加比赛？
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2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手 15 次,有多少人参加聚会?
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3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要 90 张照片,有多少人?
3、平均增长率问题：M=a(1±x)n ， n 为增长或降低次数 , M 为最后产量，a 为基数，x 为平均增长率或降低率
传染中平均一个人传染了几个人？
练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 196 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
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2、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题 1 n(n-1)，双循环问题 n(n-1)
例 2、已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm。某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1 cm s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 出发沿 DA 方向以 2 cm s 的速度向 A 点匀速运动，则经过多长时间，△AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 1 ？

实际问题与一元二次方程(单、双循环)

实际问题与一元二次方程—比赛问题教学目标知识技能:能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.数学思考:经历将实际问题抽象成为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对其进行描述.解决问题:通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性发展实践应用意识.情感态度:通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点: 体育比赛场次中的数量关系。

教学难点:发现问题中的等量关系.教学过程设计回顾引入：解下列方程x （x －1）=90 x(10－x)=24 x （x+2）=168452)1(=-n n 202)3(=-n n新课讲授要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？分析思考：1、什么是单循环？2、什么是双循环？解：设邀请x 个球队参加比赛。

拓展变形：举办一次足球联赛，赛制为双循环形式，一共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？归纳总结当个体为x 个，总数为n 时单循环公式：n x x =-2)1( 双循环公式：x （x －1）=n做题时先判断是单循环还是双循环，再套公式变式练习，巩固强化1、在一个QQ 群里有n 个网友在线，每个网友都向其他网友发出一条信息，共有20条信息，则n 为（）（思考：这题是循环）A 、10B 、6C 、5D 、42、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送了 72 张，则这个小组共有多少人？（思考：这题是循环）3、一次开会时，同事们见面后，倍感亲切，相互握手恭贺，这次共握手 28 次，一共有多少人参加开会？（思考：这题是循环）小结：1、怎样判断单、双循环。

2、套用公式作业：各教师自定大家都来到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥鳅捡螃蟹，人声鼎沸，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。

实际问题与一元二次方程题型归纳总结

实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；（2）找：找出等量关系；（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（4）列：列出一元二次方程；（5）解：求出所列方程的解；（6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（7）答：作答。

二、典型题型1、数字问题例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25 B. 36 C. 25或36 D. -25或-362、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题212n(n-3) 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（）A.()1821=+x xB. ()1821=-x xC.()18212=+x xD.()21821⨯=-x x练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?4、平均增长率问题：M=a(1±x)n ， n 为增长或降低次数 , M 为最后产量，a 为基数，x 为平均增长率或降低率例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

专题21.3 实际问题与一元二次方程--九年级数学人教版

第二十一章一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程1．列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审：读懂题目，弄清题意，明确、，以及它们之间的关系．（2）设：设出．（3）列：找出，列出方程．（4）解：解方程，求出的值．（5）验：检验是否符合实际意义．（6）答：写出．2．常见实际问题（1）传播问题：传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数．（2）平均增长（降低）率问题：①设基数为a ，平均增长率为x ，则第一次增长后的值为()1a x +，两次增长后的值为()21a x +，依次类推，n 次增长后的值为．②设基数为a ，平均降低率为x ，则第一次降低后的值为()1a x -，两次降低后的值为()21a x -，依次类推，n 次降低后的值为．（3）几何图形面积问题：学！科网几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公式或体积公式列出方程．（4）数字问题：若一个两位数十位、个位上的数字分别为a 、b ，则这个两位数表示为；若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a 、b 、c ，则这个三位数表示为．（5）单、双循环问题：设参加队伍有n 个队，则单循环问题中总的比赛场数为场；双循环问题中总的比赛场数为场．（6）销售利润问题： =-利润售价进价；-==利润售价进价利润率进价进价； ()1=⨯+售价进价利润率；=-=⨯总利润总售价总成本单个利润总销售．（7）存款利息问题：=+本息和本金利息；=⨯利息本金利率．K 知识参考答案：1．（1）已知量，未知量（2）未知数（3）相等关系（4）未知数（5）方程的解（6）答案2．（2）()1n a x +，()1na x -（3）规则图形（4）10ab +，10010a bc ++（5）()112n n -，()1n n -K —重点一元二次方程解应用题K —难点（1）平均增长（降低）率问题（2）单、双循环问题K —易错销售利润问题一、根据实际问题列出一元二次方程同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．【例1】某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的方程为________．【答案】()11522x x -=⨯【名师点睛】此类问题的几何模型：直线上有个n 点，一共能确定()12n n -条线段，与之相关的问题有：n 个人握手，总共的握手次数为()12n n -等．二、列一元二次方程解应用题的一般步骤1．审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系． 2．设：设出未知数．3．列：找出相等关系，列出方程． 4．解：解方程，求出未知数的值． 5．验：检验方程的解是否符合实际意义． 6．答：写出答案．【例2】某班有一人患了流感，经过两轮传染后，恰好全班49人被传染患上了流感，按这样的传染速度，若4人患了流感，则第一轮传染后患上流感的人数是【答案】B【解析】设每轮平均一人传染x 人，根据题意，得()1149x x x +++=，解得16x =，28x =-（舍去）．故4人患了流感，第一轮传染后患流感的人数是44628+⨯=，故选B ．【名师点睛】传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数．三、常见问题1．传播问题：传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数． 2．平均增长（降低）率问题：（1）设基数为a ，平均增长率为x ，则第一次增长后的值为()1a x +，两次增长后的值为()21a x +，依次类推，n 次增长后的()1na x +．（2）设基数为a ，平均降低率为x ，则第一次降低后的值为()1a x -，两次降低后的值为()21a x -，依次类推，n 次降低后的值为()1na x -． 3．几何图形面积问题：几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程． 4．数字问题：若一个两位数十位、个位上的数字分别为a 、b ，则这个两位数表示为10a b +；若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a 、b 、c ，则这个三位数表示为10010a b c ++．5．单、双循环问题：设参加队伍有n 个队，则单循环问题中总的比赛场数为()112n n -场；双循环问题中总的比赛场数为()1n n -场．学！科网6．销售利润问题：=-利润售价进价；-==利润售价进价利润率进价进价； ()1=⨯+售价进价利润率；=-=⨯总利润总售价总成本单个利润总销售．7．存款利息问题：=+本息和本金利息；=⨯利息本金利率．【例3】为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【答案】（1）50%；（2）27．【名师点睛】在平均增长（或降低）率问题中，要注意常用的相等关系：设基数为a ，平均增长（或降低）率为x ，则两次增长（或降低）后的值为()21a x +（或()21a x -）．【例4】如图，某农场有一块长40m ，宽32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为21140m ，求小路的宽．【答案】2 m【名师点睛】几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程．1．我省某旅游景点的旅客人数逐年增加，据旅游部门统计，2016年约为120万人次，预计2018年约为170万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是A．120（1+x）=170 B．170（1﹣x）=120C．120（1+x）2=170 D．120+120（1+x）+120（1+x）2=1702．现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件．设快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是A．6.3(1＋2x)＝8 B．6.3(1＋x)＝8C．6.3(1＋x)2＝8 D．6.3＋6.3(1＋x)＋6.3(1＋x)2＝83．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为A．x（5+x）=6 B．x（5–x）=6C．x（10–x）=6 D．x（10–2x）=64．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为A．(1)(2)++=18 B．2x–3x+16=0x xC．(1)(2)--=18 D．2x+3x+16=0x x5．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为A．x（x–11）=180 B．2x+2（x–11）=180C．x（x+11）=180 D．2x+2（x+11）=1806．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为A．5米B．3米C．2米D．2米或5米7．某种服装原售价为200元，由于换季，连续两次降价处理，现按72元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为__________．8．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是__________．学￥科网9．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，若设平均每月的增长率x，则根据题意可得方程为__________．10．两年前生产1 t药品的成本是6000元，现在生产1 t药品的成本是4860元，则药品成本的年平均下降率是__________．11．某厂一月份生产空调机1200台，三月份生产空调机1500台，若二、三月份每月平均增长的百分率是x，则所列方程是__________．12．某工厂一种产品去年的产量是100万件，计划明年产量达到121万件，假设去年到明年这种产品产量的年增长率相同.（1）求去年到明年这种产品产量的年增长率；（2）今年这种产品的产量应达到多少万件？13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是A．x（x+1）=64 B．x（x–1）=64 C．（1+x）2=64 D．（1+2x）=6414．某超市1月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为A．200（1+x）2=1000 B．200+200×2x=1000C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=100015．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为__________．（化用一般式表示）16．波音公司生产某种型号的飞机，7月份的月产量为50架，由于改进了生产技术，计划9月份生产飞机98架，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是__________．17．某校图书馆去年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，则这两年的年平均增长率为__________．18．某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为__________．19．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．（用方程解）20．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？21．如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m2，求小路的宽．22．（2018·眉山市）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是A．8% B．9%C．10% D．11%23．（2018·宜宾市）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为A．2% B．4.4%C．20% D．44%24．（2018·黄冈市）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2−10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.25．（2018·盐城市）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？26．（2018·安顺市）某地年为做好“精准扶贫”，投入资金万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，年在年的基础上增加投入资金万元.（1）从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于万元用于优先搬迁租房奖励，规定前户（含第户）每户每天奖励元，户以后每户每天奖励元，按租房天计算，求年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.1．【答案】C【解析】设游客人数的年平均增长率为x，则2017的游客人数为：120×(1+x)，2018的游客人数为：那么可得方程：.故选C．2．【答案】C【解析】按照增长率公式列一元二次方程，即6.3(1＋x)2＝8.【名师点睛】平均增长率（降低）百分率是x，增长(降低)一次，一般形式为a（1x）=b；增长（降低）两次，一般形式为a（1x）2=b；增长（降低）n次，一般形式为a（1x）n=b ,a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．3．【答案】B【解析】一边长为x米，则另外一边长为：102x-=5–x米，由题意得：x（5–x）=6，故选B．5．【答案】C【解析】设宽为x米，则长为（x+11）米，根据题意得：x（x+11）=180，故选C．6．【答案】C【解析】设道路的宽为x，根据题意得20x+32x-x2=20×32-540，整理得（x-26）2=576，开方得x-26=24或x-26=-24，解得x=50（舍去）或x=2.所以道路宽为2米．故选C．7．【答案】40%【解析】设每次降价的百分率为x，由题意，得200（1–x）2=72，所以（1–x）2=0.36，x=1±0.6，解得：x1=0.4=40%，x2=1.6（不符合题意，舍去），故答案是：40%．8．【答案】10%【解析】设平均每次降价的百分率为x，由题意，第一次降价后的售价是100（1–x），第二次降价后的售价是100（1–x ）2，根据题意列方程解100×（1–x ）2=81，解得x 1=0.1=10%，x 2=1.9（不符合题意，舍去）．所以所求的百分率是10%． 9．【答案】160(1＋x )2=250【解析】设平均每月的增长率是x ，根据题意得，3月份的利润为160（1+x ），4月份的利润为160（1+x ）2=250，故答案是：160（1+x ）2=250．10．【答案】10%【解析】设药品成本的年平均下降率是x ，根据现在生产1 t 药品的成本=两年前生产1 t 药品的成本×(1–下降率)的平方，即可得出关于x 的一元二次方程：6000×()21x -=4860，解得：1x =10%，2x =190%（舍去）．故答案为：10%． 11．【答案】1200()21x +=1500．【解析】由于一月份生产空调1200台，三月份生产空调1500台，若二、三月份每月平均增长的百分率为x ，那么二、三月份分别生产1200（1+x ）台，1200()21x +，由此即可列出方程1200()21x +=1500．故答案为：1200()21x +=1500．（2）（万件），答：今年这种产品的产量应达到110万件.【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a (1+x )n =b ，其中n 为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，b 是增长后的数据，x 是增长率． 13．【答案】C【解析】平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，第一轮有（x +1）人患流感，第二轮共有x +1+（x +1）x 人，即64人患了流感，由此列方程x +1+（x +1）x =64，整理得，（1+x ）2=64．故选C ． 14．【答案】D【解析】由1月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x ，可得2月份的营业额为200×（1+x ）万元，于是3月份的营业额为200×（1+x ）×（1+x ）=200×（1+x ）2万元，因此可列方程为200+200×（1+x ）+200×（1+x ）2=1000，即200[1+（1+x ）+（1+x ）2]=1000．故选D ． 15．【答案】2560x x --=【解析】每支球队都需要与其他球队赛(x −1)场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：1(1)472x x -=⨯，(1)56x x -=，2560x x --=，故答案为：2560x x --=． 16．【答案】40%【解析】设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x ，由题意得，250(1)98x += ，解得：x =0.4或x =–2.4（不合题意舍去），即8、9月飞机生产量平均每月的增长率是0.4=40%．故答案为：40%．18．【答案】2x +x +1=91．【解析】由题意，设每个支干长出x 个小分支，则主干长出x 个分支，所以，一共长出x 个分支，2x 个小分支，则主干、支干和小分支的总数为：2x +x +1，即可列方程得：2x +x +1=91．故答案为：2x +x +1=91． 19．【答案】12米【解析】设BC 边的长为x 米，则AB 边的长度为1(32)2x -，根据题意得，1(32)1202x x -=，整理，得(20)(12)0x x --=，解得：x 1=20，x 2=12，∵20>16， x 1=20不合题意，舍去，∴x =12．答：矩形草坪BC 边的长为12米． 20．【答案】4株或者5株．【解析】设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有（x +3）株，平均单株盈利为：（3–0.5x ）元，由题意得：（x +3）（3–0.5x ）=10．化简，整理，得2320x x -+=．解这个方程，得11x =，22x =，则3+1=4，2+3=5．所以要使每盆的盈利达到10元，每盆应植4株或者5株．答：每盆应植4株或者5株．21．【答案】小路的宽应是2 m．【解析】设小路的宽为x m，依题意有：（40–x）（32–x）=1140，整理，得x2–72x+140=0．解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．答：小路的宽应是2 m．22．【答案】C【解析】设平均每次下调的百分率为x，由题意，得6000（1−x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%．故选C．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．【答案】16【解析】解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7=16．故答案为：16．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．25．【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，∴x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．26．【答案】（1）从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为；（2）年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.（2）设年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得，∵，∴，，解得：.答：年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.【名师点睛】本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程或不等式是解题的关键．。

实际问题与一元二次方程-变化率、销售问题-2022-2023学年九年级数学上册课件(人教版)

1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,
平均每月增长率是x,列方程__5_0_0_(_1_+_x_)_2=_7_2_0__.
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总
额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率
是x,则可列方程为_2_(_1_+_x_)_+_2_(_1_+_x_)_2_=_8_.
销量：20 件 ↑2件 ↑2x件
利润＝(售价-进价)×销量
强化训练
巩固训练实际问题与一元二次方程查漏补缺
1.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价0.1元,日销售量将减少2千克.现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？
∴平均每次下调的百分率为20%;
强化训练实际问题与一元二次方程提升能力
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一,打九折销售；方案二,不打折, 每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)， ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠.
“双循环”问题公式： x(x-1)=m
知识要点
01 “变化率”问题 02 “销售”问题
精讲精练
探究新知
“变化率”问题
知识点一
【问题1】某户的粮食产量年平均增长率为x,第一年产量为6吨,