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2020年福州市高三数学市质检理科

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2020福州市第二次质检数学理试题及答案(3月)

2020福州市第二次质检数学理试题及答案(3月)

2020年福州市高中毕业班质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：1．样本数据12,,,n x x x L 的标准差s = 其中x 为样本平均数；2．球的表面积、体积公式：24S R =π,343V R =π， 其中R 为球的半径．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1． 已知全集U =R ，集合{}22M x x =-<…，{P x y ==，则()U M P I ð等于A ．[)2,0-B ．[]2,0-C ．[)0,2D ．()0,22． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点M 的坐标为，则cos()3+πα的值是A ．0.5-B ．0C ．0.5D ．13． 在等差数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则5a 的值是A ．5-B ．12-C ．12D ．524． 若4442224,,2a xdx b dx c dx x===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a << 5． 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为A ．1-B ．1C ．0D ．2014-6． 在棱长为3的正方体内任取一点P ，则点P 到该正方体的六个面的距离的最小2015?n是第5题图值不大于1的概率为 A ．127B ．162π C ．1162π-D ．26277． “直线l 垂直于平面α”的一个必要不充分条件是A ．直线l 与平面α内的任意一条直线垂直B ．过直线l 的任意一个平面与平面α垂直C ．存在平行于直线l 的直线与平面α垂直D ．经过直线l 的某一个平面与平面α垂直8． 已知EFH ∆是边长为1的正三角形，动点G 在平面EFH 内．若0EG EF ⋅<u u u r u u u r，||1HG =u u u r ，则HG EF ⋅u u u r u u u r的取值范围为A ．1[1,)2-- B ．1[1,]2-- C ．33(,]2--D ．31(,)22--9． 若函数()f x 满足：12,[11]x x ∀∈-，，都有1212()()f x f x x x --…成立，则称()f x ∈ψ．对于函数3()g x x x =-,1,0,()cos ,0x x h x x x +<⎧=⎨⎩…有A ．()g x ∈ψ且()h x ∈ψB ．()g x ∈ψ且()h x ∉ψC ．()g x ∉ψ且()h x ∈ψD ．()g x ∉ψ且()h x ∉ψ10．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一名男医生．”请你推断说话的人的性别与职业是 A ．男医生B ．男护士C ．女医生D ．女护士第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上．） 11． 已知,a b ∈R ，i 为虚数单位，若i =2+i a b -，则2(i)a b +=★★★ ． 12． 2242(2)a x a x++展开式的常数项为280，则正数a = ★★★ ． 13．已知抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，P 是Γ的准线上一点，Q是直线PF 与Γ的一个交点．若2PQ QF =u u u ru u u r，则直线PF 的方程为 ★★★ ． 14．已知一组正数123,,x x x 的方差22221231(12)3s x x x =++-，则数据第8题图1231,1,1x x x +++的平均数为 ★★★ ．15．已知函数()sin f x x x =⋅，有下列四个结论：① 函数()f x 的图象关于y 轴对称；② 存在常数0T >，对任意的实数x ，恒有()()f x T f x +=成立； ③ 对于任意给定的正数M ，都存在实数0x ，使得()0f x M …；④ 函数()f x 的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合． 其中正确结论的序号是 ★★★ (请把所有正确结论的序号都填上)． 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16． （本小题满分13分）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->的图象与直线2y =的相邻两个交点之间的 距离为π．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．若()2,f A =a =，求角 B 的大小．17． （本小题满分13分）调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为,,x y z ，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标w x y z =++的值评定中年人的成就感等级：若4w …，则成就感为一级；若23w 剟，则成就感为二级；若01w 剟，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：．．z 率；（Ⅱ）从成就感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为a ，从成就感等级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X a b =-，求X 的分布列及其数学期望． 18． （本小题满分13分）已知一个空间几何体的直观图和三视图（尺寸如图所示）．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于2？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．519．（本小题满分13分）如图，已知椭圆2222:1x ya bΓ+=（0a b>>）的离心率12e=左焦点和右顶点，且3AF=．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点F作一条直线l交椭圆Γ于,P Q两点，点Q于x轴的对称点为Q'．若PF AQ'∥，求证：12PF AQ'=．20．（本小题满分14分）已知函数()xf x a a x=-⋅，ea…，e 2.71828=⋅⋅⋅（Ⅰ）当ea=时，求函数()f x在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）设*n∈N，比较(1)ln2n na+与ln(1)ln(21)ln(31)ln(1)a a a na-+-+-++-L的大小，并加以证明．21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．若多做，则按所做的前两题计分．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵122A-⎛=⎝．（Ⅰ）求矩阵A；（Ⅱ）求曲线1xy=在矩阵A所对应的线性变换作用下所得的曲线方程．（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为22cos,2sinxyαα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为πcos4ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（Ⅰ）把1C的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C与2C交点的极坐标（0,02πρθ<厔）．（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲已知定义在(0,)+∞上的函数()()20af x x ax=+>的最小值为3．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求不等式14x a x-++…的解集．2020年福州市高中毕业班质量检测 理科数学能力测试参考答案及评分细则 第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1． A 2． B 3． B 4． C 5． C 6．D 7．D 8． A 9． C 10． B第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．34i - 12 13．10x y +-=或10x y --= 14．3 15．①③④三、解答题（本大题共6小题，共80分．)16．本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式、利用正弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．解：(Ⅰ)因为()cos (0,)f x x x x ωωω->∈R ，所以π()2sin()6f x x ω=-． ····················· 1分 所以函数()f x 的最大值为2． ·················· 2分 因为函数()f x 的图象与直线2y =的相邻两个交点之间的距离为π， 所以πT =， ·························· 3分 所以2ππω=，解得2,ω= ····················· 4分所以π()2sin(2).6f x x =-令πππ2π22π,262k x k k --+∈Z 剟， ················· 5分 解得ππππ,63k x k k -+∈Z 剟．所以函数()f x 的单调递增区间是ππ[π,π],63k k k -+∈Z ． ········ 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，π()2sin(2).6f x x =-在ABC ∆中，因为()2,f A =所以π2sin(2)2,6A -= ······················· 7分所以πsin(2)1,6A -=因为0πA <<，所以π3A =． ··················· 9分因为a =，根据据正弦定理，有sin A B =， ········ 10分所以πsin 3B =，所以1sin 2B =， ··············· 11分 因为a b >，所以A B >，所以π03B <<， ············· 12分 所以π6B =． ························· 13分 17．本小题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）设事件A 为“从10名被采访者中随机抽取两人，他们的职业满意度指标相同”．职业满意度指标为0的有：9A ；职业满意度指标为1的有：2A ,4A ,5A ,7A ,10A ； 职业满意度指标为2的有：1A ,3A ,6A ,8A ．从10名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为210C ， ····· 1分45=， ······ 2分职业满意度指标相同的所有可能结果数为2254C C + ·········· 3分 106=+16=，····· 4分 所以他们的职业满意度指标相同的概率16()45P A =． ········· 5分123568不是一级的（4w <）有4A 、7A 、9A 、10A ，共4名．随机变量X 的所有可能取值为：1,2,3,4,5． ············ 6分113211641(1)4C C P X C C ⋅===⋅,····················· 7分 1111312211647(2)24C C C C P X C C ⋅+⋅===⋅， ················· 8分 11111131212111647(3)24C C C C C C P X C C ⋅+⋅+⋅===⋅ ， ············· 9分(4)P X ==111111211164C C C C C C ⋅+⋅⋅ 18=, ··············· 10分 111111641(5)24C C P X C C ⋅===⋅， ··················· 11分X1 2 3 4 5 p 14 724 724 18124······························ 12分所以1771129()123454242482412E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ······· 13分18．本小题主要考查空间体的直观图与三视图、直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．（Ⅰ）证明：（方法一）由三视图知，,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC u u u v u u u vu u u u v 直分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间角坐标系．…………………1分则1(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ,所以1=(1,0,)2EM -u u u u v ，分易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =v，………3所以1=(1,0,)(0,1,0)02EM n ⋅-⋅=u u u u v v ,所以EM n ⊥u u u u v v， ························ 4分 又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ． ···················· 5分 （方法二）由三视图知，,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ,EM ． ········ 1分 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点，所以OM ∥PB ，且12OM PB =．………………………2分又因为AE ∥PB ，且12AE PB =，所以AE ∥OM , 且AE =OM ． 所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO ………………………………………4分因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD所以EM ∥平面ABCD ． ···················· 5分（Ⅱ）解：当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． 6分理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=u u u v u u u v ，设平面PCD 的法向量为1111(,,)n x y z =u v，由110,0n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v 得1111220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩ ················ 7分 取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =u v． ·········· 8分假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25．设(01)PN PD λλ=≤≤u u u v u u u v， 则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=-u u u v ，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-u u u v u u u v u u u v． ···· 9分所以111||sin |cos ,|||||BN n BN n BN n α⋅=<>=⋅u u u v u vu u u v u v u u u v u v ·············· 10分25===． ······ 12分所以29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-(舍去)．因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25． ······················ 13分19．本小题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系、推理与证明等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解:（Ⅰ）设椭圆Γ的半焦距为c ，依题意，得2221,23,.c a a c b a c ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎩ ······ 2分解得22,3.a b =⎧⎪⎨=⎪⎩·························· 3分所以椭圆Γ的方程为221x y +=． ················· 4分PQ 设l 方程为()1y k x =+（0k ≠），()()1122,,,P x y Q x y ． 因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-． 又因为椭圆关于x 轴对称，所以点Q '也在椭圆Γ上． 由()221,3412,y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去y 得 ()22223484120k x k x k +++-=． ······ 5分所以2212122284120,,3434k k x x x x k k -∆>+=-⋅=++． ············· 6分 因为PF AQ '∥，所以直线AQ '的方程为()2y k x =-．由()222,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 得()2222341616120k x k x k +-+-=． ······· 7分因为直线AQ '交椭圆于()()222,0,,A Q x y '-两点，所以2221612234k x k-⋅=+，故2228634k x k -=+． ··············· 8分 所以22221211212222868864120,,34343434k k k k x x x x x x k k k k ---∆>+=+=-⋅=⋅=++++， 解得2157,44k x ==-． ······················ 9分所以222861342k x k -==+． ····················· 10分所以()()()()()2222222211111811111164PF x y x k x k x =++=+++=++=，()()()()()2222222222222812221216AQ x y x k x k x '=-+=-+-=+-=． ···· 12分所以12PF AQ '=． ······················ 13分 方法三：依题意，得PQ 与坐标轴不垂直．设l 方程为()1y k x =+（0k ≠），()()1122,,,P x y Q x y ． 因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-． 又因为椭圆关于x 轴对称，所以点Q '也在椭圆Γ上．直线PQ '过定点()4,0M -， ···················· 5分 理由如下： 由()221,3412,y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去y 得()22223484120k x k x k +++-=． ······· 6分所以2212122284120,,3434k k x x x x k k -∆>+=-=++． ············· 7分 所以()()()21122112121222411234kx y x y x k x x k x kx x k x x k -+=⋅++⋅+=++=+，()()()1212122611234ky y k x k x k x x k k +=+++=++=+． ·········· 9分 因为()()11224,,4,MP x y MQ x y '=+=+-u u u r u u u u r，所以()()()()211221121222242444403434k kx y x y x y x y y y k k -+++=+++=+=++， · 11分 所以MP MQ 'u u u r u u u u r∥，所以,,M P Q '三点共线，即直线PQ '过定点()4,0M -． · 12分因为F 为线段AM 中点，PF AQ '∥，所以12PF AQ '=． ······················ 13分 方法四：依题意，得PQ 与坐标轴不垂直．设l 方程为()1y k x =+（0k ≠），()()1122,,,P x y Q x y ．因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-． ·········· 5分因为,,P F Q 三点共线，所以()111,FP x y =+u u u r 与()221,FQ x y =+u u u r共线，所以()()1221110x y x y +-+=． ··················· 6分因为PF AQ '∥，所以可设FP AQ λ'u u u r u u u u r=（0λ>），即()()11221,2,x y x y λ+=--，所以()121212,x x y y λλ+=-=-． ·················· 7分 所以()()2222210x y x y λλ-++=，即()22210y x λ-=． ········· 8分 依题意，120y y ⋅≠，所以212x =． ················· 9分因为点21,2Q y ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆22143x y +=上，所以2211163y +=，解得2y =2y = ················· 10分由椭圆对称性，不妨取2y =()()2231,02,1,2OP OF FP x y λλ⎛⎫=+=-+--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，因为点31,2P λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆22143x y +=上，所以22312143λ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 解得 12λ=或1λ=-（舍去）． ················ 12分所以12FP AQ '=u u u r u u u u r ，即12PF AQ '=． ················ 13分方法六：依题意，得PQ 与坐标轴不垂直．设l 方程为()1y k x =+（0k ≠），()()1122,,,P x y Q x y ． 因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-． 由()221,3412,y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去x 得()22234690k y ky k +--=． ········· 6分所以12260,34ky y k ∆>+=+． ···················· 7分 因为PF AQ '∥，所以直线AQ '的方程为()2y k x =-．由()222,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去x 得，()2234120k y ky ++=． ·········· 8分因为直线AQ '交椭圆于()()222,0,,A Q x y '-两点，所以221234k y k --=+，即221234ky k=+． ················ 9分 设FP AQ λ'u u u r u u u u r=（0λ>），则()()11221,2,x y x y λ+=--，所以1221234ky y k λλ-=-=+． ···················· 10分 所以()122212163434k k y y k k λ-+==++，解得12λ=， ··········· 12分 所以12PF AQ '=． ······················ 13分20．本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用（单调性、最值）、用点斜式求直线方程、比较不等式、证明不等式、数学归纳法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、有限与无限思想等．满分14分．解：（Ⅰ）当e a =时，函数()e e x f x x =-⋅，则()e e x f x '=-， ····· 1分 所以(1)0f '=，且(1)0f =， ···················· 2分 于是()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)(1)y f f x '-=⋅-， ······ 3分 故所求的切线方程为0y =． ··················· 4分 （Ⅱ）解法一：*(1)ln ln(1)ln(21)ln(31)ln(1)()2n n a a a a na n +>-+-+-++-∈N L ． ······························· 5分理由如下：因为e a …，构造函数()1(,[1,))x u x a ax a e x =-+≥∈+∞， ············· 6分 所以()ln x u x a a a '=-， 因为e a …，所以ln ln 1a e =…，所以()ln x x u x a a a a a '=->-0…． ····· 7分 所以函数()1x u x a ax =-+在[1,)+∞上单调递增，且(1)1u a a =-+1=0>， 所以()(1)0u x u >…， ······················· 9分 即当[1,)x ∈+∞，且e a …时，10x a ax -+>恒成立， 所以1x a ax >-． ······················· 10分 取x n =*()n ∈N ，得1n a na >-成立． ·············· 11分 所以23(1)(21)(31)(1)n a a a a a a a na ⋅⋅⋅⋅>----L L ， ········· 12分 所以(1)2(1)(21)(31)(1)n n aa a a na +>----L ， ············· 13分 所以*(1)ln ln(1)ln(21)ln(31)ln(1)()2n n a a a a na n +>-+-+-++-∈N L 成立． 14分解法二：*(1)ln ln(1)ln(21)ln(31)ln(1)()2n n a a a a na n +>-+-+-++-∈N L ．······························· 5分 理由如下：因为e a …， 欲证*(1)ln ln(1)ln(21)ln(31)ln(1)()2n n a a a a na n +>-+-+-++-∈N L 成立， 只需证(1)2(1)(21)(31)(1)n n a a a a na +>----L *()n ∈N ，只需证23(1)(21)(31)(1)n a a a a a a a na ⋅⋅⋅⋅>----L L ， ········· 6分 即证1n a na >-*()n ∈N ． ···················· 8分构造函数()x xg x a=，则2ln 1ln ()x x x x a xa a x a g x a a --'==． ········ 10分 因为e a …，所以ln 1a ≥．令()0g x '>，得1ln x a <；令()0g x '<，得1ln x a >．所以函数()g x 在1(,)-∞单调递增；在1(,)+∞上单调递减．所以函数()g x 11分所以11x x a --≤11[x x a ax a a --+=[2(1)(1)]1(2)10a x x a a x >---+-=-+> 12分所以1x a ax >-．取x n =*()n ∈N ，得1n a na >-成立． ·············· 13分 所以当e a …时，*(1)ln ln(1)ln(21)ln(31)ln(1)()2n n a a a a na n +>-+-+-++-∈N L 成立． · 14分 解法三：*(1)ln ln(1)ln(21)ln(31)ln(1)()2n n a a a a na n +>-+-+-++-∈N L ．······························· 5分 理由如下：因为e a …， 欲证*(1)ln ln(1)ln(21)ln(31)ln(1)()2n n a a a a na n +>-+-+-++-∈N L 成立， 只需证(1)2(1)(21)(31)(1)n n a a a a na +>----L *()n ∈N ，只需证23(1)(21)(31)(1)n a a a a a a a na ⋅⋅⋅⋅>----L L ， ········· 6分 即证1n a na >-*()n ∈N ． ···················· 8分 用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，1a a >-成立，②当n k =时，假设1k a ka >-成立， ················ 9分 那么当1n k =+时，1k k a a a +=⋅ (1)ka a >-⋅，下面只需证明(1)(1)1ka a k a -⋅>+-， ·············· 10分 只需证明2()21k a a a ->-，因为e a …，所以20a a ->，所以只需证明221a k a a->-， 所以只需证明2211a a a->-，只需证明(3)1a a ->-， 只需证明2310a a -+>对e a …恒成立即可．············ 11分 构造函数2()31(e)h a a a a =-+…， 因为235()()24h a a =--在[,)e +∞单调递增，所以235()()()024h a h e e ≥=-->． 12分所以当1n k =+时，1(1)1k a k a +>+-成立，由①和②可知，对一切n ∈*N ，1n a na >-成立． ········· 13分 所以当a e ≥时，*(1)ln ln(1)ln(21)ln(31)ln(1)()2n n a a a a na n +>-+-+-++-∈N L 成立． · 14分 解法四：*(1)ln ln(1)ln(21)ln(31)ln(1)()2n n a a a a na n +>-+-+-++-∈N L ．· 4分 理由如下：因为a e ≥，欲证(1)ln ln(1)ln(21)ln(31)ln(1)()2n n a a a a na n +>-+-+-++-∈*N L 成立，只要证(1)2(1)(21)(31)(1)n n aa a a na +>----L *()n ∈N ， 只需证23(1)(21)(31)(1)n a a a a a a a na ⋅⋅⋅⋅>----L L ， ········· 6分 即证1n a na >-*()n ∈N ． ···················· 8分 用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，1a a >-成立，②当n k =时，假设1k a ka >-成立， ················ 9分那么当1n k =+时，1k k a a a +=⋅ (1)ka a >-⋅，下面只需证明(1)(1)1ka a k a -⋅>+-， ·············· 10分 注意到2a e ≥>且2k ≥，则(1)2(1)(2)2(1)(1)1(1)1ka a ka k a k a a k a -⋅≥-≥+-=++-->+-，···· 12分 所以当1n k =+时，1(1)1k a k a +>+-成立，由①和②可知，对一切n ∈*N ，1n a na >-成立． ········· 13分 所以当a e ≥时，*(1)ln ln(1)ln(21)ln(31)ln(1)()2n n a a a a na n +>-+-+-++-∈N L 成立． · 14分 21（1）本小题主要考查矩阵及其逆矩阵、求曲线在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分． 解：（Ⅰ）因为矩阵A 是矩阵1A -的逆矩阵，且110A -⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭， ··············· 2分所以22A ⎛- ⎪=⎪⎪⎭． ····················· 3分 （Ⅱ）解法一：设1xy =上任意一点(),x y 在矩阵A 所对应的线性变换作用下的像为点(),x y ''，则1x x x A y y y -⎛ ''⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪'' ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝， ············ 4分由此得)),,2x x y y y x ⎧''+⎪⎪⎨⎪''=-⎪⎩····················· 5分代入方程1xy =，得222y x ''-=. ················· 6分 所以1xy =在矩阵A 所对应的线性变换作用下的曲线方程为222y x -=． 7分 解法二：设1xy =上任意一点(),x y 在矩阵A 所对应的线性变换作用下的像为点(),x y ''，则x x y y '⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪'⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎭， ················ 4分其坐标变换公式为,22,22x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩由此得)),,x x y y y x ⎧''=+⎪⎪⎨⎪''=-⎪⎩ ····· 5分代入方程1xy =，得222y x ''-=. ················· 6分 所以1xy =在矩阵A 所对应的线性变换作用下的曲线方程为222y x -=． 7分（2）本小题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程、极点坐标等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分7分． 解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，得()2224x y -+=，所以1C 的普通方程为：2240x y x +-=． ············· 1分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2240x x y -+=得24cos 0ρρθ-=， ········ 2分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ··············· 3分 （Ⅱ）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程得：40x y --=． ·· 4分由2240,40,x y x x y ⎧+-=⎨--=⎩ ······················· 5分 解得4,0x y =⎧⎨=⎩或2,2.x y =⎧⎨=-⎩······················ 6分所以1C 与2C 交点的极坐标分别为()4,0或74π⎛⎫ ⎪⎝⎭．········ 7分 （3）本小题主要考查平均值不等式、解含有绝对值号的不等式等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）因为0a >,0x >，根据三个正数的算术—几何平均不等式，得()2222a a a f x x x x x x =+=++≥=22a x x =，即x =等号成立， ·························· 1分又因为函数()f x 的最小值为3，所以3=(0)a >， ······· 2分 解得2a =． ·························· 3分 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：214x x -++…．原不等式等价于2,214x x x ⎧⎨-++⎩......或12,214x x x -≤<⎧⎨-++⎩ (1)21 4.x x x <-⎧⎨---⎩… ·· 5分所以522x 剟或12x -<…或312x -<-…， ············· 6分解得3522x -≤≤．所以原不等式解集为3522x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． ······· 7分解法二：由（Ⅰ）得：214x x -++…．由绝对值的几何意义，可知该不等式即求数轴上到点2和点1-的距离之和不大于4的点的集合． ························· 5分故原不等式解集为3522x x⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．··············· 7分。

2020福州市高三毕业班质量检测理科数学

2020福州市高三毕业班质量检测理科数学

又AC AD2 CD2 13 ， 2
AC 2 AB2 BC 2 cos BAC
2AC AB
7 65 , 所以tan BAC 4
65
7
M D
解法三：依题意,过A作AD x轴于点D, 设AB与x轴的交
点为M ,因为f ( x)的周期T 2 2,所以DM 1 ,
2
CD 3 T 3 , AD 1, 42
只有政治、历史两个科目甲的成 绩低于年级平均分，故B正确；
甲的成绩从高到低的前3个科目应该是 依次化学、生物和地理，故C不正确；
4．2021年开始，我省将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即 除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中 选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科 目． 为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门 科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图． 甲同学
AB AC
32 2
7 65
5 13 65
2
又因为BAC为锐角,
所以 tan BAC 4 7
解法二：依题意,过A作AD x轴于点D, 设AB与x轴的交
点为M ,因为f ( x)的周期T 2 2,所以DM 1 ,
2
CD 3 T 3 , AD 1, 42
所以AM BM BC 1 1 5 , 则AB 5, 42
则曲线y f ( x)在x 1处的切线方程为( A )
A. x y 0
B. x y 2 0
C. x y 2 0
D. 3x y 2 0
当x 0时, x 0,因为f ( x)为偶函数, f ( x) f ( x) ( x)2 ln x x2 ln x,
f ( x) 2x 1 , f (1) 1, 又f (1) 1, x

福州市2020年5月高三综合质量数学理科试题含答案

福州市2020年5月高三综合质量数学理科试题含答案

福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集为R ，集合{1,1,2,4}M =-,2{|23}N x x x =->，则()M N =R I ð （A ）{1,1,2}-（B ）{1,2}（C ）{4}（D ）{}12x x-剟2、复数z 满足(1i)|1i |z -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3、函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（A ）π()3f x +是奇函数 （B ）π()3f x +是偶函数（C ）π()3f x -是奇函数 （D ）π()3f x -是偶函数4、在ABC ∆中，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ,4BA BC ⋅=u u u r u u u r，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）15、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为 （A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.42 （D ）0.56、若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩………且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于降水量X 100X <100200X <... 200300X < (300)X … 工期延误天数Y 051530概率P0.4 0.2 0.1 0.3（A ）2-（B ）32-（C ）12-（D ）127、执行右面的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为 （A ）8 （B ）21 （C ）34（D ）558、512x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为（A ）45 （B ）60（C ）90（D ）1209、正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128，则下列结论正确的是 （A ）n ∀∈*N ，12n n n a a a ++… （B ）n ∃∈*N ，212n n n a a a +++=（C ）n ∀∈*N ，1n n S a +< （D ）n ∃∈*N ，312n n n n a a a a ++++=+10、双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E左支上一点，112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为 （A ）54（B ）3（C ）53（D ）23311、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 （A ）2 （B ）423（C ）433（D ）312、设m ∈R ，函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-．若存在0x 使得01()5f x …成立，则m = （A ）15（B ）25 （C ）35（D ）45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13、知函数1,02,()1,20.x x f x x -<⎧=⎨--⎩…剟若()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．14、所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 ．正视图 侧视图俯视图212215、抛物线2:4C yx =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60︒的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= ．16、数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知12a =,1(1)2n n n S S n ++-=，则100S =________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若BC 边上的中线22AM =，高线3AH =，求ABC ∆的面积． 18、（本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．（Ⅰ）（i ）请根据图示，将2×2列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学 科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率． 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．19、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若3CE =，4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小． 20、（本小题满分12分）优分 非优分总计 男生 女生总计 50()2P K k …0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828E DC B A P在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-．直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-．记点P 的轨迹为Γ． （Ⅰ）求Γ的方程； （Ⅱ）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，求MQ NQ的值．21、（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是¼BAC 的中点，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ．（Ⅰ）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线；（Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ，射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值．福州市普通高中毕业班综合质量检测O F E DC B A理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π （15）43 （16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， ······················ 2分 即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，所以1cos 2A =， ················································································· 4分又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ····························································· 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2232c b bc ++=，① ····································································· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，得332bc a =，即2bc a =，② ····························································· 9分 又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ·············································· 10分联立①②③，得2()3222bcbc =-，解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 232S bc A ==． ·············································· 12分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：······································································································ 2分 假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯， 因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．·············································································································· 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率．··············································································· 7分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ································································································ 9分 所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ···································································································· 12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··························································· 1分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥．又因为AP AB A =I ，所以DF ⊥平面PAB ． ········································································ 3分 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． ······························································ 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ··················································· 6分 （Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ·························································· 7分 因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =，所以222222232,AP AF AD DF ==-=-=所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =I ，所以PO ⊥平面ABCD ．········································· 8分故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，优分 非优分 总计 男生 9 21 30 女生11920总计 20 30 50建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)22E ，所以(1,0,3)PD =--u u u r ，(1,2,3)PC =--u u u r ，33(,0,)22EC =--u u u r ， ··················· 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u ru u u r 所以30,230,x z x y z ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(3,0,1)=-n ， ································································ 10分设EC 与平面PDC 所成的角为α，则31sin |cos ,|||232EC α=<>==⋅n u u u r ， ···················································· 11分 因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． ············································· 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． ·························································· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ······················································· 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）． ····································· 4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分设MQ QN =u u u u r u u u rλ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ，所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ······················································· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQNQ=． ··········································································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---， ············· 11分 所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ······················································ 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ················································· 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩························································································ 3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ························· 5分 （Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ··············································· 6分（ⅰ）若12m …，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ······························· 9分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++，所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ····················································· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以»»=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ························ 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒， 所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······································ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-． ································································ 7分 因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,G O'E CODBA所以AB AFAE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅， 所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····························································· 10分 （23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=．········································································ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得，3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩·································································· 2分 解得2x >． 依题意2m =． ·························································································· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号， ···························································· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t+…． ························································································ 8分另一方面，12t t+…， 所以12t t+=， ························································································ 9分 所以1t =或1t =-． ·················································································· 10分。

福建省福州一中2020届高三数学(理)下学期第一次质检试卷

福建省福州一中2020届高三数学(理)下学期第一次质检试卷

福州一中2020届高三数学（理）下学期第一次质检试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.若集合}1|{2xy y M ==,{|1}P y y x ==-,那么=P M I ( ) A.),0(+∞ B.),0[+∞ C.),1(+∞ D.),1[+∞2.复数=--ii 113（ ） A. i +1 B. i - C.i -1 D. i 3.在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =（ ） A ．4B ．6C ．12D ．164．在△ABC 中，)3,2(),1,(,90==︒=∠AC k AB C ，则k 的值是（ ） A ．5B ．－5C ．23 D ．23-5．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.935，B ．0.945，C ．0.135，D ．0.145，6．如图，程序框图所进行的求和运算是（ ） A ． 12 + 14 + 16 + … + 120 B ．1 + 13 + 15 + … + 119C ． 1 + 12 + 14 + … + 118D ． 12 + 12 2 + 12 3 + … + 12 107．已知α∈(2π,π)，sin α=53,则)42tan(πα+等于（ ）A ． 71B ． 3117-C ． 724-D ．31178．设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P(2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点且点P 恰为AB 的中点，则|AF|+|BF|=（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4开始 s = 0,n = 2n < 21 是 否s = s + 1nn = n + 2输出s结束9.设βα,为互不重合的平面，n m ,为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αα⊂⊥n m ,,则n m ⊥；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//；③若m n n m ⊥⊂=⊥,,,αβαβαI ，则β⊥n ； ④ 若,//,,n m m βαα⊥⊥则β//n . 其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．③④ 10．若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且N M ,关于直线 0=-y x 对称,动点P ()b a ,在不等式组200-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩kx y kx my y 表示的平面区域内 部及边界上运动，则21b w a -=-的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．]2,(--∞C ．]2,2[-D ．),2[]2,(+∞⋃--∞ 二、填空题：（本大题共有5个小题，每小题4分，共计20分） 11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于__________.12．62)x展开式中，常数项是__________.13.=-⎰-dx x 0224 .14. 抛掷3个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中成功次数n 的期望为 . 15.在圆中有结论:如图,“AB 是圆O 的直径,直线AC,BD 是圆O 过A,B 的切线,P 是圆O 上任意一点,CD 是过P 的切线,则有PD PC PO ⋅=2”. 类比到椭圆：“AB 是椭圆的长轴, O 是椭圆的中心，21,F F 是椭圆的的焦点，直线AC,BD 是椭圆过A,B 的切线,P 是椭圆上任意一点,CD 是过P 的切线,则有 .”三、解答题（本大题共有6个小题，共计80分） 16．( 本题满分13分)函数()sin()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的图像上一个最高点的坐标为(,3)12π，与之相邻的一个最低点的坐标为7(,1)12π-. （Ⅰ）求()f x 的表达式； (Ⅱ) 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求函数)(x f 的单调递增区间和零点.主视图 左视图俯视图17．( 本题满分13分)如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面ABC 是正三角形，2=AB .四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为直二面角.（Ⅰ）D 在AC 上运动，当D 在何处时，有//1AB 平面1BDC ,并且说明理由； （Ⅱ）当//1AB 平面1BDC 时，求二面角D BC C --1的余弦值.18．( 本题满分13分)某企业2020年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n 21)万元（n 为正整数）. （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式； （Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？19．( 本题满分13分)已知双曲线22221x y -=的两个焦点为F 1，F 2，P 为动点，若21PF PF +=4.（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）求12cos F PF ∠的最小值； （Ⅲ）设点M （-2，0），过点N （27-，0）作直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，判断AMB ∠的大小是否为定值？并证明你的结论.20．（本题满分14分）C 1B 1D CB已知函数)1ln()ln(1)ln()(++-+=x ax x ax x f , ),0(R a a ∈≠ （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当a >0时，若存在x 使得()ln(2)f x a ≥成立，求a 的取值范围.21．（本题满分14分，共3小题，任选其中2题作答，每小题7分） (1) 选修4－2：矩阵与变换设矩阵MN A =，求矩阵A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 其中 M = ⎝⎛11 ⎪⎪⎭⎫42 ，N = ⎝⎛-11 ⎪⎪⎭⎫12 (2) 选修4－5：不等式选讲已知函数()24---=x x x f ．（Ⅰ）作出函数()x f y =的图像； （Ⅱ）解不等式124>---x x (3) 选修4－4：坐标系与参数方程求极坐标系中，圆2=ρ上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值．福州一中2020届高三数学（理）下学期第一次质检试卷参考答案二、填空题 11. 8 +4π3； 12. 60； 13.π； 14. 38； 15. PD PC PF PF ⋅=⋅21. 三、解答题16. 解：（Ⅰ）依题意的2121272πππ=-=T ,所以π=T ,于是22==Tπω……………2分 由⎩⎨⎧-=+-=+13B A B A 解得⎩⎨⎧==12B A ……………………………………………4分把)3,12(π代入()2sin(2)1f x x ϕ=++,可得1)6sin(=+ϕπ,所以226ππϕπ+=+k ,所以32ππϕ+=k ,因为2||πϕ<,所以3πϕ=综上所述，1)32sin(2)(++=πx x f ………………………………7分（Ⅱ）令0)(=x f ，得21)32sin(-=+πx ，又Θ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦373234πππ≤+≤∴x 61132ππ=+∴x 故43π=x 函数)(x f 的零点是43π=x ……………10分373234πππ≤+≤x Θ ∴由373223πππ≤+≤x 得ππ≤≤x 127∴函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,127 ……………13分17. 解：（Ⅰ）当D 为AC 中点时,有//1AB 平面1BDC ………2分 证明:连结1B C 交1BC 于O ,连结DO ∵四边形11BCC B 是矩形 ∴O 为1B C 中点又D 为AC 中点,从而1//DO AB ……………………………4分 ∵1AB ⊄平面1BDC ,DO ⊂平面1BDC∴//1AB 平面1BDC …………………………………………6分 （Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -如图所示,则(0,0,0)B ,A ,(0,2,0)C ,3,0)2D ,1C …………7分所以3,0)2BD =u u u r ,1BC =u u u u r . ………………………………8分设),,(1z y x n =为平面1BDC 的法向量,则有30220x y y+=⎨⎪+=⎩,即3x zy =⎧⎪⎨=⎪⎩令1=z ,可得平面1BDC 的一个法向量为1(3,n =u r ,而平面1BCC 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r (11)分所以121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>===u r u u ru r u u r u r u u r 所以二面角D BC C --1的余弦值为13133…………………………13分 18. 解: (Ⅰ)依题意知，数列n A 是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以2(1)480(20)490102n n n A n n n -=+⨯-=-，…………………3分 2111500(1)500(1)500(1)600222n n B =++++++-L ＝2111500500()600222n n ++++-L＝11[1()]22500500600112n n -+⨯--＝5005001002n n -- …………………6分 (Ⅱ)依题意得，n n B A >，即2500500100490102nn n n -->-， 可化简得250102n n n <+-，…………………8分 ∴可设n n f 250)(=，2()10g n n n =+-又+∈N n Θ，∴可设)(n f 是减函数，)(n g 是增函数，又5050(3)(3)2,(4)(4)8816f g f g =>==<= 则4n =时不等式成立，即4年…………………12分 答：略 ……………13分19．（Ⅰ）解：依题意双曲线方程可化为1212122=-y x 则221=F F ∴21PF PF +=4>221=F F ∴点P 的轨迹是以21,F F 为焦点的椭圆，其方程可设为22221(0)x y a b a b+=>>∴由22,42==c a 得1,2==c a 3142=-=∴b 则所求椭圆方程为13422=+y x ， 故动点P 的轨迹E 的方程为13422=+y x ；………………3分 （Ⅱ）设0,021>=>=n PF m PF ,θ=∠21PF F 则由4=+n m ，221=F F 可知在21PF F ∆中162212242)(24cos 222-=-=--+=-+=mnmn mn mn mn n m mn n m θ 又mn n m n m 24,0,0≥+=>>Θ4≤∴mn 即411≥mn 21146cos =-≥∴θ 当且仅当2==n m 时等号成立．故12cos F PF ∠的最小值为21………………6分（Ⅲ）当l 与x 轴重合时，构不成角AMB ，不合题意．当l x ⊥轴时，直线l 的方程为27x =-，代入22143x y +=解得A 、B 的坐标分别为212,77⎛⎫- ⎪⎝⎭、212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 而127MN =，∴90AMB ∠=o， 猜测90AMB ∠=o为定值．………8分证明：设直线l 的方程为27my x =+，由 22273412x my x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩ ，得2212576(34)0749m y my +--= ∴122127(34)m y y m +=+ ，12257649(34)y y m =-+ ………10分 ∴11221212(2,)(2,)(2)(2)MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++u u u r u u u rg11121212()()77my my y y =+++2121212144(1)()749m y y y y =++++2225761212144(1)49(34)77(34)49m m m m m -=++⋅+++49144)43(49)34(14422+++-=m m 0= ∴ 90AMB ∠=o为定值。

2020年福州市高中毕业班质量检测(理科数学) 试卷

2020年福州市高中毕业班质量检测(理科数学) 试卷

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
{ } { } 1. 已知集合= M x x24 = ，N x 2x < 4 ，则 M N =
A．{x x − 2}
B．{x − 2x < 2} C．{x − 2x2}
D．{x 0 < x < 2}
准考证号
姓名
.
（在此卷上答题无效）
秘密★启用前
2020 年福州市高中毕业班质量检测
数学（理科）试卷
（完卷时间：120 分钟；满分:150 分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 3 页，第 Ⅱ卷 4 至 6 页． 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色签字笔 在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
( ) 已知椭圆 C
:
x2 a2
+
y2= b2
1(a > b > 0) 的焦距为 2
2 ，且过点
2,1 ．
（1）求 C 的方程；
（2）若直线 l 与 C 有且只有一个公共点， l 与圆 x2 + y2 = 6 交于 A,B 两点，直线
OA,OB 的斜率分别记为 k1, k2 ，试判断 k1 ⋅ k2 是否为定值，若是，求出该定值；否则，请

2020 年福建省高三毕业班质量检测理科数学(含详细答案)

2020 年福建省高三毕业班质量检测理科数学(含详细答案)

水量的数据，制得频率分布直方图（如图）．若以频率代替
概率，从该市随机抽取 5 个家庭，则月均用水量在 8～12
吨的家庭个数 X 的数学期望是
A． 3.6
B． 3
C．1.6
D．1.5
6．在 △ABC 中， DC 2BD ，且 E 为 AC 的中点，则 DE
A． 2 AB 1 AC 36
B． 2 AB 1 AC 36
18．(12 分) 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB 2 ，BC 3 ，点 E 在线段 BC 上，BE 2EC ．把△BAE
沿 AE 翻折至 △B1AE 的位置，B1 平面 AECD ，连结 B1D ，点 F 在线段 DB1 上，DF 2FB1 ， 如图 2．
（1）证明： CF∥平面 B1AE ； （2）当三棱锥 B1 ADE 的体积最大时，求二面角 B1 DE C 的余弦值．
2
其中正确结论的个数是
A． 4
B． 3
C． 2
D．1
10．设抛物线 E：y2 6x 的弦 AB 过焦点 F ， AF 3 BF ，过 A ， B 分别作 E 的准线的垂
线，垂足分别是 A ， B ，则四边形 AABB 的面积等于
A． 4 3
B． 8 3
C．16 3
D． 32 3
11．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1），充分展示了我国古代
解法一：因为 B= x x≤ 2或x≥4 ，所以 A B=x x≤ 2或x≥1 ，
故 R (A B)=x 2 x 1，故选 C．
解法二：特殊值法，取 x 2 ，排除 A，D；取 x 2 ，排除 B，故选 C． 【错因分析】
选择 A 答案，求 A B 出现错误，得到 A B x x 2或x 1 ；

2020届福建省高三毕业班质量检查测试数学(理)试题(解析版)

2020届福建省高三毕业班质量检查测试数学(理)试题(解析版)

2021届福建省高三毕业班质量检查测试数学〔理〕试题一、单项选择题21 .集合A xy ln x 1 ,B xx 4 0 那么AI B =A. xx 2B. x 1 x 2C. x 1 x 2 D【答案】C【解析】可求出集合A, B,然后进行交集的运算即可.【详解】. . ,・, 2 ■八人A x y ln x 1 {x|x> 1} ,B x x 4 0 x 2 x,An B={x|1 <x< 2}.应选：C.【点睛】考查描述法的定义,对数函数的定义域,一元二次不等式的解法,交集的运算.2.假设复数z满足Z 1 i 1 i,那么zA. iB. 1 iC. & D【答案】D【解析】把等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简求得z,算公式求解.【详解】1 i 1 i i由〔z+1〕 i=1 + i,得z+1 ----------------------- 2——1 i,i iz= - i,贝U | z| = 1.应选D.【点睛】此题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是根底题.3.经统计,某市高三学生期末数学成绩X : N 85, 2,且P 80 X该市任选一名高三学生,其成绩不低于90分的概率是A. 0.35 B, 0.65 C, 0.7 D 再由复数模的计90 0.3,那么从0.85【答案】A【解析】由直接利用正态分布曲线的对称性求解.【详解】•••学生成绩X服从正态分布N (85, 02),且P (80VXV90) =0.3,•- P (X>90) 1[1 - P (80vXv90) ] - 1 0.3 0.35 ,2 2・•・从该市任选一名高三学生,其成绩不低于90分的概率是0.35.应选A.【点睛】此题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量科和b的应用,考查曲线的对称性,属于根底题.x y 1 04 .假设x, y满足约束条件x y 1 0 ,那么z x 2y的最小值是y 1 0A.—5B. —4C. 0D.2【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影局部)由z= x+2y 得y 1x — z2 2平移直线y 1x 1z, 2 2由图象可知当直线y -x 1z经过点A ( - 2, - 1)时, 2 2直线y工x 工z的截距最小, 2 2此时z最小.将A (-2, - 1)的坐标代入目标函数z=x+2y,得z= -4.即z= x+2y的最小值为一4;应选：B.【点睛】此题主要考查线性规划的应用, 结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是 解决此类问题的根本方法.5.某简单几何体的三视图如下图 ,假设该几何体的所有顶点都在球 .的球面上,那么球OB. 4V3 D- 3273【解析】由三视图复原几何体,可知该几何体为直三棱柱,底面为等腰直角三角形,直角边长为2,侧棱长为2,然后将其放入正方体进行求解.8.2 3的体积是由三视图复原原几何体如可知该几何体为直三棱柱,底面为等腰直角三角形,直角边长为 2,侧棱长为2.把该三棱锥补形为正方体,那么正方体体对角线长为 j 22 2 22 2J3 .,该三棱柱外接球的半径为 J 3. 体积V 4〔括3 473 .3应选B. 【点睛】此题考查空间几何体的三视图,考查多面体外接球外表积与体积的求法,是中档题.6.将函数y sin 2x — 的图象向右平移 —个单位长度后,所得图象的一个对称中 6 6心为〔〕A.—,0B. 一, 0C. 一, 0D.1, 0 12432【答案】A【解析】根据平移法那么得到 f x sin 2x —,再计算对称中央横坐标满足 6 k -一 一、x — — , k Z ,斛仔答案. 12 2 【详解】函数y sin 2x 一 的图象向右平移 —个单位长度得到函数： 6 6f x sin 2 x —— sin 2x —,对称中央横坐标满足： 66 6此题考查了三角函数平移, 三角函数的对称中央, 意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.7• a V 2,b 5/5,c 7/7,那么A. a b cB acbC bac D. c b aKk. ,,k - 2k -6一120时,对称中央为 一,012【答案】A【解析】根据募函数的单调性即可求出. 【详解】a 盘,b 5/5,c 7/7,贝U a 70=235=( 25) 7= 327= ( 27)5=1285, b70=514= ( 52) 7= 257c 70= 710= ( 72) 5= 495, . . a>c, a>b,又 b 70= 514= ( 57) 2= ( 78125) 2c 70= 710= ( 75) 2= ( 16807) 2,b>c,a> b>c,应选A. 【点睛】此题考查了不等式的大小比拟,掌握嘉函数的单调性是关键,属于根底题8 .某商场通过转动如下图的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动,当指针指向阴影区域时为中奖.规定每位顾客有 3次抽奖时机,但中奖1次就停止抽奖.假设每次抽奖相 互独立,那么顾客中奖的概率是1【解析】由题意应用几何概型面积之比得一次中奖概率 -,分为三类讨论中奖可能得答3案. 【详解】由题意应用几何概型面积之比得一次中奖概率 -3. ......... . , 一 1 第一次就中奖的概率 -,3 .2 1 2第二次中奖概率为-1 2 ,3 3 9 一2 2 14第三次中奖概率为 --1,3 3 3 27_.. ......... . (1)2 419A.C.4 27 5B.D.3 19 27所以顾客中奖的概率为-2——3 9 27 27应选D.【点睛】此题考查了几何概型求概率及互斥事件的概率问题, 应用面积比是解决问题的关键, 属于简单题.9 .设椭圆E的两焦点分别为F1, F2,以F1为圆心,F1F2为半径的圆与E交于P, Q两点,假设PF1F2为直角三角形,那么E的离心率为〔〕A. B. 2i1 C.巨 D. 72 12 2【答案】B【解析】由PFR为直角三角形,得PF1F2 900,可得|PF- 2c,| PF2 2j2c,利用椭圆的定义和离心率的概念,即可求解^【详解】如下图,由于PF1F2为直角三角形,所以PF1F2 90°,所以P E| 2c,|PF2 2j2c,贝U 2c 272c 2a,解得e | J2 1 ,应选 B【点睛】此题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用, 其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键,着重考查了运算与求解水平,属于根底题10.如图,AB是圆锥SO的底面O的直径,D是圆O上异于A, B的任意一点,以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C,P为SD的中点.现给出以下结论:① SAC为直角三角形②平面SAD 平面SBD③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行其中正确结论的个数是A. 0B. 1C. 2 D . 3【答案】C【解析】①根据线面垂直的判定定理证实AC,平面SOC即可②假设平面SAD,平面SBD,根据面面垂直的性质定理推出矛盾即可③连接DO并延长交圆于E,连接PO, SE,利用中位线的性质进行判断即可【详解】①; SO,底面圆O,SOX AC,C在以AO为直径的圆上,. ACXOC,. OCASO=O,. AC,平面SOC, AC± SC,即①△ SAC为直角三角形正确,故①正确,②假设平面SAD,平面SBD,在平面SA D中过A作AH,SD交SD于H,那么AH,平面SBD, AH ± BD,又•「BDLAD , BD,面SAD,又CO//BD , • . CO,面SAD, . COX SC又在△ SOC中,SO± OC,在一个三角形内不可能有两个直角,故平面SAD,平面SBD不成立, 故②错误,③连接DO并延长交圆于E,连接PO, SE,••• P为SD的中点,O为ED的中点,OP是△ SDE的中位线,PO// SE,即SE//平面APB,即平面PAB必与圆锥SO的母线SE平行.故③正确, 故正确是①③,应选C.涉及空间直线平行和垂直的判断, 结合相应的判定定理1< a< 1可得g (x)为奇函数且在(-1,1)上为增函数,据此f (a)+ f(a +1) >2? 1< a 1<1 ,a> a 1解可得a 的取值范围,即可得答案.1 x根据题意,函数f (x) = lnL^1 x的定义域为(-1,1),应选：C.此题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,关键构造新函数是解决此题的关键. 11.函数f2,那么a 的取值范围是A.1, 2C.- ,02【解析】根据题意, 由函数的解析式求出函数的定义域,设g (x) = f (x) - 1,分析x +1 ,有1―x>0,解可得-1vxv 1,即函数1 xf (x)设 g (x) = f (x)-g (x),那么函数/ । 1 x—1 = In —1 xg (x)为奇函数;1 x. 1 xx,贝U g ( - x) = In ---------( - x) = - [In ----------x]=分析易得：g (x)=In 1-x x 在(-1, 1)上为增函数,1 xf (a) + f (a +1 ) > 2? f(a) — 1 > — [f(a+1) - 1]? g (a) >- g(s+1 ) ?g (a)>g 1< a< 1(—a — 1)1<a a 〉解可得: 1八-< a< 0, 2 即a 的取值范围为(-,0);2g (x) = f (x) — 1,属BE此题主要考查命题的真假判断,于中档题.12.在 ABC 中,B 30o ,BC 3, AB 2褥,点D 在边BC 上,点巳C 关于直线AD 的 对称点分别为B ,C ,那么 BBC 的面积的最大值为【解析】 解三角形,建立坐标系,设 AD 斜率为k,用k 表示出B'纵坐标,代入面积 公式得出面积关于 k 的函数,根据k 的范围和函数单调性求出面积最大值.由余弦定理可得 AC 2= AB 2+BC 2— 2AB ?BC Cos B= 12+9—2X273 3 — 3,. AC 网,且 AC 2+ BC 2=AB 2, . ACXBC,以C 为原点,以CB, CA 为坐标轴建立平面直角坐标系,如下图: 设直线AD 的方程为y= kx J3 ,6k 2.3k 2・ CC' // BB',石时,,(k) >0,当 73V k< £ 时,F (k)<0,A. 9_^32B.述7当D 与线段AB 的端点重合时,B, B', C '在同一条直线上,不符合题意, 旦设B ,〔 m,3n),显然 n< 0,S>A BB' C = Sk BB'BC 236k 2.3 k 2 19k 3 32,令 f (k)9k k 2 1(k<鱼),贝U f' (k)33k 2 23k 3-------------------- 5 (k 2 1)2令 f' ( k)=0可得k也或k 近〔舍〕,3• ・当 k<,当k J 3时,f (k)取得最大值f ( 73)法,属于较难题.二、填空题13 .向量此题考查了根据向量垂直求参数,意在考查学生的计算水平..91 n .................................... ..........................14 .假设(2x 2 —)n 展开式的二项式系数之和为64,那么展开式中的常数项是x【答案】60【解析】由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值,在二项展开式的通项公式中,令的哥指数等于0,求出r 的值,即可求得常数项.假设(2x 2 l)n 展开式的二项式系数之和为64,那么2n =64, n=6.x那么展开式中的通项公式为 T r +1C ；?( - 1) r ?26「r ?x 12丁 令12-3r=0,求得r=4,49可得常数项为C 6 ?22= 60,3.3 2函数单调性判断与最值计算, 考查了用解析法解决几何问题的方rb 1,且根据0, 化简计算得到答案.故答案为:r,那么a r 2 a2.2.此题考查了余弦定理,故答案为60.【点睛】此题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中,角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合, 终边交单位圆O于第一象限的点p a,b,且a b 7,那么cos5 —的值是2【答案】-3或-5 5【解析】根据a b 7且a2 b2 5公式和任意角三角函数定义可求得结果【详解】a b 7 35 a a由a2b21得：5或4a 0,b 0 b b 5cos - sin b 2 1及P a,b位于第一象限可求得a的值；根据诱导45352 5 5,一______ 3 4此题正确结果：-3或45 5【点睛】此题考查根据终边上的点求解三角函数值和诱导公式的应用,属于根底题^16.如图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐・金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.该杯型几何体的主体局部可近似看作是双曲2 2线C：—匕1的右支与直线x 0,y 4,y 2围成的曲边四边形MABQ绕y 3 9轴旋转一周得到的几何体,如图N,P分别为C的渐近线与y 4,y 2的交点,曲边五边形MNOPQ绕y轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖恒原理〔祖恒原理：哥势既同,那么积不容异〕.意思是：两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等,那么这两个几何体的体积相等,那么这两个几何体的体积相等〕,据此求得该金杯的容积是由双曲线方程及定积分的几何意义,求得答案.2 2—1,得 X 2 3 —, 9 3由祖的I 原理可知,金杯的容积与曲形四边形 MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体 ,金杯的容积是 26兀. 故答案为26兀.此题考查祖的I 原理的应用及定积分的几何意义的应用,考查了求旋转体的体积的方法, 表达了等价转化、数形结合的数学思想,属于中档题.三、解做题17.数列 a n 的前n 项和S n 满足S n 2a n n . (1)求证数列a n 1是等比数列,并求a n ；(2)假设数列b n 为等差数列,且b 3 a 2,b 7 a 3,求数列a n b n 的前n 项T n .【答案】(1) a n 2n 1 (2) n 1 2n1 n n 1 22【解析】(1)由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式,可得所求；(2)运用等差数列的通项公式可得bn 及&bn 的公式,由数列的错位相减法和等差数列、等比数列的求和公式,可得所求和. 【详解】(1)当 n 1 时,S 2a 1 1 ,所以 a 1 1.由双曲线2C:—3 积相同,而曲形四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积为:44Vx 2dy2223 dy3y64 8 12 -6 - 26兀,99.(杯壁厚度忽略不计) 26【解由于S n 2a n n ①,所以当n 2时,S n i 2am n 1②, ①-②得 a n 2a n 2 a n i 1,所以 a n 2a n i 1.所以a n 1是首项为2,公比为2的等比数列. 所以4 1 2 2n ;所以a n 2n 1.(2)由(1)知,a 2 3 , a 3 7 ,所以 b 3 a 2 3, b 7 a 3 7 ,设b n 的公差为d ,那么＞ b 3所以 b n b 3 n 3 d n, 所以 a n b n n 2n 1 n 2n n .设数列 n 2n 的前n 项和为K n ,数列 n 的前n 项和为T n , 所以 K n 2 2 22 3 23 L n 2n ③,234n 1 _2K n 22 23 2 L n 2 ④,③-④得n2 1 2 … …2 3 nn 1n 1n 1K n 22 2L 2 n 2------------ n 21 n 22.1 2n 1所以 K n n 1 2 2,n n 1又由于T n 1 2 3 L n,2所以 K n T n n 1 2n 1 n n 1 2. 2 所以a n b n 的前n 项和为 n 1 2n 1 n n 1 2.2【点睛】此题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用, 求和,考查方程思想和运算水平,属于中档题.18 .如图,三棱柱ABC AB 1C 1中,底面ABC 是等边三角形所以 a n 1 a n 112am 1 1a n 112a n1 2 a n 11考查了数列的错位相减法侧面BCC 1B 1是矩形,AB ARN 是B i C 的中点,M 是棱AA i 上的点,且AA 〔 CM(1)证实：MN//平面ABC;(2)假设AB A i B ,求二面角A CM N 的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 巫5【解析】(1)连结BM,推导出BCXBB i, AA i^BC,从而AA i±MC,进而AA i ,平面BCM, AA i ± MB,推导出四边形 AMNP 是平行四边形,从而 MN//AP,由此能证实 MN //平面 ABC.(2)推导出△ ABA i 是等腰直角三角形,设 AB J2a ,那么AA i=2a, BM = AM = a,推 导出 MCXBM, MCXAAi, BMXAAi,以 M 为坐标原点, MAi, MB, MC 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 A-CM-N 的余弦值.【详解】(i)如图i,在三棱柱ABC A i B i C i 中,连结BM ,由于BCC i B i 是矩形,所以 BC BB i ,由于 AA //BB i ,所以 AA i BC , 又由于AA i MC , BC MC C ,所以AA i 平面BCM , 所以AA i MB ,又由于AB AB ,所以M 是AA i 中点,i ―取BC 中点P,连结NP, AP ,由于N 是B 1c 的中点,那么NP//BB 1且NP - BB i ,2所以NP//MA 且NP MA,所以四边形 AMNP 是平行四边形,所以 MN//AP, 又由于MN 平面ABC, AP 平面ABC,所以MN//平面ABC .A i B,所以 ABA i 是等腰直角三角形,设 AB J2a ,〔2〕由于AB〔图1〕〔图2〕那么 AA i 2a, BM AM a 在 Rt ACM 中,AC J2a ,所以 MC a .贝U cosn 1, n 2此题考查线面平行的证实,考查了利用空间向量法求解二面角的方法, 线面、面面间的位置关系等根底知识,考查运算求解水平,是中档题.219 .在平面直角坐标系 xOy 中,圆F ： x 1y 2 1外的点P 在y 轴的右侧运动,H P到圆F 上的点的最小距离等于它到 y 轴的距离,记P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)过点F 的直线交E 于A ,B 两点,以AB 为直径的圆D 与平行于y 轴的直线相切于点M ,线段DM 交E 于点N ,证实： AMB 的面积是 AMN 的面积的四倍.2【答案】(1) y 4x x 0 (2)见解析【解析】法—：(1)设P (x, y), x> 0, F (1, 0).由点P 在OF 外,可得点P 到.F 上的点的最小距离为|PF| - 1,由题意可得：|PF| - 1=x,利用两点之间的距离公式即在 BCM 中,CM 2BM 2 2a 2 BC 2,所以 MCBM ,由(1)知,那么MC AA1 , BM AA1 ,如图2,以M 为坐标原点,uuuv MA 1 ,uuuv uuuv MB ,MC的方向分别为x 轴, y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 那么 M 0,0,0 , C0,0,a , B i 2a,a,0 .~ a a 一所以N a,-,-,那么uuuv0,0,a , MN设平面 CMN 的法向量为x, y,z ,那么? n 1 uuu v MC uuu v0,即 0, axaz 0, a 2y2z 0.2.故平面CMN 的一个法向量为1, 2,0 ,由于平面ACM 的一个法向量为n 20,1,0 ,由于二面角A CM 所以二面角ACMN 的余弦值为考查空间中线线、可得出.(2)设 N (xo, yo), A (xi, yi), B (X 2, v2 .那么 D ( ^1一x 2, -y 1一y 2 ).由题意可 2 2设直线AB 的方程为：y= k (x- 1) (kw .).与抛物线方程联立化为：k 2x 2- (2k 2+4)x +k 2=0.利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D, M, N 的坐标.再利用三角形面积计算公式即可得出.法二：(1)由题意得,点P 到圆F 1,0的距离PF 等于P 到直线x 1的距离,根据 抛物线的定义求得轨迹方程.(2)设A x 1,y 1 , B x 2,y 2 ,由题意可设直线 AB 的方 程为：x ty 1 t 0与抛物线方程联立,利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D 的坐标,结合1 _,1 ___ ___________________ _ _______ _______ _____ ____________________DM — AB ,可得m 1,进而求出N 的坐标,利用点的位置关系得到面积的关2系.(2)设A K,y 1 , B x 2,y 2 ,由题意可设直线 AB 的方程为:x ty 1 t 0与抛物线方程联立,利用根与系数白关系、中点坐标公式可得 D, M的坐标,利用斜率公式计算得到 k M F k AB 1 ,再利用长度关系得到面积的关系.【详解】解法一：(1)设P x,y ,依题意x o, F 1,0 .由于P 在圆F 外,所以P 到圆F 上的点的最小距离为 PF 1 依题意得PF | 1 x,即J x 1 2 y 2 1 x , 化简得E 的方程为y 2 4x x 0 .(2)设 N 刈,丫0 , A K,y 1 ,B x 2,y 2 ,那么 D依题意可设直线 AB 的方程y k x 1 k 0 ,法三：(1)与法一同; x 〔 x 2 y 〔 y 22 , 2由 yyk ］得k 2x 22k 24x k2 0.2由于 2k 4 4k 16k16 0,k 2 2 2 k 2 ,k、…一 2 一设M X M ,y M ,依题意得y M —,所以MDk又由于MD 网,所以匚工x M 马2 , 2 k k一 ~2 解得X M1 ,所以M 1k故 S AMB4s AMN-所以x 1 x 22k 2 4 k 2由抛物线的定义知 AB x 1 x 2 24k 2 4 k 2由于 2 x0,— k 在抛物线上,所以1 2k 2,k所以 S AMB y 2 k 2k 2y 1S AMNMN yy D 1一MN2y 1 y 2 k 2 1 4k 2y 1解法二: (1)设 P x,y 0.由于P 在圆F 外,所以 P 到圆F 上的点的最小距离为PF 1.依题意彳#,点P 到圆F 1,0的距离PF 等于P 到直线1的距离,那么有y 1 y 2k 2 2~~2~X M.k所以P 在以F 1,0为焦点,x 1为准线的抛物线上所以E 的方程为y 2 4x x 0〔2〕设 A x i , y i , B X 2, y 2 ,由于直线 AB 过F 1,0 ,依题意可设其方程 x ty 1 t 0 x ty 1, 2由 2 得 y 24ty 4 0, y 4x由于 16t 2 16 0,所以 y 〔 y 2 4t, .一. . . 2_那么有 x 1 x 2ty 1 1 ty 214t 2.由于D 是AB 的中点,所以 D 2t 2 1,2t . ................................. 2 由抛物线的定义得 ABx 1 1 x 2 1 4t 4.,设圆D 与l ：x m 相切于M ,由于DM 与抛物线相交于 N ,所以m 0,且DM l , 〜,、,― 1 _ 一 2 1 2 .一 ■一所以DM-AB ,即22 1 m — 4t 2 4 ,解得m 1,22、一 一.一 一 2 一一 .2设 N x c , y ° ,那么 y 0 2t,且 2t 4x 0,所以 x ° t ,t 2 ,所以N 为DM 的中点,所以S AMD 2S AMN ,又由于D 为AB 的中点,S AMB 2s AMD ,所以S AMB 4s AMN解法三：〔1〕同解法一.2t 2 11由于2—1 ------------------1 2(2)设 A X i , y i , B X 2, y 2 ,连结 MF , NF .由于直线AB 过F 1,0 ,依题意可设其方程 x ty 1 t 0 x ty 1, 2由 2 得 y 4ty 4 0., y 4x 由于 16t 2 16 0,所以 y i y 4t , 所以 y My D 2t .…AB _ 一. 由于MD ---------- , AB X 1 x 2 2,又由于MD2所以x 1 x 2 2学1—2 X M ,解得X M1 ,所以M 1,2t ,2 2 2t 1, w所以 k MF k AB -------------------- -1 ,故 MFD 90 .1 1 t所以 S AMN 二 S AMD ,21又 S AMD 二 S AMB ,所以 S AMB 4s AMN .2【点睛】此题考查了抛物线与圆的标准方程及性质的应用,考查了一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、三角形面积计算公式、两点之间的距离公式,考查了推理水平与计 算水平,属于中档题.20 .“工资条里显红利,个税新政人民心〞 .随着2021年新年钟声的敲响,我国自1980年以 来,力度最大的一次个人所得税 〔简称个税〕改革迎来了全面实施的阶段 .2021年1月1日实 施的个税新政主要内容包括：〔1〕个税起征点为5000元；〔2〕每月应纳税所得额〔含税〕=收入一个税起征点-专项附加扣除； 〔3〕专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等新旧个税政策下每月应纳税所得额 〔含税〕计算方法及其对应的税率表如下:又由于NMNF ,所以NF ND ,从而 MN NDX M ,随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料,经统计分析,预估他们2021 年的人均月收入24000元统计资料还说明,他们均符合住房专项扣除；同时,他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子,并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1;此外,他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月,子女教育每孩1000元/月,赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的IT从业者都单独享受专项附加扣除,将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入根据样本估计总体的思想,解决如下问题：〔1〕设该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税为X元,求X的分布列和期望；〔2〕根据新旧个税方案,估计从2021年1月开始,经过多少个月,该市该收入层级的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过2021年的月收入？【答案】〔1〕见解析〔2〕经过12个月,该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和就超过2021年的月收入【解析】〔1〕求出4种人群的每月应缴个税额,得出分布列和数学期望；〔2〕计算两种政策下的每月应缴个税额度差即可得出结论.(1)既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000 5000 1000 18000,月缴个税X 3000 0.03 9000 0.1 6000 0.2 2190；只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000 5000 1000 1000 17000,月缴个税X 3000 0.03 9000 0.1 5000 0.2 1990；只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为24000 5000 1000 2000 16000,月缴个税X 3000 0.03 9000 0.1 4000 0.2 1790;既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000 5000 1000 1000 2000 15000,月缴个税X 3000 0.03 9000 0.1 3000 0.2 1590；所以X的可能值为2190, 1990, 1790, 1590,依题意,上述四类人群的人数之比是2:1:1:1,2 1所以P X 2190 — , P X 1990 —,5 51 1P X 1790 一,P X 1590 —.,5 5_ _ _ 2 _ 1 _ 1 一1 一所以E X 2190 — 1990 — 1790 — 1590 — 1950.. 5 5 5 5(2)由于在旧政策下该收入层级的IT从业者2021年每月应纳税所得额为24000 3500 20500,其月缴个税为1500 0.03 3000 0.1 4500 0.2 11500 0.25 4120,由于在新政策下该收入层级的IT从业者2021年月缴个税为1950,所以该收入层级的IT从业者每月少缴交的个税为4120 1950 2170.,设经过x个月,该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和就超过24000,那么2170x 24000,由于x N ,所以x 12,所以经过12个月,该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和就超过2021年的月收【点睛】此题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算,考查样本估计总体的统计思想,属于中档题.2x21.函数f x x e a.(1)假设y 2x是曲线y f x的切线,求a的值；(2)假设f x 1 x In x,求a的取值范围.【答案】(1) a 1⑵,1【解析】法—：(1)根据题意,设切点的坐标为( 与,力),求出函数的导数,由导数的y1 2x1几何意义分析可得y X e2x1 ax1,解可得a的值,即可得答案；2x1 1 e2" a 2(2)根据题意,f (x) > 1 + x+lnx IP x (S x-a) > 1+x+lnx,结合x的取值范围变形可得a+1 <e2x LJnx,设F (x) = e2x LJnx,利用导数分析F (x)在(0, +oo)上x x的最小值,据此分析可得答案.2x . 法二：(1)同解法一.(2)设F x x e a 1 x Inx ,求导后,先研究a=1时导函数的最小值, 从而得到结论成立, 再研究a>1和a<1时情况,利用变换主元的方法进行放缩后分别说明成立及不成立.法三：(1)同解法一.(2)先考查函数mt e t t 1,通过导函数证实mt 0,利用此引理进行放缩,分a 1及a 1去证实,分别去证实成立与说明不成立,得到a的范围.【详解】2x 2x解法一：(1)由于f x x e a ,所以f x 2x 1 e a ,设直线y 2x与y f x的图象的切点为x1,y1 ,那么2斗1 e2x1 a 2.①y xe2x1ax,②由于切点既在切线上又在曲线上,所以y1 11'V1 2.③由①②③得a 1.2x 2x(2)由题意得xe 1 lnx a 1 x,即xe 1 Inx a 1 x,由于x 0,所以e 2x1-lnx a 2、几 l2x1 lnx nrt设 F x e ------------------ ,贝U F x2考查函数h x2x 2e 2x lnx,1由于 h x 4xe x 1— 0, x 又由于h e 11ee 1 1e ee1 .故存在x 0— ,1 ,使得h xo ( e1,c 2x lnx2x 2e 2x lnx2e不 ------------------------ -x x所以h x 在0, 单调递增.1 2 1 0 ,且 h 12 e 2 0,e,即 2x 02e 2x 0 lnx .0 ,0 , F x 单调递增.2x 01 lnx 0 e --------------x 0由题意得,a 1 F x 0 .令x 02e 2x 0 t0,取对数2% 2lnx ° lnt 得,④由 2x 02e 2x 0 lnx 0 由④⑤得 2x 0 lnx 0 2t lnt, 设函数 x lnx 2x,那么有 x 0 t , 由于 x lnx 2x 在0, 单调递增,所以 x ° t ,即 lnx 02x 0, l2x01 lnx 0 11 2x 0 -所以 F x ° e x 0-------------- 0--------- 0 2,故 a 1 2,解得 a 1 . x ° x °x °故a 的取值范围是 ,1 .解法二：(1)同解法一.(2)设 F x x e 2x a 1 x lnx , x 0,2x2x 1 e所以当x0,x 0时,h x 0, F x 0 , F x 单调递减;当 x x °,所以 F X min F x 0①当a 1时,令G x2xxe 2x lnx 1,G x 2x 1 e 2x - x、几2 x12 x1设g x e 一,x 0.由于 g x 2e — 0, xx1-故存在x °-,0 ,使得g x 0 0,4 2x 01...............所以e 一,两边取对数得2x 0lnx 0.,x .②当a 1时,由于x 0,所以a 1不符合题意. ③当a 1时,F x 综上,a 的取值范围是 ,1 .解法三：(1)同解法一.(2)考查函数 m t e t t 1,由于m t e t 1 ,所以当t 0时,m t 当 t ,0 时,m t 0;当 t 0, 时,m t 0, 所以m t 在 ,0单调递减,在 0, 单调递增.所以m t m 00.①当a 1 2,即a 1时,由于x 0, 所以 xe 2x e 2x lnx 2x Inx 1 a 1 x Inx 1,符合题意； ②当 a 12 ,即 a 1 时,设 g xe 2x Inx Inx a 1 x1,所以g x 在0,、…一 一. 1 单调递增,又由于g - 4Te 4 0, g 1 e 2 1 0所以当x 0,x 0 , g x 0, G x 0 , G x 单调递减. x x 0,0, G x 0 , G x 单调递增. 所以G x 由访G x 0 x 0e 2x 02x 0 lnx 0 1 0.即a 1时,有x e 2x11 x Inx 所以a 1符合题意,所以 F x x e 2x a2x1 x Inx x e 1由①知,存在x 00, ,使得 F x 0G x 0 0,0,由于 x 0,所以 g x e 2x 1nx Inx 2x 1, 令 h xe 2x 1nx Inx 2x 1 ,考察 t x2x Inx x 0 .…1~、…,〜由于t x 2 — 0,所以t x 在0, 单调递增. x 12 .. 一 八由于 t —— 1 0,t12 0,e e1 .故存在 x 0-,1 ,使得 t x 0 0,即 2x 0 1nx 0 0,e所以存在 x 0 1,1 ,使得 h x 0 e 2x 0lnx 02x 0 1nx 0 1 0,e1 ,由于g x h x ,故存在x 0- ,1 ,使信g x 0 h x 0 0,e所以a 1不符合题意. 综上,a 的取值范围是 ,1 .【点睛】此题考查利用导数分析函数的最值以及计算切线的方程,考查了利用导数研究函数的恒成立问题,关键是掌握导数的定义,正确计算函数的导数,属于综合题.(2)设1与C 交于A ,B 两点,线段 AB 的中点为M ,求PM ._ . 一 x 2 o 55【答案】(1) — y 21, 1,1 (2) PM 一 241【解析】(1)利用互化公式把曲线 C 化成直角坐标方程,把点P 的极坐标化成直角坐标;(2)把直线l 的参数方程的标准形式代入曲线C 的直角坐标方程,根据韦达定理以及参数t 的几何意义可得.22.在直角坐标系xOy 中,直线1的参数方程为为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线点P 的极坐标为 72,-.(1)求C 的直角坐标方程和 P 的直角坐标；t 为参数),以坐标原点C 的极坐标方程为2 2~21 sino2 . c c c . c c c (1)由p 2—2-^得p 2+ p 2sin 2 0 =2,将p 2= x 2+y 2,y=psin 0代入上式并整理得曲线 C1 sin2的直角坐标方程为 —y 2=i,2设点P 的直角坐标为(x, y),由于P 的极坐标为(J ], 7)2— y 2=1,并整理得 41t 2+110t +25 = 0, 2由于△= 1102- 4X 41X 25= 8000>0,故可设方程的两根为t 1, t 2,… _ ,一110那么t 1, t 2为A, B 对应的参数,且t 1 + t 2 ——,41依题意,点M 对应的参数为, 2所以 I PM I = I t 1__k| 55.2 41此题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题. 23.函数 f x x 1 ax 3 a 0 .(1)当a 2时,求不等式f x 1的解集；(2)假设y f x 的图像与x 轴围成直角三角形,求a 的值. 【答案】(1) x 1 x 3 (2)我【解析】(1)分3段去绝对值解不等式组,再求并； (2)将y= f (x)去绝对值写出分段函数,根据其图象与 x 轴围成直角三角形,转化为(a- 1) (a+1) =- 1 或(*1) (1-a) = - 1,可解得. 【详解】(1)当 a= 2 时,不等式 f (x) > 1,即 | x+1| - |2 x- 3| >1,当xw - 1时,原不等式可化为- x- 1+2x- 3> 1,解得x>5,由于x< - 1,所以此时 原不等式无解；, 3 ........................... .一 一 3 当-1<x —时,原不等式可化为 x +1+2x- 3> 1,解得x> 1,所以1v x —；22所以 x= pcos 0 . 2 cos — 所以点P 的直角坐标为(1, y= psin 0 ..2sin - 1, 1,1).3x 1 -t(2)将5代入4 y 1 t5当x>3时,原不等式可化为 x +1 - 2x +3>1, 2 综上,原不等式的解集为 {x[1 <x<3}.那么a 1 a 11 ,解得a 0,舍去;当a 1时,y f x 的图象与x 轴不能围成三角形,不符合题意,舍去; 当a 1时,要使得y f x 的图象与x 轴围成直角三角形, 那么1 a a 11 ,解得a J 2,由于a 1 ,所以a J 2.【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法, 考查了数形结合思想及函数与方程思想的转化, 属于中档题.解得xv 3,所以3<xv3.2a 1 x 4, x 1,一 , 3(2)由于a 0,所以—0 ,所以f x a3a 1 x 2, 1 x —, a , 3 1 a x 4, x 一 a由于a 0,所以f 1c c. 3 ,3八 a 30, f — 1 — 0,a a当0 a 1时,要使得y f x 的图象与x 轴围成直角三角形,综上,所求a 的值为72.gft 】 q 61。

2020年福建质检-理数答案

2020年福建质检-理数答案

3
3
6
（2）因为 D 是 AC 中点，所以 BD 1 BA BC ， 2
所以
2
BD
1
2
2
BA BC 2BA BC
，.....................................................................7 分
4
因为 BD BC a ，所以 4a2 c2 a2 2ac cos B ， ..............................................8 分
又因为 cos B a2 c2 b2 ，所以 4a2 c2 a2 a2 c2 b2 ， 2ac
所以 2a2 2c2 b2 ，....................................................................................................9 分
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分．
13． 2 i
14． 9
15． 1 3
16．8
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查函
数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分 12
b 4cosC
即 cosC b ， ............................................................................................................9 分 4a

2020届福建省福州市高三上学期期末质量检测数学(理)试题(解析版)

2020届福建省福州市高三上学期期末质量检测数学(理)试题(解析版)

2020届福建省福州市高三上学期期末质量检测数学（理）试题一、单选题1．设复数()1i 1i 2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =（ ）A B ．C ．52D ．4【答案】B【解析】先化简复数z ，再利用复数模的求法,即可得到z 的值. 【详解】()312i i 2211i z ⎛⎫=+- ⎪=+⎝⎭，||z ==故选：B. 【点睛】本题主要考查的是复数的四则运算，复数模的求法，主要考查的是学生的计算能力，是基础题.2．已知集合{|0A x x =≤或}2x ≥，{}|12B x x =-≤≤，则（ ） A ．A B Ü B ．B A Ü C ．A B =∅I D ．A B R =U【答案】D【解析】根据集合间的关系逐个判断即可. 【详解】集合,A B 并无包含关系,故A,B 均错误.又{|10A B x x =-≤≤I ,或}2x =故C 错误.A B R =U 正确.故选：D. 【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题型.3．执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2,则输出的n =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C4．已知向量(2,),(,2)r r λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)r r r-a a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A5．若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =（ ） A ．32- B ．2-C ．1D ．32【答案】D【解析】取2x =，即可得到0a . 【详解】5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-Q∴取2x =，032a ∴=.故选：D . 【点睛】本题考查二项式定理及通项公式的运用，“赋值法"普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，是基础题.6．若实数,a b 满足201,a b a <<<<且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为（ ） A ．m p n >> B ．p n m >> C ．n p m >> D ．p m n >>【答案】B7．若2cos21sin2x x =+，则tan x =（ ） A ．1- B ．13C ．1-或13D ．1-或13或3 【答案】C【解析】根据二倍角公式化简求解即可. 【详解】由2cos21sin2x x =+可得()()2222cos sin sin cos x x x x -=+()()sin cos 2cos 2sin sin cos 0x x x x x x ⇒+---=()()sin cos cos 3sin 0x x x x ⇒+-=.故sin cos 0x x +=或cos 3sin 0x x -=.即tan 1x =-或1tan 3x =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数的公式等.属于中等题型. 8．若,x y 满足约束条件31,933,x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩则z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．3-C ．5-D ．6-【答案】C9．把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则（ ）A ．()2g x x =B ．()32g x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭C ．()1521g x x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭D ．()1328g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A10．已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接,,EF FB BE ，点H 为BF 的中点，有下述四个结论：①DE BF ⊥； ②EF 与CH 所成角为60︒； ③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】根据题意建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标，利用向量法可以判断出正确的结论. 【详解】由题意得，所得几何体可以看成一个正方体，因此,,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AD DC DG ===，(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)G ，(2,0,2)E ， (0,2,2)F ，(2,2,0)B ，(1,2,1)H ，①(2,0,2)DE =u u u r ，(2,0,2)BF =-u u u r，4040DE BF ∴⋅=-++=u u u r u u u r，DE BF ∴⊥u u u r u u u r，DE BF ∴⊥，①是正确的.②(2,2,0)EF =-u u u r ，(1,0,1)CH =u u u r， 设EF u u u r与CH u u u r所成的角为θ，1cos 2||||EF CH EF CH θ⋅∴==⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ， [0,]θπ∈60θ︒∴=，②是正确的.③(2,2,2)EC =--u u u r Q ，(2,2,0)DB u u u r =，(0,2,2)DF =u u u r，设(,,)n x y z 是平面DBF 的一个法向量，DB n DF n ⎧⋅⊥∴⎨⊥⎩u u u v u u u v ，00DB n DF n ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩u u u v u u u v 00x y y z +=⎧⇒⎨+=⎩取1x =，(1,1,1)n ∴=-，2EC n =-u u u r Q ，//EC n u u u r，EC ∴⊥平面DBF ，③是正确.④(2,0,2)BF =-u u u r Q ，由图像易得：(1,1,0)m =r是平面 ACEFF 的一个法量，设BF 与平面 ACFE 所成的角为θ，0,2πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，sin cos ,BF m θ∴=u u u v r12||||BF m BF m ⋅==⋅u u u r r u u u r r， 30θ︒∴=，④不正确，综上：①②③正确. 故选：B . 【点睛】本题考查异面直线、直线与平面所成角的求法，直线与直线、直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是中档题．11．已知双曲线2222:1x y E a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且向量12,AF AF u u u r u u u u r 夹角的取值范围为2π,π3轾犏犏臌，则E 的离心率取值范围是（ ）A．B．⎤⎦C ．[]3,5D ．[]7,9【答案】B【解析】根据双曲线的定义及122AF AF =，可得出12,AF AF ，在12AF F △中由余弦定理以及向量12,AF AF u u u r u u u u r夹角的取值范围可得到关于离心率的不等式，即可得到E 的离心率取值范围. 【详解】由双曲线定义得：122AF AF a -=，2||2AF AF =Q ，22AF a ∴=， 14AF a ∴=，在12AF F △中由余弦定理得：22212121212cos 2AF AF F F F AF AF AF +-∠=⨯⨯2224164224a a c a a +-=⨯⨯ 22254a c a-=， 由题意得：122,3F AF ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦， 121cos 1,2F AF ⎡⎤∴∠∈--⎢⎥⎣⎦，22251142a c a -∴-≤-…， 2511442e ∴---剟， 279e ≤≤，e ∴∈.故选：B . 【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像，将函数化简是关键，考查学生对图像变换的理解和应用，是基础题.12．已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +=（ ） A．BC．D．【答案】A【解析】先分别求出函数()(),f x g x 在,A B 点的切线方程，再根据题意可得出4118x a x =-，构造函数4()8x h x x =-，求出()h x 的最小值即可求出1x ，从而得到12x x +.【详解】 2()2,f x x ax =+Q∴ ()22f x x a '=+， ∴()1122f x x a '=+，又()21112f x x ax =+，过A 点切线方程为：()21122y x a x x =+-，①又1()g x x=-Q ，∴21()g x x '=，即()2221g x x '=，又()221g x x =-， 因此过B 点的切线方程为：22212y x x x =-，② 由题意知①②都为直线AB ,1222121222x a x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 4118x a x =-，令4()8x h x x =-，332()122x x h x '-=-=， 令()0h x '=，x =(,0)x ∈-∞和时，()h x 单调递减，且(,0)x ∈-∞时()()00h x h >=，恒成立，)x ∈+∞时，()h x 单调递增，x ∴=时，()min h x ，1x ∴=，则2212x x==12x x ∴+=故选：A . 【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.二、填空题 13．函数,0,()1,0,xx x f x e x <⎧=⎨-≥⎩则()(2)1f f +-=____． 【答案】22e -【解析】将2,1-分别代入分段函数，即可求得. 【详解】20>Q ,()221f e ∴=-,由10-<Q ，()11f -=-， ()2(2)12f f e ∴+-=-.故答案为：22e -. 【点睛】本题考查的是分段函数求值的应用，采用直接代入法求函数值，是基础题.14．设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 中的最大值为3，则p 的值为____．【答案】3【解析】根据抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离，可判断3d 最大，即可求出p 的值. 【详解】根据抛物线的几何性质可得12323,1,23222p p p d d d =+=+=+，由题意可得0p >， 因此可判断3d 最大，故33322p d =+=，解得3p =.故答案为：3. 【点睛】本题考查抛物线的知识，掌握抛物线的定义和性质是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力.15．已知n S 为数列{}n a 前n 项和，若152a =，且()122n n a a +-=，则21S =____． 【答案】83【解析】由数列的递推公式及152a =，依次计算出数列的前5项，可得数列{}n a 是周期为4的数列，则()21123415S a a a a a =++++,即可求得. 【详解】由()122n n a a +-=，得122n na a +=-，又152a =， 得21242a a ==--，322123a a ==-，432625a a ==-，5142522a a a ===-， 数列{}n a 是周期为4的数列，()21123415165855423523S a a a a a ⎛⎫=++++=-+++= ⎪⎝⎭.故答案为：83.【点睛】本题主要考查的是利用递推关系求数列的和，考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力，是中档题.16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．286π【解析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案. 【详解】(1)每个三角形面积是13312S ⎛=⨯= ⎝⎭，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，236133⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故四面体体积为13623= 因此该六面体体积是正四面体的2倍， 2； (2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切， 连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ，所以2136663R R ⎛⎫=⨯⇒= ⎪ ⎪⎝⎭所以球的体积3344686339729V R ππ⎛=== ⎝⎭. 286π【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.三、解答题17．在ABC ∆中，1,AC BC = （1）若150A =︒，求cos B ；（2）D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC ∆的面积． 【答案】（1（2. 【解析】(1)根据已知条件和利用正弦定理可求出sin B ，再利用同角三角函数基本关系式可求出cos B ；(2)根据题意知ACD ∆为等腰三角形，再利用余弦定理得出ACD ∆为等边三角形可得60A =︒，从而求出ABC ∆的面积．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理及题设得sin sin AC BC B A=，故1sin B =，解得sin B =又030B ︒<<︒，所以cos B ==（2）设AD CD x ==，则2BD x =． 在ABC ∆中，由余弦定理得， 2`222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即27916cos x x A =+-，①在等腰ACD ∆中，有112cos 2ACA AD x ==，② 联立①②，解得1x =或1x =-（舍去）． 所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．解法二：（1）同解法一．（2）设AD x =，则,2,CD x BD x == 因为ADC BDC ∠=π-∠， 所以cos cos ADC BDC ∠=-∠，由余弦定理得，得22222472142x x x x x +--=-，所以21x =，解得1x =或1x =-（舍去）． 所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算,是中档题. 18．等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和． 【答案】（1）2n a n =，2nn b =； （2）2022201928⨯+.【解析】(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求出数列{}n c 的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和. 【详解】(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++ 解得1 2.a = 2.n a n ∴=设等比数列{}n b 的公比为q ，所以342282,4b a q b a ==== 又2224,422.n n n b a b -==∴=⨯= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b == 因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++⋅⋅⋅⋅++= ① 当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --++⋅⋅⋅+= ② 由①-②得，2n nnc a =，即12n n c n +=⋅，又当1n =时，31122c a b ==不满足上式，18,12,2n n n c n n +=⎧∴=⎨⋅≥⎩ . 数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯设2342020202120201222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ③， 则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ④， 由③-④得：234202120222020222220202T -=+++⋅⋅⋅+-⨯2202020222(12)2020212-=-⨯-2022420192=--⨯ ，所以20222020201924T =⨯+，所以2020S =202220204201928T +=⨯+. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ．（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°． 【答案】（1）见解析； （2）点F 为BC 中点.【解析】(1)利用直线与平面垂直的性质、判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明即可.(2)找建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 与平面PCD 的法向量，利用数量积求出法向量间夹角，进而得到二面角的余弦值。

【终稿】2020届福州市高中毕业班第三次质量检查理科数学试卷含答案

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准考证号 姓名 .（在此卷上答题无效）秘密★启用前2020届福州市高中毕业班第三次质量检查数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．满分150分． 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅰ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知纯虚数z 满足(1i)2i z a -=+，则实数a 等于A ．2B ．1C ．1-D ．2-2. 已知集合{}(){}2220,log 2A x x x B x y x =+-==-＜，则()A B =R I ðA ．∅B ．(]2,2-C ．()1,2D ．()2,1-3. 执行右面的程序框图，则输出的m =A ．1B ．2C ．3D ．44. 某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 A ．0.495%B ．0.940 5%C ．0.999 5%D ．0.99%5. 函数()2e 2x f x x x =--的图象大致为ABCD6. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确．．．的是 A ．平均数相同B ．中位数相同C ．众数不完全相同D ．丁的方差最大 7. 已知角θ的终边在直线3y x =-上，则2sin 21cos θθ=+ A ．611-B ．311-C ．311D ．6118. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有 A ．12种 B ．24种 C ．72种D ．216种Ox y 11O x y 11y1O 1xO x y119. 已知函数()()sin 06f x x ωωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞图象上相邻两条对称轴的距离为2π，把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移35π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则 A ．()cos 4g x x =- B ．()cos 4g x x =C ．()cos g x x =-D ．()cos g x x =10. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b ＞＞）的焦距为2，右顶点为A ．过原点与x 轴不重合的直线交C 于,M N 两点，线段AM 的中点为B ，若直线BN 经过C 的右焦点，则C 的方程为A ．22143x y +=B ．22165x y +=C ．22198x y +=D ．2213632x y +=11. 已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论： ①曲线()y f x =在1x =处的切线方程为10x y +-=； ②()f x 恰有2个零点；③()f x 既有最大值，又有最小值；④若120x x ＞且()()120f x f x +=，则121x x =． 其中所有正确结论的序号是 A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．③④12. 三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面ABC 的投影为ABC △的内心，三个侧面的面积分别为12,16,20，且底面面积为24，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积为 A ．43π B ．12πC ．163πD ．16π第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知向量()1,2AB =u u u r ，()2,5CB =u u u r ，(),1t MN =u u u u r ．若AC MN u u u r u u u u r∥，则实数t = ． 14. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1BC 中点，Q 为1A D 中点，则异面直线DP 与1C Q 所成角的余弦值为 ．15. 在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22sin cos 1A B +=，则cb a-的取值范围为 ．16. 已知梯形ABCD 满足,45AB CD BAD ∠=︒∥，以,A D 为焦点的双曲线Γ经过,B C 两点．若7CD AB =，则Γ的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ，12a =，11b =，且112n n a a T +=+．（1）若数列{}n a 为等差数列，求n S ；（2）若112n n b b S +=+，证明：数列{}n n a b +和{}n n a b -均为等比数列． 18. （本小题满分12分）如图，在多面体PABCD 中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，120PAD ∠=︒，1BC =，2AB AD PA ===．（1）求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值； （2）若E 是棱PB 的中点，求证：对于棱CD 上任意一点F ，EF 与PD 都不平行．19. （本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =，直线:2l x my =+（0m ＞）与C 交于,A B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点．（1）求直线OM 斜率的最大值；（2）若点P 在直线2x =-上，且PAB △为等边三角形，求点P 的坐标．ADCBP20. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x ax x =-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x （12x x ＜），若()12f x mx ＞恒成立，求实数m 的取值范围．21. （本小题满分12分）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ,B ,C ,D ,E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：现从这10X ，求X 的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布(75.836)N ，．若2~(,)Y N μσ，令Y μησ-=，则~(0,1)N η，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()P k ξ=取得最大值时k 的值．附：若~(0,1)N η，则(0.8)0.788P η≈…,( 1.04)0.85P η≈….（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为33,x kt y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为33,x m y km =-⎧⎨=⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C ．（1）求1C 的普通方程；（2）设Q 为圆()222:43C x y +-=上任意一点，求PQ 的最大值．23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知0,0a b ＞＞，2224a b c ++=．（1）当1c =时，求证：()()339a b a b ++≥； （2）求2224411a b c +++的最小值．2020年福州市高中毕业班质量检测数学（理科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2020届福州市高中毕业班第三次质量检查(理科数学)含答案解析

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A．1
B．2
C．3
D．4
数学试题（第 1 页 共 6 页）
4. 某种疾病的患病率为 0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为 99%，则
患该种疾病且血检呈阳性的概率为
A．0.495%
B．0.940 5%
C．0.999 5%
D．0.99%
5. 函数 f x ex x2 2x 的图象大致为
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答．
（一）必考题：共 60 分． 17. （本小题满分 12 分）
已知数列 an 和bn 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ， a1 2 ， b1 1，且 an1 a1 2Tn ．
成角的余弦值为
．
15. 在 △ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 2sin2 A cos B 1 ，则 c 的取值 ba
范围为
．
16. 已知梯形 ABCD 满足 AB ∥CD,BAD 45 ，以 A, D 为焦点的双曲线 经过 B,C 两
点．若 CD 7 AB ，则 的离心率为
用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13. 已知向量 AB 1, 2 ， CB 2,5 ， MN t,1 ．若 AC ∥ MN ，则实数 t
．
14. 正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为 BC1 中点， Q 为 A1D 中点，则异面直线 DP 与 C1Q 所

福州市2020年5月高三综合质量数学理科试题含答案

福州市2020年5月高三综合质量数学理科试题含答案

福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集为R ，集合{1,1,2,4}M =-,2{|23}N x x x =->，则()M N =R I ð （A ）{1,1,2}-（B ）{1,2}（C ）{4}（D ）{}12x x-剟2、复数z 满足(1i)|1i |z -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3、函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（A ）π()3f x +是奇函数 （B ）π()3f x +是偶函数（C ）π()3f x -是奇函数 （D ）π()3f x -是偶函数4、在ABC ∆中，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ,4BA BC ⋅=u u u r u u u r，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）15、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为 （A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.42 （D ）0.56、若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩………且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于降水量X 100X <100200X <... 200300X < (300)X … 工期延误天数Y 051530概率P0.4 0.2 0.1 0.3（A ）2-（B ）32-（C ）12-（D ）127、执行右面的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为 （A ）8 （B ）21 （C ）34（D ）558、512x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为（A ）45 （B ）60（C ）90（D ）1209、正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128，则下列结论正确的是 （A ）n ∀∈*N ，12n n n a a a ++… （B ）n ∃∈*N ，212n n n a a a +++=（C ）n ∀∈*N ，1n n S a +< （D ）n ∃∈*N ，312n n n n a a a a ++++=+10、双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E左支上一点，112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为 （A ）54（B ）3（C ）53（D ）23311、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 （A ）2 （B ）423（C ）433（D ）312、设m ∈R ，函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-．若存在0x 使得01()5f x …成立，则m = （A ）15（B ）25 （C ）35（D ）45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13、知函数1,02,()1,20.x x f x x -<⎧=⎨--⎩…剟若()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．14、所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 ．正视图 侧视图俯视图212215、抛物线2:4C yx =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60︒的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= ．16、数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知12a =,1(1)2n n n S S n ++-=，则100S =________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若BC 边上的中线22AM =，高线3AH =，求ABC ∆的面积． 18、（本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．（Ⅰ）（i ）请根据图示，将2×2列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学 科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率． 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．19、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若3CE =，4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小． 20、（本小题满分12分）优分 非优分总计 男生 女生总计 50()2P K k …0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828E DC B A P在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-．直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-．记点P 的轨迹为Γ． （Ⅰ）求Γ的方程； （Ⅱ）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，求MQ NQ的值．21、（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是¼BAC 的中点，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ．（Ⅰ）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线；（Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ，射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值．福州市普通高中毕业班综合质量检测O F E DC B A理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π （15）43 （16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， ······················ 2分 即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，所以1cos 2A =， ················································································· 4分又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ····························································· 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2232c b bc ++=，① ····································································· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，得332bc a =，即2bc a =，② ····························································· 9分 又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ·············································· 10分联立①②③，得2()3222bcbc =-，解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 232S bc A ==． ·············································· 12分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：······································································································ 2分 假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯， 因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．·············································································································· 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率．··············································································· 7分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ································································································ 9分 所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ···································································································· 12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··························································· 1分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥．又因为AP AB A =I ，所以DF ⊥平面PAB ． ········································································ 3分 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． ······························································ 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ··················································· 6分 （Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ·························································· 7分 因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =，所以222222232,AP AF AD DF ==-=-=所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =I ，所以PO ⊥平面ABCD ．········································· 8分故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，优分 非优分 总计 男生 9 21 30 女生11920总计 20 30 50建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)22E ，所以(1,0,3)PD =--u u u r ，(1,2,3)PC =--u u u r ，33(,0,)22EC =--u u u r ， ··················· 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u ru u u r 所以30,230,x z x y z ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(3,0,1)=-n ， ································································ 10分设EC 与平面PDC 所成的角为α，则31sin |cos ,|||232EC α=<>==⋅n u u u r ， ···················································· 11分 因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． ············································· 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． ·························································· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ······················································· 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）． ····································· 4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分设MQ QN =u u u u r u u u rλ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ，所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ······················································· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQNQ=． ··········································································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---， ············· 11分 所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ······················································ 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ················································· 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩························································································ 3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ························· 5分 （Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ··············································· 6分（ⅰ）若12m …，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ······························· 9分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++，所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ····················································· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以»»=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ························ 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒， 所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······································ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-． ································································ 7分 因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,G O'E CODBA所以AB AFAE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅， 所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····························································· 10分 （23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=．········································································ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得，3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩·································································· 2分 解得2x >． 依题意2m =． ·························································································· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号， ···························································· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t+…． ························································································ 8分另一方面，12t t+…， 所以12t t+=， ························································································ 9分 所以1t =或1t =-． ·················································································· 10分。

福州市2020届高中毕业班期末质量检测试卷(理科数学)

福州市2020届高中毕业班期末质量检测试卷(理科数学)

2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题 （完卷时间120分钟；满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. 设复数()1i 1i 2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =（ ）A ．5 B ．10 C ．52D ．522. 已知集合{}|02A x x x =≤或≥，{}2|20B x x x =--≤，则（ ）A ．AB Ü B ．B A ÜC ．A B =∅ID ．A B =R U3. 执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2,则输出的n =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．34. 已知向量(2,),(,2)λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)-a a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5. 若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =（ ）A ．32-B ．2-C ．1D ．326. 若实数,a b 满足201,a b a ＜＜＜＜且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为（ ）A ．m p n ＞＞B ．p n m ＞＞C ．n p m ＞＞D ．p m n ＞＞7. 若2cos21sin2x x =+，则tan x =（ ）A ．1-B ．13C ．1-或13D ．1-或13或38. 若,x y 满足约束条件31,933,x y x y --⎧⎨-+⎩≤≤≤≤则z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．3-C ．5-D ．6- 9. 把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则（ ） A ．()2cos 2g x x = B ．()32sin 2g x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭ C ．()152sin 21g x x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭D ．()132sin 28g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10. 已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接BE FB EF ,,，点H 为BF 的中点，有下述四个结论：①DE BF ⊥； ②EF 与CH 所成角为60︒；③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒． 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④11. 已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且向量12,AF AF u u u r u u u u r夹角的取值范围为,32π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦，则E 的离心率取值范围是（ ）A ． B ．⎤⎦C ．[]3,5D ．[]7,912. 已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +=（ ）A ．BCD ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 函数,0,()e 1,0,xx x f x x ⎧=⎨-⎩＜≥则()(2)1f f +-= ． 14. 设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 中的最大值为3，则p 的值为 ． 15. 已知n S 为数列{}n a 前n 项和，若152a =，且()122n n a a +-=，则21S = ． 16. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 ；三、解答题：本大题共6小题，共70分．（一）必考题：共60分．１７．（本小题满分12分）在ABC △中，1,7AC BC ==．（1）若150A =︒，求cos B ；（2）D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC △的面积．１８．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足12211+=+++n nn b a c a c a c Λ,求数列{}n c 的前2020项的和．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ．（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30︒．20.（本小题满分12分）已知圆22:43x y O +=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b ＞＞）的短轴长等于圆O 半径的6倍，C 的离心率为2． （1）求C 的方程； （2）若直线l 与C 交于,A B 两点，且与圆O 相切，证明：AOB △为直角三角形．21.（本小题满分12分）已知函数()2cos 1.f x x ax =+- （1）当12a =时，证明：()0f x …；（2）若()f x 在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(， l 与曲线C 的交点为,A B ，求11MA MB+的值．23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲：已知函数1()212f x x x =-++的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若,,a b c 为正实数，且a b c m ++=，证明：22213a b c ++≥．。

2020年福州市高中毕业班质量检测(理科数学) 详解

2020年福州市高中毕业班质量检测(理科数学) 详解

俯视图，则该三棱锥的体积为
A． 81
B． 27
C．18
D． 9
高三数学（理科）—1—（共 21 页）
正视图 俯视图
【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图，三棱锥的体积等基础知识，意在考查直观
想象，逻辑推理和数学运算的数学核心素养．
【答案】B
【解析】已知条件可以确定该几何体为三棱锥，其高为 6，底面积为俯视图中三角形的面积
a2 + b2
c
a
离心率为 2．故选 C．
解法二：因为 AB = 2 ，圆的半径为 2 ，所以圆心到渐近线的距离为
3
，渐近线
l1
:
y
=
b a
x
与
y
轴的夹角为 30° ，则渐近线 l1
的倾斜角为 60° ，故
b a
=
3 ，所以
b2 a2
= 3 ，所以
c2 − a2 a2
=3，
所以 C 的离心率 e= c= 2 ．故选 C． a
7．已知函数 f (x) 为偶函数，当 x < 0 时， f (x) = x2 − ln(−x) ，则曲线 y = f (x) 在 x = 1 处的切
线方程为 A． x − y =0
B． x − y − 2 =0
C． x + y − 2 =0
D． 3x − y − 2 =0
【命题意图】本题主要考查函数奇偶性，导数几何意义等基础知识，意在考查逻辑推理、直
S = 36 − 9 − 2 × 1 × 3× 6 = 27 ，所以该三棱锥的体积为V = 1 × 27 × 6 = 27 ．故选 B．
22
2
32
4． 2021 年开始，我省将试行“3+1+2”的普通高考新模式， 即除语文、数学、外语 3 门必选科目外，考生再从物理、 历史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作为 政治 选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学

【终稿】(详解版)2020届福州市高中毕业班第三次质量检查(理科数学)

【终稿】(详解版)2020届福州市高中毕业班第三次质量检查(理科数学)

C．
11. 已知函数 f x ln x x 1 ，给出下列四个结论：
x
①曲线 y f x 在 x 1 处的切线方程为 x y 1 0 ；
数学试题（第 5 页 共 24 页）
② f x 恰有 2 个零点；
③ f x 既有最大值，又有最小值；
④若 x1x2 ＞ 0 且 f x1 f x2 0 ，则 x1x2 1 ．
s22 4 52 0.3 5 52 0.4 6 52 0.3 0.6 ，
s32 3 52 0.3 4 52 0.1 5 52 0.2 6 52 0.1 7 52 0.3 2.6 ，
s42 2 52 0.1 4 52 0.3 5 52 0.2 6 52 0.3 8 52 0.1 2.4 ，
cos
1 , sin 10
3 10
，所以 sin 2
2 sin
cos
6 10
，原式
6 10
1
1 10
6 11
，故选
A．
8. 数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由 3 行 3 列 9
个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1, 2,3（各 3 个）全
部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一
2
倍，纵坐标不变，得到曲
线
y
sin
x
6
，再把曲线
y
sin
x
6
向右平移
3
个单位长度，得到曲线
y
sin
x
6
3
，即
y
cos

x
，故
g
x
cos
x
，故选
D．
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