30. 2019年福州市质检理科数学
福建省福州市2019届高三质检数学(理)试题
试卷第1页，总21页2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷1.设复数z 满足i 1i z ，则z 的共轭复数为A.1iB. 1iC.1iD.1i2.已知集合2213,20A x x Bx xx ，则A B U =A.12x xB.11x x C.211x x x ，或 D.1x x3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数0 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比8%10%20%26%18%m%4%2%以下四个结论中正确的是A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列na 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64a a a ，则5S A. 32 B. 31C. 64D.635. 已知sinπ162，且2θπ0,，则π3cos=A. 0B.12C. 1D.326.设抛物线24y x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PAl ，A 为垂足．若直线AF的斜率为3，则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 837.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.32 B.16C.323D.8038.已知函数()2sinf x x0,图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数()f x 的图象向左平移3个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2上的值域是A. 1,12B.1,1 C.0,2D.1,29. 已知g x 为偶函数，h x 为奇函数，且满足2xg x h x．若存在11x，，使得不等式0m g x h x有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35C. 1D.35第7题图。
2019年福州市质检理科试卷与解答
2019年福州市普通高中毕业班质量检测参考答案数学（理科）试卷 （完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-，则z 的共轭复数为 A.1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -【简解】因为1i1i iz -==--，所以1+i z =-，故选A ． 2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则AB =A. {}12x x <<B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >- 【简解】因为{}{}1,12A x x B x x =>=-<<，所以{}1AB x x =>-，故选D ．3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25【简解】A 中的m 值应为12; B 中应为380人; C 是正确的; D 中的分段间隔应为20，故选C ． 4.等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64aa a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63【简解】解法一：设首项为1a ，公比为q ，因为0n a >，所以0q >，由条件得21511464a q a q a q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以531S =，故选B ．解法二：设首项为1a ，公比为q ，由226464a a a ==，又34a =，∴2q =，又因为214a q ⋅=所以11a =，所以531S =，故选B ．5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D. 32【简解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 6.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 83【简解】解法一:设准线与x 轴交于点Q ,因为直线AF 的斜率为3-， 2FQ =，60AFQ ∴∠=， 4FA =，又因为PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形，所以PAF △的面积为22334=4344FA ⨯=⨯．故选B ． 解法二：设准线与x 轴交于点Q ,,)Pm n （,因为直线 AF 的斜率为3-， 2FQ =，60AFQ ∴∠=，所以23AQ =，所以23n =±，又因为24n m =，所以3m =，又因为4PA PF ==， 所以PAF △的面积为11423=4322PA n ⨯⨯=⨯⨯．故选B ． 7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.803【简解】由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三第7题棱锥的体积321180442=323⨯-⨯⨯⨯12．故选D ． 8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是 A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2- 【简解】由图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T =π，又因为0ω>，所以2ωπ=π，解得=2ω．0,ωϕ><π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数2()2sin 23g x x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．因为函数()g x 为偶函数，所以2,32k k ϕππ+=π+∈Z ，由ϕπ<2，解得 =6ϕπ- ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为02x π<<，所以1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是(]1,2-，故选D ．9. 已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=．若存在[]11x ∈-，，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35 C. 1 D. 35- 【简解】由()()2xg x h x -=，及()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，得()()2222,22x x x xg x h x --+==－．由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ---≤==-+++－，∵2141xy =-+为增函数，∴max 231415x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选B ．10.如图，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距，则C 的离心率为A.22157-+ B. 23 C. 22157+ D.32【简解】连结1QF ，由条件知12QF PF ⊥，且22c QF =．由双曲线定义知122cQF a =+，在12Rt F QF △中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得C 的离心率22157e +=，故选C ．11.如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. 34πB.2π C.32π D.94π【简解】正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分,例如，与上底面截得的弧长是以1A 为圆心,1为半径的圆周长的14,所以弧长之和为23342ππ⨯=．故选C. 12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2122124n n n n n a a a na n ++=++，则8a =A.64892- B. 32892- C. 16892- D. 7892- 【简解】因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n na na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 第10第11题图所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，两边取对数得1lg 2lg n n b b +=，又111lg lg 2lg3b a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以数列{}lg n b 是首项为lg 3，公比为2的等比数列. 所以112lg lg32lg3n n n b --=⋅=，所以123n n b -=，即1232n n n a -+=，从而1232n n na -=-，将8n =代入，选A.法二、因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n n a na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，因为13b =，所以223b =，所以()224333b ==，所以()248433b ==，…，所以7264839b ==。
福建省福州市2019届高三第一学期质量抽测数学(理科)试题(解析版)
2018-2019学年度福州市高三第一学期质量抽测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟：满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先解绝对值不等式，求出集合A，之后利用交集的定义求得结果.【详解】由解得，所以，又，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的交集的概念及运算，属于简单题目.2.已知复数满足，则为A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】首先利用复数的运算法则，求出复数z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.【详解】由，得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则，还有复数的模，属于简单题目. 3.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A. 2B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式求出函数的导函数，把代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令和，求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解. 【详解】由题意得，所以，则在点处的切线斜率为， 所以切线方程为：，即，令，得，令，得，所以切线与坐标轴围成三角形的面积， 故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与坐标轴围成三角形面积问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线的切线方程，直线方程的点斜式，三角形的面积公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 4.已知等差数列的前项和为，且，，则A. 20B. 40C. 60D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用等差数列的性质，以及题中所给的条件，求得，之后应用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】等差数列中，前n 项和为，且， 因为由等差数列的性质可知，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关等差数列的求和问题，涉及到的知识点有等差数列性质，等差数列的求和公式，属于基础题目.5.给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②定义在上的偶函数的最大值为30；③命题“，”的否定形式是“，”.其中正确说法的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】对于①，利用充分不必要条件的定义判读其正确性，对于②，利用偶函数的定义求得参数的值，结合二次函数的性质，求得其最大值，得出其正确性，对于③，应用特称命题的否定形式，判断其是否正确，即可得结果.【详解】对于①，当时，一定有，但是当时，，所以“”是“”的充分不必要条件，所以①正确；对于②，因为为偶函数，所以，因为定义域为，所以，所以函数的最大值为，所以②正确；对于③，命题“，”的否定形式是“，”，所以③是错误的；故正确命题的个数为2，故选C.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题，涉及到的知识点有充分必要条件的判断，偶函数的性质，含有一个量词的命题的否定，考查的都是基础.6.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】A【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线的两条渐近线均和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，将圆化为标准方程得，所以其圆心为，半径为2，根据题意，可得圆心到直线的距离等于半径，即，整理得，因为，所以有，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，直线与圆相切的条件，双曲线中之间的关系，双曲线的离心率，属于中档题目.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入，的值分别为3、3，则输出的值为A. 143B. 48C. 16D. 5【答案】B【解析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值为48.【详解】初始值，程序运行过程如下表所示：，，，，，不满足条件，跳出循环，输出的值为48，故选B【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的问题，在解题的过程中，注意在什么情况下跳出循环，属于简单题目.8.某个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个侧面中，面积最大的侧面的面积为A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的几何体的三视图，还原几何体，得出其为底面是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，利用面积公式求得各个侧面的面积，比较大小得出结果.【详解】分析其三视图，可以确定该几何体是底面是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，从而可以求得该四棱锥的四个从侧面的直角边长分别是；；；；利用面积公式求得各侧面的面积，比较大小可知最大的是，故选D.【点睛】该题考查的是有关棱锥侧面的面积大小问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，判断侧面三角形的形状，比较各三角形面积的大小，属于中档题目.9.已知点是内部一点，且满足，又，，则的面积为A. B. 3 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】据向量的平行四边形法则判断出点O为三角形的重心，根据重心的性质得出的面积与面积的关系，利用向量的数量积公式，求出三角形两邻边的乘积，据三角形的面积公式求出面积.【详解】因为，所以O为的重心，所以的面积是面积的，因为，所以，因为，所以，所以，所以的面积为1，故选C.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积问题，涉及到的知识点有三角形的重心的性质，向量的数量积运算，三角形的面积公式，属于中档题目.10.已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，求得的解析式，之后根据图象变换的原则，求得的解析式，根据，得到和都是函数的最大值3，从而得出的值为周期的整数倍，求得结果.【详解】由题意得，所以，所以的最小正周期为，由，可知和都是函数的最大值3（或都是最小值-3），所以的值为周期的整数倍，所以其最小值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关两个变量的差值的问题，涉及到的知识点有三角式的化简，三角函数的图象变换，函数的最值，函数的周期，熟练掌握相关公式是正确解题的关键.11.如图，函数的图像为两条射线，组成的折线，如果不等式的解集中有且仅有1个整数，那么实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得f（x）的分段函数式，由条件可得a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x），画出g（x）的图象，结合图象可得a的范围．【详解】根据题意可知f（x），不等式f（x）≥x2﹣x﹣a等价于a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x），可得g（x）的大致图象，如图所示，又g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣1，g（﹣1）＝2，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则﹣2≤a＜1，即a取值范围是{a|﹣2≤a＜1}．故选：B．【点睛】本题考查直线方程的求法，含参不等式的解法，注意运用分离法，考查数形结合思想方法，属于中档题．12.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题中的条件，结合函数的定义域，对不等式进行变形，之后将恒成立问题转化为最值来处理，利用导数研究函数的单调性，求得函数的最大值，从而求得结果.【详解】根据题意可得恒成立，因为，所以不等式可化为：恒成立，令，，可求得当时，，当时，，所在上单调增，在上单调减，所以，所以的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立的问题，在解题的过程中，将恒成立问题转化为最值问题，构造新函数，利用导数研究函数的最大值，再者就是利用题的条件，大于其最大值，可以到正无穷，只有A项满足条件，从而很容易求得结果.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
福建省福州市2019届高三上学期教学质量抽测理科数学(解析版)
离心率为（ ）
3
A．
2
6．答案：A
2
B．
3
6
C．
2
9
D．
4
解析：双曲线的渐近线方程为 y b x ，即 bx ay 0 ，圆 x2 y2 6 y 5 0 化为标准方程是 a
x2 ( y 3)2 4 ，若渐近线与此圆相切，则
3a
3a
c3
2 ，即 e ．
a2 b2 c
a2
p
p
2p 1 1 2
则 AF
, BF
, AB
, ；
1 cos
1 cos
sin2 AF BF p
（4）以 AB 为直径的圆与其准线相切，以 AF 为直径的圆与 y 轴相切．
16．函数
f
(x)
cos 2x
(sin
x
cos
x)
在区间 0, 2
上单调递增，则实数
的取值范围是
．
16．答案：[ 2, )
边）；
2 2 2 （4） OA OB OC O 为△ABC 的外心；
（5）若 AP
AB
AC
, [0, ) 点 P 的轨迹经过△ABC 的内心；
AB AC
（6）若 AP
AB
AC
, [0, ) 点 P 的轨迹经过△ABC 的垂心；
AB cos B AC cos C
8．某个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个侧面中，面积最大的侧面的面积为（ ）
1
正视图 2
1 侧视图
1 俯视图
A． 2
B．1
3
C．
2
6
D．
2
8．答案：D
福建省2019届高三质量检查数学试卷(理)
准考证号 姓名（在此试卷上答题无效）保密★启用前普通高中毕业班质量检查理 科 数 学注意事项：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知复数z 满足z i z ,21-=为z 的共轭复数，则()2016z z -等于A.20162B.20162-C.i 20162D.i 20162-（2）已知全集为R ，集合{},086|121|2≤+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x B x A x，则=)(B C A RA.{}20|<≤x xB.{}42|≤≤x xC.{20|<≤x x 或}4>xD..{20|≤<x x 或}4≥x（3）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺（4）已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为F,P 为C 上一点，若，4=PF 点P 到y 轴的距离等于等于3，则点F 的坐标为A.(-1，0)B.(1，0)C.(2，0)D.(-2，0)（5）执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为A.7B.9C.11D.13（6）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为A.101 B.51 C.103 D.52（7）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是A.π6B.π7C.π12D.π14（8）()622--x x 的展开式中2x 的系数等于 A.-48 B.48 C.234 D.432（9）设x ，y 满足,0223010⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥y x y ax y 若2210y x x z +-=的最小值为-12，则实数a 的取值范围是A.21-≤a B.23-<a C. 21≥a D.23<a （10）已知A,B,C 在球O 的球面上，AB=1,BC=2， 60=∠ABC ，直线OA 与截面ABC 所成的角为 30，则球O 的表面积为 A.π4 B.π16 C.π34D.π316 （11）已知函数()()()e e b ax x xf x -++-=2，当0>x 时，()0≤x f ，则实数a 的取值范围为 A.0>a B.10≤<a C.1≥a D.1≤a（12）已知数列}{n a 的前n 项和为，，，046,21>==n n S S S S 且22122,+-n n n S S S ，成等比数列，12221-2,++n n n S S S ，成等差数列，则2016a 等于A.1008-B.1009-C.21008D.21009第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年福州市质检理科数学试卷
2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷 （完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-，则z 的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B U = A. {}12x x << B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >-3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数1234567参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2% 以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64a a a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D. 326.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥错误！未找到引用源。
2019年福建省高三毕业班质量检查测试数学(理)试题 含答案
是唐代金银细工的典范之作.该杯型几何体的主体部分可近似看作是由双曲线 C : x2 − y2 = 1的右支与直线 39
x = 0 ， y = 4 ， y = −2 围成的曲边四边形 MABQ 绕 y 轴旋转一周得到的几何体，如图（2）. N , P 分别为
C 的渐近线与 y = 4 ，y = −2 的交点，曲边五边形 MNOPQ 绕 y 同旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅
y
满足约束条件
x
+
y
−1
0,
则
z
=
x
+
2
y
的最小值是（
）
y +1 0,
A． −5
B． −4
C． 0
D． 2
5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的体积是（ ）
A． 8 2 3
B． 4 3
C．12
D．32 3
6．将函数
y
=
sin
2x
+
6
的图象向右平移
6
个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（
）
A．
12
,
0
B．
4
,
0
C．
3
,
0
D．
2
,
0
7．已知 a = 2 ， b = 5 5 ， c = 7 7 ，则（ ）
福建省福州市2019届高三毕业班3月质检数学理
2019年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷(完卷时间：120分钟；满分：150分)第I卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题•每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1•已知集合A={( x,y)|y=lgx}, B={(x,y)|x=a},若A A B= 一，则实数a的取值范围是( ).A. a<1B. a< 1C. a<0D. a< 02•“实数a=1 ”是“复数(1 ai)i ( a€ R ,i为虚数单位)的模为2 ”的().A.充分非必要条件B.必要非充分条件3.4.5. C.充要条件执行如图所示的程序框图D.既不是充分条件又不是必要条件，输出的M的值是( )开始J 」—►M=2―►i=1A . 2B. -11c.—命题” x R,使得f (x )二xA. _X R，都有f (x)二XC. —x R,都有f (x) = x是i<5?否”的否定是B.不存在x -D. x R,使输出MR,使f (x) x已知等比数列{a n}的前n项积为二n,若a3 d a8A.512B.256C.81i=i+1M 二结束).D.166.如图,设向量OA = (3,1),OB =(13)，若OC =入OA +卩OB,且入》卩> 1,则用阴影表示C点所9.若定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=f(x), f(2- x)=f(x), 且当x € ［0,1］时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数A. f(x)=x+sinxB. f (x ) =cos x xC.f(x)=xcosx兀3兀D.f (x )= x(--)(-云)8.已知F i 、22x yF 2是双曲线—22 " (a>0,b>0)的左、右焦点a b，若双曲线左支上存在一点 P 与点F 2关于直线y =■ bx对称”则该双曲线的离心为().a、5A.-2B. 5C.2D.2H(x)= |xej —f(x)在区间［—3,1］上的零点个数为()3210.已知函数f （x ）=x +bx+cx+d （b 、c 、d 为常数），当x € （0,1）时取得极大值，当x € （1,2）时取极小值，则1 2 2（b -） （c- 3）的取值范围是（）.2nH x(-1) sin 2n,x [2n,2n 1)9f(x)二-2,(n N)n ' ：1z x(-1)n 1sin 2n 2,x [2 n 1,2 n 2)I. 2若数列｛a m ｝满足 a m = f (m )(m N )，且的前 m 项和为 S m ,则 S 2014 - S 2006 = _____________2三、解答题：本大题共六个小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.A •(旦,5)B. .5,5)2C. (37,25)4D.(5,25)第H 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11.5名同学排成一列，某个同学不排排头的排法种数为（用数字作答）12.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点 M ，则点M 恰好取自 阴影部分的概率为 ____________ .2 213.若直线 x - y • 2 =0 与圆 C: (x -3) • (y -3) =4 相交于 A 、两点，则CA CB 的值14.已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则该几何体的表面积为15.已知函数A.5B.4C.3D.216. （本小题满分13分）在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位:毫克）.下表是测量数据的茎叶图：甲地乙地8 01 2 4 7 8 8 92 0 0 1 2(优质品件数/总件数)；规定：当产品中的此种元素含量羽5毫克时为优质品(I )试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(n )从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数■的分布列及数学期望E().17. (本小题满分13分)已知函数f (x) = 2cos2x 2、3sin xcosx(x R)..(I)当［0,—］时，求函数f(x)的单调递增区间；2(n)设ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且c = 3, f(C)=2,若向量m=(1,sinA)与向量n = (2,sinB)共线，求a,b 的值.18. (本小题满分13分)如图，直角梯形ABCD中，.ABC =90°AB = BC二2AD=4，点E、F分别是AB、CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD丄平面EBCF .(I)当AG+ GC最小时，求证：BD丄CG ;(n)当2V B- ADGE = V D-GBCF时，求二面角D- BG- C平面角的余弦值.19. (本小题满分13分)已知动圆C过定点(1,0),且与直线x= —1相切.(I)求动圆圆心C的轨迹方程；(H)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为:-和一：，①当：；亠= _时，求证直线AB恒过一定点M;2②若很亠卩为定值v(0 ：：: v :::二)，直线AB是否仍恒过一定点若存在,试求出定点的坐标；若不存在请说明理由•20. (本小题满分14分)1已知函数f (x) = In (x+ ) -ax，其中a R且a = 0a(I)讨论f (x)的单调区间；(n)若直线y二ax的图像恒在函数f (x)图像的上方，求a的取值范围1(川)若存在为：：：0 , x2• 0 ,使得f (x1) = f (x2) = 0 ,求证：x1 x2 0.a21. 本题设有(1 )、(2)、( 3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做, 则按所做的前两题计分•作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中•(1) (本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换.3 3^一£已知矩阵A= 若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为S = ，属于特征值1的一个特征JC d丿<1丿曰一*3 \向量a = .1-2丿(I)求矩阵A的逆矩阵；(n)计算A3的值•<4丿(2) (本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为(I)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 I 的普通方程 (n)若 P( - 2,-4),求 |PM|+|PN| 的值.(3) (本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x — 4|+|x - 3|,(I)求f(x)的最小值 m(n)当 a+2b+3c=m(a,b,c € R)时,求 a 2+ b 2+c 2的最小值.2019年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准1 —10 DABCA DCBBD16.解:(1)甲厂抽取的样本中优等品有乙厂抽取的样本中优等品有(II) 的取值为1, 2, 3. .......................... 5分v -4cosr ，直线I 的参数方程为(t 为参数),两曲线相交于M,N 两点.11.9612.1/313.014.18+ 2.3 cm 2 15.80427件,优等品率为—.10 左848件,优等品率为10 51 21 7 7 12故 的数学期望为(E ') 1 — 2 — 3 —二一 ........................... 13分15 15 15 517.解:(l) f (x) = 2cos 2 x . 3sin 2xA JIJ[ JI令-2k ?x z 2x2k 二，k Z ,26 22兀 n 兀 兀解得 2k … _2 x 岂 2k 二-即 k 二-一 一 x 一 k 二■一 ......... 4 分3 3 3 6JIJI■/[0,-]< f(x)的递增区间为[0,6】........... 6分 二二 1(n )由 f (C ) =2sin(2C —)1=2，得 sin(2C —)二—6 6 213二二 5二，’而C 0,二，所以2C,亘，所以2C 得C8分616 6 丿6P( =1)C8C2Cwi15P(C 1015 P ( =3)C83 10715= cos2x 、、3si n2x 1 =2sin2xsin A sin B1 26 3因为向量 m =(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线，所以a 1由正弦定理得：一=—① ................ 10分b 2由余弦定理得：c 2 = a 2 - b -2abcos —，即 a 2+b 2— ab=9 ② ........ 1 2分 3k =1即 EG=1 .............................. 8 分 T设平面DBG 的法向量为m =(X, y, Z ), •/ G(0,1,0),由①②解得a = ... 3, b = 2』313分18•解:(I )证明：•••点E 、F 分别是AB 、CD 的中点J EF//BC 又/ABC=90 °J AE 丄 EF , ：•平面 AEFD 丄平面 EBCF ,J AE 丄平面 EBCF , AE 丄EF , AE 丄BE , 又 BE 丄 EF ,如图建立空间坐标系E - xyz. ........................... 2分 翻折前，连结AC 交EF 于点G ，此时点G 使得AG+GC 最小.1EG= — BC=2,又•/ EA=EB =2 .2则 A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),J =( -2,2,2),CG=(-2,-2,BD 丄 CG ...................... 5 分(n )解法一：设 EG=k,:AD //平面EFCB ，.点D 到平面EFCB 的距离为即为点 A 到平面EFCBC1=1 一2 V=AE — (7 k )又V ADGES四形ADGE3?B E=3(2' 2V B- ADGE = V D- GBCF ,'4 23(2 k)=3(7 -k),的距离..BG =(—2,1,0), BD =(—2,2,2),…h BD =0 2x+2y + 2z = 0 则： ，即n 1 BG =0 -2x y =04取 x = 1,则 y = 2,z = — 1,A n =(1,2, -1)...................... 10 分由于所求二面角 D-BF-C 的平面角为锐角(n )解法二：由解法一得 EG=1,过点D 作DH _ EF,垂足H,过点H 作BG 延长线的垂线垂足 O ,连接 OD. T 平面 AEFD 丄平面 EBCF,. DH _平面EBCF , OD _ OB,所以三DOH 就是所求 的二面角D- BG- C 的平面角 ..... ........ 9分2由于HG=1,在也OHG 中OH =三匸5 ，DH 又 DH=2，在：DOH 中 tan . DOH 511分OH所以此二面角平面角的余弦值为 丄6. .................. 1：分619. 解：(I )设动圆圆心 M(x,y),依题意点M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=— 1为准线的抛物线 ........ 2分 其方程为y 2=4x.- ................ 3分(n )设 A(X 1,y 1),B(X 2,y 2).2 2由题意得X 1枚2(否则■-二二)且X 1X 2丰(则X 1二丫1, X 2二匹44所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y=kx+b , 则将 y=kx+b 与 y 2=4x 联立消去 x,得 ky 2— 4y+4 b=0面BCG 的一个"(0,0,1)则 cos<I m II r )2| 所以此二面角平面角的余弦值为13分mm >=4 4b由韦达定理得 Yi 亠y 2 =—, y 1 y 2 = ------------- ................ 6分k k① 当= _时,tan ： tan 1： =1所以上上二1,也 - ym = 0 , .................................. 7分2X i x 2—b 所以y i y 2=16,又由※知：y i y 2=—-所以b=4k;因此直线AB 的方程可表示为y=kx+ 4k,所以直线AB 恒 k过定点(一4,0)............ 8分■J T② 当.：：■ 为定值”0 ：：: V :::二)时若二=—，由①知,2直线AB 恒过定点 M (— 4,0) ............... 9分 当'；_ 时，由「• - _ J ,得 tan J - tan (芒-1：,)=24所以直线AB 恒过定点(-4,) ............ 12分tan 6所以当二-2时，直线AB 恒过定点(—4,0).,「"兀4当时直线AB 恒过定点(-4,) . ........... 13分2tan 日120. 解:(I)f(x)的定义域为(-一，；).a1其导数f (x) = —- a =1 x +a1① 当a ：：： 0时，f '(x) • 0 ,函数在(-丄，；)上是增函数； 2分atan”：亠 tan : 1 - tan ： tan :4( % y 2) y i y 2 -16将※式代入上式整理化简可得此时，直线AB 的方程可表示为4b- 4 ky=kx + 4 k ，所以b= 4k11分2a xax+ 11②当a 0时,在区间(-,0) 上, f'(x) 0;在区间(0,+ m)上，f'(x)：：：0 .a1所以f(x)在(-一，0)是增函数，在(0,+ m )是减函数. ....... 4分a1(II)当a ：：：0时，取x = e -a1 1 1则f (e ) = 1 -a(e ) = 2 -ae 0 ae -1 = a(e ),不合题意.a a a2」1当 a . 0时令 h(x) = ax 一 f (x),则 h(x)=2ax_ln(x ) ...................... 6 分a问题化为求h(x) 0恒成立时a 的取值范围•1 .2a(x+p 由于h(x) =2a牛 ......... 7分1 1 xx -aa1 1 i.在区间(-，-)上，h '(x) 0 ;在区间(-一，•：：)上，h '(x ) 0 .a 2a 2a1 1-h(x)的最小值为h( )，所以只需h( ) 02a 2a1 1 1 1 e即 2a () -ln()0, ln1, a .................... 9 分2a2a a 2a21 (川)由于当a :: 0时函数在(-一，；)上是增函数，不满足题意，所以a 0a1 构造函数：g(x)二 f (-X )- f(x)( x ：： 0) a1 1.g (x)二 ln( x)「ln(x ) 2ax ........................... 11 分a a，/、1 1小2ax小则g(x ^^-^2^v^:：0贝 y x xx 2a aa、 11所以函数g(x)在区间(一一，0)上为减函数.T 一一 £捲£0,则g(xj > g(0) = 0，a a于是 f (- xj- f (x )> 0,又 f (xj = 0，f (- xj> 0= f(X 2)，由 f (x)在(0,址)上为减函数可知21. (1)(本小题满分7分)选修4-2 :矩阵与变换2 3 一 ~ 3-(3 d ) • 3d - 3c = 0的两个根为6和1,c+d = 6 1 = 2 3 3" ，.A =、3c — 2d = -2 d = 42 4解:(I )法一:依题意, x 2 -x 1.即 x x 2 014分所以A 4「3■'■■■ -'d丄3 3)故 d=4,c=2.- A =............. 2 分<2 4丿(2)(本小题满分7分)选修4-4 :坐标系与参数方程.解:(I )(曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x,直线I 的普通方程x — y — 2=0. (4)x = _2+空 t| +42y _ _4 I. 2代入y 2=4x,得到t 2 -12J2t + 48 =0，设M,N 对应的参数分别为t i ,t 2则 11 ' 12 =12 \2,11t 2 - 48所以 |PM|+|PN|= |t i +t 2|= 12.2 ............. 7 分 (3))(本小题满分7分)选修4-5 :不等式选讲解:(I )法 1: f(x)=|x — 4|+|x — 3|> |(x — 4)— (x — 3)|=1, 故函数f(x)的最小值为1. m =1.4分A 3-1法二：A 2 -14=2 X633 A分*3、 |429〕.严丿= 1434丿152r— J 4 22」A3—13伦7 129 丫-1电6 130^4巾5 21 丫3 3) 〔87 129、14 22 人2 4 丿(86 130 y7分(n )直线I 的参数方程为(t 为参数),2x - 7, x _ 4法2: f (x ) = * 1,3 兰x< 4 . ----------------- 1分1-2 x, x v 3x> 4 时,f(x) > 1;x<3 时,f(x)>1,3 < x<4 时,f(x)=1, ----------------- 3 分故函数f(x)的最小值为1. m=1. ............. 4分2 2 2 2 2 2 2(n )由柯西不等式(a +b +c )(1 +2 +3 )泊+2b+3c) =1 ------------------ 5 分1故a2+b2+c2> - ............... 6 分14113当且仅当a二一,b二-,c —时取等号........7分14 7 14。
(完整)2019年福州市高三下学期第二次市质检理科数学试卷(word版,有答案)
19.（12 分） 最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网 调查的一份数据显示，2018 年 7 月，大部分一线 城市的房租租金同比涨幅都在 10%以上．某部门
研究成果认为，房租支出超过月收入 1 的租户“幸 3
第 18 题 图
福指数”低，房租支出不超过月收入 1 的租户“幸 3
A. 2 3
B. 4 3
C.8 D. 8 3
7. 如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几 何体的三视图，则该几何体的体积为
第 7 题图
数学（理科）试卷第 1 页，共 5 页
32
A.32 B.16 C.
3
80
D.
3
8. 已知函数
f (x) 2sinx
0,
图
象的相邻
两条对称轴
福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指 数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各 100 户
进行调查．甲小区租户的月收入以0，3 ，3，6 ，6，9 ，9，12 ，12，15（单位：千元）
分组的频率分布直方图如上： 乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：
数学（理科）试卷第 3 页，共 5 页
2019 年 福 州 市 普 通 高 中 毕 业 班 质 量 检 测
数学（理科）试卷
（完卷时间：120 分钟；满分 150 分） 第 Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. 1 i 设复数 z 满足 i z 1i ，则 z 的共轭复数为 A. B. 1 i C. 1 i D. 1 i
，则 a8
福建省福州市2019届高三质检数学(理科)试题及答案
2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数满足i 1i z ⋅=-，则的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B U = A. {}12x x << B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >-3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列的各项均为正实数，其前项和为.若3264,64a a a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D.z z {}n a n n S6.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF的斜率为PAF △的面积为A.B. C.8D. 7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.8038.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2-9.已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=．若存在[]11x ∈-，，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35 C. 1 D. 35- 10.如图，双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距，则的离心率为A.B. 23C. D.3211.如图，以棱长为1的正方体的顶点A正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 第7题图第10题图第11题图A.34πC. 32πD.94π 12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2122124n n n n n a a a na n++=++，则8a =A.64892-B.32892-C.16892-D.7892-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两个单位向量,a b r r，满足a b += ，则与的夹角为__________．14.已知点()0,2A ，动点(),P x y 的坐标满足条件0x y x≥⎧⎨≤⎩，则PA 的最小值是．15. ()()2511ax x +-的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a 的值为__________． 16.已知函数()2e()ln 2e x f x a x =-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （12分）ABC △的内角，，的对边分别为，，．若角，，成等差数列，且b =（1）求ABC △的外接圆直径； （2）求a c +的取值范围．ab A B C a bc A B C如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB △为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点． (1) 求证：AQ ⊥平面 PBC ； (2)求二面角B PC D --的余弦值．第18题最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入13的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入13的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[)03，，[)36，，[)69，，[)912，，[]1215，（单位：千元）分组的频率分布直方图如上：乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：（1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M 表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率，求M 的概率；（2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；（3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的22⨯列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.附：临界值表参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20. （12分）已知圆O ：222x y r +=，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短半轴长等于圆O 的半径，且过C 右焦点的直线与圆O 相切于点12D ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线l 与圆O 相切，且与C 相交于,A B 两点，求点O 到弦AB 的垂直平分线距离的最大值.21. （12分） 已知函数()()()ln 11xf x a x a x=-+∈+R ，2m 12e e ()x g x x +=-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，[]12,0,e x x ∀∈，不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. 22. [选修44-：坐标系与参数方程] （10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线与曲线C 交于,A B 两点.（1）求直线的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）当AB OP =时，求a 的值.23.[选修45-：不等式选讲] （10分） 已知不等式21214x x ++-<的解集为M. （1）求集合；（2）设实数,a M b M ∈∉，证明：1ab a b +≤+.xOy l x l l M2019年福州市普通高中毕业班质量检测参考答案数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数满足i 1i z ⋅=-，则的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i - 【简解】因为1i1i iz -==--，所以1+i z =-，故选A ． 2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B U = A. {}12x x << B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >-【简解】因为{}{}1,12A x x B x x =>=-<<，所以{}1A B x x =>-U ，故选D ．3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 【简解】A 中的m 值应为12; B 中应为380人; C 是正确的; D 中的分段间隔应为20，故选C ． 4.等比数列的各项均为正实数，其前项和为.若3264,64a a a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63z z {}n a n n S【简解】解法一：设首项为1a ，公比为q ，因为0n a >，所以0q >，由条件得21511464a q a q a q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以531S =，故选B ．解法二：设首项为1a ，公比为q ，由226464a a a ==，又34a =，∴2q =，又因为214a q ⋅=所以11a =，所以531S =，故选B ． 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1D. 【简解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 6.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为PAF △的面积为A.B. C.8D. 【简解】解法一:设准线与x 轴交于点Q ,因为直线AF的斜率为，2FQ =，60AFQ ∴∠=o，4FA =，又因为PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形，所以PAF △224FA =B ． 解法二：设准线与x 轴交于点Q ,,)Pm n （,因为直线 AF的斜率为2FQ =，60AFQ ∴∠=o ，所以AQ =n =±24n m =，所以3m =，又因为4PA PF ==， 所以PAF △的面积为11422PA n ⨯⨯=⨯⨯B ． 7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.803【简解】由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三棱锥的体积321180442=323⨯-⨯⨯⨯12．故选D ． 8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2- 【简解】由图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T =π，又因为0ω>，所以2ωπ=π，解得=2ω．0,ωϕ><π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数2()2sin 23g x x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．因为函数()g x 为偶函数，所以2,32k k ϕππ+=π+∈Z ，由ϕπ<2，解得=6ϕπ- ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 因为02x π<<，所以1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是(]1,2-，故选D ． 9.已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=．若存在[]11x ∈-，，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35 C. 1 D. 35-第7题【简解】由()()2xg x h x -=，及()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，得()()2222,22x x x xg x h x --+==－．由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ---≤==-+++－，∵2141x y =-+为增函数，∴max231415x⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选B ． 10.如图，双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距，则的离心率为A. B. 23C. D.32【简解】连结1QF ，由条件知12QF PF ⊥，且22c QF =．由双曲线定义知122cQF a =+，在12Rt FQF △中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得的离心率27e +=，故选C ．11.如图，以棱长为1的正方体的顶点A球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A.34πC. 32πD.94π【简解】正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分,例如，与上底面截得的弧长是以1A 为圆心, 1为半径的圆周长的14,所以弧长之和为23342ππ⨯=．故选C.12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2122124n n n n n a a a na n++=++，则8a =A.64892- B.32892- C.16892- D.7892-【简解】因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n n a na n a n a +++=+， 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C C 第10第11题图所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n nb a =+，则21n n b b +=，两边取对数得1l g 2l g n n b b +=，又111l g l g 2l g 3b a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以数列{}lg n b 是首项为lg 3，公比为2的等比数列.所以112lg lg32lg3n n n b --=⋅=，所以123n n b -=，即1232n n n a -+=，从而1232n n n a -=-，将8n =代入，选A.法二、因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n na na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，因为13b =，所以223b =，所以()224333b ==，所以()248433b ==，…，所以7264839b ==。
【市级联考】福建省福州市2019届高三第一学期质量抽测数学(理科)试题(解析版)
2018-2019学年度福州市高三第一学期质量抽测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟：满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先解绝对值不等式，求出集合A，之后利用交集的定义求得结果.【详解】由解得，所以，又，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的交集的概念及运算，属于简单题目.2.已知复数满足，则为A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】首先利用复数的运算法则，求出复数z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.【详解】由，得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则，还有复数的模，属于简单题目.3.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据求导公式求出函数的导函数，把代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令和，求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解.【详解】由题意得，所以，则在点处的切线斜率为，所以切线方程为：，即，令，得，令，得，所以切线与坐标轴围成三角形的面积，故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与坐标轴围成三角形面积问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线的切线方程，直线方程的点斜式，三角形的面积公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.4.已知等差数列的前项和为，且，，则A. 20B. 40C. 60D. 80【答案】B【解析】【分析】首先利用等差数列的性质，以及题中所给的条件，求得，之后应用等差数列的求和公式求得结果.【详解】等差数列中，前n项和为，且，因为由等差数列的性质可知，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关等差数列的求和问题，涉及到的知识点有等差数列性质，等差数列的求和公式，属于基础题目.5.给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②定义在上的偶函数的最大值为30；③命题“，”的否定形式是“，”.其中正确说法的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】对于①，利用充分不必要条件的定义判读其正确性，对于②，利用偶函数的定义求得参数的值，结合二次函数的性质，求得其最大值，得出其正确性，对于③，应用特称命题的否定形式，判断其是否正确，即可得结果.【详解】对于①，当时，一定有，但是当时，，所以“”是“”的充分不必要条件，所以①正确；对于②，因为为偶函数，所以，因为定义域为，所以，所以函数的最大值为，所以②正确；对于③，命题“，”的否定形式是“，”，所以③是错误的；故正确命题的个数为2，故选C.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题，涉及到的知识点有充分必要条件的判断，偶函数的性质，含有一个量词的命题的否定，考查的都是基础.6.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】A【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线的两条渐近线均和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，将圆化为标准方程得，所以其圆心为，半径为2，根据题意，可得圆心到直线的距离等于半径，即，整理得，因为，所以有，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，直线与圆相切的条件，双曲线中之间的关系，双曲线的离心率，属于中档题目.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入，的值分别为3、3，则输出的值为A. 143B. 48C. 16D. 5【答案】B【解析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值为48.【详解】初始值，程序运行过程如下表所示：，，，，，不满足条件，跳出循环，输出的值为48，故选B【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的问题，在解题的过程中，注意在什么情况下跳出循环，属于简单题目.8.某个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个侧面中，面积最大的侧面的面积为A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的几何体的三视图，还原几何体，得出其为底面是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，利用面积公式求得各个侧面的面积，比较大小得出结果.【详解】分析其三视图，可以确定该几何体是底面是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，从而可以求得该四棱锥的四个从侧面的直角边长分别是；；；；利用面积公式求得各侧面的面积，比较大小可知最大的是，故选D.【点睛】该题考查的是有关棱锥侧面的面积大小问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，判断侧面三角形的形状，比较各三角形面积的大小，属于中档题目.9.已知点是内部一点，且满足，又，，则的面积为A. B. 3 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】据向量的平行四边形法则判断出点O为三角形的重心，根据重心的性质得出的面积与面积的关系，利用向量的数量积公式，求出三角形两邻边的乘积，据三角形的面积公式求出面积.【详解】因为，所以O为的重心，所以的面积是面积的，因为，所以，因为，所以，所以，所以的面积为1，故选C.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积问题，涉及到的知识点有三角形的重心的性质，向量的数量积运算，三角形的面积公式，属于中档题目.10.已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，求得的解析式，之后根据图象变换的原则，求得的解析式，根据，得到和都是函数的最大值3，从而得出的值为周期的整数倍，求得结果.【详解】由题意得，所以，所以的最小正周期为，由，可知和都是函数的最大值3（或都是最小值-3），所以的值为周期的整数倍，所以其最小值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关两个变量的差值的问题，涉及到的知识点有三角式的化简，三角函数的图象变换，函数的最值，函数的周期，熟练掌握相关公式是正确解题的关键.11.如图，函数的图像为两条射线，组成的折线，如果不等式的解集中有且仅有1个整数，那么实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得f（x）的分段函数式，由条件可得a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x），画出g（x）的图象，结合图象可得a的范围．【详解】根据题意可知f（x），不等式f（x）≥x2﹣x﹣a等价于a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x），可得g（x）的大致图象，如图所示，又g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣1，g（﹣1）＝2，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则﹣2≤a＜1，即a取值范围是{a|﹣2≤a＜1}．故选：B．【点睛】本题考查直线方程的求法，含参不等式的解法，注意运用分离法，考查数形结合思想方法，属于中档题．12.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题中的条件，结合函数的定义域，对不等式进行变形，之后将恒成立问题转化为最值来处理，利用导数研究函数的单调性，求得函数的最大值，从而求得结果.【详解】根据题意可得恒成立，因为，所以不等式可化为：恒成立，令，，可求得当时，，当时，，所在上单调增，在上单调减，所以，所以的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立的问题，在解题的过程中，将恒成立问题转化为最值问题，构造新函数，利用导数研究函数的最大值，再者就是利用题的条件，大于其最大值，可以到正无穷，只有A项满足条件，从而很容易求得结果.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2x
16.已知函数f ( x) a ln(2x) e e 有且只有一个零点, 则
实数a的取值范围是 (, 0) {e} .
显然x
1 不是函数的零点,当x
1 时,由a ln 2x
2x
e e
0,
2
2
2x
2x
分离参数得a e e , 令p( x) e e
ln 2x
ln 2x
则p( x)
2x
ee
g( x) h( x) 2x g( x) h( x)
g( x)
h( x)
2 x
g( x) h( x)
2 x
2 2
2x
由m
g(
x
)
h(
x
)
≤
0,
得m
≤
2x－2 x 2x 2 x
4x 4x
1 1
1
2 4x 1
y
1
2 4x
1
为增函数,
1
2 4x
1
max
3 5
, 故选B
10. 如图, 双曲线C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)的左右焦点分
别为F1, F2 , 过F2作线段F2P与C交于点Q, 且Q为PF2的中点
若等腰△PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距, 则C的离心
率为( C )
2 2 15
2
2 2 15
3
A.
B.
C.
D.
7
3
7
2
连接QF1 , 则QF1
PF2 , 且 QF2
c, 2
由双曲线的定义可知 QF1
2a
c 2
在Rt△F1QF2中,
2a
c 2
2
c 2
2
2c2 , 解得e
22 7
15
11. 如图,以棱长为1的正方体的顶点A为球心,以 2为半径
做一个球面, 则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长
之和为( C )
A. 3 4
B. 2
正方体的表面被该球面被所
a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 a5 x5 a6 x6 a7 x7 ,
令x 1, 得：0 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
①
令x 1, 得：
(1 a)2 25 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
②
② ①, 得：(1 a)2 25 2(a1 +a3 a5 a7 ), 又因为a1 +a3 a5 a7 64,(1 a)2 25 128, 解得a 3或a 1(舍去)
8 B. 932 2
8 C . 916 2
8 D. 97 2
因为an1
(n 1)an2 2an2 4nan n2
,所以 1 an1
2an2 4nan (n 1)an2
n2
,
所以 n 1 an1
2an2
4nan an2
n2
n an
2
4
n an
2,
所以
n1 an1
2
2
又因为 0, 所以 2 解得 2
将f ( x)的图象向左平移 个单位, 得：
3
g(
x
)
2 sin
2
x
2 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,因为g(
x)为偶函数,
所以 2 k , k Z,由于 ,所以 ,
3
2
6
所以f
(
x)
2
sin
2
x
6
因为0
x
2
,
所以
1 2
sin
2x
6
≤ 1,
所以函数f
(
x)在区间
0,
2
上的值域为(1,
2]
9.已知g( x)为偶函数, h( x)为奇函数, 且满足g( x) h( x)
2x , 若存在x [1,1], 使得不等式m g( x) h( x) ≤ 0有解,
则实数m的最大值是( B )
A. 1
B. 3
C.1
D. 3
5
5
2x 2 x
所以PO AB, 所以PO OD,由AB 2BC 2CD 4,
ABC 90,可知OD / / BC, 所以OD AB.以AB中点O为
坐标原点,分别以OA,OD,OP所在 z
直线为x, y, z轴, 建立如图所示的
空间直角坐标系O xyz.
P
A(2,0,0), D(0, 2,0),C(2, 2,0), Q
参加场数
0
参加人数占调查 人数的百分比 8%
1 2 3 4 5 67 10% 20% 26% 18% m% 4% 2%
以下四个结论中正确的是（ C ） A． 表中m的数值为10 12
B． 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学
生约为180人 380
C． 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学 生约为360人 D． 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中
lg
1 a1
2
lg
3,所以{lg bn }是首项为lg
3, 公比
为2的等比数列, 所以 lg bn lg 3 2n1 lg 32n1 , bn 3 , 2n1
即n an
2
32n1 , 从而an
n 3 2n1
, 将n 2
8代入, 选A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
p
e 2
e,
作出y
p( x)的图象：
因为直线y a与p( x)的 交点个数为1, 故a的取值 范围是(, 0) {e}
17. △ABC的内角A, B,C的对边分别为a, b, c, 若角A, B,C
成等差数列, 且b 3 . (1) 求△ABC的外接圆直径; 2
(2) 求a c的取值范围. (1)由角A, B,C成等差数列,所以2B A C,
2 e
ln
2
x
(ln 2x)2
1 x
,
当0 x 1 时, p( x) 0, 2
且x 0时, p( x) 0,
令p( x) 0, 得x e 2
x 1 时, p( x) 2
当 1 x e 时, p( x) 0, p( x)单调递减,
2
2
当x e 时, p( x) 0, p( x)单调递增, 2
C. 3 2
D1
截得的弧长有相等的三部分,
例如,与上底面截得的弧长是 A1
D. 9 4
C1
B1
以A1为圆心,1为半径的圆周长
的 1 , 所以弧长之和为3 2 3
D
4
42
C
A
B
12.已知数列{an }满足a1
1,
an1
(n 1)an2 2an2 4nan
n2
, 则a8
()
8 A. 964 2
由
n
CD
又因为A B C , 所以B
3 根据正弦定理,△ABC的外接圆直径
3 2R= b 2 1
sin B sin π 3
(2) 求a c的取值范围.
(2)由(1)知, B ,所以A C 2 ,所以0 A 2
3
3
3
由正弦定理得： a b c 1, sin A sin B sin C
2019年福州市普通高中毕业班质量检测 理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．
1. 设复数z满足i z 1 i, 则z的共轭复数为( A )
A. 1 i
B. 1 i
C. 1 i
D. 1 i
因为z 1 i 1 i,所以z 1+i i
2.已知集合A { x 2x 1 3}, B { x x2 x 2 0}, 则
2
3
14.已知点A(0, 2),
动点P( x,
y)的坐标满足
x
y
≥ ≤
0 x
,
则
PA
的最小值是 2 .
PA 的最小值转化成点A到直线y x的距离d= -2 2
y
2
A
O
x
15. (1 ax)2(1 x)5的展开式中,所有x的奇数次幂项的系
数和为 64, 则正实数a的值为 3
.
设(1 ax)2(1 x)5
P(0,0, 2 3), B(2,0,0)
AD (2, 2, 0), DP (0, 2, 2 3),
B O A
CD (2, 0, 0)
x
C Dy
由(1)知, AQ为平面PBC的法向量,因为Q为PB的中点, 所以Q(1, 0, 3), 所以平面PBC的一个法向量为AQ (3, 0, 3)
设平面PCD的法向量为n ( x, y, z),
13.已知两个单位向量a, b, 满足 a b 3 b , 则a与b的
夹角为
3.
因为a, b是单位向量, a b 3 b ,两边平方, 得：
2
a b =（ 3）2 ,
2
2
a 2 a b cos a, b b 2 2cos a, b 1,
cos a, b 1 , a, b
抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 20
4. 等比数列{an }的各项均为正数, 其前n项和为Sn , 若
a3 4, a2a6 64, 则S5 ( B )
A. 32
B. 31
C. 64
D. 63
设首项为a1, 公比为q,因为an 0,所以q 0,
由条件得：a1 a1q