第3章线性方程组习题解答

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线性代数第3章习题解答(rr)

1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T Tααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=-----1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T Tαα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0Tααααααα=--++-+=并且求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].Tα=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立，则向量组12,,m αααK 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T Tαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。

(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。

解：不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解：正确。

（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。

(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。

解：不正确。

例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。

梁保松《线性代数》习题三解答本人亲自求解习题三

第三章线性方程组
51 11 （1） β 4 α1 4 α2 4 α3 4 α4 ；（2） β α1 0α2 α3 0α4 .
10.判断下列向量组的线性相关性：（1） α1 (1, 1, 1), α2 (0, 2, 5), α3 (1, 3, 6) ；（2）β1 (1, 1, 2, 4)T , β2 (0, 3, 1, 2)T , β3 (3, 0, 7, 14)T ；（3）γ1 (1, 1, 3, 1)T , γ2 (4, 1, 3, 2)T , γ3 (1, 0, 1, 2)T. 解方法一：应用定义一，从中找出某个向量，这个向量可由其余向量线性表示；
（7）两个同解的线性方程组的系数矩阵有相同的秩；
第三章线性方程组
解正确，设 AX = b, CX = d 同解（无解除外），即两个线性方程组的增广矩阵经行初等变换后得到的最简形矩阵完全相同（除零行个数可能不同外。这是因为两个方程组的方程个数可能不同，但未知量个数必相同），故最简形中系数矩阵、增广矩阵均相同的秩，即两个方程组的系数矩阵 A, C 及其增广矩阵都有相同的秩。
（4）对矩阵作行初等变换不改变矩阵的行秩；解正确，矩阵的秩=行秩=列秩，因初等变换不改变矩阵的秩，因此无论行变换还是列变换都不会改变行秩和列秩。（5）对矩阵作列初等变换不改变矩阵的行秩；解正确，见（4）。（6）因为矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩，所以矩阵的行向量组与列向量组等价. 解错误。我们知道，同维数的行向量（或列向量）等价向量组的秩相等。事实上， n 维向量组1,2,,s等价于1, 2 ,, t 线性方程组
2
4
3
p2 4
0
p2 2p 4
(4 p)
3
当 p 1时， r( A ) 3, r(A) 2 ，无解；

线性方程组习题参考答案

第三章线性方程组习题参考答案P154,1. 用消元法解下来线性方程组.(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++-=--+--=+-++=-++1234321223145354321542154321543214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .解:542143313241425152135401135401132211003212121113054312141113074512712111101431213540101431200321200161261200r r r r r r r r r r r r r r r r r r ↔---⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪↔---- ⎪⎪- ⎪⎪↔→-------⎪ ⎪------ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭----→----43435314101354015014312160012128000212241681600000r r r r r r r -⎛⎫⎛⎫-⎪⎪--- ⎪⎪- ⎪⎪→--+⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11000013500121354010143121014312010012001000001000001000100021200011120001100000020000000000⎛⎫ ⎪⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭方程组的解是 12345121120112x k x k x x k x k ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩=-=--==--=, k 为任意数.(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+--=+-+2521669972543223312325432154321543215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：422332322112032111313291131320334512323452701107839961622500332529711313211313201107830110783003325298003003325297r r r r r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫-↔ ⎪⎪------ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭------⎛⎫ ⎪----⎪→→ ⎪---- ⎪-⎝⎭325298000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭最后一列为(0,0,0,0,0,-1），所以方程组无解.(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-3371334424324214324321x x x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------+→-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------6210012020031110443215248400353503111044321731370110313111044321141232413r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→01060100300108000101000601003101082001 有唯一解: x 1= -8, x 2=3, x 3=6, x 4=0. (4) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++=+-=+-+032701613-11402-332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：−−−→−+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−−−→−---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14122321342292724120191702332987122312-71613-1142-33-275-43r r r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2019170201917020191709871⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→0000000010010000000010987117201719171317317201719 得解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====--lx k x x x l k lk 4321172017191713173 (5) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+-+=-+-=+-+43212523223124321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：4324131211112111121111322323223232232511210224002240211340224300003r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪+------ ⎪ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪----→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭,最后一列为（0,0,0,0,3），所以方程组无解.(6) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-++=+++=-+-=-++225512221321231323214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：52324431232212311123111010032111048220112023111015310065122221101120000003 (15520)20000000000r r r r r r r r rr r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----↔ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪⎪ ⎪→---- ⎪ ⎪ ⎪-→--- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭511006671010665100166000000000⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 一般解为 1234156617661566x k x k x kx k⎧+⎪⎪⎪-⎪⎨⎪+⎪⎪⎪⎩====, k 为任意数.2. 把向量β表成向量α1，α2，α3，α4的线性组合. (1) 解：设β=x 1α1+ x 2α2+ x 3α3+ x 4α4，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒=+--=-+-=--+=+++41414145112143214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .432141414145ααααβ--+=(2) 解：设β=x 1α1+ x 2α2+ x 3α3+ x 4α4，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=+++=++010110300024321421424321321x x x x x x x x x x x x x x x x , 即β=α1-α3. 3. 证明：如果向量组α1，α2，…, αr 线性无关，而向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关，则β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出.证明：因为向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关,所以存在k 1, k 2, ,k r , l 不全为0，使11220r r k k k l αααβ+++=.若l =0, 则k 1,,k r 不全为0，于是存在不全为零的数k 1,,k r 使得011=+r r k k αα 与α1，α2，…, αr 线性无关矛盾. 所以l0，则r s lkl k l k αααβ)()()(2211-++-+-= . 即β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出.证法2. 由于向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关,所以存在k 1, k 2, ,k r , l 不全为0，使11220r r k k k l αααβ+++=. 若l =0, 则得11220r r k k k ααα++=. 因为向量组α1，α2，…, αr 线性无关，所以021====r k k k . 与k 1, k 2, ,k r , l 不全为0矛盾. 所以l0，这样r s lkl k l k αααβ)()()(2211-++-+-= . 即β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出.4. 设αi =(a i1,a i2,…,a in ), i=1,2,…,n, 证明如果|a ij |0, 则α1，α2，…, αn 线性无关.证明：设x 1α1+x 2α2++x n αn =0，则11121211212222112200n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为系数行列式()0T ij ij a a =≠，由Cramer 法则, 上面的方程组有唯一解, 即只有零解，得n x x x === 21=0,于是α1,α2,αn 线性无关.5. 设t 1,t 2,…,t r 是互不相同的数(rn)，证明αi =(1, t i , t i 2,…,t i n -1), i=1,2,…,r 线性无关.证法1：添加t r +1,,t n , 使t 1, t 2,,t r , t r +1,,t n 两两不同, 得向量组αi =(1, t t , t t 2,…,t t n -1) i =1,2,...,n .由于α1,α2,,αn 的分量作成一个Vandermonde 行列式且不等于0，由上一题，α1,α2,,αr ,,αn 线性无关，于是它的任一部分组线性无关.证法2：因为rn, 所以令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1121121111n r n n r t t t t t t A ,则A 的前r 行作成一个r 阶范德蒙行列式B, 从而非零. 于是B 的列向量线性无关, 增加分量后为A 的列向量, 所以A 的列向量也线性无关. 证法3. 设x 1α1+x 2α2++x r αr =0, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121r n r n n rr r x t x t x t x t x t x t x x x (1) 考虑(1)的前r 个方程作成的齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121r r r r r rr r x t x t x t x t x t x t x x x (2) 因为t 1, t 2,,t r 两两不同, 所以(2)的系数行列式为r 阶Vandermonde 行列式0111||11211211≠=---r r r r rt t t t t t A. 于是线性方程组(2)有唯一的零解. 又由于(1)的解都是(2)的解, 而(2)只有零解,所以(1)只有零解. 即r x x x === 21=0,于是α1,α2,αr 线性无关.6. 假设α1, α2，α3线性无关，证明β1=α2+α3，β2=α3+α1，β3=α1+α2线性无关. 证法1：设x 1β1+x 2β2+x 3β3=0，则(x 2+x 3)α1+(x 3+x 1)α2+(x 1+x 2)α3=0由于α1, α2, α3线性无关得：23013012x x x x x x +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，该齐次线性方程组只有零解. x 1= x 2=x 3=0，因而β1, β2, β3线性无关.证法2: 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++110011101),,(),,(321133221ααααααααα, 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110011101A 可逆, 所以两个向量组等价. 又已知向量组α1, α2, α3的秩为3，所以后一个向量组的秩也是3，从而后一个向量组也线性无关.注：无论向量组α1,α2,α3,α4线性无关或相关，α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1线性相关. 7. 设向量组A: α1,α2,,α s 的秩为r, 证明向量组A 的任意r 个线性无关的向量组都构成它的一个极大线性无关组. 证明: 设向量组A: α1,α2,,α s 任一线性无关向量组B: αj1, αj2,, α jr , 任取A 中的一个向量β，由于R (A )=r , 所以A 中任意r +1个向量线性相关，有αj1,,αjr , β线性相关，由条件知向量组 B 线性无关，由临界定理，β可以由向量组B 线性表示，故向量组B 是极大无关组. 证法2. 设A:αj1, αj2,, α jr 是α1,α2,,α s 中的任一个线性无关的向量组, β是A中的一个向量, 由于R (A )=r , 所以A 中任意r +1个向量线性相关，有αj1,,αjr , β线性相关，满足极大无关组定义的条件, 所以αj1, αj2,, α jr 是向量组A 的极大无关组.8. 设向量组(I): α1,α2,,α s 的秩为r, αj1, αj2,, αjr 是(I)中的r 个向量，使得(I)中每个向量都可以被它们线性表出，证明αj1, αj2,, α jr 是(I)的极大无关组. 证明：设向量组(I)α1,α2,,αs ，R(A)=r; (II): αj1, αj2,, α jr 是已给向量组，取(I)的极大无关组(III) αk1,αk2,…,αkr , 由条件, (III)可由(II)线性表出, 于是r=R(III)R(II)r. 于是R(II)=r, 即αj1, αj2,, α jr 线性无关, 所以是(I)的极大无关组.9. 证明一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成为一个极大无关组. 证明：设A 是一个n 维向量组，A 1是它的一个线性无关组， 1° 逐个检查A 中的向量i α2° a 、若i α可以由向量组A 1线性表示，则去掉i α，检查下一个αb 、若i α不可以由向量组A 1线性表示，则添加i α到A 1中将A 1扩充为A 2，回到检查第1个向量，重复1°、2°若干步后（∵有限步后，任意n+1个n 维向量也相关，必含停止），得到A 1,A 2 ,…A k , 而A k 不能再扩大，于是A k 是一个极大无关组，且A 1A k .10. 设α1=(1,-1,2,4), α2=(0,3,1,2), α3=(3,0,7,14), α4=(1,2,2,0), α5=(2,1,5,6). (1) 证明α1, α2线性无关.(2) 把α1, α2扩充成一个极大无关组.解(1)：∵α1与α2的分量不成比例，故α1与α2线性无关 (2)：解法1. 考虑α1, α2, α3, ∵3α1+α2 =α3 , 去掉α3.考虑α1, α2,α4,取它们的后三个分量124312280120-=≠，∴增加一个分量后仍然线性无关。

线性代数第3章习题解答(rr)

(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。

（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。

(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。

解：不正确。

例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。

修订版-线性代数习题三答案

第三章线性方程组一、温习巩固1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解：化系数矩阵为行最简式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A因此原方程同解于⎩⎨⎧=+-=023421x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。

2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。

3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。

求向量γ，使βγα=+32。

解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=-T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。

解：将51,ααΛ作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4400000000101102130124220101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。

二、练习提高 ⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题含答案

第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题含答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第三章矩阵的初等变换与线性方程组3.4.1 基础练习1．已知121011251-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭A，求()R A.2．已知32101032100000200000-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪⎝⎭B，求()R B.3．若矩阵,,A B C满足=A BC，则（）. (A)()()R R=A B (B) ()()R R=A C(C)()()R R≤A B (D) ()max{(),()}R R R≥A B C4．设矩阵X满足关系2=+AX A X，其中423110123⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭A，求X.5．设矩阵101210325⎛⎫⎪= ⎪⎪--⎝⎭A，求1()--E A.6．A是m n⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组=Ax b中方程个数少于未知数个数，那么( ). (A) =Ax b必有无穷多解； (B) 0=Ax必有非零解；(C) 0=Ax仅有零解； (D) 0=Ax一定无解.8．求解线性方程组（1）12312312312333332x x xx x xx x x+-=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩，（2）72315532151011536x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩（3）12341234123420 20 2220 x x x xx x x xx x x x++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩9．若方程组 12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ= .10．若12(1,0,2),(0,1,1)T T ==-αα都是线性方程组0=Ax 的解，则=A ( ).(A)()2,1,1- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ (D)011422010-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.4.2 提高练习1．设A 为5阶方阵，且()3R =A ，则*()R A = .2．设矩阵12332354445037a a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，以下结论正确的是( ). (A)5a =时，()2R =A (B) 0a =时，()4R =A (C)1a =时，()5R =A (D) 2a =时，()1R =A3．设A 是43⨯矩阵，且()2R =A ，而102020103⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则()R =AB .4．设12243311t-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 为3阶非零矩阵，且0=AB ，则t = . 5．设12312323k k k -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A , 问k 为何值，可使（1）()1R =A （2）()2R =A （3）()3R =A .6．设矩阵111111111111kk k k ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭A ，且()3R =A ，则k = .7．设133143134⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，试将A 表示为初等矩阵的乘积. 8．设n 阶方阵A 的个行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组0=Ax 的通解为 .9．设11121314212121213132333441424344a a a a a a a a a a a a aa a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，14131211242322213433323144434241a a a a aa a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭B ，10001010000101000⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭P21000001001000001⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭P ，其中A 可逆，则1-=B .10．设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（）.（A ）当(0)a a =≠A 时，a =B （B ）当(0)a a =≠A 时，a =-B （C ）当0≠A 时，0=B （D ）当0=A 时，0=B11．设a b b b a b b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，若*()1R =A ，则必有（）.（A ）a b =或20a b += （B ）a b =或20a b +≠ （C ）a b ≠或20a b += （D ）a b ≠或20a b +≠12．齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵0≠B ，使得0=AB ，则（）.（A ）2λ=-且0=B （B ）2λ=-且0≠B （C ）1λ=且0=B （D ）1λ=且0≠B13．设A 是三阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得到B ，再把B 的第二列加到第三列得到C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（）.（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭14．已知12324369t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q ，P 为三阶非零矩阵，且0=PQ ，则（）.（A ）6t =时，()1R =P （B ）6t =时，()2R =P （C ）6t ≠时，()1R =P （D ）6t ≠时，()2R =P15．若线性方程组121232343414x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩有解，则常数1234,,,a a a a 应满足条件 .16．设方程组123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多个解，则a = .17．设n 阶矩阵A 与n 维列向量α，若()0TR ⎛⎫= ⎪⎝⎭AA αα，则线性方程组（）. （A ）=Ax α必有无穷多解（B ）=Ax α必有唯一解（C ）00T⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A x y αα仅有零解（D ）00T ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Ax y αα必有非零解.18．设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，则线性方程组()0=AB x （）. （A ）当n m >时仅有零解（B ）当n m >时必有非零解（C ）当m n >时仅有零解（D ）当m n >时必有非零解19．求λ的值，使齐次线性方程组 123123123(3)20(1)03(1)(3)0x x x x x x x x x λλλλλλ+++=⎧⎪+-+=⎨⎪++++=⎩有非零解，并求出通解.20．设 123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时，此方程组有唯一解，无解或无穷多解并在有无穷多解时，求其通解.21．问,a b 为何值时，线性方程组 123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩有唯一解、无解、有无穷多解并求出有无穷多解时的通解.22．问λ为何值时，线性方程组131231234226423x x x x x x x x λλλ⎧+=⎪++=+⎨⎪++=+⎩有解，并求通解.23．已知3阶矩阵A 的第一行为(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，k 为常数.若0=AB ，求线性方程组0=Ax 的通解.24．设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B . （1）证明B 可逆；（2）求1-AB .第三章参考答案3.4.1 基础练习1．()2R =A ． 2．()3R =B ． 3．因为()min{(),()}R R R ≤A B C 故选C ．4．由已知(2)-=A E X A ，因为100386(2,)0102960012129r--⎛⎫ ⎪-−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭A E A 故1386(2)2962129---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A ．5．100231342100⎛⎫- ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭． 6．()R n <A ． 7．B ． 8．（1）无解；（2）211x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）12349,43x x c c R x ⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭． 9．有无穷多解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数的个数得3λ=。

线性代数习题册(第三章矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)

(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X）（X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0

1≤i< j≤n
1
xn

x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；

1
1 0
0
0

a11 a21
a12 a22
a13 a23

=

a21 a11
a22 a12
a23 a13

0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33

第三章_向量与线性方程组补充习题答案

第三章向量与线性方程组补充习题答案1．设有三维列向量123211101,1,1,111λααλαβλλλ⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式惟一；（2）β可由123,,ααα线性表示，且表达式不惟一；（3）β不能由123,,ααα线性表示．【解】设112233x x x αααβ++=，得线性方程组12231110111111x x x λλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其系数行列式2111111(3)111A λλλλλ+=+=++．（1）若03λλ≠≠-且，则方程组有惟一解，β可由123,,ααα惟一地线性表示．（2）若=0λ，则方程组有无穷多个解，β可由123,,ααα线性表示，但表达式不惟一．（3）若=-3λ，则方程组的增广矩阵211003-318A 121303312112911290006033121129-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭可见方程组得系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩，故方程组无解，从而β不能由123,,ααα线性表示．2．设向量组T a )10,2,(1=α，T )5,1,2(2-=α，.),,1(,)4,1,1(3T T c b =-=βα试问：当a,b,c 满足什么条件时，（1）β可由321,,ααα线性表出，且表示唯一？（2）β不能由321,,ααα线性表出？（3）β可由321,,ααα线性表出，但表示唯一？并求出一般表达式。

【解】设有一组数321,,x x x ，使得 βααα=++332211x x x ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=--cx x x b x x x x x ax 3213213214510212该方程组的系数行列式=A .4451011212--=--a a（1）当4-≠a 时，行列式≠A 0，方程组有唯一解，β可由321,,ααα线性表出，且表示唯一；（2）当a=－4时，对增广矩阵作行初等变换，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1300012100101245101121124c b b b c b A若3b-c ≠1，则秩r(A)≠秩r(A ), 方程组无解，β不能由321,,ααα线性表出；（3）当a=-4且3b-c=1时，秩r(A)=秩r(A )=2<3，方程组有无穷多组解，β可由321,,ααα线性表出，但表示唯一。

线性代数第三章习题及解答

43

3 5 5
2 2 1 5 2 0 0 0 −1 1 0 0
−1 3 0
1

3
6. 设 α1 , α2 , . . . , αn 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e1 , e2 , . . . , en 能由它们线性表示，证明 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关.
4 1 −1 1 −2 −22 1 −2 −1 3 6
−24 −11 3 −2 1 −2 −1 0 11 −→ 10 5 −20 0 0 0

10 0
5 9 1 T T 齐次方程的基础解系为 ξ1 = ( 21 11 , 11 , 1, 0) , ξ2 = (− 11 , 11 , 0, 1)
α4 = 8 α − α2 + 2α3 5 1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 −1 (2) 3 2 0 3 −1 1 1 0 4 −1 1 1 2 2 1 1 1 0 2 1 5 −1 0 2 解： 2 0 3 −1 3 −→ 0 0 1 1 0 4 −1 0 0 α1 α2 α3 α4 α5 1 1 0 4 −1 1 0 0 1 0 1 0 3 −1 3 −→ 0 1 0 0 0 1 −1 1 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3 α4 = α1 + 3α2 − α3 , α5 = α3 − α2
T
− 20 83
5 83

− 17 83

[整理版]线性代数习题三答案

3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。

求向量γ，使βγα=+32。

解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ4. 求向量组,)0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321T T T T -===-=ααααT )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。

解：将51,αα 作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=44000000010110213012422101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。

二、练习提高⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。

线性代数课本第三章习题详细答案

第三章课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零，故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾，所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα，又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关；解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。

高等代数第三章答案

第三章线性方程组习题解答1.用消元法解下列方程组：⑴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++-=--+--=+-++=-++12343212231453543215432154321543214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+--=+-+2521669972543223312325432154321543215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x⑶⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-33713344324324214324321x x x x x x x x x x x x x ⑷⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⑸⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+-+=-+-=+++43212523223124321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⑹⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-++=+++=-++=-++225512221321231323214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⑴对它的增广矩阵作初等行变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------00101000000000020*********1001001110000000000200212300101201001110007770005750212300104531213410215470213450212300104531111121311141311121112231104531即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=+=-0022214235441x x x x x x x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--====+=k x x k x x k x 220153421 k 为任意常数 ⑵无解⑶0,6,3,84321===-=x x x x⑷任意43432431,,17201719,1713173x x x x x x x x -=-=⑸无解 ⑹651,671,651434241x x x x x x +=-=+=2.把向量β表成4321αααα，，，的线性组合：⑴()()()()()1,1-1-11-1,1-11-1-,1,11,1,1,111,2,14321，，，，，，，，，，=====ααααβ ⑵()()()()()1-1-1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,11,0,0,04321，，，，，，=====ααααβ 解：⑴令44332211ααααβk k k k +++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++,1,1,2,14321432143214321k k k k k k k k k k k k k k k k 解得,41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααβ--+=⑵仿上，可得31-ααβ=3.证明：如果向量组r ααα，，， 21线性无关，而βααα,21r ，，，线性相关，则向量β可由r ααα，，， 21线性表出。

《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答

例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得

3线性方程组典型习题解析

3 线性方程组3.1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式)3.1.1 基本概念1、方程组1111221n 12112222n 2m11m22mn mx x b x x b x x b a a a a a a a a a +++=⎧⎪+++=⎪*⎨⎪⎪+++=⎩ 称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组，i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零，则该线性方程组称为非齐次线性方程组； ii)若12m b =b ==b 0= ，则该线性方程组就是齐次线性方程组，这时，我们也把该方程组称为1111221n 12112222n 2m11m22mn mx x x x x x a a a a a a a a a +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ c c c 的导出组，（其中12m c ,c ,...c 不全为零）2、记11111221n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=则线性方程组（*）又可以表示为矩阵形式 x b A =**3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2,n a a a α⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则上述方程游客一写成向量形式1122n nx x x b.ααα+++=*** 。

同时，为了方便，我们记(,b)A A =，称为线性方程组（*）的增广矩阵。

3.1.2 线性方程组解的判断1、齐次线性方程组x 0A =，（n=线性方程组中未知量的个数对于齐次线性方程组，它是一定有解的（至少零就是它的解）， i)那么，当r n A =秩()=时，有唯一零解；ii)当r n A =秩()<时，又非零解，且线性无关解向量的个数为n-r. 2、非齐次线性方程组x b A =()<() ()=()=n , ()=()()=()<n ,n ().()>() A A A A A A A A A A A ⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩秩秩无解；秩秩有唯一解，秩秩秩秩有无穷多解，且基础解系个数为 -秩秩秩不可能 3.1.3 线性方程组的解空间 1、齐次线性方程组的解空间（作为线性方程组的一个特殊情形，在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解的关系，我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间）定理：对于数域K 上的n 元齐次线性方程组的解空间W 的维数为 A dim(W)=n-秩()=n-r ，其中A 是方程组的系数矩阵。

线性代数习题答案第三章

阶子式例如 R(A)3 是等于0的2阶子式是等于0的3阶子式 7 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问A B的秩的关系怎样?
解 R(A)R(B) 这是因为B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不会小于B的秩
8 求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是 (1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)
解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量
B~ 于是R(A)2 而R(B)3 故方程组无解
(2) 解对增广矩阵B进行初等行变换有
B~ 于是即 (k为任意常数)
(3) 解对增广矩阵B进行初等行变换有
B~ 于是即 (k1 k2为任意常数)
(4) 解对增广矩阵B进行初等行变换有
B~ 于是即 (k1 k2为任意常数)
14 写出一个以为通解的齐次线性方程组
A~D D~B 由等价关系的传递性有A~B
11 设问k为何值可使
(1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3 解 (1)当k1时 R(A)1 (2)当k2且k1时 R(A)2 (3)当k1且k2时 R(A)3
12 求解下列齐次线性方程组: (1) 解对系数矩阵A进行初等行变换有
A~ 于是故方程组的解为
3 试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵
(1) 解~ ~~ ~ 故逆矩阵为 (2)
解 ~ ~ ~ ~ ~
故逆矩阵为 4 (1)设求X使AXB 解因为
所以 (2)设求X使XAB 解考虑ATXTBT 因为
所以从而
5 设 AX 2XA 求X 解原方程化为(A2E)X A 因为
所以 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r1阶子式也可能存在等于0的r

第3章_线性方程组习题解答

习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .解对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量），令1=z ，得到方程组的一个基础解系T )1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为,)1,27,211(Tk k --=ξk 为任意常数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．解对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B =)(0000031100065011067011行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量），令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解解原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ，即0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-5521212432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−000001100000121C =，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-124321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量），令TT x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量），令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)(0,0)T Tx x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ．解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311，因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ．解方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解．（2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ，对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解，与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩，即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量），令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量），令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组．解由已知，1(2,3,1,0)T ξ=-和2(2,4,0,1)Tξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα,方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫⎪= ⎪--⎝⎭,即12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a，的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证Tn b b b ),,,(21 =β是向量组T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α,,),,,(21mn m m m a a a =α的线性组合．证把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组111122111221122000n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩, 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组12,,,m ααα和12,,,,m αααβ的秩相同，故β可由12,,,m ααα线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12T n b b b b =，其中,i j a b 不全为零1,,i m =，1,,j n =，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b aa b a b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,0000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆，记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -=，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ）若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解；（B ）若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解；（C ）若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解；（D ）若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（ⅰ）AX O =；（ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）．（A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解；（B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解；（C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解；（Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解；（Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解；（Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ．解（法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩，对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解（法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，(1)当 12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关．又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可．由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证（１）反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．证（2）反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k -，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++=，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -不全为零矛盾,故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********，的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a 的秩，试证这个方程组有解．证令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212120n n n n nn n na a ab a a a b B a a a b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r n r n r A A A A 当当当. 证若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=．B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =．证因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。

《高等代数1》复习练习题(三)——第三章线性方程组(参考解答)

《高等代数1》复习练习题（三）——第三章线性方程组（解答）（供2017级数学与应用数学专业使用）一、填空题1、设23(,2,1),(2,3,0),(1,1,1)T T T k ααα1==-=-，则当1k =-时，向量组321,,ααα线性相关. 2、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=403212221A ，向量(,1,1)Ta α=，已知向量组,A αα线性相关，则1a =-.3、设向量组123(,0,),(,,0),(0,,)T T T a c b c a b ααα===线性相关,则,,a b c 必满足关系式 abc=0 .4、线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a -=-=-=-=有解的充分必要条件是_____________.5、设33⨯矩阵A 的秩()1r A =，23(1,1,2),(2,0,1),(1,2,3)T T T ααα1===是线性方程组AX β=的三个特解，则对应导出组0AX =的基础解系是121323,αααααα---中任意两个向量.6、设33⨯矩阵A 的秩()2r A =，A 的各行元素之和均为零，则齐次线性方程组0AX =的通解是(1,1,1)T k .7、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ有非零解，则=λ1．8、设齐次线性方程组12312312300x x x x kx x kx x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解，则k 应满足的条件是1k ≠.9、.齐次线性方程组1231231232302340x x x x ax bx x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，当且仅当,a b 满足关系式1(1)2a b =+.10、若线性方程组b AX =有解，且秩()A r =，则秩()A =r ．二、选择题 1、设12,,,s ααα均为n 维向量,下列结论不正确的是 ( B ).(A)若对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ,都有1122+++≠s s k k k ααα0,则12,,,s ααα线性无关.(B)若12,,,s ααα线性相关,则对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ,都有1122+++=s s k k k ααα0.(C)向量组12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s . (D)向量组12,,,s ααα线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.2、设向量组123(,2,1),(2,,0),(1,1,1)TTTt t ααα===-线性无关，则( D )．（A ）3t ≠-且2t ≠. （B ）3t =或2t =-. （C ）3t =-或2t =. （D ）3t ≠且2t ≠-.3、设向量T T T T )4,0,1,1(,)1,3,0,2(,)5,1,2,0(,)2,2,1,1(4321=-===αααα，则向量组4321,,,αααα的秩等于( C ).(A)1． (B) 2． (C)3． (D)4． 4、设12,,,m ααα是一n 维向量组，它的秩12(,,,)=<m r r m ααα，则下面说法不正确的是( A ).(A)向量组12,,,m ααα中任意一个向量都能由其余向量线性表出.(B)向量组12,,,m ααα线性相关.(C)向量组12,,,m ααα与其任一极大无关组等价.(D)向量组12,,,m ααα中任意r 个线性无关的向量都构成其极大无关组.5、设0=AX 是非齐次方程组AX β=所对应的导出组，则下列结论正确的是 ( D ).(A)若0=AX 仅有零解，则AX β=有唯一解．(B)若0=AX 有非零解，则AX β=有无穷多解． (C)若AX β=有无穷多解，则0=AX 仅有零解． (D)若AX β=有无穷多解，则0=AX 有非零解．6、若A 是n 阶方阵，β是n 维非零向量，且齐次线性方程组0=AX 有非零解，则下列结论中不会发生的是( B ).(A)AX β=无解. (B)AX β=有唯一解. (C)AX β=有无穷多解. (D)()r A n <.7、非齐次线性方程组AX β=中未知量个数为n ，方程个数为m ，()r A r =，则 ( A )(A)r m =时，AX β=有解. (B)r n =时，AX β=有唯一解. (C)m n =时，AX β=有唯一解. (D)r n <时，AX β=有无穷多解. 8、设A 为m n ⨯矩阵，且()1r A n =-，12,αα是非齐次线性方程组AX β=的两个不同的解向量，k 为任意常数，则0AX =的通解为( A ).（A ）12()k αα-；（B ）12()k αα+；（C ）1k α；（D ）2k α. 9、设12,,,s ααα均为n 维向量，下列结论正确的是( B ) .(A) 若1122s s k k k ααα+++=0，则12,,,s ααα线性相关.(B) 若对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ，都有1122s s k k k ααα+++≠0，则12,,,s ααα线性无关.(C) 若12,,,s ααα线性相关，则对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ，都有1122s s k k k ααα+++=0.(D) 若12000s ααα+++=0，则12,,,s ααα线性无关.三、判断题 1、如果当120n k k k ===≠时，11220n n k k k ααα+++=，则向量组12,,,nααα线性相关. （ √ ）2、如果12(,,,),1,2,,i i i in a a a i s α==线性相关，则向量组1212(,,,,,,,),1,2,,i i i in i i im a a a b b b i s β==也线性相关.（ X ）3、若123,,,αααβ线性相关，则β可由向量组123,,ααα线性表出.（ X ）4、若β不能由向量组123,,ααα线性表出，则123,,,αααβ线性无关.（ X ）5、若向量12,,,s ααα线性相关，则其中每一个向量皆可由其余向量线性.（ X ）6、非齐次线性方程组的两个解的和不再是它的解. （ √ ）7、方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解. （ X ）8、设12,αα线性相关，12,ββ也线性相关，则1122,αβαβ++线性相关. （ X ）9、若线性方程组AX β=有无穷多个解，则0AX =一定有非零解. （ √ ） 10、若线性方程组0AX =有非零解，则AX β=一定有无穷多解.（ X ）四、计算题1、求向量组1234(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,1,2,0),T T T T αααα=-===-5(2,1,5,6)T α=的秩及一个极大线性无关组，并用极大线性无关组线性表示其余向量．解：对以12345,,,,ααααα为列的矩阵作行初等变换化为阶梯形矩阵.1234510312103121301103303(,,,,)21725011014214060224210312131203303011010000000011000440000010301011010001100000ααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪→ ⎪⎪⎝⎭所以，向量组12345,,,,ααααα的秩是3，124,,ααα是其一个极大线性无关组，且31251243,ααααααα=+=++.2、已知向量组123(0,1,1),(,3,1),(,1,0)T TT a b βββ=-==与向量组123(1,2,3),(2,1,1),(3,0,1)T TT ααα=-=-=具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表出，求,a b ．解：令1231231233(,,),(,,),(,,,)A B A αααβββαααβ===则由条件可知，A 与B ，A 与A 由相同的秩.因为1233123123(,,,)2101036123110051031231231000105103510510300015b b A b b b b b b b b αααβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→-→ ⎪⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭12300004(,,)131041041110110110110041004a b a b a b B a b βββ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭所以，2=秩A =秩B =秩A ，于是10,1045a b b -=-=，故20,5a b ==. 3、设四元非齐次线性方程组=AX β的系数矩阵A 的秩为2，已知它的三个解向量为123,,ηηη,其中123(4,3,2,1),(1,3,5,1),(2,6,3,2)===-T T T ηηη，求该方程组的通解.解：因为123,,ηηη是=AX β的解，所以12(3,0,3,0)T ηη-=-，13(6,3,1,1)T ηη-=---是0AX =的解，且1213,ηηηη--线性无关.又因为()2r A =，所以0AX =的基础解系含有两个解向量，于是1213,ηηηη--是0AX =的一个基础解系.故=AX β的通解是1112213()()c c ηηηηη+-+-（12,c c F ∈）4、设向量1234,,,αααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，若112223334441,,,t t t t βααβααβααβαα=+=+=+=+，试问：当实数t 满足什么关系时，1234,,,ββββ也是0AX =的一个基础解系？解：因为1234,,,αααα是0AX =的基础解系，所以1234,,,αααα的线性组合1234,,,ββββ也是0AX =的解. 因此，当1234,,,ββββ线性无关时，1234,,,ββββ也是0AX =的一个基础解系.因为12341234100100(,,,)(,,,)010001t t t t ββββαααα⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭所以，1234,,,ββββ线性无关⇔1234||0ββββ≠⇔410010010010001ttt tt=-≠⇔1t ≠±.故当1t ≠±时，1234,,,ββββ也是0AX =的一个基础解系.5、设3阶非零矩阵A 的每一个列向量都是方程组1231231232020330x x x x x ax x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+ -=⎩的解，求常数a 和行列式A ．解：设123(,,)A βββ=，其中123,,βββ是A 的列向量，则123,,βββ不全为零，且是已知方程组的解，于是已知方程组由非零解，从而其系数矩阵行列式为零，即11211221034120313023a a a ---=-+=-+=--所以12a =. 设已知方程组的系数矩阵为B ，则B O ≠，且123123(,,)(,,)(0,0,0)BA B B B B O ββββββ====若||0A ≠，则A 可逆，从而111()()B BE B AA BA A OA O ---=====，矛盾，所以||0A =.6、讨论常数a 为何值时，线性方程组123123123112ax x x x ax x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪+ +=-⎩无解、有唯一解、有无穷多解?在有无穷多解的情况下，求出其全部解．解：对线性方程组的增广矩阵作行初等变换得22111011120024211101130113112112112112011300(2)(1)2(2)a a a a a a a A a a a a aa a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫--+--+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪+-+⎝⎭1）当1a =时，秩1A =≠秩2A =，方程组无解. 2）当1,2a ≠-时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解. 3）当2a =-时，秩2A ==秩3A <，方程组有无穷多解：13231,1x x x x =+=+（3x 是自由未知量）7、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+++=+--330)1(31432321321x ax x a x x x x x ，问a 为何值时，此方程组：（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？在有无穷多解的情况下，试用其导出组的基础解系表出全部解．解：对线性方程组的增广矩阵作行初等变换得21411141114111310012101210330330233112012100(3)(1)3A a a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+→-+→-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪→-+ ⎪ ⎪+-+⎝⎭1）当1,3a ≠-时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解.2）当1a =时，秩2A =≠秩3A =，方程组无解.3）当3a =-时，秩2A ==秩3A <，方程组有无穷多解：132314,1x x x x =-+=--（3x 是自由未知量）8、讨论常数,a b 为何值时，线性方程组1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪+ +=⎩无解、有唯一解、有无穷多解?在有无穷多解的情况下，求出其全部解．解：对线性方程组的增广矩阵作行初等变换得1140114301142113113101212140010010114210121012011420014200(1)142a ab a a a a A bb b b b a a a a ab b b ab b a b ab -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+--+⎝⎭⎝⎭1）当11,2a b =≠或0b =时，秩2A =≠秩3A =，方程组无解.2）当1,0a b ≠≠时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解. 3）当11,2a b ==时，秩2A ==秩3A <，方程组有无穷多解： 1322,2x x x =-=（3x 是自由未知量）9、对于线性方程组123123123322x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩(1)λ取何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解；(2)在方程组有无穷多解时，试用其对应齐次线性方程组的基础解系表示方程组通解．解：对线性方程组的增广矩阵作行初等变换得2211301133112011011211200233112011001101120(2)(1)3(1)A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫----⎛⎫⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫----⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭（1）1）当2λ=-时，秩2A =≠秩3A =，方程组无解. 2）当1,2λ≠-时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解. 3）当1λ=时，秩1A ==秩3A <，方程组有无穷多解.（2）在方程组有无穷多解时，与原方程组同解方程组为1232x x x ++=-，令230x x ==，得特解0(2,0,0)γ=-.与原方程组同解方程组对应的齐次线性方程组同解方程组为1230x x x ++=，所以对应的齐次线性方程组的基础解系为12(1,1,0),(1,0,1)ηη=-=-.所以原方程组的通解为：01122k k γγηη=++（12,k k 是任意数）. 五、证明题1、设向量组123,,ααα线性无关，证明向量组12αα+，23αα+，31αα+也线性无关．证明：设112223331()()()0k k k αααααα+++++=则131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=因为123,,ααα线性无关，所以131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得1230k k k ===，故122331,,αααααα+++线性无关.2、证明向量组12233441,,,αααααααα++++线性相关．证明：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=则141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα+++++++=考虑齐次线性方程组141223340000k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩其系数行列式1001100110110011001111001100110010011=-=-=所以齐次线性方程组有非零解. 于是存在不全为零的数1234,,,k k k k ，使得112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=成立，故12233441,,,αααααααα++++线性相关.3、设向量组123,,ααα线性无关，证明向量组1223312,2,32αααααα---也线性无关．证明：设112223331(2)(2)(32)0k k k αααααα-+-+-=则131122233(22)()(23)0k k k k k k ααα-+-++-+=因为123,,ααα线性无关，所以1312232200230k k k k k k -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩解得1230k k k ===，故1223312,2,32αααααα---线性无关.4、设向量组123,,ααα线性无关，证明向量组123123,2322,αααααα++-+123355ααα+-线性相关．证明：设112321233123()(2322)(355)0k k k ααααααααα+++-+++-=则123112321233(23)(35)(225)0k k k k k k k k k ααα+++-+++-=因为123,,ααα线性无关，所以1231231232303502250k k k k k k k k k ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 解得1323192,95k k k k =-=，取35k =，得1219,2k k =-=使得 112321233123()(2322)(355)0k k k ααααααααα+++-+++-=故123123123,2322,355ααααααααα++-++-线性相关.5、已知向量组1234,,,αααα线性无关，证明向量组12233441,,,αααααααα+++-也线性无关.证明：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα++++++-=则141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα-++++++=因为1234,,,αααα线性无关，所以141223340000k k k k k k k k -=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解得12340k k k k ====，故12233441,,,αααααααα+++-线性无关.6、设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 是n n ⨯矩阵，试证明：（1）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα也线性相关；（2）若A 可逆，且12,,,s A A A ααα线性相关，则12,,,s ααα也线性相关.证明：（1）因为12,,,s ααα线性相关，所以存在不全为零的数12,,,s k k k ，使得1122440k k k ααα+++=从而有11221122()00s s s s k A k A k A A k k k A αααααα+++=+++==故12,,,s A A A ααα线性相关.（2）因为12,,,s A A A ααα线性相关，所以存在不全为零的数12,,,s k k k ，使得1122440k A k A k A ααα+++=从而有11221122()0s s s s A k k k k A k A k A αααααα+++=+++=由A 可逆，得1122440k k k ααα+++=.故12,,,s ααα线性相关.7、已知向量组123,,ααα与122331,,αααααα+++ （1）证明123,,ααα与122331,,αααααα+++等价；（2）证明123,,ααα线性相关的充分必要条件是122331,,αααααα+++线性相关．证明：（1）首先，122331,,αααααα+++显然可由123,,ααα线性表示. 其次，由1122331212233131223311[()()()]21[()()()]21[()()()]2ααααααααααααααααααααα⎧=+-+++⎪⎪⎪=+++-+⎨⎪⎪=-+++++⎪⎩可知，123,,ααα可由122331,,αααααα+++线性表示. 故123,,ααα与122331,,αααααα+++等价.8、已知非齐次线性方程组123423423412340221(3)21321x x x x x x x x a x x x x x bx + + +=⎧⎪ ++=⎪⎨ - +--=-⎪⎪+ ++=-⎩ 有3个线性无关的解，证明：系数矩阵A 的秩等于2，并求,a b 的值及方程组的通解．证明：设123ξξξ，，是方程组的3个线性无关解，则1213ξξξξ--，是导出组0AX =的两个解.若1213()()0k l ξξξξ-+-=，则有123()0k l k l ξξξ+--=，于是由123ξξξ，，线性无关可得0k l ==，所以1213ξξξξ--，是导出组0AX =的两个线性无关解，因此，0AX =的基础解系所含向量个数不少于2，即有4()2A -≥秩. 所以有()2A ≤秩.因为系数矩阵111101220132321A a b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪--- ⎪⎝⎭，有一个2阶子式111001=≠，所以有()A ≤2秩，故()=2A 秩.对增广矩阵A 做行初等变换，有313242311110111100122101221=013210132132110123111110012210010000010r r r r r r A a a b b a b -++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-------- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭于是由()=2A 秩，有1010a b -=⎧⎨-=⎩，即11a b =⎧⎨=⎩.因此有31324212311110111100122101221=012210122132111012211111010111012210122100000000000000000000r r r r r r r r A -++-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−−−→⎪⎪--------⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的通解为1342341122x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.9、设12,,,n ααα均为n 维线性无关列向量，A 是n n ⨯矩阵，试证明：12,,,n A A A ααα线性无关⇔A 可逆．证明：（⇒）因为12n ααα，，，线性无关，所以以12n ααα，，，为列的n n ⨯矩阵12()n B ααα=可逆.因为12,,,n A A A ααα线性无关，所以矩阵1212()()n n C A A A A AB αααααα===可逆，从而1A CB -=可逆．（⇐）若有数12n k k k ，，，，使得11220s n k A k A k A ααα+++=则有1122()0n n A k k k ααα+++=由A 可逆可得11220s n k k k ααα+++=因为12,,,n ααα线性无关．所以120n k k k ====，故12,,,nA A A ααα线性无关.。

高等代数(北大版)第3章习题参考答案

第三章线性方程组1．用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-+=-⎪⎪-+--=⎨⎪-++-=⎪⎪++-+=-⎩ 124512345123451234523213322)23452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-+=⎩ 1234234124234234433)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨+++=⎪⎪-++=-⎩ 123412341234123434570233204)411131607230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=-⎩ 123412341234123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=-⎪⎪-+-=⎩ 12341234123412341232313216)23122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎪⎪+++=⎨⎪++-=⎪⎪++=⎩ 解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→------⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦10210110010100321200021200200000200000000000000001110010000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦因为()()45rank A rank B ==<，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1415324122200x x x x x x x -=⎧⎪+=-⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩，解得123451022x k x k x x k x k=+⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=--⎩ 其中k 为任意常数。

工程数学第3章线性方程组习题答案

'1 , '2 , , 'n 线性无关时， 1 , 2 , , n 也线性无关。
证明：当 1 , 2 , , n 线性相关时，存在不全为0的一组常数
1 , 2 , , n 使得 11 22 nn 0
11 21 m1 12 22 m2 m 0 即 1 2 1n 2n mn
k11 k2 2 km m 0
k1 1 1 k2 2 2 km m m 0 因此，
所以 1 1 , 2 2 ,, m m 这种证法是否正确？也线性相关。
k11 k2 2 km m 0
i (1, ti , ti2 ,, tin1 ) (i 1,2,, r, r n) 线性无关。
证明：将该向量组的向量当成行向量，写成 r n 矩阵形式：
1 1 A 1 1 1 A 1
t12 t1n1 2 n 1 t2 t2 t2 2 n 1 tr tr tr t1
解：如果两组向量所对应的系数 k1 , k2 , , km 一致，
则该证法正确，否则不一定。
5. 举出一个线性相关的例子，使其中存在非0向量不能用其余向量线性表出。解：任意一组线性无关的向量外加一个0向量即可。
6. 设向量能用向量组 1 , 2 ,, m 线性表出，且表示方式是唯一的，试用反证法证明 1 , 2 ,, m 必线性无关。证明：假设 1 , 2 ,, m 线性相关，则至少存在一个 i 可以被其余向量线性表出，即

第3章线性方程组习题解答

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