第3章线性方程组习题解答
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3章-线性方程组习题解答
2
习题3
3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）
⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .
解 对系数矩阵施行行初等变换，得
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=144072021
1873153211A
)
(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-−→−
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛−→−，
与原方程组同解的齐次线性方程组为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=+0270211
z y z x ，
即
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量），
3
令1=z ，得到方程组的一个基础解系
T
)1,2
7,211(--
=ξ,
所以，方程组的通解为
,)1,2
7,211(T
k k --
=ξk 为任意常数．
（2）
⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=++++0
86530543207224321
432154321x x x x x x x x x x x x x .
解 对系数矩阵施行行初等变换，得
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A
)
(7000014101072
211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201
)
(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛−→−，
与原方程组同解的齐次线性方程组为
⎪⎩⎪
⎨⎧==+=++000
25
42431x x x x x x ，
4
即
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=--=025
42431x x x x x x （其中4
3
,x x 是自由未知
量）， 令3
4(,)
T
x x =(1,0)T
，(0,1)T
，得到方程组的一个基础
解系
T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ，
所以，方程组的通解为
=+2211ξξk k T
T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，2
1
,k k 为
任意常数．
（3）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0
74242043624020
3543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．
解 对系数矩阵施行行初等变换，得
11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--
⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭
11
031022210003100000--⎛⎫
⎪
-
⎪
−−→ ⎪
- ⎪
⎪⎝
⎭
)
(阶梯形矩阵B =
5
)(000003110006501106701
1行最简形矩阵C =⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛----−→−，
与原方程组同解的齐次线性方程组为
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
=-=--=-+03106506
75453
2531
x x x x x x x x ，
即
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
=+=+-=5453
2531
31656
7x x x x x x x x （其中5
3
,x x 是自由未知
量）， 令=T
x x )
,(53
(1,0)T
，(0,1)T
，得到方程组的一个基础
解系
T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T
)1,3
1
,0,65,
67(2=ξ，
所以，方程组的通解为
=+2211ξξk k T
T k k )1,3
1
,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，2
1
,k k 为
6
任意常数．
3-2．当λ取何值时，方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334
有非零解？
解 原方程组等价于
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ,
上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式
067
1
743134=-----λ
λλ，
即
0)756(2=-+λλλ，
从而当0=λ和21
2
3±-=λ时方程组有非零解．
3-3．求解下列非齐次线性方程组： （1）
⎪⎩⎪
⎨⎧=++--=-+-=++-5
5212124321
43214321x x x x x x x x x x x x .
解 对增广矩阵A 施行行初等变换