二次多项式与线性方程组经典习题

二次多项式与线性方程组经典习题
本文档将介绍一些关于二次多项式与线性方程组的经典题，帮助读者加深理解和掌握相关概念和解题技巧。

题一：二次多项式的因式分解
问题描述
已知二次多项式 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的三个根为 $x_1, x_2, x_3$，其中 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$，求二次多项式 $f(x)$ 的因式分解式。

解答步骤
根据韦达定理可知，二次多项式 $f(x)$ 的因式分解式可以表示为：$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$。

根据已知条件 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$，我们可以设 $x_3 = -(x_1 + x_2)$。

代入因式分解式并展开，可得：$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x + x_1 + x_2)$。

因此，二次多项式 $f(x)$ 的因式分解式为 $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x + x_1 + x_2)$。

题二：线性方程组的解
问题描述
已知线性方程组如下：
$$
\begin{align*}
2x + 3y &= 5 \\
4x + 5y &= 11 \\
\end{align*}
$$
求该线性方程组的解。

解答步骤
我们可以使用消元法或矩阵法来求解该线性方程组。

消元法
通过将第一行乘以2，并减去第二行的2倍，可以得到一个新的方程组：
$$
\begin{align*}
2x + 3y &= 5 \\
-1y &= -1 \\
\end{align*}
$$
解第二个方程得到 $y = 1$，然后将其代入第一个方程，解得$x = 2$。

因此，该线性方程组的解为 $x = 2$，$y = 1$。

矩阵法
将该线性方程组表示为矩阵形式 $AX = B$，其中：
$$
A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix},
X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},
B = \begin{bmatrix} 5 \\ 11 \end{bmatrix}
$$
通过计算矩阵 $A$ 的逆矩阵，我们可以得到解向量 $X$：
$$
X = A^{-1}B
$$
求解可得 $X = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$。

因此，该线性方程组的解为 $x = 2$，$y = 1$。

以上就是关于二次多项式与线性方程组的经典习题的详细解答。

希望通过这些习题的练习，读者可以加深对相关概念和解题技巧的
理解与掌握。