二次多项式与线性方程组经典习题

二次多项式与线性方程组经典习题

本文档将介绍一些关于二次多项式与线性方程组的经典题，帮助读者加深理解和掌握相关概念和解题技巧。

题一：二次多项式的因式分解

问题描述

已知二次多项式 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的三个根为 $x_1, x_2, x_3$，其中 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$，求二次多项式 $f(x)$ 的因式分解式。

解答步骤

根据韦达定理可知，二次多项式 $f(x)$ 的因式分解式可以表示为：$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$。

根据已知条件 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$，我们可以设 $x_3 = -(x_1 + x_2)$。

代入因式分解式并展开，可得：$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x + x_1 + x_2)$。

因此，二次多项式 $f(x)$ 的因式分解式为 $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x + x_1 + x_2)$。

题二：线性方程组的解

问题描述

已知线性方程组如下：

$$

\begin{align*}

2x + 3y &= 5 \\

4x + 5y &= 11 \\

\end{align*}

$$

求该线性方程组的解。

解答步骤

我们可以使用消元法或矩阵法来求解该线性方程组。

消元法

通过将第一行乘以2，并减去第二行的2倍，可以得到一个新的方程组：

$$

\begin{align*}

2x + 3y &= 5 \\

-1y &= -1 \\

\end{align*}

$$

解第二个方程得到 $y = 1$，然后将其代入第一个方程，解得$x = 2$。

因此，该线性方程组的解为 $x = 2$，$y = 1$。

矩阵法

将该线性方程组表示为矩阵形式 $AX = B$，其中：

$$

A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix},

X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},

B = \begin{bmatrix} 5 \\ 11 \end{bmatrix}

$$

通过计算矩阵 $A$ 的逆矩阵，我们可以得到解向量 $X$：

$$

X = A^{-1}B

$$

求解可得 $X = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$。

因此，该线性方程组的解为 $x = 2$，$y = 1$。

以上就是关于二次多项式与线性方程组的经典习题的详细解答。希望通过这些习题的练习，读者可以加深对相关概念和解题技巧的

理解与掌握。