高斯小学奥数六年级上册含答案第17讲 整数型计算综合提高
六年级高斯学校竞赛应用题综合二含答案
第17讲应用题综合二内容概述各种具有较强综合性的复杂应用题．包含多种可能情况，需要进行分类讨论的问题；需要进行合理守排对策，以达到最佳效果的问题．典型问题兴趣篇1．有一批砖，每块砖的长和宽都是自然数，且长比宽长12厘米．如图17-1，若把这批砖横着铺，则可铺897厘米长；如图17-2，若竖横相间铺，则可铺657厘米长，请问：如图17-3这样铺，可铺多少厘米长？2．一种商品的定价为整数元，100元最多能买3件，甲、乙两人各带了若干张百元钞票，甲带的钱最多能买7件这种商品，乙带的钱最多能买14件，两人的钱凑在一起就能多买1件，求这件商品的定价．3．小明要写152页字，小强要写150页字．从暑假第一天起，小明一天写3页，天天写；小强第一天写4页，但是隔一天写一次，请问：第多少天写完字后，小强没写的页数是小明没写的页数的2倍？4．现有甲、乙、丙三种食盐水各200克，浓度依次为42%、36%、30%，现在要配制浓度是34%的食盐水420克，至少要取甲种食盐水多少克？5．要生产某种产品100吨，需用A种原料200吨，或B种原料200.5吨，或C种原料195.5吨，或D种原料192吨，或E种原料180吨．现知用A种原料及另外一种（指B、C、D、E 中的一种）原料共19吨生产此种产品10吨．试分析所用另外一种原料是哪一种，这两种原料各用了多少吨？6．某城出租车的计价方式为：起步价是3千米8元，之后每增加2千米（不足2千米按2千米计算）增加3元．现从甲地到乙地乘出租车共支出车费44元；如果从甲地到乙地先步行900米，然后再乘出租车只要41元，那么从甲、乙两地的中点乘出租车到乙地需支付多少钱？7．现有21块巧克力，A、B、C、D、E五个人轮流把这些巧克力吃光了，但不知道他们吃的先后顺序．A说：“我吃了剩下巧克力数量的三分之二．”B说：“我吃了剩下巧克力数量的一半，”说：“我吃了剩下巧克力数量的一半．”D说：“我吃光了剩下的巧克力，”E说：“我们每人吃的数量互不相同．”已知每人吃的数量都是正整数，请问：E吃了多少块巧克力？8．已知A、B、C、D、E、F六人分别看了5、5、6、8、8、10场演出．每场演出票价不变，成人票的票价是儿童票的2倍，且均为整数元．已知这六人买演出票共支出了1026元，求成人票单价．9．甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产上衣，14天生产裤子，共生产448套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产720套衣服．现两厂合并后，100天最多可以生产多少套衣服？10．如图17-4，圆形湖泊周长1200米，除了A点和B之外，每隔100米就有一只蜜蜂，一共十只蜜蜂．它们按照顺时针的方向飞行，各个蜜蜂的速度均标在了图上，单位是“米／秒”，小偷从A点出发沿湖顺时针逃到位于B点的家中，只要被沿途的蜜蜂碰到，小偷就会被蜇一下．请问：小偷最少会被几只蜜蜂蜇到？拓展篇1．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9、17、24、28、30、31、33、44块．甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？2．商店进了一批同样规格的袜子甩卖，为了避免找零，按40%的利润先定价，实际上收取高于“定价×双数”的最小整数元．结果买2双袜子需要5元，3双袜子需要8元，5双袜子需要12元，已知每双袜子的成本和利润都是整数分，求每双袜子的成本．3．甲站有车26辆，乙站有30辆．从上午8点开始，每隔5分钟由甲站向乙站开出一辆车，每隔7.5分钟由乙站向甲站开出一辆车，都经过1小时到达对方车站，问：最早在什么时刻，乙站车辆数是甲站的3倍？总共持续多长时间？4．有4种颜色的卡片每种各3张，每张卡片上写有一个正整数，相同颜色的卡片上写有相同的数，不同颜色的卡片上写有不同的数．把这些卡片发给6个人，每人得到2张不同色的卡片，将上面的数相加，得到了6个和：88、121、129、143、154、187.但是，其中有一个人算错了．请从小到大依次写出四种颜色卡片上所写的数，请写出所有可能．5．生产某种产品100吨，需用A 原料250吨，或B 原料300吨，或C 原料225吨，或D 原料240吨，或E 原料200吨．现知用了A 原料和另外两种原料共15吨生产该产品7吨，每种原料都用了至少1吨，且某种原料占了原料总量的一半，那么另两种原料是什么？分别用了多少吨？6．北京九章书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书200元至499.99元者（包含200元）优惠5%．每次买书500元以上者（包含500元）优惠10%．某顾客到书店买了三次书，如果第一次与第二次合并一起买，比分开买便宜13.5元；如果三次合并一起买比三次分开买便宜39.4元．已经知道第一次的书价是第三次书价的85．问：这位顾客第二次买了多少钱的书？7．甲、乙两人同时从A 地出发，以相同的速度向B 地前进，甲每行5分钟休息2分钟，乙每行210米休息3分钟，甲出发后50分钟到达B 地，乙到达B 地比甲迟了10分钟．已知两人最后一次的休息地点相距70米，求两人的速度．8．货运公司要用若干辆最大载重2.1吨的汽车一次性搬运总重18.6吨的货物．为方便搬运，公司把这18.6吨货物包装成若干箱，每箱重量相同．由于包装规格所限，每箱的重量不能超过320千克，且包装好后，货物只能整箱搬运，不得拆箱．请问：要保证一定能一次搬运所有货物，至少需要多少辆汽车？此时每箱货物重量为多少千克？9．某车间有30名工人，计划要加工A 、B 两种零件，这些工人按技术水平分成甲、乙、丙三类人员，其中甲类人员有6人，乙类有16人，丙类有8人．各类人员每人每天加工两种零件的个数如表17-1所示．如果要求加工A 、B 两种零件各3000个，那么最少要用几天？10．有三个一样大的桶，一个装有浓度为60%的酒精100升，一个装有水100升，还有一个桶是空的．现在要配置浓度为36%的酒精，只有5升和3升的空桶各一个可以作为量具，并且桶上无其他刻度．如果倒溶液的时候最多只允许往每个量具里倒4次，那么最多能配置出浓度为36%的酒精多少升？11．一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙三人从同一地点同时出发，每人环行2周．现有自行车两辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度都是每小时5千米，乙和丙步行的速度都是每小时4千米，三人骑车的速度都是每小时20千米．请你设计一种走法，使三个人两辆车同时到达终点，环行2周最少要用多少分钟？12．幼儿园分大、中、小三个班，小班人数最少，大班比小班多61人，中班共27人．把25筐苹果分给他们，每筐苹果在50至60之间不等．已知苹果总数的个位数字是7，若每人分得19个，则苹果不够；若大班比中班每人多1个，中班比小班每人多一个，则苹果刚好分完．那么按第二种分法，大班每人分得几个苹果？小班有多少人？超越篇1．如图17-5所示，在直角三角形ABC 中，AC 长3厘米，CB 长4厘米，AB 长5厘米．有一只小虫从C 点出发，沿CB 以l 厘米／秒的速度向B 爬行；同时，另一只小虫从B 点出发，沿BA 以1厘米／秒的速度向A 爬行，请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形？（请写出所有答案）2．七个人围坐在圆桌周围，在每个人面前都有一个牛奶杯．第一个人把自己的牛奶都平均分到其余的杯子中去，接着第二个人照样做一遍，然后第三个人到第七个人也同样做一遍．最后发现每个杯子中的牛奶都和最开始时一样多．如果所有杯子的牛奶共有7升，那么第一个人到第七个人的杯子里开始时分别有牛奶多少升？3．甲、乙两人切蛋糕，两人轮流切，每人切走了五块．已知：①甲切了5次蛋糕，每次切走的蛋糕恰是切蛋糕时蛋糕大小的61、62、63、64和65各1次，但不全对应切蛋糕顺序；②乙切了5次蛋糕，每次切走的蛋糕恰是切蛋糕时蛋糕大小的51、52、53、54和55各1次，也是不全对应切蛋糕顺序；③切的最大的两块都是原来蛋糕的91，另外还有一块大小是原来蛋糕的2251．求切的第八块蛋糕与原来蛋糕的大小之比．4．师徒两人共同组装50台机器，每台机器组装必须经过A 、B 两道工序．对于每台机器，师傅操作A 工序需要15分钟，操作B 工序需要5分钟；徒弟操作A 工序需要45分钟，操作启工序需要20分钟，每台机器每道工序只能由一人完成，不同工序可以由不同人分别完成，但必须A 先B 后．试问：如果两人合作至少要花多少分钟才能完成工作？5．甲、乙两人在如图17-6的跑道上练习跑步，两人从A 点同时出发，甲在A 、E 之间做折返跑（转身时间不计），乙则沿着正方形跑道ABCD 顺时针跑步，已知AB=BE=100米，且两人跑步的速度都在每秒3米到每秒8米之间．如果两人出发2分钟后第一次相遇，之后隔了15秒后两人第二次相遇，那么两人第二次相遇处距离A 多远？6．某电器商场开展促销活动，每次消费超过1500元不足3000元者（含1500元）优惠5%，超过3000元者（含3000元）优惠10%．甲、乙、丙三个人各买了一件电器，如果甲、乙一起结算，比分开结算便宜130元；如果甲、丙一起结算，比分开结算便宜260元；如果三人一起结算，比三人分开结算便宜405元．请问：三人购买的电器价格分别是多少？7．某商场进行酬宾，规定现金消费每满50元返回10元礼券，多出不足50元部分不计（比如消费99元只能返回1张10元礼券），用礼券产生的消费不参与返券．妈妈看中了3件商品，分别是100多元、200多元、300多元，且都是10的倍数，更巧的是，有两件商品的价格之和正好是整百．为了充分利用返券，妈妈打算先买其中的两件，然后兑换成返券，这样买第三件商品的时候，就可以用上返券了，当然，如果返券不够买第三件，自己还得再掏一些钱，她合计了一下，这样安排的话，共有三种可能的消费结果：第一种恰好花640元，礼券也用完了；另外两种情况都要花670元，但最后又返回40元礼券．问：三种商品的价格分别是多少元？8．学校运来125个桃和若干个梨，分别平分给每位老师，最后剩下一些梨和桃不够分，这时又运来了26个水果（桃梨若干），和之前剩下的水果凑在一起，再平分给老师，每个老师多分得3个水果（每位老师的桃数相同，梨数相同）．最后又运来40个水果（桃梨若干），但是发现所剩的桃和梨竞不够每位老师同时多拿一个，那么第一次分后剩下了多少个梨？第 17 讲 应用题综合二兴趣篇1、有一批砖，每块砖的长和宽都是自然数，且长比宽长 12 厘米。
高斯小学奥数六年级上册含答案第17讲 整数型计算综合提高
142n；1．1⨯2+2⨯3+3⨯4+L+n⨯(n+1)=n⨯(n+1)⨯(n+2)n⨯(n+1)⨯(n+2)⨯(n+3)4．第十七讲整数型计算综合提高一、多位数计算1．凑整、凑9的思想；2．数字和问题：999L439与一个小于它的数相乘，积的数字和是9×．n个9二、等差数列1．等差数列的“配对”思想；2．求和公式：（1）(首项+末项)⨯项数÷2；（2）中间项⨯项数．3．项数公式：(末项-首项)÷公差+1．4．第n项：首项+(n-1)⨯公差．三、等比数列：等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是：（1）设等比数列的和为S；（2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）（3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果；四、基本公式1．平方差公式a2-b2=(a-b)(a+b)．2．平方求和12+22+32+L+n2=n⨯(n+1)⨯(2n+1)63．立方求和．13+23+33+L+n3=(1+2+L+n)2．五、整数裂项；32．1⨯2⨯3+2⨯3⨯4+3⨯4⨯5+L+n⨯(n+1)⨯(n+2)=14 2 214 （ （ （ 经典题型一、整数数列基本计算1． 公式型计算；2． 平方差公式的应用；3． 整数裂项： （1） 基本裂项：例如 1×2、1×2×3 等；（2） 高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项． 二、计算技巧1． 换元思想；2． 分组思想；3． 裂项思想；4． 数论思想在计算中的应用；例1． （1） 888888882 - 111111112 的计算结果是多少？（2） 888 L43 8 ⨯ 333 L 43 3的计算结果的数字和是多少？ 30个830 个3「分析」（1）还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果， 再算数字和．练习 1、 999999999 ⨯ 999999999 的计算结果的数字和是多少？例2． 某书的页码是连续的自然数 1、2、3、…、9、10、…；小须把这些页码相加时，将其中连续 2 个页码漏掉了，结果得到 2013，那么这本书共有多少页？漏掉的 2 页是多少？「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了．练习 2、把从 1 开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数，例如： 1）， 3，5，7）， 9，11，13，15，17，19，21，23，25），（27，29，L L ，79），（81，83，L L ），那么第 8 组中所有数的和是多少？+ + L + 例3． 对自然数 a 和 n ，规定 a ∇n = a n + a n -1 ，例如 3∇2 = 32 + 3 = 12 ，那么：（1）计算：1∇2 + 2∇2 +L + 30∇2 ；（2）计算： 2∇1 + 2∇2 +L + 2∇10．「分析」首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序．练习 3、对自然数 a 和 n ，规定 a ∇n = a n + a n -1 ，例如 3∇3 = 33 + 32 = 36 ，那么：算式： 1∇3 + 2∇3 + L + 30∇3 的结果是多少？例4． 计算：1⨯ 2+(1+2) ⨯ 4+(1+2+3) ⨯ 6+(1+2+3+4) ⨯ 8+L +(1+2+L +20) ⨯ 40 ．「分析」试着计算几项，寻找一下规律．13 13 + 23 13 + 23 + 33 13 + 23 + 33 + L + 1003 练习 4、计算： + ． 1 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + L + 100例5． 计算：1⨯ 2 + 3 ⨯ 4 + 5 ⨯ 6 + L + 99 ⨯100 ．「分析」这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分．例6． 计算：1!⨯ 3 - 2!⨯ 4 + 3!⨯ 5 - 4!⨯ 6 + L + 2009!⨯ 2011 - 2010!⨯ 2012 + 2011!⨯ 2013 - 2012!「分析」关于阶乘的计算一定牢记： n !⨯ (n + 1) = (n + 1)! ，本题是否有类似计算．数学史上的一代王者——欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家．他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）．欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人．他是把微积分应用于物理学的先驱者之一．欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育．他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过．欧拉是一位数学神童．他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一．欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷．他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人．欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等．欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果．在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作．1733年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26岁的欧拉坐上了科学院的第一把数学交椅．他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居下来，并随遇而安．夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的女儿．后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉．某些传记作家把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可破的习惯．欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一．他很喜欢孩子（他自己曾有13个，但除了5个以外，都很年轻就死了）．他写论文时常常把一个婴儿抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩．他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松．许多关于他才思横溢的传说流传至今．有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文．文章一写完，就放到给印刷者准备的不断增高的稿子堆儿上．当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一打．这样一来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒．由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反．1730年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)当了女皇．就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了．而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治．10年里，欧拉沉默地埋头工作．这中间，他遭受了第一次巨大的不幸．他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了．可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了．欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了．欧拉的专著和论文多达800多种．小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的．（ 1（ （ 作业1. 333333 ⨯ 333333 的计算结果的数字和是多少？2. 甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加 5 个，乙背单词的数量每天增加 1倍，已知第一天二人共背了 33 单词，第二天二人共背了 40 个单词，那么从第几天起乙每天背的单词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？3. 计算： 1）212 + 222 + 232 + L + 402 ； 2）22 + 42 + 62 + L + 422 ； 3） 2+ 32 + 52 L + 232 ， 的结果？4. 计算：1⨯ 39 + 2 ⨯ 38 + 3 ⨯ 37 + 4 ⨯ 36 + L + 39 ⨯1 ．5. 已知一个平方数加上 143 后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？14 14 14 14 1 44 43 L 43 4 L 14141第十七讲 整数型计算综合提高例题：例7． 答案：7777777622222223；270详解：（1）根据平方差公式可得：888888882 - 111111112= (88888888 + 11111111)⨯ (88888888 - 11111111)= 99999999 ⨯ 77777777= 77777777 ⨯ (100000000 - 1)= 7777777700000000 - 77777777= 7777777622222223（2）凑整可得：8882L438 ⨯ 3332L43 3 = 8882L43 8 ÷ 3 ⨯ 3 ⨯3332L43 3 30个8 30个3 30个8 30个3= 296296L4 296 ⨯ 9992L439 = 2962 296295703 2 70370410个296 30个9 9个296 9个703数字和是 270．例8． 答案：这本书共有 64 或 63 页；漏掉的两页是 33、34 或 1、2详解：1 + 2 + 3 + L + 64 = 2080 ．所以共 64 页，差的两个页码的和是 67，所以是 33 页和 34 页．1 +2 +3 + L + 63 = 2016 ．所以也可以数 63 页，差的两个页码的和是 3，所以是 1 页和2 页．例9． 答案：（1）9920；（2）3069详解：（1）根据题目定义的新运算可得：1∇2 + L + 30∇2 = (12 + 1)+ (22 + 2)+ L + (302 + 30)= (12 + L + 302 )+ (1 + L + 30) = 9920 ；（2） 2∇1 + 2∇2 + L + 2∇10 = (21 + 20 )+ (22 + 21 )+ L + (210 + 29)= (21 + 22 + L + 210 )+ (20 + 21 + L + 29 )= 211 - 2 + 210 - 1 = 3069 ．= ⨯ 2 + ⨯ 4 + ⨯ 6L + ⨯ 40 例10． 答案：46970详解：1⨯ 2+(1+2) ⨯ 4+(1+2+3) ⨯ 6+(1+2+3+4) ⨯ 8+L +(1+2+L +20) ⨯ 401⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 20 ⨯ 21 2 2 2 2= 12 ⨯ 2 + 22 ⨯ 3 + 32 ⨯ 4 + L + 202 ⨯ 21= 12 ⨯ (1 + 1) + 22 ⨯ (2 + 1) + 32 ⨯ (3 + 1) + L + 202 ⨯ (20 + 1)= (13 + 23 + L + 203 )+ (12 + 22 + L + 202)= 46970例11． 答案：169150详解：1⨯ 2 + 3 ⨯ 4 + 5 ⨯ 6 + L + 99 ⨯100 = (22 - 2)+ (42 - 4)+ (62 - 6)+ L + (1002 - 100) = (22 + 42 + L + 1002 )- (2 + 4 + L + 100) = 171700 - 2550= 169150例12． 答案：1详解：1!⨯ 3 - 2!⨯ 4 + 3!⨯ 5 - 4!⨯ 6 + L + 2009!⨯ 2011 - 2010!⨯ 2012 + 2011!⨯ 2013 - 2012!= 1!⨯ (1 + 2) - 2!⨯ (1 + 3) + 3!⨯ (1 + 4) - L - 2010!⨯ (1 + 2011) + 2011!⨯ (1 + 2012 ) - 2012! = 1!+ 2!- (2!+ 3!) + (3!+ 4!) - L - (2010!+ 2011!) + (2011!+ 2012!) - 2012!= 1= (12 + 22 + L + 1002 )÷ 2 + (1 + 2 + L + 100) ÷ 2 = ⨯100 ⨯101⨯ 201 ÷ 2 + 5050 ÷ 2 = 171700 ． 练习：练习 1、答案：81简答：原式 = 111111111÷ 9 ⨯ 9 ⨯111111111=12345679⨯ 999999999= 12345678987654321结果数字和为 81．练习 2、答案：9563751简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是 3 的次方，即 1，3，9，27，81，L L ，从而第 8 组第 1 个数为 2187，第 9 个组第 1 个数为 6561，即求 2187 + 2189 + L L + 6559 ，等差数列求和得 (2187 + 6559)⨯ 2187 ÷ 2 = 9563751 ．练习 3、答案：225680简答：1∇3 + 2∇3 + L + 30∇3 = 13 + 12 + 23 + 22 + 33 + 32 + L + 303 + 30212 + 22 + 32 + L + 302 + 13 + 23 + 33 + L + 303 = 225680 ．练习 4、答案：171700简答： 需要借助这样一个公式： 13 + 23 + 33 + L L + n 3 = (1 + 2 + 3 + L L + n )2 ，因此， 原式= 1 + (1+ 2) + (1+ 2 + 3) + L + (1+ 2 + 3 + L + 100) = (1⨯ 2 + 2 ⨯ 3 + 3 ⨯ 4 + L + 100⨯101)÷ 21 6作业6.答案：54简答：333333⨯333333=111110888889，数字和是54．7.答案：6；8简答：设第一天两人分别背了a、b个单词，所以甲第n天背a+5(n-1)个单词，乙第n 天背2n-1b个单词，由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程a+b=33和a+5+2b=40，可求得a和b分别为31和2，可知答案为6；8．8.答案：（1）19270；（2）13244；（3）23009.答案：10660简答：原式=1⨯(40-1)+2⨯(40-2)+L+39⨯(40-39)=40⨯(1+2+L+39)-(12+22+L+392) =10660．10.答案：1或5041简答：设已知关系式为a2+143=b2，应用平方差公式有(b+a)(b-a)=143，然后讨论143的约数知两数和与差分别为143与1，或13与11，所以可得答案为1或5041．。
高斯小学奥数六年级上册含答案第17讲 整数型计算综合提高
第十七讲 整数型计算综合提高一、多位数计算1． 凑整、凑9的思想；2． 数字和问题：与一个小于它的数相乘，积的数字和是9×n ．二、等差数列1． 等差数列的“配对”思想； 2． 求和公式：（1） ； （2） ． 3． 项数公式：．4． 第n 项：．三、等比数列：等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是： （1）设等比数列的和为S ；（2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）； （3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果；四、基本公式1． 平方差公式．2． 平方求和．3． 立方求和．五、整数裂项1． ；2． ．()()()()()123123234345124n n n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=L()()()1212233413n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+=L()2333312312n n ++++=+++L L ()()22221211236n n n n ⨯+⨯+++++=L ()()22a b a b a b -=-+()1n +-⨯首项公差()1÷+末项-首项公差 ⨯中间项项数 ()2+⨯÷首项末项项数 99999n 个L 14243一、整数数列基本计算 1． 公式型计算； 2． 平方差公式的应用； 3． 整数裂项：（1）基本裂项：例如1×2、1×2×3等； （2） 高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项． 二、计算技巧 1． 换元思想； 2． 分组思想； 3． 裂项思想；4． 数论思想在计算中的应用；例1． （1）228888888811111111-的计算结果是多少？（2）30830388883333⨯个个L L 1424314243的计算结果的数字和是多少？「分析」（1）还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果，再算数字和．练习1、999999999999999999⨯的计算结果的数字和是多少？例2． 某书的页码是连续的自然数1、2、3、…、9、10、…；小须把这些页码相加时，将其中连续2个页码漏掉了，结果得到2013，那么这本书共有多少页？漏掉的2页是多少？「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了．练习2、把从1开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数，例如：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17，19，21，23，25），（27，29，L L ，79），（81，83，L L ），那么第8组中所有数的和是多少？经典题型例3．对自然数a 和n ，规定1-+=∇n n a a n a ，例如1233232=+=∇，那么： （1）计算：1222302∇+∇++∇L ； （2）计算：2122210∇+∇++∇L ．「分析」首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序．练习3、对自然数a 和n ，规定1n n a n a a -∇=+，例如32333336∇=+=，那么：算式：1323303∇+∇++∇L 的结果是多少？例4．计算：12+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)40⨯⨯⨯⨯⨯L L ． 「分析」试着计算几项，寻找一下规律．练习4、计算：3333333333112123123100112123123100++++++++++++++++++L L L ．例5．计算：12345699100⨯+⨯+⨯++⨯L ． 「分析」这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分．例6．计算：1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-L 「分析」关于阶乘的计算一定牢记：()()!11!n n n ⨯+=+，本题是否有类似计算．数学史上的一代王者——欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家．他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）．欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人．他是把微积分应用于物理学的先驱者之一．欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育．他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过．欧拉是一位数学神童．他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一．欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷．他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人．欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等．欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果．在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作．1733年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26岁的欧拉坐上了科学院的第一把数学交椅．他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居下来，并随遇而安．夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的女儿．后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉．某些传记作家把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可破的习惯．欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一．他很喜欢孩子（他自己曾有13个，但除了5个以外，都很年轻就死了）．他写论文时常常把一个婴儿抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩．他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松．许多关于他才思横溢的传说流传至今．有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文．文章一写完，就放到给印刷者准备的不断增高的稿子堆儿上．当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一打．这样一来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒．由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反．1730年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)当了女皇．就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了．而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治．10年里，欧拉沉默地埋头工作．这中间，他遭受了第一次巨大的不幸．他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了．可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了．欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了．欧拉的专著和论文多达800多种．小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的．作业1. 333333333333⨯的计算结果的数字和是多少？2. 甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加5个，乙背单词的数量每天增加1倍，已知第一天二人共背了33单词，第二天二人共背了40个单词，那么从第几天起乙每天背的单词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？3. 计算：（1）222221222340++++L ；（2）222224642++++L ；（3）222213523+++L ，的结果？4. 计算：139238337436391⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L ．5. 已知一个平方数加上143后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？第十七讲 整数型计算综合提高例题：例7． 答案：7777777622222223；270详解：（1）根据平方差公式可得： ()()()2288888888111111118888888811111111888888881111111199999999777777777777777710000000017777777700000000777777777777777622222223-=+⨯-=⨯=⨯-=-=（2）凑整可得：30830330830310296309929697038888333388883333332962962969999296296295703703704⨯=÷⨯⨯=⨯=L L L L 14243142431424314243L L L L 1442443142431424314243个个个个个个个个数字和是270．例8． 答案：这本书共有64或63页；漏掉的两页是33、34或1、2详解：123642080++++=L ．所以共64页，差的两个页码的和是67，所以是33页和34页．123632016++++=L ．所以也可以数63页，差的两个页码的和是3，所以是1页和2页．例9．答案：（1）9920；（2）3069 详解：（1）根据题目定义的新运算可得：()()()()()2222212302112230301301309920∇++∇=++++++=+++++=L L L L ； （2）()()()10211092122210222222∇+∇++∇=++++++L L()()1210019111022222222213069=+++++++=-+-=L L ．例10． 答案：46970详解：()()()()()()2222222233322212+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)401223342021=2464022221223342021111221331202011220122046970⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯++⨯=⨯++⨯++⨯+++⨯+=+++++++=L L L L L L L例11． 答案：169150详解：()()()()()()22222221234569910022446610010024100241001717002550169150⨯+⨯+⨯++⨯=-+-+-++-=+++-+++=-=L L L L例12． 答案：1详解：()()()()()()()()()1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!1!122!133!142010!120112011!120122012!1!2!2!3!3!4!2010!2011!2011!2012!2012!1⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-=⨯+-⨯++⨯+--⨯++⨯+-=+-+++--+++-=L L L练习：练习1、答案：81 简答：11111111199111111111=1234567999999999912345678987654321=÷⨯⨯⨯=原式结果数字和为81．练习2、 答案：9563751简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是3的次方，即1，3，9，27，81，L L ，从而第8组第1个数为2187，第9个组第1个数为6561，即求218721896559+++L L ，等差数列求和得()21876559218729563751+⨯÷=．练习3、答案：225680简答：3232323213233031122333030∇+∇++∇=++++++++L L222233331233012330225680+++++++++=L L ．练习4、 答案：171700简答：需要借助这样一个公式：()23333123123n n ++++=++++L L L L ，因此，原式1(12)(123)(123100)(122334100101)2=+++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯÷L L L()()22211210021210021001012012505021717006=+++÷++++÷=⨯⨯⨯÷+÷=L L ．作业6. 答案：54简答：333333333333111110888889⨯=，数字和是54．7. 答案：6；8简答：设第一天两人分别背了a 、b 个单词，所以甲第n 天背5(1)a n +-个单词，乙第n 天背12n b -个单词，由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程33a b +=和5240a b ++=，可求得a 和b 分别为31和2，可知答案为6；8．8. 答案：（1）19270；（2）13244；（3）23009. 答案：10660简答：2221(401)2(402)39(4039)40(1239)(1239)=⨯-+⨯-++⨯-=⨯+++-+++L L L 原式 10660=．10. 答案：1或5041简答：设已知关系式为22143a b +=，应用平方差公式有()()143b a b a +-=，然后讨论143的约数知两数和与差分别为143与1，或13与11，所以可得答案为1或5041．。
高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲 数论综合提高一
第十五讲 数论综合提高一本讲知识点汇总：一． 整除1． 整除的定义如果整数a 除以整数b ，所得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说b 能整除a ，记作． 如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不整除a ．2． 整除判定（1） 尾数判断法能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．（2） 截断求和法能被9、99、999及其约数整除的数的特征．（3） 截断求差法能被11、101、1001及其约数整除的数的特征．（4） 分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性．3． 常用整除性质（1） 已知、，则以及．（b ＞c ） （2） 已知，则． （3） 已知且，则． （4） 已知且，则．4． 整除的一些基本方法：（1） 分解法：①分解得到的数有整除特性；②两两互质.（2） 数字谜法：①被除数的末位已知；②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.（3） 试除法：[],a b c |b c |a c |a c (),1a b = |a bc|b c |ab ac()|a b c - ()|a b c +|a c |a b |b a()0b ≠①除数比较大；②被除数的首位已知.（4） 同除法：①被除数与除数同时除以相同的数；②简化后的除数有整除特性.二、质数与合数1． 质数与合数的定义质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数．2． 分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式．如：，． 典型题型一．整除1． 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；（1） 9的考点：乱切法；（2） 11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段和．2． 整除性质的使用；3． 整除与位值原理；4． 整除方法在数字谜中的应用．二．质数合数1． 质数合数填数字：注意2和5的特殊性；2． 判断大数是否为质数：逐一试除法；3． 末尾0的个数问题：层除法．例1． （1）五位数365没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少？（2）如果六位数387能被624整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？3280257=⨯⨯ 2210025=⨯「分析」（1）75可以分解为3和25；（2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答．练习1、（1）六位数1037没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？（2）如果六位数374能被324整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？例2．将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键．练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？例3．已知370⨯是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字．请问：三位数abca b c是多少？「分析」分解495=5×9×11，可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可，分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？练习3、已知0035⨯是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三a b c位数abc是多少？例4．一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确定五位数的前三位，然后根据9的整除特性确定其余数字．练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的两位数可以被29整除，这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？例5．72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这个三位数最大是多少？ 「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数，分解72可以确定质因数的种类，满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数．例6．在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n 个数的乘积的末尾0的个数比前个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n 最小是多少？「分析」末尾0的个数决定于2和5的对数，有一对2、5就可以确定一个0，而题目数列中2的个数一定多于5的个数，所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可．1n数学王国里的一颗明珠——梅森素数 早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果是素数，则是完美数（Perfect number ）．1640年6月，费马在给马林·梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质．我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”．这封信讨论了形如的数（其中p 为素数）．梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p =2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数；而对于其他所有小于257的数时，是合数．前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分．不过，人们对其断言仍深信不疑．虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位．梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑．由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp 记之（其中M 为梅森姓名的首字母），即．如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即型素数）．2300多年来，人类仅发现47个梅森素数．由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”．自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程．21p - 21p Mp =- 21p - 21p - 21p - 21p - 21p - 21p - (1)22p p -⋅（-1） 21p - 21p -作业1.五位数305没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少？2.（1）已知六位数2012是99的倍数，那么这个六位数是多少？（2）已知六位数1949是72的倍数，那么这个六位数是多少？3.201202203500L的末尾有多少个连续的0？⨯⨯⨯⨯4.两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少？5.太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，……，颗颗炼成不老长生丹．然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干．已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？第十五讲 数论综合提高一例7． 答案：（1）30675、38625、39675；（2）504；（3）26999详解：（1）据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7，填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625，填7时，满足条件是30675或39675，所以答案是30675、38625、39675．（2）将六位数补成387999，387999除以624余495，所以387999减去495的差387504一定是624的倍数，所以答案是504．（3）改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是999，填完整就是29乘以931等于26999．例8． 答案：36详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可．9的整除特性是乱切法就可以，所以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有1+2+3+…+N 是9的倍数，即()12N N +是9的倍数，即N 或1N +是9的倍数，所以满足条件的N 是8、9、17、18、26、27、35、36，写到36时，第一次满足是4的倍数，所以N 最小是36．例9．答案：865 详解：，即只要满足是5、9、11的倍数即可．对，不论a 取哪一个一位数都不可能是11和5的倍数，所以一定是11和5的倍数，即是605．于是是9的倍数，所以a 是8，所以a 、b 、c 组成的三位数是865．例10． 答案：13806、94365详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806；最大且数字不同，则前三位只能是943，再根据9的整除特性，所以最大是94365．37a 0b c 37a 4955911=⨯⨯例11． 答案：648例12． 答案：83详解：这是一个首项为1，公差为3的等差数列，由题意知第个数应为125的倍数，即，可知k 取2时符合要求，此时n 为83．练习：练习1、答案：（1）105372；（2）220、544或868；（3）20999练习2、答案：35练习3、答案：548或908简答：即0035a b c ⨯要分别被4、9和11整除，由00a b 与35c 整除特性且a 、b 、c 代表不同数字可知00a b 与35c 分别要被（4、9）与11整除，所以可求得abc 是548或908． 练习4、答案：最小值是2907；最大是879331125n k += 1n +作业6. 答案： 38025简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为38025．7. 答案：（1）260172；（2）197496 简答：（1）设该六位数为2012a b ，其为99的倍数，即212a b ++能被99整除，又a 、b 为个位数，所以易知67a b ==，，所以该六位数为260172；（2）能被72整除，即能分别被8和9整除，所以可得该六位数为197496．8. 答案：75简答：500！所含0的个数减去200！所含0的个数即可，答案为75．9. 答案：34简答：易知2234119035<<，所以可估算出所求的数为34．10. 答案：900简答：前n 次共炼制n 2颗仙丹，且n 2是60的倍数，所以n 含有质因数2、3和5，于是当23530n =⨯⨯=时，2900n =为所求答案．。
六年级高斯学校竞赛计数综合三含答案
第14讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会观察和发现递推关系；利用树形固、列表等方法处理某些递推关系，另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．典型问题兴趣篇1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？2．小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？3．用l×2的小方格覆盖2×7的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？6．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？7．由1、3、4组成的各位数字之和为9的多位数共有多少个？8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？9．一个十位数只含有数字l或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是l，这样的六位数有多少个？拓展篇1．老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写l篇，如果冬冬每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表，共有多少种覆盖方法？3．现有14块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？4．如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8个圆，最多可以把平面分成几个部分？5．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中。
高斯小学奥数四年级上册含答案第17讲_复杂竖式
第十七讲复杂竖式数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力．竖式问题常见突破口有：1.首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；2.位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3.相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘4还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是3或者3以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．有一些难题的式子中没有给出任何具体的数字，但是它给出了所有数的位数，这就提供了估算的可能．只要我们仔细观察，就很容易发现突破口，从而获得有价值的信息．对于多位数乘法竖式，我们将它拆成若干个多位数乘一位数的乘法，和一个加法竖式，逐一观察．将它们转化成基本问题加以解决．例题1请将右面的竖式补充完整．「分析」比较一下“□□□”和“□8”，这两个数分别是怎么来的呢？能得出什么结论呢？ 练习1请将右面的竖式补充完整．找到突破口后，更重要的是学会分情况枚举讨论，而突破口的寻找就是为了缩小我们枚举讨论的范围．当然，有的时候我们也需要用到类似于奇偶性分析这样的方法来帮助解题．例题2在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：A 、B 、C 、D 各代表什么数字？（请写出所有可能）「分析」多位数乘法竖式中，不仅包含一位数乘法的部分，还包含一个加法竖式．从哪部分更容易找到突破口呢？ 练习2在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：四位数ABCD 是多少？×4× 286×8A B ×C D11 D D 8A B ×C D2 6 D D 1对比较复杂的竖式问题，有时我们需要比较同一个多位数乘以两个不同的一位数，所得结果的关系或差异．例题3如图所示是一个乘法竖式，请在其中的10个方框内分别填入0至9这10个数字，使得竖式成立．「分析」中间的三个乘积有什么大小关系呢？ 练习3请将右面的竖式补充完整．与乘法竖式比较，除法竖式就显得更复杂一些，除法竖式中包含了一位数乘法和减法，和多位数乘法类似，我们仍然将大算式拆解成小算式，以此帮助寻找解决问题的突破口．例题4请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？「分析」除数是个三位数，它与商的百位和十位的乘积分别是234和351，你能求出除数是多少吗？ 练习4请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？×3 0 85 0 4 7 23 24 8×2 1 98 12 3 43 5 113 7 24 9 6例题5请把图中的乘法竖式补充完整．「分析」哪个多位数乘一位数的乘法可以进行末位分析？对比三个乘积，为什么有些是三位数，有些是四位数？你能填出第一个乘数的百位吗？×3 294 55例题6请把图中的除法竖式补充完整． 「分析」这个竖式中几乎都是空格，我们只好观察位数信息．竖式中包含了五个减法，发现什么熟悉的突破口了吗？ 课堂内外细说谜语谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“廋辞”或“隐语”．它起源于春秋战国，那时各国大臣常用暗示、比喻的手法映射事物，以劝谏君主采纳自己的主张，逐渐形成了谜语．汉朝时一些文人常用诗词、典故来制谜，出现了妙喻事物特征的事物谜和文字形音义的文字谜．南北朝时文人常以制谜、猜谜来斗智，制谜技巧逐渐成熟．隋唐时谜语由民间进入宫廷，许多皇帝都喜欢猜谜．北宋时期，随着城市经济的发展，市民文化娱乐生活的丰富，猜谜成为市民的一大乐趣．南宋时，每逢元宵节，人们将自己制作的谜语挂在花灯上，供人们边观灯边猜谜取乐．南宋都城临安的灯谜居全国之首，被誉为“灯谜之乡”．明清时期元宵节猜灯谜更加盛行，并出现了研究谜语制作的专门著作．谜语就这样成了广大人民喜闻乐见的文学形式，并一直流传至今．谜语也叫灯谜，猜谜语亦称射虎．在中国已经有2500年历史了，到清代其体系已经完备．谜语的文学性，知识性，趣味性深受广大群众喜爱．谜语的种类繁多，主要常见的有字谜，画谜，哑谜，印章谜，成语谜，诗词谜与楹联谜等等．并且还有许多的谜格要求（就像诗词文学中的填词一样）．谜语构成有四大要素：1. 谜面：是给猜谜者了解意图的谜题；2. 谜格：是猜谜时候的一种要求与规则（如：卷帘格 秋千格等）；3. 谜目：是让猜谜者猜射的范围（如：打一字 打一城市名等）；4. 谜底：是谜语的答案．4 5猜谜语之前，首先要看清楚谜面，再看看有没有谜格的要求，下来就看谜目是什么了．如果谜语没有谜格，就直接顾及谜面与谜目了．例如：“颜料门市部”（打国家名字一）——以色列 谜面：颜料门市部；谜目：打国家名字一；谜底：以色列． 顾名思义，卖颜料的门市部，它所陈列的商品当然是各种各样 的颜料啦．作业1. 在左下图中的乘法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么第二个乘数是多少？2. 在左下图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．则乘积是多少？3. 在左下图中的乘法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么乘积是多少？4. 在左下图中的除法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么被除数是多少？5. 在右图中的除法竖式的方框内填上合适的数字，使竖式成立．那么被除数是多少？6 76 123 6 92 4 6第十七讲 复杂竖式1.例题1答案：5812696⨯= 详解：比较竖式中的两个乘法算式乘积的大小，可得第二个乘数十位比2小，排除0，只能是1，进而得第一个乘数个位是8；再根据结果百位的6，可得乘法竖式为5812696⨯=． 2.例题2答案：54⨯详解：先分析加法竖式，可得第一个加数（即中间第一个乘积）为108，即108⨯=AB D ．那么就有542⨯、363⨯、274⨯、186⨯、129⨯五种可能；再根据第二个乘式1⨯=AB C D ，可得AB 为36和12都是不可能的； 当AB 为54时，根据尾数分析可得，C 为3，所以有5432⨯；当AB 为27时，根据尾数分析可得，C 只能是2，27254⨯=不是三位数，所以不成立； 当AB 为18时，根据尾数分析可得，C 为7，所以有1876⨯； 综上所述，本题有两个答案． 3.例题3答案：37624893248⨯= 详解：先分析加法竖式，可得第一个加数为3008、第二个加数为1504、第三个加数为752； 这三个加数同时也是三个乘法算式的乘积，根据它们的倍数关系，可得竖式中第二个乘数的个位是百位的4倍、十位是百位的2倍；那么第二个乘数就有124和248两种可能，然后分别尝试，依据“十个方框内分别填的是0~9各一个”，可以排除124，正确结果是37624893248⨯=． 4.例题4 答案：27027 详解：分析竖式中的两个乘积234和351，它们都是由除数乘以一个一位数所得，可以得出：2341172=⨯、3511173=⨯，所以除数为117、商为231； 接下来把竖式补充完整，可得被除数为27027． 5.例题5答案：495392194040⨯= 详解：如左上图，中间的三个乘数分别标为①、②、③．首先根据中间③的末位是5，可得第一个乘数的末位是5，那么中间①的个位是0； 接下来，比较分析①和③，它们分别是由第一个乘数乘以2和3所得，而①是三位数、③是四位数，所以第一个乘数只可能是三百多或四百多，而第一个乘数乘以第二个乘数十位数字所得的乘积②为四千多，估算可得第一个乘数只能是四百多，第二个乘数十位数字只能是9； 此时，竖式已经变成如右上图所示：根据①或②都可以判断出第一个乘数只能是495，由此可得结果为495392194040⨯=． 6.例题6答案：1000654123435067÷= 详解：首先，第一个减法竖式中有“黄金倒三角”，可得被除数前两位分别是1、0，①的十位是9； 除数4⨯=，所以除数十位为2，除数只可能是23或24，相应的①为92或96；再根据被除数个位为1，可得⑧⑨个位为1，而⑨是由除数乘以一个一位数所得，根据个位分析可得除数只能是23（排除24），①为92，且商个位为7，⑧⑨为161； 此时可得，⑤为235115⨯=，④的百位也是1；再观察竖式，被除数中的5所在百位所对应的中间过程没有乘积，可得商的百位为0；且⑥的百位、十位两个数字所组成的两位数要比23小，所以只能是15（百位为1、十位为5），由此可得④为116，且⑦的百位为1； 接下来分析16-=，由于⑦是由23乘以一个一位数所得且比150小，所以可得⑦是236138⨯=，即商的十位是6，⑥为154；此时，只剩下第一个和第二个减法竖式了．根据第一个减法竖式可得其被减数只能是100或101，再结合23369⨯=、23492⨯=以及第二个减法竖式差为11可得，这两个减法竖式分别× 3 294 55① ② ③4 5 × 39294 55 1 54① ② ③4 5① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨是100928-=和806911-=；至此，整个竖式全部填完，为1000654123435067÷=．7. 练习1答案：12891068⨯=详解：比较竖式中的两个乘法算式乘积的大小，可得第二个乘数个位比8大，只能是9，进而尝试分析可得，只可能是12896⨯=、129108⨯=；所以乘法竖式为12891068⨯=．8. 练习2答案：6793详解： 先分析加法竖式，可得第一个加数（即中间的第一个乘积）为201，即201⨯=AB D ．那么只可能是673⨯； 再看第二个乘式，6⨯=AB C D ，即6763⨯=C ，可得C 等于9．9. 练习3答案：21901⨯简答：先分析加法竖式，可得第一个加数为21、第二个加数为189；其中21只可能是211⨯，所以189219=⨯．（本题也可以根据189和21的9倍关系确定第二个乘数中的1和9）10. 练习4答案：42284简答：分析竖式中的两个乘积372和496，它们都是由除数乘以一个一位数所得，可以得出：3721243=⨯、4961244=⨯，所以除数为124、商为341；接下来把竖式补充完整，可得被除数为42284．11. 作业1答案：901简答：首先把其中的加法算式补充完整：282520025228+=；再根据252是28的9倍，可得只能是28281=⨯、252289=⨯，即第一个乘数一定是28，第二个乘数为901．12. 作业2答案：3328简答：首先看加法算式，可得⨯AB D 的乘积为208，而208可以拆为524⨯或268⨯；再根据3⨯=AB C B ，可得AB 不能是26，只能为52，而C 则为6，竖式乘积为52643328⨯=．13. 作业3答案：15805简答：第二个乘数十位数字是0；根据乘积首位为1，可得两个乘数百位都是1；然后根据第一个乘数与第二个乘数个位数字的乘积可得第二个乘数的个位数字只可能是7或者9，然后逐一尝试即可．14.作业4答案：8931简答：67⨯=，即除数的个位是7，商的十位是1；然后根⨯=，所以一定是6717据6761⨯=．所以除数是687，商是13，被除数是8931．⨯=，可得一定是6873206115.作业5答案：39606简答：通过第一个乘积369和第二个乘积246可得除数为123，然后逐一分析即可．。
六年级数学竞赛上册奥数高思第17讲数论综合与简单代数式(彩色)
开关．现在有编号为 1 至 2008 的 2008 个人来按动这些开关．已知第 1 个
人按的开关的编号是 1 的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第
2
个人按的开关的编号是 2 的倍 ，第 3 个人按的开关的编号是 3 的倍数， ……
依次做下去，第 2008 个人
开关的编号是 2008 的倍数．如果最开始的
3 2 或 中的某一个数的倍数时，会有一个掉坑里．这种分数的
4 怎么处 理呢？
3
1
12 的倍数且又是 4
8
2
“公倍数 ”问题，
练习
2
6. 大、中、小三只乌龟围着龙宫绕圈．三只乌龟从同一地点同时出发，大乌龟每
1
3
分钟绕龙宫爬一圈，中乌龟每
2 3 分钟绕龙宫爬一圈，小乌龟每 4
4 2 分钟绕龙宫爬一圈． 5
数论综合与简单代数式
课本
分析 由于约数是成对出现的（即如果甲是乙的约数，则乙除以甲的商也是乙
的约数，可以配对，当然完全平方数会有一对两数相同的配对）
，这个数的最大
的约数是它本身，第二大约数是这个数除以它的最小质因数．
练习
5. 一个两位数，其最小的三个约数之和是 是多少？
32 ，那么这个两位数最大的三个约数之和
数论综合与简单代数式
17 数论综合与简单代数式
课本
123
身体健康
六年级
上册第 17 讲
今天我们主要针对以往学过的数论知识作一些复习．同时，出于向初中数论过渡的 考虑，所涉及的题目与之前所学问题相比，多了不少字母．这样的问题处理起来并没有 太多的不同，只是对理解字母含义提出了较高的要求，需要同学们初步地建立对 的感觉．
我们列举两个如下：
高斯小学奥数六年级上册含答案第22讲分数、百分数应用题综合提高
⾼斯⼩学奥数六年级上册含答案第22讲分数、百分数应⽤题综合提⾼第⼆⼗⼆分数、百分数应⽤题综合提⾼、基础知识回顾：1. ⽐：(1 )⽐的概念：两个数相除叫做两个数的⽐?例如，5+6可记作5:6. “：”是⽐号，⽐号前⾯的数叫做⽐的前项，⽐号后⾯的数叫做⽐的后项，前项除以后项所得的商叫做⽐值.⽐的后项不能为0.(2)⽐的性质：⽐的前项和后项都乘以或除以⼀个不为零的数，⽐值不变.2. ⽐例基本性质：如果a:b c:d ，那么a d b c .3. 正⽐例关系和反⽐例关系：( 1 )正⽐例：两种相关联的量，⼀种量变化，另⼀种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的⽐值 (也就是商) ⼀定，这两种量就叫做成正⽐例的量，它们的关系叫做成正⽐例关系，或者简写为“成正⽐” .( 2)反⽐例：两种相关联的量，⼀种量变化，另⼀种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的乘积⼀定，这两种量就叫做成反⽐例的量，它们的关系叫做成反⽐例关系，或者简写为“成反⽐” .注意，正⽐例和反⽐例是两种“量”之间的关系.⽐如长度、⾯积、时间、价格、重量……这些都是⽣活中实际存在的“量”.⽽以前我们学习的⽐和⽐例则是针对具体的“数” 之间的关系. 两个量之间如果成正⽐例关系或成反⽐例关系，称为这两个量成⽐例 .、分数、百分数应⽤题相关的题⽬类型及解题⽅法：1. ⽐例互化：( 1 )部分占部分，部分占整体之间的转化；( 2)多组⽐化连⽐.2. 通过寻找不变量解题：常⽤不变量有：( 1 )总量(和)不变：给来给去的情况；( 2)差不变：同增、同减的情况；( 3)其中某⼀个量没有变化.3. 正反⽐例的概念和应⽤.4. 复合⽐.5. ⽅程法.6. 倒推法.7. 列表法.例1.甲、⼄两个⼈分别有许多苹果，如果甲买了5个苹果，则此时甲、⼄两⼈的苹果数之⽐是7:8 ;如果甲买了9个苹果，⼄丢了4个苹果，此时甲⼄两⼈的苹果数之⽐是3:2，那么两⼈原来分别有多少个苹果？「分析」本题可以利⽤“和不变”解题.练习1、⼩⾼、⼩思两个⼈分别有许多积分，如果⼩⾼⼜得了3分，则此时两⼈的积分之⽐是2:3 ;如果⼩⾼⼜得了8分，⼩思丢了5分，此时两⼈的积分之⽐是3:4,那么两⼈原来分别有多少积分？例2.甲⼄两个班的同学⼈数相等，且各有⼀些同学参加了课外数学⼩组的活动.其中甲班参加的⼈数是⼄班参加⼈数的 -.⼄班未参加⼈数是甲班未参加⼈数的-.请问：甲5 5班未参加⼈数是⼄班参加⼈数的⼏分之⼏？「分析」因为两班总⼈数相同可以采⽤设数法，设出这个总数后，就可以表⽰出所需的其它数量了.练习2、甲、⼄两⼈有相同数⽬的⽔果，⽔果有梨和苹果两种，甲的梨和⼄的苹果数⽬之⽐为4:3,甲的苹果和⼄的梨数⽬之⽐为6:7，那么甲的苹果数和⼄的苹果数之⽐是多少？例3.有三个最简真分数，其分⼦的⽐为3:2:4，分母的⽐为5:9:15 .将这三个分数相加，再28经过约分后为.那么三个分数的分母相加是多少？45「分析」可以采⽤设未知数的办法解答此题.练习3、有三个真分数（其中第⼀个是最简真分数），其分⼦的⽐为3:4:5，分母的⽐为4:9:18 ?将这三个分数相加，再经过约分后为72 ?那么三个分数的分母相加是多少?例4.某⼯⼚有A, B, C, D , E五个车间，⼈数各不相等?由于⼯作需要，把B车间⼯⼈1 1 1的—调⼊A车间，C车间⼯⼈的-调⼊B车间，D车间⼯⼈的⼀调⼊C车间，E车间2 3 41⼯⼈的-调⼊D车间.现在五个车间都是30⼈.原来每个车间各有多少⼈？6「分析」本题可以采⽤“倒推法”.练习4、五指⼭上有甲，⼄，丙，丁四队妖怪，妖怪数各不相等?为了均衡势⼒，把⼄111队妖怪的1调⼊甲队，丙队的丄调⼊⼄队，丁队的 -调⼊丙队?现在四⽀队伍都是483 5 7⼈?原来每个队伍各有多少妖怪？例5?⼩光、⼩明和⼩亮分⼀些苹果. 他们发现，苹果可以恰好按照4:3:2分配（按照⼩光、⼩明、⼩亮的顺序，下同），也可以恰好按照5:4:n分配（其中n为⾃然数），两种分配⽅法下，⼩光所分得的苹果数相差20个?那么苹果总数的最⼤值是多少？「分析」本题中哪些量是没有发⽣变化的呢？例6.甲、⼄、丙三⼈玩赢卡⽚的游戏，他们⼿中⼀共有156张卡⽚?第⼀轮，甲赢了⼄、1 1丙每⼈⼿中卡⽚的1;第⼆轮，⼄赢了甲、丙每⼈上轮结束时⼿中卡⽚的1，最后⼀轮，5 1 4丙赢了甲、⼄每⼈上轮结束时⼿中卡⽚的1，最后甲、⼄⼿中的卡⽚数之⽐是2:3，那4么结束时丙⼿中有多少张卡⽚？「分析」本题可以采⽤寻找“不变量”作为解题突破⼝.数学泰⽃——阿基⽶德阿基⽶德（约前287年—前212年）是伟⼤的古希腊哲学家、数学家、物理学家、⼒学家，静⼒学和流体静⼒学的奠基⼈. 他出⽣于西西⾥岛的叙拉古，从⼩就善于思考，喜欢辩论. 早年游历过埃及，曾在亚历⼭⼤城学习. 据说他住在亚历⼭⼤⾥亚时期发明了阿基⽶德式螺旋抽⽔机，今天在埃及仍旧使⽤着. 第⼆次布匿战争时期，罗马⼤军围攻叙拉古，最后阿基⽶德不幸死在罗马⼠兵之⼿. 他⼀⽣献⾝科学，忠于祖国，受到⼈们的尊敬和赞扬.阿基⽶德出⽣在古希腊西西⾥岛东南端的叙拉古城. 在当时古希腊的辉煌⽂化已经逐渐衰退，经济、⽂化中⼼逐渐转移到埃及的亚历⼭⼤城；但是另⼀⽅⾯，意⼤利半岛上新兴的罗马帝国，也正不断的扩张势⼒；北⾮也有新的国家迦太基兴起. 阿基⽶德就是⽣长在这种新旧势⼒交替的时代，⽽叙拉古城也就成为许多势⼒的⾓⼒场所.阿基⽶德的⽗亲是天⽂学家和数学家，所以阿基⽶德从⼩受家庭影响，⼗分喜爱数学.⼤概在他九岁时，⽗亲送他到埃及的亚历⼭⼤城念书. 亚历⼭⼤城是当时世界的知识、⽂化中⼼，学者云集，举凡⽂学、数学、天⽂学、医学的研究都很发达，阿基⽶德在这⾥跟随许多著名的数学家学习，包括有名的⼏何学⼤师—欧⼏⾥得，在此奠定了他⽇后从事科学研究的基础.在数学⽅⾯，阿基⽶德确定了抛物线⼸形、螺线、圆形的⾯积以及椭球体、抛物⾯体等各种复杂⼏何体的表⾯积和体积的计算⽅法. 在推演这些公式的过程中，他创⽴了“穷竭法”，即我们今天所说的逐步近似求极限的⽅法，因⽽被公认为微积分计算的⿐祖.他⽤圆内接多边形与外切多边形边数增多、⾯积逐渐接近的⽅法，⽐较精确的求出了圆周率. ⾯对古希腊繁冗的数字表⽰⽅式，阿基⽶德还⾸创了记⼤数的⽅法，突破了当时⽤希腊字母计数不能超过⼀万的局限，并⽤它解决了许多数学难题.浮⼒原理的发现关于浮⼒原理的发现，有这样⼀个故事：相传叙拉古赫农王让⼯匠替他做了⼀顶纯⾦的王冠.但是在做好后，国王疑⼼⼯匠，但这顶⾦冠确与当初交给⾦匠的纯⾦⼀样重.⼯匠到底有没有私吞黄⾦呢？既想检验真假，⼜不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸⼤⾂们⾯⾯相觑.经⼀⼤⾂建议，国王请来阿基⽶德检验.最初，阿基⽶德也是冥思苦想⽽却⽆计可施.⼀天，他在家洗澡，当他坐进澡盆⾥时，看到⽔往外溢，同时感到⾝体被轻轻托起. 他突然悟到可以⽤测定固体在⽔中排⽔量的办法，来确定⾦冠的⽐重. 他兴奋地跳出澡盆，连⾐服都顾不得穿上就跑了出去，⼤声喊着“尤⾥卡！尤⾥卡！”（Eureka，意思是“我知道了” ）.他经过了进⼀步的实验以后，便来到了王宫，他把王冠和同等重量的纯⾦放在盛满⽔的两个盆⾥，⽐较两盆溢出来的⽔，发现放王冠的盆⾥溢出来的⽔⽐另⼀盆多. 这就说明王冠的体积⽐相同重量的纯⾦的体积⼤，密度不相同，所以证明了王冠⾥掺进了其他⾦属.这次试验的意义远远⼤过查出⾦匠欺骗国王的事实，阿基⽶德从中发现了浮⼒定律（阿基⽶德原理）：物体在液体中所获得的浮⼒，等于它所排出液体的重量.⼀直到现代，⼈们还在利⽤这个原理计算物体⽐重和测定船舶载重量等. 给我⼀个⽀点，我可以撬动地球阿基⽶德对于机械的研究源⾃于他在亚历⼭⼤城求学时期. 有⼀天阿基⽶德在久旱的尼罗河边散步，看到农民提⽔浇地相当费⼒，经过思考之后他发明了⼀种利⽤螺旋作⽤在⽔管⾥旋转⽽把⽔吸上来的⼯具，后世的⼈叫它做“阿基⽶德螺旋提⽔器”，埃及⼀直到⼆千年后的现在，还有⼈使⽤这种器械.这个⼯具成了后来螺旋推进器的先祖.当时的欧洲，在⼯程和⽇常⽣活中，经常使⽤⼀些简单机械，譬如：螺丝、滑车、杠杆、齿轮等，阿基⽶德花了许多时间去研究，发现了“杠杆原理” 和“⼒矩” 的观念，对于经常使⽤⼯具制作机械的阿基⽶德⽽⾔，将理论运⽤到实际的⽣活上是轻⽽易举的.他⾃⼰曾说：“给我⼀个⽀点和⼀根⾜够长的杠杆，我就能撬动整个地球. ”后世的评价美国的E. T. 贝尔在《数学⼤师》上是这样评价阿基⽶德的：任何⼀张开列有史以来三个最伟⼤的数学家的名单之中，必定会包括阿基⽶德，⽽另外两们通常是⽜顿和⾼斯.不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来⽐较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来⽐较，还应⾸推阿基⽶德.作业1. 甲、⼄、丙、丁四⼈合做⼀批零件，甲做的个数是另外3个⼈所做的总数的⼀半，⼄做1 1的个数是另外3个⼈所做的总数的1，丙做的个数是另外3个⼈所做的总数的1，丁3 5做了390个?那么四个⼈共做了多少个零件？2. 甲、⼄两个⼈分别有许多包⼦，如果甲买了4个包⼦，则此时甲⼄两⼈的包⼦数之⽐是2:3；如果甲买了9个包⼦，⼄吃了5个包⼦，此时甲⼄两⼈的包⼦数之⽐是5:7,那么两⼈原来分别有多少个包⼦？3. 萱萱⼿上有语、数、英三种⾼思积分卡，分值的总和是590,英语积分卡的分值和是数5 3学的5，也是语⽂的3?萱萱⼿头的语⽂⾼思积分卡的分值是多少？8 44. 三班原计划抽20%的⼈参加⼤扫除，临时⼜有两⼈主动参加，使实际参加打扫除的⼈1数是余下⼈数的-，原计划抽出多少⼈⼤扫除？35. 甲⼄两个班的同学⼈数相等，且各有⼀些同学参加了课外数学⼩组的活动. 其中甲班未5 参加的⼈数是⼄班未参加⼈数的2倍.⼄班参加⼈数是甲班参加⼈数的⼀.请问：甲4 班未参加⼈数是⼄班参加⼈数的⼏分之⼏？第⼆⼗⼆分数、百分数应⽤题综合提⾼例7.答案：9、16详解：答案甲原有9个，⼄原有16个.前后两种情况下甲⼄两⼈的苹果总数不变，则可把前后苹果的总份数统⼀为 15份，那么两种情况下甲和⼄的苹果数之⽐分别为 7:8、9:6，由题意可知⼀份对应了 2个苹果,所以甲原有2 7 5 9个苹果，⼄原有16个苹果.例&答案：四分之三详解：设份数，按下⾯转化，可以得出最后甲⼄均为 23分的总⼈数，所以，甲班未参加⼈数是⼄班参加⼈数的四分之三.参未参未甲 2 5 和同8 15 ⼄ 51■*203例9.答案：203所以a 和b 的值分别为4和7.因此三个分数的分母相加是例10. 答案：A , B , C , D , E 五个车间分别有 11、38、33、32、36⼈详解：设A , B , C , D , E 五个车间分别有a 、b 、Godnd30=_e =_d+_e =_c+_d=_b+_c =_b+a ，所以 A , B , c , D , E 五个车间分详解：设三个分数为3a 5b、担（其中a 与b 互质），则三个分数之和为9b 15b49a 45b28 45(5 9 15) 7 203 .c 、d 、e 个⼈，则别有11、38、33、32、36 ⼈.例11 . 答案：1980时45和36 4n 的差最⼩，即两种情况⼩光的苹果数所占总数的⽐例最接近，所以苹果总数的最⼤值是1980.例12 . 答案：66:由上表最左列可知的值只可以取,则结束时丙⼿中有张卡⽚.详解：⼩光第⼀次占总数的36 4n 9(9 n)第⼆次占总数的45 9(9 n)通过枚举可知当练习1、答案：⼩⾼67分，⼩思105分简答：根据“和不变”，统⼀单位1解题即可.练习2、答案2:1简答：甲的梨：⼄的苹果=4:3，甲的苹果：⼄的梨=6:7，设甲共10份的⽔果，则⼄也是10份的⽔果，发现单位1相同，不需进⾏⽐例计算，甲的苹果：⼄的苹果=6:3=2:1 .练习3、答案62简答：设三个分数为3a-、4a- 、5a（其中a与b互质），则三个分数之和为4b9b18b27a 16a 10a53a53所以a和b的值分别为1和2 .因此三个分数的分母相加36b36b72，练习4、答案：甲，⼄，丙，丁四队各有29、57、50、56 个妖怪是(4 9 18) 262 . 简答：同例4,⽤倒推法.作业6. 答案：1560.7. 答案：甲有116个，⼄有180个.简答：由已知条件发现，前后两种情况下包⼦的总量不变，所以可以把前后两个⽐的化为相同份数来分析，即化为 24:36和25:35，由于⼄在两种情况下相差 5个包⼦，所以⼀份对应5个包⼦，因此可求出甲原来有116个，⼄原来有180个.& 答案：200.简答：以英语积分作为前后两个⽐的桥梁，5和5可分别化为15和毎，此时⼀共分为8 4 24 20了 59份，⽽总积分为590,所以⼀份对应10分，因此语⽂积分有 200分.9.答案：&简答：两⼈加⼊后，打扫卫⽣的⼈数占总⼈数的 25%，即与原来相差总数的 5%,所以原来有2 4 8⼈.10.答案：五分之⼆.简答：直接例2的⽅式写出⽐例后，发现甲⼄之和相等，不需统⼀单位 1,直接可以看出甲班未参加⼈数是⼄班参加⼈数的五分之⼆.简答：已知条件即告诉⼤家甲、⼄、丙做的零件个数分别占总个数的完成的个数占总个数的1 1 1 1 1，所以总个数为390 -3 4 6 44 1560 ?〕，则丁6。
高斯小学奥数六年级上册含答案第20讲 计数综合提高下
第二十讲 计数综合提高下一、上楼梯模型找寻每种情况与前面若干种情况之间的关系 二、几何图形分平面——增量分析考虑每次增加一个图形时，所增加的平面数，在分析问题时，要注意以下几点：1. 交点越多越好；2. 交点多决定段数多（两种情况，即封闭图形和不封闭图形）；3. 有几段则增加几部分（有直线要先画直线）． 三、传球法1. 传球法是树形图的简化版本；2. 传球规则决定累加规则；（1）首先从传球者角度考虑传球方法； （2）其次从接球者角度考虑如何累加；3. 可以使用传球法的题型；（1）对相邻数位上的数字大小有要求的计数问题； （2）环形染色问题．四、插板法用于求解“把m 个相同．．的球放到n 个不同．．的盒子中”这类问题． a) 注意：球必须是相同的，盒子必须是不同的．b) 如果要求每个盒子至少一个球，那么方法数为11n m C --（把1n -个板插到1m -个空隙中）．c) 如果要求每个盒子可以为空，那么方法数为11n m n C -+-（先借n 个球，然后按照每个盒子至少1个去放，最后再从每个盒子中拿出1个还回去）．d) 对其它情况，如：每个盒子至少2个，或者某些盒子可以没有，某些盒子至少2个等，则需要做相应调整后才可应用上述结果．五、对应法解计数问题关键在于看出问题的本质，根据问题本质找到合适的方法，进行解题． 六、对于可以旋转或者可以翻转的题目，解题时要注意区分是否是不同情形．这种题目通常要先固定一个部分，使之不能旋转或翻转，如果固定一个不够，则还需要再固定一个．例1．满足下面性质的三位数称为“红数”：它的个位比十位大，十位比百位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如246、367是“红数”，但278就不是“红数”．请问：一共有多少个“红数”？「分析」大家还记得“传球法”吗？练习1、满足以下条件的四位数称为“N数”：它的个位比十位大，十位比百位小，百位比千位大，并且任意相邻两位数字差不超过2，例如3524是“N数”，但1234不是“N数”．一共有多少个“N数”？例2．（1）在一个平面上画出6个正方形，最多可以把平面分成几个部分？（2）在一个平面上画出3个三角形、2个圆、1条直线，最多可以把平面分成几个部分？「分析」本题可以采用递推计数法．练习2、在一个平面上画1条直线，2个三角形和3个长方形，那么最多可把这个平面分成多少部分？例3．一个长方形被分成7部分，现在将每一部分染上红、黄、蓝、绿四Array种颜色之一，要求相邻两部分的颜色不同，共有多少种染色方法？「分析」这道题目是否可以转化为一道环形染色问题呢？练习3、将如图的8部分用3种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻部分可以同色，那么共有多少种着色方法？例4．0、1、6、8、9颠倒过来后分别为0、1、9、8、6，而2、3、4、5、7颠倒过来后不是一个数字，如果一个自然数颠倒过来看等于它本身，则称其为“混沌数”，如69、101、8118等，那么六位数中有多少个“混沌数”？「分析」大家先判断哪些数字可以出现在“混沌数”中．练习4、如果一个自然数反过来写等于它本身，则称其为“回文数”，如12321、22、232等都是“回文数”，那么六位数中有多少个“回文数”？例5．把一条均匀木棍五等分，然后用5种颜色给这5部分染色，要求相邻的部分不能同色，那么一共有多少种不同的染法？（旋转或翻转后相同算同一种）「分析」大家可以先不考虑旋转或翻转的情况算出染法数，再减去反转后相同的染色情况．例6．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后相同算同一种）「分析」大家可以采用固定一个面开始染色的方法进行分析．解析几何之父——笛卡尔勒内·笛卡尔（Rene Descartes，1596——1650），著名的法国哲学家、科学家和数学家．笛卡尔常作笛卡儿，1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省，1650年2月11日逝于瑞典斯德哥尔摩）．他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张．他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学．物理学方面笛卡尔靠着天才的直觉和严密的数学推理，在物理学方面做出了有益的贡献．自从1619年读了开普勒的光学著作后，笛卡儿就一直关注着透镜理论；并从理论和实践两方面参与了对光的本质、反射与折射率以及磨制透镜的研究．他把光的理论视为整个知识体系中最重要的部分．笛卡尔运用他的坐标几何学从事光学研究，在《屈光学》中第一次对折射定律提出了理论上的推证．笛卡尔发现了动量守恒原理．他还发展了宇宙演化论、漩涡说等理论学说，虽然具体理论有许多缺陷，但依然对以后的自然科学家产生了影响．他认为光是压力在以太中的传播，他从光的发射论的观点出发，用网球打在布面上的模型来计算光在两种媒质分界面上的反射、折射和全反射，从而首次在假定平行于界面的速度分量不变的条件下导出折射定律．不过他的假定条件是错误的，他的推证得出了光由光疏媒质进入光密媒质时速度增大的错误结论．他还对人眼进行光学分析，解释了视力失常的原因是晶状体变形，设计了矫正视力的透镜．在力学上，笛卡尔发展了伽利略的运动相对性的思想，例如在《哲学原理》一书中，举出在航行中的海船上海员怀表的表轮这一类生动的例子，用以说明运动与静止需要选择参照物的道理．笛卡尔在《哲学原理》第二章中以第一和第二自然定律的形式比较完整地第一次表述了惯性定律：只要物体开始运动，就将继续以同一速度并沿着同一直线方向运动，直到遇到某种外来原因造成的阻碍或偏离为止．这里他强调了伽利略没有明确表述的惯性运动的直线性．在这一章中，他还第一次明确地提出了动量守恒定律：物质和运动的总量永远保持不变．笛卡儿对碰撞和离心力等问题曾作过初步研究，给后来惠更斯的成功创造了条件．天文学方面笛卡尔把他的机械论观点应用到天体，发展了宇宙演化论，形成了他关于宇宙发生与构造的学说．他认为，从发展的观点来看而不只是从已有的形态来观察，对事物更易于理解．他创立了漩涡说．他认为太阳的周围有巨大的漩涡，带动着行星不断运转．物质的质点处于统一的漩涡之中，在运动中分化出土、空气和火三种元素，土形成行星，火则形成太阳和恒星．他认为天体的运动来源于惯性和某种宇宙物质漩涡对天体的压力，在各种大小不同的漩涡的中心必有某一天体，以这种假说来解释天体间的相互作用．笛卡尔的太阳起源的以太漩涡模型第一次依靠力学而不是神学，解释了天体、太阳、行星、卫星、彗星等的形成过程，比康德的星云说早一个世纪，是17世纪中最有权威的宇宙论．数学方面笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学．在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位．笛卡尔致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学．他的这一成就为微积分的创立奠定了基础．解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一．此外，现在使用的许多数学符号都是笛卡尔最先使用的，这包括了已知数a、b、c以及未知数x、y、z等，还有指数的表示方法．他还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称为欧拉-笛卡尔公式．还有微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的．笛卡尔心形线：r=a(1－sinθ)用的就是直角坐标图（注：实际上是极坐标系）当θ=0°时，r=a(1－0)=a……A点当θ=90°时，r=a(1－1)=0 ……B点当θ=180°时，r=a(1－0)=a……C点当θ=270°时，r=a(1+1)=2a……D点把A、B、C、D四点用弧线连接起来，就是有名的心形线！个人名言：读杰出的书籍，有如和过去最杰出的人物促膝交谈．读一切好书，就是和许多高尚的人谈话．仅仅具备出色的智力是不够的，主要的问题是如何出色地使用它．世界之大，而能获得最公平分配的是常识．我思故我在．要以探求真理为毕生的事业．意志、悟性、想象力以及感觉上的一切作用，全由思维而来．越学习，越发现自己的无知．一个为情感所支配，行为便没有自主之权，而受命运的宰割．作业1.8个人围成一圈做游戏，共有多少种不同的方法？2.满足下面性质的三位数称为“黑数”：它的个位比十位小，十位比百位小，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如642、520是“黑数”，但872就不是“黑数”．一共有多少个“黑数”？3.一个五位数只由1、2、3、4组成，它的每相邻两位数字的差都是1，这样的五位数有多少个？4.如果在一个平面上画出4个凸五边形，最多可以把平面分成多少个部分？5.给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有8种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后相同算同一种）第二十讲 计数综合提高下例7． 答案：45详解：按十位数字分类枚举，十位数字取2、8的红数各有3个，取3、7的红数各有6个，取4、5、6的红数各有9个，因而共有45个． 方法二、也可用传球法：1+3+6+8+9+9+9=45种．例8．答案：（1）122；（2）68 详解：（1）；（2）先画直线，再画三角形和圆，． 例9．答案：360 详解：先不考虑左下角那部分，其余6部分可看作5等分圆环染色问题．例10． 答案：100详解：．例11． 答案：680详解：在不考虑旋转和翻转的情况下共有种方法，其中包括翻转后和自己相同的，以及翻转后和自己不同的，考虑旋转和翻转时，前者被计1次，后者被计2次．前者共种，所以共有种不同的染法．例12． 答案：详解：每次染色只会用到五种颜色中的四种，先选出四种颜色，有种方法．用所选出的四种颜色染正四面体，任何两种染色方式，总能通过适当的旋转使得两种染色方式的底面和某一个侧面颜色对应相同，其他两个面的颜色可能相同，也可能刚好是对换，因而本质上只有两种不同的染色方式．所以共有种不同的染色方式．45210C ⨯= 455C = 45210C ⨯=()454802680⨯+÷= 54480⨯⨯= 454⨯ 455100⨯⨯= 22814202268+++++= 2816243240122+++++=练习：练习1、答案：58简答：传球法：1+4+7+8+8+8+8+8+6=58种．练习2、答案：78简答：22814223078+++++=种．练习3、答案：258简答：假设三种颜色是红黄蓝，如果开始A 涂红色，如下图有86种着色方式，而A 有红黄蓝三种颜色涂色，所以有种．练习4、答案：900 简答：91010900⨯⨯=．863258⨯=作业6. 答案：5040简答：圆排列，共有种方法．7. 答案：54简答：百位是2、3、4、5、6、7、8、9时，分别有1、3、6、8、9、9、9、9，共54个黑数．8. 答案：26简答：传球法：588526+++=种．9. 答案：62简答：每增加一个五边形，可与已有的每一个五边形交出10个点进而把平面多分出10部分．共有部分．10. 答案：140简答：482140C ⨯=种染法．210203062+++=8!85040÷=。
高斯小学奥数六年级下册含答案第17讲_小升初总复习模拟测试四
1.计算：1++++=_______．第十七讲小升初总复习模拟测试四【学生注意】本讲练习为提高测试卷，满分100分，考试时间70分钟．一、填空题Ⅰ（本题共有8小题，每题6分）11115⨯88⨯1111⨯1414⨯1717⨯202.有a、b、c三个自然数，乘积是2010，则a+b+c的最小值是_______．3.如图，BD、DF、FC的长分别为2、3、4，三角形AFC的面积为24，E为AF中点，则四边形ABDE的面积是________．AEB D F C4.某岛住着两种居民：老实人只讲真话，而骗子只说谎话．当游客遇到三名同行的岛民时，向他们每人问了同样的一句话：“你的两名同伴中有几个是老实人？”第一个人回答：0个．”第二个人回答：“1个．”那么第三人将回答：“_________个．”（填0、1或2）5.甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书320本．如果从甲调35本给乙，从乙调18本给丙，从丙调19本给丁，从丁调38本给甲，则四个组的图书变成一样多．那么甲、乙、丙、丁四个小组原来分别有书_____本、_____本、_____本、_____本．禳 轾 9. 已知 睚6 父犏 镲 镲 犏 珑5 2 鼢 骣4珑 + 6 1 锤□鼢鼢 桫539 ，那么方框内填的数是_______．桫 铪 76. 某工人与老板签订了一份 30 天的劳务合同：出勤一天可得报酬 240 元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉 60 元，扣完为止．该工人合同到期后并没有拿到报酬，那么他最多出勤了_______天．7. 在一次动物运动会的 30 米短跑项目结束后，大牛发现：胖猪、瘦狗和圆龟三只动物的平均用时为10 秒，胖猪、瘦狗、圆龟、逗逗猴和大牛 5 只动物的平均用时为 8 秒．如果大牛和逗逗猴的速度比是 2 : 3 ，那么大牛每秒跑了_______米．8. 有的自然数，既是 210 的倍数，又恰好含有 210 个约数，那这样的自然数共有_______个．二、填空题Ⅱ（本题共有 4 小题，每题 7 分）11 镲 臌珑 ? 0.810. 春节期间，某商店按下面两种方式促销：第一种方式：减价 20 元后再打八折；第二种方式：打八折后再减 20 元．刘老师到商店买了两件原价不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按第二种方式促销，共花了 252 元．已知两件商品的原价都大于 100 元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于 1），那么这两件商品的原价分别是______元和______元．．已知m*n=6,珑鼢鼢桫=珑m鼢*桫1111.如图，五个面积相同的正方形放在一个面积是164的盒子里面，盒555中空白面积已经标出，那么每个正方形的面积是______．1112.将1到16这16个数填入44的方格表中．如果某个方格里填的数在它所在行和所在列里都不是最大的，则称该方格是“平庸”的．那么“平庸”的方格最多有______个，最少有______个．三、填空题Ⅲ（本题共有3小题，每题8分）13.现有一个盛有水的圆柱形容器底面半径是12厘米．如果把一个高为12厘米，底面半径是6厘米的圆锥形铁块（底面朝下）放入水中，则水面高度恰好上升到圆锥高度的一半．如果取出该铁块后，再放入一个与原铁块底面半径和高都相同的圆柱形铁块，则水面高度将上升为_______厘米．14.定义新运算“*”：对任意数m、n，1m*n=1m+1骣骣1n n25，那么m和n的差是_______．15.把“高思寒假尖子班正在考试”写成如图中的样子，每次自左往右读时，能取不同路径，但上下最多只允许错开一个字，共有______种读法．已知去掉图中36个汉字中的某一个之后，全部读法就只剩1288种，那么被去掉的是哪一个汉字？请在图中把这个汉字圈起来．高思寒假尖子班正在考试思寒假尖子班正在考寒假尖子班正在假尖子班正尖子班子16. 答案： 1 ．解答：原式= 1 ⨯ ⎡⎢⎛ 1 - 1 ⎫⎪ + ⎛ 1 - 1 ⎫⎪ + ⎛ 1 - 1 ⎫⎪ + ⎛ 1 - 1 ⎫⎪ + ⎛ 1 - 1 ⎫⎪⎤⎥ = 1． 3 5 75 第十七讲 小升初总复习模拟测试四20 3 ⎣⎝ 5 8 ⎭ ⎝ 8 11 ⎭ ⎝ 11 14 ⎭ ⎝ 14 17 ⎭ ⎝ 17 20 ⎭⎦ 2017. 答案：78．解答：要使 a + b + c 最小， a 、 b 、 c 三个自然数之间必须尽量接近． 2010 = 2 ⨯ 3 ⨯ 5 ⨯ 67 ，当三个自然数取 5、6、67 时，有最小和数 78．18. 答案：21．解答：三角形 ABF 的面积是 24 ⨯ 5 = 30 ，三角形 DEF 的面积是 30 ⨯ 1 ⨯ 3 = 9 ，所以四边形 ABDE 的面42 5积是 30 - 9 = 21 ．19. 答案：1．解答：假设第一个人是老实人，则余下两人都是骗子，而此时第二人回答“ 1 个”说的是真话，矛盾，所以第一个人是骗子．假设第二个人是骗子，由“1 个”得第三个人也应该是骗子，从而第一个人说的“0 个”是真话，矛盾，所以第二个人是老实人，第三个人也是老实人，第三个人将回答“1 个”．20. 答案：77；63；81；99．解答：最后四个组的书都是320 ÷ 4 = 80 本．甲拿出了 35 本，拿进了 38 本之后变为 80 本，说明甲组原来有 80 - 38 + 35 = 77 本．其余三组按同样方法可求得分别有 63、81、99 本．21. 答案：6．解答：出席一天的钱可以被扣 4 天，说明工人最多出席了 1 的时间，即 30 ⨯ 1 = 6 天．5522. 答案：5．解答：大牛和逗逗猴共用时 5 ⨯ 8 - 3 ⨯10 = 10 秒．由于大牛和逗逗猴的速度比是 2:3 ，因而时间比为3: 2 ，大牛跑完全程花了 10 ⨯ 3= 6 秒，大牛速度为 30 ÷ 6 = 5 米/秒．523. 答案：24．解答：是 210 的倍数，说明至少有四种质因数 2、 、 、 ；有 210 个约数，说明这个数只能是 x ⨯ y 2 ⨯ z 4 ⨯ w 6的形式，其中 x 、 y 、 z 、 w 恰好是 2、3、5、7 的一个排列．故符合要求的自然数个数是 4! = 24 ．24. 答案：3.2．解答：利用移项要变号的性质倒推．25. 答案：240；120．解答：事实上，按第一种方式，相当于“打八折后再减 20 ⨯ 80% = 16 元”．两件商品一起购买，相当于打八折后，再减 16 + 20 = 36 元，所以两件商品的原价之和是 (252 + 36 ) ÷ 0.8 = 360 元．进一步可以推断出两商品原价分别为 240 元和 120 元．26. 答案：39．解答：如图，y = 1 ， + x = x + y + z = z + 5 + z ，得 z = 4 、x = 8 ．于 AB5是四边形 ABCD 的面积是 41， AB : AE = 41:164 = 1: 4 ，所以 BE = 3AB ， x yz 5 z y x 5DC每个正方形的面积是 3 ⨯ (5 + x ) = 39 ．E1 127. 答案：12；9．解答：（1）每行最多有 3 个平庸的方格，所以最多有 12 个平庸的方格，如图 1 所示；（2）每行、每列最多有一个方格不“平庸”，且 16 14 15 7 825 1436 916 1 4 15 7 82 5 143 6 9行与列之间最少有一个公共的不平庸的方格，所以最多有 4 + 4 -1 = 7 个不平庸，最少有 9 个平庸的方格．如图 2 所示．10 11 12 13图 110 11 12 13图 2= + = + = = 25 ，所以 mn = 25 ÷ = 150 ．于是， m + n = 1 1 1 1 1 128. 答案： 41 ．解答：水的体积是 122 ⨯ 6π - 1 ⨯ 62 ⨯12 ⨯ 7 = 864π - 126π = 738π 立方厘米，放入圆柱体后，底面积变为63 8122 π - 62 π = 108π 平方厘米，所以最后水面高度为738π 41 =108π 6厘米．29. 答案： 5 ．解答：依题意，得1 1 1 m + n 16 m n mn 6 m n 25(m - n )2 = (m + n )2 - 4mn = 25 ，m 和 n 的差是 5．30. 答案：2188；第二个“子”．解答：（1）标数法，如图，有 2188 种；（2）事实上，去掉一个汉字，少掉的读法数恰好是从左读到这个汉字，以及从右读到这个汉字的读法数乘积，如去掉第一行中的“寒”，则少掉 2 ⨯ 323 = 646 种读法．去掉第一行中的“子”，少掉的读法数是 21⨯ 21 = 441 ．题中去掉一个汉字，要少掉 2188 -1288 = 900 种读法，这个汉字只能是第二个“子”．1 12 4 9 21 51 127 323 835 218812 5 12 30 76 196 512 13531319 4125 69 189 518 14 44 1335 201。
高斯小学奥数六年级上册含答案第16讲 数论综合提高二
第十六讲 数论综合提高二本讲知识点汇总：一、约数、倍数1． 基本概念（1） 如果a 能被b 整除（也就是），则b 是a 的约数（因数），a 是b 的倍数； （2）约数具有“配对”性质：大约数对应小约数． 2． 约数个数（1）分解质因数，指数加1再相乘； （2）平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数． 3． 约数和公式（1） 如果一个数的质因数分解式为，则约数和为； （2）如果一个数的质因数分解式为，则约数和为；二、公约数、公倍数1． 基本概念（1）如果a 是若干个数公有的约数，则称a 是它们的公约数，其中最大的叫做最大公约数；（2）如果b 是若干个数公有的倍数，则称b 是它们的公倍数，其中最小的叫做最小公倍数；（3）公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数． 2． 计算方法（1）短除法； （2）分解质因数法； （3）辗转相除法（只用于计算两个数的最大公约数）． 3． 基本性质（1） ； （2）两个数的最大公约数是它们和或差的约数； （3）已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来： 例如，甲、乙的最大公约数是5，则可以把甲乙分别设为5a 和5b ，其中a 、b 互质，此时甲乙的最小公倍数是5ab ．4． 两个最简分数的最大公约数、最小公倍数：()[],,a b a b a b ⨯=⨯()()()2111a b c c +⨯+⨯++ 2a b c ⨯⨯ ()()22311a a b b b ++⨯+++23a b ⨯ |b a；一、约数、倍数 1． 约数的配对思想；2． 约数个数与完全平方数的关系；3． 求约数个数；4． 求约数的和；5． 利用约数个数反推原数的质因数分解形式．二、公约数、公倍数 1． 基本计算；2． 带有应用题背景的公约数公倍数计算；3． 有关最大公约数和最小公倍数的反求问题；4． 最大公约数、最小公倍数的质因数的分配．例1． 庆祝高思学校4周岁的生日，预计在12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活动，由编号1~100的100名高思小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次编号是3的倍数的小朋友再向左转，……，最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？「分析」首先分析出转几次的人会面朝南方，这些次数排成一列，找出这组数列的规律．练习1、有2012盏灯，分别对应编号为1至2012的2012个开关．现在有编号为1至2012的2012个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数，第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数，……，依次做下去，第2012个人按的开关的编号是2012的倍数．如果最开始的时候，灯全是亮着的，那么这2012个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？经典题型 []()a c a c b d b d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,,, ()[]a c a c b d b d ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,,例2．一个数有15个约数，这个数最小是多少？第二小是多少？「分析」根据约数个数公式分析出含有15个约数的数的分解质因数形式．练习2、有10个约数的自然数最小是多少？有8个约数的最小的奇数是多少？例3．在35的倍数中，恰有35个约数的最小数是多少？（请写出质因数分解式）「分析」所求数一定含有35的质因数，再结合含有35个约数的数的分解质因数形式即可找到解题的突破口．练习3、42的倍数中，恰好有42个约数的数有多少个？例4．三个自然数乘积为86400，且这三个数的约数个数分别为8、9、10个．那么这三个自然数分别是多少？「分析」把含有8、9、10个约数的数的分解质因数形式及86400中个质因数的个数结合在一起进行分析．练习4、三个自然数乘积为5184，且这三个数的约数个数分别为A个、A+1个、A+2个．那么这三个自然数分别是多少？例5．两个整数的差为7，他们的最小公倍数和最大公约数的差是689，则这两个数分别是多少？「分析」列不定方程求解．例6．大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印．问：这个花圃的周长是多少米？「分析」这是一道公约数、公倍数的问题，首先回忆一下公约数、公倍数的求法，再思考一下题中各数据之间的关系．亲和数（Amicable Pair）亲和数是一种古老的数．遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b，b的所有真因数之和等于a，则称a，b是一对亲和数．相传，毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要象220和284一样亲密．什么叫朋友？就象这两个数，一个是你，另一个是我．”后来，毕氏学派宣传说：人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”．从此，把220和284叫做“亲和数”（也叫“朋友数”或叫“相亲数”）．这就是“亲和数”这个名称的来源．毕达哥拉斯首先发现220与284就是一对亲和数，在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获．公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特·依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜，或者走出困境．数学家们仍然没有找到第二对亲和数．距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费马终于找到了第二对亲和数17296和18416，这个发现也重新点燃寻找亲和数的火炬．两年之后，“解析几何之父”——法国数学家笛卡尔于1638年3月31日宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584．费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千五百年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛．在十七世纪以后的岁月，许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列，他们企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆．可是，无情的事实使他们省悟到，已经陷入了一座数学迷宫，不可能出现法国人的辉煌了．正当数学家们真的感到绝望的时候，平地又起了一声惊雷．1747年，年仅39岁的瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布：他找到了30对亲和数，后来又扩展到60对，不仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程．时间又过了120年，到了1867年，意大利有一个爱动脑筋，勤于计算的16岁中学生白格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏——让眼皮下的一对较小的亲和数1184和1210溜掉了．这戏剧性的发现让数学家们大为惊叹．在以后的半个世纪的时间里，人们在前人的基础上，不断更新方法，陆陆续续又找到了许多对亲和数．到了1923年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的研究所得，发表了1095对亲和数，其中最大的数有25位．同年，另一个荷兰数学家里勒找到了一对有152位数的亲和数．电子计算机诞生以后，结束了笔算寻找亲和数的历史，人们利用计算机，可以更有效率的寻找和分析亲和数，但直到今天，亲和数仍有许多未解之谜，等待着数学家和计算机专家来解决．作业1.300共多少个约数？其中有多少个是6的倍数？有多少个不是4的倍数？2.把一张长108厘米，宽84厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形，且纸无剩余，至少能裁成多少个正方形？3.一个小于200的自然数，其最小的三个约数之和是31，那么这个自然数是多少？（请写出所有答案）4.已知两个三位数M和N互为反序数（M>N），且它们的最大公约数是6，那么N最小值是多少？5.两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是多少？第十六讲 数论综合提高二例7． 答案：5详解：从向东转向南方，可以转3次、7次、11次、15次等，即约数个数是3、7、11、……．100之内的数的约数个数最多的只有12个（有5个）．有3个约数的是4、9、25、49；有7个约数的是64；有11个约数的数最小是1024．所以有5名小朋友最后是面朝南方．例8． 答案：144、324详解：有15个约数的数，质因数分解式为14或24⨯．前者最小是142，次小的是143，都很大；后者最小的是4223⨯，次小的是4232⨯，这个数最小是144，次小是324．例9． 答案：6457⨯详解：因为35含有质因数5、7，恰有35个约数的数只能含有这两个质因数，所以这个数最小是6457⨯．例10． 答案：30，36，80详解：，，，易知所求三个数为30，36，80．例11． 答案：23和30详解：两数之差为7，则他们的最大公约数可能为7或1，而689也可被最大公约数整除，所以两数的最大公约数为1，即两数互质，所以两数的最小公倍数，即两数之积为690，易知相差7且乘积为690的两个数为23和30．例12． 答案： 21.6米1025=⨯ 933=⨯ 8222=⨯⨯ 73286400235=⨯⨯练习：练习1、答案：1968简答：易知第n 号灯被按的次数等于n 的约数的个数，如果n 号灯被按灭则灯被按了奇数次，即n 有奇数个约数，也就是n 每个质因子的质数为偶数，即n 为完全平方数．易知小于2012的完全平方数有44个,所以还有1968盏灯亮着．练习2、答案：48；105练习3、答案：4032个简答：因为42含有质因数2、3、7，恰有42个约数的数只能含有这三个质因数，所以这个数最小是622374032⨯⨯=练习4、答案：12、16、27简答：把5184分解质因数得：64518423=⨯ ，可凑出三个数是12、16、27，质数个数分别是6个、5个、4个作业6. 答案：18，6，12简答：通过分解质因数可得答案为18，6，12．7. 答案：63简答：正方形边长为108和84的最大公约数12，所以可裁成63个正方形．8. 答案：25，125，161简答：首先最小的约数可知为1，则另外两个较小的约数之和为30，可知另外两个较小约数可以是5和25，则答案为25和125；7和23，则答案为161；11和19，则答案为209；13和17，则答案为221．其中小于200的为25，125，161．9. 答案：204简答：设这M abc =，N cba =，则由M 和N 是6的倍数，可知99()M N a c -=-是6的倍数，则a c -是2的倍数，又由M 是偶数可知，c 可能取2、4、6或8，带入尝试可求得N 可以为204，228，246，258，294，426，438，456，498，618，678，最小的是204．10. 答案：29简答：两数相差5，所以它们的最大公约数为5或1，所以分类讨论可得这两个数为12与17，其和为29．。
高斯小学奥数六年级上册含答案第16讲数论综合提高二
第十六讲数论综合提高二本讲知识点汇总：一、约数、倍数1．基本概念(1)如果a能被b整除(也就是b|a),贝U b是a的约数(因数)，a是b的倍数；(2 )约数具有“配对”性质：大约数对应小约数．2．约数个数( 1 ) 分解质因数，指数加1 再相乘；( 2 ) 平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数．3．约数和公式(1 ) 如果一个数的质因数分解式为a2 b3，贝约数和为1 a a2 1 b b2b3；( 2 ) 如果一个数的质因数分解式为a b c2，贝约数和为1 a 1 b 1 c c2；二、公约数、公倍数1．基本概念(1)如果a是若干个数公有的约数，则称a是它们的公约数，其中最大的叫做最大公约数；(2)如果b是若干个数公有的倍数，则称b是它们的公倍数，其中最小的叫做最小公倍数；(3)公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数．2．计算方法( 1 ) 短除法；(2)分解质因数法；(3)辗转相除法(只用于计算两个数的最大公约数) ．3．基本性质(1) a b a,b a, b ；(2)两个数的最大公约数是它们和或差的约数；(3)已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来：例如，甲、乙的最大公约数是5,则可以把甲乙分别设为5a和5b,其中a、b 互质，此时甲乙的最小公倍数是5ab．4．两个最简分数的最大公约数、最小公倍数：a c a,c ；a c a,c—, - ---------- > —5 ------------b d b,d b d b,dI经典题型一、约数、倍数1. 约数的配对思想；2. 约数个数与完全平方数的关系；3. 求约数个数；4. 求约数的和；5. 利用约数个数反推原数的质因数分解形式.二、公约数、公倍数1. 基本计算；2. 带有应用题背景的公约数公倍数计算；3. 有关最大公约数和最小公倍数的反求问题;4. 最大公约数、最小公倍数的质因数的分配.例1.庆祝高思学校4周岁的生日，预计在12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活动，由编号1~100的100名高思小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次编号是3的倍数的小朋友再向左转，……，最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？「分析」首先分析出转几次的人会面朝南方，这些次数排成一列，找出这组数列的规律.练习1、有2012盏灯，分别对应编号为1至2012的2012个开关.现在有编号为1至2012的2012个人来按动这些开关.已知第1个人按的开关的编号是1的倍数，第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数，……,依次做下去，第2012个人按的开关的编号是2012的倍数•如果最开始的时候，灯全是亮着的，那么这2012个人按完后，还有多少盏灯是亮着的?例2．一个数有15 个约数，这个数最小是多少？第二小是多少？「分析」根据约数个数公式分析出含有15 个约数的数的分解质因数形式．练习2、有10个约数的自然数最小是多少？有8 个约数的最小的奇数是多少？例3．在35 的倍数中，恰有35 个约数的最小数是多少？（请写出质因数分解式）「分析」所求数一定含有35 的质因数，再结合含有35 个约数的数的分解质因数形式即可找到解题的突破口．练习3、42的倍数中，恰好有42 个约数的数有多少个？例4．三个自然数乘积为86400，且这三个数的约数个数分别为8、9、10 个．那么这三个自然数分别是多少？「分析」把含有8、9、10 个约数的数的分解质因数形式及86400 中个质因数的个数结合在一起进行分析．练习4、三个自然数乘积为5184，且这三个数的约数个数分别为A个、A+1个、A+2个．那么这三个自然数分别是多少？例5．两个整数的差为7，他们的最小公倍数和最大公约数的差是689，则这两个数分别是多少？「分析」列不定方程求解．例6．大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72 厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60 个脚印．问：这个花圃的周长是多少米？「分析」这是一道公约数、公倍数的问题，首先回忆一下公约数、公倍数的求法，再思考一下题中各数据之间的关系．亲和数(Amicable Pair)亲和数是一种古老的数.遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b，b的所有真因数之和等于a，则称a，b是一对亲和数.相传，毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要象220和284一样亲密•什么叫朋友？就象这两个数，一个是你，另一个是我. ”后来，毕氏学派宣传说：人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”•从此，把220和284叫做“亲和数”(也叫“朋友数”或叫“相亲数”)•这就是“亲和数”这个名称的来源.毕达哥拉斯首先发现220与284就是一对亲和数，在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获.公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜，或者走出困境•数学家们仍然没有找到第二对亲和数.距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费马终于找到了第二对亲和数17296和18416,这个发现也重新点燃寻找亲和数的火炬•两年之后，“解析几何之父” 一一法国数学家笛卡尔于1638年3月31日宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584.费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千五百年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛.在十七世纪以后的岁月，许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列，他们企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆. 可是，无情的事实使他们省悟到，已经陷入了一座数学迷宫，不可能出现法国人的辉煌了.正当数学家们真的感到绝望的时候，平地又起了一声惊雷. 1747年，年仅39岁的瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布：他找到了30对亲和数，后来又扩展到60对，不仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程.时间又过了120年，到了1867年，意大利有一个爱动脑筋，勤于计算的16岁中学生白格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏一一让眼皮下的一对较小的亲和数1184和1210溜掉了•这戏剧性的发现让数学家们大为惊叹.在以后的半个世纪的时间里，人们在前人的基础上，不断更新方法，陆陆续续又找到了许多对亲和数•到了1923年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的研究所得，发表了1095对亲和数，其中最大的数有25位.同年，另一个荷兰数学家里勒找到了一对有152位数的亲和数.电子计算机诞生以后，结束了笔算寻找亲和数的历史，人们利用计算机，可以更有效率的寻找和分析亲和数，但直到今天，亲和数仍有许多未解之谜，等待着数学家和计算机专家来解决.作业1. 300 共多少个约数？其中有多少个是6 的倍数？有多少个不是4的倍数？2. 把一张长108 厘米,宽84 厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形,且纸无剩余,至少能裁成多少个正方形？3. 一个小于200 的自然数,其最小的三个约数之和是31,那么这个自然数是多少？(请写出所有答案)4. 已知两个三位数M 和N 互为反序数( M>N) ,且它们的最大公约数是6,那么N 最小值是多少？5. 两个自然数的差是5,它们的最小公倍数与最大公约数的差是203,则这两个数的和是多少？第十六讲数论综合提高二例7.答案：5详解：从向东转向南方，可以转3次、7次、11次、15次等，即约数个数是3、7、11、…….100 之内的数的约数个数最多的只有12个（有5个）.有3个约数的是4、9、25、49 ;有7 个约数的是64；有11个约数的数最小是1024 •所以有5名小朋友最后是面朝南方.例&答案：144、324详解：有15个约数的数，质因数分解式为匚14或匚|2口4 .前者最小是214，次小的是3 ,都很大；后者最小的是2 3 ,次小的是3 2 ,这个数最小是144,次小是324.例9.答案：56 74详解：因为35含有质因数5、乙恰有35个约数的数只能含有这两个质因数，所以这个数最小是5674.例10 . 答案：30 , 36, 80详解：86 4 0 0 2 7 33 5 2, 8 2 2 2 , 9 3 3 , 10 2 5易知所求三个数为30,36, 80.例11 . 答案：23和30详解：两数之差为7,则他们的最大公约数可能为7或1，而689也可被最大公约数整除，所以两数的最大公约数为1,即两数互质，所以两数的最小公倍数，即两数之积为690,易知相差7且乘积为690的两个数为23和30.例12 . 答案：21.6米练习：练习1、答案：1968简答：易知第n号灯被按的次数等于n的约数的个数，如果n号灯被按灭则灯被按了奇数次，即n有奇数个约数，也就是n每个质因子的质数为偶数，即n为完全平方数.易知小于2012的完全平方数有44 个, 所以还有1968 盏灯亮着．练习2、答案：48；105练习3、答案：4032 个简答：因为42含有质因数2、3、7，恰有42个约数的数只能含有这三个质因数，所以这个数最小是26 32 7 4032练习4、答案：12、16、2764简答：把5184 分解质因数得：5184 2 3，可凑出三个数是12、16、27，质数个数分别是 6 个、5 个、4个作业6. 答案：18, 6, 12简答：通过分解质因数可得答案为18, 6, 12.7. 答案：63简答：正方形边长为108和84的最大公约数12,所以可裁成63个正方形.8. 答案：25, 125, 161简答：首先最小的约数可知为1,则另外两个较小的约数之和为30,可知另外两个较小约数可以是5和25,则答案为25和125; 7和23,则答案为161 ; 11和19,则答案为209; 13和17,则答案为221 .其中小于200的为25, 125, 161.9. 答案：204简答：设这M abc, N cba，则由M和N是6的倍数，可知M N 99(a c)是6的倍数，则a c是2的倍数，又由M是偶数可知，c可能取2、4、6或8,带入尝试可求得N 可以为204, 228, 246, 258, 294, 426, 438, 456, 498, 618, 678,最小的是204.10. 答案：29简答：两数相差5,所以它们的最大公约数为5或1,所以分类讨论可得这两个数为12与17,其和为29.。
【6年级奥数详解(上)】第17讲 整数型计算综合的答案
例3．答案：（1）9920；（2）3069
详解：
（1）根据题目定义的新运算可得：
；
（2）
．
例4．答案：46970
详解：
例5．答案：169150
详解：
例6．答案：1
详解：
练习：
练习1、答案：81
简答：
结果数字和为81．
练习2、
答案：9563751
简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是3的次方，即1，3，9，27，81， ，从而第8组第1个数为2187，第9个组第1个数为6561，即求 ，等差数列求和得 ．
练习3、
答案：225680
简答：
．
练习4、
答案：171700
简答：需要借助这样一个公式： ，因此，
．
作业
1.答案：54
简答： ，数字和是54．
小学奥数创新体系6年级
（上册授课详解）
最
新
讲
义
第十七讲 整数型计算综合提高
例题：
例1．答案：7777777622222223；270
详解：
（1）根据平方差公式可得：
（2）凑整可得：
数字和是270．
例2．答案：这本书共有64或63页；漏掉的两页是33、34或1、2
详解： ．所以共64页，差的两个页码的和是67，所以是33页和34页．
2.（6、8）答案：6；8
简答：设第一天两人分别背了a、b个单词，所以甲第n天背 个单词，乙第n天背 个单词，由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程 和 ，可求得a和b分别为31和2，可知答案为6；8．
3.答案：（1）19270；（2）13244；（3）2300
四年级高思奥数之整数计算综合含答案
第1讲整数计算综合内容概述熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。
学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。
典型问题兴趣篇1. 计算：(1) 121×32÷8; (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×1252. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66.3. 计算：(1) 37×47+36×53 (2) 123×76－124×75。
4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。
游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。
口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。
例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。
如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？9. 规定运算“∇”为：a∇b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8∇10; (2) 10∇8.10. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：(1) 5☺8; (2) 8☺5; (3) (6☺5)4; (4)6☺ (54)拓展篇1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12); (2) 31×121－88×125÷(1000÷121).2. 计算：(1) 555×445－556×444; (2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－2×1.6. 在不大于1000的自然数中，A 为所有个位数字为8的数之和，B 为所有个位数字为3的数之和. A 与B 的差是多少？7. 求图1-1中所有数的和.8. 已知平方差公式：22()()a b a b a b -=+⨯-，计算： 2222222220191817161521-+-+-++-9. 计算：951×949－52×48.10. 规定运算“Θ”为：a Θb=a+2b －2, 计算：(1) (8Θ7) Θ6;(2) 8Θ(7Θ6)11. 规定运算“”为：a b=(a+1) ×(b －2). 如果6 (5)=91, 那么方格内应该填入什么数？12. 规定：符号“∆”为选择两数中较大的数的运算，“∇”为选择两数中较小的数的运算，例如：3∆5=5，3∇5=3请计算：1∆2∆3∇4∆5∆6∇7∆…∇100.（运算的顺序是从左至右）超越篇1. 观察下面算式的规律：2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？2. 从1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－ (4950)4. 已知平方差公式：22()()a b a b a b -=+⨯-, 计算： 222222222222100999897969594934321+--++--+++--5. a Θb 表示从a 开始依次增加的b 个连续自然数的和，例如：4Θ3=4+5+6=15, 5Θ4=5+6+7+8=26, 请计算：(1) 4Θ15 (2) 在算式（Θ7）Θ11=1056中，方框里的数应该是多少？6. 定义两种运算：a Ωb=a －b+1, a ∀b=a ×b+1, 用“Ω”、“∀”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=27.现定义四种操作的规则如下：①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1， 然后除以2. 例如从16可以得到8，从27可以得到14.②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字 “3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到50，从408可以得到8. （不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作） ③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。
【精品】通用版2022年六年级奥数精品讲义易错专项高频计算题—高斯求和(含答案)
通用版六年级奥数专项精品讲义常考题汇编计算问题—高斯求和一．选择题1．数列1、1、2、3、5、8、13、⋯⋯中，前100项之和是()A．奇数B．偶数C．无法确定奇偶性2．用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且每盒不空，那么至少要用()杯子．A．100 B．500 C．1000 D．5050二．填空题3．一张大纸上有20个方格，第一个方格放1粒米，第二个方格放2粒，第三个方格放3粒，第四个方格放4粒⋯这张大纸上总共放了粒米．4．某市举行数学竞赛，比赛前规定，前15名可以获奖，比赛结果：第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人，⋯第15名并列15人．得奖的一共有人．5．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习．当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么，漏加的那个数是．6．希望小学五年级合唱团庆祝元旦表演，排列的队伍有五排，第一排有4人，以后每一排都比前一排多4人．这个合唱队一共有人7．27个连续自然数的和是1998，其中最小的自然数是．8．一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，⋯，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果1997，则这个被加了两次的页码是．9．学校合唱队庆祝国庆表演排列的队形为第一排5人，以后的每一排比前排多2人，这样共排了6排，合唱队第6排有人，这个合唱队一共有人．10．已知：则：123991009998321+++⋯+++++⋯+++=．11．计算2462008+++⋯+=．200820082008200812．六一节学校举行歌咏比赛，三2班排成4排，第一排有10人，往后每一排都比前一排多2人，三2班共有人参加歌咏比赛．三．计算题13．巧算：++++⋯+++．1357959799四．应用题14．优优学习英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了14个．优优这些天一共学会了多少个单词？五．解答题15．雅雅家住平安街，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌是几号？”“我住的那条街的各家门牌号从1开始，除我家外，其余各家门牌号加起来恰好等于10000．”雅雅回答说．那么雅雅家住 号．16．计算：121231234122001223234232001++++++++⋯+⨯⨯⨯⋯⨯+++++⋯+． 17．求1、1、2、2、3、3、4、4、5、5⋯前40个数的和．18．四年级小朋友做数学游戏．第1个小朋友拿3粒弹子，第2个小朋友拿4粒弹子，第3个小朋友拿5粒弹子，⋯以此类推，后面的小朋友总比他前面的小朋友多拿1粒子弹，最后把弹子全拿完了．这些子弹如果平均分，每人可分到23粒．有 个小朋友做数学游戏．19．已知公式：(1)1234(2n n n n +++++⋯+=是自然数） 根据给出的公式解下面的题：有一个工厂第一个月的利润是1100a =万元，第二个月的利润2a 比第一个月的利润1a 增加了1万元；第三个月的利润3a 比第二个月的利润1a 增加了2万元；第四个月的利润4a 比第三个月的利润3a 增加了3万元；⋯依此类推，第200个月利润200a 比第199个月的利润199a 增加了199万元；问第200个月利润200a 是多少万元？20．李丽读一本课外书，第一天读了10页，以后每天比前一天多读6页，最后一天读了52页，她共读了 天．21．计算123100+++⋯+=13599+++⋯+=22．有一串数：1121231,,,,,,,⋯．它的前1996个数的和是多少？122333423．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成的．按照这样的规律继续叠放下去，第七个图形中，小正方体木块总数应是．24．小刚进行加法珠算练习，用123+++⋯，当数到某个数时，和是1000．在验算时发现重复加了一个数，这个数是．25．1357100++++⋯+．26．1234599+++++⋯+．27．135799799100+++++⋯+++．28．212325143+++⋯+．29．2468200420062008++++⋯+++的结果是．30．有一天，大熊老师在黑板上写了一列数字，然后他停下来，让小兔妮妮和熊猫冰冰来猜一猜．（1）第25个数是几？（2）这25个数的和是多少？1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，⋯参考答案一．选择题1．解：从数列中可以得到规律每两个奇数之后为一个偶数，其中前100个数中偶数的个数为1003331÷=⋯⋯，故这串数前100个数中有33个偶数，就有1003367-=个奇数，奇数的个数是奇数，所以和也是奇数；所以数列1、1、2、3、5、8、13、⋯⋯中，前100项之和是奇数．答案：A．2．解：根据题干分析可得：每个盒子里的杯子数分别为1、2、3、4、5、6100⋯，所以需要的杯子数为：12345100+++++⋯+，=+⨯÷，(1100)(1002)=⨯，10150=（个)，5050答案：D．二．填空题3．解：(120)202+⨯÷=⨯÷21202=（粒)210答：这张大纸上总共放了210粒米．答案：210．4．解：(115)152+⨯÷，=⨯，815120=（人)；答：得奖的一共有120人．答案：120．5．解：6263126219532⨯++⋯+==；12632016++⋯+=；195319912016<<漏加之数为：2016199125-=．答案：25．6．解：44(51)+⨯-416=+20=(420)52+⨯÷2452=⨯÷60=（人)答：这个合唱队一共有 60人．答案：60．7．解：根据题意可得：中间的数是：19982774÷=，即第十四个数是74，因为第十四个数比最小的数大14113-=，所以最小数自然数是：741361-=．答案：61．8．解：设共n 页，被加了两次的页码是x则(1)21997n n+÷，且x n用特殊值法求得62n=，则被加了两次的页码是：-⨯+÷=199762(621)2xx=-⨯19976331x=-19971953x=；44答案：44．9．解：5(61)2+-⨯=+510=（人)15+⨯÷(515)62=⨯203=（人)60答：合唱队第6排有 15人，这个合唱队一共有 60人．答案：15；60．10．解：方法一：+++⋯+++++⋯+++，1239910099983212=，100=；10000方法二：+⨯÷⨯-，(1100)10022100=⨯-，10110010010100100=-，10000=；答案：10000．11．解：24620082008200820082008+++⋯+ 24620082008+++⋯+= (22008)100422008+⨯÷= 2010100422008⨯÷= 502.5=答案：502.5．12．解：第4排有：10(41)2+-⨯106=+16=（人)一共有：10121416+++(1016)42=+⨯÷262=⨯52=（人)答：三2班共有52人参加歌咏比赛．答案：52．三．计算题13．解：1357959799++++⋯+++(199)502=+⨯÷10025=⨯2500=四．应用题14．解：67891011121314++++++++(614)410=+⨯+8010=+90=（个)答：优优这些天一共学会了90个单词．五．解答题15．解：140家门牌号码之和为：123140(1140)14029870+++⋯+=+⨯÷=，这个数小于10000，不符合题意；141家门牌号数之和为10011，雅雅家门牌号数是100111000011-=（号)； 142家的门牌号之和为10153，雅雅家的门牌号是1015310000153-=（号)，这里我们设定是142家，而由题意可知：142家不会有一家的门牌号是153，即这是不可能的；当设定有142家以上时，也会出现这种矛盾，所以平安街只能有141家，雅雅家门牌号一定是11号．答：雅雅家门牌号是11号．答案：11．16．解：121231234122001223234232001++++++++⋯+⨯⨯⨯⋯⨯+++++⋯+． 2323424522001200222522632200320002⨯÷⨯÷⨯÷⨯÷=⨯⨯⨯⋯⨯⨯÷⨯÷⨯÷ 23344556200020012001200222536471999200220002003⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 32001422003=⨯⨯ 120062003=17．解：根据分析可得： (12341920)2++++⋯++⨯， (120)2022=+⨯÷⨯，2120=⨯，420=．18．解：设有n 个小朋友，由题意得：[3(2)]223n n n ++⨯÷=，(5)46n n n +⨯=，41n =；答：有41个小朋友做数学游戏． 答案：41．19．解：2001123199a a =++++⋯+100(123199)=++++⋯+100(1199)1992=++⨯÷10019900=+20000=（万元）； 答：第200个月的利润200a 是20000万元．20．解：(5210)61-÷+4261=÷+8=（天)；答：她共读了8天．答案：8．21．解：（1）123100+++⋯+(1100)1002=+⨯÷10150=⨯5050=；（2）13599+++⋯+(199)[(991)21]2=+⨯-÷+÷100[491]2=⨯+÷100502=⨯÷2500=．22．解：以1为分母的数有1个，相加和11S =，以2为分母的数有2个，相加和1232222S =+=， 以3为分母的数有3个，相加和12332333S =++=，⋯ 以N 为分母的数有N 个，相加和12(1)122N N N N SN N N N N ++=++⋯==， 求前1996个数的和，先确定第1996个数分母是什么，即求满足(1)123419962N N N ++++⋯+=的最小整数N ，易得63N =，636219532⨯=， 分母为63的数有1996195343-=个，即163、263、3436363⋯， 则前1996个数的和是多少，12431262636363S S S S =++⋯+++⋯， (6212362)2(12343)63=++++⋯÷+++⋯+÷，1022.52=；答：它的前1996个数的和是1022.52．23．解：当图形有七层时，最下面一层的个数为：(461)⨯+，则此时总的正方体个数为：1(411)(421)(431)(441)(451)(461)+⨯++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+159********=++++++(125)72=+⨯÷2672=⨯÷=⨯137=91答：第七个图形中，小正方体木块总数应是91．答案：91．24．解：由题意可知，++++⋯+=+÷<，n n n1234(1)21000当44⨯+÷=，n=时，44(441)2990当45⨯+÷=，n=时，45(451)21035即n最大为44；设这个数是x x要小于n，那么应满足(1)21000+÷+=；n n x把44n=代入得：x+=，9901000x=．10把43n=代入得：+=x9461000x=．不满足．54答：这个数为10．答案：10．25．解：(991)21-÷+，=+，491=；50+⨯÷+，(991)502100=÷+，50002100=．260026．解：(991)992+⨯÷，=÷，99002=．495027．解：(991)21-÷+，=+，49150=；+⨯÷+，(991)502100=÷+，50002100=．260028．解：212325143+++⋯+，(21143)[(14321)21]2=+⨯-÷+÷，=⨯÷，164622=；508429．解：2468200420062008++++⋯+++(22008)[(20082)21]2=+⨯-÷+÷，=⨯÷，201010042=．100902030．解：（1）25381÷=⋯所以左起第25个数是第9组数的第1个数，是9；答：第25个数是9．（2）1236++=++=891027+⨯÷+(627)829=⨯+3349=+1329141=答：这25个数的和是141．。
六年级上册奥数及答案
六年级上册奥数及答案【篇一：小学六年级奥数题及答案】t>工程问题1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？解：1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率1-45/80＝35/80表示还要的进水量答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。
如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。
现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。
只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天1/20*（16-x）+7/100*x＝1x＝10答：甲乙最短合作10天3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。
现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。
乙单独做完这件工作要多少小时？解：由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。
所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。
答：乙单独完成需要20小时。
4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。
高斯小学奥数六年级上册含答案第20讲计数综合提高下
第二十讲 计数综合提高下一、上楼梯模型找寻每种情况与前面若干种情况之间的关系二、几何图形分平面 —— 增量分析 考虑每次增加一个图形时，所增加的平面数，在分析问题时，要注意以下几点：1. 交点越多越好；2. 交点多决定段数多（两种情况，即封闭图形和不封闭图形） ；3. 有几段则增加几部分（有直线要先画直线） ．三、传球法1. 传球法是树形图的简化版本；2. 传球规则决定累加规则；（1）首先从传球者角度考虑传球方法； （2）其次从接球者角度考虑如何累加；3. 可以使用传球法的题型； （1）对相邻数位上的数字大小有要求的计数问题；（2）环形染色问题．四、插板法用于求解“把 m 个相同的球放到n 个不同的盒子中”这类问题.a ） 注意：球必须是相同的，盒子必须是不同的．b ） 如果要求每个盒子至少一个球，那么方法数为 空隙中）.个盒子至少 1 个去放，最后再从每个盒子中拿出 1 个还回去）d ） 对其它情况，如：每个盒子至少 2 个，或者某些盒子可以没有，某些盒子至少2 个等，则需要做相应调整后才可应用上述结果.五、对应法解计数问题关键在于看出问题的本质，根据问题本质找到合适的方法，进行解题.六、对于可以旋转或者可以翻转的题目，解题时要注意区分是否是不同情形. 这种题目通常要先固定一个部分，使之不能旋转或翻转，如果固定一个不够，则还 需要再固定一个.C m n 11（把 n 1个板插到 m 1 个c ） 如果要求每个盒子可以为空，那么方法数为C m n 1n 1 （先借 n 个球，然后按照每例1.满足下面性质的三位数称为“红数”：它的个位比十位大，十位比百位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3.例如246、367是“红数”，但278就不是“红数”.请问：一共有多少个“红数”？「分析」大家还记得“传球法”吗？练习1、满足以下条件的四位数称为“ N数”：它的个位比十位大，十位比百位小，百位比千位大，并且任意相邻两位数字差不超过2,例如3524是“ N数”，但1234不是“ N数” •一共有多少个“ N数”？例2. ( 1)在一个平面上画出6个正方形，最多可以把平面分成几个部分？(2)在一个平面上画出3个三角形、2个圆、1条直线，最多可以把平面分成几个部分？「分析」本题可以采用递推计数法.练习2、在一个平面上画1条直线，2个三角形和3个长方形，那么最多可把这个平面分成多少部分？例3. 一个长方形被分成7部分，现在将每一部分染上红、黄、蓝、绿四种颜色之一，要求相邻两部分的颜色不同，共有多少种染色方法？「分析」这道题目是否可以转化为一道环形染色问题呢？练习3、将如图的8部分用3种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻部分可以同色，那么共有多少种着色方法？例4．0、1、6、8、9 颠倒过来后分别为0、1、9、8、6，而2、3、4、5、7 颠倒过来后不是一个数字，如果一个自然数颠倒过来看等于它本身，则称其为“混沌数”，如69、101、8118 等，那么六位数中有多少个“混沌数”？「分析」大家先判断哪些数字可以出现在“混沌数”中．练习4、如果一个自然数反过来写等于它本身，则称其为“回文数” ，如12321、22、232 等都是“回文数” ，那么六位数中有多少个“回文数”？例5．把一条均匀木棍五等分，然后用5 种颜色给这5 部分染色，要求相邻的部分不能同色，那么一共有多少种不同的染法？（旋转或翻转后相同算同一种）「分析」大家可以先不考虑旋转或翻转的情况算出染法数，再减去反转后相同的染色情况．例6．给一个正四面体的4 个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4 个面的颜色互不相同．现有5 种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后相同算同一种）分析」大家可以采用固定一个面开始染色的方法进行分析．解析几何之父-- 笛卡尔勒内•笛卡尔(Rene Descartes 1596―― 1650)，著名的法国哲学家、科学家和数学家•笛卡尔常作笛卡儿，1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省，1650年2月11日逝于瑞典斯德哥尔摩)•他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父. 他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张. 他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学.物理学方面笛卡尔靠着天才的直觉和严密的数学推理，在物理学方面做出了有益的贡献•自从1619年读了开普勒的光学著作后，笛卡儿就一直关注着透镜理论；并从理论和实践两方面参与了对光的本质、反射与折射率以及磨制透镜的研究. 他把光的理论视为整个知识体系中最重要的部分.笛卡尔运用他的坐标几何学从事光学研究，在《屈光学》中第一次对折射定律提出了理论上的推证•笛卡尔发现了动量守恒原理•他还发展了宇宙演化论、漩涡说等理论学说，虽然具体理论有许多缺陷，但依然对以后的自然科学家产生了影响.他认为光是压力在以太中的传播，他从光的发射论的观点出发，用网球打在布面上的模型来计算光在两种媒质分界面上的反射、折射和全反射，从而首次在假定平行于界面的速度分量不变的条件下导出折射定律•不过他的假定条件是错误的，他的推证得出了光由光疏媒质进入光密媒质时速度增大的错误结论. 他还对人眼进行光学分析，解释了视力失常的原因是晶状体变形，设计了矫正视力的透镜•在力学上，笛卡尔发展了伽利略的运动相对性的思想，例如在《哲学原理》一书中，举出在航行中的海船上海员怀表的表轮这一类生动的例子，用以说明运动与静止需要选择参照物的道理.笛卡尔在《哲学原理》第二章中以第一和第二自然定律的形式比较完整地第一次表述了惯性定律：只要物体开始运动，就将继续以同一速度并沿着同一直线方向运动，直到遇到某种外来原因造成的阻碍或偏离为止. 这里他强调了伽利略没有明确表述的惯性运动的直线性. 在这一章中，他还第一次明确地提出了动量守恒定律：物质和运动的总量永远保持不变.笛卡儿对碰撞和离心力等问题曾作过初步研究，给后来惠更斯的成功创造了条件.—1-* 、、天文学万面笛卡尔把他的机械论观点应用到天体，发展了宇宙演化论，形成了他关于宇宙发生与构造的学说. 他认为，从发展的观点来看而不只是从已有的形态来观察，对事物更易于理解•他创立了漩涡说. 他认为太阳的周围有巨大的漩涡，带动着行星不断运转.物质的质点处于统一的漩涡之中，在运动中分化出土、空气和火三种元素，土形成行星，火则形成太阳和恒星. 他认为天体的运动来源于惯性和某种宇宙物质漩涡对天体的压力，在各种大小不同的漩涡的中心必有某一天体，以这种假说来解释天体间的相互作用.笛卡尔的太阳起源的以太漩涡模型第一次依靠力学而不是神学，解释了天体、太阳、行星、卫星、彗星等的形成过程，比康德的星云说早一个世纪，是17世纪中最有权威的宇宙论.数学方面笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学•在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位. 笛卡尔致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学. 他的这一成就为微积分的创立奠定了基础. 解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一•此外，现在使用的许多数学符号都是笛卡尔最先使用的，这包括了已知数a、b、c以及未知数x、y、z等，还有指数的表示方法.他还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称为欧拉-笛卡尔公式.还有微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的.笛卡尔心形线：r=a(1 —sin ®用的就是直角坐标图(注：实际上是极坐标系)当9=0°时，r=a(1 —0)=a …… A 点当9=90°时，r=a(1 —1)=0 …… B 点当9=180°时，r=a(1 —0)=a …… C 点当9=270°时，r=a(1+1)=2 a …… D 点把A、B、C、D四点用弧线连接起来，就是有名的心形线!个人名言：读杰出的书籍，有如和过去最杰出的人物促膝交谈. 读一切好书，就是和许多高尚的人谈话.仅仅具备出色的智力是不够的，主要的问题是如何出色地使用它. 世界之大，而能获得最公平分配的是常识.我思故我在.要以探求真理为毕生的事业.意志、悟性、想象力以及感觉上的一切作用，全由思维而来. 越学习，越发现自己的无知.一个为情感所支配，行为便没有自主之权，而受命运的宰割.作业1. 8个人围成一圈做游戏,共有多少种不同的方法？2. 满足下面性质的三位数称为“黑数” ：它的个位比十位小,十位比百位小,并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如642、520是“黑数”,但872就不是“黑数” ．一共有多少个“黑数”？3. 一个五位数只由1、2、3、4 组成,它的每相邻两位数字的差都是1 ,这样的五位数有多少个？4. 如果在一个平面上画出4 个凸五边形,最多可以把平面分成多少个部分？5. 给一个正四面体的4个面染色,每个面只允许用一种颜色, 且4个面的颜色互不相同．现有8 种颜色可选,共有多少种不同的染色方式？（旋转后相同算同一种）第二十讲计数综合提高下例7.答案：45详解：按十位数字分类枚举，十位数字取2、8的红数各有3个，取3、7的红数各有6个，取4、5、6的红数各有9个，因而共有45个.方法二、也可用传球法：1+3+6+8+9+9+9=45种.例& 答案：(1) 122; ( 2) 68详解：(1 ) 2 8 16 24 32 40 122 ; (2)先画直线，再画三角形和圆，2 2 8 14 20 22 68 .例9.答案：360详解：先不考虑左下角那部分，其余6部分可看作5等分圆环染色问题.例10 . 答案：100详解：4 5 5 100 .例11 . 答案：680详解：在不考虑旋转和翻转的情况下共有 5 44种方法，其中包括翻转后和自己相同的，以及翻转后和自己不同的，考虑旋转和翻转时，前者被计1次，后者被计2次.前者共5 4 4 80种，所以共有5 4480 2 680种不同的染法.例12. 答案：C； 2 10详解：每次染色只会用到五种颜色中的四种，先选出四种颜色，有C4 5种方法•用所选出的四种颜色染正四面体，任何两种染色方式，总能通过适当的旋转使得两种染色方式的底面和某一个侧面颜色对应相同，其他两个面的颜色可能相同，也可能刚好是对换，因而本质上只有两种不同的染色方式•所以共有C； 2 10种不同的染色方式.练习1、答案：58简答：传球法：1+4+7+8+8+8+8+8+6=58 种.练习2、答案：78简答：2 2 8 14 22 30 78 种.练习3、答案：258简答：假设三种颜色是红黄蓝，如果开始 A 涂红色，如下图有 86种着色方式，而 A 有红黄蓝三种颜色涂色，所以有 86 3 258种练习4、答案：900 简答：9 10 10900 .6. 答案：5040简答：圆排列，共有8! 8 5040种方法.7. 答案：54简答：百位是2、3、4、5、6、7、8、9 时，分别有1、3、6、8、9、9、9、9，共54 个黑数.8. 答案：26简答：传球法：5 8 8 5 26种.9. 答案：62简答：每增加一个五边形，可与已有的每一个五边形交出10个点进而把平面多分出10部分.共有2 10 20 30 62部分.10. 答案：140简答：C； 2 140种染法.。
高斯小学奥数六年级下册含答案第03讲_分数计算综合提高
第三讲 分数计算综合提高本讲知识点汇总：一、 分数计算技巧1. 凑整2. 分组3. 提取公因数4. 约分（整体约分） 二、 分数与循环小数互化1. 分数化循环小数2. 循环小数化分数 三、 比较与估算 四、 分数裂项 五、 分数数列、数表例1． （1）333399999914444++++； （2）12399234100⨯⨯⨯⨯L ；（3）222111(1)(1)(1)2399-⨯-⨯⨯-L ； （4）111222989899231003410099100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L ． 「分析」大家还记得凑整、分组、约分等巧算方法吗？练习1、．11122218181923203420192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L例2． （1）19191919019019001900199898989809809800980098⎛⎫++÷⎪⎝⎭；（2）166********1665666999+⨯⨯+；（3）201120122013201220132014201320142015201420152016201020112012201311112010201120122013++++++++-+--+-；（4）515973597315515973155973153795379551153795513795⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 「分析」约分和换元法．练习2、（1）； （2）．例3． 算式1111111111234567891011+++++++++结果的小数点后第2013位数字是多少，循环节是多少？「分析」题目中有限小数是不影响小数点后2013位的，计算时可以不考虑．练习3、算式：的计算结果，小数点后第2012位是数字多少？例4． （1）111112334455620122013+++++⨯⨯⨯⨯⨯L ； （2）11111133557791315+++++⨯⨯⨯⨯⨯L ； 11111111112345678910+++++++++ 1352463694812261048126121881624⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2020202002002000200013202013131313013013001300201313⎛⎫++÷⨯⎪⎝⎭（3）357911131517192612203042567290-+-+-+-+；（4）48121620242832315356399143195255-+-+-+-．「分析」分数裂项的两种基本方向：“裂和”或“裂差”．练习4、（1）； （2）．例5． 已知“*”表示一种运算符号，它的含义是：11(1)()a b ab a b A *=+++，已知2*3=14，那么： （1）A 等于多少？（2）计算()()()()12345699100*+*+*++*L ．「分析」这是一道定义新运算的题目，首先要弄清楚题目定义的新运算计算方法，然后按这个方法计算即可．例6． 观察下面的数表：11； 21，12； 31，22，13； 41，32，23，14；51，42，33，24，15； … … … … … … … …． 根据前五行数所表达的规律，19911949这个数位于由上而下的第几行；151119209239261220210240++++++L 111112446688101618+++++⨯⨯⨯⨯⨯L在这一行中，它位于由左向右的第几个？「分析」这是一道数表题目，注意每行分数个数的变化，以及分子、分母数值上的变化．作业1. 计算：．2. 算式结果的小数点后第666位、2013位数字分别是多少？3. 计算：．4. 计算：．5. 将真分数按照图中数表方式排列开，那么位于不超过100行，100列的所有真分数之和是多少？11112345222235643333567444445678L LL LM M M M O11111123234345456111213+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 11113353537+++⨯⨯⨯L 1111111136789101112+++++++ 11122233388923103410451091010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L第三讲 分数计算综合提高例7． 答案：1111、1100、5099、2475． 解答：（1）凑整；（2）约分；（3）平方差公式后约分；（4）找规律计算，括号展开后分别计算同分母分数，会发现等差数列．例8． 答案：3；1；6；1．解答：（1）191010119010011900100019819983398101019801001980010001199819⨯⨯⨯⎛⎫=++⨯=⨯⨯= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭原式； （2）()166566616641665666166416656661664116656669991664166699916646661665+⨯+⨯+⨯===⨯++⨯+⨯+；（3）12312312312333332010201120122013=11112010201120122013++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+-原式66662010201120122013==611112010201120122013-+--+-；（4）设：59733795X =+；515973153795Y =++，()1515151515151Y X Y X Y X ⎛⎫⎛⎫⨯+-+⨯=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例9． 答案：4；448773．解答：首先，不考虑：12、14、15、18、110、这五个分数，剩下的分数转化为循环小数：1110.1428570.1111110.0909090.3448777911++=++=&&&&&&&&，所以第2013位数字是4，注意到18会影响到小数点后第3位，所以循环节是877344．例10． 答案：20114026；715；1110；1617． 解答：（1）111111112011=233420122013220134026=-+-++-=-L 原式； （2）11111111171133513153351315215⎛⎫+++=-+-++-⨯= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭L L ； （3）12233445566778899101223344556677889910111111112233491011111010+++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+=L 原式； （4）1335577991111131315151716=1335577991111131315151717++++++++=-+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯原式． 例11． 答案：1；100101． 1136+解答：（1）11(1)()a b ab a b A *=+++；1112323(21)(3)4A *=+=⨯++；A =1； （2）()()()1111100123499100=122399100100101101*+*++*++++=⨯⨯⨯⨯L L ．例12． 答案：3939；1949．解答：观察图表可发现第一列分数的分母都是1，第2列分数的分母都是2，第3列分数的分母都是3，第4列分数的分母都是4，……，第1949列分数的分母都是1949，且第1949列、第1949行的分数是11949，所以第1949列，3939行得到的是19911949． 练习：练习1、答案：95．简答：分母是2、3、4、……，的分数之和依次是0.5、1、1.5、……，这样一个的等差数列，所以，和是()0.59.519952+⨯=．练习2、答案：240002197；18． 简答：（1）202020202024000=13131313132197⎛⎫++⨯⨯= ⎪⎝⎭原式；（2）135126108⨯⨯=⨯⨯，……，48121816248⨯⨯=⨯⨯， 135246369481212610481261218816248⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯练习3、答案：5．简答： 小数点后第2012位只与11113679、、、有关，而111=362+，11=0.25396879&&+，20126÷余2，所以，2012位是5． 练习4、答案：940；1021． 简答：（1）11111112=2446161829⎛⎫=-+-++-⨯ ⎪⎝⎭L 原式；（2）11111=111=151=14262401515⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 原式．作业6. 答案：22.5．简答：11122233388923103410451091010112123129233444101010112313419102324210212392222191022452⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯⨯⨯=+⨯+⨯++⨯=++++⨯=⨯=L L L L L L L L7. 答案：第666位、2013位数字分别是0、8．简答：同例3的算法． 8. 答案：1837．简答：111133535371111111233535371112371837+++⨯⨯⨯⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=L L ．9. 答案：77312．简答：： 111111232343454561112131111111()21223233411121213111()22121377312+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯=L L ．10. 答案：394272．简答：．按从右上到左下斜线计算，发现分母是2、3、4、5、6……的分数之和依次是0.5、1、1.5、2、……，接下来按等差数列即可得出394272．。
高斯小学奥数六年级上册含答案第19讲 计数综合提高上
第十九讲 计数综合提高上一、 枚举法．1、简单枚举．2、分类枚举．3、特殊的枚举：标数法、树形图．二、 加法原理——分类如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．加法原理的类与类之间会满足下列要求： (1)只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；(2)类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求．三、 乘法原理——分步如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．乘法原理的步与步之间满足下列要求：(1)每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论； (2)步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，……，直到最后．四、 排列：从m 个不同．．的元素中取出n 个（n m ≤），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从m 个不同元素中取出n 个的排列数，记作nm A ，它的计算方法如下：五、 组合：从m 个不同．．元素中取出n 个（n m ≤）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从m 个不同元素中取出n 个不同的组合数，记作nm C ，它的计算方法如下：nm A =()()()[11]121nnmmn n m m m n A C A n n ⨯-⨯⨯-+==⨯-⨯⨯⨯L L L L注意：几个常用公式：1m C m =；01m C =；n m n m m C C -=；0122m m mm m m C C C C +++=L ．六、 一些好用的计数技巧和方法：1. 捆绑法：对于要求必须站在一起的人，可以采用事先捆绑的方法来处理．2. 插空法：对于不能相邻的情况，先把其他人先排好，再把不能相邻的人插入其他人之间的空隙中．3. 有重复数字的数字排列问题，可以用“数字挑位置”的方法解决．4. 数字0不能作为多位数的首位，在计数时需要特别注意．5. 对挑出的对象有特殊要求的计数问题，一般来说要优先考虑有特殊要求的对象或位置，尽可能地让余下的对象或位置的确定变得简单．6. 当满足要求的情况很多时，可以尝试用排除法计算不满足要求的情况，再从所有可能的情况中排除不满足要求的，也能得到问题的答案．例1． 某人射击8枪，命中4枪，命中的4枪中恰好有3枪连在一起的情况有多少种？「分析」首先仔细思考一下命中的4枪之间是否有顺序区别？然后确定其中3枪连在一起的位置选择有多少种情况？练习1、在由1和2组成的六位数中（例如112111、111111等），恰好有3个1连在一起的六位数有多少个？例2． 一种电子表在6时24分30秒的显示为6:24:30，那么从6时到7时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？「分析」分钟的十位和秒钟的十位可能性比较少，所以，应优先确定．练习2、现在我们规定一种记日期的方式，把“2012年05月12日”写作“120512”，即只需写出后面六位数，那么在2013年有多少天按这种计数方式写出的六位数六个数字互不相同？例3．纳达尔和费德勒进行网球比赛，谁先得6分就赢得此局，最后费德勒在第一局6:4获胜，已知在过程中费德勒从未落后过，那么比赛过程一共有多少种不同的可能？「分析」大家还记得最短路线问题中曾经学习过的标数法吗？练习3、皇马和巴萨两队进行足球比赛，最后皇马5:3获胜，已知在过程中皇马从未落后过，那么进球过程一共有多少种不同的可能？例4．小王左口袋里有10张黑卡片，分别写着1到10，右口袋里有10张红卡片，也分别写着1到10．他从两个口袋里各取出一张卡片，然后计算两张卡片上数的乘积，如果乘积恰好是6的倍数，那么共有多少种不同的取法？「分析」两个数的乘积是6的倍数这两个数需要符合什么要求？练习4、小高有12个黑球，分别写着1到12，还有10个红球，分别写着1到10．他从两个种球里各取出一个，然后计算两球上数的乘积，如果乘积恰好是10的倍数，那么共有多少种不同的取法？（注：此题中6不能倒过来当9用，9也不能倒过来当6用）例5．N BA总决赛在洛杉矶湖人和波士顿凯尔特人队之间进行，比赛采用7局4胜制，比赛分为主场和客场，第1，第2，第6，第7场均在洛杉矶进行，第3~5场在波士顿进行．最终湖人队在自己的主场获得总冠军，那么比赛中的胜负结果有多少种可能？「分析」由7局4胜制及主场获胜两个要求你可得出什么？通过分析寻找一下解决这道题目的突破口．例6．各位数字均不大于5，且能被99整除的六位数共有多少个？「分析」99的整除特性是什么，在这道题目中任何应用？年龄“外号”知多少总角：指童年．语出《诗经》，如《诗•卫风•氓》“总角之宴”．垂髫：指童年．古时童子未冠，头发下垂，因而以”垂髫”代指童年．束发：指青少年．一般指15岁左右，这时应该学会各种技艺．及笄：指女子15岁．语出《礼记•内则》“女子……十有五年而笄”．“笄”，谓结发而用笄贯之，表示已到出嫁的年岁．待年：指女子成年待嫁，又称“待字”．弱冠：指男子20岁．语出《礼记•曲礼上》“二十曰弱，冠”．古代男子20岁行冠礼，表示已经成年．而立：指30岁．语出《论语•为政》“三十而立”．以后称三十岁为“而立”之年．不惑：指40岁．语出《论语•为政》“四十而不惑”．以后用“不惑”作40岁的代称．艾：指50岁．语出《礼记•曲礼上》“五十曰艾”．老年头发苍白如艾．花甲：指60岁．作业1.8个同学排成一排照相，其中4个人要站在一起，共有多少种站法？2.甲、乙队之间进行篮球比赛，比赛采用7局4胜制，等比到第6场就分出了胜负，甲赢得了比赛，那么有多少种可能？3.甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，4个人看也不看就随便各拿了1本，那么至少有一人拿错有多少种可能？4.小明左口袋里有8张红卡片，上面写着1到8，右口袋里有8张黑卡片，上面也写着1到8，如果从两个口袋里各取出一张卡片，然后计算得到卡片上两数的乘积，那么能被6整除的乘积共有多少个？（6不能倒过来当9用）5.各位数字均不大于4，且能被99整除的六位数共有多少个？第十九讲 计数综合提高上例7． 答案：20详解：分情况讨论，如果第1到3枪命中，第4枪有4种方法；第2到4枪命中，最后一枪有3种可能；3到5命中，有3种；4到6命中，有3种；5到7命中，3种；6到8命中，4种．共20种情况．例8． 答案：1260详解：从右边数第二位和第四位上的数字可取0到5，第一位和第三位上的数字可取0到5或7到9．乘法原理可知答案为1260．例9．答案：42 详解：画一个的表格，则答案就是在虚线以下部分，从A 到B 的方法数，注意最右面一列不标数，因为有人达到6分比赛即结束，标数，得到答案为42．例10． 答案：35详解：分五类讨论，（1）黑卡和红卡都是6的倍数，此时有1种取法；（2）黑卡是6的倍数而红卡不是6的倍数，此时有9种取法；（3）红卡是6的倍数而黑卡不是6的倍数，此时有9种取法；（4）黑卡上的数字是3或9，红卡上的数字是2、4、8或10，此时有8种取法；（5）红卡上的数字是3或9，黑卡上的数字是2、4、8或10，此时有8种取法．所以共有35种取法．例11． 答案：30详解：湖人在主场获得胜利，则最少打了6场，即可分两种情况讨论：（1）打了6场，则湖人在前5场中输了2场，5选2，有10种可能；（2）打了7场，则湖人在前6场中输了3场，6选3，有20种可能．所以共有30种可能．64例12． 答案：575解法：设六位数为，由其可被99整除且各位数字不大于5，可知，则且，9540531522441432333=++=++=++=++=++=++，所以a 、c 、e 有23种可能（只有a 不能是0），b 、d 、f 有25种可能，所以共有个符合要求的六位数．练习1、答案：12简答：前3位是1，有4种；2到4位是1，有2种；3到5位是1，有2种；4到6位是1，有4种．所以共12种．练习2、答案：30简答：千位（表示月份的十位）只能是0，十位只能是3，其它两个数字共30种情况．练习3、答案：28简答：题目可转化为如右图由A 到B 点共有多少种最短的走法，且必须沿着虚线右下方的边走．由标数法可知共有28种可能．练习4、答案：30简答：黑球数为10时，任意红球均可，红球为10时，任意黑球均可，除去红10黑10重复的情况，共有21种取法，另一类情况是一个球提供质因数2，另一个球提供质因数5，共有4+5=9种取法，所以，本题共有21+9=30种不同取法．2325575⨯= 9b d f ++= 9a c e ++= 99ab cd ef ++= abcdef作业1． 答案：2880简答：把要站在一起的4个人捆绑在一起，由乘法原理可知共有种站法．2． 答案：10简答：甲在第6场取得胜利，则甲赢了第6场且在前5场中赢了3场，即五选三的问题，共有10种可能．3． 答案：23简答：共有4!种情况，减去全拿对的1种情况，则符合要求的情况有23种．4． 答案：21简答：按照例4、练4的方法详解即可．5． 答案：100简答：设六位数为，由其可被99整除且各位数字不大于4，可知，则且， 9441432333=++=++=++，所以a 、c 、e 有10种可能，b 、d 、f 也有10种可能，所以共有个符合要求的六位数．1010100⨯= 9b d f ++= 9a c e ++= 99ab cd ef ++= abcdef 54542880A A ⋅=。
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第十七讲 整数型计算综合提高一、多位数计算1． 凑整、凑9的思想；2． 数字和问题：与一个小于它的数相乘，积的数字和是9×n ．二、等差数列1． 等差数列的“配对”思想； 2． 求和公式：（1） ； （2） ． 3． 项数公式：．4． 第n 项：．三、等比数列：等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是： （1）设等比数列的和为S ；（2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）； （3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果；四、基本公式1． 平方差公式．2． 平方求和．3． 立方求和．五、整数裂项1． ；2． ．()()()()()123123234345124n n n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=L()()()1212233413n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+=L()2333312312n n ++++=+++L L ()()22221211236n n n n ⨯+⨯+++++=L ()()22a b a b a b -=-+()1n +-⨯首项公差()1÷+末项-首项公差 ⨯中间项项数 ()2+⨯÷首项末项项数 99999n 个L 14243一、整数数列基本计算 1． 公式型计算； 2． 平方差公式的应用； 3． 整数裂项：（1）基本裂项：例如1×2、1×2×3等； （2） 高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项． 二、计算技巧 1． 换元思想； 2． 分组思想； 3． 裂项思想；4． 数论思想在计算中的应用；例1． （1）228888888811111111-的计算结果是多少？（2）30830388883333⨯个个L L 1424314243的计算结果的数字和是多少？「分析」（1）还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果，再算数字和．练习1、999999999999999999⨯的计算结果的数字和是多少？例2． 某书的页码是连续的自然数1、2、3、…、9、10、…；小须把这些页码相加时，将其中连续2个页码漏掉了，结果得到2013，那么这本书共有多少页？漏掉的2页是多少？「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了．练习2、把从1开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数，例如：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17，19，21，23，25），（27，29，L L ，79），（81，83，L L ），那么第8组中所有数的和是多少？经典题型例3．对自然数a 和n ，规定1-+=∇n n a a n a ，例如1233232=+=∇，那么： （1）计算：1222302∇+∇++∇L ； （2）计算：2122210∇+∇++∇L ．「分析」首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序．练习3、对自然数a 和n ，规定1n n a n a a -∇=+，例如32333336∇=+=，那么：算式：1323303∇+∇++∇L 的结果是多少？例4．计算：12+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)40⨯⨯⨯⨯⨯L L ． 「分析」试着计算几项，寻找一下规律．练习4、计算：3333333333112123123100112123123100++++++++++++++++++L L L ．例5．计算：12345699100⨯+⨯+⨯++⨯L ． 「分析」这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分．例6．计算：1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-L 「分析」关于阶乘的计算一定牢记：()()!11!n n n ⨯+=+，本题是否有类似计算．数学史上的一代王者——欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家．他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）．欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人．他是把微积分应用于物理学的先驱者之一．欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育．他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过．欧拉是一位数学神童．他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一．欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷．他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人．欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等．欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果．在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作．1733年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26岁的欧拉坐上了科学院的第一把数学交椅．他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居下来，并随遇而安．夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的女儿．后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉．某些传记作家把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可破的习惯．欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一．他很喜欢孩子（他自己曾有13个，但除了5个以外，都很年轻就死了）．他写论文时常常把一个婴儿抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩．他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松．许多关于他才思横溢的传说流传至今．有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文．文章一写完，就放到给印刷者准备的不断增高的稿子堆儿上．当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一打．这样一来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒．由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反．1730年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)当了女皇．就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了．而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治．10年里，欧拉沉默地埋头工作．这中间，他遭受了第一次巨大的不幸．他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了．可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了．欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了．欧拉的专著和论文多达800多种．小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的．作业1. 333333333333⨯的计算结果的数字和是多少？2. 甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加5个，乙背单词的数量每天增加1倍，已知第一天二人共背了33单词，第二天二人共背了40个单词，那么从第几天起乙每天背的单词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？3. 计算：（1）222221222340++++L ；（2）222224642++++L ；（3）222213523+++L ，的结果？4. 计算：139238337436391⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L ．5. 已知一个平方数加上143后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？第十七讲 整数型计算综合提高例题：例7． 答案：7777777622222223；270详解：（1）根据平方差公式可得： ()()()2288888888111111118888888811111111888888881111111199999999777777777777777710000000017777777700000000777777777777777622222223-=+⨯-=⨯=⨯-=-=（2）凑整可得：30830330830310296309929697038888333388883333332962962969999296296295703703704⨯=÷⨯⨯=⨯=L L L L 14243142431424314243L L L L 1442443142431424314243个个个个个个个个数字和是270．例8． 答案：这本书共有64或63页；漏掉的两页是33、34或1、2详解：123642080++++=L ．所以共64页，差的两个页码的和是67，所以是33页和34页．123632016++++=L ．所以也可以数63页，差的两个页码的和是3，所以是1页和2页．例9．答案：（1）9920；（2）3069 详解：（1）根据题目定义的新运算可得：()()()()()2222212302112230301301309920∇++∇=++++++=+++++=L L L L ； （2）()()()10211092122210222222∇+∇++∇=++++++L L()()1210019111022222222213069=+++++++=-+-=L L ．例10． 答案：46970详解：()()()()()()2222222233322212+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)401223342021=2464022221223342021111221331202011220122046970⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯++⨯=⨯++⨯++⨯+++⨯+=+++++++=L L L L L L L例11． 答案：169150详解：()()()()()()22222221234569910022446610010024100241001717002550169150⨯+⨯+⨯++⨯=-+-+-++-=+++-+++=-=L L L L例12． 答案：1详解：()()()()()()()()()1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!1!122!133!142010!120112011!120122012!1!2!2!3!3!4!2010!2011!2011!2012!2012!1⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-=⨯+-⨯++⨯+--⨯++⨯+-=+-+++--+++-=L L L练习：练习1、答案：81 简答：11111111199111111111=1234567999999999912345678987654321=÷⨯⨯⨯=原式结果数字和为81．练习2、 答案：9563751简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是3的次方，即1，3，9，27，81，L L ，从而第8组第1个数为2187，第9个组第1个数为6561，即求218721896559+++L L ，等差数列求和得()21876559218729563751+⨯÷=．练习3、答案：225680简答：3232323213233031122333030∇+∇++∇=++++++++L L222233331233012330225680+++++++++=L L ．练习4、 答案：171700简答：需要借助这样一个公式：()23333123123n n ++++=++++L L L L ，因此，原式1(12)(123)(123100)(122334100101)2=+++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯÷L L L()()22211210021210021001012012505021717006=+++÷++++÷=⨯⨯⨯÷+÷=L L ．作业6. 答案：54简答：333333333333111110888889⨯=，数字和是54．7. 答案：6；8简答：设第一天两人分别背了a 、b 个单词，所以甲第n 天背5(1)a n +-个单词，乙第n 天背12n b -个单词，由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程33a b +=和5240a b ++=，可求得a 和b 分别为31和2，可知答案为6；8．8. 答案：（1）19270；（2）13244；（3）23009. 答案：10660简答：2221(401)2(402)39(4039)40(1239)(1239)=⨯-+⨯-++⨯-=⨯+++-+++L L L 原式 10660=．10. 答案：1或5041简答：设已知关系式为22143a b +=，应用平方差公式有()()143b a b a +-=，然后讨论143的约数知两数和与差分别为143与1，或13与11，所以可得答案为1或5041．。