11集合的含义及其表示
集合的含义及表示方法
确定性
集合中的元素具有确定性，即每个元素是否属于某个集合是明确的。对于任意一 个元素，如果它属于某个集合，则它只属于该集合；如果不属于该集合，则它与 该集合没有关系。
确定性的性质使得集合可以准确地描述事物的分类和归属问题，是数学和计算机 科学中基本的概念之一。
集合的含义及表示方法
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义
01 集合是由确定的、不同的元素所组成的总体 。
02
集合中的元素具有确定性，即每一个对象是 否属于某个集合是确定的。
03
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有 重复的元素。
04
集合中的元素具有无序性，即集合中元素的 排列顺序不影响集合本身。
数据库系统
数据库系统是计算机科学中用来存储和管理大量数据的重要工具。集合理论在数据库设计 中起着重要的作用，例如关系数据库中的表可以看作是集合的表示。
在日常生活中的应用
分类问题
在生活中，我们经常需要对事物进行分类。集合可以用来表示不同的类别，帮助我们更好地组织 和理解事物。
决策制定
在决策制定过程中，我们经常需要考虑多个因素或条件。集合可以帮助我们表示这些因素或条件 ，并分析它们之间的关系，从而做出更好的决策。
03
补集
补集是指全集中不属于某个集合的元素组成的集合。
补集的表示方法是在一个集合后面加上"′"，例如：A′。
补集运算满足反演律，即A′=(全集−A)∪(全集−B)。
03
集合的性质
无序性
集合中的元素没有固定的顺序，即元素的位置不影响集合的性质。例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,2,1}是同一个集合，因为 元素的无序性，集合A和集合B具有相同的性质。
集合的含义与表示
集合的含义与表示目录集合的含义与表示 (1)知识点： (1)一、集合的三性：确定性、互异性、无序性 (3)①确定性 (3)②互异性 (4)二、集合的表示方法 (7)①元素与集合的关系 (7)②列举法 (8)③描述法 (10)三、区别点集与数集 (11)知识点：1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
①列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}②描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4.集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5.元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A∉（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集N*或N+；整数集Z；有理数集Q；实数集R.一、集合的三性：确定性、互异性、无序性①确定性1.下列各组对象能够构成集合的是( )A. 我国所有的老人B. 我们班的高个子C. 长命万岁的人D. 我国的小河流答案：C。
集合的概念与表示方法
集合的概念与表示方法集合是数学中一个基本概念，它是将具有共同特征的对象组合在一起形成的整体。
在实际生活中，我们经常会接触到各种各样的集合，比如家庭成员的集合、学生的集合、数字的集合等等。
本文将介绍集合的概念以及常见的表示方法。
一、集合的概念集合是由一些元素组成的整体，这些元素可以是任何事物，可以是数字、字母、符号或者其他对象。
集合中的元素没有顺序之分，每个元素只能出现一次。
集合可以用大括号{}括起来表示，元素之间用逗号隔开。
例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}表示由数字1、2、3、4、5组成的集合。
集合的表示还可以使用描述法或特征法。
描述法是通过描述集合的元素属性或条件来表示集合。
例如，表示由奇数组成的集合可以写为{ x | x∈N, x是奇数 }，其中符号“|”表示“属于”，“∈”表示“是集合”的元素，N表示自然数集。
特征法是通过列举出集合的元素来表示集合。
例如，表示由元音字母组成的集合可以写为{ a, e, i, o, u }。
二、集合的表示方法在数学中，常见的集合表示方法包括列表法、描述法、数学公式表示法等。
1. 列表法列表法是一种简单直观的表示方法，在其中直接列举出集合的元素。
例如，表示所有人的集合可以写为{ 张三, 李四, 王五 }，表示由自然数组成的集合可以写为{ 1, 2, 3, ... }。
2. 描述法描述法是通过描述集合中元素的特征或满足的条件来表示集合。
例如，表示大于0且小于10的整数集合可以写为{ x | 0 < x < 10 }，表示由英文字母组成的集合可以写为{ x | x 是英文字母 }。
3. 数学公式表示法数学公式表示法是一种更具抽象性的表示方法，可以用数学符号和公式来表示集合。
例如，表示由数字1和2组成的集合可以写为{ x ∈N | x ≤ 2 }，表示由正整数构成的集合可以写为{ x ∈ Z+ | x > 0 }。
三、集合的运算在集合论中，还存在着一些常见的集合运算，包括并集、交集、补集和差集。
人教A版(2019)必修1《11_集合的概念》2020年同步练习卷(2)
人教A版（2019）必修1《1.1 集合的概念》2020年同步练习卷（2）一、选择题1. ①某班很聪明的同学；②方程x2−1＝0的解集；③漂亮的花儿；④空气中密度大的气体．其中能组成集合的是（）A.②B.①③C.②④D.①②④2. 下列所给关系正确的个数是（）①π∈R；②√3∉Q；③0∈N∗；④|−4|∉N∗．A.1B.2C.3D.43. 方程组{x+y=2，x−y=0的解构成的集合是( )A.{(1,1)}B.{1,1}C.(1,1)D.{1}4. 下列说法中不正确的是()A.0与{0}表示同一个集合B.集合M={3, 4}与N={(3, 4)}表示同一个集合C.方程(x−1)2(x−2)=0的所有解的集合可表示为{1, 1, 2}D.集合{x|4<x<5 }不能用列举法表示二、填空题已知集合A含有两个元素1，2，集合B表示方程x2+ax+b＝0的解的集合，且集合A 与集合B相等，则a+b＝________．设集合M＝{1, 3, 6, 9, 12, 15}，集合N满足：①有两个元素；②若x∈N，则x+3∈M且x−3∈M．请写出两个满足条件的集合N:N＝________；N＝________．三、解答题选择适当的方法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）24的所有正因数组成的集合；（3）三角形的全体组成的集合．四、选择题下列关于集合的命题正确的有（）①很小的整数可以构成集合；②集合{y|y＝2x2+1}与集合{(x, y)|y＝2x2+1}是同一个集合；③1，2，|−12|，0.5，12这些数组成的集合有5个元素．A.0个B.1个C.2个D.3个若1∈{x+2, x2}，则实数x的值为（）A.−1B.1C.1或−1D.1或3已知集合A＝{−2, 2}，B＝{m|m＝x+y, x∈A, y∈A}，则集合B等于（）A.{−4, 4} B.{−4, 0, 4} C.{−4, 0} D.{0}已知x，y为非零实数，则集合M＝{m|m=x|x|+y|y|+xy|xy|}为（）A.{0, 3}B.{1, 3}C.{−1, 3}D.{1, −3}定义集合A、B的一种运算：A∗B={x|x=x1+x2, x1∈A, x2∈B}，若A={1, 2, 3}，B={1, 2}，则A∗B中的所有元素之和为（）A.21B.18C.14D.9五、填空题设集合A＝{x|x2−3x+a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．已知方程组{ax+y=bx+by=−a的解集是{(1, 1)}，则(a, b)＝________．已知集合A＝{2, a2+1, a2−a}，B＝{0, 7, a2−a−5, 2−a}，且5∈A，则集合B＝________．已知集合A＝{m∈N|4m ∈N}，B＝{4m∈N|m∈N}，则集合A＝________；B＝________．已知集合A＝{x|ax2−3x+2＝0}，其中a为常数，且a∈R．（1）若A是单元素集合，求a的取值范围；（2）若A中至少有一个元素，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．已知集合A＝{k+1, k+2, ......, k+n}，k，n为正整数，若集合A中所有元素之和为2019，则当n取最大值时，集合A＝________．∈A(a≠1)．求证：设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11−a（1）若2∈A，则A中必有另外两个元素；（2）集合A不可能是单元素集．参考答案与试题解析人教A版（2019）必修1《1.1 集合的概念》2020年同步练习卷（2）一、选择题1.【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】本题考查的是集合元素的特点：互异性、确定性、无序性．根据集合特点逐一进行判断即可．【解答】①某班很聪明的同学，不确定，不是集合，②方程x2−1＝0的解集；解集为{1, −1}，是集合，③漂亮的花儿，不确定，不是集合，④空气中密度大的气体，不确定，不是集合．2.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据元素与集合之间的关系判断四个结论是否正确【解答】解：①π∈R，故①正确；②√3∉Q，故②正确；③0∉N∗，故③不正确；④|−4|∈N∗．故④不正确.综上，正确的有①②.故选B.3.【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】通过解二元一次方程组求出解，利用集合的表示法：列举法表示出集合即可．【解答】解：{x+y=2，x−y=0，解得{x =1，y =1，所以方程组{x +y =2，x −y =0的解构成的集合是{(1,1)}. 故选A ． 4.【答案】 A,B,C 【考点】集合的确定性、互异性、无序性 元素与集合关系的判断 集合的含义与表示【解析】利用元素与集合的关系、集合的性质及其表示法、集合的运算即可判断出． 【解答】解：A ，0是一个元素（数），而{0}是一个集合，二者是属于与不属于的关系，选项不正确；B ，集合M ={3, 4}表示数3，4构成的集合，而N ={(3, 4)}表示点集，选项不正确；C ，集合的元素具有互异性，不允许重复，因此方程(x −1)2(x −2)=0的所有解的集合可表示为{1, 2}，选项不正确；D ，集合{x|4<x <5}含有无穷个元素，不能用列举法表示，选项正确. 故选ABC . 二、填空题【答案】 −1【考点】 集合的相等 【解析】由集合A 与集合B 相等，列出方程组，求出a ＝−3，b ＝2．由此能求出a +b ． 【解答】∵ 集合A 含有两个元素1，2，集合B 表示方程x 2+ax +b ＝0的解的集合， 且集合A 与集合B 相等， ∴ {1+a +b =04+2a +b =0，解得a ＝−3，b ＝2．∴ a +b ＝−3+2＝−1． 【答案】 {6, 9},{9, 12} 【考点】元素与集合关系的判断 【解析】根据题中条件，若x ∈N ，则x +3∈M 且x −3∈M ，可知集合N 中的元素与3的和与差，都是集合M 中的元素． 【解答】因集合N 中只有两个元素，并且若x ∈N ，则x +3∈M 且x −3∈M ，可知x 可以取6，9，12，又因为集合N中只有两个元素，所以集合N可以是{6, 9}，{9, 12}，三、解答题【答案】被5除余1的正整数组成的集合＝{x|x＝5n+1, n∈N}；24的所有正因数组成的集合＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}；三角形的全体组成的集合＝{三角形}．【考点】集合的含义与表示【解析】根据元素的特点选择列举法或描述法表示即可．【解答】被5除余1的正整数组成的集合＝{x|x＝5n+1, n∈N}；24的所有正因数组成的集合＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}；三角形的全体组成的集合＝{三角形}．四、选择题【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】①由集合元素的性质：确定性可知错误；②中注意集合中的元素是什么；③中注意元素相等的情况．【解答】①错误，很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；②错误，集合{y|y＝2x2+1}的元素为实数，而集合{(x, y)|y＝2x2+1}的元素是点；③错误，|−12|=0.5=12这三个数算一个元素，从而命题③错误故正确的有0个．【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】分类讨论，当x＝1时，x+2＝3，满足要求，当x＝−1时，−1+2＝1，不满足元素的互异性，即可得答案．【解答】由1∈{x+2, x2}，可得x2＝1，则x＝±1．当x＝1时，x+2＝3，满足要求，当x＝−1时，−1+2＝1，不满足元素的互异性，∴x＝1．【答案】B【考点】集合的含义与表示【解析】由已知中集合A＝{−2, 2}，B＝{m|m＝x+y, x∈A, y∈A}，代入运算可得答案．【解答】∵集合A＝{−2, 2}，B＝{m|m＝x+y, x∈A, y∈A}，∴集合B＝{−4, 0, 4}，【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】分类讨论，化简集合M，即可得出结论．【解答】x>0，y>0，m＝3，x>0，y<0，m＝−1，x<0，y>0，m＝−1，x<0，y<0，m＝−1，∴M＝(−1，3}．【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据新定义A∗B={x|x=x1+x2, x1∈A, x2∈B}，把集合A与集合B中的元素分别代入再求和即可求出答案．【解答】解：∵A∗B={x|x=x1+x2, x1∈A, x2∈B}，A={1, 2, 3}，B={1, 2}，∴A∗B={2, 3, 4, 5}，∴A∗B中的所有元素之和为：2+3+4+5=14，故选C．五、填空题【答案】{4, −1}【考点】集合的含义与表示【解析】根据4∈A，求出a，进而求出结论．【解答】∵集合A＝{x|x2−3x+a＝0}，若4∈A，则42−3×4+a＝0⇒a＝−4；∴集合A＝{x|x2−3x−4＝0}＝{4, −1}，【答案】(−1, 0)【考点】两条直线的交点坐标【解析】依题意，可建立方程组{a+1=b1+b=−a，解出即可．【解答】依题意，{a +1=b 1+b =−a，解得{a =−1b =0 ．【答案】{0, 7, 1, 4} 【考点】元素与集合关系的判断 【解析】利用5∈A ，进行分类讨论，a 2+1＝5，或a 2−a ＝5，再考虑集合元素具有互异性． 【解答】因为5∈A ，所以a 2+1＝5，或a 2−a ＝5；解得a ＝±2，1−√212,1+√212，因集合元素具有互异性，所以a ＝−2，此时B ＝{0, 7, 1, 4}． 【答案】{1, 2, 4},{1, 2, 4}【考点】集合的含义与表示 【解析】求出满足集合性质的元素，用列举法表示该集合，可得答案． 【解答】∵ 集合A ＝{m ∈N|4m∈N}＝{1, 2, 4}，B ＝{4m∈N|m ∈N}＝{1, 2, 4}，【答案】当a ＝0时，A ＝{x|−3x +2＝0}＝{23}，符合题意；当a ≠0时，要使A 是单元素集合，则△＝(−3)2−8a ＝0，解得a =98，∴ A ＝{43}．综上，当a ＝0时，A ＝{23}， 当a ≠0时，A ＝{43}；当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，要使A 中至少有一个元素，则△＝(−3)2−8a ≥0，解得a ≤98．∴ a 的取值范围是(−∞, 98]．A 中有两个元素时，需满足a ≠0且△＝(−3)2−8a >0， 即a <98且a ≠0；故A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是：[98, +∞)∪{0}．【考点】集合的含义与表示 【解析】（1）分二次项系数为0和不为0求解方程ax 2−3x +2＝0，得到单元素集合A ；（2）二次项系数为0满足题意，二次项系数不为0时，由判别式大于等于0求得a 的取值范围．（3）可考虑研究有两个元素的情况，求其补集即可． 【解答】当a ＝0时，A ＝{x|−3x +2＝0}＝{23}，符合题意；当a ≠0时，要使A 是单元素集合，则△＝(−3)2−8a ＝0，解得a =98，∴ A ＝{43}． 综上，当a ＝0时，A ＝{23}， 当a ≠0时，A ＝{43}；当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，要使A 中至少有一个元素，则△＝(−3)2−8a ≥0，解得a ≤98．∴ a 的取值范围是(−∞, 98]．A 中有两个元素时，需满足a ≠0且△＝(−3)2−8a >0， 即a <98且a ≠0；故A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是：[98, +∞)∪{0}．【答案】{334, 335, 336, 337, 338, 339} 【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由题意利用等差数列的前n 项和公式，分类讨论n ，得出结论． 【解答】∵ 集合A ＝{k +1, k +2, ......, k +n}，k ，n 为正整数，∴ A 中共有n 个正整数，且这n 个正整数从小到大排列，构成以k +1为首项，以1位公差的等差数列．若集合A 中所有元素之和为 n(k +1)+n(n−1)2=2k+n+12⋅n =2019＝3×673，当n 为偶数时，设n ＝2m ，m 为正整数，(2k +2m +1)⋅m ＝3×673， ∴ m ＝3，2k +2m +1＝673， 即 m ＝3，n ＝6，k ＝333．当n 为奇数时，设n ＝2m +1′，m 为正整数，(k +m +1)⋅(2m +1)＝3×673， ∴ 2m +1＝3，k +m +1＝673， 即 m ＝1，n ＝3，k ＝671．故n 的最大值为6，此时，A ＝{334, 335, 336, 337, 338, 339}． 【答案】∵ a ∈A ，则11−a ∈A(a ≠1)．而2∈A ，则11−2=−1∈A ，11−(−1)=12∈A ．∴A中必有另外两个元素−1，12．由a∈A，则11−a∈A(a≠1)．∴11−11−a =1−a−a=1−1a≠1，又1−1a≠a，∴1−1a∈A，不是单元素集．【考点】元素与集合关系的判断【解析】（1）由题意可得2∈A，11−2=−1∈A，11−(−1)∈A．即可得出．（2）由a∈A，则11−a ∈A(a≠1)．可得11−11−a=1−a−a=1−1a≠1，又1−1a≠a，即可得出．【解答】∵a∈A，则11−a∈A(a≠1)．而2∈A，则11−2=−1∈A，11−(−1)=12∈A．∴A中必有另外两个元素−1，12．由a∈A，则11−a∈A(a≠1)．∴11−11−a =1−a−a=1−1a≠1，又1−1a≠a，∴1−1a∈A，不是单元素集．。
集合的含义及其表示
集合的含义及其表示1.1集合的含义及其表示一.课标解读 1.《普通高中数学课程标准》明确指出：“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系；能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.” 2.重点:集合的概念与表示方法.3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合. 二.要点扫描 1.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质：⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。
设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
3.集合与元素之间的关系集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。
例如：是集合的元素，记作，读作“ 属于”；不是集合的元素，记作，读作“ 不属于”。
4.集合的分类集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。
特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。
5.集合的表示方法⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。
例如：集合可以用它的特征性质描述为{ }，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。
除此之外，集合还常用韦恩图来表示，韦恩图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法（有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素），同学们在下节课中会接触到这个内容。
高三复习数学11_集合与命题(有答案)
1.1 集合与命题一、解答题。
1. 集合与元素(1)集合元素的三个特征：________、________、________．(2)元素与集合的关系是________或________关系，用符号________或________表示．(3)集合的表示法：________、________、________．2. 集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A________B（或________）．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A________B（或B________A）．(3)空集：空集是任意集合的子集，是任何非空集合的真子集．即⌀⊆A，⌀________B （B≠⌀）．(4)若A含有n个元素，则A的子集有________个，A的非空子集有________个，非空真子集有________个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则________．3. 集合的运算4. 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题．其中________的语句叫真命题，________的语句叫假命题．（常见结构：若p，则q）5. 简单的逻辑联结词(1)命题中的“________”、“________”、“________”叫做逻辑联结词．含逻辑联接词的命题称为复合命题．(2)简单复合命题的真值表：记忆口诀：“p∧q命题”________；“p∨q命题”有真为真；“¬p命题”________．6. 四种命题及相互关系7. 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________关系．8. （2019·河北衡水中学模拟）已知集合A={x|y=√x2−2x}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A.[1,+∞）B.[2,+∞)C.(−∞,0]∪[2,+∞)D.[0,+∞）9. 已知集合A={x|−1<x<2}，B={y|y=x+a,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}，若B⊆C求实数a的取值范围．10. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2+4(m−2)x+1>0的解集为R．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．11. 命题p：函数y=3x−3−x是R上的增函数．命题q：函数y=3x+3−x是R上的减函数．则在命题p∨q，p∧q，(¬p)∧q，p∧(¬q)中，真命题个数是________．12. （2019·济南一中模拟）原命题：“a，b为两个实数，若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A.逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，为假命题B.否命题为：a，b为两个实数，若a+b<2，则a，b都小于1，为假命题C.逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a+b<2，为真命题D.a，b为两个实数，“a+b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件13. 设A={x|x2+px+q=0}≠⌀，M={1,3,5,7,9}，N={1,4,7,10}．若A∩M=⌀，A∩N=A，求p、q的值．14. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ __________________15. 已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x−2,x∈A}，则A∩B=（）A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}16. 设集合A={x∈N|14≤2x≤16}，B={x|y=ln(x2−3x)}，则A∩B中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.417. 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A.若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数18. 已知集合A={1,3,√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=（）A.0或√3B.0或3C.1或√3D.1或319. 已知c>0且c≠1，设P：函数y=c x在R上单调递减；Q：不等式x+|x−2c|>1的解集为R，若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则c的取值范围是（）A.(12,+∞) B.(1,+∞) C.(0,12] D.(0,12]∪(1,+∞)20. 已知命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是（ ）A.否命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数，则m >1”是真命题B.逆命题“若m ≤1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题21. 下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab =0，则a =0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60∘”的逆否命题．其中真命题的序号是________（把所有真命题的序号填在横线上）22. 已知M ={(x,y)|y−3x−2=a +1}，N ={(x,y)|(a 2−1)x +(a −1)y =15}，若M ∩N =⌀，则a 的值为________．23. 非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若对∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2+ax +1=0}；②{x|x 2−4x +1<0}；③{y|y =ln x x ，x ∈[1e ,1)∪(1,e]}；④{y|y ={2x +25，x ∈[0,1)x +1x，x ∈[1,2]}． 其中“互倒集”的个数是________．24. 已知集合A ={x|x 2−2x −3≤0},B ={x|x 2−2mx +m 2−4≤0,x ∈R ,m ∈R } 若A ∩B =[0,3]，求实数m 的值；若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．25. 已知集合A ={y|y 2−(a 2+a +1)y +a (a 2+1)>0}，B ={y|y =12x 2−x +52,0≤x ≤3}．若A ∩B =⌀，求a 的取值范围；当a 取使不等式x 2+1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A)∩B ．26. 已知全集U=R，非空集合A={x|x−2x−(3a+1)<0}，B={x|x−a2−2x−a<0}．当a=12时，求(∁U B)∩A；命题p:x∈A，命题q:x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析1.1 集合与命题一、解答题。
集合的含义及其表示知识梳理
集合的含义及其表示一、集合1．集合某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Aa∈；若b不是集合A的元素，记作Ab∉；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N；；正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R 。
2．集合的包含关系（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作AB ；（2）简单性质：1）A ⊆A ；2）Φ⊆A ；（3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ； （4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）；3．全集与补集（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；（2）若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集；（3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S =Φ，ΦS C =S 。
高一数学集合知识点总结
高一数学集合知识点总结由一个或多个元素所构成的叫做集合，集合是数学中一个基本概念，它是集合论的讨论对象，集合是指具有某种特定性质的详细的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。
下面给大家共享一些关于（高一数学）集合学问点（总结），盼望对大家有所关心。
高一数学集合学问点1集合及其表示1、集合的含义：“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师常常喊的“全体集合”。
数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。
所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。
比如高一二班集合，那么全部高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。
2、集合的表示通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a，b，c}。
a、b、c就是集合A中的元素，记作a∈A，相反，d不属于集合A，记作d?A。
有一些特别的集合需要记忆：非负整数集(即自然数集)N正整数集N-或N+整数集Z有理数集Q实数集R集合的表示（方法）：列举法与描述法。
①列举法：{a,b,c……}②描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来。
如{x?R|x-32},{x|x-32}，{(x,y)|y=x2+1}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}例：不等式x-32的解集是{x?R|x-32}或{x|x-32}强调：描述法表示集合应留意集合的代表元素A={(x,y)|y=x2+3x+2}与B={y|y=x2+3x+2}不同。
集合A中是数组元素(x，y)，集合B中只有元素y。
3、集合的三个特性(1)无序性指集合中的元素排列没有挨次，如集合A={1,2}，集合B={2,1}，则集合A=B。
例题：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。
解：，A=B留意：该题有两组解。
(2)互异性指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示为{2}(3)确定性集合的确定性是指组成集合的元素的性质必需明确，不允许有模棱两可、含混不清的状况。
集合的含义表示及基本关系
集合的含义表⽰及基本关系学校：年级：课时数：学员姓名：辅导科⽬：数学学科教师：教学⽬标(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常⽤数集及其专⽤记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.⽆序性；(4)会⽤集合语⾔表⽰有关数学对象；（5）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（6）理解在给定集合中⼀个⼦集的补集的含义，会求给定⼦集的补集；（7）能⽤Vern图表达集合的关系及运算，体会直观图⽰对理解抽象概念的作⽤。
教学内容集合的含义与表⽰及基本关系（⼀）集合的有关概念⒈定义：⼀般地，把⼀些能够确定的不同的对象看成⼀个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
2.表⽰⽅法：集合通常⽤⼤括号{ }或⼤写的拉丁字母A,B,C…表⽰，⽽元素⽤⼩写的拉丁字母a,b,c…表⽰。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全⼀样。
4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作5.常⽤的数集及记法：⾮负整数集（或⾃然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定⼀个集合，那么任何⼀个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四⼤洋”（太平洋,⼤西洋，印度洋，北冰洋）。
“中国古代四⼤发明”（造纸，印刷，⽕药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；⽽“⽐较⼤的数”，“平⾯点P周围的点”⼀般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：⼀个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。
.如:⽅程(x-2)(x-1)2=0的解集表⽰为{1,-2},⽽不是{1,1,-2}⑶⽆序性：即集合中的元素⽆顺序,可以任意排列、调换。
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第一章集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
1.1.2 集合间的基本关系
1.1.3 集合的基本运算
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
1.2.2 函数的表示法
1.3 函数的基本性质
1.3.1单调性与最大（小）值
1.3.2 奇偶性
第二章基本初等函数
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1.2 指数函数及其性质
2.2 对数函数
2.2.1对数与对数运算（一）
2.2.1对数与对数运算（二）
2.2.2对数函数及其性质
2.3 幂函数
第三章函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
3.1.2 用二分法求方程的近似解
3.2 函数模型及其应用
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集合的意义及其表示方法
集合的意义及其表示方法宝子们，今天咱们来唠唠集合这个超有趣的数学概念哦。
集合呢，简单来说就是把一些东西放在一起啦。
你可以想象成是把你喜欢的小零食都放在一个大盒子里，这个大盒子就是集合。
比如说，你有一堆水果，苹果、香蕉、橘子，那这些水果就可以组成一个集合。
它的意义就在于把有共同特点或者关联的东西归拢到一块儿，方便我们去研究、描述和处理。
那集合怎么表示呢？有好几种超酷的方法呢。
一种是列举法。
这就像是报菜名一样。
比如说那个水果集合，我们就可以写成{苹果，香蕉，橘子}。
把集合里的元素一个一个清楚地列出来。
不过呢，要是集合里的元素超级多，多到数不过来，那这种方法可能就有点累人啦。
还有一种是描述法。
这就像是给这个集合写个小传一样。
比如说所有大于5的整数组成的集合，我们就可以写成{x|x是整数且x > 5}。
这个小竖线前面的x表示集合里的元素，后面呢就是描述这个元素要满足的条件。
这种方法就很适合那种元素有规律但是又很多的集合哦。
再有一种是韦恩图。
这个可好玩啦，就像画画一样。
我们画一个大圈圈，这个圈圈就代表集合。
如果有好几个集合，它们之间有交叉啊、包含啊之类的关系，我们就可以用不同的圈圈来表示，然后看它们之间的关系一目了然。
比如说有一个集合是所有的宠物，另一个集合是所有的猫，那猫的集合就是宠物集合里面的一部分，我们就可以用韦恩图把这种包含关系清楚地画出来。
集合在生活里也到处都有哦。
像班级里的同学就可以看成一个集合，学校里的各个班级又可以看成一个个集合，然后学校就是这些班级集合组成的更大的集合。
是不是很神奇呢？所以呀，集合这个概念虽然听起来有点抽象，但实际上它就在我们身边，而且它的表示方法也是多种多样，各有各的妙处呢。
宝子们，现在是不是对集合有点感觉啦？。
集合的含义及其表示
1.1集合1.1.1 集合的含义及其表示1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a 、b 、c 、p 、q ……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
①我国的直辖市；②十四中高一③班全体学生；④较大的数⑤young 中的字母；⑥大于100的数； 2．关于集合的元素的特征： ①确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
②互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
③无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； ①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （不能把a ∈A 颠倒过来写） 4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。
5. 集合的分类①有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合； ②无限集：集合中元素的个数是不可数的； ③空集：不含有任何元素的集合，记做∅. 6．常用数集的记法：①非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N②正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{},3,2,1*=N③整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z ④有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q⑤实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：①自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0②非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *7．集合的表示方法：①自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
集合的定义及其表示知识点总结及练习
集合的定义及其表示知识点总结及练习(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--集合的含义及其表示学习目标：1．通过实例了解集合的含义，理解元素与集合之间的关系；并记住几种常见数集的表示；2．理解并掌握用列举法和描述法表示集合的方法，理解集合相等的概念；3．了解集合的分类．重点难点：元素与集合之间的关系和集合的表示方法．授课内容：一、知识要点1．集合的含义：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为集合的元素．（１）元素与集合的关系a∈；若a是集合A的元素，记作Ab∉．若b不是集合A的元素，记作A（２）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关．（３）常用数集及其记法：自然数集，记作 N；；正整数集，记作 N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作 Q；实数集，记作 R．2．集合的表示方法：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内即：{x∣p(x)}．图示法：用一条封闭曲线的内部（或数轴）表示一集合的方法．包括：维恩图和数轴法3．集合的分类：根据元素个数的多少可分为：有限集合、无限集；特别地，我们把不含有任何元素的集合叫空集，记作．相等集合：．二、典型例题知识点1：集合的含义1．判断下列每组对象能否构成一个集合（1）所有3的倍数（2）很大的数的全体（3）中国的直辖市（4）young中的字母（5）平面上到点O的距离等于5的点的全体（6）所有的偶数（7）所有直角三角形（8）满足3x-2>x+3的全体实数（9）方程210x x++=的实数解（10）π的近似值（11）世界上最高的山峰（12）高一数学课本中的难题2．用符合“∈”或“?”填空（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国 A；美国 A；印度 A；英国 A．（2）0_______N* π________R 227_______Q cos300_______Z（3）集合A 中的元素由∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A 的关系．○10 23知识点2：集合中元素的性质3．若方程x 2-5x +6=0和方程x 2-x -2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为 ．4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则a 的取值可以是 ．5．只有三个元素的集合1，a ，b a ，也可表示为0，a 2，a+b ，求a 2005+ b 2006的值．6．不包含-1，0，1的实数集A 满足条件a ∈A ，则11a a+-∈A ，如果2∈A,求A 中的元素．7．定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==Θ，设集合}3,2{},1,0{==B A ，求集合B A Θ．8．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠，当,,a b c 分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素．知识点3：集合的表示9．用列举法表示下列集合：（1）中国国旗的颜色的集合；（2）单词mathematics 中的字母的集合；（3）自然数中不大于10的质数的集合；（4）同时满足240121x x x +>⎧⎨+≥-⎩的整数解的集合；（5）由||||(,)a b a b R a b+∈所确定的实数集合； （6）{(x,y)|3x+2y=16，x ∈N ，y ∈N }．10．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使y =有意义的x 的集合； （3）方程x 2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x 2+3x-6上所有点的集合；11．下列语句中，正确的是 （填序号）．（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2}（4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示．12．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）．（1）M ={3，2}，N ={2，3} （2）M ={(3，2)}，N ={（2，3）}（3）M ={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M ={1，2}，N ={(1,2)}13．下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集的是 （填序号）．（1）{1,2},x y == (2){1,2}(3){(1,2)} （4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或 （6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x14．设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”．（1）试写出只有一个元素的集合A ；（2）试写出只有两个元素的集合A ；（3）这样的集合A 至多有多少个元素；（4）满足条件的集合A 共有多少个．三、课堂练习1．下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若－a 不属于N ，则a 属于N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④x 2＋1＝2x 的解集可以表示为{1，1}．其中正确命题的个数为________．2．集合A ＝{x 2,3x ＋2,5y 3－x}，B ＝{周长等于20 cm 的三角形}，C ＝{x | x －3＜2，x ∈R}，D ＝{(x ，y)|y ＝x 2－x －1}，其中用描述法表示集合的有________．3．已知集合A 中含有三个元素2,4,6，且当a ∈A 时，有6－a ∈A ，那么a 为________．4．设P 、Q 是两个非空集合，定义P*Q ＝{ab|a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{1,2,3}，则P*Q 中元素的个数是________．5．已知集合M ＝{x|x ＝7n ＋1，n ∈N}，则2010________M ，2011________M ． (填∈或?)．6．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m|m ＝x |x|＋y |y|＋xy |xy|}为________． 7．已知集合A ＝{(x ，y)|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y)|y ＝x ＋3}，若a ∈A ，a ∈B ，则a 的值为________．8．已知集合A ＝{0,2,3}，定义集合运算A ※A ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A}，则A ※A ＝________．9．由下列对象组成的集体属于集合的是________．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生．10．用符号“∈”或“?””填空(1)0________N ，5________N ，16________N ；(2)－12________Q ，π________Q； (3) 2－3＋2＋3________{x|x ＝a ＋6b ，a ∈Q ，b ∈Q}．11．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝1的解集用集合表示为__________．12．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示是____________．13．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集．(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合；(3)由方程x 2＋x ＋1＝0的实数根组成的集合；(4)由所有周长等于10 cm 的三角形组成的集合．14．已知集合A＝{x|126－x∈N，x∈N}，试用列举法表示集合A．15．已知集合A＝{a－3,2a－1，a2＋1}，a∈R．(1)若－3∈A，求实数a的值；(2)当a为何值时，集合A的表示不正确．。
人教版高中必修一 111 《集合的含义与表示》 课件
新知探索
例题讲解
例1、用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x²=x的所有实数根组成的集合； （3 ) 小于100的所有奇数．
注意：由于元素具有无序性， 集合A还有其它列举方法哦，
动手试一试吧！
【解析】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么 A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
为__-_1_. （3）若A= {x²+x-6=0},则3___∉_____A.
巩固练习
3、判断下列说法是否正确：
(1) {x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2} .
(2) 若4x=3,则 x N. (3) 若x Q,则 x R .
(4)若X∈N,则x∈N+.
（ √） （√ ） （×） （× ）
巩固练习
4、已知集合A={x | ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}只有一个元素， 求a的值和这个元素．
解析：当a=0时，x=-1； 当a≠ 0 时，由于集合只有一个元素，所以 =0，则x=-2.
拓展应用
5、设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，a∈A且3a∈A，求a的值.
解析：因为a∈A且3a∈A， a＜6,
合是不么定义呢的？那概你么念能，，举集数一合学些的家有很含难关义回集是答合什。 一的天例，子他吗看到？牧民正在向羊圈里赶羊，
等到牧民把羊全赶进羊圈并关好门，数学家 突然灵机一动，兴奋地告诉牧民：“这就是 集合”。
新知探索
探究1 集合的含义
观察下面例子，它们有什么共同特征？ （1）1～20以内的所有偶数； （2）我国古代四大发明 （3）所有的长方形； （4）到直线的距离等于定长d的所有的点； （5）方程x²+3x-2=0的所有实数根； （6）我国从2001～2018年的15年内所发射的所有卫星。
集合的含义及表示
集合的含义及表示一． 知识卡片1. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.2. 集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.无序性：集合中的元素没有顺序.3. 集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作：a ∈A ； 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作：a A .4. 常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；正整数集：所有正整数的集合，记作N *或N +；整数集：全体整数的集合，记作Z ；有理数集：全体有理数的集合，记作Q ；实数集：全体实数的集合，记作R .5. 列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a 与{a }不同.6. 描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为，其中x 代表元素，P 是确定条件.7. 反思与小结：① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如与不同.② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如，. ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z ，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R }也是错误的.④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.∉{|}x A P ∈2{(,)|1}x y y x =-2{|1}y y x =-{|1}x x >{|3,}x x k k Z =∈二． 高考预测本部分内容为高考中频考点，多见于选择题、填空题。
11集合的概念及特征(精讲)(原卷版)
1.1集合的概念及特征（精讲）一．元素与集合的概念1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．3.集合中的元素具有如下三个特性：(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合．(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．(3)无序性：构成集合的元素无先后顺序之分．4.元素与集合的关系6.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如集合{a，b，c}与集合{c，a，b}是相等集合二．集合的表示方法1.列举法(1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.(2)使用说明①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.③无限集有时也可用列举法表示.2.描述法(1)定义：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.(2)使用说明①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.②集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.三．集合的分类1、有限集：集合的元素有限个2、无限集：集合的元素无限个一．集合概念的理解判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，每个元素是否互异。
二．判断元素和集合关系的两种方法1.直接法：集合中的元素是直接给出的.2.推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 三．元素的互异性求参数1.根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值2.根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验.注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.四．集合的表示方法1.用列举法表示集合(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.（3）使用列举法表示集合时的注意事项①元素间用逗号隔开；②元素不能重复(互异性)；③元素之间不用考虑先后顺序(无序性)；④有些集合的元素较多，元素又呈现一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如不大于100的正整数所构成的集合可表示成{1,2,3，…，100}；⑤“{ }”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为{实数}，但如果写成{实数集}或{全体实数}就是错误的；⑥对于含有有限个元素且元素个数较少的集合，宜采用列举法．2.利用描述法表示集合(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z 也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.考点一集合概念的理解【例1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个B．3个C．4个D．5个【一隅三反】1．（2023·北京）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师2．（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）．①所有的好人；②平面上到原点的距离等于2的点；③正三角形；④比较小的正整数；x+>的x的取值．⑤满足不等式103．（2023·上海）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________.①上海市2022年入学的全体高一年级新生；，的距离等于1的所有点；②在平面直角坐标系中，到定点(00)③影响力比较大的中国数学家；④不等式3100x-<的所有正整数解.考点二 元素与集合的关系【例2】（2023·全国·高一专题练习）给出下列关系：①12R ；R ；③3-∈N ；④3Q -∈．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【一隅三反】1．（2023春·四川内江）已知集合(){}|10M x x x =-=,那么（ ） A ．0M ∈ B ．1M ∉ C ．1M -∈ D ．0M ∉2．（2023春·福建龙岩）给出下列6个关系：R ，Z ，③0N *∉，N ，⑤Q π∉，⑥2Z -∉.其中正确命题的个数为（ ） A ．4 B ．2 C ．3 D ．53．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知集合A =｛0，1，2｝，则（ ） A ．0∈A B ．1∉ AC ．2=AD ．∅∈A考点三 元素互异性及应用【例31】（2023·北京朝阳）设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（ ） A ．0 B ．1- C ．0或1- D ．0或1【例32】（2023·安徽）已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例33】（2023·河南）已知{}210A xx ax =-+<∣，若2A ∈，且3A ∉，则a 的取值范围是（ ） A ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．510,23⎛⎤⎥⎝⎦C ．510,23⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．03,1⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【例34】（2023·云南）已知集合{}2=-3+2=0A x ax x 的元素只有一个，则实数a 的值为（ ）A ．98B ．0C ．98或0D ．无解【一隅三反】1．（2023·福建）若{}22,a a a ∈-，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-2．（2023春·河南）若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则a 2020+b 2020的值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．1或﹣13．（2023春·山东日照）已知集合{}2|1A x x =<，且a A ∈，则a 的值可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．14．（2023·广东）设集合{}22,2,1A a a a =-+-，若4A ∈，则a 的值为（ ）．A ．1-，2B ．3-C ．1-，3-，2D ．3-，25．（2023·陕西西安）已知集合{}2310A x ax x =-+=，其中a 为常数，且R a ∈.若A 中至多有一个元素，则实数a 的取值范围为___________.考点四 集合的表示方法【例4】（2023·陕西安康）表示下列集合：(1)210y +=的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【一隅三反】1．（2023北京）把下列集合用适当方法表示出来： （1）{2,4,6,8,10}； （2）{|37}x N x ∈<<；（3）{}2|9A x x ==；（4）{}|12B x N x =∈≤≤；（5）{}2|320C x x x =-+=.2．（2023山东）用适当的方法表示下列集合： （1）大于2且小于5的有理数组成的集合． （2）24的正因数组成的集合． （3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．3．（2023湖北）选择适当的方法表示下列集合: （1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； （3）方程(x 2－9)x ＝0的实数解组成的集合； （4）三角形的全体组成的集合.考法五 集合相等【例51】（2023·河北）下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{2,3}M =，{3,2}N =C ．{(,)1}M x y x y =+=∣，{1}N y x y =+=∣D ．{2,3}M =，{(2,3)}N =【例52】（2023·全国·高一专题练习）已知集合{}4,,2A x y =，{}22,,1B x y =--，若A B =，则实数x 的取值集合为（ ） A ．{1,0,2}- B ．{2,2}-C ．{}1,0,2-D ．{2,1,2}-【一隅三反】1．（2023北京）集合{}2|0,A x x px q x R =++=∈{}2=，则p q +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．（2022·高一单元测试）已知集合{}()(){}3,4,30,M N xx x a a ==-+=∈R ∣， 若M N ， 则=a （ ） A ．3 B ．4 C ．3- D ．4-3．（2022秋·海南海口·高一校考阶段练习）含有三个实数的集合可表示为,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可以示为{}2,,0a a b +，则20132014a b +的值为____.。
集合的概念与表示
集合的概念与表示
在数学中，“集合”指的是具有共同特征的一组对象的总体。
表示一个集合通常使用大括号{}，在大括号内列举集合中的元素，逗号隔开每个元素。
例如，一个包含数字1、2和3的集合可以表示为{1, 2, 3}。
除了列举元素外，也可以使用特定条件来描述集合中的元素。
这种描述方法称为“特征描述法”。
例如，表示所有偶数的集合可以写作{x | x 是偶数}，这表示集合包含所有满足条件“x 是偶数”的元素x。
集合的概念涉及到各种操作，如并集、交集、差集等。
并集表示两个或多个集合中所有的元素的总体，交集表示两个或多个集合中共有的元素，而差集表示一个集合相对于另一个集合的不同元素。
集合概念及其表示经典练习题
第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作aa∉∈A ，相反，a不属于集合A 记作A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}∈| x-3>2}或{x| x-3>2}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x R4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合X=－5｝3．空集不含任何元素的集合例：{X|2二、例题解析例1、判断下列说法是否正确？说明理由（1）高一（2）班个子较高的同学组成的集合；（2）1,3，-1,4这些数组成的集合有4个元素；（3）由a,b,c组成的集合与由b,c,a组成的集合；（4）所有与2非常接近的数字；（5）所有与小明走的很近的朋友例2、用列举法表示下列集合（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程0)43)(32)(1(22=+++--x x x x x 的所有实数根组成的集合（3）由小于15的所有质数组成的集合；例3、用描述法表示下列集合：（1）坐标平面内抛物线12-=x y 的点的集合；（2）所有偶数的和；（3）3和4的所有正的公倍数的集合例4、试分别用列举法和描述法表示下列集合（1）七大洲组成的集合；（2）由大于10小于16的所有整数组成的集合。
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普通高中课程标准实验教科书—数学第一册[苏教版]
1.1 集合的含义及其表示
．教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；
（2）初步了解“属于”关系的意义；
（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义；
教学重点：集合的含义与表示方法；
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。
教学过程：
一、问题引入：
我家有爸爸、妈妈和我；我来自燕山中学；
省溧中高一（1）班；我国的直辖市。
分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。
二、建构数学：
1．集合的意义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B。
集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市；（2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数
（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。
2．关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A
4．有限集、无限集和空集的概念：
5．常用数集的记法：非负整数集（或自然数集），记作N ，整数集，记作Z ，有理数集，记作Q ，实数集，记作R ，正整数集，记作*N 或N +。
6．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；各元素之间用逗号分开。
（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{|()}x p x 的形式。
（3）韦恩（Venn ）图示意
7．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。
三、数学运用：
1．例题：
例1．用列举法和描述法表示方程2
230x x --=的解集。
答案：列举法：{1,3}-描述法：2{|23,}x x x x x R =--∈
例2．下列各式中错误的是 （ ）
（1）{奇数}={|21,}x x k k Z =-∈ （2）{|*,||5}{1,2,3,4}x x N x ∈<= （3）1{(,)|}2
x y x y xy +=⎧⎨=-⎩ {(2,1),(1,2)}=-- （4）33N --∈ 答案：（4）
例1． 求不等式235x ->的解集
答案：{|4,}x x x R >∈
例2． 求方程2210x x ++=的所有实数解的集合。
答案：∅
例5．已知2{2,,},{2,2,}M a b N a b ==，且M N =，求,a b 的值
答案：0,1a b ==或11,42
a b =
= 2．练习：
（1）请学生各举一例有限集、无限集、空集。
（2）7P 练习3
（3）用列举法表示下列集合：
① {|x x 是15的正约数} ②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈ ③{(,)|2,24}x y x y x y +=-= ④ {|(1),}n
x x n N =-∈
*⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈ 答案：①{1,3,5,15}②{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}③8
2{(,)}33
-④{1,1}-⑤{(2,5),(4,2)}
（4）用描述法表示下列集合：
①{1,4,7,10,13}； ②{2,4,6,8,10}-----
答案：①{|13,1,2,3,4}x x k k =+=②{|2,1,2,3,4,5}x x k k =-=
四、回顾小结：
1．集合的有关概念
2．集合的表示方法
3．常用数集的记法
五、课外作业：
课本7P 1、2、4、5 17P 1、2。