1.第一节 实数
第1节实数的概念阶段测试卷
实数的概念阶段测试卷一、填空题1. 3的倒数是_______.2. 无理数－3的相反数是________.3. 在 -3－1， 0 这四个实数中，最大的是_______.4. 按照下图所示的操作步骤，若输入x 的值为－2，则给出的值为 ．5．下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中。
其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿.（填序号）6．在实数0.3、π3、17、3.6024×103、 2 、-1中无理数的个数有______个. 7．下列各数:⑴711- ⑵ ⑶3.97 ⑷ ⑸π ⑹3.14159265中无理数有 （填序号）_______________.8．写出一个3到4之间的无理数 ．9.若无理数a 满足：1<a <4,请写出两个你熟悉的无理数： ,• .10. 实数a 、b 在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是 ．11.实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，则a b (填“<”、“>”或“=”) ．12.有一组数列：2，3-，2，3-，2，3-，2，3-，…… ，根据这个规律，那么第2010个数是_______．二、选择题(每小题3分,共18分)13． 下列说法中正确的说法的个数是 （ ）（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。
A ．1B ．2C ．3D ．4a 0b 第11题图a o 第10题图14．下列实数2π，722，0.1414，39 ,21中，无理数的个数是 （ ） A.2个B.3个C.4个D.5个 15.下列关于实数的叙述中说法正确的是 ( )A.没有最小的实数B.没有绝对值最小的实数C.所有的实数都有倒数D.不是所有的实数都有相反数16．数 032032032.123是 ( )Ａ．有限小数 Ｂ．无限不循环小数Ｃ．无理数 Ｄ．有理数17．在下列实数中，是无理数的为 ( )A ．0 B.－3.5 18．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则100!98!的值为 ( ) A. 5049B. 99!C. 9900D. 2！ 三、解答题19．在-52，3π， 3.14，011中，其中： 整数有 ；无理数有 ；有理数有 。
第一课时 实数的有关概念
［2010²巴中］下列各数：
1A. 2
,0，
，0.303003„„，
中无理数的个数为（ B. 3 ，1-
B
C .Байду номын сангаас4
【解析】属于无理数的是：
,0.303 003„„, ∴选B.
【点悟】实数可分为有理数（整数、分数）和无理数，只要是整数、分数,就一定不是无 理数.
类型之二
倒数、相反数和绝对值
（1）［2011²扬州］A. 2 B. 12
18，19，20，21，22，23，24题中的预测变形3，4题.
［学生用书P1］ 1.［2011²湖州］-5的相反数是（ A. 5 B. -5 C.
A A
）
） D. -1 ） D.
2.［2011²义乌］-3的绝对值是（ A. 3 B. -3 C.
3.［2011²广东］-2的倒数是（
A. 2 B. - 2 C.
若实数x,y满足|x-2|+(3-y)2=0,则代数式xy-x2的值为 2 【解析】由非负数的意义确定x,y的值，再求代数式xy-x2的值. 由题意得 解得 【点悟】 （1）常见的非负数有|a|,a2, （a≥0）；
.
（2）若几个非负数（式）的和为零，那么这几个数（式）都为零.
精确度：一个近似数，四舍五入
到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起到 精确到的数位 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.
8.平方根与立方根 平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（也叫二次方根），记 为x=± （a≥0 ) .
［学生用书P1］ 类型之一 实数的概念 、sin30°中，无理数的个数为( D.4 B )
初中数学基础知识2第1章《数与式第1节》
方、负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值
第3页
实数的相关概念
1.(2019 山西)-3 的绝对值是
A.-3 B.3
C.-1
3
2.(2016 山西)-1的相反数是
6
A.1 B.-6 C.6
6
3.(2011 山西)|-6|的值是
A.-6
B.-1 C.1
6
6
D.1
3
D.-1
6
D.6
第一章
( C)
A.6.06×104 立方米/时
B.3.136×106 立方米/时
C.3.636×106 立方米/时
D.36.36×105 立方米/时
答案
第5页
第一章
第一节
5.(2017 西)2017年5月18日,我国宣布在南海神狐海域成功试采可 燃冰,成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家.据粗略估计, 仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量,达到我国 陆上石油资源总量的50%.数据186亿吨用科学记数法可表示为 ( C)
a.186×108吨
b.18.6×109吨
c.1.86×1010 吨
d.0.186×1011 吨
答案
第6页
第一章
第一节
6.(2014 西)pm2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm(1 μm=0.000001 m)的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们含有大量的有毒、有害物质, 对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5 μm用科学记数法可表示 为( C )
A.3830×104千瓦
B.383×105千瓦
C.0.383×108千瓦
D.3.83×107千瓦
答案
第 29 页
中考数学复习1--实数
A.区域1
B.区域2
C.区域3
D.区域4
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中考典例精析
5、实数的运算
目录
9.（2013吉林1题）计算 -2+1 的结果是（ B ）
A. 1 B. -1 C. 3
D.-3
10.（2015吉林1题）若等式0
符号为（ B ）
A. +
B. -
C. ×
1 = -1成立，则 内的运算 D.÷
A
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2.数轴
2.（2011吉林）如图，数轴上的A向左移动2个单位长度得到点B， 则点B表示的数是 __-_1____
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目录
考点一 实数的分类
1．按定义分类
实数有理数整分数数正负负正零分分整整数数数数有限自限循然小环数数小或数无
正无理数
无理数负无理数无限不循环小数
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＝1－n＋1 1
＝n＋n 1)
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达标检测
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A．3 B．－3 C．9 D．－9
答案：A
6．已知a＝－a，则数a等于( )
A．0 B．－1 C．1 D．不确定
答案：A
7．如图,数轴上的点A所表示的数是实数a,则点A到原点O的距离
是( )
A．a B．－a C．±a D．－|a|
答案：B
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考点训一练、选择题(每小题考3分，点共60分训) 练
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举一反三
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方法总结： (1)熟练掌握实数的基本概念是解题的关键； (2)对实数进行分类，不能只看表面形式，能化简的应先 化简，根据结果去判断.
第1课时_实数
第1课时 实数【课标要求】1.有理数①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。
②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。
③理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。
④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
⑤能运用有理数的运算解决简单的问题。
⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。
2.实数①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
②了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
③了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
④能用有理数估计一个无理数的大致范围。
⑤了解近似数与有效数字的概念；解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题要求对结果取近似值。
【知识要点】1.实数的分类：实数可分为： 和 ；也可以分为： 、 和 。
◆数轴上的点和 一一对应。
2.有理数：叫做有理数。
◆整数和分数统称为有理数。
3.无理数：叫做无理数。
◆常见的几种无理数：①根号型：如35,2等开方开不尽的数。
②三角函数型：如sin60°,cos45°等。
③圆周率π型:如2π，π-1等。
④构造型：如1.121121112…等无限不循环小数。
4.相反数、倒数和绝对值： （1）若a a =， 则：a 0； （2）若a a -=，则：a 0。
5.负指数幂、零指数幂：pp aa 1=-， ()010≠=a a6.平方根、算术平方根和立方根：（1）3的平方根表示为： ； （2）3的算术平方根表示为： ； （3）3的立方根表示为： 。
◆正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根是它本身；负数没有平方根。
◆正数、0、负数都只有一个立方根，正数的立方根是正数；0的立方根是它本身；负数的立方根是负数。
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2024精品数学浙教版八上整册教案全套一、教学内容1. 第一章：实数第一节：无理数的概念与性质第二节：实数的分类与运算2. 第二章：一元二次方程第一节：一元二次方程的解法第二节：一元二次方程的根与系数的关系3. 第三章：不等式与不等式组第一节：不等式的性质与解法第二节：不等式组的解法及应用4. 第四章：函数及其性质第一节：函数的概念与表示方法第二节：函数的性质及其图像二、教学目标1. 理解实数、一元二次方程、不等式与不等式组、函数的基本概念，掌握相关性质与解法。
2. 能够运用所学知识解决实际问题，提高数学思维能力。
3. 培养学生的合作交流意识，提高自主学习能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：实数中无理数的理解与应用一元二次方程的根与系数的关系不等式组的解法函数的性质及其图像2. 教学重点：各章节的基本概念与性质各类题型的解法与应用四、教具与学具准备1. 教具：多媒体设备、黑板、粉笔、教鞭等。
2. 学具：教材、练习本、文具等。
五、教学过程1. 实数：引入：通过实际情景，让学生感受无理数的存在，激发学习兴趣。
新课：讲解无理数的概念、性质，以及实数的分类与运算。
例题：讲解典型例题，分析解题思路。
随堂练习：布置相关练习，巩固所学知识。
2. 一元二次方程：引入：通过实际情景，引出一元二次方程。
新课：讲解一元二次方程的解法、根与系数的关系。
例题：讲解典型例题，分析解题思路。
随堂练习：布置相关练习，巩固所学知识。
3. 不等式与不等式组：引入：通过实际情景，引出不等式与不等式组。
新课：讲解不等式的性质、解法，以及不等式组的解法及应用。
例题：讲解典型例题，分析解题思路。
随堂练习：布置相关练习，巩固所学知识。
4. 函数及其性质：引入：通过实际情景，引出函数的概念。
新课：讲解函数的表示方法、性质及其图像。
例题：讲解典型例题，分析解题思路。
随堂练习：布置相关练习，巩固所学知识。
六、板书设计1. 各章节的基本概念、性质、解法等以提纲形式展示。
第1课时 实数的有关概念
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类型之二 相反数、倒数和绝对值
(1)[2019·遂宁]－|－ 2的值为( B )
A. 2
B.－ 2
C．± 2
D.2
(2)[2019·滨州]下列各数中，负数是( B )
A．－(－2)
B.－|－2
C．(－2)2
D.(－2)0
【解析】 ∵－(－2)＝2，－|－2＝－2，(－2)2＝4，(－2)0＝1，∴负数是－|－2.
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2．数轴 定义：规定了 原点 、 正方向 和 单位长度 的直线叫做数轴． 大小比较：(1)在数轴上表示的两个数， 右边 的数总比 左边 的数大； (2)正数大于 0；负数 小于 0；正数 大于 一切负数；两个负数比较大小，绝对 值大的反而 小 ．
注意：实数与数轴上的点一一对应．
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2．[2019·泰安]在实数|－3.14|，－3，－ 3，π中，最小的数是( B )
类型之三 实数的大小比较 [2019·嘉兴]数轴上有两个实数a，b，且a>0，b<0，a＋b<0，则四个数a，
b，－a，－b的大小关系为 b<－a<a<－b (用“<”号连接)．
【解析】 ∵a>0，b<0，故有a>b，又∵a＋b<0，说明a的绝对值小于b的绝对值， 故可得到b<－a<a<－b.
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A．－5
B.－1
C．0
D.1
【解析】 －5<－3<－1<0<1，∴比－3小的数是－5.故选A.
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4．[2019·邵阳]下列各数中，属于无理数的是( C )
第1课 实数
特别关注
1．区分有理数与无理数，不能只看形式，要看化简的结果．有限小数 和无限循环小数都是有理数，只有无限不循环小数才是无理数． 2．－a 不一定是负数，应根据 a 本身的数值进行综合判断．
3 3 【典例 1】 (2015· 内蒙古通辽)在实数 tan 45° ， 8， 0， － π， 9， 5 1 － ，sin 60° ，0．3131131113…(两个“3”之间依次多一个“1”)中， 3
用科学记数法表示的数 a× 10n 中，要求 1≤ a＜10，且 n 为
整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少 位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值 ≥1 时，n 是自然数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负整数．
特别关注 对于用科学记数法表示的数 a× 10n， 在判断其精确到
是解题的关键． 【解析】 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为
a× 10n， 其中 1≤|a|<10， n 为整数． ∴11.4 万＝114000＝1.14× 105．
【答案】 C
考点四
平方根、算术平方根、立方根、无理数的估算
考点清单
1．平方根：如果一个数 x 的平方等于 a，那么 x 叫作 a 的平 方根，记作± a．
无理数的个数是 A．4
【点评】
( C．2 D．1
)
B． 3
本题主要考查无理数的定义，弄清有理数与无理数的
区别是解题的关键．
3 【解析】 所给实数中， － π， sin 60° ， 0． 3131131113…(两个“3” 5 之间依次多一个“1”)这 3 个数是无理数．
中考数学考点总复习课件：第1节 实 数
20．(导学号 65244002)(2016·枣阳)一列数 a1，a2，a3，…满足条件：a1＝12，an＝1－1an－1(n≥2，且 n 为整数)，
a（a≥0）， (2)|a|＝－a（a<0）即，正数的绝对值是____它__本__身，0的绝对值是____0_，负数的 绝对值是它的____相__反__数_； (3)一个数的绝对值是 ____非__负__数_，即|a| ____≥__ 0.
6．倒数：(1)若两个非零数 a，b 的积为 1，即___a_·b_＝__1___， 则 a 与 b 互为倒数，反之亦然；
【对应训练 4】(2017·苏州)小亮用天平称得一个罐头的质量为 2.026 kg， 用四舍五入法将 2.026 精确到 0.01 的近似值为( D ) A．2 B．2.0 C．2.02 D．2.03 【对应训练 5】(2017·十堰)某颗粒物的直径是 0.000 002 5，把 0.000 002 5 用科学记数法表示为___2__.5_×__1_0_－__6___.
2
2
6．－2的绝对值的相反数是（ D ） 3
A.32 B．－32 C.23 D．－23
7．(2017·乌鲁木齐)如图，数轴上点 A 表示数 a，则|a|是（ A ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2 8．(2017·天门)北京时间 5 月 27 日，蛟龙号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟作业区开展了
若|a－b|＝2 016，且 AO＝2BO，则 a＋b 的值为___－__6_7__2____.
第一讲实数实函数
第一讲实数与实函数1 . 1 实数与实函数的基本概念一．实数实数包括有理数和无理数．有理数，就是能够表示成qp形式的数，其中 p 是整数， q 是不为零的整数．如果用小数表示，有理数都可以表示成有限小数，或无限循环小数．无理数，就是不能表示成qp形式的数，也就是无限不循环的小数．如果将有限小数也表示成无限小数，例如：数 1 可表示为 1=1.000… ；也可以表示为 l=0.999… （注：这是实无限的观点），为唯一性起见，数学上作了一个约定，就是不以零为循环节．数 1 约定的表示为l=0.999…，因此，实数就是一个可以用无限小数表示的数．二、实数的性质1 ．实数集合 R 是一个阿基米德有序域( 1 ）在实数集合 R 上定义加法“ + ”和乘法“× ”两种运算，对两种运算分别满足交换律、结合律，以及乘法关于加法的分配律；对加法，有“零元”和“负元”；对乘法有“单位元”和“逆元” ; R 成为一个“域”.( 2 ）在集合 R 上定义了一种序关系“ < " ，且满足传递性：即对 R c b a ∈∀,, ，若 a < b , b < c ,则 a ＜c ；三歧性：即对 ,,R b a ∈∀，关系 a < b , a =b , a > b 三者必居其一,也只居其一 R 是一个全序集．( 3 ) R 中的元素满足阿基米德性：对 R 中的任意两个正数 a , b ，必存在自然数 n ，使得 na ＞b.2 ．实数集合 R 是一个完备集定义1.1（距离空间）设 X 是一个集合，定义映射+→⨯R X X :ρ，满足 ( 1 ）非负性：对();0,,,y x y x X y x =⇔=∈∀ρ ( 2 ）对称性：()()x y y x ,,ρρ= ；( 3 ）三角不等式：()()()y z z x y x ,,,ρρρ+≤;则称ρ是点集 X 上的一个距离．如果 X 是一个线性空间，称()ρ,X 是一个距离空间 。
第1课时 实数的有关概念
第1课时 实数的有关概念【知识梳理】1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限 环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3. 绝对值：在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫数a 的绝对值，记作∣a ∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a 的相反数是-a ，0的相反数是0.5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字. 6. 科学记数法：把一个数写成a×10n 的形式(其中1≤a<10,n 是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 7. 大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂. 9. 平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10. 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．11. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a,即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12. 立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a,即x 3=a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0． 13. 开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】 例1.下列运算正确的是（ ）A ．33--=B ．3)31(1-=-C 3=±D 3=-例 ）A ． B C ． D 例3.2的平方根是（ ）A ．4BC ．D ．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）A ．107.2610⨯ 元 B ．972.610⨯ 元 C ．110.72610⨯ 元 D ．117.2610⨯元 例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ）1 0 b 例5图A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0ab< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使：a ⊕b = n (n 为常数)时，得（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3 现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ． 【当堂检测】1.计算312⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．16B ．16-C ．18D ．18- 2.2-的倒数是（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-3.下列各式中，正确的是（ ）A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<< 4.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ） A ．1 B ．1-C ．12a -D ．21a -5.2-的相反数是（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-6.-5的相反数是____,-12的绝对值是=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 .8.如果2()13⨯-=，则―‖内应填的实数是（ ）A ．32B ．23C ．23-D ．32-【课后作业】 一、选择题1.计算(－2)2－(－2) 3的结果是( ) A. －4 B. 2 C. 4 D. 122.下列计算错误的是（ ）A ．－（－2）=2 B= C ．2+32x =52x D ．235()a a =3.2008年5月27日，北京奥运会火炬接力传递活动在古城南京境内举行，火炬传递路线全程约12900m ，将12900用科学记数法表示应为（ ）A ．0.129×105B ．41.2910⨯ C ．312.910⨯ D ．212910⨯ 4.下列各式正确的是（ ）第4题图A ．33--=B ．326-=-C ．(3)3--=D ．0(π2)0-= 5.若23(2)0m n -++=，则2m n +的值为（ ） A ．4-B ．1-C ．0D ．46.计算2(3)-的结果是（ ）A ．6-B ．6C ．9-D ．9 7.方程063=+x 的解的相反数是（ ）A ．2B ．－2C ．3D ．－3 8.下列实数中,无理数是（ ）B.2π C.13D.129.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间10.用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过5410-⨯秒到达另一座山峰，已知光速为8310⨯米／秒，则两座山峰之间的距离用科学记数法．．．．．．表示为（ ） A ．31.210⨯米B ．31210⨯米C ．41.210⨯米D ．51.210⨯米11.纳米是非常小的长度单位，已知1纳米=10-6毫米，某种病毒的直径为100纳米，如将这种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是( )A.102个 B 104个 C 106个 D 108个12.巳知某种型号的纸100张厚度约为lcm ，那么这种型号的纸13亿张厚度约为( ) A ．1.3×107km B ．1.3×103km C ．1.3×102km D ．1.3×10km 二、填空题： 13.若n m ,互为相反数，=-+555n m ．14.唐家山堰塞湖是―5．12汶川地震‖形成的最大最险的堰塞湖，垮塌山体约达2037万立方米，把2037万立方米这个数用科学记数法表示为 立方米． 15.如果2180a -=，那么a 的算术平方根是 ．16.若商品的价格上涨5%，记为＋5%，则价格下跌3%，记作 . 17.如果□+2=0，那么―□‖内应填的实数是______________. 18.―五一‖期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售.小华购买一件标价为280元的运动服，打折后他比按标价购买节省 元.19. 某校认真落实苏州市教育局出台的―三项规定‖，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学有_________名.20.改革开放以来，我国教育事业快速发展，去年普通高校招生人数达540万人，用科学记数法表示540万人为 人．21.一组有规律排列的式子：―ab 2，25a b ,―38a b ,411a b …，（ab≠0），其中第7个式子是 , 第n 个式子是 ．（n 为正整数）22.6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只 环保购物袋至少．．应付给超市元．23.将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对 （n ，m ）表示第n 排，从左到右 第m 个数，如（4，2）表示实数9， 则表示实数17的有序实数对是 . 24.如图所示， ①中多边形（边数为12）是由 正三角形―扩展‖而来的， ②中多边形是由正方形―扩展‖ 而来的， ，依此类推，则由正n 边形―扩展‖而来的多边形的边数为 ． 25.探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（ ）第2课时 实数的运算【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数． 5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 如果有括号，先算括号里面的． 6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数) 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】第25题图① ② ③ ④ 第24题图例1.某校认真落实苏州市教育局出台的―三项规定‖，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________个圆组成.例4.下列运算正确的是（ ） A ．523=+ B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=- 例5.计算： (1) 911)1(8302+-+--+-π(2)0(tan 45π--+º(3)102)21()13(2-+--；(4)2008011(1)()3π--+-+【当堂检测】1.下列运算正确的是（ ）A ．a 4×a 2=a 6B ．22532a b a b -=C ．325()a a -=D ．2336(3)9ab a b =2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )A ．81041⨯元 B ．9101.4⨯元 C ．9102.4⨯元 D ．8107.41⨯元北京 汉城伦敦多伦多纽约-5 例2图……例3图3.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间 4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ） AB．C ． 3.2- D．5.计算： (1)02200960cos 16)21()1(-+--- （2）)1112-⎛⎫- ⎪⎝⎭【课后作业】一、选择题1.某市今年1月份某一天的最高气温是3℃，最低气温是﹣4℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ）A ．﹣7℃B ．7℃C ．﹣1℃D ．1℃ 2.在2008年德国世界杯足球赛中，32支足球队将分为8个小组进行单循环比赛，小组比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若小组赛中某队的积分为5分，则该队必是 （ ）A ．两胜一负B ．一胜两平C ．一胜一平一负D ．一胜两负3.扬州市旅游经济发展迅速，据扬州市统计局统计，2008年全年接待境内外游客约11370000人次，11370000用科学记数法表示为（ ） A ．1.137×107 B ．1.137×108 C ．0.1137×108 D ．1137×1044.在下列实数中，无理数是（ ） A ．13B ．CD ．2275.小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（ ） A ．15号 B ．16号 C ．17号 D ．18号6.()23-运算的结果是( )A ．－6B ．6C ．－9D ．97.(2009年武汉)） A ．3-B ．3或3-C ．9D ．38.估计30的值 （ ） A ．在3到4之间 B ．在4到5之间 C ．在5到6之间D ．在6到7之间9.若―！‖是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2， 3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则100!98!的值为（ ）-第4题图A.5049B. 99!C. 9900D. 2！二、填空题：10.改革开放以来，我国教育事业快速发展，去年普通高校招生人数达540万人，用科学记数法表示540万人为 人．11.已知点()P x y ，位于第二象限，并且4y x +≤，x y ，为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标：12.如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有13. 2008(1)-+_______420=-．14.2008年5月26日下午，奥运圣火扬州站的传递在一路―中国加油‖声中胜利结束，全程11.8千米，11.8千米用科学记数法表示是________米.15.计算：23-+= ；(2)(3)-⨯-= ． 16.若()2240a c -+-=，则=+-c b a ． 17.在函数y =x 的取值范围是____________．三、计算：(1)0(1)π-⋅sin 60°+321(2)()4-⋅(2)0113(()3---(3)9212)1(103+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--(4)1301()(2)39-+-+--第3课时 整式与分解因式【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即nm n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即nn n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：nna a 1=-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.第12题图(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项― 1‖易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2∙a 3=a 6 D.6a 2÷2a 2=3a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行―广‖字，按照这种规律，第5个―广‖字中的棋子个数是________，第n 个―广‖字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时，（a ，b ）=（c ，d ）．定义运算―⊗‖：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中22a b =-=．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．【课后作业】一、选择题1．下列运算正确的是（ ）A.a 2·a=3aB.a 6÷a 2=a 4C.a+a=a 2D.(a 2)3=a 5 2．计算：()23ab=（ ）A ．22a b B ．23a b C ．26a b D ．6ab 3．下列计算正确的是（ ）A ．623a a a ÷= B ．()122--=C ．()236326x x x -=-· D ．()0π31-=4．下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+5.若的值为则2y -x 2,54,32==y x （ ）A.53 B. -2 C. 553 D. 56 6.下列命题是假．命题的是（ ） A. 若x y <，则x +2008<y +2008 B. 单项式2347x y -的系数是-4C. 若21(3)0,x y -+-=则1,3x y ==D. 平移不改变图形的形状和大小 7.一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，那么（ ）A ．a=1，b=5B ．a=5，b=1C ．a=11，b=5D ．a=5，b=118. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A ．2222)(b ab a b a ++=+B ．2222)(b ab ab a +-=-C ．))((22b a b a b a -+=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+二.填空题.9．分解因式：328m m -= ．33416m n mn -＝3214x x x +-= ____．33222ax y axy ax y +-= _______． =++22363b ab a ． 2232ab a b a -+= ___．10.计算：31(2)(1)4a a -⋅- = ．11.计算： ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅23913x x =________；()=÷523y y ________． 12．用正三角形和正六边形按如图所示的规律 拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比 上一个图案多一个正六边形和两个正三角形， 则第n 个图案中正三角形的个数为 （用含n 的代数式表示）．三.解答题：13.先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．14.已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值第一个图案第二个图案第三个图案…第12题图 ab图甲第8题第4课时 分式与分式方程【知识梳理】1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验【例题精讲】1．化简：2222111x x x x x x-+-÷-+2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =+3．先化简11112-÷-+x x x ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．4．解下列方程（1）013522=--+xx x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.【当堂检测】1．当99a =时，分式211a a --的值是．2．当x 时，分式112--x x 有意义；当x 时，该式的值为0．3．计算22()ab ab 的结果为．4. ．若分式方程xx k x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-25．若分式32-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x6．已知x ＝2008，y ＝2009，求x yx 4y 5x y x 4xy5x y 2xy x 2222-+-+÷-++的值7．先化简，再求值：4xx 16x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x8.解分式方程． (1)22011xx x -=+- (2) x 2)3(x 22x x -=--；(3)11322xx x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+--【课后作业】 一、选择题 1．化简分式2bab b +的结果为（ ） A ．1a b+ B ．11a b + C ．21a b +D ．1ab b+ 2．要使22969m m m --+的值为0，则m 的值为（ ）A ．m=3B ．m=-3C ．m=±3D ．不存在 3．若解方程333-=-x mx x 出现增根，则m 的值为（ ） A ． 0 B ．-1 C ．3 D ．14．如果04422=+-y xy x ，那么yx y x +-的值等于（ ）A ．31- B ． y31- C ． 31 D ．y31二、填空题.5．当x = 时，分式6422---x x x 的值为0．6．若一个分式含有字母m ，且当5m =时，它的值为12，则这个分式可以是 ．（写出一个．．即可） 7．已知432z y x ==，求分式yx zy x 32534++-= 8．若分式方程12552=-+-x ax x 的解为x =0，则a 的值为 ． 9．已知分式方程k x k=++131无解，则k 的值是 ． 三、解答题 10．化简： （1）211()(1)11x x x ---+ （2）24142x x +-+11．先化简，再求值：224242x x x +---，其中2x =．12．当a=2时，求1121422-÷+--a a a a 的值．13．先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程2310x x ++=的根．三、解分式方程.（1）01221=---x x （2） 123514-+=--+x x x x （3）163104245--+=--x x x x （4）4)25.01(11=++x x （5）52742316--=+-x x x x （6） 141112-=--+-x x x x x四、当m 为何值时，分式方程xxx m --=+-2142无解？第5课时 二次根式【知识梳理】1.二次根式：(1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2．二次根式的化简：3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． （2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式：（1a 0b 0≥≥，）（2a 0b 0≥ ，）6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 【思想方法】 非负性的应用【例题精讲】 【例1x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠B ．0x ≠C ．10x x >-≠且D ．10x x ≠≥-且【例2）． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间D ．9到10之间【例3】 若实数x y ，2(0y =，则xy 的值是 ．【例4】如图，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有52π7-，，四个实数，从中任取两张卡片．A B C D（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．【例5】计算：（1）103130tan 3)14.3(27-+︒---）（π（2）11(1)52-⎛⎫π-+-+- ⎪⎝⎭【例6】先化简，再求值：)1()1112(2-⨯+--a a a ，其中33-=a ．【当堂检测】1.计算：（1032tan 60(1--+- ． （2）cos45°·(－21)－2 －(22－3)0＋｜－32｜＋121- （3）023cos 304sin 60++-．2.如图，实数a 、b在数轴上的位置，化简【课后作业】 一、选择题： 1. 2的值()A ．在1到2之间B ．在2到3之间C ．在3到4之间 D．在4到5之间2.的倒数是（）A ．BC ．2-D ．23. 下列运算正确的是（）A 3=B ．0(π 3.14)1-=C ．1122-⎛⎫=- ⎪⎝⎭D 3=±4. 若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为 ( )A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a - 5．下列计算正确的是（ ）A ． 22-=-= C. 325a a a ⋅= D.22x x x-=6. ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N7．下列根式中属最简二次根式的是（ ）8. ＋y)2，则x －y 的值为( )A.－1B.1C.2D.39. 一个正方体的水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在( )A. 4cm~5cm 之间B. 5cm~6cm 之间C. 6cm~7cm 之间D. 7cm~8cm 之间二、填空题：1.=_________．2.的结果是．3. 若|1|0a +=，则a b -=．4= ．5.函数y =x 的取值范围是________．6. 对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算※如下：a ※b =ba ba -+， 如3※2=52323=-+．那么12※4= ． 7．已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是________8．计算：tan60°－2－2 + 20080_________ 三、解答题 ： 1.计算：(1) 103130tan 3)14.3(27-+︒---）（π (2）101(1)52-⎛⎫π-+-+- ⎪⎝⎭（3）0112sin 602-⎛⎫+- ⎪⎝⎭（4）01)41.12(45tan 32)31(-++---2.先化简，再求值：33)225(423-=---÷--a a a a a ，其中第6课时 一元一次方程及二元一次方程（组）【知识梳理】1．方程、一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题． 2．等式的基本性质及用等式的性质解方程：等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件 ． 3．灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组．4．用方程解决实际问题：关键是找到―等量关系‖，在寻找等量关系时有时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义． 【思想方法】方程思想和转化思想【例题精讲】例1． （1）解方程.x x+--=21152156（2）解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 解：例2．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值． 方法1 方法2例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. B. C. D. 例4．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________．例5．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ．例6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费． ①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用A 表示）？ ．②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为 ．【当堂检测】1．方程x -=52的解是___ ___．2．一种书包经两次降价10%，现在售价a 元，则原售价为_______元． 3.若关于x 的方程x k =-153的解是x =-3，则k =_________． 4．若⎩⎨⎧-==11y x ，⎩⎨⎧==22y x ，⎩⎨⎧==c y x 3都是方程ax+by+2＝0的解，则c=____． 5．解下列方程（组）：（1）()x x -=--3252； （2）....x x +=-0713715023； （3）⎩⎨⎧=+=+832152y x y x ； （4）x x -+=-2114135；⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31y x x 032=-+y x6．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．7．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？【课后作业】一、选择题1．在解方程()()032312=---x x 中，去括号正确的是 （ ） A ．09612=+--x x B.03622=---x xC.09622=---x x .D.09622=+--x x2．几个同学在日历竖列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（ ）A. 28B. 33C. 45D. 573．甲、乙两个工程队共有100人，且甲队的人数比乙队的人数的4倍少10人，如果设乙队的人数为x 人，则所列的方程为（ ）A. 1004=+x xB. 100104=-+x xC.()100104=-+x xD. 1001041=+-x x4．若2(341)3250x y y x +-+--=则x =（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．-25．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k的值为（ ）A.43-B.43C.34D.34-6．已知 与 是同类项，则 与 的值分别是 ( ) A.4、1 B.1、4 C.0、8 D.8、0 二、填空题7．在349x y +=中，如果26y =，那么x = ．8．在方程组 中，m 与n 互为相反数，则 9．娃哈哈矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶，那么一大箱有___________瓶，一小箱有__________瓶．10．当m=______，n=______时， 是二元一次方程． 11．如果 那么 12．写出一个二元一次方程组，使这个方程组的解为x 2y 2=⎧⎨=-⎩，你所写的方程组是 ．⎩⎨⎧=+=+032ny x my x .__________=x 821=+-n m y x ,53=-y x .________38=+-y x mn my x 344-yx n5m n13．一个三位数的数字和为11，十位数字是x ，个位数字是十位数字的3倍，百位数字比十位数字的2倍少1，则这个三位数是______________ ． 三、解方程（组）14．35122--=+x x 15． 16． 17．四．解答题 18．已知方程 的两个解为 和 ，求 的值．第7课时 一元二次方程【知识梳理】1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法 3．求根公式：当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为 4．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根． 当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．【思想方法】1. 常用解题方法——换元法2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想 【例题精讲】 例1．选用合适的方法解下列方程：(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0()()x x x x --=--320379⎩⎨⎧=+-=8372y x x y ⎩⎨⎧=-=-74143y x y x ⎩⎨⎧==333y x b kx y +=⎩⎨⎧-==271y x b k ,aacb b x 242-±-=例2 ．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？例4．已知关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0(1) 求证：不论k 取什么实数值，这个方程总有实数根； (2) 若等腰三角形ABC 的一边长为a=4，另两边的长b ．c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．【当堂检测】 一、填空1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x12=-+ ②01x 2=+③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=--⑥0x 22x 32=-+2．一元二次方程3x 2=2x 的解是 ．3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ． 4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ． 5．一元二次方程ax 2+bx+c=0有一根-2,则bc a 4+的值为 ．6．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________．7．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ． 二、选择题：8．对于任意的实数x,代数式x 2－5x ＋10的值是一个( ) A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 9．已知(1-m 2-n 2)(m 2+n 2)=-6,则m 2+n 2的值是（ ） A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 210．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0（C ）x 2＋x ＋3＝0（D ）x 2＋2x －1＝0 三、解下方程：(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x 2-4x-4=0(4)x 2+x-1=0 (6)（2y-1）2 -2（2y-1）-3=0【课后作业】 一、选择题1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．2x ＋1＝0B ．y 2＋x ＝1C ．x 2＋1＝0D ． 2．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ） A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对4．方程2x =x 的解是 （ ）A ．x =1B ．x =0C ． x 1=1 x 2=0D ． x 1=﹣1 x 2=0 5．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ． 1k >-且0k ≠C ．1k <D ．1k <且0k ≠6．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ） A ．213014000x x +-= B ．2653500x x +-= C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=二、填空题7．若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 8．某种品牌的手机经过四．五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是 ．9．两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程0342=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是 ．10．若方程022=+-cx x 有两个相等的实数根，则c = ．11．已知：m 是方程0322=--x x 的一个根，则代数式=-22m m ． 三、解方程：12．（1）（2） （3）11=+x x 2410x x +-=0132=--x x )1(332+=+x x 第6题图13．如图，利用一面墙（墙长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地．⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m 2，为什么?14．试说明：不论m 为何值，关于x 的方程2)2)(3(m x x =--总有两个不相等的实数根．第8课时 方程的应用（一）【知识梳理】1. 方程（组）的应用；2. 列方程（组）解应用题的一般步骤；3. 实际问题中对根的检验非常重要． 【注意点】分式方程的检验，实际意义的检验．【例题精讲】例1. 足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队打了14场，负5场，共得19分，那么这个队胜了（ ）A ．4场B ．5场C ．6场D ．13场 例2. 某班共有学生49人.一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x ，女生人数为y ，则下列方程组中，能正确计算出x 、y 的是（ ）A ．⎩⎨⎧x –y= 49y=2(x+1) B ．⎩⎨⎧x+y= 49y=2(x+1) C ．⎩⎨⎧x –y= 49y=2(x –1) D ．⎩⎨⎧x+y= 49y=2(x –1)例3. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意得到的方程是（ ）1515115151..12121515115151..1212A B x x x x C D x x x x -=-=++-=-=--例4.学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，•但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺数为x 张，•信封个数分别为第21题图第13题图y 个，则可列方程组 ．今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人．若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元． (1)请你判断乙团的人数是否也少于50人． (2)求甲、乙两旅行团各有多少人？【当堂检测】1. 某市处理污水，需要铺设一条长为1000m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成任务．设原计划每天铺设管道xm ，则可得方程 ．2. ―鸡兔同笼‖是我国民间流传的诗歌形式的数学题，•―鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？‖解决此问题，设鸡为x 只，兔为y 只，所列方程组正确的是（ ） ⎩⎨⎧=+=+100236.y x y x A 3636..2410022100x y x y B C x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩⎩⎨⎧=+=+1002436..y x y x D 3.为满足用水量不断增长的需求，某市最近新建甲、乙、•丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B •型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）4. 2009年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30km 远的郊区进行抢修．维修工骑摩托车先走，15min 后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求这两种车的速度．5. 某体育彩票经售商计划用45000•元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体。
1.实数、数集、确界
《数学分析》研究的基本对象是定义在“实数集”上的函数，为此，我们要先学习一些实数理论，然后学习函数论，最后学习极限论！第一节 实数、数集、确界 一. 实数及其性质：1. (,0)p p q q q⎧⎧≠⎨⎪⎨⎩⎪⎩正分数有理数：为整数且或有限十进小数和无限十进循环小数实数负分数无理数：无限十进不循环小数[问题] 有理数，无理数的表示不统一，对统一讨论实数是不利的，为了讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：在此规定下，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示，并且衍生出两个概念：对于正实数012n x a a a a = ，有理数012n n x a a a a = 称为实数x 的n 位不足近似；而有理数01211(1)10n n n n n x a a a a a x -=+=+称为实数x 的n 位过剩近似 对于负实数012n x a a a a =- ，有理数01201211(1)10n n n n n x a a a a a a a a a -=--=-+ 称为实数x 的n 位不足近似；而有理数01n n x a a a =- 称为实数x 的n 位过剩近似 规定：零的n 位不足近似为110n -，零的n 位过剩近似为110n 从而： 实数x 的n 位不足近似n x 单调增加：012n x x x x x ≤≤≤≤< ⇒n x 收敛于x实数x 的n 位过剩近似n x 单调减少：012n x x x x x ≥≥≥≥> ⇒n x 收敛于x2. 实数大小的比较：首先规定：正实数>零>负实数无限小数法比较：设01n x a a a = 、01n y b b b = 均为正实数，其中00,a b 为非负整数，k a ，k b (1,2,)k = 为整数且09,09k k a b ≤≤≤≤，若有,0,1,2,k k a b k == ，则称x 与y 相等，记为：x y =；若00a b <或存在非负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l == 且11l l a b ++<，则称x 小于y ，记为：x y <；对于负实数x 、y ，按上述规定分别比较,x y --即可有限小数法比较：设01n x a a a = 、01n y b b b = 为两个实数，则：x y <⇔存在非负整数n ，使得n n x y <，其中n x 为x 的n 位过剩近似，n y 为y 的n 位不足近似例：设,x y为实x y <，求证：存在有理数r ，满足x r y <<3. 实数集{}|R x x =为实数的性质：封闭性：任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数 有序性：任意两个实数a b ，必满足a b a b a b <=>，，之一 传递性：若a b b c <<，，则a c <阿基米德性：,a b R ∀∈且0b a >>，则必n N +∃∈使得na b >稠密性：任意两个不相等的实数之间总有另一个实数，且既有有理数也有无理数 对应性：实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系二. 绝对值：分析论证的基本工具1. 绝对值的定义：实数a 的绝对值,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩2. 绝对值的几何意义：数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离，从而||x a - 表示点x 与点a 的距离3. 绝对值的性质：0a b R δ∀∈>，，，则有：||||0a a =-≥，并且||00a a =⇔=||||a a a -≤≤；||||||ab a b =⋅；||||a ab b =（0b ≠） ||a a δδδ<⇔-<<；||a a δδδ≤⇔-≤≤ ||a a δδ>⇔>或a δ<-；||a a δδ≥⇔≥或a δ≤-||||||||||a b a b a b -≤±≤+{}max ,22a b a b a b -+=+ {}min ,22a ba b a b -+=- 三. 区间与邻域：1. 区间、闭区间套、分割以及分割的模：✧ {}{}{}{}{}{}{}{}{}(,)|[,]|[,)|(,]|[,)|(,]|(,)|(,)|(,)|a b x a x b x R a b x a x b x R a b x a x b x R a b x a x b x R a x x a x R a x x a x R a x x a x Ra x x a x R x x R ⎧⎧⎪=<<∈⎪⎪=≤≤∈⎨⎪=≤<∈⎧⎪⎪⎨⎪=<≤∈⎪⎩⎩⎨+∞=≥∈⎧⎪-∞=≤∈⎪⎪+∞=>∈⎨⎪-∞=<∈⎪⎪-∞+∞=∈⎩开区间，有限区间闭区间，闭开区间，半开半闭区间开闭区间，区间，，无限区间，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩，,a b R ∈且a b <✧ 闭区间套：如果闭区间列{}[,],1,2,3,n n a b n = 满足：1) 1122[,][,][,]n n a b a b a b ⊃⊃⊃⊃ 亦即123321n n a a a a b b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ 2)lim()0n n n b a →∞-=亦即当∞→n 时区间[,]n n a b 的长度趋于零则称闭区间列{}[,],1,2,3,n n a b n = 是一个递缩闭区间套，简称为闭区间套。
【数学】中考考点过关-第1章：数与式
方法
命题角度 1 实数的相关概念
1.[2019甘肃兰州A卷]-2 019的相反数是
()
B
解析：B 只有符号不同的两个数互为相反数,则-2 019的相反数是2 019,故选
B.
2.[2019甘肃天水]已知|a|=1,b是2的相反数,则a+b的值为
()
C
A.-3
B.-1 C.-1或-3 D.1或-3
解析：C 由|a|=1,得a=±1.由b是2的相反数,得b=-2,故a+b=-1或-3.故选C.
做同类项.所有的常数项都是同类项.
2.合并同类项:把一个多项式中同类项的系数相加,合并为一项,叫做合
并同类项.
3.去括号法则
(1)括号前是“+”时,括号内各项不变号,如a+(b-c)=⑦ a+b-;
(2)括号前是“-”时,括号内各项变号,如a-(b-c)=⑧ a-c.
简记为:去括号,“+”不变,“-”要变.
加
若a>0,b<0,|a|>|b|,则a+b=+(|a|-|b|);若
法 异号两数相加 a>0,b<0,|a|<|b|,则a+b=-(|b|-|a|);若a,b互为相
反数,则a+b=0.
一个数同0相加 a+0=⑱_a___
考点
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6
实数的运算
运算名称 减法
a-b=a+(-b)
解析：B 7.01万亿=7.01×104×108=7.01×1012.故选B.
5.[2019洛阳一模]目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米,国产芯片的最小工艺水平理论上是12纳
中考复习数与式课件 第一节 实数及其运算
第一节 实数及其运算
真题演练
命题点一 实数的有关概念
1.(2020河南)2的相反数是 ( A )
A.-2 B.- 1 C. 1 D.2
2
2
解析 2的相反数是-2.故选A.
2.(2019河南)- 1 的绝对值是 ( B )
2
A.- 1 B. 1 C.2 D.-2
2
2
解析 负数的绝对值是它的相反数,所以 1 = 1 ,故选B.
a,a 0;
|a|=0,a 0;
a,a 0.
温馨提示 因为一个数的绝对值是数轴上表示该数的点到原点的距离,所以
一个数的绝对值不可能为负数,即|a|≥0.
5.平方根、算术平方根、立方根
名称
定义
性质
平方根
如果x2=a(a≥0),那么x就叫做a 的平方根,记作± a
正数的平方根有两个,它们互为 相反数 ; 负数 没有
平方根;0的平方根是 0
算术平 方根
如果x2=a(x≥0,a≥0),那么x就叫 0的算术平方根是0 做a的算术平方根,记作 a
立方根
若x3=a,则x就叫做a的立方根,记 作 3a
正数有一个 正的 立方根; 0的立方根是0;负数有一个
负的 立方根
易错警示 平方根与算术平方根的概念混淆 填空: 1.4的算术平方根是 2 . 2.2的平方根是 ± 2 . 3.(-3)2的平方根是 ±3 .
15.(2019河南)成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克.数据“0.000 004 6”
用科学记数法表示为( C )
A.46×10-7
B.4.6×10-7
C.4.6×10-6 D.0.46×10-5
第1讲实数的概念
D.实数。 实数。 实数 （ A）
C. 3
−2
=9
1 3 1 D. ( − ) = 2 8
5、计算－ 1+2 的结果是 、计算－ 的结果是 A. －3 B.-1 C.1
（ C ） D. 3 年江苏南京） （2007年江苏南京） 年江苏南京
6、（2007湖南长沙）如图，点A,B在数轴上 对应的实数分别为m、n，则A,B间的距离 是 n-m ．（用含m、n的式子表示） A B m 0 n
如图，a 如图，
d
b
e
c
，， d e ，其中 a b ， c 是三个连续偶数 (a<b)，， 是两
个连续奇数
(d <e)
a+b+c=d+e ，例如 25 4 7 6 且满足
．请你在0到20之间 选择另一组符号条件的数填入下图： 请你在 到 之间 选择另一组符号条件的数填入下图：
典型例题解析
、（1） 例1、（ ） − 3 的倒数是 1/3 、（ ； （2） 3 －2的绝对值是 2 － 3 ） 的绝对值是 ； （3）若 x = 1, y = 2 ，且xy>0，x+y= ） ，
−1
° 整数集合：{ 3 − 27 ;tan45°; － 3 }； 整数集合： }； 3-1；3.14；227;sin30°；｜ ｜；-0.32·1· ； ； °；｜-3.2｜； ｜； 分数集合： }； 分数集合：{ } ； ； ； ° ° ｜ ｜ 有理数集合： 3-1；3-27；3.14；227；sin30°；tan45°-3;-0.321;｜-3.2｜ ； 有理数集合： 无理数集合： }。 无理数集合：{ 8 ;-π；0.100110001… }。
D．−3 ．
第1课实数的有关概念
第1课 实数的有关概念一、 本课学习目标：1. 正确理解实数的有关概念。
2. 了解数轴、相反数、绝对值、倒数、近似数、有效数字、科学记数法的概念。
3. 会比较数的大小。
二、 课前小测（限时5分钟）：1. 若零上5℃记作 +5℃，则零下3℃记作 。
2. 5的倒数是 。
3. 计算：3243- = 。
3. 比较大小：3221--用科学记数法表示：23500 = 。
4. 计算：3 ÷ 2 ×⎪⎭⎫⎝⎛-21 = 计算：32- = 。
5. 计算：3 – 2- = 。
化简：8 = 。
6. 40°的余角等于 。
三、 本课主要知识点： 1. 实数的分类：注：零既不是正数，也不是负数。
练习： (1)把下列各数填在相应的大括号：–18，1377，3.1416， 0，2001，53-，–0.142857正数集合{ }，负数集合{ }整数集合{ }，分数集合{ }(2)在数722，π，3.14，0，8，364-，sin60°，tan45°，2-7，0.303030……，0.010010001……中，无理数共有 个。
2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
练习：下面图中，表示数轴的是（ ）A ．B ．C ．D ．3. 相反数：只有符号不同的两个数称互为相反数。
零的相反数是零。
若a 和b 互为相反数，则a + b = 0；反之，若a + b = 0，则a 和b 互为相反数。
数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称。
练习：(1) 12的相反数是 ；(2) –22的相反数是 ；(3)0的相反数是 ； (4)若m + 1与m – 3互为相反数，则m = ；(5)在数轴上表示：用点A 表示3，用点B 表示它的相反数.4. 绝对值：在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a . 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
第1讲 实数及其有关概念
3．(2015·丹东 1 题 3 分)－2015 的绝对值是( B )
A．－2015
B．2015
1 C.2015
D．－20115
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4．(2016·锦州 1 题 2 分)|－6|的相反数是( B )
A•．单6•击第B．此二－处级6 编C.辑16 母D．版－文16 本样式
单击此处编辑母版标题样式
命题点 4 实数的大小比较
1•．单(20击15此·沈处阳 1编题辑3 分母)比版0文大的本数样是式( D )
A．－• 2第•二B第．级三－级32 C．－0.5 D．1
2．(2016·朝阳• 第1 题四级3 分)在下列实数中，－3， 2，0，2，－1，绝对值最
小的数是( B ) • 第五级
1．(2015·朝阳 1 题 3 分)计算－2＋1 的结果是( B )
A．－3 B．－1 C．3 D．1
2．(2014·锦州 11 题 3 分)计算：tan45°－13(
2 3－1)0＝_3__．
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3．(2016·大连 17 题 9 分)计算：( 5＋1)( 5－1)＋(－2)0－3 27.
•1．单(2击014此·鞍处山 1编题辑3 分母)4版的文平方本根样是(式B )
A．2• 第B．二±级2 C. 2 D．± 2
2．(2014•·沈第阳三9级题 4 分)计算： 9＝_3_． 3．(2014·本溪• 第13四题级3 分)一个数的算术平方根是 2，这个数是_4__． 命题点 6 实数的• 运第算五级
•_－_单_a_，击0此的相处反编数是辑0母；a版与文b 互本为样相反式数⇔a＋b＝_0_．
(3)绝•对第值二级
1.第一节 实数的相关概念(PPT课件)
m,1 nm=10-9 m，1吨＝103千克＝106克
一个非零数前所有零的个数（包括小数 点前的零）或小数点移动的位数
四川6年真题精选（2012-2017）
考点特训营
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温馨提示：有计数（量）单位并需转换单位的科学记数 法，先把计数（量）单位转化为数字，再用科学记数法 表示.常考的计数单位有：1亿=1×108，1千万=1×107，
1万=1×104;常考的计量单位有：1 mm=10-3 m,1 μm=10-6
四川6年真题精选（2012-2017）
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1 1.⑩______ ≤a< 11 ______ 10
科 学 记 数 2.n的确定 法
（形式： a × 10 n）
（1）当原数大于10时，n为正整数，n等 于原数的整数位数减1 （2）当原数大于0且小于1时，n为
⑫ ______ ，n的绝对值等于原数左起第 负整数
第一部分
四川中考考点研究
第一章
数与式
第一节 实数的相关概念
四川6年真题精选（2012-考点特训营
考点精讲
实数的分类
数轴 实数的相关概念 相反数 绝对值 倒数 科学记数法
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按定义分
整数 有理数 分数：有限小数 或无限循环小数 无理数:① 无限不循环小数 _________________
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1 1.非零实数a的倒数为⑦____ a
，0没有倒数，
倒数等于它本身的数是⑧______ ±1 倒 数
2.实数a、b互为倒数
ab=⑨______ 1
第1节 实数的概念及运算
1.类别比较法：正数>0>负数，求一组数中的最大(小)数，求 最大数如有正数直接在正数中找，求最小数如有负数直接在 负数中找；两个负数比较大小，⑩ 绝对值 大的数反而小
定义 ∵x2=a， ∵x2=a(x≥0), ∵x3=a, 平方 ∴ x =± a ∴ x = a ∴ x= a 根、 算术 温馨提示（1）平方根、算术平方根的被开方数⑭大于等于0 ， 平、 平方根有两个，符号相反，算术平方根只有一个，且为正数； 方根 立方 （2）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和 根 0，立方根等于本身的数是1，-1和0 （3）立方根的被开方数为⑮任意实数 ，立方根只有一个，符 号与被开方数⑯ 相同 . 返回
⑤ a
(a＞0)
1 倒数 2.a、b互为倒数 ab=⑨ _____ 3.求分数的倒数：符号保持不变，分子分母互换位 置
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1 1.非零实数a的倒数是⑧ a .特别地，0是唯一一 个没有倒数的数，倒数等于它本身的数是1和-1
1.a值的确定：1≤a<10 科 2.n值的确定（1）当原数大于或等于1时，n等于原数的整 学 数位数减1 记 数 （2）当原数大于0小于1时，n是负整数，它的绝对值等于 法 原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的 零），或等于原数变为a时，小数点移动的位数 温馨提示：用科学记数法表示数时，要注意已知数据是否 与表达数据单位一致
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1.非零实数a的相反数为③ -a 的相反数是0
.特别地，0
绝对值
1.|a|= 0(a=0) ，绝对值具有非负性 ⑥ -a (a＜0)
2.若|x|＝a(a≥0)，则x=⑦ ±a ，绝对值相等的两个数相 等或互为相反数，即若|a|＝|b|，则a=b或a=-b 3.几何意义：数轴上表示这个数的点到原点的距离，且 离原点越远的数的绝对值越大 返回
第1章实数
第一章 实数集与函数§1 实数一 实数及其性质 有理数可用分数形式p q（,p q 为整数，0q ≠）表示，也可以用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数。
规定：对于正有限小数(包括正整数)x ，当012.n x a a a a = 时，其中009,1,2,,0,i n a i n a a ≤≤=≠ 为非负整数，记012.(1)999n x a a a a =- ；而当0x a =为正整数时，则记0(1).999x a =- 。
对于负有限小数(包括负整数)y ，则先将y -表示为无限小数,再将所得无限小数之前加负号。
又规定数0表示为0.000 。
于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。
定义1 给定两个非负实数012012.,.n n x a a a a y b bb b == ，其中00,a b 为非负整数，,(1,2,)k k a b k = 为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤。
若有(0,1,2,k k a b k == ，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得(0,1,2,)k k a b k l == 而11l l a b ++>，则称x 大于y ，记为x y >或y x <。
对于负实数x 与y ，当x y -=-时，规定x y =；当x y ->-时，规定x y <（或y x >）。
规定任何非负数实数大于任何负实数。
定义2 设012.,n x a a a a = 为非负实数。
称有理数012().n n x a a a a = 为实数x 的n 位不足近似，而有理数1()()10n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n = 。
对于负实数012.,n x a a a a =- 其n 位不足近似与n 位过剩近似分别规定为0121().10n n nx a a a a =-- 与012().n n x a a a a =- 。
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第一节 实数
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类型三 与数轴结合(2017年考查)
29. (2017河北20题8分)在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2， BC＝1，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p. (1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多 少？
＝5－1－1＋1(6分) ＝4.(8分)
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第一节 实数
27. (2016河北20题9分)利用运算律有时能进行简便计算．
例1 98×12＝(100－2)×12＝1200－24＝1176; 例2 －16×233＋17×233＝(－16＋17)×233＝233.
请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1)999×(－15)； 解：(1)原式＝(1000－1)×(－15)(2分)
1. 2.
几a 何= 意____义__-aa__：__ 在aa<数00轴 ，上注，：表绝示对一值个具数有的非点负到性原点的距离，离原
点越远的点所表示的数的绝对值__越__大___
3.互为相反数的两个数的绝对值_相__等___，如2与__-_2__的绝对值 均为2
第一节 实数
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16. (2013河北6题2分)下列运算中，正确的是( D )
A. 9 =±3
B. 3 8=2
C. （-2）0=0
D. 2-1= 1
2
17. (2016河北17题3分)8的立方根为____2____．
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命题点 5 实数的大小比较（10年3考）
18. (2016河北11题2分)点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对
第14题图
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玩转真题 拓展训 练
15. (2020石家庄40中阶段测试)将一个有理数m用科学记数法表示为2.56×10-4，则有
理数m的整数部分是( D )
A. -4
B. -2
C. 2
D. 0
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命题点 4 平方根、算术平方根、立方根（10年5考，其中1次单独考查）
用科学记数法表示为( B )
A. 0.423×107 B. 4.23×106 C. 42.3×105
D. 423×104
12．(2017河北2题3分)把0.0813写成a×10n(1≤a＜10，n为整数)的形式，则a为( D )
A. 1
B. －2
C. 0.813
D. 8.13
13．(2020河北13题2分)已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤ t ≤10）传播的距
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【课标要求】 ◎理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小； ◎了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数 与绝对值； ◎借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法， 知道 a 的含义； ◎会用科学记数法表示数； ◎了解平方根、算术平方根、立方根的概念。会用根号表示数的平方根、算术平方 根、立方根，会用平方运算求百以内整数的平方根； ◎掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用 有理数的运算解决简单的问题。
离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为( C )
A. 5
B. 6
C. 5或6
D. 5或6或7
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14. (2014河北20题3分)如图，点O，A在数轴上表示的数分别是0，0.1.将线段OA分成 100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99；再将线段OM1分成100等份， 其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99；继续将线段ON1分成100等份，其分点由 左向右依次为P1，P2，…，P99.则点P37所表示的数用科学记数法表示为_3_.7_×__1_0_-_6 .
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实数的相 关概念 数轴
1.三要素：
2._实__数__和数轴上的点是_一__一___对应的，正数在原点的右侧，负数 在原点的左侧 3.如图，数轴上的A、B两点间的距离为__b_-_a__,线段AB的中点C对
a+b
应的实数为___2___
满分技法
1.求数轴上两点的距离时，当有动点存在时，需分情况讨论； 2.到数轴上的某一点距离相等的点有两个。
D. 2×10-5
10. (2018河北2题3分)一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数
中“0”的个数为( B )
A. 4
B. 6
C. 7
D. 10
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11. (2013河北2题2分)截至2013年3月底，某市人口总数已达到4230000人．将4230000
嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是( D ) A. 4＋4－ 4 ＝6 B. 4＋40＋40＝6
C. 4＋ 3 4 4 ＝6 D. 4-1÷ 4＋4＝6
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第25题图
第一节 实数
26. (2012河北19题8分)计算：5 ( 2 3)0 6 ( 1 1) 12
32
解： 原式＝5－1＋6×(－ 1 )＋1(4分) 6
于以下结论：
甲：b－a＜0； 乙：a＋b＞0； 丙：|a|＜|b|； 丁： b ＞0.
a 其中正确的是( C )
第18题图
A. 甲乙
B. 丙丁
C. 甲丙
D. 乙丁
19. (2011河北13题3分) 3 5，π，-4，0这四个数中，最大的数是____π____．
第一节 实数
命题点 6 实数的相关计算（必考，其中14次单独考查）
混合运算顺序
第一节 实数
考点精讲
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【对接教材】冀教：七上第一章P1－P60，七下第八章P93－P95， 八上第十四章P59－P88；
人教：七上第一章P1－P52，七下第六章P53－P62； 北师：七上第二章P22－P76，八上第二章P21－P32、P38－P39.
第一节 实数
第一节 实数
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玩转真题 拓展设 问
(3)若原点O为AB的中点，求p； (3)若原点O为AB的中点，则A、B、C对应的数分别为-1，1，2，则p=-1+1+2=2；
(4)若原点O在A的左边，且点B与点O之间的距离为6，求p；
(4)原点O在点A的左边，且点B与原点O之间的距离为6，则点B对应的数是6，点A对 应的数是4，点C对应的数是7，则p＝4＋6＋7＝17.
A. 0
B. －2
C. 1
D. + 1
3
D. 1
2
第一节 实数
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3. (2017河北1题3分)下列运算结果为正数的是( A )
A.（- 3）2
B. -3÷2
题 拓展训 练
4. (2020石家庄新华区模拟)在下列气温的变化中，能够反映温度上升5℃的是( A )
第一节 实数
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实数的分类
整数
有理数
有限小数或无限循环小数
按定义分
分数
无理数：无限不循环小数
按大小分：正数、____0____、负数
满分技法
1.若所给数含运算符号，则计算后再判断正负，如 -1- 2 1是
正数；
2.注意-a不一定是负数，要对a进行分类讨论
正负数的意义：一般地，对具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为 正，并在表示这个量的前面放上“+”；把与它意义相反地量规定为负，并在表示这个 量的前面放上“-”。如规定向东为“+”，则向西为“-”；规定零上为“+”，则零下为“-”。
A.气温由-3℃到2℃
B. 气温由-1℃到-6℃
C.气温由-1℃到5℃
D. 气温由4℃到-1℃
第一节 实数
5. 下列实数为无理数的是( B )
A. －5
B. 2
C. 0
2
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1
D.
2
第一节 实数
命题点 2 实数的相关概念（10年9考）
6. (2015河北2题3分)下列说法正确的是( A )
A. 1的相反数是－1
解：(1)以B为原点，点A，C分别对应－2，1，(2分)
p＝－2＋0＋1＝－1；(4分) 以C为原点，点A，B分别对应－3，－1， p＝(－3)＋(－1)＋0＝－4；(6分) (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p.
第29题图
(2)p＝(－28－1－2)＋(－28－1)＋(－28)＝ －88.(8分)
第一节 实数
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实数的 相关概 念
相反数 绝对值
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数
2.非零实数a的相反数是__-a__，特别地，0的相反数是__0__
3.a、b互为相反数 a+b=__0___
4.几何意义：在数轴原点的两侧，与原点距离__相__等__的两个点
表示的数互为相反数
思维导图
实数的分类
数轴 相反数 绝对值 倒数
定义
n的确定
正负数的意义
实数的 相关概念
科学记数法
实数
近似数
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平方根、 算术平方根、
立方根
实数的大小 比较
实数的运算
非负数
平方根
算术平方根
立方根 1.数轴比较法 2.性质比较法
3.差值比较法 4.平方比较法 5.立方比较法
运算法则 运算律
常见实数运算 凑整法