函数的微分.ppt

M点处的切线对应点M的纵
坐标的增量.
o
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
)
x0 x0 x x
当|x|很小时, 在点M的附近用切线的增量近似代
替曲线的增量.
四、微分的求法
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
d(C ) 0
d ( x ) x1dx
例4: 设 y eax sin bx, 求dy. 例5: 设e xy a xb y ,求dy, dy
dx 例6: 设 y ln(1 ecosx2 ), 求dy.
五、微分在近似计算中的应用
1. 函数的近似计算 ( x 很小时)
（1）计算增量 y dy f ( x0 )x
即 y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
dy
A x
(4) A是与x无关的常数, 但与f (x0)和x0有关; (5) 当|x|很小时, yd y=A·x(线性主部).
二、可微的条件
定理: 函数f (x)在点x0处可微的充分必要条件是函 数f (x)在点x0处可导, 且d y = f (x0)·x.
定理表明: 可导可微, 且f (x0)=A.
x (x)2
x
x0x x0
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
一、微分的定义
定义: 设函数y=f (x)在某区间I内有定义, x0及x0+x 在区间I内, 如果存在与x无关的常数A, 使得
y = f (x0+x) – f (x0) = A·x + o(x) 成立, 则称函数y=f (x)在点x0处可微, 并且称A·x为函 数y=f (x)在点x0处相应于自变量增量x的微分, 记作
所以, dy=f (x)dx. 从而 dy f ( x). dx
即函数的微分d y与自变量的微分d x之商就等于该 函数的导数, 因此导数也叫做“微商”.
三、微分的几何意义
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设曲线C的方程为y=f (x), y 曲线C上的点M处有切线.
T N
则y是曲线C上关于点M的纵
坐标的增量, 而d y是曲线C在
d (sin x) cos xdx d (tan x) sec2 xdx
d (cos x) sin xdx d (cot x) csc2 xdx
d (sec x) sec x tan xdx d (csc x) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx
d (loga
§2.5 函数的微分
问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 A x02,
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
x0
x0x
A x02
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
x)
1 dx x ln a
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(arctan x) 1 dx 1 x2
d (e x ) e xdx
d (ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d(arc cot x) 1 dx 1 x2
2. 函数和、差、积、商的微分法则
★ 导数与微分的联系: 可导可微
（2）计算增量的函数值
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
（3）计算 x0 附近的函数值
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
(4) 在(3)式中取 x0 0 ,且x 接近0,于是得
f ( x) f (0) f (0)x
应用(4)式可得以下公式(下面都假定 x 是较小的数值) 1) n 1 x 1 1 x n
d(u v) du dv
d(Cu) Cdu
d(uv) vdu udv
u d( )
v
vdu udv v2
3. 复合函数的微分法则
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可微函数
x (t), 则 dy f ( x)(t)dt.
d y, 即d y = A·x.
微分d y叫作函数增量y的线性主部—微分的实质.
由定义知:
(1) d y是自变量的改变量x的线性函数;
(2) 当 x 0 时，y–d y=o(x)是x的高阶无穷小;
(3) 当A0时,当 x 0 时，y与d y是等价无穷小;
实际上
y 1 o(x) 1 (x 0).
2) sinx x ( x用弧度作单位来表达) 3) tanx x ( x用弧度作单位来表达)
4) ex 1 x
5) ln(1 x) x
举例 例 计算 1.05 的近似值
六、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
在f (x0)0的条件下, 当x→0时, y～d y, 且y–d y既是x的高阶无穷小, 又是d y的高阶无穷小. 因此d y 也是y的主要部分.
由于自变量对自己的导数等于1, 所以通常把自变 量的增量x称为自变量的微分, 记作d x, 即d x=x.
一阶微分形式
(t)dt dx, dy f ( x)dx. 的不变性
结论: 无论x是自变量还是中间变量, 函数 y=f (x) 的微分形式总有: dy f ( x)dx
例1: 设 y ln( x e x2 ), 求dy. 例2: 设 y e13x cos x, 求dy.
例3: 设 y sin(cos a x ), (a 1,a 0)求dy.