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微分 PPT课件
3.复合函数的微分及微分形式不变性 性质3.9 设y f(u),u g(x)可微,则y f[g(x)]关于x可微, 且df[g(x)] f [g(x)] g(x)dx
微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可 微函数x g(t), 则 dy f (x)g(t)dt
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
微分 dy叫做函数增量y的线性主部.
y A x o(x) dy o(x)(其中A与x无关)
y与dy的关系 (1) y dy o(x);(dy为y的线性主部) (2) 当A 0时,y ~ dy; (3) 当x很小时,y dy .
3.可微的条件
性质3.7 函数f (x)在点x0可微 f (x)在点x0处可导, 且 A f (x0 ).
d(secx) _s_e_c_x_ta_n__x__dx d(cscx) _-c_s_c_x_c_o_t_x_dx
d(_a_x_) ax lnadx 1
d(loga x) _x__ln__a1dx
d(_e_x_) exdx
1
d(l_n_x_) 1 dx,
x
d(lnx1) _x___dx
x 0.02
x 0.02
4.微分的几何意义
微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可 微函数x g(t), 则 dy f (x)g(t)dt
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
微分 dy叫做函数增量y的线性主部.
y A x o(x) dy o(x)(其中A与x无关)
y与dy的关系 (1) y dy o(x);(dy为y的线性主部) (2) 当A 0时,y ~ dy; (3) 当x很小时,y dy .
3.可微的条件
性质3.7 函数f (x)在点x0可微 f (x)在点x0处可导, 且 A f (x0 ).
d(secx) _s_e_c_x_ta_n__x__dx d(cscx) _-c_s_c_x_c_o_t_x_dx
d(_a_x_) ax lnadx 1
d(loga x) _x__ln__a1dx
d(_e_x_) exdx
1
d(l_n_x_) 1 dx,
x
d(lnx1) _x___dx
x 0.02
x 0.02
4.微分的几何意义
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
《微分的概念》课件
《微分的概念》ppt课 件
目录 CONTENT
• 引言 • 微分的定义 • 微分的性质 • 微分法则 • 微分的应用 • 习题与答案
01
引言
微分的重要性和应用
微分是数学分析中的基本概念，对于理解函数的变化规律和解决实际问题 具有重要意义。
在科学、工程、经济等领域，微分被广泛应用于优化问题、预测模型、控 制系统等方面。
04
微分法则
和差法则
总结词
和差法则是指函数和差运算的微分规则，即 两个函数的和或差的微分等于它们各自微分 的和或差。
详细描述
设函数$u(x)$和$v(x)$在某点$x$处可导， 则$(u+v)'=u'+v'$，$(u-v)'=u'-v'$。
幂的微分法则
总结词
幂的微分法则是表示幂函数导数的规 则，即幂函数的导数等于该函数的指 数乘以自变量的导数。
03
微分的性质
线性性质
总结词
பைடு நூலகம்线性性质是微分学中的一个基本性质，它表明函数的一阶导数在一定条件下具有线性性质。
详细描述
如果函数y=f(x)在某点的导数f'(x)存在，且常数a和b都存在，那么函数a*f(x)+b的导数等于a*f'(x)。这 个性质在求复杂函数的导数时非常有用，因为它可以将复杂的函数拆分成几个简单的部分来分别求导 。
详细描述
设函数$x^n$在某点$x$处可导，则 $(x^n)'=n x^{n-1}$。
常数微分法则
要点一
总结词
常数微分法则是表示常数函数导数的规则，即常数函数的 导数为0。
要点二
详细描述
设常数$c$在某点$x$处可导，则$(c)'=0$。
目录 CONTENT
• 引言 • 微分的定义 • 微分的性质 • 微分法则 • 微分的应用 • 习题与答案
01
引言
微分的重要性和应用
微分是数学分析中的基本概念，对于理解函数的变化规律和解决实际问题 具有重要意义。
在科学、工程、经济等领域，微分被广泛应用于优化问题、预测模型、控 制系统等方面。
04
微分法则
和差法则
总结词
和差法则是指函数和差运算的微分规则，即 两个函数的和或差的微分等于它们各自微分 的和或差。
详细描述
设函数$u(x)$和$v(x)$在某点$x$处可导， 则$(u+v)'=u'+v'$，$(u-v)'=u'-v'$。
幂的微分法则
总结词
幂的微分法则是表示幂函数导数的规 则，即幂函数的导数等于该函数的指 数乘以自变量的导数。
03
微分的性质
线性性质
总结词
பைடு நூலகம்线性性质是微分学中的一个基本性质，它表明函数的一阶导数在一定条件下具有线性性质。
详细描述
如果函数y=f(x)在某点的导数f'(x)存在，且常数a和b都存在，那么函数a*f(x)+b的导数等于a*f'(x)。这 个性质在求复杂函数的导数时非常有用，因为它可以将复杂的函数拆分成几个简单的部分来分别求导 。
详细描述
设函数$x^n$在某点$x$处可导，则 $(x^n)'=n x^{n-1}$。
常数微分法则
要点一
总结词
常数微分法则是表示常数函数导数的规则，即常数函数的 导数为0。
要点二
详细描述
设常数$c$在某点$x$处可导，则$(c)'=0$。
函数的微分
线性函数
问题
f ( x) ?
算不出 已知 相差很小
例 sin 31 ? 1 分析 sin 30 2 31 30 1
sin 31 sin 30 A ? 180 线性函数
问题1归结为：
f ( x 0 x ) f ( x0 ) Ax ( x 1) ?
d( u v ) du dv d(Cu) Cdu d( uv ) udv vdu u vdu udv d v2 v
（2）复合函数的微分法则
y f ( u), u为自变量
微分的形式不变性
dy f ( u)du
u为中间变量 u g( x ) d dy f ( u) g (u x )dx
能否找到一个函数A0+AΔx,使 能否找到一个函数AΔx,使
y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) Ax ( x 1) ?
一 微分的概念
(一) 引例
(二) 定义 (三) 可微条件
(四) 几何意义
一 微分的概念
(一) 引例
(二) 定义 (三) 可微条件
(四) 几何意义
(二) 定义 (三) 可微条件
(四) 几何意义
一 微分的概念
(一) 引例
(二) 定义 (三) 可微条件
(四) 几何意义
定理
y=f(x)在x0处可微
注 1．y=f(x)在x0处可微
y=f(x)在x0处可导
d y A x f ( x0 )x
2．Δx称为自变量的微分,记作:dx
3．y=f(x)在x0处的微分记作：d y f ( x0 )dx
a的绝对误差
a的相对误差 A的绝对误差限
问题
f ( x) ?
算不出 已知 相差很小
例 sin 31 ? 1 分析 sin 30 2 31 30 1
sin 31 sin 30 A ? 180 线性函数
问题1归结为：
f ( x 0 x ) f ( x0 ) Ax ( x 1) ?
d( u v ) du dv d(Cu) Cdu d( uv ) udv vdu u vdu udv d v2 v
（2）复合函数的微分法则
y f ( u), u为自变量
微分的形式不变性
dy f ( u)du
u为中间变量 u g( x ) d dy f ( u) g (u x )dx
能否找到一个函数A0+AΔx,使 能否找到一个函数AΔx,使
y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) Ax ( x 1) ?
一 微分的概念
(一) 引例
(二) 定义 (三) 可微条件
(四) 几何意义
一 微分的概念
(一) 引例
(二) 定义 (三) 可微条件
(四) 几何意义
(二) 定义 (三) 可微条件
(四) 几何意义
一 微分的概念
(一) 引例
(二) 定义 (三) 可微条件
(四) 几何意义
定理
y=f(x)在x0处可微
注 1．y=f(x)在x0处可微
y=f(x)在x0处可导
d y A x f ( x0 )x
2．Δx称为自变量的微分,记作:dx
3．y=f(x)在x0处的微分记作：d y f ( x0 )dx
a的绝对误差
a的相对误差 A的绝对误差限
微分方程ppt
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分 方 程
z z xy z2 x y
zx 5z4 0
常微分方程
偏微分方程
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分 方 程
z z xy z2 x y
zx 5z4 0
常微分方程
偏微分方程
第五节 函数的微分
N
T
P
M x
Q
O
x0 x0 x
x
第五节 函数的微分
三、微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式
导数公式
微分公式
(x ) x1
d(x ) x1dx
(sin x) cosx
d(sin x) cosxdx
(cosx) sin x
d(cosx) sin xdx
(tan x) sec2 x
解
cos(x2 1) 2xdx
dy2x
co1s(x2 1 ex2
d(11)dex
x.2
)
1 1 ex2
e x2 d( x2 )
1 1 ex2
ex2
2xdx
第五节 函数的微分
四、微分在近似计算中的应用
设函数 y = f (x) 在 x0 处可导，且 f (x0) 0， 则当 | x | 很小时有近似公式
于是有微分公式 dy f (u) g(x) dx . du g(x) dx dy f (u)du .
微分形式不变性
第第五五节节 函函数数的的微微分分
例3 y = sin(x2 + 1)，求 dy .
解
第五节 函数的微分
例4 dyy clno(s1(x2 e1xx)22d)(,x2求1d) y .
关于x的线性函数
关于x的高阶无穷小
第五节 函数的微分
那么，对于任意函数 y = f (x)，是否也有
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x) .
关于x的线性函数
关于x的高阶无穷小
本节将研究这一问题.
第五节 函数的微分
2. 定义
定义 设函数y = f (x)在某区间内有定义, x0 及 x0+x
函数的微分
微分与增量的关系
定理：当f ( x0 ) 0 时，微分是增量的线性 主部。
主部：设 ， 均为无穷小，若 o
则称 是 的主部，有 o 结论： 若 o ，则 ~ 。
。
证： 若 f ( x 0 ) 0 ，则 Δy f ( x 0 Δx ) f ( x 0 ) 0
得
当
3 x 2 d x 3 y 2 d y 3 cos 3 x d x 6 d y 0 1 由上式得 d y x 0 d x x 0 时 y 0, 2
返回
称为a 的相对误差
若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 按公式 已知测量误差限为 计算 y 值时的误差
x ,
d y f ( x) x
故 y 的绝对误差限约为
y f ( x) x
y
f ( x) x y f ( x)
整理并移项即得： x (dy dx ) y (dy dx ) #
思考： 若 y＝e
sin x
dy ，怎样求 ？ d cos x
返回
三、 微分在近似计算中的应用
y f ( x0 )x o( x)
当
x
很小时,
得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
y 2 2 例 3 推证等式 arctan ＝ln x ＋y 满足 x 关系式 x dy－dx ＝ y dy＋dx .
证：
利用微分的形式不变性 对等式两边求微分 1 xdy ydx 1 1 2 (2 xdx 2 ydy ) 2 2 2 2 x y x y 1 x
《函数的微分》课件
极值问题
极值的定义和性质 极值的求解方法 极值在生活中的应用 极值问题的实际案例
曲线的切线问题
切线的定义和性质
切线的求法
切线的应用：求曲 线在某一点的切线 方程
切线的应用：求曲 线在某一点的切线 斜率
函数的单调性判断
定义：函数在某 区间内单调增加 或单调减少
单调性的判断方 法：导数法、图 像法、表格法等
微分方程及其解法
Байду номын сангаас
微分方程的基本概念
分类：根据未知函数的个数， 微分方程可以分为一阶、二 阶和高阶微分方程
定义：微分方程是包含未知 函数及其导数的方程
形式：微分方程通常可以表 示为f(x,y',y'',...) = 0
解法：常用的解法包括分离 变量法、常数变易法、降阶
法等
一阶微分方程的解法
定义：一阶微分方 程是只含有一个自 变量和一个导数的 方程
指数函数的微分规则
函数形式：指数函数的一般形式为y=a^x，其中a>0且a≠1 微分规则：指数函数的微分规则为(a^x)'=a^x*ln(a)，其中a>0且a≠1 微分性质：指数函数的微分性质包括单调性、凹凸性、极值等 应用：指数函数的微分规则在经济学、物理学等领域有着广泛的应用
链式法则
添加 标题
形式：dy/dx + p(x)y = q(x)
求解方法：分离变 量法、常数变易法 、线性微分方程的 解法
举例：y' + y = 0, y' + 2y = sin(x)等
二阶微分方程的解法
常用的解法：常数变易法、 降阶法、比较法
定义和分类
特殊类型的解法：伯努利方 程、欧拉方程
微分的概念ppt
.
f (x)
N
o
tan
dy = f ( x0 )x =tan x
在图上是哪条线段？
y
(x)
y
y dy o(x)
当x很小时
dy
f ( x0 )
M
y dy
即：
x
.
用切线增量近似曲线增量
o
x0
x0 x
x
f ( x) f ( x x) f ( x ) f ( x ) x
y o( x ) 1 ( x 0). 1 dy A x
(4) A是与x无关的常数,但与f ( x)和x 有关 ; 0
(5)当x 很小时,y dy (线性主部).
三、微分的几何意义 微分是函数的局部线性化
lim f ( x0 ) x 0 y x
微分的概念
一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x 变到x x, 0 0 正方形面积A x 2, 0 2 A ( x 0 x ) 2 x 0
x0
x
( x ) 2
x
x 0 x
2 A x0
2 x 0 x ( x ) 2 .
设函数 y f ( x )在某区间内有定义 , x 及x x在这区间内, 如果 0 0 y f ( x x ) f ( x ) A x o(x ) 0 0 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x )在点 x 可微, 并且称A x为函数 0 y f ( x )在点 x 相应于自变量增量x的微分, 0
3 x x 3 x 0 ( x ) ( x ) .
( 2)
当x 很小时,
f (x)
N
o
tan
dy = f ( x0 )x =tan x
在图上是哪条线段？
y
(x)
y
y dy o(x)
当x很小时
dy
f ( x0 )
M
y dy
即：
x
.
用切线增量近似曲线增量
o
x0
x0 x
x
f ( x) f ( x x) f ( x ) f ( x ) x
y o( x ) 1 ( x 0). 1 dy A x
(4) A是与x无关的常数,但与f ( x)和x 有关 ; 0
(5)当x 很小时,y dy (线性主部).
三、微分的几何意义 微分是函数的局部线性化
lim f ( x0 ) x 0 y x
微分的概念
一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x 变到x x, 0 0 正方形面积A x 2, 0 2 A ( x 0 x ) 2 x 0
x0
x
( x ) 2
x
x 0 x
2 A x0
2 x 0 x ( x ) 2 .
设函数 y f ( x )在某区间内有定义 , x 及x x在这区间内, 如果 0 0 y f ( x x ) f ( x ) A x o(x ) 0 0 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x )在点 x 可微, 并且称A x为函数 0 y f ( x )在点 x 相应于自变量增量x的微分, 0
3 x x 3 x 0 ( x ) ( x ) .
( 2)
当x 很小时,
《微分的定义》课件
《微分的定义》PPT课件
微分是微积分的重要概念之一，在数学和科学中有着广泛的应用。本课件将 带您深入了解微分的定义、公式和应用，以及高阶导数的含义和推导。
微分的定义和意义
微分的定义
微分描述了函数在某点处的变化率，是函数瞬时变化的近似值。
微分的意义
微分帮助我们理解函数的局部行为和变化趋势，是解决许多数学和科学问题的关键。
高阶导数的定义和含义
高阶导数描述了函数变化的 更高级别，是函数变化率的 变化率。
高阶导数公式的推导
我们将讨论如何推导高阶导 数的公式，以及这些公式在 函数图像上的应用。
高阶导数的应用
高阶导数可以帮助我们更深 入地理解函数的变化特征， 解决更复杂的数学和科学问 题。
总结
微分的重要性和应用广泛性
微分是数学中的基础概念，在各 个领域都有广泛的实际应用。
微分的公式
1
对比导数和微分
导数描述了函数的整体变化率，而微分描述了函数的局部变化率。
2
微分公式的推导和应用
我们将讨论微分公式的推导过程，以及在实际问题中如何应用这些公式。
3
微分的应用
微分可以用于求函数的极值和最大值、最小值，求曲线的切线和法线方程，以及 分析函数的增减性和凸凹性。
微分中的高阶导数
学习微分需要的关键技和 知识点
学习微分需要掌握求导、函数分 析和极限等数学基础，并具备抽 象思维和问题解决能力。
建议的学习方法和实践过程
建议通过理论学习、实际问题探 索和实践运用的方式学习微分， 并与他人进行讨论和分享经验。
微分是微积分的重要概念之一，在数学和科学中有着广泛的应用。本课件将 带您深入了解微分的定义、公式和应用，以及高阶导数的含义和推导。
微分的定义和意义
微分的定义
微分描述了函数在某点处的变化率，是函数瞬时变化的近似值。
微分的意义
微分帮助我们理解函数的局部行为和变化趋势，是解决许多数学和科学问题的关键。
高阶导数的定义和含义
高阶导数描述了函数变化的 更高级别，是函数变化率的 变化率。
高阶导数公式的推导
我们将讨论如何推导高阶导 数的公式，以及这些公式在 函数图像上的应用。
高阶导数的应用
高阶导数可以帮助我们更深 入地理解函数的变化特征， 解决更复杂的数学和科学问 题。
总结
微分的重要性和应用广泛性
微分是数学中的基础概念，在各 个领域都有广泛的实际应用。
微分的公式
1
对比导数和微分
导数描述了函数的整体变化率，而微分描述了函数的局部变化率。
2
微分公式的推导和应用
我们将讨论微分公式的推导过程，以及在实际问题中如何应用这些公式。
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微分的应用
微分可以用于求函数的极值和最大值、最小值，求曲线的切线和法线方程，以及 分析函数的增减性和凸凹性。
微分中的高阶导数
学习微分需要的关键技和 知识点
学习微分需要掌握求导、函数分 析和极限等数学基础，并具备抽 象思维和问题解决能力。
建议的学习方法和实践过程
建议通过理论学习、实际问题探 索和实践运用的方式学习微分， 并与他人进行讨论和分享经验。
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函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
在f (x0)0的条件下, 当x→0时, y～d y, 且y–d y既是x的高阶无穷小, 又是d y的高阶无穷小. 因此d y 也是y的主要部分.
由于自变量对自己的导数等于1, 所以通常把自变 量的增量x称为自变量的微分, 记作d x, 即d x=x.
例4: 设 y eax sin bx, 求dy. 例5: 设e xy a xb y ,求dy, dy
dx 例6: 设 y ln(1 ecosx2 ), 求dy.
五、微分在近似计算中的应用
1. 函数的近似计算 ( x 很小时)
（1）计算增量 y dy f ( x0 )x
即 y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
x)
1 dx x ln a
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(arctan x) 1 dx 1 x2
d (e x ) e xdx
d (ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d(arc cot x) 1 dx 1 x2
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv
d(Cu) Cdu
d(uv) vdu udv
u d( )
v
vdu udv v2
3. 复合函数的微分法则
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可微函数
x (t), 则 dy f ( x)(t)dt.
M点处的切线对应点M的纵
坐标的增量.
o
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
)
x0 x0 x x
当|x|很小时, 在点M的附近用切线的增量近似代
替曲线的增量.
四、微分的求法
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
d(C ) 0
d ( x ) x1dx
（2）计算增量的函数值
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
（3）计算 x0 附近的函数值
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
(4) 在(3)式中取 x0 0 ,且x 接近0,于是得
f ( x) f (0) f (0)x
应用(4)式可得以下公式(下面都假定 x 是较小的数值) 1) n 1 x 1 1 x n
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
一、微分的定义
定义: 设函数y=f (x)在某区间I内有定义, x0及x0+x 在区间I内, 如果存在与x无关的常数A, 使得
y = f (x0+x) – f (x0) = A·x + o(x) 成立, 则称函数y=f (x)在点x0处可微, 并且称A·x为函 数y=f (x)在点x0处相应于自变量增量x的微分, 记作
dy
A x
(4) A是与x无关的常数, 但与f (x0)和x0有关; (5) 当|x|很小时, yd y=A·x(线性主部).
二、可微的条件
定理: 函数f (x)在点x0处可微的充分必要条件是函 数f (x)在点x0处可导, 且d y = f (x0)·x.
定理表明: 可导可微, 且f (x0)=A.
d (sin x) cos xdx d (tan x) sec2 xdx
d (cos x) sin xdx d (cot x) csc2 xdx
d (sec x) sec x tan xdx d (csc x) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx
d (loga
§2.5 函数的微分
问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 A x02,
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
x0
x0x
A x02
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
d y, 即d y = A·x.
微分d y叫作函数增量y的线性主部—微分的实质.
由定义知:
(1) d y是自变量的改变量x的线性函数;
(2) 当 x 0 时，y–d y=o(x)是x的高阶无穷小;
(3) 当A0时,当 x 0 时，Leabharlann 与d y是等价无穷小;实际上
y 1 o(x) 1 (x 0).
2) sinx x ( x用弧度作单位来表达) 3) tanx x ( x用弧度作单位来表达)
4) ex 1 x
5) ln(1 x) x
举例 例 计算 1.05 的近似值
六、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
所以, dy=f (x)dx. 从而 dy f ( x). dx
即函数的微分d y与自变量的微分d x之商就等于该 函数的导数, 因此导数也叫做“微商”.
三、微分的几何意义
设曲线C的方程为y=f (x), y 曲线C上的点M处有切线.
T N
则y是曲线C上关于点M的纵
坐标的增量, 而d y是曲线C在
★ 导数与微分的联系: 可导可微
一阶微分形式
(t)dt dx, dy f ( x)dx. 的不变性
结论: 无论x是自变量还是中间变量, 函数 y=f (x) 的微分形式总有: dy f ( x)dx
例1: 设 y ln( x e x2 ), 求dy. 例2: 设 y e13x cos x, 求dy.
例3: 设 y sin(cos a x ), (a 1,a 0)求dy.
x (x)2
x
x0x x0
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
在f (x0)0的条件下, 当x→0时, y～d y, 且y–d y既是x的高阶无穷小, 又是d y的高阶无穷小. 因此d y 也是y的主要部分.
由于自变量对自己的导数等于1, 所以通常把自变 量的增量x称为自变量的微分, 记作d x, 即d x=x.
例4: 设 y eax sin bx, 求dy. 例5: 设e xy a xb y ,求dy, dy
dx 例6: 设 y ln(1 ecosx2 ), 求dy.
五、微分在近似计算中的应用
1. 函数的近似计算 ( x 很小时)
（1）计算增量 y dy f ( x0 )x
即 y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
x)
1 dx x ln a
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(arctan x) 1 dx 1 x2
d (e x ) e xdx
d (ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d(arc cot x) 1 dx 1 x2
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv
d(Cu) Cdu
d(uv) vdu udv
u d( )
v
vdu udv v2
3. 复合函数的微分法则
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可微函数
x (t), 则 dy f ( x)(t)dt.
M点处的切线对应点M的纵
坐标的增量.
o
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
)
x0 x0 x x
当|x|很小时, 在点M的附近用切线的增量近似代
替曲线的增量.
四、微分的求法
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
d(C ) 0
d ( x ) x1dx
（2）计算增量的函数值
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
（3）计算 x0 附近的函数值
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
(4) 在(3)式中取 x0 0 ,且x 接近0,于是得
f ( x) f (0) f (0)x
应用(4)式可得以下公式(下面都假定 x 是较小的数值) 1) n 1 x 1 1 x n
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
一、微分的定义
定义: 设函数y=f (x)在某区间I内有定义, x0及x0+x 在区间I内, 如果存在与x无关的常数A, 使得
y = f (x0+x) – f (x0) = A·x + o(x) 成立, 则称函数y=f (x)在点x0处可微, 并且称A·x为函 数y=f (x)在点x0处相应于自变量增量x的微分, 记作
dy
A x
(4) A是与x无关的常数, 但与f (x0)和x0有关; (5) 当|x|很小时, yd y=A·x(线性主部).
二、可微的条件
定理: 函数f (x)在点x0处可微的充分必要条件是函 数f (x)在点x0处可导, 且d y = f (x0)·x.
定理表明: 可导可微, 且f (x0)=A.
d (sin x) cos xdx d (tan x) sec2 xdx
d (cos x) sin xdx d (cot x) csc2 xdx
d (sec x) sec x tan xdx d (csc x) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx
d (loga
§2.5 函数的微分
问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 A x02,
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
x0
x0x
A x02
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
d y, 即d y = A·x.
微分d y叫作函数增量y的线性主部—微分的实质.
由定义知:
(1) d y是自变量的改变量x的线性函数;
(2) 当 x 0 时，y–d y=o(x)是x的高阶无穷小;
(3) 当A0时,当 x 0 时，Leabharlann 与d y是等价无穷小;实际上
y 1 o(x) 1 (x 0).
2) sinx x ( x用弧度作单位来表达) 3) tanx x ( x用弧度作单位来表达)
4) ex 1 x
5) ln(1 x) x
举例 例 计算 1.05 的近似值
六、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
所以, dy=f (x)dx. 从而 dy f ( x). dx
即函数的微分d y与自变量的微分d x之商就等于该 函数的导数, 因此导数也叫做“微商”.
三、微分的几何意义
设曲线C的方程为y=f (x), y 曲线C上的点M处有切线.
T N
则y是曲线C上关于点M的纵
坐标的增量, 而d y是曲线C在
★ 导数与微分的联系: 可导可微
一阶微分形式
(t)dt dx, dy f ( x)dx. 的不变性
结论: 无论x是自变量还是中间变量, 函数 y=f (x) 的微分形式总有: dy f ( x)dx
例1: 设 y ln( x e x2 ), 求dy. 例2: 设 y e13x cos x, 求dy.
例3: 设 y sin(cos a x ), (a 1,a 0)求dy.
x (x)2
x
x0x x0
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值