第二章 一元函数的微分学PPT课件
专升本 第二章 一元函数微分学
第二章讲义2007：36分2008：21分2009：32分2010：42分2011：29分一、导数的概念1、导数的概念左右导数的概念2、可导与连续的关系二、导数的计算导函数导函数基本结果求导法则复合函数的导数隐函数的导数对数求导法参数方程表示的函数的导数高阶导数三、导数的几何意义四、导数的应用1、中值定理1-1中值定理1-2中值定理推论2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用2-2极值2-3最值3、凹凸性、拐点4、洛必达法则5、渐近线一、导数的概念1、导数的概念1．讨论函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 23x x xx x f 在0=x 处的可导性. 2．设函数()x f 可导，且()()011lim12x f f x x→--=-，则()1f '=（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-3．设()x f 在1=x 处可导，且()11='f ，则()()=+--→hh f h f h 121lim 0（ ） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4- 4．设函数()f x 在0x =处满足，()()()03f x f x x α=-+，且()lim0x x xα→=，则()0f '=（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3 5．函数()x f 在点0x x =处可导，且()10-='x f ，则()()=+-→hh x f x f h 23lim000A ．32B ．32-C ．23- D ．236．设()1='x f ，则()()=--+→hh x f h x f h 32lim 0（ ） A ．4 B ．5 C ．2 D ．17．设()x f 为奇函数，则()30='x f 时，()=-'0x f ________．左右导数的概念2、可导与连续的关系1．函数在某点处连续是其在该点处可导的A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件二、导数的计算导函数导函数基本结果 求导法则复合函数的导数1．设函数5sin 212π--=x y ，则='yA ．5cos 212π--x x B ．21xx--C ．212x x - D ． 5cos 52122π---x x2．已知lnsin(12)y x =-，求.dy dx隐函数的导数1．设由方程22e xy e y =- 确定的函数为()x y y =，求.|0=x dx dy2．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y y x +=确定的隐函数，求dy dx. 3．由1=++xy y x ①所确定的隐函数()x y y =在1=x 处导数为________． 对数求导法1．已知y x =，求.dx dy2．若函数()()()ln 1xf x x x =>，则()f x '=（ ） A ． ()1ln x x - B ．()()1ln ln ln(ln )x xx x x -+C ．()ln ln(ln )xx x D ．()ln xx x参数方程表示的函数的导数1．曲线231,21,x t y t t =+⎧⎨=-+⎩则1|t dydx ==________．1． x y sin =的三阶导数是（ ）A ．x sinB ．x sin -C ．x cosD ．x cos -2．设函数()x f 具有四阶导数，且()f x ''=()()4f x =（ ）A ．B C ．1 D ．3214x --3．设函数()()()()()4321--++=x x x x x f ，则()()=x f 4________． 4．已知()21x f x e -=，则()()20070f =_______．5．若()()x f x f =-，在区间()+∞,0内，()()0,0>''>'x f x f ，则()x f 在 区间()0,∞-内A ．()()0,0<''<'x f x fB ．()()0,0>''>'x f x fC ．()()0,0<''>'x f x fD ．()()0,0>''<'x f x f6．设参数方程⎩⎨⎧-=+=.13,122t y t x 所确定的函数为()x y y =，则=22dx yd _______． 7．设函数()y y x =由参数方程33cos ,sin x t y t ⎧=⎨=⎩确定，则224|t d ydx π==（ ）A ．2-B ．1-C ．D 三、导数的几何意义1．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________． 2．曲线x x y ln =平行于直线01=+-y x 的切线方程是 A ．1-=x y B ．()1+-=x y C ．1+-=x y D ．()()11ln -+=x x y 3．曲线x y ln =上点)0,1(处的切线方程为________．4．曲线22y x x =+-在点M 处的切线平行于直线51y x =-，则点M 的坐标为5．过曲线arctan x y x e =+上的点()0,1处的法线方程为（ ） A ．210x y -+= B ．220x y -+= C ．210x y --= D ．220x y +-=6．曲线sin 2,cos ,x t y t =⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的切线方程为（ ）A ．2x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =- 四、导数的应用 1、中值定理1-1中值定理1．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ． x y e =B ．ln ||y x =C ．21y x =-D ．21y x =2．函数()22f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ= _______．3．判断：()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b ≠，一定不存在(),a b ξ∈，使得()0.f ξ'=（ ）4．设()x f 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(),a b 内（ ） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0.f ξ'= 5．设()f x '在[],a b 上连续，存在,m M 两个常数，且满足12a x x b ≤<≤，证明： ()()()()212121m x x f x f x M x x -≤-≤-.6．设函数()x f 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，在开区间 ( 0 , 1 )内可导，且()().21,00==f f 证明：在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点x ，使得().12+='ξξf1-2中值定理推论1．设[]1,1-∈x ，则=+x x arccos arcsin （ ） A ．2π B ．4πC ．0D ．1 2．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且()00f =，则()f x =（ ） A ．2x x e e + B ．2x x e e - C ．2x x e e -+ D ．2x x e e --2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用1．函数()f x x =_______. 2．方程01sin =-+x x 在区间()1,0内根的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32-2极值1．若函数()2f x ax bx =+在1x =处取得极值2，则a =_______，b =_______．2．下列说法正确的是（ ）A ． 函数的极值点一定是函数的驻点B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对3．若函数()x f 在区间()b a ,内连续，在点0x x =处不可导，()b a x ,0∈ ，则 A ．0x 是()x f 的极大值点 B ．0x 是()x f 的极小值点 C ．0x 不是()x f 的极值点 D ．0x 可能是()x f 的极值点 4． 若()()0,000>''='x f x f ，则下述表述正确的是（ ）A ．0x 是()x f 的极大值点B ．0x 是()x f 的极小值点C ．0x 不是()x f 的极值点D ．无法确定0x 是否为()x f 的极值点 2-3最值1．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小2．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时 用料最省？3．求点()1,0P 到抛物线2x y =上点的距离的平方的最小值.3、凹凸性、拐点1．设()x f 在区间()b a ,内有()()0,0<''>'x f x f ，则()x f 在区间()b a ,内（ ） A ．单调减少且凹的 B ．单调增加且凸的 C ．单调减少且凸的 D ．单调增加且凹的2．曲线31x y +=的拐点为（ ）A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,0D ．()1,1 3．曲线352y x x =+-的拐点是（ ）A ． 0x =B ．()0,2-C ．无拐点D ．0,2x y ==-4．函数sin y x x =-在区间()0,2π内单调________，其曲线在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的凸凹性为________的．5．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（ ）A ．()2,2-B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．(),-∞+∞ 6．曲线x xe y -= 的拐点为A ．1=xB ．2=xC ． ⎪⎭⎫⎝⎛22,2e D ．⎪⎭⎫⎝⎛e 1,11,4、洛必达法则1．312cos limsin()3x x x ππ→-=-A ．1B ．0 CD．2．求011lim .1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭3．计算sin 0lim x x x +→4．sin lim sin x x x x x →∞+-（洛必达法则）1cos sin limlim 11cos sin x x x xx x→∞→∞+-===--.（）5、渐近线1．曲线2232xx y -=的水平渐近线为（ ） A ．32=y B ．32-=y C ．31=y D ．31-=y 2．曲线1|1|y x =-（ ） A ．只有水平渐进线；B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线；C ．只有垂直渐近线；D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线.3．曲线xe y x=（ ）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线4．曲线35arctan 2+=xxy A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线5．方程xy 1arcsin = 所表示的曲线（ ）A ．仅有水平渐近线B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线。
一元函数微分学(二)
根据罗尔定理，在（0, ζ3）中至少存在一点 ζ,使得 F’(ζ)=0,即 f’(ζ)+2ζf’(ζ)+
ζf’’( ζ)=0，得证。
会用罗尔定理、拉格朗日中值定理
证明一些简单的等式或不等式。
1
f(x)在[1，2]上连续，
（1，2）上可导，f(1)= ，f(2)=2,证明：
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导，
(3) f (a) f (b) ．
则 y f (x) 在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点 ，使得 f ( ) ＝0
罗尔(Rolle)中值定理的几何意义
罗尔定理的几何意义
拉格朗日(Lagrange)中值定理
定理(
拉格朗日定理 )： 设函数 y f (x) 满足下列条件
f(ζ)、ζf’( ζ)，可以考虑原函数为 ζekζ f(ζ),经求导比较，k 取 2。
设 F(x)=x 2 f’(x),F(0)=0。
1
因为 f(0)=0,f(1)=1,f(2)=-1，在（0，1）存在一点 ζ1，f(ζ1)= , 在（1，2）
3
1
存在一点 ζ2，f(ζ2)= 。
3
根据罗尔定理，在（ζ1, ζ2）中至少存在一点 ζ3,使得 f’(ζ3)=0，则 F(ζ3)=0。
lim
→0 ln(1 + )
ln 1 + −
→0
2
lim
洛必达(L’Hospital)法则求未定式的极
限
lim
→0
1 − 2
1 + 2
洛必达(L’Hospital)法则求极限
若f(x)在x=1处的某个邻域中还有连续的一阶导数，且f(1)=1,f’(1)=0,
第二章 一元函数微分学及其应用(2)
因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广． 在不需要余项的精确表达式时， n 阶泰勒公式也 可写成
1 1 (n) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 )( x − x0 ) + ⋯ + f ( x0 )( x − x0 )n + o(( x − 2! n!
拉格朗日中值定理的几何意义：
如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的 切线，那么在曲线弧上至少有一点(ξ, f (ξ )),使曲线在该点处的 切线平行于过曲线弧两端点的弦线. 弦线的方程为
作辅助函数
即可.
的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端
点连线对应的纵坐标之差.
推论 1 若函数 f (x) 在区间 I 上导数恒为零，则
1 ln x = lim x 解 原式 = lim+ 1 1 x →0+ x→0 − 2 x x
( 0⋅ ∞ )
= lim+ ( − x ) = 0
x→0
2 ∞−∞型 ）
例2 解
求 lim (sec x − tan x ) ( ∞ − ∞ ) π
x→ 2
1 − sin x lim(secx − tanx) = lim π π x→ cos x x→ 2 0 2 ( ), − cos x 0= lim = lim cot x = 0 π − sin x π x→ x→
定理3 第一充分条件） 定理3（第一充分条件）
求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ′( x );
( 2) 求出 f ( x )的全部驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 的全部驻点，
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高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
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（一）求曲线的切线方程与法线方程
当
≠0时，法线方程为
-1/
（二）函数的单调性与极值
1 函数单调性
定理
2 函数的极值
定理（极值的必要条件） 设f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则f'(x0)=0.
（三）函数的最大值与最小值
设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有定义，x0∈[a,b],若对于任意x∈[a,b], 恒有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)),则f(x0)为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上 的最大值（或最小值），称点x0为f(x)在[a,b]上的最大值点（或最 小值点）。 注 极值与最值的区别
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 )和右导数 f( x0 )都存在且相等.
★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
f
(x)在点 x0处的导数
记为y
，dy xx0 dx
或 df (x)
x x0
dx
x x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
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第二章一元函数微分学导数的概念定义设函数y=f(x)在点x 0的某一邻域内有定义，若自变量x 在点X 。
处的改变 量为△ x(x 0+Ax 仍在该邻域内).函数y 二f(x)相应地有改变量△『= f(xo+Z\x)・f(xo),若果极限点Xo 处的导数，记作 ____ 或 _________ f '(Xo),即f(x 0)= ___________________ . 此时称函数y 二f(x)在点Xo 处可导.如果上述极限不存在，则称函数y 二f(x)在点 X 。
处不可导.下面是两种等价形式：f'(Xo)= __________________ = ___________________ •当 Xo =0,W: r (0)= _____________ ,如果y 二f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 由于对于(a,b)内每一点x,都对应一个导数值F(x),因此又称此F(x)为函数f(x) 在(a,b)内的 __简称为 _____ ，记作 __ 或一—.f(x)在点x 0的导数f'(xo)可以看做是导数f'(x)在点x=x 0处的函数值，即 f(x 0)= • 注意：f'(xo)工［f(x°)y■.・ /(兀0 +山)一/(旺)如果y=f(x)在点X 。
及其左侧邻域内有定义，当hm —T —存在时，则称该极值为f(x)在点X 。
处的 ______ 记为—.同理，定义右导数性质 函数y=f(x)在点x 0处可导<・・> ________左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数. 导数的几何意义 如果函数y 二f(x)在点X 。
处的导数F(x°)存在，则在几何上表明曲线尸f(x)在点 (xo, f(x 0))处存在切线,且切线斜率为_•可导函数与连续性的关系函数y 二f(x)在点xo 处可导，是函数y 二f(x)在点xo 处连续的 _______ 条件. 如u 二u(x),v=v(x)都在x 处可导，由导数的定义可以推得u±v 在x 处也可导，且 (u±vf= ________ (导数的和差运算公式).导数的运算3.1基本初等函数的导数公式c'=_(c 为常数)(兀")‘二 ________ ( n G R) (a x y= ________________(e x y = _________ (logx) = ------------------------------ (In xY = ____________(sin x)f = _________ (cos xY = ______________ (tan x)z = _____________(cot x)f = _________ (arcsin x)f - ____________ (arccos x)z = ____________存在,则称此极限值为函数沪f(x)在2.(arctan x\ = _________ {arc cot xY = ______________________________3.2导数的四则运算法则设u二u(x),v=v(x)都在X处可导侧(cuf= ___ (c 为常数) (u±vf= ___________ (uvf= ________________(；)z= _______ (vHO) (^= ___________ ( vHO ,c 为常数)3.3反函数的求导法则设函数x=(p(y)在某个区间内单调町导，且啓(y)H0,则其反函数y二f(x)在其对应区间内也可导，且有f(x)= ____ •3.4复合函数的求导法则设y = f(u)z u = g(x)复合成y =f[g(x)],若u二g(x)在点x处可导"二f(u)在相应点u = g(x)可导,则复合函数y =f[g(x)]在点x可导,且有链式法则旷 -------- = ---------3.5隐函数的求导法则设y=f(x)是由方程F(x,y) = 0确定的.求V只须直接由方程F(x’y) = 0关于x求导，将y看做是______ 依复合函数链式法则求之.3.6由参数方稈确定的函数的求导法则设y二y(x)是由{ 所确定的.其中(p⑴，叭t)为可导函数，且卩⑴H O,则空_ 一一------ 一--------3.7对数求导法对于幕函数y = 或y由若干个函数连乘、除、开方所构成,通常可以先用—改变函数类型.如y = u：两端取对数：___________ ,化幕指函数为隐函数，如y =N),两端取对数：化为隐函数,然后利用隐函数的求导法则求导.3.8高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,对于求n阶导数，需要注意从屮找出规律，以便得到n阶导数的________ .常见n阶导数公式：(a x)(n) = _______ (e x)(n) = ______________ (x n)(n) = ______________（x w ）（fl ） = ____ （正整数 m<n ）（sin 工）（"）= _____ _______（cos x ）（n ） = ________ _______4. 洛必达法则 4.1未定型〃訂的极限⑴设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 在点X 。
第二章 一元函数的导数和微分
第二章 一元函数的导数和微分微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分，其中导数反映出函数相对于自变量的变化而变化的快慢程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数值变化的近似值.第一节 导数的概念在科学研究和工程技术中，常常遇到求变量的变化率的问题。
例如，物体作匀速直线运动时，其速度v 为物体在时刻t 0到t 的位移差s (t )-s (t 0) 与相应的时间差t -t 0的商00()()--s t s t v =t t .如果物体作变速直线运动，则上面的公式就不能用来求物体在某一时刻的瞬时速度了.不过，我们可先求出物体从时刻t 0到t 的平均速度，然后假定t →t 0,求平均速度的极限00()()lim→--t t s t s t t t ，并以此极限作为物体在t 0时刻的瞬时速度.从数学角度来看，00()()--f x f x x x 叫做函数y =f (x )在x 0与x 的差商，而把x →x 0时，该差商的极限值(如果存在的话)叫做函数f (x )在x 0处的导数.一般说来，工程技术中一个变量相对于另一个变量的变化率问题，可以化成求导数的问题进行处理.一、导数的定义定义 设函数y =f (x )在U (x 0)内有定义.如果极限00()()lim→--x x f x f x x x存在，则称该极限值为f (x )在点x 0处的导数，记为000()()()lim→-'=-x x f x f x f x x x ， (2-1-1)此时也称函数f (x )在点x 0可导.函数f (x )在点x 0处的导数还可记为0d d =y x x x ；0d ()d =f x x x x ；0'=y x x . 导数f ′(x 0)可以表示为下面的增量形式00000()()()limlim ∆→∆→+∆-∆'==∆∆x x f x x f x yf x x x. (2-1-2)如果(2-1-1)式和式(2-1-2)中右边的极限不存在，则称f (x )在点x 0不可导.当00()()lim→--x x f x f x x x = ∞时，我们通常说函数y = f (x )在点x 0处的导数为无穷大.如果函数y =f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都可导，则称f (x )在此开区间(a ，b )内可导.这时，∀x ∈(a ，b )，对应着f (x )的一个确定的导数值，这是一个新的函数关系，称该函数为原来函数f (x )的导函数，记为f ′(x )，y ′，d ()d f x x ，d d yx等，此时 0()()()lim∆→+∆-'=∆x f x x f x f x x, x ∈(a ,b ). 显然，f (x )在点x 0∈(a ，b )的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x =x 0处的函数值：00()()''==f x f x x x .为方便起见，我们简称函数的导函数为导数.由函数y =f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的定义可知，它是一种极限：000()()()lim→-'=-x x f x f x f x x x ，而极限存在的充要条件是左、右极限都存在且相等.因此f ′(x 0)存在(即f (x )在点x 0可导)的充要条件应是下面的左、右极限00()()lim -→--x x f x f x x x ，000()()lim +→--x x f x f x x x 都存在且相等.我们将这两个极限分别称为函数f (x )在x 0处的左导数和右导数，记为f ′-(x 0)和f ′+(x 0)，即000()()()lim --→-'=-x x f x f x f x x x ，000()()()lim ++→-'=-x x f x f x f x x x或写成增量形式：0000()()()lim --∆→+∆-'=∆x f x x f x f x x，0000()()()lim ++∆→+∆-'=∆x f x x f x f x x.定理1 函数y =f (x )在点x 0可导的充要条件是f ′-(x 0)及f ′+(x 0)存在且相等.该定理实际上是第一章第四节中定理2的推论. 例1 函数f (x )=｜x ｜在点x =0处是否可导？ 解 因为(0)(0)sgn()∆-+∆-==∆∆∆x f x f x x x，所以0(0)lim sgn()1++∆→'=∆=x f x ,0(0)lim sgn()1--∆→'=∆=-x f x ，由于f ′+(0)≠f ′-(0),因此f (x )=｜x ｜在x =0处不可导.例2 研究函数,0,()ln(1),0<⎧=⎨+≥⎩x x f x x x 在点x =0处的可导性.解 易知f (x )在点x =0处连续，而0()(0)(0)lim ++→-'=x f x f f x0ln(1)0lim +→+-=x x x1lim ln(1)1+→=+=xx x , 00()(0)0(0)lim lim 1---→→--'===x x f x f x f x x， 由于f ′+(0)=f ′-(0)=1，故f (x )在点x =0处可导，且f ′(0)=1.例3 求函数f (x )=C ，x ∈(-∞，+∞)的导数，其中C 为常数.解 00()()()limlim 0∆→∆→+∆--'===∆∆x x f x x f x C Cf x x x， 即(C )′=0.通常说成：常数的导数等于零.例4 设y =x n ，n 为正整数，求y ′.解 0()lim ∆→+∆-'∆n nx x x x y =x12210lim(C ()())---∆→+∆++∆n n n nx =nxx x x1-=n nx ,即 (x n )′=nx n -1.特别地，n =1时，有(x )′=1. 例5 设y =sin x ，求y ′.解 0sin()sin limx x x xy x∆→+∆-'=∆022cos sin22limx x x x x∆→+∆=∆ 022cos 22lim cos x x x x x x∆→∆+∆⋅==∆即 (sin x )′=cos x .例6 设y =cos x ，x ∈(-∞，+∞)，求y ′.解 0cos()cos limx x x xy x∆→+∆-'=∆02sin()sin 22limx x x x x∆→∆∆-+=∆ 02sin()22limsin x x x x x x∆→∆∆-⋅+==-∆， 即 (cos x )′=-sin x .例7 设y =a x ，x ∈(-∞，+∞)，a ＞0，求y ′. 解 注意到u →0时，e u -1~u ，从而00(1)lim lim x x x x x x x a a a a y x x+∆∆∆→∆→--'==∆∆ln 00e 1ln limlim ln x a xx x x x x aa a a a x x∆∆→∆→-∆===∆∆， 即(a x )′=a x ln a (a ＞0).特别地 (e x )′=e x .例8 设y =log a x ，x ∈(0，+∞)，a ＞0且a ≠1，求y ′.解 00log (1)log ()log limlima a a x x xx x xx y xx∆→∆→∆++∆-'==∆∆00111lim log (1)lim log e =ln x x a a x x x x x x x a∆∆→∆→∆=+=，即 (log a x )′=1ln x a. 特别地 1(ln )x x'=.例9 设y =x 3，求y ′｜x =2.解 因为 y ′=(x 3)′=3x 3-1=3x 2， 所以 y ′｜x =2 =3x 2｜x =2 =3×22=12.下面我们讨论可导与连续的关系.定理2 若y =f (x )在点x 0可导，则f (x )在点x 0必连续. 证 因为f (x )在点x 0可导，即000()()lim()x x f x f x f x x x →-'=-存在.由无穷小量与函数极限的关系得000()()()f x f x f x x x α-'=+-,其中α→0(x →x 0)，于是0000()()()()()f x f x f x x x x x α'-=-+-故 [][]00000lim ()()lim ()()()0x x x x f x f x f x x x x x α→→'-=-+-=.即f (x )在点x 0连续.例10 研究函数1sin ,0,()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在点x =0处的连续性和可导性.解 因为1lim ()lim sin0(0)x x f x x f x→→===， 所以f (x )在点x =0处连续，但是0001sin 0()(0)1lim lim limsin 0x x x x f x f x x x x→→→--==- 不存在,故f (x )在点x =0处不可导.此例说明“连续不一定可导”，连续只是可导的必要条件. 二、导数的几何意义连续函数y =f (x )的图形在直角坐标系中表示一条曲线，如图2-1所示.设曲线y =f (x )上某一点A 的坐标是(x 0，y 0)，当自变量由x 0变到x 0+Δx 时，点A 沿曲线移动到点B (x 0+Δx ，y 0+Δy )，直线AB 是曲线y =f (x )的割线，它的倾角记作β.从图形可知，在直角三角形AB C 中，tan CB y AC x β∆==∆，所以yx∆∆的几何意义是表示割线AB 的斜率.图2-1当Δx →0时，B 点沿着曲线趋向于A 点，这时割线AB 将绕着A 点转动，它的极限位置为直线AT ，这条直线AT 就是曲线在A 点的切线，它的倾角记作α.当Δx →0时，既然割线趋近于切线，所以割线的斜率yx∆∆=tan β必然趋近于切线的斜率tan α，即 00()lim tan x yf x xα∆→∆'==∆.由此可知，函数y =f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y =f (x )在对应点A (x 0，y 0)处的切线的斜率.曲线y =f (x )在点A (x 0，y 0)的切线方程可写成：(1) f ′(x 0)存在，切线方程为y -f (x 0)= f ′(x 0)(x -x 0)；(2) f (x )在点x 0处连续，f ′(x 0)=∞，则切线方程为x =x 0.例11 求过点(2，0)且与曲线y =1x 相切的直线方程. 解 显然点(2，0)不在曲线y =1x上.由导数的几何意义可知，若设切点为(x 0，y 0)，则y 0=1x ，且所求切线的斜率k 为 02011()x x k xx ='==-， 故所求切线方程为020011(2)y x x x -=--. 又切线过点(2，0)，所以有020011(2)x x x -=--. 于是得x 0=1，y 0=1，从而所求切线方程为y -1= -(x -1)，即y =2-x .例12 在曲线4y x=上求一点，使该点处的曲线的切线与直线y =-32x +5平行.解 在4y x=上的任一点M (x ，y )处切线的斜率k 为43()4,k y x x ''===而已知直线y =-32x +5的斜率k 1=-32. 令k =k 1，即34x=-32，解之得x =-2，代入曲线方程得4162y ==-（）.故所求点为(-2，16).三、函数四则运算的求导法定理3设函数u =u (x )，v =v (x )在点x 处可导，k 1，k 2为常数，则下列各等式成立： (1) ［k 1u (x )+k 2v (x )］′=k 1u ′(x )+k 2v ′(x ); (2) ［(u (x )v (x )］′=u ′(x )v (x )+u (x )v ′(x );(3) 2()()()()()()()u x u x v x u x v x v x v x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦［v (x )≠0］. 证 仅以(3)为例进行证明.记g (x )=()()u x v x ，且v (x )≠0，则01()()()lim()()x u x x u x g x x v x x v x ∆→⎡⎤+∆'=-⎢⎥∆+∆⎣⎦ 01()()()()lim()()()()x u x x u x v x x v x v x u x v x v x x x x ∆→+∆-+∆-⎡⎤=-⎢⎥+∆∆∆⎣⎦ 0001()()()()lim()lim ()lim ()()x x x u x x u x v x x v x v x u x v x v x x x x ∆→∆→∆→+∆-+∆-⎡⎤=-⎢⎥+∆∆∆⎣⎦2()()()()()u x v x u x v x v x ''-=.定理中的(1)式和(2)式均可推广至有限多个函数的情形.读者不难自行完成. 例13 设52434y x x =-+,求y ′.解 52(434)y x x ''=-+52(4)(3)(4)x x '''=-+4206x x =-.例14 设y =x 3cos x sin x ,求y ′.解 3(c o s s i n)y x x x ''= 333()cos sin (cos )sin cos (sin )x x x x x x x x x '''=++232323cos sin sin cos x x x x x x x =-+.例15 设y =tan x ，求y ′.解 sin (tan )()cos xy x x'''== 2(sin )cos sin (cos )cos x x x x x''-= 2222cos sin 1cos cos x x x x+==,即 (tan x )′=21cos x=sec 2x =1+tan 2x . 类似可得2221(cot )csc (1cot )sin x x x x'=-=-=-+. 例16 设y =sec x ,求y ′.解 在定理3的(3)中,取u (x )≡1,则有21()()()v x v x v x ''⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 于是y ′=(sec x )′=21(cos )cos cos x x x ''⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin sec tan cos xx x x==,即 (sec x )′=sec x tan x .类似可得 (csc x )′=-csc x cot x .第二节 求导法则一、复合函数求导法定理1(链导法) 若u =φ(x )在点x 处可导，而y =f (u )在相应点u =φ(x )处可导，则复合函数y =f (φ(x ))在点x 处可导，且d d d d d d y y ux u x=⋅，或记为 ［f (φ(x ))］′=f ′(φ(x ))·φ′(x ). (2-2-1)证 因为y =f (u )在u 的导数0()limu yf u x∆→∆'=∆存在，所以()yf u xα∆'=+∆，其中α→0(Δu →0)， 故 ()y f u x x α'∆=∆+∆，从而 00limlim ()x x y u u f u x x x α∆→∆→∆∆∆⎛⎫'=+ ⎪∆∆∆⎝⎭ 000()limlim limx x x u uf u x xα∆→∆→∆→∆∆'=+∆∆. 又u =φ(x )在点x 处可导，故φ(x )必在点x 处连续，因此Δx →0时必有Δu →0.于是000lim()()lim limx u x y uf u x x xϕα∆→∆→∆→∆∆''=+∆∆ ()()(())()f u x f x x ϕϕϕ''''==，而[]0lim(())x yf x xϕ∆→∆'=∆，定理证毕.例1 设f (x )=x μ，μ ∈R ，x ＞0，求f ′(x ). 解 由于x μ=e μln x ，x ＞0.令u =μln x ，则x μ系由y =e u 及u =μln x 复合而成.d(e )d(ln )()d d u x f x u xμ'=⋅ln 11e e u x x x xμμμμμ-===， 即 (x μ)′=μx μ-1，μ∈R ，x ＞0.例2 设y =e -x ，求y ′.解 令u = -x ，则y =e u ，从而d d d d(e )d()d d d d d u y y u x x u x u x-=⋅=⋅ e (1)e u x -=-=-.即 (e -x )′= -e -x .对复合函数的分解熟练后，就不必再写出中间变量，而可按下列各题的方式进行计算.例3 设1sin1y x=+，求y ′. 解 21111cos()cos 11(1)1y x x x x''==++++. 例4设y =y ′. 解2)x y '''==22(e )x x '=222e ()x x x '=⋅22e 2x x x =⋅22x x=.例5设ln(y x =,求y ′. 解ln(y x x '⎡⎤''=+=+⎣⎦21⎡⎤'==⎢⎢⎣=.二、反函数求导法定理2 设函数y =f (x )与x =φ(y )互为反函数，f (x )在点x 可导，φ(y )在相应点y 处可导，且d ()0d xy yϕ'=≠,则 d 1d d d x y yx=，或1()()f x y ϕ'='. 简单地说成：反函数的导数是其直接函数导数的倒数.证 由x ＝φ(y )=φ(f (x ))及y =f (x )，x =φ(y )的可导性，利用复合函数的求导法，得1=φ′(f (x ))f ′(x )=φ′(y )f ′(x )，故 1(),()0()f x y y ϕϕ''=≠'. 例6 设y =arcsin x ，求y ′. 解 由定理2及x =sin y 可知11(sin )cos y y y y '====' 这里记号(sin )y y '表示求导是对变量y 进行的.由上式得(arcsin )x '=同理可得：(arccos )x '=，21(arctan )1x x '=+，21(arccot )1x x-'=+. 三、参数方程求导法若方程x =φ(t )和y =ψ(t )确定y 与x 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t ∈(α，β) (2-2-2) 所确定的函数.下面我们来讨论由参数方程所确定的函数的导数.设t =φ-1(x )为x =φ(t )的反函数，在t ∈(α，β)中，函数x =φ(t )，y =ψ(t )均可导，这时由复合函数的导数和反函数的导数公式，有111d (())(())(())d y x x x x ψϕψϕϕ---'''⎡⎤==⎣⎦ 11()(())()()t x t t ψψϕϕϕ-''=='' (φ′(t )≠0). 于是由参数方程(2-2-2)所确定的函数y =y (x )的导数为d d ()d d d ()d yy t t x x t tψϕ'=='(φ′(t )≠0). (2-2-3) 例7 设33cos ,sin ,x a t y a t ⎧=⎨=⎩求d d yx . 解 3232(cos )d 3sin cos tan d (sin )3cos (sin )tt a t y a t t t x a t a t t '===-'-(2n t π≠,n 为整数). 例8 设2223,13,1at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩-∞＜t ＜+∞,求d d y x . 解 222222223()d 6(1)6213d 3(1)61()1t t at y at t at t t at x a t at t t'+-+===+--'+ (t ≠±1). 例9 求极坐标方程r =e a θ(0＜θ＜π/4,a ＞1)所确定的函数y =y (x )的导数. 解 由极坐标与直角坐标的关系，得cos e cos ,sin e sin ,a a x r y r θθθθθθ⎧==⎨==⎩ 故 (e cos )d e sin +e cos sin cos d (e sin )e cos e sin cos sin a a a a a a y a a x a a θθθθθθθθθθθθθθθθθθ'+==='--. 例10 求椭圆cos ,sin x a t y b t=⎧⎨=⎩在t =4π处的切线方程和法线方程.解d (sin )cot d (cos )y b t b t x a t a'==-', 所以在椭圆上对应于t =π/4的点处的切线和法线的斜率为 4d cot d 4t=y b b k xa a ππ==-=-切，a k b=法. 切线方程和法线方程分别为bx +ay =ab 和ax -by =(a 2-b 2).四、隐函数求导法如果在含变量x 和y 的关系式F (x ，y )= 0中，当x 取某区间I 内的任一值时，相应地总有满足该方程的惟一的y 值与之对应，那么就说方程F (x ，y )=0在该区间内确定了一个隐函数y =y (x ).这时y (x )不一定都能用关于x 的表达式表示.例如方程e y +xy -e -x =0和y =cos(x +y )都能确定隐函数y =y (x ).如果F (x ，y )=0确定的隐函数y =y (x )能用关于x 的表达式表示，则称该隐函数可显化.例如x 3+y 5-1=0，解出y =，就把隐函数化成了显函数.若方程F (x ，y )=0确定了隐函数y =y (x )，则将它代入方程中，得F (x ，y (x ))≡0.对上式两边关于x 求导(若可导)，并注意运用复合函数求导法则，就可以求出y ′(x )来. 例11 求方程y =cos(x +y )所确定的隐函数y =y (x )的导数. 解 将方程两边关于x 求导，注意y 是x 的函数，得y ′= -sin(x +y )(1+y ′)， 即 sin()1sin()x y y x y -+'=++ ， 1+sin(x +y )≠0.例12 求由方程e y +xy -e -x = 0所确定的隐函数y = y (x )的导数. 解 将方程两边关于x 求导，得e y y ′+y +xy ′+e -x =0，故 e ex yy y x -+'=-+ (x +e y≠0). 在计算幂指函数的导数以及某些乘幂、连乘积、带根号函数的导数时，可以采用先取对数再求导的方法，简称对数求导法.它的运算过程如下：在y =f (x )(f (x )＞0)的两边取对数，得ln y =ln f (x ).上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得y ′=y (ln f (x ))′.例13 求2242(2)(1)(1)x y x x +=+++的导数. 解 先在两边取对数，得242ln 2ln(2)ln(1)ln(1)y x x x =+-+-+.上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得3242442211y x x x y x x x '=--+++， 于是 3242442211x x x y y x x x ⎛⎫'=-- ⎪+++⎝⎭， 即22342242(2)442(1)(1)211x x x x y x x x x x ⎛⎫+'=-- ⎪+++++⎝⎭.例14 设()()v x y u x =，u (x )＞0，其中u (x )，v (x )均可导，求y ′.解 两边取对数得ln y =v (x )ln u (x )，两边对x 求导，得()()ln ()()()y u x v x u x v x y u x '''=+， 于是 ()()()()()ln ()()v x v x u x y u x v x u x u x '⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭.特别地，当()()u x v x x ==时，()(1ln )xxx x x '=+. 例15 求y =x sin x (x ＞0)的导数.解 两边取对数得ln y =sin x ln x .两边对x 求导，得sin cos ln y x x x y x'=+. 于是 sin sin cos ln xx y xx x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭.第三节 函数的微分一、微分的概念定义 设函数y =f (x )在U (x 0)内有定义，若∃A ∈R ，使Δy =A Δx +o (Δx ) (2-3-1)成立，则称函数y =f (x )在点x 0处可微分(简称可微)，线性部分A Δx 称为f (x )在x 0处的微分，记为d y =A Δx (其中Δx =x -x 0)，A 称为微分系数.定义中的式(2-3-1)可写为000000()()()()()limlim 0x x x x f x f x A x x f x f x A x x x x →→⎛⎫----=-= ⎪--⎝⎭， (2-3-2) 即式(2-3-1)成立的充要条件为00()()limx x f x f x A x x →-=-.于是便有下面的定理.定理 函数y =f (x )在点x 0可微的充要条件是：函数y =f (x )在点x 0可导. 当f (x )在点x 0处可微时，必有d y =f ′(x 0)Δx .该定理说明，函数的可微性与可导性是等价的.函数y =f (x )在任意点x 的微分，称为函数的微分，记为d y =f ′(x )Δx . (2-3-3)例1 设y =x ，求d y .解 因为y ′=(x )′=1，所以d y =1×Δx =Δx .为方便起见,我们规定:自变量的增量称为自变量的微分,记为d x =Δx .于是式(2-3-3)可记为d y =f ′(x )d x . (2-3-4)例2 求y =sin x 当x =4π，d x =0.1时的微分. 解 d y =(sin x )′d x =cos x d x . 当x =4π，d x =0.1时，有 d cos 0.10.07074y π=⨯=≈.在几何上，y =f (x )在x 0处的微分d y =f ′(x 0)d x 表示曲线y =f (x )在点M (x 0，f (x 0))处切线MT的纵坐标相应于Δx 的改变量PQ (见图2-2)，因此d y =Δx tan α.图2-2二、微分的运算公式 1.函数四则运算的微分设u =u (x )，v =v (x )在点x 处均可微，则有d(Cu )=C d u (C 为常数)， d(u +v )=d u +d v ， d(uv )=u d v +v d u ，2d()=,0u vdu udv v v v-≠. 这些公式由微分的定义及相应的求导公式立即可证得.2.复合函数的微分若y =f (u )及u =φ(x )均可导，则复合函数y =f (φ(x ))对x 的微分为d y =f ′(u )φ′(x )d x . (2-3-5)注意到d u =φ′(x )d x ，则函数y =f (u )对u 的微分为d y =f ′(u )d u . (2-3-6)将(2-3-6)式与(2-3-4)式比较可知，无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式d y =f ′(u )d u 保持不变.此性质称为一阶微分的形式不变性.由此性质，我们可以把导数记号d d yx，d d yu等理解为两个变量的微分之商了，因此，导数有时也称微商.用微商来理解复合函数的导数以及求复合函数的导数就方便多了.例3 设y =d y .解 记u =a 2+x 2，则yd duy y u u '==.又 d u =u ′x d x =2x d x ， 故d 2d d y x x x=⋅. 为了读者使用的方便，我们将一些基本初等函数的导数和微分对应列表如下. 表2-1第四节 高阶导数与高阶微分一、高阶导数若函数y =f (x )在U (x )内可导，其导函数为f ′(x )，且极限()()limx f x x f x x∆→''+∆-∆存在，则称该极限值为函数f (x )在点x 处的二阶导数，记为f ″(x ), 22d d yx,y ″等.函数y =f (x )的二阶导数f ″(x )仍是x 的函数，如果它可导，则f ″(x )的导数称为原函数f (x )的三阶导数，记为()f x ''',33d d yx，y '''等.一般说来，函数y =f (x )的n -1阶导数仍是x 的函数，如果它可导，则它的导数称为原来函数f (x )的n 阶导数，记为()()n fx ，d d n n yx，()n y 等.通常四阶和四阶以上的导数都采用这套记号，而不用“′”.一阶、二阶和三阶导数则采用“′”的记号.由以上叙述可知，求一个函数的高阶导数，原则上是没有什么困难的，只需运用求一阶导数的法则按下列公式计算()(1)()n n y y -'= (n =1,2,…)或写成11d d d d d d n n-n n y y x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()(1)()(())n n f x f x -'=. 如果函数y =f (x )在区间I 上有直到n 阶的连续的导数，我们使用记号f (x )∈C n (I )来表示.例1 设y =x n ，n 为正整数，求它的各阶导数. 解 1()nn y x nx-''==,12()(1)n n y nxn n x --'''==-,……()(1)(1)k n k y n n n k x -=--+,……()(1)321!n y n n n =⨯-⨯⨯⨯⨯=，(1)()()(!)0n n y y n +''===.显然，y =x n 的n +1阶以上的各阶导数均为0. 例2 设y =sin x ，求它的n 阶导数()n y.解 cos sin()2y x x π'==+，()cos()sin(2)22y y x x ππ''''==+=+⨯，设 ()sin()2k y x k π=+⋅，则 (1)()()cos()sin (1)22k k y y x k x k +ππ⎡⎤'==+=++⎢⎥⎣⎦.由数学归纳法，知()(sin )sin()2n nx x =+π，n =1，2，….由此式我们可得到y =cos x 的高阶导数公式：()(1)1(cos )(sin )sin()cos()22n n n nx x x x --=-=-+π=+π， 即 ()(cos )cos()2n nx x =+π，n =1，2，….例3 设y =ln(1+x )，求()n y.解 11y x'=+， 211()()1(1)y y x x '''''===-++， 2312()(1)(1)y y x x '⎡⎤''''''==-=⎢⎥++⎣⎦, 运用数学归纳法可知()1(1)!(1)(1)n n nn y x --=-+，n =1，2，3，….例4 设y =a x (a ＞0)，求()n y.解 ()ln xxy a a a ''==，2(ln )ln x x y a a a a '''==.设 ()ln k x k ya a =，则 ()(1)1ln ln k x k xk+ya a aa +'==.故 ()()ln x n x n a a a =, n =1,2,….特别地,有 ()(e )e x n x =, n =1,2,….对于高阶导数,有下面的运算法则:设函数u =u (x )和v =v (x )在点x 处都具有直到n 阶的导数, 则u (x )±v (x ),u (x )v (x )在点x 处也具有n 阶导数,且(u ±v )(n )=u (n )±v (n ), (2-4-1)()()(1)(2)(1)()2!n n n n n n u v u v n u v u v ---'''⋅=⋅+⋅⋅++()(1)(1)!n n n n k uv k --++=()()0Cni n i i ni u v -=⋅⋅∑， (2-4-2)其中u (0)=u ，v (0)= v ，(1)(1)C !in n n n i i --+=.(2- 4-2)式称为莱布尼茨(Leibniz)公式，将它与二项展开式对比，就很容易记住. (2-4-1)式由数学归纳法易证.(2-4-2)式证明如下： 当n =1时，由(uv )′=u ′v +uv ′知公式成立. 设当n =k 时公式成立，即()()()()(1)(2)()0(1)C 2!kk i k i i k k k k k i k k yu v u v ku v u v uv ---=-'''=⋅⋅=++++∑.两边求导，得(1)(1)()()(1)k k k k k y u v u v k u v u v ++-''''⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦(1)(2)()(1)(1)2!k k k k k k u v u v u v uv --++''''''⎡⎤⎡⎤+++++⎣⎦⎣⎦1(1)()10C k i k i i k i u v ++-+==⋅⋅∑，即n =k +1时公式(2-4-2)也成立，从而(2-4-2)成立.例5 设y =x 2·e 2x ，求y (20). 解 设u =e 2x ，v =x 2，则u (i )=2i ·e 2x (i =1，2，…，20)， v ′=2x ，v ″=2,v (i )=0 (i =3,4,…,20).代入莱布尼茨公式,得y (20)=(x 2·e 2x )(20)202219218220192e 202e 22e 22!x x xx x ⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 20222e (2095)x x x =⋅⋅++.例6 设e x +y -xy =1，求y ″(0). 解 方程两边对x 求导，得(1+y ′)e x +y -y -xy ′=0.上式两边再对x 求导，得(1+y ′)2e x +y +y ″e x +y -2y ′-xy ″=0.令x =0，可得y =0，y ′(0)= -1，将这些值代入上式得y ″(0)= -2.例7已知cos,sin,x a ty b t=⎧⎨=⎩求22ddyx.解d(sin)coscotd(cos)siny b t b t bt x a t a t a'==-=-'.注意dcotdy btx a=-，x=a cos t仍是参数方程，所以仍须用参数方程求导法则，从而22d d cot()d d ddd(cos)dby ty at xxx a tt'⎛⎫-⎪⎝⎭=='2321csc cscsinb bt ta a t a=⋅⋅=-⋅-.*二、高阶微分对于函数y=f(x)，类似于高阶导数可以定义高阶微分.设f(x)有直至n阶的导数，自变量的增量仍为d x，则二阶微分定义为d2y=d(d y)=d(f′(x)d x)=d(f′(x))d x=f″(x)d x·d x=f″(x)d x2；三阶微分定义为d3y=d(d2y)=d(f″(x)d x2)=d(f″(x))d x2=f'''(x)d x d x2=f'''(x)d x3;一般地，定义n阶微分为d n y=d(d n-1y)=f(n)(x)d x n. (2-4-3) 以上公式中的x都是自变量，d x n表示n个d x的乘积(n=2,3,4,…).对于复合函数来说，二阶及二阶以上的微分已不再具有公式(2-4-3)的形式了.例如,设y=f(u)，u=φ(x)，且都具有相应的可微性，则d y=f′(u)d u，而d2y=d(f′(u)d u)=d(f′(u))d u+f′(u)d(d u)=f″(u)d u2+f′(u)d2u. (2-4-4)这是因为d u不再是固定的了，它依赖于自变量x，即d u=φ′(x)d x.(2-4-4)式说明高阶微分已不再具有形式不变性了.这是高阶微分与一阶微分的重要区别之一.例8 设y=x sin x，求d2y.解d y=(x sin x)′d x=(sin x+x cos x)d x;d2y=d(d y)=(sin x+x cos x)′d x2=(cos x+cos x-x sin x)d x2=(2cos x-x sin x)d x2.例9设u=u(x),v=v(x)均有二阶导数,y=u(x)v(x),求d2y.解d y=y′d x=［u(x)v(x)］′d x=［u′(x)v(x)+u(x)v′(x)］d xd 2y =d(d y )=d ［(u ′(x )v (x )+u (x )v ′(x ))d x ］ =［u ′(x )v (x )+u (x )v ′(x )］′d x 2=［u ″(x )v (x )+2u ′(x )v ′(x )+ u (x )v ″(x )］d x 2.第五节 微分中值定理本节介绍微分学中有重要应用的反映导数更深刻性质的微分中值定理. 定理1 [罗尔(Ro lle)定理] 若f (x )∈C (［a ,b ］),f (x )在(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )，则∃ξ∈(a ，b )使得f ′(ξ)=0.证 由f (x )∈C (［a ，b ］)知f (x )在［a ，b ］上必取得最大值M 与最小值m .若M ＞m ，则M 与m 中至少有一个不等于f (x )在区间端点的值.不妨设M ≠f (a ).由最值定理，∃ξ∈(a ,b ),使f (ξ)=M .又0()()()lim 0x f x f f xξξξ++∆→+∆-'=≤∆，0()()()lim 0x f x f f x ξξξ--∆→+∆-'=≥∆，故 f ′(ξ)=0.若M =m ，则f (x )在［a ，b ］上为常数，故(a ，b )内任一点都可成为ξ，使f ′(ξ)=0.罗尔定理的几何意义是：若y =f (x )满足定理的条件，则其图像在［a ，b ］上对应的曲线弧AB 上一定存在一点具有水平切线，如图2-3所示.图2-3定理2［拉格朗日(L ag r ang e)中值定理］ 若f (x )∈C (［a ，b ］)，f (x )在(a ，b )内可导，则∃ξ∈(a ，b )使得f (b )-f (a )=f ′(ξ)(b -a ). (2-5-1)证 考虑辅助函数Φ(x )=f (x )-λx (其中λ待定)，为了使Φ(x )满足定理1的条件，令Φ(a )=Φ(b )得λ=()()f b f a b a--，即 Φ(x )=f (x )-()()f b f a b a--x .于是由定理1,∃ξ∈(a ，b )，使Φ′(ξ)=0，即f (b )-f (a )=f ′(ξ)(b -a ).如图2-4所示，连结曲线弧AB 两端的弦AB ，其斜率为()()f b f a b a--.因此，定理的几何意义是：满足定理条件的曲线弧AB 上一定存在一点具有平行于弦AB 的切线.图2-4显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.(2-5-1) 式称为拉格朗日中值公式，显然，当b ＜a 时，式(2-5-1)也成立.设x 和x +Δx 是(a ，b )内的两点，其中Δx 可正可负，于是在以x 及x +Δx 为端点的闭区间上有f (x +Δx )-f (x )=f ′(ξ)Δx ，其中ξ为x 与x +Δx 之间的某值，记ξ = x +θΔx ，0＜θ＜1，则f (x +Δx )-f (x )=f ′(x +θΔx )Δx (0＜θ＜1). (2-5-2)(2-5-2) 式称为有限增量公式.推论1 若函数f (x )在区间I 上的导数恒为零，则f (x )在区间I 上为一常数. 证x 1，x 2∈I ，x 1＜x 2，在［x 1,x 2］上应用定理2,得f (x 2)-f (x 1) =f ′(ξ)(x 2-x 1),ξ∈(x 1,x 2).由于f ′(ξ)=0,故f (x 2)=f (x 1).由x 1,x 2的任意性可知,函数f (x )在区间I 上为一常数.在第一节我们知“常数的导数为零”，推论1就是其逆命题.由推论1立即可得以下结论. 推论2 若∀x ∈I ，f ′(x )=g ′(x )，则在I 上f (x )=g (x )+C (C 为常数).例1 求证arcsin x +arccos x =π2，x ∈［-1，1］. 证 令f (x )=arcsin x +arccos x ，则f ′(x=0，x ∈(-1，1).由推论1得f (x )=C ，x ∈(-1，1).又 因f (0)=π2，且f (±1)= π2. 故 f (x )=arcsin x +arccos x =π2,x ∈［-1,1］.例2 证明不等式arc tan x 2-arc tan x 1≤x 2-x 1(其中x 1＜x 2).证 设f (x )=arc tan x ，在［x 1，x 2］上利用拉格朗日中值定理， 得 arc tan x 2-arc tan x 1=211ξ+(x 2-x 1)，x 1＜ξ＜x 2. 因为211ξ+≤1，所以 arc tan x 2-arc tan x 1≤x 2-x 1.例3 设函数f (x )=x (x -2)(x -4)(x -6)，说明方程f ′(x )=0在(-∞，+∞)内有几个实根，并指出它们所属区间.解 因为f ′(x )是三次多项式，所以方程f ′(x )=0在(-∞，+∞)内最多有3个实根.又由于f (0)=f (2)=f (4)=f (6)=0，f (x )在区间［0，2］，［2，4］，［4，6］上满足罗尔定理的条件.故ξ1∈(0，2)，ξ2∈(2，4)，ξ3∈(4，6)，使f ′(ξ1)=0，f ′(ξ2)=0，f ′(ξ3)=0.即方程f ′(x )=0在(-∞，+∞)内有3个实根，分别属于区间(0，2)，(2，4)，(4，6).例4 若f (x )＞0在［a ，b ］上连续，在(a ,b )内可导，则∃ξ∈(a ，b )，使得()()ln ()()()f b f b a f a f ξξ'=-. 证 原式即()ln ()ln ()()()f f b f a b a f ξξ'-=-. 令φ(x )=ln f (x ),有 φ′(x )=()()f x f x '.显然φ(x )在［a ，b ］上满足拉格朗日中值定理的条件，在［a ，b ］上应用定理可得所证. 下面再考虑由参数方程x =g (t )，y =f (t )，t ∈［a ，b ］给出的曲线段，其两端点分别为A (g (a )，f (a ))，B (g (b )，f (b )).连结A ，B 的弦AB 的斜率为()()()()f b f ag b g a -- (见图2-5)，而曲线上任何一点处的切线斜率为d ()d ()x f t y g t '='.图2-5若曲线上存在一点C ［对应参数t =ξ∈(a ，b )］，在该点曲线的切线与弦AB 平行，则可得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-.定理3［柯西(CaUchy )中值定理］ 若f (x )，g (x )∈C (［a ，b ］)均在(a ，b )内可导，且g ′(x )≠0，则∃ξ∈(a ，b )使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-.证 由g ′(x )≠0和拉格朗日中值定理得g (b )-g (a )=g ′(η)(b -a )≠0, η∈(a ,b ).由此有g (b )≠g (a )，考虑辅助函数Φ(x )=f (x )-λg (x )(λ待定).为使Φ(x )满足罗尔中值定理的条件，令Φ(a )=Φ(b )，得λ=()()()()f b f ag b g a --.取λ的值如上，由罗尔定理知∃ξ∈(a ，b )，使Φ′(ξ)=0，即()()()()0()()f b f a fg g b g a ξξ-''-=-，即()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-.由此定理得证.显而易见,若取g (x )≡x ,则定理3成为定理2,因此定理3是定理1,2的推广,它是这三个中值定理中最一般的形式.例5 设函数f (x )在［x 1,x 2］上连续，在(a ,b )内可导,且x 1·x 2＞0，证明∃ξ∈(x 1，x 2)，使112212()()()()x f x x f x f f x x ξξξ-'=--.证 原式可写成122121()()()()11f x f x x x f f x x ξξξ-'=--. 令φ(x )=()f x x ，ψ(x )=1x.它们在［x 1，x 2］上满足柯西中值定理的条件，且有 ()()x x ϕψ''=f (x )-xf ′(x ). 应用柯西中值定理即得所证.第六节 泰勒公式在本章前面已知道，如果f (x )在点x 0处可微，则f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+o (x -x 0).此式表明：对于任何在x 0处有一阶导数的函数，在U (x 0)内能用关于(x -x 0)的一个一次多项式来近似表示它，多项式的系数就是该函数在x 0处的函数值和一阶导数值，这种近似表示的误差是比(x -x 0)高阶的无穷小.于是，人们猜想：如果函数f (x )在点x 0处有n 阶导数，则可以用一个关于(x -x 0)的n 次多项式来近似表示f (x )，该多项式的系数仅与函数f (x )在点x 0的函数值和各阶导数值有关，这种近似表示的误差是比(x -x 0)n 高阶的无穷小量.泰勒(Tayl o r)对这个猜想进行了研究，并得到了下面的结论.定理1(泰勒中值定理) 若f (x )在U (x 0)内具有n +1阶导数，则∀x ∈U (x 0)，有f (x )=()000()()()!k nk n k f x x x R x k =-+∑, (2-6-1) 其中R n (x )=o ((x -x 0)n )，且(1)1000(())()()(1)!n n n f x x x R x x x n θ+++-=-+, 0＜θ＜1. (2-6-2)公式(2-6-1)称为f (x )在点x 0的n 阶泰勒公式，式中R n (x )称为余项.式(2-6-2)表示的余项称为拉格朗日余项，而R n (x )=o ((x -x 0)n )称为皮亚诺(Peano)余项.()000()()()!k nk n k f x P x x x k ==-∑称为n 阶泰勒多项式.运用泰勒多项式近似表示函数f (x )的误差可由余项进行估计.例如，若∀x ∈U (x 0)，有｜f (n +1)(x )｜≤M ，则可得误差估计式10()()()(1)!n n n M R x f x P x x x n +=-≤-+.特别地，当公式(2-6-1)中的x 0=0时，通常称为麦克劳林(MaclaUrin)公式，即f (x )=∑nk =0f (k )(0)k ！xk +Rn (x )， (2-6-3)其中 (1)1()()(1)!n n n f x R x x n θ++=+，0＜θ＜1. 很显然，拉格朗日中值公式是带拉格朗日余项的零阶泰勒公式，泰勒中值定理也是拉格朗日中值定理的推广.例1 求f (x )=e x 的n 阶麦克劳林公式.解 f (k )(x )=e x ，f (k )(0)=1(k =0，1，2，…).e x=21()2!!nn x x x o x n +++++. 其拉格朗日余项为1e ()(1)!xn n R x x n θ+=+,θ∈(0,1).例2 求f (x )=sin x 的n 阶麦克劳林公式.解 f (k )(x )=πsin()2x k +⋅ (k =0，1，2，…)，故()0,2(0)(1),21k jk jf k j =⎧=⎨-=+⎩ (j=0，1，2，…). 取n =2m ，得sin x =352112(1)()3!5!(21)!m m m x x x x o x m ---+-+-+-.其拉格朗日余项为212(21)πsin 2()(21)!m m m x R x x m θ++⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=+21cos (1)(21)!mm x x m θ+=-+， θ∈(0，1).类似地有cos x =242211(1)()2!4!(2)!mmm x x x o x m +-+-+-+，其拉格朗日余项为12221cos ()(1)(22)!m m m x R x x m θ+++=-+, θ∈(0,1).例3 求f (x )=ln(1+x )的n 阶麦克劳林展开式. 解 ()1(1)!()(1)(1)k k kk fx x --=-+ ，(k =1,2,…), 故f (k )(0)=(-1)k -1(k -1)! (k =1,2,…,n ).又 f (0)=0,f (n +1)(ξ)1!(1)(1)n n ξ+=-+, 其中，ξ在0与x 之间.于是,当x ∈(-1,+∞)时,ln(1+x )=234111(1)(1)2!3!4!(1)(1)n n n nn x x x x x x n n ξ+-+-+-++-+-++, 其中ξ在0与x 之间.利用泰勒公式可以求极限.例4 求极限2240cos elimx x x x -→-.解 利用泰勒公式,有cos x =2441()2!4!x x o x -++, 2222421e1()2!2!2!x x x o x -⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,于是 24421cos e ()12x x x o x --=-+. 所以244244001()cos e 112limlim 12x x x x o x x x x -→→-+-==-. 第七节 洛必达法则本节我们将利用微分中值定理来考虑某些重要类型的极限.由第二章我们知道在某一极限过程中,f (x )和g (x )都是无穷小量或都是无穷大量时,f (x )/g (x )的极限可能存在,也可能不存在.通常称这种极限为不定式(或待定型),并分别简记为00或∞∞. 洛必达(L’H ospital)法则是处理不定式极限的重要工具，是计算00型、∞∞型极限的简单而有效的法则.该法则的理论依据是柯西中值定理.一、型不定式 定理1设f (x )，g (x )满足： (1) 0lim x x →f (x )=0，0lim x x →g (x )=0；(2)在U ︒(x 0)内可导，且g ′(x )≠0; (3) 0limx x →()()f xg x ''存在(或为∞)， 则 0lim x x →()()f x g x = 0lim x x →()()f xg x ''.证 由于极限0limx x →()()f xg x 与f (x )和g (x )在x =x 0处有无定义没有关系，不妨设f (x 0)=g (x 0)=0.这样，由条件(1)、(2)知f (x )及g (x )在U (x 0)连续.设x ∈U (x 0)，则在［x ，x 0］或［x 0，x ］上，柯西中值定理的条件得到满足，于是有00()()()()()()()()f x f x f x fg x g x g x g ξξ'-=='-,其中ξ在x 与x 0之间.令x →x 0(从而ξ→x 0)，上式两端取极限，再由条件(3)就得到limx x →()()f x g x =0lim x ξ→()()f g ξξ''= 0lim x x →()()f xg x ''， 对于当x →∞时的型不定式，洛必达法则也成立. 推论1 f (x )，g (x )满足 (1)lim x →∞f (x )=0，lim x →∞g (x )=0；(2) 当｜x ｜＞X 时可导，且g ′(x )≠0; (3) limx →∞()()f xg x ''存在(或为∞)， 则 ()()lim lim ()()x x f x f x g x g x →∞→∞'='.证 令t =1x，则x →∞时t →0，从而 01lim ()lim ()0t x f f x t →→∞==，1lim ()lim ()0x x g g x t→∞→∞==. 由定理1，得2002111()()()()()lim lim lim lim 111()()()()()x t t x f f f x f x t t t g x g x g g t t t→∞→→→∞'-'===''-. 显然，若lim ()()f x g x ''仍为0型不定式，且f ′(x )，g ′(x )满足定理条件，则可继续使用洛必达法则而得到()()()limlim lim ()()()f x f x f xg x g x g x '''==''',且仍然可以依此类推.例1 求33221216lim 248x x x x x x →-+--+.解 32322222121631263lim lim lim 248344642x x x x x x x x x x x x x →→→-+-===--+---.例2 求πarctan 2lim 1x x x→+∞-. 解 22221πa r c t a n 12l i m l i m l i m 1111x x x x xx x x x→+∞→+∞→+∞--+===+-. 二、∞∞型不定式定理2设f (x )，g (x )满足 (1) 0lim x x →f (x )=∞，0lim x x →g (x )=∞；(2) 在U ︒(x 0)内可导，且g ′(x )≠0;(3) 0limx x →()()f xg x ''存在(或为∞)， 则 00()()limlim ()()x x x x f x f x g x g x →→'='. 该定理也是应用柯西中值定理来证明的，因过程较繁，故略. 推论2若f (x )，g (x )满足 (1) lim x →∞f (x )=∞，lim x →∞g (x )=∞；(2) 当｜x ｜＞X 时可导，且g ′(x )≠0；(3) lim x →∞()()f xg x ''存在(或为∞)，则 ()()limlim ()()x x f x f x g x g x →∞→∞'='. 例3 求ln limax xx →+∞ (α＞0).解 11l n 1l i m l i m l i m 0a a a x x xxx x a x a x-→+∞→+∞→+∞===. 例4 求lim eax x x →+∞ (α＞0).解 1lim lim e e a a x xx x x ax -→+∞→+∞=.若0＜α≤1，则上式右端极限为0；若α＞1，则上式右端仍是∞∞型不定式，这时总存在自然数n 使n -1＜α≤n ，逐次应用洛必达法则直到第n 次，有1lim lim e ea a x x x x x ax -→+∞→+∞==(1)(1)lim 0e a nxx a a a n x n -→+∞--+=（次）.故 lim 0eax x x →+∞= (α＞0)..使用洛必达法则时要注意验证定理条件，不可妄用，否则会导致错误结果.例如，在例1。
第二章第3节-函数的微分
故 在点 可导, 且
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
“充分性” 已知 在点 的可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
Hale Waihona Puke d y 3 x x.2 0
(1)
( 2)
2 当x 很小时, y dy 3 x0 x.
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
dy f ( x) 导数也叫作微商 dx
例1.
求 y x 2 在 x 1, x 0.01 时的微分。
x 1 x 0.01
解: d y
2 x x
x 1
0.02
x 0.01
例2. 求y=x3在x=2处的微分, 以及当x=0.1时在x=2 处的微分。
dx 3 x 2 dx 3x 2 x ( x dx ) 解: dy ( x )
1 x2 dx ; (16) d (arccot x) dx 2 . (15) d (arctan x) 1 x2 1 x
2.四则运算微分法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
3. 复合函数的微分法则 均可导 , 则
(C 为常数)
(10)d (cot x) csc 2 xdx ;
第二章 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学一．与导数的定义有关的考点 先回顾导数的定义： 设函数()x f y =在()x U内有定义，如果极限()()x x x f x f x x 000lim--→存在，则称()x f y =在x 0处可导，x 0称为函数()x f 的可导点，且称上述极限值为函数()x f 在x 0处的导数，记为：|0x dx dy x =或|0x dx dfx =；或简记为()x f 0'． 注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义： 1．()x f 0'=()()xf x f x x x ∆-∆+→∆000lim；2．()()()00lim.x fh f f x hx xx →+-'=；要特别关注0x =处的导数有特殊形式：()()()00lim.x f x f f x→-'=（更特别地，()()()()()000lim.00x f x f f f x→-'==如。
要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数()x f y =在x 0处可导的充要条件是()()//00.f x f x -+=对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知()x f 0'=A ，试求下列极限的值 （1）()());(lim000A xf x f x x x -=∆-∆-→∆（2）。
()());4(3lim000A xx f x f x x x =∆∆--∆+→∆例2．研究函数()||x x f =在0=x 处的可导性. 解：因为()()()/000lim lim 1000x x f x f x f x x---→→---===-- 同理，可求得()10/=+f .由于()()00//f f +-≠，所以()||x x f =在0=x 处不可导。
（记住这个结论）练习：设()()2,0,1,0.axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩在0x =处可导，求,a b 的值. 解：（一）因为()f x 在0x =处可导，从而()f x 在0x =处也连续.所以，()()0lim lim ,x x f x f x -+→→=即 1.b = （二）()()()/00010limlim ;0ax x x f x f e fa x x---→→--===- ()()()()22/001120limlim lim 2.0x x x f x f x x xfx xx+--+→→→----====-- 由()()//00f f -+=，得2a =-.例3． 已知()x x f 2=，试求()x f 在2=x 处的导数.解：因为2224lim lim(2)42x x x x x →→-=+=-，所以，()2 4.f '=由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个0型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值. 如把函数在一点x 0处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。
医用高等数学第二章一元函数微分学2.1
f
(
x
)
x
x0 f (x0
)
,
x x0
CM
o
x0
T
xx
N 沿曲线C M , x x0 ,
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
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5
二、导数的定义
(Definition of Derivatives)
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6
dy dx
x x0 , f ( x0 )
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
导数定义其它常见形式：
f
( x0
)
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
f
(
x0
)
lim
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
(a x ) a x ln a.
特别地， (e x ) e x
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例6 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim h0
专升本第二章-一元函数的微分学.
二阶及二阶以上阶导数统称为高阶导数
例17.设 y x ,求 y(n) ( 1)( n 1)xn 例18.设 y sin x,求 y(n)
(sin x)(n) sin(x n )
2 同理(cosx)(n) cos(x n )
2
例19.设 y ln x,求 y(n) (1)n1 (n 1)!
dx2
dx2
n 阶导数的定义：
设函数 f (x)的(n 1)阶导数存在，如果
lim f (n1) (x x) f (n1) (x) 存在，那么称此
x0
x
极限值为 f (x) 在点 x 处的n阶导数。
记作：y(n) ,
f
(n) (x),
dny dxn
或
d n f (x) dxn
为了形式上统一
定义 y(0) y,或 f (0) (x) f (x)， 把 f (x) 称为 f (x)的一阶导数。
1 xln a
，
(ln
x)
1 x
(sin x) cos x ， (cos x) sin x
(tan x) sec2 x ， (cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x ，(csc x) csc x cot x
(arcsin x) 1 ，(arccos x) 1
(五) 对数求导法 利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。
例16. 设 y (x 1)2 3 3x 2 ，求 y x2 1 3 (2x 1)2
解：两边先取对数：
ln y 2ln(x 1) 1 ln(3x 2) 1 ln(x2 1) 2 ln(2x 1)
3
2
3
1 y
y
2 x 1
第2章一元函数微分学教材
第二章 一元函数微分学 一、一元函数的导数与微分 （一）导数的定义与几何意义 1．导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域有定义，若极限x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x 存在，即在0x 可导0x x -)()(lim)('0x x x f x f x f -=→导数存在，左右导数存在相同； 2.几何意义 导数为切线斜率（二）单侧可导与双侧可到的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 左右导数均存在且相等（三）微分的定义、几何意义以及可微、可导与连续之间的关系 1．微分的定义 )()(y 0x x x A ∆+∆=∆ο)(x ∆ο是0→∆x 是比x ∆高阶的无穷小，可微函数y=)(x f 在点0x 处的微分是该函数在点0x 处函数增量的线性主要部分 2.微分的几何意义y ∆是曲线y=)(x f 在点0x 处相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量微分dyx x =是曲线y=)(x f 在点0x 处切线相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量3.可微、可导及连续之间的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 处可微⇒ )(x f 在点0x 处连续但连续不一定可导、可微y=)(x f 在点0x 处可微时dy=dx x f x x f )(')('00=∆（四）函数的区间上的可导性，导函数及高阶导数 1.函数在区间上的可导性若)(x f 在开区间每一点都可到，则在开区间可导，又在端点可导，则在闭区间可导2.若)(x f 在区间可导，对于任意x 在区间内，都有对应)(x f 的一个确定的导数值)('x f ，构成一个新的函数，称为导函数，记作dxx df dx dy x f )(;;y )(''； 3.二阶导数及高阶导数二阶导数⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d dx y d x f ;;y )(''22''； n 阶导数n nn)(n)(;y )(dxy d x f ； N 阶导数定义xx f x x f x f∆-∆+=→∆)()(lim )(01-n 01-n 0x 0n)(）（）（若)(x f 在0x 处n 阶可导，则)(x f 在0x 的某领域比具有一切比低于n 阶的导数 （五）奇偶函数与周期函数的导数性质)(x f 为奇函数⇒)('x f 为偶函数；)(x f 为偶函数⇒)('x f 为奇函数；不能反推 )(x f 以T 为周期⇒)('x f 也以T 为周期二、按定义求导数及其适用的情形 （一）按定义求导数x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x（二）按定义求导数适用的情形情形1，除了常数及某些初等函数的导数公式外，均可按定义导出 情形2，求导法则不能用的情形，不知道是否可导 情形3，求某类分段函数在分界点处的导数（三）利用导数定义求极限xx f x x f ∆-∆+→∆)()(lim000x n n x x f x x f )()(lim 0n -++∞→ 其中0lim n =+∞→n x三、基本初等函数导数表，导数的四则运算法则与复合函数微分法则 （一）基本初等函数导数表与求导法则 1．基本初等函数导数表a x x aa a xx x xx x x x x x t a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )an (22='='⋅-='⋅='-='=' 222211)ot (11)an (11)(arccos 11)(arcsin x x arcc x x arct x x x x +-='+='--='-=' x xx x x xx e e x x 22'''''sec cos 1)(tan cos )(sin 1)(ln )(0c ======）（)()()())()(sin )(cos ''''x f x f x f x f xx x x x ==-= xx 1)(ln '=2.求导法则复合函数求导法则幂指数函数求导 反函数求导 隐函数求导 变限积分求导 分段函数的求导（二）导数与微分的四则运算法则[])(')(')()('x g x f x g x f ±=±[])(')()()(')()('x g x f x g x f x g x f +=)()(')(-)()(')()(2'x g x g x f x g x f x g x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡（三）复合函数的微分法则dxdudu dy dx y •=d（四）初等函数求导法 利用上述三种方法综合运用四、复合函数求导法的应用—由复合函数求导法则导出的微分法则 （一）幂指数函数)()(x g x f 的求导法 1.将)()(x g x f 表成)(ln )(ex f x g 后求导2.对数求导法，对)()(x g x f y =两边取对数得)(ln )(ln x f x g y =，两边对x 求导用对数求导法求乘积的导数或微分很方便)()()(21x f x f x f y n •⋅⋅⋅••= 先取绝对值，再取对数幂指数函数导数公式也可用二元复合函数求导法推出的复合函数与是)(),()()(x g v x f u u y x f y v x g ====dxdv u v dx du u u dx y v v •∂∂+•∂∂=）（）（d（二）反函数求导法'1d y dy x = 3'''22-d y y dy x =（三）变限积分的求导法设)(x f 在闭区间连续，)(),(x x ψϕ在闭区间可导⎰=)()(;)(x x dt t f y ϕψ[][])()()()()()('')()(x x f x x f dt t f dx d dt t f dx d dx dy x ax a ψψϕϕψϕ-=-=⎰⎰（四）隐函数微分法设有二元方程F （x ，y ）=0，若存在函数y=y （x ）使得F （x ，y （x ））=0，对区间上任何x 成立，则称y=y （x ）为方程F （x ，y ）=0在区间上确定的隐函数运用复合函数求导法则五、分段函数求导法1.按求导法则分别求分界点处的左右导数2.按定义求分界点的导数或左右导数3.分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值（一）按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数A x f A x h x g x h x g ====+)(,)()(),()(0'0'0'-00则且若（二）按定义求分界点的导数或左右导数无定义在、000)()(x x h x gx x x h x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=+→∆+→∆+A)(lim)()(lim)('000000xx x g x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆A)(lim)()(lim)('0-000-00- 上述极限存在且相当，则存在)(0'x f（三）分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值 可导且连续，A x f x x =→)(lim '六、高阶导数及n 阶导数的求法（一）归纳法 逐一求出前几阶导数，观察规律性写出)(n y 的公式（二）利用简单得初等函数的n 阶导数公式（1）b ax n n b ax e a e ++=)(）（ x n x e e =)(）（（2）[])2sin()sin()(πn b ax a b ax n n ++=+ [])2sin(sin )(πn x x n += （3）[])2(cos )(cos )(πn b ax a b ax n n ++=+ ())2cos(cos )(πn x x n +=（4）[]n n n b ax n a b ax -++-⋅⋅⋅-=+βββββ))(1()1()()([]n n x n x -+-⋅⋅⋅-=βββββ)1()1()( （5）1)()(!)1(1++-=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n b ax n a b ax (6) []n n n n b ax n a b ax )(!1-)1()ln(1-)(+-=+）（ []nn n xn x !1-)1(ln 1-)(）（-= (三)分解法1.有理函数与无理函数的分解)1)(1(1,21+-⋅⋅⋅+-+=+--x x x x x n x n n n n 为奇数时，当 )1-)(1(1-,21x x x x x n x n n n n +⋅⋅⋅+-+=--为偶数时，当2.三角函数的分解（利用三角函数恒等式及有关公式）（四）由f （x ）在x=0x 处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系数求)(0)(x f n七、微分中值定理(一)极值的定义 极小值、极大值 与左右两边的比较，还没涉及导数（二）微分中值定理及其几何意义 1.费马定理及其几何意义)(x f 在x=0x 处可导且取得极值，则导数为0，0x 为驻点，驻点切线与x 轴平行2.罗尔定理及其几何意义[]0)('),(),()(),(,)(=∈=ξξf b a b f a f b a b a x f 使得则存在上可导，又上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于x 轴3.拉格朗日中值定理及其几何意义（微分中值定理）[])(')()(),(,),(,)(ξξf ab a f b f b a b a b a x f =--∈使得则存在上可导，上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于割线)10(,)(')()( θθx x x f y x f x x f ∆•∆+=∆=-∆+4.柯西中值定理[])(')(')()()()(),(,0)('),(,)(),(ξξξg f a g b g a f b f b a x g b a b a x g x f =--∈≠使得则存在上可导，且上连续，在在设 （三）几个微分中值定理之间的关系拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，,)(x x g =罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况八、利用导数研究函数的性态（一）函数为常数的条件与函数恒等式的证明 1．函数为常数的条件 导数恒为02.两个函数差为常数的条件 导数相等3.两个函数恒等的条件，导数导数，存在一点使得两值相等（二）函数单调性充要判别法1.函数单调性的定义 单调增加、单调减少、单调不增、单调不减2.函数单调性判别定理及其几何意义单调不减 导数大于等于0；单调增加，导数大于等于0，区间内，不存在导数等于0的情况 3.几何意义单调增加与x 轴锐角；单调减少与x 轴钝角（三）极值点充分判别法1.极值第一充分判别定理及其几何意义 左导数小于0，右导数大于0，极小值主要考察函数的不可导点，因为不可导点有可能是函数的极值点2．极值第二充分判别定理及其几个意义，具体再讨论极小值，极大值，当当二阶可导，且在点设0)('',0)('',0)('',0)(')(00000==x f x f x f x f x x f几何意义结合第一充分判别定理分析 二阶导数小于0，一阶导数由大于0到小于0，极大值（四）凹凸性的定义与充要判别法 1.凹凸的定义[]凹上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+[]凸上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+2.凹凸性充要判别定理及其几何意义[][]()是单调增函数在是凹的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]()是单调减函数在是凸的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凹的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≥[][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凸的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≤（五）观点的定义与充分判别法1.拐点的定义，)(x f 在0x 的左右侧凹凸性相反，在为拐点2.拐点的充分判别定理)(x f 连续，二阶可导，且二阶导数在0x 反号 或二阶导数等于0，三阶导数不等于0（六）利用导数做函数的图形1、定义域，奇偶性、周期性、剪短点2、一阶导数、二阶导数等于3、渐近线 b kx y y x +=∞→∞→;；[]b kx x f k xx f b kx y x x =-≠=⇔+=+∞→+∞→)(lim ,0)(lim且九、微分学的几何应用与经济应用 （一）平面曲线的切线1.用显式方程表示的平面曲线))(('00o x x x f y y -+=2.用隐式方程表示的平面曲线0)(),()(),(),(,0),(000000=-∂∂+-∂∂=y y yy x f x x x y x f y x f y x f 切线方程有连续的一阶偏导数，其中（二）边际与弹性1.边际及其先关概念 边际成本 边际收益 边际利润2.弹性及其相关概念xdx y dydxdyy x Ex y Ex y x y ==E ,E 的弹性记为对 需求函数)(P Q Q =dpdQQ p Ep Q =E收益对价格的弹性dpdRR p Ep R =E 因为pQ R =+=+==1)(1)(1E dp dQp Q Q dp pQ d Q Ep R EpQ E 注意弹性的绝对值问题，区别正负性十、一元函数的最大值与最小值问题（一）闭区间[]的求法和最小值的最大值上连续函数的m M )(,x f b a 1.求出驻点，即一阶导数为0 2.算出驻点的函数值3.有不可导点，算出不可导点的函数值4.求出端点的函数值5.比较(二) )(x f 在区间可导且仅有唯一驻点的最大值和最小值的求法 1．通过一阶导数左右两端符号判断 2.通过二阶导数的正负性判定十一、一元函数的泰勒公式（一）带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式，皮亚诺余项）（即））（（其中阶导数，则处有在点设0)(lim ),()(),()(!)()(!2)())((')()()(00000)(20000000=-→-=+-++-''+-+=→n n x x nn n n n x x x R x x x x x R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n x x f ο （二）带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式[][]10),()()!1()(),()(!)()(!2)())((')()(,,1),()(0010)1(00)(2000000 θθξξξ且之间，也可表示为与在而，拉格朗日余项其中有阶连续导数，对于任何上有阶导数，在区间内有的区间在包含点设x x x x x x x n f R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f b a x n b a n b a x x f n n n n n n -+=-+=+-++-''+-+=∈+++n n x n f x f x f f x f x !)0(!2)0()0()0()(0)(20++''+'+== 时即为麦克劳林公式：十二、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法 （一）泰勒公式的唯一性!)(,),('),(,)()()()()(0)(01000020201000n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f n n nn n =⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο这个定理称为泰勒公式的唯一性定理（二）泰勒公式的求法 1.直接求法))(1,0(,)!1(1)(),()()(!)(!1!211102+∞<<-∞∈+==+=++⋅⋅⋅+++=+=∑x x e n x R x x R x R k x x R x n x x e n x n n n n nk kn n xθοθ其中)()1,0()!12(cos )1()(),()()()!12()1()()!12()1(!5!3sin 1222221121212153+∞<<-∞∈+-==+--=+--+-+-=+=----∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)()1,0()!22(cos )1()(),()()()!2()1()()!2()1(!4!21cos 221121212120212242+∞<<-∞∈+-==+-=+-+-+-=++++++=+∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)1,0(),1,1()1()!1()()1()(),()()(!)1()1(1)(!)1()1(!2)1(1)1(1112∈-∈++--==++--+=++--++-++=++--=∑θθαααοαααααααααααx x x n n x R x x R x R x k k x R x n n x x x n n n n n n nk kn n ，其中(])1,0(,1,1)1()1(1)1()(),()()()1()(1)1(3121)1ln(111111132∈-∈+++-==+-=+-+-+-=++--++=--∑θθθοαx x x x x n x R x x R x R k x x R x n x x x x n n n n nn n n n nk k k n nn ，）（其中2.间接求法 ①四则运算()()()))(()()(m n a x a x a x n m n ≤-=-+-οοο()()())()()(m n m n a x a x a x +-=-•-οοο()()())()(m n m n a x a x a x +-=-•-οο()()有界在其中δοο a x x f a x a x x f mm--=-•0)(),()()(②复合运算 替代变量法③逐项求导或逐项积分））（（））（（））（（时，有阶导数，则处有在点设10102010010100210020201000)(1)(2)()()()(2)(')()()()()(0++---+-+++-+-=-+-++-+=-+-++-+-+=→⎰n n n xx n n n nn n x x x x n A x x A x x A dt t f x x x x nA x x A A x f x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f οοο十三、一元函数泰勒公式的应用 （一）利用泰勒公式求未定式的极限)();(0);()()(lim )()(lim 0,0,)()()()()(),(m n m n n m BA a x a xB a x a x A x g x f B A a x a x B x g a x a x A x f a x x g x f m m nn a x a x m m nn ∞==-+--+-=≠≠-+-=-+-==→→））（（））（（））（（））（（时，有在点设οοοο（二）用泰勒公式确定无穷小的阶阶数数是导数不为零的最小阶无穷小，无穷小的阶的是因此，））（（，则，若））（（时，有阶导数，则处有在点设n a x x f x x x x n x f x f x f x f x f x f x x x x n x f x x x f x f x f x x n x x f nn n n n n n n )()()(!)()(0)(0)()(')(,)(!)())((')()()(000)(0)(0)1-(00000)(00000--+-=≠====-+-++-+=→οο（三）利用泰勒公式证明不等式方法1，通过估计泰勒公式余项的大小来证明不等式方法2，通过函数与二阶导数的界估计一阶导数的界来证明不等式（四）由泰勒公式的系数求)(0)(x f nn n n n n n n A n x f A x f A x f n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f !)()(')(!)(,),('),(,)()()()()(0)(10000)(01000020201000====⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→，，因此则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο（五）用泰勒公式证明函数或高阶导数存在满足某种要求的特征点当要求证明存在某点使得函数或高阶导数在该点取值满足某等式或不等式或具有某种其他要求的特征时，常常需要用泰勒公式，所求的点还常常是公式余项中出现的中间值十四、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关一元函数的导数与微分概念的命题题型二、用导数定义求函数的极限题型三、求各类一元函数的导数与微分题型四、求变限积分的导数1. 求仅积分限含参变量x 的变限积分的导数2. 求被积函数也含有参变量x 的变限积分的导数题型五、求一元函数的n 阶导数题型六、用微分学的方法证明不等式方法1，利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式方法2，利用函数的单调性证明不等式方法3，利用函数的最大值或最小值证明不等式方法4，利用函数图形的凹凸性证明不等式题型七、利用导数研究函数的性态1. 函数等于常数的证明2. 单调性与凹凸性的证明3. 讨论函数的极值与拐点4. 求函数的单调区间与极值点及其图形的凹凸区间与拐点5. 用微分学知识作函数的图形6. 利用函数的性态研究函数零点的个数题型八、导数与微分在经济学中的简单应用题型九、微分中值定理命题及相关问题1. 费马定理型的中值命题2. 罗尔定理型的中值问题3. 与区间端点函数值有关的微分中值命题题型十、一元函数的最值问题1. 函数型的最值问题2. 应用型的最值问题题型十一、求泰勒公式1. 求带皮亚诺余项的泰勒公式2. 求带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式题型十二、用泰勒公式求极限或确定无穷小的阶1. 用泰勒公式求极限2. 用泰勒公式确定无穷小的阶题型十三、用泰勒公式证明不等式或高阶导数存在某种特征点。
一元函数微分学及其应用(课件)
从而可知物体在 t 3s 时刻的瞬时速度为34 m/s。
22
第二节 导数的运算 三、复合函数求导法则
引例3 已知 y sin 2x，求 y
解 这里不能直接用公式求导，但可用求导法则求：
y (sin 2x) (2sin x cos x) 2[(sin x)cos x sin x(cos x)] 2(cos2 x sin2 x) 2 cos 2x
0.000001
0.0000001 0.00000001
…
事实上，利用极限思想， 物体在t0 时刻的瞬时速度 可以表示为
v
20.0005
20.00005
20.000005 20.0000005 20.00000005
…
v(t0 )
lim
t 0
s t
ltim0(10t0
5t)
10t0
5
第一节 导数的概念
定义3.1 设函数 y f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，且极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在点 x0 处的导数，记作
f (x0 ) 或
y |xx0
或
dy dx
或
x x0
df (x) dx
x x0
也称函数 f (x) 在点 x0 处可导。
x0
x0
在点 x 0 处的连续性。
又 y f (0 x) f (0) x ，从而
x
x
x
lim
y
lim
x 1
x0 x x0 x
y
x
lim lim 1
《高等数学》一元函数微分学.ppt
恒有 f (x) A .
A的邻域,
A
A
x0的空心 邻域A,
该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
的几何解释
0
x0 x0 xx00 x 0 x0 x0 x0 x0
f (x)
x
.
1. 函数的极限 lim f ( x) A x x
0, 0, 当 0 | x x0 | δ 时 ,
恒有 f (x) A .
lim f ( x) A 的几何解释
x x
y
A的邻域,
A A
A
x0的空心 邻域,
该邻域内所有点 x
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x))
落在绿色区域内.
0
x0 x0 x0
§1 一元函数微分学
主 目 录（1 – 18）
1 函数极限的几何解释
3 x 时的极限
5 数列的极限 7 函数的连续性 9 微分的几何意义
2 函数的左极限
4 x+ 时的极限
6 无穷大 8 导数的几何意义
对函数进行全面讨论并画图：
10 y xex
11 y x
x
13
y
arccos
x x
16 y cos2x
落在绿色区域内.
y
f (x)
A+
A
A–
–N
0
N
x
3. x 趋于无穷大时的极限 lim f (x) A 的几何解释 x A的邻域, N > 0, 对满足 |x| > N 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
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§2.1 导数与微分
内容重点：
1.导数的概念，导数的几何意义与经济意义 2.复合函数求导、隐函数求导、分段函数求导
4
1、导数 定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函
（4）(
u) v
uv v2
uv
(v
0).
（4）分段函数求导时, 分界点导数用左右导数的定
义求，而在小开区间段上一般直接用初等函数的求
导法.
12
(5)复合函数的求导法则
设 yf(u),而 u(x)则复y 合 f[ 函 (x)的 ]数 导数 d yd 为 ydu或y(x)f(u)(x).
dxdu dx
第二章 一元函数的微分学
内容
导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可 导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数 和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数．反函 数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L‘Hospital）法则 函数单调性 的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性．拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值
5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定 理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．
6．会用洛必达法则求极限． 7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大 值和最小值的求法及其应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导 数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近 线． 9．会描述简单函数的图形．
(2)右导数:
f (x 0 ) x l im x 0 f(x x ) x f0 (x 0 ) lx i m 0 f(x 0 x x ) f(x 0 );
函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .
★ 导数的几何意义
f(x0)x l ix0 m f(xx ) x f0 (x0).
导数的定义本质上是一类特殊函数的极限问题，一般地，题设在一点可 导，利用导数在一点的定义。对分段函数在分段点的导数必须用左右导 数的定义讨论。
对于任x 一I,都对应f(着 x)的一个确定的 导数.这 值个函数叫做原 f(x)来 的函 导数 函 . 数
几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0 , f (x0 ))处的 切线的斜率,即
f (x0 ) tan, (为倾角)o
yf(x)
T
M
x0
x
切线方程为 y y 0 f( x 0 )x ( x 0 ).
法线方程为
1 yy0f(x0)(xx0).
★ 可导与连续的关系
定理 凡可导函数都是连续函数. .可导一定连续，连续不一定可导。
1
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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2
要求
1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经 济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程． 2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法 则，会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会 求函数的微分．
★ 基本求导公式与求导法则
(1)基本初等函数的导数公式
(C) 0 (x) x1
( x) 1 2x
1 x
1 x2
(ax xlna
(lnx) 1 x
(sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x (secx)secxtanx (cscx)cscxcotx
（6）隐函数的求导法则
方法：
如果由方程 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x) 可导, 则将 y = f (x) 代入方程中, 得到
F ( x, f (x) ) 0 求导时只须将y视为x的函数， 利用复合函数的求导法则，
数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
dy 或df(x)
dxxx0
dx
, xx0
即 y x x 0 l x 0 i x y m l x 0 ifm (x 0 x x ) f(x 0 )
其它形式 f(x 0) lh i0m f(x 0 h h )f(x 0).
11
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x
2
(2)函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C是常数)
（3）(uv) uv uv,
记作 y, f(x),dy或df(x). dx dx
即 ylim f(x x)f(x)
x 0
x
或 f(x ) lif m (x h )f(x ).
h 0
h
注意: 1.f(x0)f(x)xx0.
★ 单侧导数
(1)左导数: f (x 0 ) x l im x 0 f(x x ) x f0 (x 0 ) lx i m 0 f(x 0 x x ) f(x 0 );
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 运用复合函数求导数法则的关键是正确地分析 函数的复合关系。“由外向里，逐层推进”。
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推广 设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
dydydudv. dx dudvdx