第二章 一元函数的微分学PPT课件

记作 y, f(x),dy或df(x). dx dx
即 ylim f(x x)f(x)
x 0
x
或 f(x ) lif m (x h )f(x ).
h 0
h
注意: 1.f(x0)f(x)xx0.
★ 单侧导数
(1)左导数: f (x 0 ) x l im x 0 f(x x ) x f0 (x 0 ) lx i m 0 f(x 0 x x ) f(x 0 );
(2)右导数:
f (x 0 ) x l im x 0 f(x x ) x f0 (x 0 ) lx i m 0 f(x 0 x x ) f(x 0 );
函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .
★ 导数的几何意义
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(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x
2
(2)函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C是常数)
（3）(uv) uv uv,
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整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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要求
1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经 济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程． 2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法 则，会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会 求函数的微分．
5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定 理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．
6．会用洛必达法则求极限． 7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大 值和最小值的求法及其应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导 数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近 线． 9．会描述简单函数的图形．
数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
dy 或df(x)
dxxx0
dx
, xx0
即 y x x 0 l x 0 i x y m l x 0 ifm (x 0 x x ) f(x 0 )
其它形式 f(x 0) lh i0m f(x 0 h h )f(x 0).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 运用复合函数求导数法则的关键是正确地分析 函数的复合关系。“由外向里，逐层推进”。
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推广 设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
dydydudv. dx dudvdx
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§2.1 导数与微分
内容重点：
1.导数的概念，导数的几何意义与经济意义 2.复合函数求导、隐函数求导、分段函数求导
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1、导数 定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函
几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0 , f (x0 ))处的 切线的斜率,即
f (x0 ) tan, (为倾角)o
yf(x)
T
M
x0
x
切线方程为 y y 0 f( x 0 )x ( x 0 ).
法线方程为
1 yy0f(x0)(xx0).
★ 可导与连续的关系
定理 凡可导函数都是连续函数. .可导一定连续，连续不一定可导。
f(x0)x l ix0 m f(xx ) x f0 (x0).
导数的定义本质上是一类特殊函数的极限问题，一般地，题设在一点可 导，利用导数在一点的定义。对分段函数在分段点的导数必须用左右导 数的定义讨论。
对于任x 一I,都对应f(着 x)的一个确定的 导数.这 值个函数叫做原 f(x)来 的函 导数 函 . 数
（6）隐函数的求导法则
方法：
如果由方程 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x) 可导, 则将 y = f (x) 代入方程中, 得到
F ( x, f (x) ) 0 求导时只须将y视为x的函数， 利用复合函数的求导法则，
★ 基本求导公式与求导法则
(1)基本初等函数的导数公式
(C) 0 (x) x1
( x) 1 2x
1 x
1 x2
(ax)ax lna (ex)ex
(loga
x)
1 xlna
(lnx) 1 x
(sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x (secx)secxtanx (cscx)cscxcotx
（4）(
Βιβλιοθήκη Baiduu) v
uv v2
uv
(v
0).
（4）分段函数求导时, 分界点导数用左右导数的定
义求，而在小开区间段上一般直接用初等函数的求
导法.
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(5)复合函数的求导法则
设 yf(u),而 u(x)则复y 合 f[ 函 (x)的 ]数 导数 d yd 为 ydu或y(x)f(u)(x).
dxdu dx
第二章 一元函数的微分学
内容
导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可 导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数 和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数．反函 数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L‘Hospital）法则 函数单调性 的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性．拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值