(优选)一元函数微分学ppt讲解

（一）求曲线的切线方程与法线方程
当
≠0时，法线方程为
-1/
（二）函数的单调性与极值
1 函数单调性
定理
2 函数的极值
定理（极值的必要条件） 设f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则f'(x0)=0.
（三）函数的最大值与最小值
设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有定义，x0∈[a,b],若对于任意x∈[a,b], 恒有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)),则f(x0)为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上 的最大值（或最小值），称点x0为f(x)在[a,b]上的最大值点（或最 小值点）。 注 极值与最值的区别
法线方程为：
o
y
y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
y f (x)
T
M
x0
x
可导与连续的关系
定理：可导→连续
（逆否命题）不连续→不可导
（逆命题）连续→可导？不一定
例：y=|x|在x=0处连续，但在x=0处 不可导。
y (0)
lim
x0
y(x) y(0) x0
x0 x
1
y (0)
lim
x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy(x) y(0) x0
★ f (x)在开区间(a,b)内的导函数为f '(x)
f '(a ) lim f '(x) xa
f '(b ) lim f '(x) xb
称为导函数的右极限 称为导函数的左极限
★ 设f (x)在闭区间[a,b]连续， 开区间(a,b)内的可导，记导函数为f '(x) 若f '(a 0)存在，则f (x)在a点右可导， 若f '(b 0)存在，则f (x)在b点左可导
导数值。构成一个函数关系。
称函数f (x)的导函数，记作y, f (x), dy 或 df (x) . dx dx
明显:
f (x0 )
f (x)
。
x x0
★ 单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
若在区间(a,b)内，恒有f′(x)=g′(x)，则在(a,b)内必有f(x)=g(x)+C, 其中C为某个常数。
练习
p39 例47 例48
第四节 洛必达法则
可转化为洛必达的形式
例
例
例
解
例 例
练习 p43 例51 例57
第五节 导数的应用
• （一）求曲线的切线方程与法线方程 • （二）函数的单调性与极值 • （三）函数的最值 • （四）曲线的凸凹性
（优选）一元函数微分学ppt讲解
第一节 导数
（一） 导数的概念与性质
定义 设函数 y f (x)在点 x0的某邻域有定义，
当自变量 x在 x0处取得增量x时，
函数 y的增量y f (x0 x) f (x0)； 如果 y 当x 0时的极限存在，
x
称函数y f (x)在点x0处可导，
称这个极限 lim x0
极值是一个局部概念 ，只是某个点的函数值与它附近点的函数值 比较最大或最小，并不意味着它在函数整个定义域内最大或最小。 而最值是对整个定义域而言，是一个整体性的概念。
函数最值求法步骤：
(1)求出 ) (xf的所有极值点(驻点和导数不存在 的点); (2)计算并比较f(x)在所有极值点及两个端点处的值,其中最大者就 是最大值,最小者就是最小值。
且f '(a) f '(a 0)，f '(b) f '(b 0)
几何意义
f (x0 )表示曲线 y f (x)
y
在点M (x0 , f (x0 ))处的
切线的斜率,即
f (x0 ) tan , (为切线与x轴正向的夹角) o
y f (x)
T
M
x0
x
切线方程为：
y
y y0 f ( x0 )( x x0 ).
由参数方程确定的函数求导法则
对数求导法
练习
• p28 • 例1 例5 例8 例16 例23 例24 例25 例31 例36
第二节 微分
先看个例子：
微分的运算法则
复合函数的微分
这个性质称为一阶微分形式不变性。 练习 p36 例37 例40 例44
第三节 微分中值定理
推论 若函数f（x)在区间I上导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数。
y 为函数 y x
f
(x)在点 x0处的导数
记为y
，dy xx0 dx
或 df (x)
x x0
dx
x x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
（四）曲线的凸凹性
凹
凸
定理1
曲线的拐点
记为y
，dy xx0 dx
或 df (x)
x x0
dx
x x0
关于导数的说明：
★ 导数是因变量在点x0处的变化率，它反映了 因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. ★ 如果函数 y f (x)在开区间I内的每点
处都可导，就称函数f (x)在开区间I内可导.
★ 对于任一x I ,都对应着f (x)的一个确定的
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 )和右导数 f( x0 )都存在且相等.
★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
x0 x
1
(二)导数的运算 • 基本初等函数的导数公式
导数的四则运算法则
设u=u(x),v=v(x)都可导，则
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
隐函数求导法则
设y=f(x)由方程F(x,y)=0确定，求y′,只需直接由方 程F(x,y)=0关于x求导，将y当做中间变量，依复 合函数链式法则求之。