数的开方及二次根式
第四讲：数的开方及二次根式
数的开方与二次根式知识点：平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化教学目标：1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根；会求实数的平方根、算术平方根和立方根；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式；掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
教学重难点：1.平方根、算术平方根、立方根的概念（有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题）；2.最简二次根式、同类二次根式概念（有关习题经常出现在选择题中）；3.二次根式的计算或化简求值（有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多）。
教学过程：1、知识要点：考点1 平方根、算术平方根与立方根：若)0(2≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，记作a ±；正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0。
当0≥a 时，a 的算术平方根记作a 。
注意：1、非负数是指正数或0，常见的非负数有：(1）绝对值：0≥a ；(2)实数的平方：02≥a ；(3) 算术平方根：)0(0≥≥a a 。
2、如果a 、b 、 c 是实数，且满足02=++c b a ， 则有0=a，0=b ，0=c考点2 二次根式的有关概念：1、二次根式：式子)0(≥a a 叫做二次根式（注意被开方数只能是正数或0）； 二次根式a 定义中的“a ≥0”是定义的一个重要组成部分，不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意义．在具体问题中，一旦出现了二次根式a ，就意味着a ≥0，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a 既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如：3、ab (ab ≥0)、3+x (x ≥－3)都是二次根式．2、最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式；最简二次根式，满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．3、同类二次根式：①化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式； ②二次根式的性质： )0()(2≥=a a a ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||2a a a a a a )0;0(≥≥⋅=b a b a ab )0;0(>≥=b a ba b a 考点3 二次根式的运算：1、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并；2、二次根式的乘法： 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a（二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行；两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式）；3、二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)；把分母的根号化去，叫做分母有理化。
开方及二次根式知识点
开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方是数学中常见的运算符号，表示一个数的平方根。
而二次根式则是指包含开方的代数式。
在学习数学过程中，掌握开方及二次根式的知识是非常重要的。
本文将就开方及二次根式的相关知识进行详细介绍。
我们来看看开方的定义。
对于一个非负实数a，如果实数b满足b 的平方等于a，即b²=a，那么b就是a的平方根，记作√a，其中√符号称为根号。
如果a是一个负数，那么它的平方根定义为复数，可以表示为±√(-a)，其中±表示取正负号。
开方的运算可以用来求解方程、计算距离等实际问题，是数学中的重要工具。
在代数中，我们经常会遇到二次根式，即含有开方的代数式。
如√2、√3等都属于二次根式。
二次根式通常可以简化，使其形式更加简洁。
简化二次根式的方法是利用数的乘法性质，将开方中的被开方数进行因式分解，找到一个完全平方数因子，然后将其提出开方符号。
对于√12，可以找到一个完全平方数的因子4，即√12=√(4*3)=2√3。
这样就化简成了更加简洁的形式。
在进行运算时，需要注意开方及二次根式的运算规则。
首先是同底数相乘的运算法则，即√a*√b=√(a*b)，这条规则适用于任意实数a、b。
其次是开方的乘法公式，即√a±√b=√(a±2√(a*b)±√b)，这个公式在计算开方时经常会用到。
如果要进行开方的除法运算，可以采用类似的方法，将被开方数分解成较小的因子，然后进行化简。
运用这些运算规则，可以更加方便地进行开方及二次根式的运算。
除了基本的开方运算，还有一些特殊的开方，如立方根、四次根等。
立方根表示一个数的三次方根，记作³√a，其运算规则与平方根类似。
比如³√8=2，因为2³=8。
四次根则表示一个数的四次方根，记作⁴√a，其运算规则也可以类似的推出。
这些特殊的开方可以在数学问题中发挥重要作用，例如求解立方程等。
数的开方、二次根式复习
值范围常转化为不等式（组）.
二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且 x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
方法：分母有理化
4．二次根式的运算 a b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)；
a b
a ＝__b__(a≥0，b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__， 再将__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
考点分类
一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
∵16﹤17﹤25
∴4﹤ 17 ﹤5
则 - 5﹤ 17 ﹤- 4 所以b = - 4
∴a – b = 5 - ( - 4 ) = 9 a – b的平方根为±３
知识梳理
二 次 根 式
二次根式
三个概念 最简二次根式
两个公式
两个性质 四种运算
同类二次根式
1. ab a ba 0,b 0
4、实数与数轴：
知 识
无限不循环小数叫做无理数。
如：2，3，5，，3 2，3 3 ,2.030030003……等。
要 5.有理数与无理数统 有理数有限小数或无限循环小数
实数
负有理数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
A.3
B.-3
C.1
D.-1
二 二次根式的非负性的应用
4. 若实数 x，y，m 满足等式 3x 5y 3 m +（2x+3y﹣m）2=
第2节 数的开方与二次根式
1．当 x 取何值时，二次根式有意义． (1) 3＋x ：__x_≥__－__3____；
x－1 (2) 3－x ：__x_≥__1_且__x_≠__3_____；
2．(1)8 的立方根是__2__，3 －8 ＝___－__2__；
(2)若 x 的平方根是±8，则 x 的立方根是_4___；
(3)(易错题) 16 的平方根是__±__2__，
(8) 14 × 7 ＝_7___2____．
4．若|a－1|＋(b＋2)2＋ c－3 ＝0，则 a＝_1___，b＝_－__2_，c＝_3___．
二次根式及其性质(北部湾5年3考)
例 1 (2024 南宁模拟)如果二次根式 a 有意义，那么 a 的值可以是( D ) A．－3 B．－2.5 C．－1 D．1
例 6 (2024 南宁模拟)计算：9＋(－3)＋ 4 ×(5－2). 解：原式＝9－3＋2×3＝9－3＋6＝12.
二次根式的估值(2024.14)
例 7 估算 7 的值是在( B ) A．1 到 2 之间 B．2 到 3 之间 C．3 到 4 之间 D．4 到 5 之间
例8
(2024 广西)写出一个比 3 大的整数，可以是
__2_(_答__案__不__唯__一__)_____．
(2020 桂林)若 x－1 ＝0，则 x 的值是( C ) A．－1 B．0 C．1 D．2
例 2 (2021 桂林)下列根式中，是最简二次根式的是( D )
A．
1 9
B． 4
C． a2
D． a＋b
(2024 钦州一模)下列二次根式中，化简后能与 2 进行合并的二次根式 是( C )
A． 4 B． 6 C． 8 D． 12 例 3 (2023 广西) 9 ＝__3__．
数的开方与二次根式
数的开方及二次根式
哎，说起数的开方跟二次根式，这事儿咱们得扯扯清楚。
在数学里头，数的开方，就好比是把一个数儿，咔嚓一下，劈成好多相等的部分，看能劈成几份儿，每份儿是多少。
比如说，9的开方，那就是3嘛，因为3乘3等于9，简单得很。
二次根式呢，听起来有点儿玄乎，其实也不难。
就是把个平方根摆在那儿，再跟其他数儿一起搅和搅和，搞出些新花样来。
比如说，根号下面有个4，再加上个5，写成式子就是√4+5，结果就是2+5，等于7。
当然，这只是个简单的例子，实际运用起来，可能要复杂得多。
在计算二次根式的时候，咱们得注意点儿，根号下面的数儿得是非负的，要不然就没得解了。
还有啊，根号跟根号之间不能直接相加，得想办法把它们变成同类项，才能相加或者相减。
比如说，√2跟√8，看着不一样，其实√8可以变成2√2，这样一来，它们就能相加了。
总的来说，数的开方跟二次根式，都是数学里头挺重要的东西。
虽然刚开始接触的时候，可能会觉得有点儿难，但是只要多练练，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门了。
毕竟，数学这东西，还是得靠多练，才能熟能生巧嘛。
所以，大家伙儿，要是遇到了数的开方或者二次根式的问题，别怕，大胆地去做，相信你们一定能行的！。
第4节 数的开方与二次根式
1.（ a ）2＝a（a② ≥0
）
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运 算
二次根式 ab a 乘法： 除法： a ⑤
b
加减：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类
b
(a≥0,b≥0)
a b (a≥0,b＞0)
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2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如4<7<9 估 值 3.对以上两个整数开方，如 4 ＝2， 9 ＝3 4.确定这个根式的值在这两个整数之间，如2< 7 <3
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们 的被开方数相同，则把这几个二次根式叫做同类二次根式. 如 8 2 2 ，所以 8 与 2 是同类二次根式 未完继续
a (a≥0) a | a | 2. -a a≤0) ③ _____( 性 3. ab a b （a≥0,b≥0） 质 a a（a≥0,b④ ＞0 ） 4. b b 5.双重非负性：
1.先对根式平方,如（ 7 ）2=7
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第一章
数与式
第4节 数的开方运算 二次根式 估值
定 义 及 其 性 质
定义：形如 a （a≥0）的式子，其中a叫被开方数
有意义的条件：被开方数大于或等于零 最简二次根式同时满足两个“不含”条件 ： 1.被开方数不含① 分母 ，分母中也不含二次根式
2020中考复习第02课时数的开方与二次根式
,立方根等于本身的数为±1,0.
考点聚焦
考点二 二次根式的相关概念和性质
1.二次根式:形如 (a≥0)的式子叫做二次根式.
2.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于④
0
.
3.最简二次根式
必须同时满足以下两个条件:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
如: 5, 2 + 1是最简二次根式,而 8,
[解析]∵9<13<16,3.52=12.25,
∴3.5< 13<4,
A.4
B.5
C.6
D.7
∴与 13最接近的整数是 4,
∴与 10- 13最接近的整数是 6,故选 C.
考点聚焦
考向五 二次根式的性质
例 7 若在数轴上表示实数 a 的点如图 2-1 所示, [答案] 3
2
则化简 (-5) + -2 的结果为
考点聚焦
例 4 下列根式中,与 3是同类二次根式的是 ( B )
A. 24
C.
3
2
B. 12
D. 18
考点聚焦
| 考向精练 |
下列各式中,哪些是同类二次根式?
0.5,2
1
7
2 3 (a≥0,x≥0), 50 2 (x≥0,y≥0).
,
12,
75,1
,
2
3
25
1
解:∵ 0.5=
2
2,2
1 2
,
12,
75是同类二次根式,
2
3
考点聚焦
考向三 二次根式的化简与计算
例 5 (1) [2019·扬州]计算:
2016初中数学基础知识讲义06—数的开方及二次根式
数的开方及二次根式1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、(2014东营( ) A.±3 B.3 C.±9 D.93、（2015=_____ 4、（2015=_____1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、（2015的值是（ ）A ．±5 B．5 C ．–5 D ． 6253、（2014菏泽）下列计算中，正确的是（ ）A ．a 3•a 2=a 6 B ．（π﹣3.14）0=1 C ．133-=- D 3?4、（2015南京）4的平方根是 ；4的算术平方根是 （2015山东潍坊模拟）4 的算术平方根是5、（2015（20156、（2015（2015甘肃武威）64的立方根是_____7、（2015随州）4的算术平方根是 ，9的平方根是 ，﹣27的立方根是8、（2015＝ 9、（201401)+=初中数学基础知识讲义—数的开方及二次根式考点2：二次根式概念:式子a （ ）叫做二次根式。
称为二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数.由算术平方根和二次根式的意义，只有当a≥0．．．，当a ＜0①二次根式a 必须注意a_ __o 这一条件，其结果也是一个非负数即：a _ __o ， ②二次根式a （a≥o）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式考点一：二次根式有意义的条件1、（2015四川甘孜）使二次根式的有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ＞1 C ．x ≥1 D ． x ≠12、（2015武汉）若代数式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范为是（ ）A ．x ≥－2B ．x ＞－2C ．x ≥2D ．x ≤21、(2015南京)x 的取值范围是 ______2、（2015x 的取值范围是3、（2015四川乐山）函数y =x 的取值范围是4、（2015湖南衡阳）函数y =x 的取值范围为（ ）A ．x ≥0 B ．x ≥－1 C ．x ＞－1 D ．x ＞1考点3：二次根式的性质 ： ⑴； ⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；= （0,0a b吵）；= （0,0a b?）.a ===，一般情况下二次根式除法运算过程就要进行分母有理化。
数的开方与二次根式
数与式
第 2 讲 数的开方与二次根式
内容 索引
备考基础 重点突破
温故知新，明确考向 分类讲练，以例求法
易错防范
辨析错因，提升考能
备考基础
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考点梳理
平方根、算术平方根与立方根
1.平方根： 一个数 x 的 平方等于 a， 那么 x 叫做 a 的平方根， 记做 x＝± a. 2.算术平方根：如果一个正数 x 的平方 等于 a，那么 x 叫做 a 的算术平 方根，记做 x＝ a.0 的算术平方根是 0. 3.立方根：如果一个数 x 的 立方等于 a，那么 x 叫做 a 的立方根，记做 x＝ a.
解
答案
类型三
二次根式的计算
【例 3】 (1)(2017· 滨州)下列计算： ①( 2)2＝2， ② －22＝2， ③(－2 3)2 ＝12，④( 2＋ 3)( 2－ 3)＝－1，其中结果正确的个数为( D )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
点拨
根据二次根式的性质可得①、②、③正确；根据平方差公
式可得④正确．
点拨
答案
9 (2)(2017· 天津)计算(4＋ 7)(4－ 7)的结果等于________ ． 点拨 根据平方差公式计算即可．
解
答案
【变式 3】
(1)(2017· 黄冈)计算： 27－6
1 3 ． 的结果是 ________ 3
解
3 原式＝3 3－6× ＝3 3－2 3＝ 3. 3
3
特别提醒
(1)± a表示 a 的平方根， a表示 a 的算术平方根，－ a表示 a 的算术 平方根的相反数， a表示 a 的立方根． 3
(2)开平方运算与平方运算是互为逆运算的关系．常用平方运算来检
数的开方与二次根式
知识梳理要点回顾一、平方根、算术平方根、立方根1．若x 2=a （a 0），则x 叫做a 的 ，记作±a ； 叫做算数平方根，记作 。
2．平方根有以下性质：①正数有两个平方根，他们互为 ；②0的平方根是0；③负数没有平方根。
3．如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根，记作3a 。
二、二次根式1．二次根式的有关概念⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是 ．并且根式.⑵ 最简二次根式被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式．(3) 同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质⑴ a 0（a ≥0）；⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；⑷ =ab （a ≥0, b ≥0）； ⑸=b a （a ≥0,b ＞0）. 3．二次根式的运算(1) 二次根式的加减：①先把各个二次根式化成 ；②再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变.(2) 二次根式的乘除法二次根式的运算结果一定要化成 。
考点归类 过关检测考点1 二次根式的有关概念例题1（2011年广东省）使2-x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______ _______．【变式测试】1. （2010湖北襄樊）下列说法错误的是（ ）A ．的平方根是±2B ．是无理数C ．是有理数D ．是分数2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是( )A. B. C. D.3．（2010山东济宁） 4的算术平方根是（ ）A . 2B . －2C . ±2D . 44. （2011年黄冈市）要使式子2a +有意义，则a 的取值范围为_____________________． 考点2 二次根式的化简例题2 （2011年茂名市）化简)212(8-⨯ 【变式测试】1.（2010山东聊城）化简：42712____________3++=． 2.化简：(1)； (2)； (3).3.化简：a （a ＋2）－ a 2b b；考点3 二次根式的运算例题3 （2011年浙江杭州市）下列运算正确的是（ ）()233-=- B.233-=- C. ()233±=± 233=±【变式测试】1．（2010四川眉山）2(3)-A ．3B ．3-C ．3±D ． 92．（2010广西河池）82 】A ．6B 6C ．2D 2中考测试 全面提升基础测试1.（2010江苏南通）9的算术平方根是A ．3B ．－3C ．81D ．－812．（2010江苏南通） 36x -x 的取值范围是A ．2x -≥B ．2x ≠-C ．2x ≥D ．2x ≠3.（2010浙江嘉兴）设0>a 、0>b ，则下列运算中错误．．的是（ ） A.b a ab ⋅= B.b a b a +=+ C.a a =2)( D.b a b a =4.（2010 福建德化）下列计算正确的是（ ）A.20=102B.632=⋅C.224=- 3=-5.（2010广东湛江）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A.21B.4C. 3D. 8综合提升6.（2010 四川绵阳）要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．21＜x ≤3 7.（2010广东茂名）若代数式有意义，则x 的取值范围是A ．21≠>x x 且B ．1≥xC ．2≠xD ．21≠≥x x 且8.（2010四川广安）若|2|0x y -=，则xy 的值为A ．8B ． 2C ．5D ．6-9.（2010湖北荆门）化简x x -+-11 _______．新题看台10.(2011成都市)在函数y =x 的取值范围是（ ）A.12x ≤ B. x ＜12 C. x ≥ 12 D. x ＞1211. （2011年芜湖市）函数y =x 的取值范围是( ) A 6x ≤ B 6x ≥ C. 6x ≤- D. 6x ≥-12. （2011年威海市）计算________。
第一单元 数与式 第5课时 数的开方及二次根式
第一单元 数与式第5课时 数的开方及二次根式考点知识清单考点一 数的开方1.算术平方根：非负数x 满足x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的算术平方根，记作①____________。
2.平方根：若x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的平方根，记作②_____________。
3.立方根：如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根），记作③_____________。
【温馨提示】1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根与算术平方根都是0本身，负数没有平方根。
2.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.考点二 二次根式的有关概念1.二次根式：式子a （④__________）叫做二次根式。
【温馨提示】a （a ≥0）其实就是a 的算术平方根。
2.最简二次根式：同时满足以下两个条件：被开方数都不含⑤___________，也不能含能开得尽方的因数或因式。
【温馨提示】分母中含有根式的不是最简二次根式。
如21的最简形式应为22。
考点三 二次根式的性质三个重要性质（1）a （a ≥0）是⑥_______________；（2）=2)(a ⑦______________（a ≥0）;（3）=2a ⑧________________。
积的算术平方根 )0,0(≥≥⋅=b a b a ab商的算术平方根 ).0,0(≥>=b a ab a b【温馨提示】2)(a 与2a 的被开方数的取值范围是不相同的，前者a ≥0，后者a 为任意实数。
考点四 二次根式的运算【温馨提示】二次根式运算的结果必须是最简二次根式，若含有分母，则分母中不能含有根号。
题型归类探究类型一 数的开方与估算（易错点）【典例1】（1）（2018·安顺）4的算术平方根是（ ） A.2±B.2C.±2D.2（2）（2018·昆明）黄金分割数215-是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面。
数的开方与二次根式
数的开方与二次根式1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。
用数学语言表达即为：若a x =2，则x 叫做a 的平方根。
a 的平方根记作: ,读作“根号a ”（2）平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
②0有一个平方根，它是0本身。
③负数没有平方根。
（3）求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方的运算。
+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算。
（4）平方根的表示方法：a 表示正数a 的正的平方根-a 表示正数a 的负的平方根 练习：求169的平方根 将1.44开平方2、算术平方根（1）算术平方根的定义：正数a 有两个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根， 记作 “a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数。
（2）算术平方根的性质：①正数a 的算术平方根是一个正数。
②0的算术平方根是0。
③负数没有算术平方根 。
（3）重要性质： 练习：求25的算术平方根 求的算术平方根 a 2±±或a ())0(2≥=a a a a a =2a ±⎭⎬⎫记作3、立方根（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。
用数学语言表达即为：若a x =3,则x 叫做a 的立方根。
记作： ,读作“三次根号a ” 。
（2）立方根的性质：①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0。
（3）重要性质：（4）求一个数的立方根的运算，叫做开立方运算。
立方运算与开立方运算互为逆运算。
练习：求81-的立方根 求64的立方根4．二次根式的有关概念(1) a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意： 在二次根式a 中，字母a 的取值范围，必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数。
第5讲数的开方与二次根式
(1)[2012· 雅安] 9的平方根是( C ) A．3 B．－3 C．±3 D．6 2 (2)[2011· 日照] (－2) 的算术平方根是( A A．2 B. ±2 C．－2 D. 2
)
第5讲┃ 归类示例
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平 方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和 0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根 与它同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化 简再进行开方运算．
2
(
C
)
2．[2011· 菏泽] 实数a在数轴上的位置如图5－3所示， 则 （a－4） ＋ （a－11） 化简后为 图5－3 A. 7 B. －7 C. 2a－15 D. 无法确定
2 2
(
A)
3．[2012· 呼和浩特] 实数a、b在数轴上的位置如图5－ 4所示，则 （a＋b） ＋a 的化简结果为________．
类型之二
二次根式的有关概念
命题角度： 1．二次根式的概念； 2．最简二次根式的概念．
x [2012· 德阳] 使代数式 有意义的 x 的取 2x－1 值范围是 (C ) 1 A．x≥0 B．x≠ 2 1 C．x≥0 且 x≠ D．一切实数 2
第5讲┃ 归类示例
此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式 的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不 等式组，转化为求不等式组的解集．
B
)
第5讲┃ 归类示例
(1)常见的非负数有三种形式：|a|， a，a . (2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
2
第5讲 回归教材
第5讲 数的开方及二次根式
ab(a≥0，b≥0) a· b(a≥0，b≥0)
； ； ；
a b(a≥0，b＞0)
a b＝
a (a≥0，b＞0) b
．
5．最简二次根式 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式， 需满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式． 6．二次根式的估值 根式估值时，一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开 得尽方的整数， 并对其进行开方， 就可以确定这个根式在哪两个整数之间． 例 如，估算 17在哪两个整数之间时，先对 17平方，找出与 17 相邻的两个开 得尽方的整数 16 和 25，因为 16<17<25，所以 16< 17< 25，即 4< 17<5.
[对应训练] 5 －1 2 介于( C ) A．0.4 与 0.5 之间 B．0.5 与 0.6 之间 C．0.6 与 0.7 之间 D．0.7 与 0.8 之间 5．(1)(2015· 南京)估计 (2)(2015· 新疆)估算 27－2 的值( C ) A．在 1 到 2 之间 B．在 2 到 3 之间 C．在 3 到 4 之间 D．在 4 到 5 之间 (3)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值．
【点评】 (1)一个正数的算术平方根是正数； (2)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
[对应训练] 1．(1)(2016· 杭州) 9＝( B ) A．2 B．3 C．4 D．5
3 ． (2)(2016· 宁波)实数－27 的立方根是－ ____ 2 (3)已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4，则 a 的值是____ ．
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝ (a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
2、数的开方与二次根式PPT课件
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8
三年中考 ·讲练
平方根、算术平方根、立方根
【例 1】 (2016 泰州)4 的平方根是( A )
A．±2
B．－2
C．2
D．±12
【思路点拨】 本题考查平方根．直接利用平方根的定义分析得出答案．
【解答】 4 的平方根是± 4＝±2.
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9
1.(2014 江西)计算： 9＝__3__. 【考查内容】算术平方根． 【解析】∵32＝9，∴ 9＝3.
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10
二次根式的运算
【例 2】 (2016 桂林)计算 3 5－2 5的结果是( A )
A． 5
B．2 5
C．3 5
D．6
【思路点拨】 本题考查二次根式的加减运算. 直接利用二次根式的加减运算法 则求出答案．
【解答】 原式＝(3－2) 5＝ 5.
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12
2.(2016 黄冈)计算：|1－ 3|－ 12＝__－__1_－____3____.
【考查内容】二次根式的运算． 【解析】|1－ 3|－ 12 ＝ 3－1－2 3 ＝－1－ 3.
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2024年中考第一轮复习 数的开方与二次根式 课件
3
B. -8=2
( D )
C.-a
1
=
-
D.- 64=-8
■ 知识梳理
正数 a
平方根
0
负数 b
等于其本身的数
0
没有
0
0
没有
0,1
0± (一正一来自)算术平方根立方根
3
3
0,1,-1
考点二
二次根式的相关概念及性质
4.[2020·济宁]下列各式是最简二次根式的是 ( A )
个数据应是 -3 (结果需化简).
7.[2020·湖州]计算: 8+| 2-1|.
解:原式=2 2 + 2-1=3 2-1.
最简二
(1)被开方数中的因数是整数,因式是整式;
次根式
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式
(1) ≥0,a≥0(双重非负性);
二次根式
(3)
2 =|a|=
的性质
② a ( ≥ 0),
(4) =④
③ -a ( < 0);
(5)
=⑤
(2)( )2=① a
(a≥0,b>0)
(a≥0);
求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
考点一
平方根与立方根
1.[2020·南京]3 的平方根是
A.9
( D )
B. 3
2.[2020·常州]8 的立方根是
C.- 3
D.± 3
( C )
A.2 2
B.±2 2
C.2
D.±2
数的开方及二次根式
开平方运算的运算
律
开平方运算遵循一些基本的运算 律，如结合律、交换律等。这些 运算律可以帮助我们简化复杂的 开平方运算。
开平方运算的性质
非负性
正数的平方根是正数或零，负数没有 实数平方根。这是因为正数的平方是 正数，而负数的平方也是正数，所以 负数没有实数范围内的平方根。
互反性
一个数的平方根与它的相反数的平方 互为相反数。例如，4的平方根是±2， 而-4的平方根是±(-2)，它们的值互为 相反数。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，这是二次根式的基本性质。此外，算术平方根具有非负性，即√a≥0。同时，乘 方运算也有其特定的性质，如√(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）和√(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）。
二次根式的简化
总结词
通过因式分解、配方法等手段，可以简化二次根式。
详细描述
简化二次根式的方法有多种，如因式分解法、配方法等。通过因式分解，可以将复杂的二次根式化简 为简单的形式。配方法则是将二次根式转化为完全平方的形式，从而简化计算。这些方法在数学中有 着广泛的应用，有助于简化计算过程和提高解题效率。
数的开方及二次根式
目录
• 数的开方 • 二次根式 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用
01
数的开方
平方根的定义
1 2
平方根
如果一个数的平方等于给定的数，则这个数被称 为给定数的平方根。例如，4的平方根是±2，因 为2^2=4和(-2)^2=4。
非负平方根
正数和0的平方根都是非负的。例如，9的平方根 是3，因为3^2=9。
使其具有最简形式。
二次根式的化简求值
要点一
总结词
掌握二次根式的化简求值方法，能够将复杂的二次根式化 简为最简形式，并求出其值。
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《数的开方及二次根式（复习）》教学设计
宜良县第六中学 袁志刚
教学内容：人教版义务教育实验教科书“数与代数”（八上）第十三章、（九 上）第二十一章。
课型：复习课 课时：1课时
教学目标：
1、 能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简.
2、 能够比较熟练进行二次根式的运算.
3、 进一步渗透化归思想、分类讨论思想及进行逆向思维训练。
教学重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算。
教学难点：二次根式的化简及灵活应用公式
教具：多媒体课件、《导学案》
教法：互动式教学法
教学过程
（教师寄语：一千个愿望，一千个计划，一千个决心，不如一个行动！）
、小试牛刀:
1. 当X _ <3__时，J 3—X 有意义。
2. 3 -8 二-2 ；
3.化简：二 _2j5 ___
5. 计算屈乂弱-屈二 _屈_ .
6. 把分母中的根号化去（分母有理化）：
丄二 迺 丄二 週 価二 迈
（1） 匸 ________ . _________ ； （ 2 、、「「 _____ . _________ ； （ 3）二」- ____ - _________ 4 •比较大小：（1） 13— 3 2 ⑵ _2命 __ 〉 __ —3^/2
7.若：r.有意义，则,'L的取值范围是x>6
匚的结果是（
&化简
D •以上答案都不对
(A
a>0—>0
D .丄■一
10.一一「的值为（B
C
l
冷-2
11.若代数式「丨有意义，则.［的取值范围是
2
A. 一且
B.
12.计算2* (3—1)2+ 1 +
解：原式= 匕注+ . 2+ 1+ 3 —2
=2—,3+ 2 + 1+ 3— 2 = 3.
5 - 8= 0则以x, y的值为两边长的等腰三角13.［2012攀枝花］已知实数x, y满
形的周长是（B
A. 20 或16 B .20 C. 16 D .以上答案均不对
二、考点聚焦:
考点1 平方根、算术平方根与立方根一个数x的平方—等于a,那么x叫做a的平方根，记作
一个正数x的平方.等于a,则x叫做a的算术平方根，记作.a , 0的算术平方根是0
一个数x的_立方等于a,那么x叫做a的立方根
考点6 二次根式的大小比较
考点2 二次根式的有关概念
⑴ 式子,a(a - 0)叫做二次根式•注意被开方数
a 只能是 非负数 .
⑵最简二次根式
同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数不含分母 (3) 同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数 相同的 几个二次根式，叫做同类二次根式.
考点3 二次根式的性质
⑴ a 0 ;
⑵■. a = _________ ( a > 0)⑶■■ a 2 = ______________
⑶...ab = ( a _ 0,b _ 0 )；
⑷ J ? = ____________ ( a X 0,b a 0 )
(1)二次根式的加减:
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方 数不变。
(2) 二次根式的乘法： J.■: 小「Ik - -'Hi
(3) 二次根式的除法：
(4) 二次根式的混合运算：
先乘方(或开方)，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运 算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.
考点5
把分母中的根号化去(分母有理化) 一般常见的互为有理化因式有如下几类：
考点4
二次根式的运算［…科，网］
=(a >0, i > 0)
（1） 若 J '■ II ，则有-/-■ - ； （ 2 ）若 心- / ,则有；-.；.
说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小•注意：
（1）负号不能移到根号内；（2）根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内.
三、爱拼才会赢：
（2012 .云南）12.函数的自变量x 的取值范围是 ________________________________________________________________ （2011 .昆明）6、列各式运算中，正确的是（ ）
A 、3a?2a=6a
B 、忑-2 =2-亞
C 、V32 —晶=2
D 、（2a+b ） （2a -b ） =2a 2— b 2
（2011.昆明）10、当x ____________ 时，二次根式、、X - 5有意义.
（2011.昆明）16、计算：..12 •（丄）」-（.,2-1）0 （-1）2011.
（2010.昆明）7.下列各式运算中，正确的是 （ ）
A . (a b)^a 2 b 2
B . (3)2 =3
3 2 6
D . (—) r(a=0) a a
(2010.昆明)16.计算：(-1 )' - -3 -2010° ( 一2)2
4
四、认识自我: 3 4 12 a a a （2010.昆明）13.计算:
二次根式化简中的整体思想
教材母题：人教版九上P18第6题
已知加=何+1』=疗一I,求下列各式的值:
(1 )x + 2xy+y2；(2).v3- y.
解：因为x= /T+ l,y= /T-l, 所以x + y = 2/T,r -y =2.
则(I )x2+ 2xy + y2二(x+y)2二(2$)' = 12* (2)x2-/ = (x+y)(x-v) =4/T. 中考变式
(2012.云南)&若a2「b2= - , a —b =丄，则a + b 的值为( )
4 2
1 1
A B . C . 1 D . 2
2 2
五、课后作业：《迎考精练》。