实数的开方与二次根式(总复习)
(中考数学)实数与二次根式(知识点梳理)(记诵版)
第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。
3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。
二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。
2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。
3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。
三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。
开平方运算是已知指数和幂求底数。
2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。
3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。
考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。
2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。
3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。
5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。
数的开方与二次根式(含答案)
数的开方与二次根式【回顾与思考】【例题经典】理解二次根式的概念和性质 例1 （1）（20062x-x 取值范围是________． 【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非负． （2）已知a 31a a a--【点评】要注意挖掘其隐含条件：a<0．掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法例2（20063 ） A 324.12..182B C D 【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决问题．掌握二次根式化简求值的方法要领例3 （2006年长沙市）先化简，再求值: 若33ba aba b-+【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体代入．【基础训练】116_______，-164的立方根为_______． 2．当x_______25x +1x 有意义；当x________2x -无意义．3．（2006a ．4．（2005）=_________．5．（2006年烟台市）若x+1x =5=______．6．下列叙述中正确的是（ ）A ．正数的平方根不可能是负数B ．无限小数都是无理数C ．实数和实数上的点一一对应D ．带根号的数是无理数 7．（2005年福州市）下列各式中属于最简二次根式的是（ ）A C8．（2006年恩施自治州）若m 的值为（ ） A ．20511315...32688B C D9．（2006=成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2 B ．x ≥0 C ．x>2 D ．x ≥210．（2005年长沙市）小明的作业本上有以下四题：；105a a =；③21a a==；④=a ≠0），做错的．．．题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④11．对于实数a 、b ，则（ ）A ．a>bB ．a<bC ．a ≥bD ．a ≤b12【能力提升】13．（1）若0<x<1．（2，则x 的取值范围为__________．14．（1）（2005你发现的规律，判断Q =n•为大于1的整数）的值的大小关系为（ ）A ．P<QB ．P=QC ．P>QD ．与n 的取值有关（2（a>0，b>0）分别作如下的变形：== 这两种变形过程的下列说法中，正确的是（ ）A ．甲、乙都正确B ．甲、乙都不正确C ．只有甲正确D ．只有乙正确（3）（2006年桂林市）观察下列分母有理化的计算:==== ……，从计算结果中找出规律利用规律计算:（2007++）=_________．15．化简式计算:（1）（200621)（2）（2005年山东省）已知求22[()]33x y x y x x y x +---+的值．【应用与探究】16．（2006年内江市）对于题目“化简求值：1a ，其中a=15”甲、•乙两人的解答不同．甲的解答是：1a =1a 112495a a a a a =+-=-=；乙的解答是：1a =1a 1115a a a a =+-==， 谁的解答是错误的是，为什么？答案:例题经典例1：（1）x<2 （2）（1-a 例2：B例3：a b a b+-，值为43考点精练1．±2 -14 2．x ≥-52且x ≠0，x ≤2 3．．-25．C 7．A 8．•D 9．C 10．D 11．D12．-32．（1）2x （2）4≤x ≤614．（1）A （2）D （3）200615．•92② 2 16．乙解答是错误的，∵a=15， ∴│1a -a │=1a -a ，而不是a-1a．。
中考复习之 数的开方与二次根式
[解析] 9的平方根是± 3，(－2)2的算术平方根是2.
第5讲┃ 归类示例
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平 方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和 0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根 与它同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化 简再进行开方运算．
2 1 1 2 计算： ×( 3－1) ＋ ＋ 3－ －1. 2 2 2－1 4－2 3 解：原式＝ ＋ 2＋1＋ 3－ 2 2 ＝2－ 3＋ 2＋1＋ 3－ 2＝3.
第5讲┃ 归类示例
利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然 后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结 合在一起考查．
第5讲┃ 考点聚焦 考点5 把分母中的根号化去
常用形式 及方法
1· a 1 a (1) ＝ ＝ a a· a a a＋b 1 (2) ＝ a＋b a＋b
第5讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
第5讲┃ 归类示例
[2012· 巴中] 先化简，再求值：
1 1 x x2＋2x＋1 1 － ，其中x＝ . x x＋1· 2 2 2 x＋1 －x－1
x x＋1 x＋1 1 解：原式＝ · ＝ . 4x xx＋1 4xx＋1 1 ①当x＋1＞0时，原式＝ ； 4x 1 ②当x＋1＜0时，原式＝－ . 4x 1 ∵当x＝ 时，x＋1＞0， 2 1 ∴原式＝ . 2
数的开方、二次根式复习
值范围常转化为不等式（组）.
二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且 x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
方法：分母有理化
4．二次根式的运算 a b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)；
a b
a ＝__b__(a≥0，b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__， 再将__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
考点分类
一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
∵16﹤17﹤25
∴4﹤ 17 ﹤5
则 - 5﹤ 17 ﹤- 4 所以b = - 4
∴a – b = 5 - ( - 4 ) = 9 a – b的平方根为±３
知识梳理
二 次 根 式
二次根式
三个概念 最简二次根式
两个公式
两个性质 四种运算
同类二次根式
1. ab a ba 0,b 0
4、实数与数轴：
知 识
无限不循环小数叫做无理数。
如：2，3，5，，3 2，3 3 ,2.030030003……等。
要 5.有理数与无理数统 有理数有限小数或无限循环小数
实数
负有理数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
A.3
B.-3
C.1
D.-1
二 二次根式的非负性的应用
4. 若实数 x，y，m 满足等式 3x 5y 3 m +（2x+3y﹣m）2=
数的开方与二次根式
数的开方及二次根式
哎，说起数的开方跟二次根式，这事儿咱们得扯扯清楚。
在数学里头，数的开方，就好比是把一个数儿，咔嚓一下，劈成好多相等的部分，看能劈成几份儿，每份儿是多少。
比如说，9的开方，那就是3嘛，因为3乘3等于9，简单得很。
二次根式呢，听起来有点儿玄乎，其实也不难。
就是把个平方根摆在那儿，再跟其他数儿一起搅和搅和，搞出些新花样来。
比如说，根号下面有个4，再加上个5，写成式子就是√4+5，结果就是2+5，等于7。
当然，这只是个简单的例子，实际运用起来，可能要复杂得多。
在计算二次根式的时候，咱们得注意点儿，根号下面的数儿得是非负的，要不然就没得解了。
还有啊，根号跟根号之间不能直接相加，得想办法把它们变成同类项，才能相加或者相减。
比如说，√2跟√8，看着不一样，其实√8可以变成2√2，这样一来，它们就能相加了。
总的来说，数的开方跟二次根式，都是数学里头挺重要的东西。
虽然刚开始接触的时候，可能会觉得有点儿难，但是只要多练练，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门了。
毕竟，数学这东西，还是得靠多练，才能熟能生巧嘛。
所以，大家伙儿，要是遇到了数的开方或者二次根式的问题，别怕，大胆地去做，相信你们一定能行的！。
2024年中考数学复习课件---第2讲+数的开方与二次根式
+
+
+…+
+
=
+ + +
+ +
−
.
4
5
6
第2讲
数的开方与二次根式— 真题试做
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命题点 3 二次根式的估值（遵义6年1考）
7.(2022·遵义5题4分)估计 的值在( C )
A.2和3之间
（2）找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如4和9
（3）对以上两个整数开方，如 = , =3
（4）确定这个二次根式的值在两个整数开方后所得的
之间,如2< <3
（1）先确定 在哪两个整数（或小数）之间，如3< <
确定与
最接
近的整
数
（2）取这两个连续整数（或小数）的平均数，如
与非负
数的性
质
平方根
ห้องสมุดไป่ตู้
算数平方根
立方根
概念
a＞0
性
质 a=0
a＜0
相反
互为①______数
（两个）
0
没有
正数（一个）
正数（一个）
0
0
没有
②_________
负数（一个）
非 负 数 的 性 质 ：（1）常见的非负数有 （ ≥ ），| a |，
（2）若几个非负数的和为, 则这几个非负数同时为,
+
=3.5
（3）将平均数进行平方,并与 a比较,确定与 最接近的整数,
如. �� = . , < . , 所以 < . ,所以与
2020中考复习第02课时数的开方与二次根式
,立方根等于本身的数为±1,0.
考点聚焦
考点二 二次根式的相关概念和性质
1.二次根式:形如 (a≥0)的式子叫做二次根式.
2.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于④
0
.
3.最简二次根式
必须同时满足以下两个条件:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
如: 5, 2 + 1是最简二次根式,而 8,
[解析]∵9<13<16,3.52=12.25,
∴3.5< 13<4,
A.4
B.5
C.6
D.7
∴与 13最接近的整数是 4,
∴与 10- 13最接近的整数是 6,故选 C.
考点聚焦
考向五 二次根式的性质
例 7 若在数轴上表示实数 a 的点如图 2-1 所示, [答案] 3
2
则化简 (-5) + -2 的结果为
考点聚焦
例 4 下列根式中,与 3是同类二次根式的是 ( B )
A. 24
C.
3
2
B. 12
D. 18
考点聚焦
| 考向精练 |
下列各式中,哪些是同类二次根式?
0.5,2
1
7
2 3 (a≥0,x≥0), 50 2 (x≥0,y≥0).
,
12,
75,1
,
2
3
25
1
解:∵ 0.5=
2
2,2
1 2
,
12,
75是同类二次根式,
2
3
考点聚焦
考向三 二次根式的化简与计算
例 5 (1) [2019·扬州]计算:
数的开方与二次根式
数与式
第 2 讲 数的开方与二次根式
内容 索引
备考基础 重点突破
温故知新，明确考向 分类讲练，以例求法
易错防范
辨析错因，提升考能
备考基础
返回
考点梳理
平方根、算术平方根与立方根
1.平方根： 一个数 x 的 平方等于 a， 那么 x 叫做 a 的平方根， 记做 x＝± a. 2.算术平方根：如果一个正数 x 的平方 等于 a，那么 x 叫做 a 的算术平 方根，记做 x＝ a.0 的算术平方根是 0. 3.立方根：如果一个数 x 的 立方等于 a，那么 x 叫做 a 的立方根，记做 x＝ a.
解
答案
类型三
二次根式的计算
【例 3】 (1)(2017· 滨州)下列计算： ①( 2)2＝2， ② －22＝2， ③(－2 3)2 ＝12，④( 2＋ 3)( 2－ 3)＝－1，其中结果正确的个数为( D )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
点拨
根据二次根式的性质可得①、②、③正确；根据平方差公
式可得④正确．
点拨
答案
9 (2)(2017· 天津)计算(4＋ 7)(4－ 7)的结果等于________ ． 点拨 根据平方差公式计算即可．
解
答案
【变式 3】
(1)(2017· 黄冈)计算： 27－6
1 3 ． 的结果是 ________ 3
解
3 原式＝3 3－6× ＝3 3－2 3＝ 3. 3
3
特别提醒
(1)± a表示 a 的平方根， a表示 a 的算术平方根，－ a表示 a 的算术 平方根的相反数， a表示 a 的立方根． 3
(2)开平方运算与平方运算是互为逆运算的关系．常用平方运算来检
二次根式知识点复习
二次根式知识点复习二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
在数学中，√a叫做a的平方根。
一、基本知识点1.开方运算：开方就是求一个数的平方根的运算，开方运算的结果可以是正数、负数或零。
如果b^2=a，那么√a=b。
2.平方根的性质：（1）非负性质：对于非负实数a，√a≥0。
（2）唯一性质：一个非负实数的平方根是唯一的。
（3）分段性质：对于非负实数a和b，如果a≥b，则√a≥√b。
（4）乘法性质：对于非负实数a和b，√(a×b)=√a×√b。
3.平方根的化简：（1）平方根的化简法则：对于一个正整数a，如果存在正整数b，使得a=b^2，则√a=b。
（2）因式分解法则：如果一个正整数a可以分解成几个不同的素数的积，那么√a可以化为这些素数的乘积的积的平方根。
二、运算法则1.加减法运算：（1）只有当二次根式的根号里的数字部分相同才能相加或相减。
（2）将相同的根号里的数字部分加或减，系数部分保持不变。
（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。
2.乘法运算：（1）二次根式相乘，根号里面的数字相乘，系数也相乘。
（2）系数和根号右下角的数字不能再进行化简，即不能再进行平方根的运算。
（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。
3.除法运算：（1）二次根式相除，根号里面的数字相除，系数也相除。
（2）系数和根号右下角的数字不能再进行化简，即不能再进行平方根的运算。
（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。
4.乘方运算：（1）二次根式进行乘方运算时，指数乘方，根号里面的数字也乘方，系数不变。
（2）在进行乘方运算后，如果结果可以进行根号运算，则进行根号运算并化简。
三、实际运用1.二次根式的应用：（1）二次根式经常在几何图形的计算中出现，如计算正方形、长方形的对角线、圆的周长和面积等。
（2）二次根式还可以用来表示距离、速度、力等物理量。
2.二次根式的化简：（1）二次根式的化简可以简化计算过程，提高计算效率。
开方及二次根式知识点
开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方及二次根式是高中数学中常见的一个知识点，也是数学中的基础概念之一。
在学习代数学时，开方及二次根式是必须要掌握的重要内容。
本文将对开方及二次根式进行详细介绍，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
让我们从最基础的概念开始。
所谓开方，就是对一个数进行开方运算，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。
如果一个数是另一个数的平方，那么这个数就是这个数的平方根。
开方也可以用符号√来表示，如√4表示对4进行开方运算，结果为2，因为2的平方等于4。
二次根式是由一个数与它的二次根号组成的一个式子，例如√2、√3、√5等。
这些数都是无理数，也就是不能用有限位小数表示的数。
在数轴上，二次根式对应的数是不完全平方数，即无法整除的数。
在计算开方及二次根式时，有一些基本规则需要遵循。
对于整数n，如果n>0，则√n是一个正数；如果n<0，则√n是一个虚数。
开方运算是一个单调递增的函数，即当x<y时，√x < √y。
开方运算不满足交换律和结合律，即√xy≠√x·√y，(√x)²≠x。
在开方运算中，常见的性质有：1.开方运算的运算性质：√a ± √b ≠ √(a ± b)，√a · √b ≠√(a · b)。
3.二次根式的乘法运算：√a · √b = √(a · b)。
还有一些常见的运算法则需要注意。
如何计算复合二次根式呢？如何计算√(√2 + √3)呢？我们可以用代数的方法将其化简。
设x = √2 + √3，则x² = (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6，即x² - 5 = 2√6。
所以√(√2 + √3) = √(x) = √(x² - 5) = √(2√6) = √2 · √3 = √6。
新人教初中数学中考复习数的开方与二次根式【精品】
知 识
1.判断正误:
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
巩
固
(1)36 的平方根是 6; ( )
(5)× (6)×
高 频
(2)±9 的平方根是±3; ( )
考
向 (3) 4=±2; ( )
探
究
(4)0.01 是 0.1 的平方根; ( )
[解析](1)36 的平方根是±6,故错误; (2)-9 没有平方根,故错误; (3) 4=2,故错误; (4)0.1 是 0.01 的算术平方根,故错误;
(1)
1 ������
=
������
������ ·
������
=
������ ������
;
(2)
1 ������ -
������ =(
������ -
������+ ������ ������)( ������+
������
=
)
������ + ������-������
������ .
基 础
固
A.x≥4
高
B.x>4
4-x>0,解得 x<4,故选 D.
频
C.x≤4
D.x<4
考
向
探
究
基 础
考向三 二次根式的化简与计算
知 识
9.[2019·常德]下列运算正确的是 ( D )
巩
固
A. 3 + 4= 7
B. 12=3 2
高 频
C. (-2)2=-2
考
向
探
究
D.
164 =
21 3
基 础
中考数学第一轮复习(第4讲--数的开方与二次根式)
【例题1】 (2012·浙江宁波)下列计算正确的是( )． A．a6÷a2＝a3 B．(a3)2＝a5
解析 根据同底数幂的除法，幂的乘方，算术平方根，立方根运算
法则逐一计算作出判断：
A．a6÷a2＝a6－2＝a4≠a3，故本选项错误； B．(a3)2＝a3×2＝a6≠a5，故本选项错误；
第三十五 ，共44 。
【预测1】 下列计算：
答案 C
第三十六 ，共44 。
【预测2】 下列运算正确的是
( )．
答案 C
第三十七 ，共44 。
易 错防 范
第三十八 ，共44 。
数的开方、二次根式常见错误
第三十九 ，共44 。
【典型例题】
第四十 ，共44 。
第四十一 ，共44 。
第二十八 ，共44 。
A．a≠0
C．a＞－2或a≠0
B．a＞－2且a≠0 D．a≥－2且a≠0
答案 D
第二十九 ，共44 。
【预测3】 下列二次根式中，最简二次根式是( )．
答案 B
第三十 ，共44 。
答案 C
第三十一 ，共44 。
解析 考查二次根式和绝对值等非负数的性质，由已知得，x＝ －3，y＝2 013，所以x＋y＝－3＋2 013＝2 010.
(3)混合运算：与实数的混合运算顺序相同．
状元笔记 (1)加减运算：需先化简，再合并；
(2)乘除运算：可先乘除，后化简．
第十四 ，共44 。
对 接中 考
第十五 ，共44 。
对接点一：平方根、立方根及算数平方根
常考角度
1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
人教版初中数学八年级下册《数的开方与二次根式》
回归教材
考点聚焦
考向探究
第4课时┃数的开方与二次根式
考点聚焦 考点1 平方根、算术平方根与立方根 平方
平方
立方
回归教材
考点聚焦
考向探究
第4课时┃ 数的开方与二次根式
考点聚焦
考点1 平方根、算术平方根与立方根
名称
性质
算术平方根
只有_非___负__数__才有算术平方根，而 且算术平方根都是_非__负___数__.
二次根式 1. a • b＝ ab(a___≥__0___，b__≥__0____)；
的乘除
2.
b＝ a
ba(a___＞__0___，b___≥__0___).
二次根式 如：要估算 7在哪两个相邻的整数之间，先对 7进 的估算 行平方，因为 4＜7＜9，所以 2＜ 7＜3.
回归教材
考点聚焦
考向探究
第4课时┃数的开方与二次根式
乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的，如：1＋1
＝ 2
（
12×＋（1）（2－12）－1）＝
2－1，
1 3＋
2＝（
1×（ 3－ 3＋ 2）（
3－
2）＝
3
－ 2.
回归教材
考点聚焦
考向探究
第4课时┃数的开方与二次根式
考 向 探 究4
二次根式的大小比较
命题角度
1.比较二次根式与有理数的大小、比较两个二次根式的大小；
A B CD
2.二次根式
（1）二次根式、最简二次根式的概念
√
（2）用有理数估计二次根式值的大致范围
√
（3）用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运
算法则进行简单四则运算
初中九年级数学(初三)总复习 第六课 数的开方与二次根式
第6课 数的开方与二次根式〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。
会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
内容分析1．二次根式的有关概念 (1)二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质 ).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22>≥=≥≥⋅=⎩⎨⎧<-≥==≥=b a ba bab a b a ab a a a a a a a a a3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 〖考查重点与常见题型〗1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。
数的开方及二次根式
开平方运算的运算
律
开平方运算遵循一些基本的运算 律，如结合律、交换律等。这些 运算律可以帮助我们简化复杂的 开平方运算。
开平方运算的性质
非负性
正数的平方根是正数或零，负数没有 实数平方根。这是因为正数的平方是 正数，而负数的平方也是正数，所以 负数没有实数范围内的平方根。
互反性
一个数的平方根与它的相反数的平方 互为相反数。例如，4的平方根是±2， 而-4的平方根是±(-2)，它们的值互为 相反数。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，这是二次根式的基本性质。此外，算术平方根具有非负性，即√a≥0。同时，乘 方运算也有其特定的性质，如√(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）和√(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）。
二次根式的简化
总结词
通过因式分解、配方法等手段，可以简化二次根式。
详细描述
简化二次根式的方法有多种，如因式分解法、配方法等。通过因式分解，可以将复杂的二次根式化简 为简单的形式。配方法则是将二次根式转化为完全平方的形式，从而简化计算。这些方法在数学中有 着广泛的应用，有助于简化计算过程和提高解题效率。
数的开方及二次根式
目录
• 数的开方 • 二次根式 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用
01
数的开方
平方根的定义
1 2
平方根
如果一个数的平方等于给定的数，则这个数被称 为给定数的平方根。例如，4的平方根是±2，因 为2^2=4和(-2)^2=4。
非负平方根
正数和0的平方根都是非负的。例如，9的平方根 是3，因为3^2=9。
使其具有最简形式。
二次根式的化简求值
要点一
总结词
掌握二次根式的化简求值方法，能够将复杂的二次根式化 简为最简形式，并求出其值。
人教版初中数学中考复习 一轮复习-数的开方与二次根式
伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. 5
B.4
C.2 5
D.5
知识点四、二次根式-二次根式的运算
解：p a b c a b 4 5
2
2
所以a b 6, a 6 b
s pp ap bp c 55 a5 b5 4
55 (6 b)5 b1 5 b 15 b
3 的结果是______.
3 12
解： 3 1 1 1 3 12 1 4 1 2 3
5. 化简： 1 1 49
解： 1 1 9 4 13 13 4 9 36 36 36 6
知识点三、二次根式-二次根式的性质
D 1.[2019·济宁]下列计算正确的是 ( )
A. 3 2 3
解：原式 9 — 1 8 22
9 2 — 1 2 2 2 22 22
3 2 — 2 2 2 22
3 — 1 2 2 2 2
3 2
知识点四、二次根式-二次根式的运算
2、（2021. 铜仁）计算（ 27 — 18）（ 3 — 2）
解：原式 （3 3 - 3 2）（ 3 - 2） 9-3 6 -3 6 6 15- 6 6
一轮复习
数的开方与二次根式
课标要求
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方 根 、 .立方根。 2. 了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求
百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根. 3. 能用有理数估计一个无理数的大致范围. 4. 了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、
5 4 b3 2
专题2 数的开方与二次根式(考点讲练)(原卷版)
专题2 数的开方与二次根式考点一：平方根、算术平方根和立方根1．（2022·四川攀枝花·中考真题）实数2的平方根为（ ）A ．2B ．2±C 2D ．2±2．（2022·陕西·武功县中考二模）-27的立方根为（ ）A ．13−B ．13C ．-3D ．33．（2022·四川凉山·2(2)− ）A ．±2B ．－2C ．4D ．24．（2022·贵州毕节·中考二模）下列运算中，正确的是（ ）．A 93=±B 382−=C 42=D ()288−=− 5．（2022·81( )A ．3±B ．3C ．9±D ．96．（2022·广东中考三模）下列说法不正确的是（ ）A ．125的平方根是15±B ．()20.1−的平方根是0.1±C ．9−81D 3273−=− 7．（2022·广东·东莞市中考三模）计算下列各题：（1）4的平方根是______；（2）25的算术平方根是______；（3）8−的立方根是______； 8．（2022·甘肃定西·352a −322b +a b =__________． 9．（2022·广东·佛山市中考三模）若一个正数的两个平方根分别是2x -和21x +，则x =______． 考点二：二次根式有意义的条件（非负性）10．（2022·福建省泉州中考三模）在函数32y x =+中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．23x ≠− B ．23x >− C ．23x −… D ．23x −… 11．（2022·湖北恩施·中考真题）函数1x y +=的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠B ．3x ≥C ．1x ≥−且3x ≠D ．1x ≥−12．（2022·河北·中考一模）已知8818y x x −−x y 的值为（ ） A ．2−B ．3−C 2D 313．（2022·云南曲靖·()21a −1a −，则a 的取值范围是( ). A ．a >1 B ．a ≥1 C ．a <1 D ．a ≤1 14．（2022·湖北黄石·中考真题）函数113y x x =−+的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠−且1x ≠ B ．3x >−且1x ≠ C ．3x >− D ．3x ≥−且1x ≠ 15．（2022·四川南充·8x −x 为正整数，则x 的值是_______________．16．（2022·内蒙古包头·11x x+在实数范围内有意义，则x 的取值范围是___________． 考点三：二次根式的化简与运算17．（2022·广西桂林·中考真题）化简12的结果是（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2 18．（2022·广东江门·2 ） A 24 B 18C 4D 1219．（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（ ）A 235=B ．3331=C 236=D 1226÷=20．（2022·山东青岛·中考真题）计算12712)3 ） A 3B ．1 C 5D ．3 21．（2022·山东聊城·中考二模）下列二次根式的运算正确的是（ ） A 3822=B ．355310=C 48255 D ．33363= 22．（2022·陕西延安·中考二模）比较大小：2332“＞”、“＜”或“＝”）． 23．（2022·山东泰安·48633__________． 24．（2022·黑龙江哈尔滨·1333+___________．25．（2022·河北保定·中考一模）已知23x =+，23y =．则 （1）22x y +=________；（2）2()x y xy −−=________．。
2020年中考数学总复习第四节数的开方与二次根式
A. 5 2 B. 2 5 C.
2 10 . D.
45
2. 【 2020 最新模拟南京 】 9 的算术平方根是
A.-3 B.3 C.
± 3 D.81
3. 【 2020 最新模拟南通 】已知 x 2 , 则化简 x2 4x 4 的结果是
A、 x 2
B、x 2
C、 x 2
D、 2 x
4. 【 2020 最新模拟泰州 】下列运算正确的是 A．a2＋ a3=a5 B ． ( －2x) 3=－ 2x3 C ． (a － b)( － a＋ b)= －
2. 【 2020 最 新 模 拟 苏 州 】 不 使 用 计 算 器 ， 计 算 ：
18 1 2 1 2
1 21
21
【解】 2 3
3.【 2020 最新模拟锦州 】
【解】
4. 【2020 最新模拟青岛 】来自【解】答案： 10
5. 【 2020 最新模拟青岛 】计算： 2 2 1 2 ．
5
2
【解】 原式＝ 2 2 1 2 ＝ 3 2 1
4
2
p ( p a)( p b )( p c )
8. 【2020 最新模拟丰台 】计算：
【解】 9. 【2020 最新模拟北京 】计算：
【解】
10. 【 2020 最新模拟漳州 】计算：
sin 45o（ 1 ）－1＋ |2 － 2 |－（ 2005 ）0 2
【解】 原式＝ 2 2＋2－ 2－1 ＝ 1
模拟 1 D.3.2020 最新模拟 2
最新
16.【 2020 最新模拟湘潭 】下列算式中， 你认为错误的是 ( )
A ． a + b =1
B
． 1÷ b × a =1
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初中数学总复习
1.3数的开方和二次根式
一：【知识梳理】
1.平方根与立方根
(1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。
一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。
（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。
一个正数有一个 的立方根；一个负数有一个 的立方根；零的立方根是 ；
2.二次根式
（1）
①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥
②2(
)()a a a a ⎧==⎨-⎩；④(0,0)a a a b b b =≥
（2）二次根式的运算
①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式；
②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ⋅=≥≥；
③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥
④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
二：【课前练习】
1.填空题
2. 判断题
3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2
4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5
5. 在二次根式：①12, ②32③23
；④273和是同类二次根式的是（ ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④
二：【经典考题剖析】
1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状．
2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义
（1）23x -+； （2）
211x x -+； （3）14x -
3． 当x ≤2时，下列等式一定成立的是（ ）
A 、
()222x x -=- B 、()233x x -=- C 、 ()()2323x x x x --=-⋅- D 、3322x x x x --=-- 4. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（）
A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2
5. 当a 则实数a 在数轴上的对应点在（ ）
A ．原点的右侧
B ．原点的左侧
C ．原点或原点的右侧
D ．原点或原点的左侧
6. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；
是17的平方根，其中正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
7. 所得结果是______．
8. 当a ≥0=
9.计算
（1） （2）、))2003200422
（3）、(2； （4）
10. 已知：x y 、为实数，3x+4y 的值。