平面和迹线的投影
机械制图——第一章投影法和点、线、平面的投影
两个空间的点，发生重影的条件： 两对坐标值相等，一对坐标值不相等.
Xa = Xc Za = Zc Ya > Yc
a'(c') Yc
Za/Zc C A
c" a"
c Ya
a Xa/Xc
a'(c') Za/Zc
（三）两点的相对位置
如图1－8所示，两个点的投影沿左右、前后、上下三个方向 所反映的坐标差，即这两个点对应投影面W、V、H的距离差， 能反映两点的相对位置；反之，若已知两点的相对位置和其中 一点的投影，也能作出另一点的投影。
两点的相对位置
A(XA,YA,ZA) 和 B(XB,YB,ZB) 两点的相对位置： 如：b’→ a’ : a’(△X=Xa-Xb ，△Z =Za-Zb )
投影法分为两类： 中心投影法 平行投影法（称平行光源）
二、中心投影法
如图所示，点 S（投射中心）射 出过A点射线，在 投影面 P形成 a点的投影图案， 该方法称为：
中心投影法。
三、平行投影法
如图所示，投射线（由平行光源）平行投射，在投影面P形 成的投影图案，称为平行投影法。
平行投影法又可分为：
正投影法：投影线（平行光源）垂至于投影面的投影法
例：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
d
先作正面投影
k c●
b
⒊ 两直线交叉
b′
c′
a′ X
a
V
d′
c′
O
a′
AC
d
a
工程制图之平面的投影及平面上的点
1.平面上取直线
直线在平面上的几何条件：
(1) 通过平面上的两已知点。
B
P
M
A
N
C
直线MN在平面上
(2) 通过平面上的一点并平行于平面上的另一 直线。
E
M
D
F
N
P
直线MN在平面P上
结论 -- 要在平面上取直线，应先在平面上的已知 直线上取点，再过点作直线。
例5 在△ABC给定的平面上作一任意直线。
B. 水平面投影r和正面投影r’ 都积聚为直线， 分别∥OYH轴和OZ轴。
侧平面的迹线表示法
V
Rv
Rv
R
X
x
R
(b)
H
H
侧平面R可只用(a它) 的正面迹线Rv或RH表示 。
投影面平行面的投影特性：
（1）在所平行的投影面上的投影反映实形。 （2）在另外两个投影面上的投影都积聚为直线， 平行于相应的投影轴。
(1)平面的迹线: 即平面与投影面的交线。
正面迹线—PV
V
水平迹线—PH
侧面迹线—PW
PX
X
Z
PZ
PV
W
PW O
H PH
PY
Y
(2) 迹线的投影性质
① 迹线是投影面上的直线。 因此, 迹线的一个投影与其本身 重合, 另外两个投影与相应的投影轴重合（一般不画出）。
Z
V
PZ
PV
W
Z PZ
PV
PW
PX
X
作法1: 在平面内的两 已知边上各取一点连成 直线。
作法2: 在平面内的一 已知边上取一点，再过 点作平面内另一直线的 平行线。
b’
1’
工程制图第二章点直线平面的投影
′
βγ
α ″
′
″
′
″
第四节 直线的投影
三、点、直线的从属关系
′ ′
′
′
′
′
′
′
′
′
第四节 直线的投影
例1：判别点C是否属于直线AB
′
″
′
′
″
′
′
″
′
第四节 直线的投影
例2：作属于直线AB的点K,使AK:KB=3:2
′ ′ ′
第四节 直线的投影
例3：在直线ＡＢ上确定点Ｋ，使点Ｋ到V与H面距离之比为2:3。
4.不变性：平行于投影面的直线（平面），其投影反映实长，实形。
第二节常用的两种投影图
多面正投影图
轴测投影图
第三节 点的投影
1 2 3
注意：点的一个投影不能确定空间点的位置
第三节 点的投影
一、点在三投影体系中的投影及其投影规律 1. 三面投影体系的建立：
第三节 点的投影
2. 点的三面投影图
3. 点的三面投影与直角坐标系的关系
′
′′
′
′′
′
′′
第五节 平面的投影
一、平面的表示法：
1.几何元素表示法
′
′ ′
′
′ ′
′
′ ′
′
′
′
′
′
′
′
2. 迹线表示法
第五节 平面的投影
二、各种位置平面 １、投影面的平行面： 正平面 水平面 侧平面
正 平 面(//v面）
′
′
′
′
″″
″″
′
′
′
′
″″ ″″
水 平 面(//H面）
第四节平面的投影
2、平面上取点 60
(1) 一直线经过平面上两个点，则此直线一定在该平面上 (2) 一直线经过平面上一个点且平行于平面上另一直线， 则此直线一定在该平面上 如点在平面内任一直线上，则此点一定在该平面上，因 18 此在平面内取点，首先要在平面内取线
第四节 平面的投影
【例1】
例题
已知△ABC平面内一点 K的正面投影 k’，求出 它的水平投影。 • 通过点K在△ABC平 面内任取一直线，例如 取BK，交AC于D • 求出水平投影bd，则 k一定在bd上 分析：在平面上 取点，必须先在 平面上取直线。
50
7
第四节 平面的投影 二、平面与投影面的相对位置及其投影特性 类似形特点：
• 任何情况下边数，边的平行关系不变 根据平面对投影面的相对位置，可把平面分为三类： • 边长、相邻边的夹角随平面的空间位置的变化而变化 1）一般位置平面（投影面倾斜面） 2）投影面垂直面 3）投影面平行面 1）一般位置平面
3）投影面平行面
a) 水平面 的投影特性
57
1.水平投影反映实形（ △abc= △ABC） 2.正面投影积聚直线且平行OX，侧面投影积聚直线且 平行OYw
14
第四节 平面的投影 二、平面与投影面的相对位置及其投影特性
根据平面对投影面的相对位置，可把平面分为三类： 1）一般位置平面（投影面倾斜面） 2）投影面垂直面 3）投影面平行面
根据平面对投影面的相对位置，可 把平面分为三类： • 1）一般位置平面（投影面倾斜面） • 2）投影面垂直面 • 3）投影面平行面
6
第四节 平面的投影 二、平面与投影面的相对位置及其投影特性
根据平面对投影面的相对位置，可把平面分为三类： 1）一般位置平面（投影面倾斜面） 2）投影面垂直面 3）投影面平行面
机械制图-点、直线、平面的投影
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
直线平面的投影
直线平面的投影直线和平面的投影是物理学和几何学中的重要概念，用于描述一个对象在不同视角下的视觉效果。
在这篇文章中，我将详细介绍直线和平面的投影原理、计算方法以及应用。
一、直线的投影直线的投影是指直线在一些方向上的映射，投影的结果是一个线段或者点。
在几何学中，直线的投影通常是指直线在其中一平面上的影子。
1.1直线投影的原理直线的投影原理可以理解为光线的折射原理。
当一束直线光线遇到一个不透明的物体时，物体会遮挡光线，使得光线在物体的背面无法到达。
在这种情况下，我们只可以看到从物体那一侧射出的光线，也就是物体的投影。
1.2直线投影的计算方法计算直线的投影可以利用几何学中的相似三角形和投影比例来解决。
假设直线的长度为l，直线与投影平面的夹角为θ，投影距离为d，我们可以计算投影长度p。
根据三角形相似性，根据比例有：p/d=l/h其中，h为直线在投影平面上的投影高度。
因此，直线的投影长度为：p=(l*d)/h1.3直线投影的应用直线的投影在现实生活中有很多应用，例如日光灯的投影、桥梁的投影等等。
在建筑设计和工程施工中，直线的投影也是一个非常重要的概念。
通过计算直线的投影长度，可以确定施工中的尺寸和位置。
平面的投影是指平面在一些方向上的映射，投影的结果可以是一个线段、一个点或者一个图形。
2.1平面投影的原理平面的投影原理类似于直线投影的原理，也是基于光线的折射原理。
当一束平行光线垂直照射在一个平面上时，在投影平面上会形成一个平行于光线的投影。
2.2平面投影的计算方法计算平面的投影可以利用几何学中的相似三角形和投影比例来解决。
假设平面的长度和宽度分别为L和W，平面与投影平面的夹角为θ，投影距离为d，我们可以计算投影的长度P和宽度W'。
根据三角形相似性，根据比例有：P/d=L/hW/d=W'/h其中，h为平面在投影平面上的投影高度。
因此，平面的投影长度为：P=(L*d)/h平面的投影宽度为：W'=(W*d)/h2.3平面投影的应用平面投影在几何学和物理学中有很多应用。
直线与平面的投影关系与计算方法
直线与平面的投影关系与计算方法直线和平面是几何学中常见的基本图形，它们在现实世界中广泛应用于建筑、工程、物理学等领域。
在这篇文章中，我们将讨论直线与平面之间的投影关系，并介绍一些计算方法。
一、直线在平面上的投影直线在平面上的投影是指直线在平面上的垂直投影或平行投影。
垂直投影是指直线在平面上的垂直投影线，而平行投影是指直线在平面上的平行投影线。
1. 垂直投影垂直投影是指直线在平面上的垂直投影线。
要计算直线在平面上的垂直投影，我们可以使用以下步骤：步骤一：确定直线和平面的相对位置。
首先，我们需要确定直线和平面的相对位置，即直线与平面是否平行或相交。
如果直线与平面平行，则直线在平面上的垂直投影长度为0。
如果直线与平面相交，则我们需要继续下一步。
步骤二：确定垂直投影的起点。
在确定直线与平面相交的情况下，我们需要确定垂直投影的起点。
起点可以是直线上的任意一点，通常选择离平面最近的点作为起点。
步骤三：确定垂直投影的方向。
垂直投影的方向是由直线在平面上的垂直投影线所确定的。
我们可以通过在平面上画出与直线平行的线段来确定垂直投影的方向。
步骤四：确定垂直投影的长度。
垂直投影的长度是直线在平面上的垂直投影线段的长度。
我们可以使用勾股定理或其他几何计算公式来计算垂直投影的长度。
2. 平行投影平行投影是指直线在平面上的平行投影线。
要计算直线在平面上的平行投影，我们可以使用以下步骤：步骤一：确定直线和平面的相对位置。
同样，我们需要确定直线和平面的相对位置，即直线与平面是否平行或相交。
如果直线与平面平行，则直线在平面上的平行投影长度可以通过直线在平面上的任意两点之间的距离来计算。
如果直线与平面相交，则我们需要继续下一步。
步骤二：确定平行投影的起点和方向。
与垂直投影类似，平行投影的起点可以是直线上的任意一点，通常选择离平面最近的点作为起点。
平行投影的方向由直线在平面上的平行投影线所确定。
步骤三：确定平行投影的长度。
平行投影的长度是直线在平面上的平行投影线段的长度。
工程制图 平面的投影-线面相对位置解读
b'
b' c'
z b"
c'
b" a' c" x O a"
c" yW
B
a'
A
a 投影特性：
C
b
c
b
a" a c yH
(1) 一般平面的三面投影既不反映实形也没有积聚性。 (2) 其三面投影均为空间平面的类似形，且面积缩小。
平面投影特性判断
正平面
铅垂面
侧平面
正平面
正垂面
侧平面
侧垂面
一般位置平面
二、平面上的点和线
A D K E a B
G
a' d' e' x
g' k' A
F B g(f) b
K a
f'
g(f) k
b' O
d(e) k
d(e)
b
二、相交问题
1.直线与平面相交
若空间直线和平面都处于一般位置时，可利用辅助平面法求出交点。
求一般位置线、面 P 交点的方法步骤： E Ⅱ A
2）作出辅助平面与已知 K 平面间的交线。
A
G
b'
DE a' B C x g(d) b a c F a
PF
f' l'
a'
A g'
g' Q
f' e'
c' b' E e' x D c f(e) e B b
c'O d' C g g(d) a c
O
f(e)
b
l
第四章-平面的投影
QV γ α
H
3 、侧垂面
V
S B
b
b
SW
b
c β c
W a
α a
c
C
a
A
H
b c
a 投影特性:1、 abc积聚为一条线
2 、 abc、 abc为 ABC的类似形 3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
侧垂面的迹线表示法
V S
SH
W X
H
Z
β
SH
O
α
Y
Y
1、水平面
(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面
(几何元素表示法)
e
e (n)
f
f’
m
n
f
f
e (m)
e
(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (迹线表示法)
SV
QW
b
b
a
a
b PH a
(1) 过正垂线作平面 (迹线表示法)
m（n）
n
m（n）
PV
m （n）
SV
m （n ）
QV
RV
n
n
n
m
m
m
m
(2) 过正平线作平面
分析 过已知点作的平
a′
面上的正平线与对V
c′
面的最大斜度线是一
对垂直相交的直线。
投影作图步骤
•以直角边∆ YAB 、
b′
β=30°作直角三角形,获
对V面的最大斜度线的V
投影长。
•以b′为圆心，上述投影 长为半径画圆。
a
c
30°
•过a′向此圆作切线，获 切点C的V、H投影。
5讲 平面的投影
一、平面的投影 二、各种位置平面的投影特性 三、平面上的点和直线 四、平面在换面法中的基本情况
一、平面的投影 1. 用几何元素表示平面
a b x b a c 不共线三点 a
a b x b c o a 两相交直线 b x b 两平行直线 a c b x b
a c o a a c
b (c)
abcd 显示平面的实形; 投影特性：abcd和abcd积聚为直线； abcd∥OX轴、abcd∥OZ轴。
f(e)
QV g(h)
e
f(e)
(h)
Z g(h) e(h) f
QV QW
（2）水平面
efgh—实形;
(g)
e f (i) l
一般位置平面
1. 投影面垂直面
d (c) PV a(b) b a
（1）正垂面
Z d (c) c c PV a(b) b X O c d b a d a d YH d a YW
b c
abcd 积聚为直线; 投影特性： abcd和abcd为面积缩小的类似形。 反映、角的真实角度；
c
o x
b b a
c
o c
平面图形 d c o c d
直线和线外一点
各种形式可以互相转换
2. 用迹线表示平面 迹线 —— 平面与投影面的交线
PV PV PW
Z
一般位置平面在三 个投影面上都有迹 线。都没有积聚性。
PW O YW
PH
X PH
正面迹线 水平迹线 侧面迹线
平面对投影 面的倾角、 、
l (k)
O j
RH
l (k)
YH
投影面平行面的投影特性
画法几何及机械制图 第二章 点、直线和平面的投影
a
定比作图方法
c
b
§2－2 直线的投影
例2 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
b Z
b
V
b
c a C B
X
A
O
a
X
a
a
O
a
c YW
a
c Hb
c b
YH
§2－2 直线的投影
例3. 在直线AB上取一点C, 使AC = L，求点C的两投影。
b c
a
L
b c
a
a
X
a
b
L
c
ZAB
O
b
c
ZAB
b0
L
c0
平面对 投影面的倾 角、、
二、各种位置平面的投影特性
§2－3 平面的投影
投影面垂直面： 垂直于一个、倾斜 于另两个投影面的 平面
V面—正垂面 H面—铅垂面 W面—侧垂面
特殊位 置平面
投影面平行面： 平行于一个、同时 垂直于另两个投影 面的平面
V面—正平面 H面—水平面 W面—侧平面
投影面倾斜面： 对三个投影面都倾 斜的平面
c b
X
b O c
YW
当两直线均为
b
一般位置直线时， c
若有两个同面投影 满足上述条件，则 空间两直线相交。
d
a
YH
§2－2 直线的投影
3. 交叉两直线
既不平行又不相交的两直线
b
1(2 )
d
c
a
Ⅱ
2 Ⅰd
c
b
a1
b d
1(2 )
c
X a
O
d
c
a
点、直线平面的投影
THANKS
感谢观看
计算投影长度
01
根据平面的长度和它与投影面的夹角，可以计算出其投影长度。
计算投影角度
02
根据平面的角度和它与投影面的夹角，可以计算出其投影角度。
计算投影形状
03
根据平面的形状和它与投影面的夹角，可以计算出其投影形状。
04
点、直线、平面的综合投影问题
点、直线、平面的关系分析
点与直线的关系：点 在直线上、点在直线 外、点与直线重合。
直线与平面的关系： 平行、相交、垂直。
点与平面的关系：点 在平面内、点在平面 外、点与平面重合。
点、直线、平面的投影计算
点的投影计算
根据点的坐标和投影角 度计算出点的投影位置。
直线的投影计算
根据直线的方程和投影 角度计算出直线的投影 位置。
平面的投影计算
根据平面的方程和投影 角度计算出平面的投影 位置。
斜交
当直线与平面斜交时，直 线在平面上的投影是线段。
直线在平面上的投影性质
真实性
直线在平面上的投影反映直线的真实 长度和方向。
垂直性
如果直线与平面垂直，其投影为一点。
平行性
如果两条直线平行，它们的投影也平 行。
直线在平面上的投影计算
投影长度
根据直线的长度和与平面 的角度，可以计算出投影 的长度。
点在平面上的投影性质
1 2
投影唯一性
点在平面上的投影是唯一的，除非点位于平面的 法线上。
投影与原点连线垂直于平面
投影点与原点连线垂直于平面，且经过原点与平 面的垂足。
3
投影与原点的距离关系
投影点到原点的距离等于原点到平面垂足的距离。
点在平面上的投影计算
平面的投影 课件
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
V
b
QV
a
A
c
C H
正垂面
b
c
W B
a
α
Q
c
a
b c
a
投影特性：1、 abc 积聚为一条线 b 2 、 abc、abc ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
侧垂面
V
S B
b
SW
b
W a
b c β c
α a
c
影。
[作业2] 在 ABC平面内作一水平线AD，使其实长为25，同时作 出该平面对H面的最大斜度线BE，E点在直线AC上 。
b
【作业3】求三角形ＡＢＣ对Ｖ面的倾角
解解题题方方法：法：
分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物
体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几 何元素（点、线、面等）。
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
正垂面
投影面垂直面 侧垂面
特殊位置平面
铅垂面
正平面
投影面平行面 侧平面
水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
1） 投影面垂直面
铅垂面
正垂面 侧垂面
V P B
A
铅垂面
c a
W
b
c a
b
a b
H
C PH c
a
c
投影特性：1、 abc积聚为一条线
b
2 、 abc、 abc为ABC的类似形
例：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。
a
有多少解
10
m
n
c
点直线和平面的投影
正平线 c′d′=CD
Z
X
Y
O
V
W
H
f
e
α
β
α
β
f '
e'
X
Z
YH
YW
O
α
β
F
E
e"
f"
侧平线 e″f″=EF
ef∥OYH、 e′f′∥OZ 都不反映实长
e″f″与OYW和OZ的夹角α、β等于EF对H、V面倾角
f"
e"
X轴——V与H面的交线，代表长度方向； Y轴——H与W面的交线，代表宽度方向； Z轴——V与W面的交线，代表高度方向； 三根投影轴互相垂直，其交点称为原点O。
Y
X
O
V
Z
W
1. 三投影面体系和点的三面投影
三视图及其 投影规律
俯视方向
左视方向
f '
e'
e
f
Z
X
Y
O
H
V
W
A
B
a'
b'
a(b)
a'
b'
YW
X
Z
YH
O
a"
b"
b"
a"
a(b)
a′b′= a″b″=AB,且 a′b′⊥OX、a″b″⊥OYW
铅垂线:水平投影 a（b）积聚一点
Z
X
Y
O
H
V
W
c'( d')
C
D
d
c
直线和平面的投影
② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
2021/2/4
1
17
⑶ 一般位置直线
b
b
投影特性：
a
三个投影都缩短。即:
a
都不反映空间线段的实长及
与三个投影面夹角的实大，
a
且与三根投影轴都倾斜。
b （1）ab, a’b’, a’’b’’对于三个投影轴既不平行也 （2） ab, a’b’, a’’b’不’垂都直较空间线段AB缩短了。
2021/2/4
1
19
二、三角形法：一般位置直线的实长求法
YB-YA
b′
ZB-ZA ZB-ZA
V
a
A
b
A0
β
B
α B0
bH
a′
a α
实长
b
2021/2/4
1
20
对Ｈ面倾角和实长
a
X
2021/2/4
b
B
|zA-zB|
a
X O
C
A
b
a
a
AB
ab
1
|zA-zB|
b
AB
|zA-zB|
ab
b
AB
|zA-zB |
2021/2/4
d
1
c
实长
d
24
直角三角形法要点
1、角度、投影、坐标差和投影之间的对应关系
α角——水平投影——z坐标差——线段实长 β角——正面投影—— y坐标差——线段实长 γ角——侧面投影——x坐标差——线段实长
2、投影、坐标差、实长和角度四个要素知 道其中二个就可以求其它二个
3、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响 解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错
直线与平面投影知识点总结
直线与平面投影知识点总结在几何学中，直线与平面的投影是一个重要的概念。
它们常常出现在三维空间的几何关系中，同时也在工程学、物理学等领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将主要介绍直线与平面的投影的基本概念、性质和应用。
一、直线的投影：1. 直线的投影定义：在三维空间中，如果一个直线与一个平面相交，那么这条直线在这个平面上的投影就是直线在该平面上的影子。
投影是一个向量，它的方向是垂直于平面，并且与直线平行。
投影的长度等于直线在该方向上的投影长度。
2. 直线的投影性质：（1）如果平行于平面的直线在平面上的投影为一线段，则该线段的中垂线必然在平面上。
（2）如果垂直于平面的直线在平面上的投影是一个点，则该点在平面上。
（3）直线在平面上的投影长度等于直线在法向量方向上的投影长度。
3. 直线的投影应用：（1）在工程制图中，需要将三维物体的投影绘制在二维平面上，这就涉及到了直线的投影。
（2）在几何学中，研究直线在平面上的投影可以帮助我们理解平行与垂直关系。
二、平面的投影：1. 平面的投影定义：在三维空间中，如果一个平面与一个平面相交，那么这个平面在另一个平面上的投影就是该平面在另一个平面上的影子。
平面的投影通常是一个多边形。
2. 平面的投影性质：（1）如果平行于平面的平面在另一个平面上的投影是一个多边形，则该多边形的边界一定是一个多边形的投影。
（2）如果垂直于平面的平面在另一个平面上的投影是一个点，则该点在另一个平面上。
3. 平面的投影应用：（1）在工程制图中，需要将三维物体的投影绘制在二维平面上，这就涉及到了平面的投影。
（2）在建筑设计中，考虑到平面的投影会对建筑物的外观和结构有着重要的影响。
三、直线与平面的投影：1. 直线与平面的投影定义：在三维空间中，如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线在这个平面上的投影就是直线在该平面上的影子。
同样地，如果一个平面与一个平面相交，那么这个平面在另一个平面上的投影就是该平面在另一个平面上的影子。
第五节 平面的投影
第五节 平面的投影
一、平面的表示方法
1、 几何元素表示法
a' c' b"
不在同一直线上的三个点， 唯一地确定了一个平面
Z
a" c"
b'
X
a b c
O
YW
YH
几何元素表示平面的方法
a' b'
Z a"
c'
b" c" b'
a' c'
Z a"
c" b"
X
b
a
O
YW
a'
X Z a"
c' b" a b
a' z a" b" c" o c b
YH Yw
b'
c'
x
a
侧平面Ｒ的投影
r″ r′ R r
r′
r″
r
• 侧平面
a'
b' x c' a c b
YH
z
a" b"
o
c"
Yw
例如：在该平面立体中Q为水平面，Ｐ为侧 垂面，ＡＢ为侧平线，ＣＤ为侧垂线。
平行面的投影特性
1 在与其平行的投影面上的投影反映实形。
例：已知平面的两投影，求第三投影。
new
例：找出图中所标各 面的第三投影，并判断
它们的空间位置。
1"
2"
3"
水平面
实形
2
侧平面
Ⅱ
铅垂平面
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RH
aLeabharlann 作铅垂面。 例2 包含AB（ab，a’b’ ）作铅垂面。
b’ a’ c’ X c a b O
完成侧垂面的水平投影。 例3 完成侧垂面的水平投影。
1‘ 2‘ 4‘ 3‘ 5 X ‘ 2 4 5 3 1 6‘ O Z 1“ 2“
投影分析： 投影分析：
侧垂面 注意： 注意：
4“ 3 V、H 投影的 “ 5“ 6“ 类似性” “类似性”。 YW
积聚性
βα X
O
X
YW
O
α 类似形
Y
YH
3.侧垂面 3.侧垂面
迹线表示
Z Z X QV
O
V
QV
β
QW α YW
QW
X
O
QH YH
QH
Y
的正垂面。 例1 包含A（a，a’）作α=30° 的正垂面。 两相交直线决定平面
c’ a’ b’ x d b a c d’ 30° o x a’
迹线表示平面
RV
30° o
V Z a’ A b’ X B b a c c’ a’’ C b’ b’ a’ c’ Z a’’ c’’
o
c’’ X b’’ Y
o
a
b’’ YW
b c YH
用迹线表示的一般位置平面
Z V PZ PV X PX PH PV PW PY Y
X PX O PZ Z
PW
PYW YW
P
PH
PYH YH
作一般位置平面。 例 包含A（a，a’）作一般位置平面。 任作两相交直线决定一平面. 任作两相交直线决定一平面.
a’ b’ x b a c o c’
无数解!
2各种位置平面的投影
一、投影面垂直面 二、投影面平行面 三、一般位置平面的投影特性
一、投影面垂直面
垂直于某一投影面， 垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面的平面 称为投影面垂直面。 称为投影面垂直面。 投影面垂直面分为三种： 投影面垂直面分为三种： 铅垂面 (⊥于H 面，∠于V 面和W 面) 正垂面 侧垂面 (⊥于V 面，∠于H 面和W 面) (⊥于W 面，∠于H 面和V 面)
6
YH
二、投影面平行面
• 平行于某一投影面的平面称为投影面平行面 平行于某一投影面的平面称为投影面平行面。 投影面平行面分为三种： 投影面平行面分为三种： 水平面 (∥于H 面，⊥于V 、W 面) 正平面 (∥于V 面，⊥于H 、W 面) 侧平面 (∥于W 面，⊥于H 、V 面)
1.水平面 1.水平面
投影反映实形； 投影特点： 投影特点： H 投影反映实形；
V 投影和 W 投影积聚为直线； 投影积聚为直线； 积聚投影垂直于OZ 轴。 V Z a’ A X B a b
实形
b’
c’
a’
b’
Z
c’ a” c” b”
C
a” b”
X
O
YW
o c
c” a c Y b
YH
1.水平面 1.水平面
迹线表示
V
Z
QV
γ
A D
积聚性
类似形
d’ (a’ )
Z
a”
d”
c’ α (b’ )
γ
b” O a d
c”
X
α
B C
O
Xb
YW
Y
类似形
c
YH
2.正垂面 2.正垂面
迹线表示
V
Z
Z RW X
RV
α
γ
O
RW YW
RV
X RH
O
RH Y
YH
3.侧垂面 3.侧垂面 空间分析： 空间分析：
V
类似形
W 投影积聚为-倾斜线； 投影积聚为-倾斜线； 投影特点： 投影特点：反映α和β ； H 投影和 V 投影为类似形。 投影为类似形。 Z Z β
b’ a’ c’ x a b c o
例2 含水平线BC（bc，b’c’）作平面P 平行于H 面。
b’ c’ PV
x b c
o
三、一般位置平面
倾斜于三个投影面的平面，称为一般位置平面。 倾斜于三个投影面的平面，称为一般位置平面。 类似形。 投影特点： 三个投影均是类似形 投影特点： 三个投影均是类似形。
A B
QV
C
Z
QW
QW
X
O
X
o
YW
Y
YH
2.正平面 2.正平面
实形
投影特点： 投影反映实形； 投影特点： V 投影反映实形；
H 投影和 W 投影积聚为直线； 投影积聚为直线； 积聚投影都垂直于 积聚投影都垂直于OY 轴。 Z
Z
V
X
O
YW
X
o Y
YH
2.正平面 2.正平面
迹线表示
Z
V
Z
X
O
PW
YW
P
X o
PW
Y
PH
YH
PH
3.侧平面 3.侧平面
投影特点： 投影反映实形； 投影特点： W 投影反映实形；
H 投影和 V 投影积聚为直线； 投影积聚为直线； 积聚投影垂直于OX 轴。
V
Z
实形
Z
X
o Y
X
O
YW
YH
3.侧平面 3.侧平面
迹线表示
V
Z
RV R
X
Z
RV
O
X
o
YW
RH
Y
RH
YH
作正平面。 例1 包含点A（a，a’）作正平面。 轴的直线。 正平面的水平投影为一条∥OX 轴的直线。
1.铅垂面 1.铅垂面 H 投影积聚为-倾斜线； 投影积聚为-倾斜线； 空间分析： 投影特点： 空间分析： 投影特点：
类似性
Z
a' b' B A c' O a cγ C a” b”
反映β和γ 投影为类似形。 V 投影和 W 投影为类似形。
V
类似性
a' b'
Z b” c' O
a”
X
β b
c”
X
b a
β
c” YW
γ c YH
积聚性
Y
1.铅垂面 1.铅垂面
迹线表示?
Z Z PV X β PH γ YH Y
O
V
PV
X
P PW
PW YW
O
PH
2.正垂面 2.正垂面 空间分析： 空间分析：
V
V 投影积聚为-倾斜线； 投影积聚为-倾斜线； 投影特点： 投影特点：反映α和γ； H 投影和W 投影为类似形。 投影为类似形。 Z