电磁场与电磁波--真空中恒定场的基本规律

=rr
rr
R12 = rr rr
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
r
rr
蜒 蜒 r
F12
C2
0
C1 4π
I2dl2
(I1dl1 R132
R12 )
C2
r C1 dF12
r
rr
r dF12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12 ) R132
对比
r rr dFm Idl B
电流元
r Idl
E(r)
1
4 0
qR R2
E(r) 1
4 0
V
R2
RdV
• 安培力定律：
f 0
4
Idl (I dl 'R)
l l
R2
• 电流产生磁场：毕奥沙伐定理
B(r ) 0
4
I dl R l R2
B(r ) 0
4
V
JR R2 dV
Ñ S
rr E dS
q
0
1
0
4 3
a30
E
0a3 3 0 r 2
(r a)
（2）求球体内一点的场强
Ñ S
r E
r dS
1
0
V 0dV
4
r2E
0 0
4 3
r3
E
0r 3 0
（r a）
0 r r
a
E
a
r
2.2 真空中静电场的基本规律
例2.2.4 设半径为a，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真空，计
带电球壳
多层同心球壳
均匀带电球体
2.2 真空中静电场的基本规律
• 轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。
• 无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。
2.2 真空中静电场的基本规律
例2.2.3 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a ，电 荷密
度为 0 。
解：（1）球外某点的场强
取半径为 r ，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高
斯定律
E dS q
S
0
2.2 真空中静电场的基本规律
因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与上下 端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为
蜒 S EvdSv
S1
EdS
E ?
dS
S1
2 rLE
当 r < a 时，则电量 q 为 q r2 L , 求得电场强度为
r E(0,0, z)
r ez
S0z 2 0
(
z
2
1 a2 )1/2
(z2
1 b2 )1/2
由于电荷分布的对称性，对称两个面元上 的电荷量是相同的，在P点产生的电场强 度的径向分量相互抵消，P 点的电场强度 只有Z方向叠加。
若a=0
r E(0,0, z)
r ez
S0z 2 0
1 z
(z2
1 b2 )1/2
z0
0
z0
且
2.2 真空中静电场的基本规律
r E(0,0, z)
r ez
S0z 2 0
1 z
(z2
1 b2 )1/2
z0
0
z0
若a=0，b=∞
r E(x,
y,
z)
erz
S0z 20 z
z0
0
z0
2.2 真空中静电场的基本规律
3.几种典型电荷分布的电场强度
➢ 均匀带电直线段的电场强度：
r B
er
B(
)
(1) 0 a
取安培环路 ( a) ，交链的电流为
I1
I πa2
π 2
I
2
a2
应用安培环路定理，得
2π B1
0
I2
a2
r B1
r e
0I
2πa2
a b
c
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
(2) a b
2π B2 0I
r B2
er
0I 2π
(3) b c
I3
I
I
v E
r 2 0
evr
当 r > a 时，则电量 q 为q a2L , 求得电场强度为
v E
a2 2 0 r
evr
2.2 真空中静电场的基本规律
上式中a2 可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场
可以看作为位于圆柱轴上线密度为 l a2r 的线电荷产生的电场。 由此我们推出线密度为l 的无限长线电荷的电场强度为
静电场的散度（微分形式）
静电场的高斯定理（积分形式）
Er(rr )
(rr ) 0
Ñ S Er(rr
r )dS
1
0
V
(rr
)dV
高斯定理表明：静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止于负电荷。
2. 静电场旋度与环路定理 静电场的旋度（微分形式） Er (rr ) 0
静电场的环路定理（积分形式）
Ñ C
r B(0)
erz
0 I
2a
当场点P 远离圆环，即z >> a 时，因 (z2 a2 )3/2 z3 ，故
r B
erz
0 Ia 2
2z3
作业：习 题 2.6, 2.8，2.14
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
2.3.2 恒定磁场的散度和旋度
1. 恒定磁场的散度与磁通连续性原理
恒定场的散度（微分形式）
在
rr处产生的磁感应强度为
r dB12
0
4π
rr I1dl1 R12
R132
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
任意电流回路 C 产生的磁感应强度
蜒 Br (rr) 0
4π
C
r Idl
(rr
rr rr 3
rr)
0
4π
rr Idl R C R3
体电流产生的磁感应强度
Br (rr
)
0
4π
V
J (rr) R3
2.2 真空中静电场的基本规律
例2.2.2 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。
解：根据题意，选取圆柱坐标系 面元： dS ' 'd 'd '
r
E(r)
1
4 0
S
S
(rr) R3
r R
dS
面元上的电荷量： dq S0dS ' S0 'd 'd '
电荷源位置矢量： rr er
E Ez
l 4π 0
l 4π 0
(cos1 (sin 2
cos sin1
2) )
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E
l 2π 0
（无限长）
➢ 均匀带电圆环轴线上的电场强度：
Ez
(0,
0,
z)
2 0
al z (a2 z2
)3
2
2.2 真空中静电场的基本规律
2.2.2 静电场的散度与旋度
1. 静电场散度与高斯定理
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
r 2. 磁感应强度 B 的定义
磁感应强度：描述磁场对运动电荷的作用力的的大小和方向的特性。
r rr Fm q0v B
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
r 3. 磁感应强度 B 的大小
B lim Fm max q0 0 q0v
4. 电流源在磁场中所受的力
r rr dFm Idl B
P 点的位置矢量：
rr
r ez z
从此电荷源到z 轴上P 点的距离矢量
S0
r R
rr
rr
r ez
z
r e
R rr rr z2 +2
2.2 真空中静电场的基本规律
因此有
Er (rr ) 1
S
0
(rr)
r R
dS
40
S0
S b
R3
2π
r ez
z
r e
dd
4π0 a 0 (z2 2 )3/2
算该带电圆柱体内外的电场强度。
z
解：选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱的轴线。
S1
由于圆柱是无限长的，对于任一 z 值，上 下均匀无限长，因此场量与 z 坐标无关。对
L
y 于任一 z 为常数的平面，上下是对称的，因
x
此电场强度一定垂直于z 轴，且与径向坐标 r
一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特
a
点，场强一定与角度 无关。
2π 0
(erxcos
erysin
)d
0
r
B(z)
0 Ia
4π
2π 0
(z2
r ez a a2 )3/2
d
'
0 Ia 2
2(z2 a2 )3/2
，所以
可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为圆环
上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分量相互抵消。
在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即
r Idl
dq dt
r dl
dq
r dl dt
dqvr
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
5、磁感应强度的计算 .安培力定律
实验表明，真空中的载流回路 C1 对载流
回路 C2 的作用力
r
rr
蜒 r
F12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12 )
C2 C1
R132
0 4 107 H m
r R12
2 b2
c2 b2
I
c2 2
c2 b2
应用安培环路定律，得
2π B3
0I (c2 2 )
c2 b2
r B3
er
0I 2π
c2 2
c2 b2
(4) c I4 0
r B4 0
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
电场与磁场的比较
• 库仑定律：
F1
1
4 0
q1qR R2
• 点电荷产生电场：
r e
Iad
'
r (ez
z
r e
a)
r e
Iazd
'
r ez
Ia
2d
'
轴线上任一点P ( 0, 0, z )的磁感应强度为
r
B(z)
0 Ia
4π
rr
2π 0
e (z2
z eza a2 )3/2
d
Prr
r R
a o
rr
y
x
Idl
载流圆环
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
由于
2π 0
r e
d
位于xy 平面上，则所求场点为P (0, 0, z ) , 如图 所示。采用圆柱坐标系，
圆环上的电流元为
位置矢量为 rr erz
r Idl
er
Iad
z ，故得
'
,
其位置矢量为 rr er a，而场点 P 的
rr
rr
r ez
z
r e a,
rr rr (z2 a2)1/2
z
r Idl
(rr
rr)
S0
由于
r e
r ex
cos
r ey
sin
且
2 0
r e
d
2 0
π
r (ex
cos
r ey
sin
)d
0
故
Er (rr)
r ez
S0z 2 0
b a
d (z2 2 )3/2
r ez
S0z 2 0
(
z
2
1 a2 )1/2
(z2
1 b2 )1/2
2.2 真空中静电场的基本规律
结果分析：
v E
l 2π 0 r
evr
由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利
用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积
分计算电位或电场强度，显然不易。
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
1. 什么是磁场？
存在于载流回路或永久磁铁周围空间，能对运动电荷施力的特 殊物质称为磁场。
产生磁场的源：a.永久磁铁 b.电流周围，即运动的电荷 c.变化的电场
强度。
解：分析场的分布，取安培环路如图
rr
Ñ C B dl B1l B2l 0JS0l
C
根据对称性，有 B1 B2 B ，故
r B
er y
0 JS0
2
er y
0 J S
2
0
x0 x0
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
例2.3.3 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
解
选用圆柱坐标系，则
Bv(rr ) 0
磁通连续性原理（积分形式）
Ñ S
Br (rr
)
r dS
0
磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁感应线是无起点和
终点的闭合曲线。 2. 恒定磁场的旋度与安培环路定理
恒定磁场的旋度（微分形式）
安培环路定理（积分形式）
Bv(rr
)
0
r J
(rr
)
Ñ C
Br (rr
)
r dl
0
S
（无限长）
• 载流圆环轴线上的磁感应强度：
r B(0, 0,
z)
r ez
0 Ia2
2(a2 z2 )3
2
z
2
I M 1
载流直线段
z
M
ao
y
x
I
载流圆环
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
例 2.3.1 计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。
解：设圆环的半径为a，流过的电流为I。为计算方便取线电流圆环
r J
(rr
)
r dS
0I
安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁
场的旋涡源。
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
3. 利用安培环路定理计算磁感应强度
在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算
磁感应强度。
例2.3.2 求电流面密度为
r JS
r ez
J
S
0
的无限大电流薄板产生的磁感应
Er(rr
r ) dl
0
环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关。
2.2 真空中静电场的基本规律
3. 利用高斯定理计算电场强度 在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。
具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：
• 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。
r R dV
面电流产生的磁感应强度
z
C Idl M
r R
r y
o
Br (rr ) 0
4π
S
JS
(rr) R3
r R dS
x
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
3. 几种典型电流分布的磁感应强度
• 载流直线段的磁感应强度：
r B
r e
0I 4π
(cos1
cos2 )（有限长）
r B
er
0 I 2π