Newton迭代法

第四章 一元方程求根/非线性方程组数值解法初步

4．3 Newton 迭代法 1. Newton 迭代法

解一元非线性方程组

0)(=x f （4.3.1）

的Newton 迭代法是不动点迭代法的一种特殊形式。可从不同途径导出Newton 迭代公式，这里采用Taylor 展开。

设方程0)(=x f 的根*x 的一个近似值0x ,将)(x f 在0x 附近展开得

20000)(!

2)

(''))((')()(0x x f x x x f x f x f -+

-+==ξ 或表示为 200000)()

('2)

('')(')(x x x f f x f x f x x ---=ξ （4.3.2）

其中设

0)('0≠x f ，''f 存在、连续，而ξ在x 与0x 之间。忽略上式最后一项

*x 的一个新近似值

)

(')

(0001x f x f x x -

= 把1x 代替上式右端的0x ，并设

0)('1≠x f ，于是又得新近似值

)

(')

(1112x f x f x x -

=

如此继续，可知当),2,1,0(0)(' =≠k x f k 可得

),2,1,0()

(')

(1 =-=+k x f x f x x k k k k （4.3.3）

这就是著名的Newton （牛顿）迭代公式。在迭代序列收敛的情况下，取一定精度的迭代值

k

x 作为方程

0)(=x f 的根*x 的近似值，这就是解方程组

0)(=x f 的Newton 迭代法。显然，它以在*x 附近函数0)(=x f 线性化为基

础，并以

),2,1,0(0)(' =≠k x f k 为前提。

例 4.3.1 用Newton 迭代法求下列方程的近似根：

1-x xe =0

解 令 1)(-=x xe x f ,则

x x xe e x f +=)(',于是迭代公式为

),1,0(1

1 =+--=+k e

x e e x x x k

k

k

x

k x x k k k 整理得

),1,0(11 =+--=-+k x e x x x k

x

k k k k

取5.00=x 请同学们自己动手完成

2．Newton 迭代法的收敛性

Newton 迭代公式作为不动点迭代，其迭代函数为 )

(')

()(x f x f x x -

=ϕ 从而有

2

22)]

('[)

('')()]('[)('')()]('[1)('x f x f x f x f x f x f x f x =--=ϕ 可见，如果在方程

0)(=x f 的根*x 的某个邻域内0)('0≠x f (从而有

0)('*≠x f ，即*x 是单根的情况)，''f 存在并连续（从而有界），则只要x 足够靠近*

x ，(从而|)(|

x f 足够靠近0)，就有1|)('|<≤L x

ϕ,于是根据定理4.2.1

的推论，Newton 迭代公式收敛于*

x ，并且0)(*=x f 导致 0)('*=x ϕ，于是

又根据收敛阶的判定定理4.2.4 ，可知Newton 迭代公式在单根附近至少是2阶

的。下面陈述定理。 定理 4.3.1 设

0)(*=x f , 0)('*≠x f , 且在*x 的邻域上''f 存在、连续，则

可得

(1) Newton 迭代公式在单根情况下至少2阶收敛；

(2) )

('2)

('')()(lim **2**1x f x f x x x x k k k =--+∞

→ （4.3.4） 证明： 只须证明结论(2). （4.3.2）式中的0x 和x 可分别换为k x 和*

x ， 在k x 这

一点用Taylor 展开得

2*

*)()

('2)('')(')(k k k k k x x x f f x f x f x x ---

=ξ

再与

)

(')

(1k k k k x f x f x x -

=+相减，则易得

2*

*

1)()

('2)(''k k k x x x f f x x -=-+ξ

注意到：当

∞→k 时，*x →ξ， *x x k →，由上式取极限即可得结论(2)

3．Newton 法的计算机算法 ① )(00

x f F =； )(''00x f F =

② 如果 0'0=F ，则输出“方法失败”并停机

③ 对 ,,,2,1K k =做

a. '/0001F F x x -=

b. )(11

x f F =; )(''11x f F =

c. 如果101||

ε<-x x 或 21||ε

d. 如果 0'1=F ，则输出“方法失败”并停机

e. '';;101010

F F F F x x ===

④ 输出“经K 次迭代仍无满足要求的近似解”并停机。

4．Newton 法对方程重根的处理 对于 *

x 为

0)(=x f 的m 重根(1>m )的情形，这时

)()()(*x g x x x f m -=

其中g2阶可导，0)(*

≠x g ，于是由

)

(')()()()

()()(')()(*1**x g x x x g x x m x g x x x x f x f x x m

m m -+---=-=-ϕ