牛顿法
牛顿(Newton)法
（2） 取初值 x 0 ∈ [ a , b ] ,使 f ( x 0 ) f " ( x 0 ) > 0
f " (ξ n ) (α − xn )2 , 故 α = xn+1 − 2 f ' ( xn ) xn+1 − α f "(ξn ) f "(α ) > 0(二阶收敛 )若 f " (α ) ≠ 0 → 2 = 2 f '( xn ) 2 f '(α ) = 0(大于二阶收敛 )若 f " (α ) = 0 xn − α
所以，此时Newton迭代法至少是二阶收敛的。 所以，此时Newton迭代法至少是二阶收敛的。 Newton迭代法至少是二阶收敛的
牛顿下山法 下山法——牛顿法的局部微调 牛顿法的局部微调 二. 牛顿下山法 牛顿法的
原理： 减小， 原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 x k + 1 ，使得 f ( xk+1 ) < f ( xk ) 。 xk xk+1
]有单根α ] 设 f ( x ) = 0 在[a,b]有单根α，且 f ( x ) 在[a,b]上有 直到二阶的连续导数。 直到二阶的连续导数。
Newton迭 则 求 f ( x ) = 0的 单 根 α 的 Newton 迭 代 法 如 果 收 敛 , 其收敛至少是二阶的。
证明: 由定理2.3.1的证明有： 证明: 由定理2
牛顿法拟牛顿法
牛顿法拟牛顿法牛顿法是一种求解非线性方程的方法，其原理是在迭代中使用方程的导数来近似方程的根。
虽然牛顿法非常有效，但它往往需要非常精准的初始猜测才能保证收敛性。
另一种类似于牛顿法的方法是拟牛顿法，它可以通过逐步调整矩阵B来近似牛顿法的矩阵Hessian。
本文将介绍牛顿法和拟牛顿法的原理和应用。
一、牛顿法假设有一个n维非线性方程系统f(x)=0，其中x是一个n维向量。
牛顿法中的每个迭代都是通过以下公式来更新当前估计xk的：xk+1=xk-Hk^(-1)fk其中Hk是f(x)的Hessian矩阵在xk处的值，假设Hk是可逆的。
牛顿法的优点是它快速收敛，并且可以通过适当选择初始估计来实现收敛。
另一个好处是它可以直接用于求解大型系统，因为它只涉及二次导数的计算。
然而，牛顿法的缺点是它需要计算Hessian矩阵，这通常是一个费时且复杂的任务。
另一个问题是当Hessian矩阵的条件数（即最大特征值与最小特征值之比）很大时，牛顿法的收敛可能会变得很慢。
二、拟牛顿法拟牛顿法的思想是利用一个矩阵Bk来代替牛顿法中的Hk矩阵。
Bk是一个正定对称的矩阵，其初值通常为单位矩阵In。
在每个迭代中，Bk被更新为一个近似的Hessian逆矩阵。
最常用的拟牛顿法算法之一是BFGS算法，其更新规则如下：Bk+1=Bk+(yk^Tyk)/(yk^Ts)+(BkSkS^TBk)/(sk^TBksk)其中sk=xk+1-xk，yk=g(xk+1)-g(xk)，g表示f的梯度，^T表示矩阵转置。
该公式是基于以下观察得出的：Bk+1应该满足以下性质：Bk+1是正定对称的。
Bk+1应该近似于Hk+1的逆，其应该满足以下方程：Bk+1sk=yk另外，BFGS算法的收敛速度也相对比牛顿法要慢，因为BFGS算法需要逐步修正矩阵Bk，直到其逼近Hessian矩阵的逆。
三、应用牛顿法和拟牛顿法在许多实际问题中应用广泛，特别是在数学、物理、金融和工程领域。
牛顿法求极值
牛顿法求极值牛顿法是解决多元函数最值问题的有效算法，它是求解一元函数极值时有效的梯度下降法的推广。
它与梯度下降法有着异曲同工之处，即均以梯度为主要信息，求解最值问题。
在梯度下降法中，梯度只是函数值的一阶导数，而牛顿法则以函数的二阶导数的信息来求解最值问题。
一、牛顿法求多元函数极值牛顿法求多元函数极值,即多元函数极大值或极小值时,首先用泰勒展开式将这个多元函数表示成一个近似于曲面的近似曲面,再根据泰勒展开式,应用牛顿迭代方法求多元函数极值问题。
它的基本思想是,根据当前点(x1, x2, ..., xn)处的函数值及梯度向量,把这个多元函数变换成一个一元函数,然后采用一元函数求极值的常用方法,一步步迭代求得极值点。
二、牛顿法的基本步骤1、选择一个初始点：(x1,x2,...,xn)2、计算该点的梯度：g(x1,x2,...,xn)3、计算该点的海森矩阵组成的对角阵：H(x1,x2,...,xn)4、计算下一个迭代点：H^-1 * g5、重复步骤2和步骤3，直到||g(x1,x2,...,xn)||停止这里，ε一个正小数，用于控制牛顿法的精度。
三、牛顿法的优势1、牛顿法比梯度下降法更容易收敛：由于牛顿法使用了更多的信息，牛顿法比梯度下降法更容易收敛，而梯度下降法需要经过多次迭代才能收敛。
2、牛顿法速度更快：牛顿法在较大的规模上比梯度下降法更有优势，因为它只需要求解一次海森矩阵，而梯度下降法在每次迭代中都要求解梯度，这影响了它的迭代效率。
3、牛顿法能够更好地求解初值法失效时的最优解：由于牛顿法使用的是更多的信息，它能够更好地求解多元函数的极值，而在梯度下降法中，如果初值法失效，不能收敛，就会得到错误的最优解。
四、牛顿法的不足1、牛顿法需要求解多元函数的二阶导数：牛顿法需要求解多元函数的对称海森矩阵，这需要计算多元函数的二阶导数，这是牛顿法的缺点，而梯度下降法只需要计算函数的一阶导数，这在实际中比较容易。
牛顿法原理
牛顿法原理
牛顿法是一种可以将非线性收敛到最小值的迭代法，是以传统意义上的函数最小值求解和极值求解具有重要意义的数值解法之一。
牛顿法（Newton's Method）或称牛顿迭代法，由英国数学家牛顿提出。
它是一种以逐步逼近的方式来求解极值，也就是最优求解法。
它可以帮助求解数学中连续函数极值及根的值，是近代数值分析的重要组成部分，也是当今最重要的最优方法之一。
牛顿法的基本思想是，如果一个连续函数的图像在某一点处有极值，那么该点处函数的导数为零，它即为函数的极值点。
根据这一思想，牛顿法寻找极值点，即就是不断从起点开始，计算梯度并根据梯度计算新的点，然后继续重复上面的步骤，直到收敛为止。
牛顿法的具体步骤有：
（1）确定变量的初始值，使用方程组求解；
（2）计算变量的一阶偏导数；
（3）根据一阶偏导数的函数值更新变量的值；
（4）用新值计算梯度，若精度满足要求，则可结束；若未满足要求，则重复步骤2和3。
在求解函数极值时，牛顿法优于迭代法。
牛顿法不仅使函数值逐渐收敛到极值，而且保持精度高。
其收敛速度快，收敛精度高，且稳定性好，而迭代法则收敛缓慢，而且收敛精度也不高。
总之，牛顿法是通过不断迭代计算求取函数极值的一种简便有效的求解方法，利用它求解特定类型函数的极值及其根可以弥补非线性方程其他求解方法的盲点，大大的提高了求解的效率。
牛顿法
牛顿法牛顿法（英语：Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（英语：Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
起源：牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》（Method of Fluxions，1671年完成，在牛顿去世后的1736年公开发表）中提出。
约瑟夫·鲍易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。
原理：二阶逼近牛顿法对局部凸函数找到极小值，对局部凹函数找到极大值，对局部不凸不凹函数可能找到鞍点牛顿法要求估计二阶导数。
牛顿法据称比直接计算要快了4 倍。
其中的两次迭代（第二步迭代被注释掉了）就是用的牛顿法来求解方程，也就是的根。
牛顿法的思想其实很简单，给定一个初始点，使用在该点处的切线来近似函数，然后寻找切线的根作为一次迭代。
比如对于这个例子，令，给定初始点，在该点处的导数是，由此可以得到该处的切线为，求解得到正是代码中的迭代。
当然代码的重点其实不在这里，而在0x5f3759df这个奇怪的magic number，用于得到一个好的初始点。
这个神奇的数字到底是谁发现的，根据wikipedia 上的说法似乎至今还没有定论。
xkcd 还为此画了一条漫画，讽刺说每次我们惊奇地发现工业界里不知道哪个无名人士写出了0x5f3759df之类的神奇数字，背后都有成千上万的其他无名人士我们无从知晓，说不定他们中的某一个人已经解决了P=NP 的问题，但是那人却还在调某个自动打蛋器的代码所以我们至今仍无知晓。
:D回到我们今天的话题，从这段代码中我们可以看到两点：牛顿法收敛非常快，对于精度要求不是特别高的情况，比如上面的图形学相关的计算中，甚至只用了一次计算迭代。
另一方面，初始值的选取非常重要，我们接下去将会看到，初始值选得不好有可能会直接导致算法不收敛。
牛顿法
牛顿迭代法编辑同义词牛顿法一般指牛顿迭代法牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
中文名牛顿迭代法外文名Newton's method别名牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法提出时间17世纪目录1 产生背景2 牛顿迭代公式3 其他迭代算法▪欧几里德算法▪斐波那契数列4 C语言代码5 C++代码6 matlab代码▪定义函数▪主程序7 Python代码8 Java代码9 JavaScript代码10 Fortran代码产生背景编辑多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可解，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
牛顿迭代公式编辑设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线，，则与轴交点的横坐标，称为的一次近似值。
过点做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。
重复以上过程，得的近似值序列，其中，称为的次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程线性化的一种近似方法。
把在点的某邻域内展开成泰勒级数，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即，以此作为非线性方程的近似方程，若，则其解为，这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：。
已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。
并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
牛顿法求最小值
牛顿法求最小值
牛顿法是一种常用的数值优化方法，可以用来求解函数的最小值。
首先需要知道函数的一阶和二阶导数，然后通过迭代的方式逐步逼近最小值。
具体步骤如下：
1.选择初始点x0
2.计算函数的一阶和二阶导数f′(x)和f′′(x)
3.根据牛顿法公式，求解下一个点的值x1=x0-f′(x0)/f′′
(x0)
4.重复步骤2和3，直到满足停止条件为止。
停止条件可以选择迭代次数或者函数值的变化量小于某个阈值。
需要注意的是，牛顿法可能会在某些情况下产生发散或不收敛的情况，因此需要对函数进行一些特殊处理或者选择其他的数值优化方法。
- 1 -。
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton Newton’’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
收敛。
牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：x-d gk k×Gg sks×GGd 101x x x -（1）令k k G v I k G -=+，其中：，其中：0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。
否则。
（2）计算_k G 的Cholesky 分解，_T k k k k G L D L =。
（3）解_k k G d g =-得k d 。
（4）令1k k k x x d +=+牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算()()'k k f x f x 及，计算量较大且有时()'k fx 计算较困难，二是初始近似值0x 只在根*x附近才能保证收敛，如0x 给的不合适可能不收敛。
牛顿法求零点的方法
牛顿法求零点的方法牛顿法，也被称为牛顿-拉弗逊方法，是一种用于求解方程零点或找到函数极值的迭代方法。
下面将展开详细描述50条关于牛顿法求零点的方法：1. 函数定义：牛顿法需要求解的函数f(x)在某一区间内具有连续的一阶和二阶导数。
2. 选择初始值：从初始值x₀开始迭代求解，初始值的选取对收敛速度有重要影响。
3. 迭代公式：根据牛顿法的迭代公式xᵢ₊₁ = xᵢ - f(xᵢ)/f'(xᵢ)进行迭代计算，直至满足精度要求。
4. 收敛性分析：对于给定初始值，需要分析函数性质，判断牛顿法求解是否会收敛到目标零点。
5. 判断收敛：通过设定迭代次数限制或者迭代精度要求来判断牛顿法的求解是否已经收敛。
6. 求解零点：当收敛判据满足后，将得到一个近似的函数零点作为结果输出。
7. 牛顿法的收敛速度：根据函数的性质和初始值的选择来分析牛顿法的收敛速度，可以采取一些加速收敛的方法来提高求解效率。
8. 收敛域的设定：针对特定的函数，可以设定合适的收敛域，加快算法的收敛速度。
9. 牛顿法的误差分析：对于连续函数，可分析牛顿法的误差收敛性，了解迭代逼近零点的精确度。
10. 稳定性分析：牛顿法的稳定性受初始值和函数性质的影响，需要进行稳定性分析，确保算法的可靠性。
11. 牛顿法的优化：可以对牛顿法进行改进，减小迭代次数或增加收敛速度，提高算法的效率。
12. 牛顿法与其他方法的比较：分析牛顿法与二分法、割线法等其他求根方法的优劣，选择合适的方法来求解。
13. 牛顿法的推广：对于多元函数或非线性方程组，可以推广牛顿法来求解多元函数的零点。
14. 牛顿法的受限条件：在实际应用中，需要考虑函数的定义域和受限条件，对牛顿法进行适当的调整。
15. 牛顿法的数值稳定性：需要考虑数值计算过程中的舍入误差和数值不稳定性，保证计算结果的准确性。
16. 牛顿法的局部收敛性：牛顿法的局部收敛性可能受到函数的振荡和奇点等因素的影响，需要加以分析和处理。
牛顿法原理
牛顿法原理牛顿法，又称为牛顿-拉弗森法（Newton-Raphson method），是一种用于求解方程的迭代方法。
它是由英国科学家牛顿在17世纪提出的，被广泛应用于数值分析和优化问题的求解中。
牛顿法的原理非常简单，但却非常有效，可以在较短的时间内得到较为精确的解。
下面我们将详细介绍牛顿法的原理和应用。
首先，我们来看一下牛顿法的基本原理。
假设我们要求解一个方程f(x)=0的根，我们可以首先选择一个初始值x0，然后通过不断迭代的方式来逼近方程的根。
具体的迭代公式如下所示：\[ x_{n+1} = x_n \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]其中，xn表示第n次迭代的近似解，f(xn)表示方程在xn处的函数值，f'(xn)表示方程在xn处的导数值。
通过不断地使用上述迭代公式，我们可以逐渐逼近方程的根，直到满足所需的精度为止。
牛顿法的原理非常简单，但却非常强大。
它可以在较短的时间内得到较为精确的解，尤其对于复杂的非线性方程，牛顿法的收敛速度往往非常快。
然而，牛顿法也有一些局限性，比如对于某些特殊的函数，牛顿法可能会出现迭代发散的情况，此时需要进行适当的调整和优化。
除了求解方程的根之外，牛顿法还可以用于求解优化问题。
在优化问题中，我们往往需要找到函数的极值点，而极值点往往对应于方程的根。
因此，牛顿法也可以被应用于优化问题的求解中，通过不断地迭代来逼近函数的极值点，从而得到最优解。
总之，牛顿法是一种非常有效的数值计算方法，它可以被广泛应用于方程求解和优化问题的求解中。
通过不断地迭代，牛顿法可以在较短的时间内得到较为精确的解，尤其对于复杂的非线性问题，牛顿法的收敛速度往往非常快。
然而，牛顿法也有一些局限性，需要根据具体的问题进行适当的调整和优化。
希望本文能够帮助大家更好地理解牛顿法的原理和应用，从而更好地应用于实际问题的求解中。
第5章4节牛顿法
二是初始近似 x0 只在根 x *附近才能保证收敛，如
x0 给的不合适可能不收敛.
为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
13
牛顿下山法. 牛顿法收敛性依赖初值 x0 的选取.
如果 x0 偏离所求根 x *较远，则牛顿法可能发散.
解 取初值 x0 10，对 按牛顿迭代公式迭代3 C 115 次 便得到精度为
10 6
2 3 4
的结果
1 C ( xk ). 2 xk
12
（见表5-6).
xk 1
3
牛顿下山法
牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算
f ( xk )及 f ( xk ) ，计算量较大且有时 f ( xk ) 计算较困难，
2
10
再讨论全局收敛性 1）当C>1时，f(x)=x2-C在[1,C]上满足全 局收敛性定理5，迭代法在[1,C]上全局收 敛。 2）当C<1时, f(x)=x2-C在[C,1]上满足全局 收敛性定理5，迭代法在[C,1]上全局收敛。
11
例8
求 115 .
表5 6 计算结果 k 0 1 xk 10 10.750000 10.723837 10.723805 10.723805
于是方程 f ( x) 0 可近似地表示为
f ( xk ) f ( xk )( x xk ) 0.
1
这是个线性方程，记其根为 xk 1 ， 则 xk 1 的计算公式为
xk 1 xk f ( xk ) f ( xk ) ( k 0,1, ),
这就是牛顿(Newton)法. 牛顿法的几何解释. 方程 f ( x) 0 的根 x *可解释为 曲线 y f ( x) 与 x轴的交点的横坐标 （图5-3). 图5-3
简化牛顿法与牛顿下山法的比较
简化牛顿法与牛顿下山法的比较1.引言1.1 概述牛顿法和牛顿下山法都是用于求解方程根或最优化问题的常用数值计算方法。
牛顿法是一种迭代方法，通过使用函数的一阶和二阶导数来找到函数的零点或最小值。
而牛顿下山法则是对牛顿法的改进，在每次迭代时引入一个步长参数，以便更快地接近最优解。
在牛顿法中，我们首先需要给定一个初始猜测值，然后通过使用函数的一阶导数和二阶导数来更新猜测值，直到找到函数的零点或最小值。
牛顿法的优点在于其收敛速度较快，在适当的初始化条件下，通常能够快速找到解。
然而，牛顿法也存在局限性，例如可能出现迭代过程发散的情况，并且在某些情况下需要计算复杂的二阶导数。
与之相比，牛顿下山法在牛顿法的基础上引入了步长参数。
通过在每次迭代时选择合适的步长，可以更快地接近最优解。
牛顿下山法的优点在于其对初值的选择较为不敏感，即使初始猜测值较远离最优解，也能够通过适当的步长控制方法逐渐逼近最优解。
然而，牛顿下山法也存在局限性，例如可能会陷入局部最小值而无法找到全局最小值。
综上所述，牛顿法和牛顿下山法都是求解方程根或最优化问题的常用方法。
牛顿法适用于已知初始猜测值较接近最优解的情况，而牛顿下山法适用于对初始猜测值较不确定的情况。
根据具体的问题要求和初始条件，可以选择合适的方法来进行数值计算。
1.2文章结构文章结构是指文章的框架和组织方式，用于展示文章中各个部分之间的逻辑关系。
本文旨在比较简化牛顿法和牛顿下山法，因此文章的结构应该清晰地展示这两种方法的差异和优劣，同时对它们进行详细的介绍和分析。
下面是文章1.2部分的内容：1.2 文章结构在本文中，我们将按照以下结构来比较简化牛顿法和牛顿下山法：1.2.1 算法原理：- 简化牛顿法的算法原理：该部分将详细介绍简化牛顿法的基本思想和计算步骤，包括如何利用一阶导数和二阶导数进行迭代优化。
- 牛顿下山法的算法原理：这部分将详细介绍牛顿下山法的基本原理，包括如何结合简化牛顿法和线性搜索，在每次迭代中选择合适的下降方向。
高斯牛顿和牛顿法
高斯牛顿和牛顿法
高斯-牛顿法和牛顿法都是优化算法中常用的方法，它们都被用来寻找函数的最小值。
牛顿法是一种基于一阶导数信息的迭代算法，通过不断利用函数的局部信息逼近函数的极值。
其基本思想是在当前点处，利用一阶导数信息构造一个局部的二次模型，并求出该二次模型的极小值点，将其作为下一步的搜索点。
这个过程可以被表示为以下迭代公式：
x_{k+1} = x_k - \frac{f'(x_k)}{f''(x_k)}
其中，x_k表示第k次迭代时的搜索点，f(x)表示要求解的目标函数，f'(x)和f''(x)分别表示目标函数的一阶和二阶导数。
高斯-牛顿法是牛顿法的一种变形，用于求解最小二乘问题。
在最小二乘问题中，我们需要找到使得残差平方和最小的参数向量。
高斯-牛顿法通过在每次迭代中使用雅可比矩阵（残差对参数的一阶导数矩阵）来逼近目标函数，其迭代公式为：
x_{k+1} = x_k - [J(x_k)^T J(x_k)]^{-1} J(x_k)^T f(x_k)
其中，J(x_k)是函数f(x)在x_k处的雅可比矩阵，f(x_k)是x_k处的残差向量。
总之，高斯-牛顿法和牛顿法都是常用的优化算法，用于寻找函数的最小值，但它们的应用范围略有不同。
牛顿法可以处理一般的无约束问题，而高斯-牛顿法则更适合求解最小二乘问题。
matpower牛顿法与快速分解法
matpower牛顿法与快速分解法Matpower的牛顿法和快速分解法是两种常用的电力系统潮流计算方法。
本文将分别介绍这两种方法的原理、优缺点以及在Matpower中的应用。
1.牛顿法牛顿法是一种迭代求解非线性方程组的方法，通过不断线性化方程组，利用牛顿迭代来逼近方程的解。
在电力系统潮流计算中，牛顿法通常用于求解节点电压和潮流功率。
原理：牛顿法基于牛顿-拉夫逊迭代公式，通过不断迭代线性化的方程组，利用雅可比矩阵和残差向量来逼近方程的根。
在每一次迭代中，牛顿法需要求解线性方程组，通常使用LU分解或者Cholesky分解等方法来加快求解速度。
直到满足收敛准则，即残差向量的范数小于一定的阈值，牛顿法计算结束。
优缺点：牛顿法具有收敛速度快和迭代次数较少的特点，尤其是在潮流计算中，对于大规模复杂系统具有良好的适应性。
然而，牛顿法也存在一些缺点。
首先，它需要计算雅可比矩阵和残差向量，计算量较大。
其次，当系统存在发电机停运或者馈线短路等异常情况时，牛顿法可能产生发散甚至不收敛的问题。
在Matpower中的应用：Matpower中的潮流计算函数runpf()默认使用了牛顿法进行潮流计算。
用户可以通过设置options结构体中的method参数为"NR"或者不设置method参数来使用牛顿法。
用户还可以通过设置tol参数来控制迭代的收敛准则。
2.快速分解法快速分解法是一种基于特征值分解的电力系统潮流计算方法，通过将复杂的潮流计算问题转化为求解特征值问题，利用特征值和特征向量对系统进行降维和分解，从而加快计算速度。
原理：快速分解法主要利用了电力系统节点的特征值和特征向量之间的关系，通过特征值的快速排序和特征向量的投影变换，将原始的潮流计算问题转化为求解特征值问题。
快速分解法可以根据特征值的大小来选择求解的精度，从而达到加快计算速度的目的。
优缺点：快速分解法在计算速度上具有优势，尤其是对于大规模系统和复杂情况，可以显著提高计算效率。
Newton-Raphson算法
Newton-Raphson算法简介⽜顿法⼜叫做⽜顿-拉裴森（Newton-Raphson）⽅法，是⼀维求根⽅法中最著名的⼀种。
其特点是在计算时需要同时计算函数值与其⼀阶导数值，从⼏何上解释，⽜顿法是将当前点处的切线延长，使之与横轴相交，然后把交点处值作为下⼀估值点。
图1从数学上解释，⽜顿法可以从函数的泰勒展开得到。
f(x)的泰勒展开可以表⽰为：f(x+\delta)=f(x)+f’(x)\delta+\frac{f’’(x)}{2}\delta^2+O(\delta^3)对于⾜够⼩的\delta，可以将只保留上式右端关于的⼀阶项，得到：\delta=-\frac{f(x)}{f’(x)}于是得到由到的递推公式：x_{i+1}=x_{i}+\delta=x_i-\frac{f(x_i)}{f’(x_i)}可见⽜顿法是让x沿着f(x)梯度的⽅向下降，类似于最优化⽅法中的梯度下降法。
⽜顿法也可以作为最优化算法，只不过那时需要求函数的⼆阶导数。
⽜顿法相⽐⼆分法、截弦法的优点是收敛速度可以达到⼆阶，在根附近没迭代⼀次，结果的有效数字⼏乎可以翻倍。
当然⽜顿法也可能可能失败，⽐如收敛到⼀个局部极值，其切线⽅向与横轴⽔平，从⽽⽆法计算下⼀个迭代值。
另外，⽜顿法的实现需要⽤户提供⼀个函数⽤于计算函数值f(x)与其⼀阶导数值f'(x)，因此⽐较适合函数的导数可以解析求出的情况，如果需要求数值导数，则⽜顿法的收敛速度和精度都会受影响。
我们可以将⽜顿法和⼆分法综合起来形成⼀个混合算法，⼀旦⽜顿法在运⾏过程中出现解跳出给定区间或者猜测值远离实际根导致收敛速度较慢时，就采取⼀步⼆分法。
实现⼀：利⽤预先求出的⼀阶导函数import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef f(FV, PMT, r, n):return PMT * (1 + r) * (((1 + r)**n - 1)) / r + FVdef df(FV, PMT, r, n):r_plus_1_power_n = (1 + r)**np1 = N * PMT * r_plus_1_power_n / rp2 = -PMT * (r + 1) * (r_plus_1_power_n - 1) / r / rp3 = PMT * (r_plus_1_power_n - 1) / rreturn p1 + p2 + p3def newtonRaphson2(FV,PMT,n,f,df,xmin,xmax,maxit,shift=0.0001,tol=1.0e-9):'''函数作⽤说明：计算组合收益率FV：⽬标⾦额PMT：每期投资⾦额n:定投期数f：函数值（根据要求的⽅程⾃定义）df：导数值（根据要求的⽅程⾃定义）xmin：根的下限xmax：根的上限maxit：最⼤迭代次数tol：计算精度'''import mathfxmin = f(FV, PMT, xmin, n)if fxmin == 0.0:return xminfxmax = f(FV, PMT, xmax, n)if fxmax == 0.0:return xmaxif fxmin * fxmax > 0.0:print('Root is not bracketed') # 在[xmin, xmax]内函数不变号（没根），或者是变了偶数次号（多个根）return 1if fxmin < 0.0: # 确定搜索⽅向使f(xl)<0xl = xminxh = xmaxelse:xl = xmaxxh = xminx = 0.5 * (xmin + xmax) # 根的预测值if x == 0:x += shiftfx, dfx = f(FV, PMT, x, n), df(FV, PMT, x, n) # 求f(x)和其⼀阶导数dxold = math.fabs(xmax - xmin) # 储存步长dx = dxoldfor ii in range(maxit):# ⽜顿法的解跳出解区间或者收敛速度太慢，则下⼀步改⽤⼆分法if ((x - xh) * dfx - fx) * ((x - xl) * dfx - fx) > 0.0 or (math.fabs(2 * fx) > math.fabs(dxold * dfx)):# ⼆分法dxold = dxdx = 0.5 * (xh - xl)x = xl + dxelse:# ⽜顿法dxold = dxdx = fx / dfxtemp = xx -= dxif temp == x:print("total iterate time:%s " % ii)return xif math.fabs(dx) < tol: # 达到要求精度，返回找到的根print("total iterate time:%s " % ii)return xif x == 0:x += shiftfx, dfx = f(FV, PMT, x, n), df(FV, PMT, x, n) # 否则继续迭代，求f(x)和其⼀阶导数if fx < 0.0: # 使根保持在解区间内xl = xelse:xh = xprint('Maximum number of iterations exceeded')return 1### 测试⽤例：⾸先给定PMT，n，r_analytical，计算FV，然后利⽤PMT，n，FV计算r_numerical，两者应该相等##给定r_analytical计算FVR=0.1r_analytical = R / 12PMT = -4e3N = 30n = N * 12FV = -PMT * (1 + r_analytical) * (((1 + r_analytical)**n - 1)) / r_analytical##给定FV反解r_numericalr_numerical = newtonRaphson2(FV, PMT, n, f, df, -1, 1, 100, tol=1.0e-8)print('\nr_analytical=%s,\nr_numerical=%s\n' % (r_analytical, r_numerical))实现⼆：利⽤TensorFlow提供的⾃动微分计算导函数import numpy as npimport mathimport pandas as pdimport tensorflow as tfimport matplotlib.pyplot as plt##⼀个利⽤tensorflow的⾃动微分功能实现⽜顿法解⽅程的⼩程序class NewtonRaphson:def__init__(self, y, x, session):self.y = yself.x = xself.grad = tf.gradients(y, x)self.sess = sessionsess.run(tf.global_variables_initializer())def _fx(self, x_value):# 尽量避免出现f(x)不能计算的情况，⽐如函数试图计算a/0，log(0)等，如果计算结果为inf则x+0.0001再进⾏计算 temp = self.sess.run(y, feed_dict={x: [x_value]})[0]if np.isinf(temp):return self.sess.run(y, feed_dict={x: [x_value + 0.0001]})[0]else:return tempdef _dfx(self, x_value):return self.sess.run(self.grad, feed_dict={x: [x_value]})[0][0]def solve(self, xmin, xmax, maxiter, tol):fmin = self._fx(xmin)fmax = self._fx(xmax)if fmin == 0:return xminif fmax == 0:return xmaxif fmin * fmax > 0.0:raise ValueError('Root is not brackted!!')if fmin < 0:xl = xminxh = xmaxelse:xl = xmaxxh = xminx = (xmin + xmax) / 2fx, dfx = self._fx(x), self._dfx(x)dxold = math.fabs(xmax - xmin)dx = dxoldfor ii in range(maxiter):if ((x - xh) * dfx - fx) * ((x - xl) * dfx - fx) > 0.0 or (math.fabs(2 * fx) > math.fabs(dxold * dfx)):dxold = dxdx = 0.5 * (xh - xl)x = xl + dxelse:dxold = dxdx = fx / dfxtemp = xx -= dx# newtonif temp == x:print("total iterate time:%s " % ii)return xfx, dfx = self._fx(x), self._dfx(x)if fx < 0.0:xl = xelse:xh = xprint('Maximum number of iterations exceeded')return 1PV = 1e4FV = 3e6N = 20cpi = 0.018RATE = 0.15r = RATE / 12PMT = 10000x = tf.placeholder(shape=[1], dtype=tf.float32)y=r * (FV * (1 + cpi)**(N) - PV * (r + 1)**x) / ((r + 1)**x - 1 - r) - PMT sess = tf.InteractiveSession()solver=NewtonRaphson(y,x,sess)nmin = 2nmax = 300solver.solve(nmin,nmax,100,1e-9)Processing math: 0%。
求解方程的牛顿法
求解方程的牛顿法牛顿法是一种用于求解非线性方程的迭代方法，具有高效和快速收敛的特点。
它基于泰勒级数展开，通过不断逼近函数的根，最终找到方程的解。
以方程f(x) = 0为例，我们希望找到使得f(x)等于零的根。
牛顿法的基本思想是，在迭代过程中使用函数的切线来逼近根的位置。
具体来说，我们首先选择一个初始点x0，然后根据该点处的切线方程来计算下一个迭代点x1。
重复这个过程，直到满足停止条件为止。
上述过程的迭代公式可以表示为：x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)其中，f'(x_n)表示函数f(x)在点x_n处的导数。
这个公式简单而直观，反复迭代可以逐渐逼近方程的解。
牛顿法的收敛性与初值选择密切相关。
对于理想情况，初始点选择得足够接近根，牛顿法能够以二次收敛的速度逼近解。
但是在实际应用中，初始点的选择可能较为困难。
如果选择的初值距离根较远，可能会导致不收敛或者收敛速度较慢。
因此，正确选择初始点至关重要。
牛顿法还有一些局限性。
首先，该方法需要计算函数的一阶导数，对于一些无法求导或者难以求导的函数，牛顿法不适用。
其次，如果方程具有多个根，那么需要选择合适的初始点来找到具体的根。
此外，牛顿法对于某些情况下的奇点或者迭代过程中出现的数值不稳定问题需要进行特殊处理。
牛顿法作为一种求解方程的迭代方法，被广泛应用于科学计算和工程领域。
因为它的高效性和可靠性，牛顿法在数值计算中扮演着重要角色。
总结起来，牛顿法是一种求解非线性方程的高效迭代方法。
通过不断逼近函数的根，我们可以在有限的步骤内找到方程的解。
然而，为了获得良好的收敛性，我们需要选择合适的初始点，并且需要注意函数的一阶导数的计算和特殊情况的处理。
牛顿法的优点在于收敛速度快，但也存在一些局限性。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择合适的求解方法。
抛物线法和牛顿法
抛物线法和牛顿法抛物线法和牛顿法是解决一元函数极值问题的常用方法。
本文将详细介绍这两种方法的原理和应用。
一、抛物线法抛物线法又称为拟合法，是通过拟合一个抛物线来求出函数的极值点。
它的基本思想是利用函数在三个点上的取值，构成一个二次函数，并用这个二次函数来估计函数的极值点。
假设函数 $f(x)$ 在三个点 $(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))$ 处的取值已知，其中 $x_0<x_1<x_2$，则可以构造一个二次函数：$$y=a(x-x_0)^2+b(x-x_0)+c$$其中 $a,b,c$ 分别是二次函数的系数。
将三个点带入以上方程组得到三个方程：$$\begin{cases}f(x_0)=c \\f(x_1)=a(x_1-x_0)^2+b(x_1-x_0)+c \\f(x_2)=a(x_2-x_0)^2+b(x_2-x_0)+c\end{cases}$$解以上方程组得到 $a,b,c$ 的值，进而求出二次函数的顶点 $(x_*,y_*)$，即为函数 $f(x)$ 的极值点。
抛物线法的优点是简单易懂，只需要三个点就能求解，计算速度较快。
但是其缺点也比较明显，只能处理一元函数，并且需要取得一个较好的初始点才能得到较为准确的解。
二、牛顿法牛顿法是求解函数极值点的高效方法之一，也叫做牛顿-拉夫森法。
它的基本思想是利用函数的一阶和二阶导数信息，以迭代的方式逼近极值点的位置。
牛顿法的迭代公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$$其中 $f'(x_n)$ 和 $f''(x_n)$ 分别是函数 $f(x)$ 在 $x_n$ 处的一阶和二阶导数。
牛顿法的优点是收敛速度快，迭代次数较少。
但是其缺点也很显著，具有迭代路径不稳定、需要求解二阶导数、收敛范围受限等问题。
抛物线法和牛顿法是解决函数极值问题的两种方法。
牛顿法优缺点
⽜顿法优缺点
⽜顿法是梯度下降法的进⼀步发展，梯度下降法利利⽤⽬标函数的⼀阶偏导数信息、以负梯度⽅向作为搜索⽅向，只考虑⽬标函数在迭代点的局部性质；⽽⽜顿法不仅使⽤⽬标函数的⼀阶偏导数，还进⼀步利⽤了⽬标函数的⼆阶偏导数，这样就考虑了梯度变化的趋势，因⽽⽽能更全⾯地确定合适的搜索⽅⽅向加快收敛，它具⼆阶收敛速度。
但⽜顿法主要存在以下两个缺点：
1. 对⽬标函数有较严格的要求。
函数必须具有连续的⼀、⼆阶偏导数，海海森矩阵必须正定。
2. 计算相当复杂，除需要计算梯度以外，还需要计算⼆阶偏导数矩阵和它的逆矩阵。
计算量、存储量均很⼤，且均以维数N的平⽅增加，当N很⼤时这个问题更加突出。
⽜顿法虽然收敛速度快，但是计算过程中需要计算⽬标函数的⼆阶偏导数，计算复杂度较⼤。
⽽且有时⽬标函数的海森矩阵⽆法保持正定，从⽽使⽜顿法失效。
为了克服这两个问题，⼈们提出了拟⽜⽜顿法。
这个⽅法的基本思想是：不⽤⼆阶偏导数⽽构造出可以近似海森矩阵或者海森矩阵的逆的正定对称阵，在拟⽜顿的条件下优化⽬⽬标函数。
不同的构造⽅法就产⽣了不同的拟⽜顿法。
也有⼈把“拟⽜顿法”翻译成“准⽜顿法”，其实都是表⽰“类似于⽜顿法”的意思，因此只是对算法中⽤来计算搜索⽅向的海森矩阵（或海森矩阵的逆）作了近似计算罢了。
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牛顿法一般指牛顿迭代法，牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
牛顿法产生背景
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可解，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
牛顿迭代公式
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。