数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第1章 实数集与函数
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第1章 实数集与函数

(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 akak1ak p ,
则 x
a0
k i 1
ai 10i
10
1 p
1
a p k j 10k j p j 1
Q.
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ; x 0.1010010001.
前页 后页 返回
二、实数的大小
定义1 x, y R+ , 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性,是本章学习的重点与难点.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
前页 后页 返回
记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域 U (a; ) {x | 0 | x a | } : 点 a 的 空心邻域 U (a; ) {x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U(a; ) {x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
3. 令 a0 .a1a2 ,则 是正规小数表示. 4. sup S.
前页 后页 返回
四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb a. 理由如下:设
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k 1 10k1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 pk1, 则 nb 10k1 a.
《数学分析华师大》课件

数学分析是一门重要的数学学科,涵盖了诸多内容,从函数性质到微积分应 用等。本课件将带您深入了解数学分析的各个方面。
导言
学科介绍
数学分析是研究数学对象的性质和变化规律的一门学科。
重要性
它为其他数学学科提供了理论基础,并在科学研究和实际应用中发挥着关键作用。
应用领域
数学分析在物理学、工程学、经济学等众多领域有广泛的应用。
了解连续函数的定义和性质,探索连
续函数的局部性质和级数定义。
3
间断点
研究间断点的各种类型,包括可去间
复合函数
4
断和跳跃间断。
学习复合函数的概念和性质,掌握复 合函数的求导和求极限的方法。
导数与应用
1 导数的定义
深入研究导数的定义和 性质,掌握导数的计算 方法和应用。
2 最值与极值
3 曲线的变化
研究函数的最大值和最 小值,探索极值的判定 条件和优化问题的解法。
函数定义、性质和图像, 理解函数的各种特性和变换。
研究二维和三维曲线曲面的性 质,包括弧长、曲率和曲面积 分。
指数函数
探索指数函数的性质和应用, 了解指数增长和衰减的规律。
极限与连续性
1
极限的概念
深入研究极限的定义和性质,掌握极
连续函数
2
限运算和极限存在的条件。
极坐标和指数形式
研究极坐标和指数形式的复数 表示,深入理解复数的乘方和 开方。
微分方程
1 常微分方程
学习常微分方程的基本概念和解法,掌握常微分方程在实际问题中的应用。
2 偏微分方程
了解偏微分方程的基本概念和分类,研究常见偏微分方程的解法。
3 数值方法
探索数值方法在微分方程求解中的应用,包括欧拉方法和龙格-库塔方法。
§3函数概念数学分析(华师大四版)课件高教社ppt华东师大教材配套.ppt

初等 函数
定义1
D与M是R中非空数集,若有对应法则 f , 使 D内每一个数 x , 都有唯一的一个数 yM 与它相 对应, 则称 f 是定义在 D上的函数,记作
f :D M, x y.
D 称为 f 的定义域;
f (D){ y y f ( x), x D} 称为 f 的值域;
数学分析 第一章 实数集与函数
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§3 函 数 概 念
反函数
函数的定义
函数的四 则运算
复合 函数
反函 数
初等 函数
若函数 f 的定义域为 Df , 满足 : y f (D), 惟一 x D, 使 f ( x) y,
则存在函数 f 1, D f 1 f (D) 且 y f (D), f 1( y) x ,其中 x 是使 f ( x) y 的惟一的 x D. 注 反函数表示式 f 1( y) x 中, y 是自变量, x 是
且 g( x) 0}, x Df , g
f g
(
x)
f (x) g( x)
.
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§3 函 数 概 念
函数的定义
复合函数
函数的四 则运算
复合 函数
反函 数
初等 函数
设函数 f 的定义域为D f ,函数 g 的定义域为Dg , 复合函数 f g 的定义域为
表法和图象法. 解析法表示函数时, 若没有特别指
明其定义域, 则一般约定其定义域为使该解析式
有意义的自变量的全体(即存在域).
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
华师大版数学分析第一章实数集与函数1.4函数的性质ppt

图(1)
12、设定义在[a,+∞)上的函数f 在任何闭区间[a,b]上有界,定义[a, + ∞)上的函数: m(x)= f(y),M(x)= f(y).试讨论它们的图像, (1)f(x)=cosx, x∈[0,+∞);(2)f(x)=x2,x∈[-1,+∞). (2)当x∈[-1,0]时,m(x)=x2;当x∈[0, + ∞)时,m(x)≡0; 当x∈[-1,1]时,M(x)≡1;当x∈[1, + ∞)时,M(x)= x2; ∴m(x)与M(x)的图象如图(2).
(3)f(x)=
=
;
(1)(2)中已证在[-a,a]上, F(x)是偶函数, G(x)是奇函数;
∴在[-a,a]上, 是偶函数; 是奇函数. 得证!
5、设f为定义在D上的函数。若存在σ>0,使得 对一切x∈D有f(x±σ)=f(x),则称f为周期函数, σ为f的一个周期。 在所有周期中最小的周期,称为基本周期, 或简单称为周期。 常量函数没有基本周期。
华东师大第四版数学分析上册课件

数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪,当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪 和19世纪,数学分析得到了全面的发展和完善,产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后,数学 分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合,形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况,通过换元将问题转化为更易 于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种,是函数在某个区间上的积分和的 极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值 定理等性质。
定积分的计算方法
华东师大第四版数学分析上册课件
目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊,是研究实数、极限、连续性和可微 性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家,他 们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和 发展,数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性 为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点,是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上,它强调对概念和定理的精确表述。此外,数学分析还具有连 续性的特点,它研究的是实数域上的连续函数。最后,由于数学分析是许多学科的基础,如物理、工程、经济等 ,它具有广泛的应用价值。
华师大版数学分析第一章实数集与函数1实数ppt

(3)
.
(3)两边平方得:x-1+2x-1-2
≥3x-2;
化简得-
≥0
∴(x-1)(2x-1)=0;解得x=1或x=1/2.
经检验都不符合原不等式,∴原不等式无解。
3、设a、b∈R, 证明:若对任何正数ε有|a-b|<ε,则a=b. 证:设a>b,令ε=a-b>0,则|a-b|=ε,与题设不符, 同理可证a<b时,与题设不符,∴a=b.
(3)
.
(2)∵0≤|x-1|<|x-3|,∴
<1;即-1<
<1.
当x-3>0时,-x+3<x-1<x-3;无解.
当x-3<0时,-x+3>x-1>x-3;解得x<2.
∴原不等式的解为x<2 x<2
02
2、求下列不等式的解,并在数轴上表示出来:
(1)x(x2-1)>0;(2)|x-1|<|x-3|;
ak=bk(k=1,2,…j)而aj+1>bj+1, 则称x大于y或y小于x,分别记为x>y或y<x.
2、设x=a0.a1a2…an…为非负实数。 称有理数xn=a0.a1a2…an为实数x的n位不足近似, 而有理数 =xn+10-n称为实数x的n位过剩近似. 对于负实数x= -a0.a1a2…an…, 其n位不足近似与过剩近似分别规定为 xn=a0.a1a2…an-10-n与 =a0.a1a2…an.
一、实数集与函数
1. 实数
1、(两个实数的大小关系) 给定两个非负实数 x=a0.a1a2…an…,y=b0.b1b2…bn…, 其中a0,b0为非负整数,ak,bk(k=1,2,…)为整数, 0≤ak≤9,0≤bk≤9。 若有ak=bk,k=1,2,…,则称x与y相等,记为x=y; 若a0>b0或存在非负整数j,使得
华东师范大学数学系《数学分析》讲义实数集与函数【圣才出品】

第1章实数集与函数1.1本章要点详解本章要点■实数■数集•确界原理■函数的概念■复合函数与反函数重难点导学一、实数1.实数的表示若规定:012012..(1)999n n a a a a a a a a =- 则有限十进小数都能表示成无限循环小数.2.两个实数的大小关系给定两个非负实数其中a 0,b 0为非负整数,a k ,b k (k =1,2…)为整数,0≤a k ≤9,0≤b k ≤9.若有则称x 与y 相等,记为x =y ;若a 0>b 0或存在非负整数l ,使得则称x 大于y 或y 小于x .分别记为x >y 或y <x .对于负实数x ,y ,若按上述规定分别有-x =-y 与-x >-y ,则分别称x =y 与x <y (或y >x ).另外,自然规定任何非负实数大于任何负实数.3.实数的性质(1)实数集R 对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数.(2)实数集是有序的,即任意两实数a ,b 必满足下述三个关系之一:a <b ,a =b ,a >b .(3)实数的大小关系具有传递性,即若a >b ,b >c ,则有a >c .(4)实数具有阿基米德性,即对任何a ,b ∈R ,若b >a >0,则存在正整数n ,使得na >b .(5)实数集R 具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数.且既有有理数,也有无理数.(6)实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系.任一实数都对应数轴上唯一的一点;反之,数轴上的每一点都唯一地代表一个实数.4.绝对值与不等式(1)绝对值①定义||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩②性质a .|a |=|-a |≥0;当且仅当a =0时有|a |=0;b .-|a |≤a ≤|a |;c .|a |<h ⇔-h <a <h ;|a |≤h ⇔-h ≤a ≤h (h >0);d .三角形不等式:;f .;g ..(2)几个重要不等式①222a b ab +≥, sin 1x ≤, sin x x ≤;②均值不等式:12,,,n a a a +∀∈R ,令1211() n n i ii a a a M a a n n =+++==∑ 1121()nnn i n i i G a a a a a =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏ 12111()111111i n nni i iinn H a a a a n a a =====+++∑∑ 有平均值不等式() () ()i i i H a G a M a ≤≤等号当且仅当12n a a a === 时成立.③Bernoulli 不等式1x ∀>-,有不等式(1)1, n x nx n +≥+∈N ,且当0x ≠时,(1)1nx nx +>+.二、数集•确界原理1.区间与邻域(1)区间设a,b∈R,且a<b.称数集{x|a<x<b}为开区间,记作(a,b);数集{x|a≤x≤b}称为闭区间,记作[a,b];数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}都为半开半闭区间,分别记作[a,b)和(a,b],以上这几类区间统称为有限区间.满足关系式x≥a的全体实数x的集合记作[a,+∞).符号∞读作“无穷大”,+∞读作“正无穷大”.记其中-∞读作“负无穷大”.以上这几类数集都称为无限区间.有限区间和无限区间统称为区间.(2)邻域设a∈R,δ>0,满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域,记作U(a,δ),或简单地写作U(a).即有U(a;δ)={x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U0(a;δ)={x|0<|x-a|<δ}2.上确界与下确界(1)相关概念①设S是R中的一个数集.若存在数M(L),使得对一切x∈S,都有x≤M(x≥L),则称S为有上界(下界)的数集,数M(L)称为S的个上界(下界).若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是有界集,则称S为无界集.②设S是R中的一个数集.若数η满足a.对一切x∈S,有x≤η,即η是S的上界;b.对任何α<η,存在x0∈S,使得x0>α,即又是S的最小上界.则称数η为数集S的上确界,记作η=sup S③设S是R中的一个数集.若数ξ满足a.对一切x∈S,有x≥ξ,即ξ是S的下界;b.对任何β>ξ,存在x0∈S,使得x0<β,即ξ又是S的最大下界.则称数ξ为数集S的下确界,记作ξ=inf S④上确界与下确界统称为确界.(2)重要定理①确界原理:设S为非空数集.若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界;②推广的确界原理:任一非空数集必有上、下确界.三、函数的概念1.函数的定义给定两个实数集D和M,若有对应法则f,使对D内每一个数x,都有唯一的一个数y ∈M与它相对应,则称f是定义在数集D上的函数,记作数集D称为函数f的定义域,x所对应的数y称为f在点x的函数值,常记为f(x).2.函数的表示法主要有三种:表格法、图像法、解析法(公式法).3.几个特殊的函数(1)常值函数y =c其定义域为D =(-∞,+∞),其值域为R f ={c }.(2)绝对值函数0||0xx y x x x ≥⎧⎪==⎨⎪-<⎩其定义域为D =(-∞,+∞),其值域为R f =[0,+∞).(3)符号函数10sgn 0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩其定义域为D =(-∞,+∞),其值域为R f ={-1,0,1}.(4)取整函数:y=[x ],[x ]表示不超过x 的最大整数;(5)“非负小数部分”函数[]y x x =-,(,)x ∈-∞+∞它的定义域是(),D =-∞+∞,值域是[)0,1f R =.(6)狄利克雷函数1()0x Qy D x x Q∈⎧==⎨∉⎩其定义域为D =(-∞,+∞),其值域为f R ={0,1}.(7)取最值函数。
华东师范大学数学分析第四版

? ? 取 ?n ? min 1/ n, xn?1 ? ? , ? xn ? U o(? ; ?n ) I S;
LL .
前页 后页 返回
这样就得到一列 {xn }? S.由 ?n 的取法, {xn }两两
互异,并且
0?
??xn来自? ?n?1, n
由此
lim
n ??
xn
? ?.
定义2?? 定义2 由极限的定义可知这是显然的 .
? ? [an , bn ], n ? 1, 2, L ,
或者
?
? {? } ? [an , bn ].
n?1
? ?
??? ???
?? ?????
? ? ?
??????????????????
???????
? ??
????????
????????
?? ??????
?????
?? ????
???
????
(i) [an , bn ] ? [a n?1 , bn?1 ], n ? 1, 2, L ;
(ii)
bn
? an
?
M 2n?1
?
0;
(iii) 每个闭区间 [an, bn] 均含S 的无限多个点 .
由区间套定理 , 存在惟一的 ? ? [an , bn ], n ? 1, 2, ? .
前页 后页 返回
由定理 1的推论 : 对于任意的正数 ? ,存在 N , 使
定理7.2 (魏尔斯特拉斯 Weierstrass 聚点定理 )
前页 后页 返回
我们再次使用区间套定理来证明聚点定理 , 请务必 要注意在区间套的构成中所建立的性质 (iii).
证 因为S为有界点集 , 所以存在正数 M, 使
华师大版数学分析第一章实数集与函数1.3函数概念ppt

3、由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算 所得到的函数,统称为初等函数。
7、试问y=|x|是初等函数吗? 解:y=|x|= = ; u=x2; 可见 y=|x|是由基本初等函数有限次复合而成的函数, ∴y=|x|是初等函数.
8、确定下列初等函数的存在域: (1)y=sin(sinx);(2)y=lg(lgx); (3)y=arcsin(lg );(4)y=lg(arcsin ).
9、下列函数是由哪些基本初等函数复合而成: (1)y=(1+x)20; (2)y=(arcsinx2)2;
(3)y=lg(1+
); (4)y=
.
解:(1)y=u20, u=v1+v2, v1=1, v2=x; (2)y=u2, u=arcsinv, v=x2; (3)y=lgu, u=(u1+u2), u1=1, u2= , v=u1+w, w=x2; (4)y=, u=v2, v=sinx.
或f(x)=xsgn x
狄利克雷函数:D(x)= 定义在[0,1]上的黎曼函数: R(x)=
1、试作下列函数的图象: (1)y=x2+1;(2)y=(x+1)2; (3)y=1-(x+1)2;(4)y=sgn(sinx);(5)y= 解:如图:
(1)
(2)
(3)
1、试作下列函数的图象: (1)y=x2+1;(2)y=(x+1)2; (3)y=1-(x+1)2;(4)y=sgn(sinx);(5)y= 解:如图:
注: 两个相同的函数对应法则相同,定义域也相同, 但对应法则的表达形式可能不同,如: f(x)=|x|,x∈R和f(x)= ,x∈R.
函数的三种表示法: 即解析法(或称公式法)、列表法和图象法。 在不同的定义域用不同公式表示的函数称为分段函数。
... 确界原理 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt .

一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界*点击以上标题可直接前往对应内容记号与术语(;){|||}:U a x x a a δδδ=-<点的邻域;(;){|0||}:U a x x a a δδδ=<-<o点的空心邻域;(;){|0}:U a x x a a δδδ+=≤-<点的右邻域;(;){|0}:U a x a x a δδδ-=≤-<点的左邻域;(;){|||}:U M x x M M ∞=>∞的邻域;(;){|}:U M x x M M +∞=>+∞的邻域;(;){|}:U M x x M M -∞=<-∞的邻域;.;max :S S 数集的最大值min :S S 数集的最小值后退前进目录退出定义1有界集R,.S S 设⊂≠∅(1)R,,,M x S x M M 若使得则称为∃∈∀∈≤,.S S 的一个上界称为有上界的数集(2)R,,,L x S x L L 若使得则称为∃∈∀∈≥,.S S 的一个下界称为有下界的数集.S 则称为有界集(3),S 若既有上界又有下界:0,,||.M x S x M ∃>∀∈≤其充要条件为使有(1),,S S '若不是有上界的数集则称无上界00R,,.M x S x M ∀∈∃∈>使得(2),,S S '若不是有下界的数集则称无下界00R,,.L x S x L ∀∈∃∈<使得(3),,S S '若不是有界的数集则称无界集000,,||.M x S x M ∀>∃∈>使得即即即[]102[]1,M x M M +=>+>取证取L = 1,{2|N },.nS n +=∈证明数集无上界有下界例1例22+31N .2n S n n ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭证明数集有界证2+31N ,2n n n -∀∈.S 因此有界,,2L x S x n ≥∈=∀则故S 有下界.因此S 无上界.,1,<∈∀M R M 若;210M x >=取,若1≥M 233122n n n ≤+111,22≤+=定义2确界:R . R,满足若设∈≠⊂η∅S S .sup ,S S =ηη记为的上确界是则称;,)i (η≤∈∀x S x ,,(ii)0S x ∈∃<∀ηα0,x α>使得若数集S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中最小的一个具有重要的作用. 确界. 确界.最小的上界称为上同样,若S 有下界,则最大的下界称为下定义3R,.R :S S ξ设若满足⊂≠∅∈(i),;x S x ξ∀∈≥00(ii),,;x S x βξβ∀>∃∈<.inf ,S S =ξξ记为的下确界是则称00,.x S x εξε∀>∃∈<+0,(ii)下确界定义中的亦可换成注2注1由定义,下确界是最大的下界.注4(ii)显然,条件亦可换成:00,.x S x εηε∀>∃∈>-0,注3 条件(i) 说明是的一个上界, S η比小的数都不是的上界,从而是最小的上界S ηη界,条件(ii )说明即上确界是最小的上界.证先证sup S =1.;111,i)(≤-=∈∀n x S x .,211000αα>∈-=≤x S x ,则取若(ii) 1.α<设例3 11,1,2,,S x x n n ⎧⎫==-=⎨⎬⎩⎭设证明L .0inf 1sup ==S S ,.1sup =S 因此,00,10,,,n αεα若令由阿基米德性>=->∃01.n ε使得<00011,1.x S x n εα取则=-∈>-=.0inf =S 因此.0inf =S 再证00(ii)0,0,.x S x αα∀>∃=∈<;011,)i (≥-=∈∀nx S x 以下确界原理作为公理,不予证明.虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的存在性, 不一定有最小值, 例如(0, ∞) 无最小值.这是由于上界集是无限集, 而无限数集确界存在性定理定理1.1(确界原理)设若有上界则必有上确界⊂≠∅S S S SR,.,;若有下界则必有下确界,.S S.,,y x B y A x ≤∈∀∈∀有:.,满足为非空数集设B A 例4.inf sup B A ≤且证明:数集A 有上确界,数集B 有下确界,由定义, 上确界sup A 是最小的上界, 因此, 任意证由假设, B 中任一数y 都是A 的上界, A 中的任界, B 有下确界.y ∈B ; sup A ≤y . 而inf B 是最大的下界, 因此sup A ≤inf B.一数x 都是B 的下界. 因此由确界原理, A 有上确这样, sup A 又是B 的一个下界,例5,R 中非空有上界的数集是设S (i)R,{|},a S a x a x S ∈+=+∈若定义则sup {}sup ;S a S a +=+=∈(ii)>0,{|},b bS bx x S 若定义则sup {}sup .bS b S =⋅证,)i (a S a x +∈+∀,S x ∈其中必有,sup S x ≤于是.sup a S a x +≤+,,00S x ∈∃>∀ε对于使,sup 0ε->S x 从而,0a S a x +∈+且,)(sup 0ε-+>+a S a x 因此.sup )sup(a S a S +=+,)ii (bS bx ∈∀其中,S x ∈必有,sup S x ≤于是.sup S b bx ≤0,0,b εεε'∀>=>令则存在,0S x ∈使0sup ,x S ε'>-因此0sup sup .bx b S b b S εε'>-=-这就证明了.sup }sup{S b bS =非正常确界;R,)i (.1+∞<<∞-∈∀a a 规定supN ,inf{2|N }.nn +=+∞-∈=-∞2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界..sup ,)ii (+∞=S S 记无上界若.inf ,-∞=S S 记无下界若例2 设数集1R ,.A B x A x +⎧⎫⊂=∈⎨⎬⎩⎭求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=例1,M ε1令=001,,.x B x M εε=∃∈<令于是0001,.y A y M x 且=∈>证设sup .A 若=+∞,0.x B x ∀∈>显然0,ε∀>于是0001,.y B y x ε=∈<且因此inf 0.B =sup .A 因此=+∞反之,若inf 0,B =则0,M ∀>求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=sup ,A =+∞则由于00,.x A x M ∃∈>复习思考题2. 1212,,S S S S ⊂和都是数集且21sup sup S S 和比较.inf inf 21的大小和及S S .sup S a =其中形式一定为,),[∞+a 1. 数集S 有上界,则S 的所有上界组成的集合是否3. 在上确界的定义中,00(ii),,x S x αηα使∀<∃∈>能否改为00(ii ),,?x S x αηα'∀<∃∈≥使或改为00(ii ),,?x S x αηα使''∀≤∃∈≥。
第一章 实数集与函数

证明 用反证法 .假若结论不成立 , 则根据实数的有序性
有 a > b.令 e a b , 则 e为正数且 a b e , 这与假设 a b e矛盾 .从而必有 a b.
二. 绝对值与不等式
绝对值定义:
|
a
|
a a
, ,
a0 a0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离:
有严格不等式 (1 x)n > 1 nx. 证 由 1 x > 0且
1 x 0, (1 x)n n 1 (1 x)n 11L1 >
> n n (1 x) n n (1 x).
(1 x)n > 1 nx.
⑷ 利用二项展开式得到的不等式:
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
例1 设x, y为实数,证明: 存在有理数r满足 : x r y.
证明
由于 x
y, 故存在非负整数n,使得 x n
yn.令r
1 2
(xn
yn )
则r为有理数,且有x xn r yn y,即得x r y.
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a b e ,则a b.
数,再在无限小数前加负号.如: -8=-7.999
2.两个实数的大小关系
1)定义1
给定两个非负实数
x a0 .a1a2 L an L, y b0 .b1b2 Lbn L, 其中 a0 , b0为非负整数 , ak , bk (k 1,2,L)为整数 ,0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L, 则称x与y相等,记为x y;
华东师大第四版 数学分析上册

例如, f ( x) x 2 2x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
演示文档来自WPS在线模板 /muban
涟漪
演示文档来自WPS在线模板 /muban
涟漪
演示文档来自WPS在线模板 /muban
涟漪
演示文档来自WPS在线模板 /muban
涟漪
演示文档来自WPS在线模板 /muban
涟漪
xa F ( x) xa F ( x)
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求 导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必
如果 f ( x) 仍属 0 型,且 f ( x), F ( x) 满足
F ( x)
0
定理的条件,可以继续使用洛必达法则,即
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x) xa F ( x)
1 拉格朗日中值定理和函数的单调性
一 罗尔定理与拉格朗日定理 二 单调函数
罗尔(Rolle)定理
罗尔(Rolle)定理 如果函数 f ( x)(1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2)在开区间(a, b) 内可导,(3且 ) 在区间端点的函数 值相等,即 f (a) f (b),那末在(a, b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x) 在该点的导数等于零,
第一章 实数集与函数 第二章 数列极限 第三章 函数极限 第四章 函数的连续性 第五章 导数和微分 第六章 微分中值定理及其应用
§4---具有某些特性的函数数学分析(华师大-四版)课件-高教社ppt-华东师大教材配套课件

*§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期函数定义1有界函数设 f 定义在D 上.R,,(),M x D f x M f D ∃∈∀∈≤若则称在上有上界;R,,(),L x D f x L f D ∃∈∀∈≥若则称在上有下界;R,,(),.M x D f x M f D ∃∈∀∈≤若则称在上有界.上既有上界又有下界在上有界在易证D f D f ⇔00R,,(),M x D f x M f D ∀∈∃∈>若则称在上无上界;00R,,(),L x D f x L f D 若则称在上无下界;∀∈∃∈<00R,,(),.M x D f x M f D ∀∈∃∈>若则称在上无界π:()tan [0,),.2f x x =证明在上无上界有下界例1 π[0,).2上有下界0R,arctan(1),M x M ∀∈=+取π[0,).2上无上界0,L =取证 在因此f 00π[0,),tan 1,2x x M M ∈=+>则且在因此f π[0,),(),2x f x L ∀∈≥则)},(sup{)(x g x g ≤()()sup{()}sup{()},f x g x f x g x ≤因此,sup{()}sup{()}x f x g x 由的任意性可知,)}()({的一个上界是x g x f )}.({sup )}({sup )}()({sup x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈≤因此,()sup{()},x D f x f x ∀∈≤有证 :{()()}{()}{()}.sup sup sup x Dx Dx Df xg x f x g x ∈∈∈≤证明(),().f x g x D 设函数是上的正值有界函数例2例3(),()f x g x D 设在上有界,证明:inf{()()}inf{()}sup{()}.x Dx Dx Df xg x f x g x ∈∈∈+≤+ 证 000,,()inf{()}.x Dx D f x f x εε∈∀>∃∈<+使0()sup{()},x Dg x g x ∈≤又故00()()inf{()}sup{()}.x Dx Df xg x f x g x ε∈∈+<++因此00inf{()()}()()x Df xg x f x g x ∈+≤+inf{()}sup{()}.x Dx Df xg x ∈∈≤+§4具有某些特性的函数 有界函数 奇函数与偶函数 周期函数定义2单调函数∀∈<1212,,,x x D x x 若当时≤12(i)()(),f x f x f D 有则称为上的增函数;<12()(),.f x f x f 特别有时称为严格增函数≥12(ii)()(),f x f x f D 有则称为上的减函数;>12()(),.f x f x f 特别有时称为严格减函数.上的函数是定义在设D f ()()f xg x 不难知道,若和是正值严格增的,则()()f x g x 也是正值严格增的.单调函数证例4 2121N ,R n n n y x-+-∈=任意在上严格增;22+R R nn y x-=在上严格增,在上严格减.上为正值严格增,在由+=R x y 1112y y y =可知.上亦正值严格增在+R +R y n 在由归纳法,若已证,上为正值严格增上亦正值在可知++=R y y y n n 11.严格增12210,0,x x x x <<<-<-若则于是2221212121()(),()(),n n n n x x x x ---<--<-2221212121,nnn n x x x x --<>即.21R n y 上严格减,而在上严格增.--121200,x x x x ≤<<≤若或则21212121121200n n n n xxxx----≤<<≤或,21R n y -这证明了在上严格增.2R n y -这就证明了在[]R,y x=易证函数在上是增函数但非严格例5 增.xyO111-1-222-2-343定理1.211,().f f f D --且在其定义域上也是严格增函数(),,y f x x D f =∈设为严格增函数则必有反函数11,,f f f --类似地严格减函数必有反函数且在其.定义域上也是严格减函数,().x D f x y ∈=使,()f D y f D 设在上严格增则∀∈证 只有一个 1212,()(),x x f x y f x ∃<==事实上,若使f则与.的严格增性质相矛盾,),(,2121y y D f y y <∈∀1212,,y y f x x <<由于及的严格增性必有即111122(),(),x f y x f y --==1112()(),f y f y --<n y 因此的反函+R nn y x =由于在上严格增,例6 +,R rn r y x m==在上亦为严格增.1/+R nn z x =数在上严格增,故对任意有理数1:f 再证必是严格增的-1.f -因此也是严格增函数01,R .a <<时在上严格减121122,,,r r Q x r r x ∃∈<<<使因此11sup{,}x ra a r Q r x =∈<22sup{,}.x ra r Q r x a ≤∈<=1,R xy a a =>证明:当时在上严格增;例7 12121.,,.a x x x x Q >∀<设由的稠密性,证 01,R .xa a <<类似可证当时在上严格减log ,xa y x y a ==由于是的反函数因此+log 1R a y x a =>当时,在上严格增;log a y x =+01,R .a <<当时在上严格减当 12r r a a ≤<§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数周期函数定义1奇函数和偶函数.,:,D x D x D ∈-∈∀必有即关于原点对称设,()(),x D f x f x ∀∈-=-若.f D 称为上的奇函数,()(),x D f x f x ∀∈-=若.f D 称为上的偶函数偶函数的充要条件是:(,)()(,)();x y G f x y G f ∈⇔--∈(,)()(,)().x y G f x y G f 或∈⇔-∈()G f f 显然,若记为的图象,则()f x 是奇函数或奇函数与偶函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数周期函数21sin ,tan ,n y x y x y x+===例如 是奇函数,2cos ,ny x y x ==是偶函数.(=++211ln 1(e e )2x xy x x y -是奇函数=-的反函数,从而它也是奇函数.而 奇函数与偶函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期定义4周期函数),()(,x f x f D x =±∈±σσ且必有,.f f σ则称为周期函数为的一个周期,f 若周期函数的所有正周期中有一个最小的周期f 则称此最小正周期为的基本周期,简称周期..0,f D x D σ∃>∀∈ 设为上定义的函数若使函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期注1 周期函数的定义域不一定是R. 例如:.sin )(x x f =sin 2π,x 的周期为tan π,x 的周期为例8 注2 周期函数不一定有最小周期. 例如狄利克雷函 数以任意正有理数为周期,但没有最小周期. 例9 任意正有理数是狄利克雷函数 的周期. ()D x 证 设+Q ,R.r x ∈∈Q,Q,()1();x x r D x r D x ∈+∈+==若则Q,Q,()0().x x r D x r D x ∉+∉+==若则因此,()r D x 是的一个周期.函数复习思考题1.f (x )在[a ,b ]上定义,是否一定存在某个区间 0000[,][,],()[,]a b a b f x a b ⊂使在上是单调函数?2.构造在[0,1]上定义的函数f (x ),使其在任何 00[,][0,1],().a b f x ⊂上无界3. 用肯定语句叙述下列概念: (1) 非周期函数;(2) 非奇函数; (3) 非单调增函数.。
华师大版数学分析第一章实数集与函数1.2数集与确界原理ppt

2、设S为非空数集。试对下列概念给出定义: (1)S无上界;(2)S无界. 解:(1)设S为非空数集,若对任意M>0, 总存在x0∈S,使|x0|>M,则称数集S无界. (2)设S为非空数集,若对任意M>0, 总存在x0∈S,使|x0|>M,则称数集S无界.
3、证明数集S={y|y=2-x2,x∈R}有上界无下界.
设A、B为非空数集,S=AUB. 证明: 1) sup S=max{sup A, sup B}; 2) inf S=min{inf A, inf B}. 证:依题意,S为非空有界,sup S,inf S都存在. 1)对任何x∈S,有x∈A或x∈B=>x≤sup A或x≤sup B, 从而有x≤max{sup A, sup B}, 故得sup S≤max{sup A, sup B}p S.
设数集S有上确界, 证明:η=sup S∈Sη=max S. 证:设η=sup S∈S,则对一切x∈S有x≤η, ∴η=max S. 设η=max S,则对一切x∈S有x≤η, ∴η是S的上界;且η∈S。 对任何a<η,只须取x0=η∈S,则x0>a, ∴η=sup S.
1、用区间表示下列不等式的解: (1)|1-x|-x≥0;(2)|x+ |≤6; (3)sinx≥ ; (4)(x-a)(x-b)(x-c)>0 (a,b,c为常数,且a<b<c); 解:(1) 1-x≥x或1-x≤- x;即x≤ ; ∴原不等式的解为:x∈(-∞, ]. (2) -6≤x+ ≤6,且x≠0; 当x>0时,-6x≤x2+1≤6x;解得3-2 ≤x≤3+2 ; 当x>0时,-6x≤x2+1≤6x;解得3-2 ≤x≤3+2 ; ∴x∈[3-2 , 3+2 ]∪[-3-2 , -3+2 ]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
前页 后页 Βιβλιοθήκη 回若实数都用无限小数表示,则表达式是唯一的.
即: 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn ,
(2) | a | a | a | .
(3) | a | h h a h, | a | h h a h.
前页 后页 返回
(4) | a | | b | | a b | | a | | b | (三角形不等式). (5) | ab | | a | | b | . (6) a | a | (b 0).
1. 这种对应关系,粗略地可这样描述: 设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n 1之间,则 a0 n. 把(n, n 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间,则 a1 i. 类似可得到 an, n 2, 3, . 这时, 令点 p 对应于 a0 .a1a2 an .
其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 akak1ak p ,
则 x
a0
k i 1
ai 10i
10
1 p
1
a p k j 10k j p j 1
Q.
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ; x 0.1010010001.
前页 后页 返回
二、实数的大小
定义1 x, y R+ , 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
nn
a 与 b 之间的有理数, 而 k 1 π 是 a 与 b 之间 n 4n
的无理数.
例2 若a,b R,对 0,a b ,则 a b.
证 倘若a b,设 a b 0, 则 a b ,
与 a b 矛盾.
前页 后页 返回
六、实数与数轴上的点一一对应
实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.
R : 实数集
N :自然数集(包含0)
R+ : 正实数集 R :负实数集 Q : 有理数集
N+ : 正整数集 : 任意 : 存在
Z : 整数集
前页 后页 返回
一、实数的十进制小数表示
1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示. 若 x R+ , 则 x a0 .a1a2 an ; x R , 则 x a0 .a1a2 an . 其中 a0 N, an {0, 1, 2, , 9}, n 1, 2,.
前页 后页 返回
例1
若
b
0,
则
n N+ ,
使得
1 n
b.
证 令a 1,由阿基米德性, n N+ , 使 nb 1,即
1 b. n
阿基米德 ( Archimedes, 287B.C.-212B.C. , 希腊 )
前页 后页 返回
五、实数的稠密性
1. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间, 必有另一个 实数 c. 例如 c a b . 2
前页 后页 返回
三、实数的四则运算
有理数集 Q 对加、减、乘、除(除数不为 0)是 封闭的. 实数集 R 对加、减、乘、除(除数不为 0)亦是 封闭的. 实数的四则运算与大小关系, 还满足:
(1) x, y R, R+ , 若 x y, 则 x y.
(2) x1 x2 , y1 y2 , 则 x1 y1 x2 y2 .
是正规的十进制小数表示, 规定 a b a0 b0 或 n N+ , 使
a0 .a1a2 an b0 .b1b2 bn , 而an1 bn1. x, y R , 规定 x y x y. x R+ , y R , 规定 y 0 x.
前页 后页 返回
实数的大小关系有以下性质: (1) x y, x y, x y. 三者必有其中之一成立,且只有其中之一成立. (2) 若 x y, y z, 则 x z. 即大小关系具有传递性.
前页 后页 返回
反之, 任何一实数也对应数轴上一点.
2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的
完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论.
前页 后页 返回
七、实数的绝对值与三角形不等式
1. 实数 a 的绝对值 | a | 定义为:
|
a
|
a, a,
a0 a0
.
2. 实数的绝对值性质: (1) | a || a | 0; 当且仅当 a 0 时 | a | 0.
b |b| 3. 三角形不等式 | a | | b | | a b | | a | | b |的证明:
前页 后页 返回
四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb a. 理由如下:设
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k 1 10k1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 pk1, 则 nb 10k1 a.
则 x y an bn , n 0, 1, 2, .
用无限小数表示实数,称为正规表示.
3. Q { x |
x
m ,其中 n
m,n Z,n 0}表示有理数集.
x Q, x 可用循环十进制小数表示,
如
1 7
0.1 42857 .
前页 后页 返回
一般,
若x
m, n
则 x a0 .a1a2 akak1ak p ,
§1 实数
数学分析研究的是实 数集上定义 的函数, 因此我们首先要掌握实数的 基本概念与性质.
前页 后页 返返回回
一、实数的十进制小数表示 二、实数的大小 三、实数的四则运算 四、实数的阿基米德性 五、实数的稠密性 六、实数与数轴上的点一一对应 七、实数的绝对值与三角形不等式
前页 后页 返回
记号与术语
2. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间,既有有理 数又有无理数. 证 若 a b,则由例 1,存在 n N+ , 使
1 1 (b a). n2
前页 后页 返回
设
k
是满足
k n
a
的最大的正整数,即
k 1 n
a.
于是, a k 1 k 2 b, 则 k 1, k 2 是
nn