2016年上海市长宁区中考数学二模试卷及答案
2017上海长宁初三数学二模
初三数学试卷 共4页 第 页 1 2016学年第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间100分钟，满分150分） 2017.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.已知3=4x y ，那么下列各式中正确的是( ) A.74=+y x y ； B. 3-=y x x ； C.3102=+x y x ； D. x －y y ＝14 . 2.把不等式组⎩⎨⎧<-≥+02,132x x 的解集表示在数轴上，正确的表示为( )3.在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的 值为( ) A ．12； B ．22； C ．32；D ．33. 4.如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到点D 为止.在这个过程中，△APD 的面积S 随时 间t 的变化关系用图像表示正确的是( )5.已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则( ) A. AP 2＝AB ·PB ； B. AB 2＝AP ·PB ； C. PB 2＝AP ·AB ； D. AP 2＋BP 2＝AB 2.tSt StStSDCBAOOOOA. B. C. D.-1321-2-1321-2-1321-20-2123-1第4题图第3题图初三数学试卷 共4页 第 页 2 6.下列说法中，正确的是( )A. 一组数据-2，-1，0，1，1，2的中位数是0；B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式；C. 购买一张福利彩票中奖是一个确定事件；D. 分别写有三个数字-1，-2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为13.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：313a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________．8.在实数范围内因式分解：23x -=_________．9.已知函数x x x f 1)(+=，那么）（1-2f =_________．10.已知反比例函数xk y 1-=的图象经过一、三象限，则实数k 的取值范围是_________．11.抛物线a x x y ++=2-2的对称轴是_________． 12.方程11x -=的解为_________．13.已知关于x 的方程02-2=+k kx x 有两个相等的实数根，那么实数k =_________．14.某物流仓储公司用Ａ、Ｂ两种型号的机器人搬运物品，已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克物品，A 型机器人搬运1000千克物品所用时间与B 型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A 型机器人每小时搬运物品x 千克，列出关于x 的方程为_________． 15.化简：=-)313-2b a a （________. 16.如图，在菱形ABCD 中，EF ∥BC ，31=BE AE ，EF ＝3， 则CD 的长为________.17.在△ABC 中，已知BC =4 cm ，以边AC 的中点P 为圆心1 cm 为半径画⊙P ，以边AB 的中点Q 为圆心x cm 长为半径画⊙Q ，如果⊙P 与⊙Q 相切，那么x =_________ cm ．第16题图初三数学试卷 共4页 第 页 3 18.如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且 ∠DAE =45°.设BE =a ，DC =b ，那么AB =_________．（用含a 、b 的式子表示AB ）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：01)2017(45tan 33)21(++--- ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=+++=062-30-4222y x xy x y x ，.21．（本题满分10分） 已知直线321-+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点. （1）求∠ABO 的正切值；（2）如果点A 向左平移12个单位到点C ，直线l 过点C 且与直线1-32y x =+平行，求直线l 的解析式.22．（本题满分10分）小明在海湾森林公园放风筝.如图所示，小明在A 处，风筝飞到C 处，此时绳长BC 为40米，若小明双手牵住绳子的底端B 距离地面1.5米，从B 处测得C 处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE . (计算结果精确到0.1米，)23．（本题满分12分）3 1.732≈第18题图第22题初三数学试卷 共4页 第 页 4 如图，在△ABC 中，点P 是AC 边上的一点，过点P 作与BC 平行的直线PQ ，交AB 于点Q ，点D 在BC 边上，联结AD 交PQ 于点E ，且CP QECD BD，点G 在BC 的延长线上，∠ACG 的平分线CF 交直线PQ 于点F ． （1）求证：PC =PE ；（2）当P 是边AC 的中点时，求证：四边形AECF 是矩形.24.（本题满分12分）已知△OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 在第一象限，点B 在x 轴正半轴上，OA =OB =6， ∠AOB =30°. （1）求点A 、B 的坐标；（2）开口向上的抛物线经过原点O 和点B ，设其顶点为E ，当△OBE 为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设半径为2的⊙P 与直线OA 交于M 、N 两点，已知MN =32， P (m ，2）（m>0),求m 的值.25.（本题满分14分）如图，△ABC 的边AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，已知AC =6 cm ，BC =8 cm ，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且点P 不与点A 、B 重合，BQ =k ·AP （k >0），连接PC 、PQ ． （1）求⊙O 的半径长；（2）当k =2时，设AP =x ，△CPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△CPQ ∽△ABC ，且∠ACB =∠CPQ ，求k 的值.第24题图yxBAO第23题图GQFEABCP初三数学试卷 共4页 第 页 52016学年第二学期初三数学教学质量检测试卷参考答案及评分建议2017.4一、选择题：1．A ； 2．B ； 3．B ； 4．C ； 5．C ； 6．D ． 二、填空题：7．3ab ； 8．(x x ； 9． 10．1k >； 11．直线1x =； 12．2x =；13．0或1； 14．100080020x x =-； 15．3a b +； 16．12；17．1或3； 18三、解答题：19．解：原式=(231-+． ·························································································· （8分）． ··············································································································· （2分）20．解：由①得20x y +=或20x y -=． ········································································· （2分）原方程组可化为 （Ⅰ）2203260.x y x xy x y +=⎧⎨-+++=⎩，或（Ⅱ）2203260.x y x xy x y -=⎧⎨-+++=⎩，········· （4分）解（Ⅰ），方程组无解； ························································································ （1分） 解（Ⅱ）得方程组的解是1124x y =-⎧⎨=-⎩，；2236x y =-⎧⎨=-⎩，. ·················································· （2分） 所以，原方程组的解为1124x y =-⎧⎨=-⎩，；2236x y =-⎧⎨=-⎩，.······················································ （1分）初三数学试卷 共4页 第 页6 21．解：（1）由题意得，A （6，0），B （0，3）． ························································· （3分） 在Rt △ABO 中，6tan 23OA ABO OB ∠===． ······················································ （2分） （2）∵点A 向左平移12个单位得到点C ，∴C （6-，0）． ··························· （1分）∵直线l 与直线1+32y x =-平行，∴设直线l 的解析式为12y x b =-+. ··························································· （1分）∵直线l 经过点C ，∴()1062b =-⨯-+，∴b=3-． ································ （2分）∴直线l 的解析式为132y x =--． ······························································ （1分）22．解：过点B 作BD //AE ，交CE 于点D ．由题意，得BD ⊥CE ，AB = ED=1.5，∠CBD =60°，BC =40． ······························· （2分） 在Rt △BCD 中， ∵sin CDCBD BC∠=，∴sin604034.64CD =︒⨯≈． ······································ （6分） ∵CE =ED +DC ，∴CE =1.5+34.64=36.1． ································································· （1分） 答：此时风筝离地面的高度约为36.1米． ··························································· （1分）23．证明：（1）∵PQ //BC ，∴QE AE BD AD =， AE EPAD DC= ····································································· （2分） ∴QE EPBD DC =∵CP QE CD BD =， ∴CP EP CD DC=． ··························································································· （1分） ∴PC =PE ． ····································································································· （1分） （2）∵CF 平分∠ACG ，∴∠PCF =∠FCG ， ···························································· （1分）∵PQ //BC ，∴∠PFC =∠FCG ， ······································································· （1分） ∴∠PFC =∠PCF ， ···························································································· （1分） ∴PC =PF ．········································································································ （1分） ∵PC =PE初三数学试卷 共4页 第 页7 ∴PE=PF ∵P 是AC 的中点∴AP =CP ··········································································································· （1分） ∴四边形AECF 是平行四边形. ····································································· （1分） ∴AC =2PC ， EF =2PE ∵PC =PE∴AC= EF ··········································································································· （1分） ∴四边形AECF 是矩形 ． ·············································································· （1分）24．解：（1）∵OB =6，∴ B （6，0）． ············································································· （1分） 过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ．∵OA =6，∠AOB =30°，∴AH =3，OH= ·············································· （1分） ∴ A（3）． ·························································································· （1分） （2）∵抛物线经过原点O 和点B ，∴该抛物线的对称轴为直线3x =． ·········· （1分） 设该抛物线与x 轴交于点D ， ∵△OBE 为等腰直角三角形， ∴ED =OD=BD ．∴ E （3，3-）． ··································································· （1分）设该抛物线的解析式为()233y a x =--． 将原点（0，0）代入得，13a =． ································································· （1分） ∴()21333y x =--． ···················································································· （1分） （3）设直线OA 的解析式为y kx =.∵A（3）∴3y x =，当2y =时，x = ······························ （1分） 设直线2y =与直线OA 交于点Q ，得∠PQA =30°. 当点P 在点Q 右侧时，过点P 作PG ⊥MN ，垂足为点G．由垂径定理，得NG = ················· （1分）∴cos PNG ∠=，∴∠PNG =30°. ························································· （1分）∴点N 与点Q重合，∴2m =， ························································· （1分）初三数学试卷 共4页 第 页 8 当点P 在点Q 左侧时，同理可得，点M 与点Q重合，∴2m =． ········································· （1分） 25．解：（1）联结OC ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴OA =OB =OC ， ································································································· （1分） ∴∠OAC ＝∠OCA ，∠OCB ＝∠OBC ， ···························································· （1分） 又∵∠OAC +∠OCA +∠OCB +∠OBC =180°， ∴∠OCA +∠OCB =90°．即∠ACB =90°． ···················································· （1分） ∵AC =6，BC =8，∴10AB =．∴⊙O 的半径为5． ························································································· （1分） （2）过点P 作PD ⊥BC ，垂足为点D ．∵AP =x ，∴BQ =2x ，CQ =8-2x ，PB =10-x ． ······················································· （1分） 在Rt △PDB 中，∵sin PD B PB ∠=，∴61010PDx =-． ······························································· （1分） ∴365PD x =-．······························································································ （1分）∴()113826225y CQ PD x x ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭()2342240455x x x =-+<< ·········· （2分） （3）（i ） 当∠PQC =∠B 时，因为∠PQC >∠B ，不合题意，舍去． ········· （1分）（ii ）当∠PQC =∠A 时，∠PCQ =∠B ， 此时点P 和点O 重合，∴AP = PC =5． ······················································ （1分） ∵cos cos PCQ B ∠=∠，∴5810CQ =． ∴254CQ =． ·································································································· （1分） ∴257844BQ =-=． ····················································································· （1分） ∴7174520BQ k AP ==⨯=． ············································································· （1分）。
2016年上海长宁区初三一模数学试卷答案
．
答 案 a⩽b
解析
∵x = 3时，y = 0，即a = 0 ， 而 ， 2
y = (x − 3) ⩾ 0
∴b ⩾ 0， ∴a ⩽ b ． 故答案为a ⩽ b ．
编辑
11. 圆是轴对称图形，它的对称轴是
．
答 案 圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线．
解析
圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线． 2018/12/04
答案
y = x2 + x
解析
把 ， 和 ， 代入 x = −1 y = 0 x = 1 y = 2
y = ax2 + bx
得 ， a − b = 0 { a+b=2
解得a = 1 ，b = 1，
所以y与x的函数关系式是y
=
2 x
+
x
．
故答案为y
=
2 x
+
x
．
10. 已知二次函数y = (x − 3)2图象上的两点A(3, 和 a) B(x, b)，则a和b的大小关系是
答案 B
解 析 ∵函数y = x2的图像沿x轴向左平移2个单位长度，
得 ， 2 y = (x + 2)
然后y轴向下平移1个单位长度，
得 ， 2 y = (x + 2) − 1
故y
=
2 x
经过B操作后得到y
=
(x
+
2)
2
−
1
．
填空题．（本大题共12小题，每题4分，满分48分）
7.
抛物线y
=
2 x
+
1的顶点坐标是
A. AD : AB = 2 : 3
2016年上海市嘉定区、宝山区中考数学二模试卷及答案
2016年上海市嘉定区、宝山区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．﹣2的倒数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．2．下列计算正确的是（）A．2a﹣a=1 B．a2+a2=2a4 C．a2•a3=a5D．（a﹣b）2=a2﹣b23．某地气象局预报称：明天A地区降水概率为80%，这句话指的是（）A．明天A地区80%的时间都下雨B．明天A地区的降雨量是同期的80%C．明天A地区80%的地方都下雨D．明天A地区下雨的可能性是80%4．某老师在试卷分析中说：参加这次考试的82位同学中，考91的人数最多，有11人之众，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56了．这说明本次考试分数的众数是（）A．82 B．91 C．11 D．565．如果点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形KLMN是菱形，那么下列选项正确的是（）A．AB⊥BC B．AC⊥BD C．AB=BC D．AC=BD6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．据统计，今年上海“樱花节”活动期间顾村公园入园赏樱人数约312万人次，用科学记数法可表示为______人次．8．因式分解：2a2﹣8=______．9．不等式组的解集是______．10．如果在组成反比例函数图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，那么k的取值范围是______．11．如果函数y=f（x）的图象沿x轴的正方向平移1个单位后与抛物线y=x2﹣2x+3重合，那么函数y=f（x）的解析式是______．12．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加上海市初中数学竞赛，那么应选______同学．甲乙丙丁平均数70 85 85 70标准差 6.5 6.5 7.6 7.613．方程的解是______．14．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边AB、BC的中点，如果、，那么向量=______（结果用、表示）．15．以点A、B、C为圆心的圆分别记作⊙A、⊙B、⊙C，其中⊙A的半径长为1，⊙B的半径长为2，⊙C的半径长为3，如果这三个圆两两外切，那么cosB的值是______．16．如图，如果在大厦AB所在的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A 的仰角为45°，那么大厦AB的高度为______米（保留根号）．17．对于实数m、n，定义一种运算“*”为：m*n=mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）=有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是______．18．如图，点D在边长为6的等边△ABC的边AC上，且AD=2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转60°，若此时点A和点D的对应点分别记作点E和点F，联结BF交边AC与点G，那么tan∠AEG=______．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．化简求值：（）÷，其中x=．20．解方程：．21．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M、N；②联结MN，直线MN交△ABC的边AC与点D，联结BD．如果此时测得∠A=34°，BC=CD．求∠ABC与∠C的度数．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣4，2）向x轴作垂线，垂足为B，联结AO得到△AOB，过边AO中点C的反比例函数的图象与边AB交于点D．求：（1）反比例函数的解析式；（2）求直线CD与x轴的交点坐标．23．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，若∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE与BF相交于H，BF与AD的延长线相交于G．求证：（1）CD=BH；（2）AB是AG和HE的比例中项．24．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．25．如图，⊙O与过点O的⊙P交于AB，D是⊙P的劣弧OB上一点，射线OD交⊙O于点E，交AB延长线于点C．如果AB=24，tan∠AOP=．（1）求⊙P的半径长；（2）当△AOC为直角三角形时，求线段OD的长；（3）设线段OD的长度为x，线段CE的长度为y，求y与x之间的函数关系式及其定义域．2016年上海市嘉定区、宝山区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．﹣2的倒数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【考点】倒数．【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•=1 （a≠0），就说a （a≠0）的倒数是．【解答】解：﹣2的倒数是﹣，故选C．2．下列计算正确的是（）A．2a﹣a=1 B．a2+a2=2a4 C．a2•a3=a5D．（a﹣b）2=a2﹣b2【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，即可解答．【解答】解：A.2a﹣a=a，故错误；B．a2+a2=2a2，故错误；C．a2•a3=a5，正确；D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故错误；故选：C．3．某地气象局预报称：明天A地区降水概率为80%，这句话指的是（）A．明天A地区80%的时间都下雨B．明天A地区的降雨量是同期的80%C．明天A地区80%的地方都下雨D．明天A地区下雨的可能性是80%【考点】概率的意义．【分析】降水概率就是降水的可能性，根据概率的意义即可作出判断．【解答】解：“明天A地区降水概率为80%”是指明天A地区下雨的可能性是80%．且明天下雨的可能性较大，故A、B、C都错误，只有D正确；故选：D．4．某老师在试卷分析中说：参加这次考试的82位同学中，考91的人数最多，有11人之众，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56了．这说明本次考试分数的众数是（）A．82 B．91 C．11 D．56【考点】众数．【分析】利用众数的定义直接回答即可．【解答】解：∵考91的人数最多，∴众数为91分，故选：B．5．如果点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形KLMN是菱形，那么下列选项正确的是（）A．AB⊥BC B．AC⊥BD C．AB=BC D．AC=BD【考点】中点四边形．【分析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出KL，MN是中位线，再得出四条边相等，根据四条边都相等的四边形是菱形．【解答】解：∵点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA，∴KL∥AC，KL=AC，MN∥BD，MN=BD，∵四边形EFGH为菱形，∴AC=BD，故选：D．6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据对称的性质得到△BFE≌△DFE，得到DE=BE．根据已知条件得到∠DEB=90°，设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，根据矩形的性质得到GE=AD=1，根据全等三角形的性质得到BG=EC=1.5，根据勾股定理得到AB=CD==5，通过△BDC∽△DEF，得到，求出BF=，于是得到结论．【解答】解：∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°．∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．在等腰梯形ABCD中，∵，∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，∴四边形AGED是矩形．∴GE=AD=1，∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，∴AG=DE=BE=2.5∴AB=CD==5，∵∠ABC=∠C=∠FDE，∵∠CDE+∠C=90°，∴∠FDE+∠CDE=90°∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，∴，∴DF=，∴BF=，∴AF=AB﹣BF=，∴=．故选B．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．据统计，今年上海“樱花节”活动期间顾村公园入园赏樱人数约312万人次，用科学记数法可表示为 3.12×106人次．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将908万用科学记数法表示为3.12×106，故答案为：3.12×106．8．因式分解：2a2﹣8=2（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4）=2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．9．不等式组的解集是1＜x＜2．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出两个不等式的解集，然后再求出两个解集的公共部分．【解答】解：解不等式x+1＜3得，x＜2；解不等式2x﹣1＞1得，x＞1；则不等式组的解集为1＜x＜2．故答案为1＜x＜2．10．如果在组成反比例函数图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，那么k的取值范围是k＞1．【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的增减性列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，∴1﹣k＜0，解得k＞1．故答案为：k＞1．11．如果函数y=f（x）的图象沿x轴的正方向平移1个单位后与抛物线y=x2﹣2x+3重合，那么函数y=f（x）的解析式是y=x2+2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】把y=x2﹣2x+3沿x轴负方向平移1个单位后得到要求的抛物线．【解答】解：根据题意，y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，沿x轴负方向平移1个单位，得到y=x2+2．故答案为y=x2+2．12．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加上海市初中数学竞赛，那么应选乙同学．甲乙丙丁平均数70 85 85 70标准差 6.5 6.5 7.6 7.6【考点】标准差．【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的同学参赛．【解答】解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．故答案为：乙．13．方程的解是x=﹣1．【考点】无理方程．【分析】根据方程可知等号左边的x+1≤0，等号右边根号里面的x+1≥0，联立不等式组，即可解答本题．【解答】解：∵，∴，解得，x=﹣1，故答案为：x=﹣1．14．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边AB、BC的中点，如果、，那么向量=+（结果用、表示）．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后连接AC，由三角形法则，即可求得，然后由点M、N分别是边AB、BC的中点，根据三角形中位线的性质，求得答案．【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴==，∵，∴=+=+，∵点M、N分别是边AB、BC的中点，∴==+．故答案为：+．15．以点A、B、C为圆心的圆分别记作⊙A、⊙B、⊙C，其中⊙A的半径长为1，⊙B的半径长为2，⊙C的半径长为3，如果这三个圆两两外切，那么cosB的值是．【考点】相切两圆的性质．【分析】由已知条件得出△ABC的三边长，由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，∠A=90°，再由三角函数的定义即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵⊙A的半径长为1，⊙B的半径长为2，⊙C的半径长为3，且这三个圆两两外切，∴AB=1+2=3，AC=3+1=4，BC=3+2=5，∵AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠A=90°，∴cosB==．故答案为：．16．如图，如果在大厦AB所在的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A 的仰角为45°，那么大厦AB的高度为20+20米（保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先设AB=x；根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得DB、CB的数值，再根据CD=BC﹣BD=40，进而可求出答案．【解答】解：设AB=x，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∵∠C=30°，∠ADB=45°，CD=40，∴DB=x，AC=2x，∴BC==x，∴∵CD=BC﹣BD=40，x﹣x=40，∴x=20（+1），故答案为：20+20．17．对于实数m、n，定义一种运算“*”为：m*n=mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）=有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是0．【考点】根的判别式．【分析】由于定义一种运算“*”为：m*n=mn+n，所以关于x的方程x*（a*x）=变为（a+1）x2+（a+1）x+=0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的关系式，即可解决问题．【解答】解：由x*（a*x）=﹣，得（a+1）x2+（a+1）x+=0，依题意有a+1≠0，△=（a+1）2﹣（a+1）=0，解得，a=0，或a=﹣1（舍去）．故答案为：0．18．如图，点D在边长为6的等边△ABC的边AC上，且AD=2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转60°，若此时点A和点D的对应点分别记作点E和点F，联结BF交边AC与点G，那么tan∠AEG=．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】作GM⊥AE于M，则∠AMG=90°，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC=6，∠BAC=∠ABC=60°，由旋转的性质得出△AEC≌△ABC，EF=AD=2，因此AE=CE=AB=6，∠EAC=∠ACE=60°，CF=CE﹣EF=4，得出AB∥CF，证出△ABG∽△CFG，得出对应边成比例=，求出AG，再求出AM，得出GM、ME，即可得出结果．【解答】解：如图所示：作GM⊥AE于M，则∠AMG=90°，∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠BAC=∠ABC=60°，由旋转的性质得：△AEC≌△ABC，EF=AD=2，∴AE=CE=AB=6，∠EAC=∠ACE=60°，CF=CE﹣EF=4，∴AB∥CF，∴△ABG∽△CFG，∴==，∴AG=AC=3.6，∵∠AGM=90°﹣60°=30°，∴AM=AG=1，∴GM=AM=，ME=AE﹣AM=，∴tan∠AEG===；故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．化简求值：（）÷，其中x=．【考点】二次根式的化简求值．【分析】括号内通分，化除法为乘法进行化简，然后代入求值．【解答】解：原式=×=．将x=代入，得原式==．20．解方程：．【考点】解分式方程．【分析】方程两边乘以x（2x﹣1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边同时乘以x（2x﹣1），得（2x﹣1）2﹣3x2+2x（2x﹣1）=0，整理后，得5x2﹣6x+1=0，解得：x1=1，x2=，经检验：x1=1，x2=是原方程的根，则原方程的根是x1=1，x2=．21．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M、N；②联结MN，直线MN交△ABC的边AC与点D，联结BD．如果此时测得∠A=34°，BC=CD．求∠ABC与∠C的度数．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则DA=DB，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得∠CDB=68°，再由CB=CD得到∠CBD=∠CDB=68°，所以∠ABC=∠DBA+∠CBD=102°，然后利用三角形内角和定理计算∠C的度数．【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，则DA=DB，∴∠DBA=∠A=34°，∴∠CDB=∠DBA+∠A=68°，∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB=68°，∴∠ABC=∠DBA+∠CBD=34°+68°=102°，∠C=180°﹣68°﹣68°=44°．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣4，2）向x轴作垂线，垂足为B，联结AO得到△AOB，过边AO中点C的反比例函数的图象与边AB交于点D．求：（1）反比例函数的解析式；（2）求直线CD与x轴的交点坐标．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【分析】（1）由A点的坐标结合中点的坐标公式可得出点C的坐标，将点C的坐标代入到反比例函数解析式即可求出k值，从而得出反比例函数的解析式；（2）令x=﹣4，找出D点的坐标，由待定系数法求出直线CD的函数解析式，再令y=0，解关于x的一元一次方程即可得出直线CD与x轴的交点坐标．【解答】解：（1）∵点C为线段AO的中点，∴C点的坐标为（﹣2，1），将点C（﹣2，1）代入到反比例函数中得：1=，解得：k=﹣2．∴反比例函数的解析式为y=﹣．（2）令x=﹣4，则y=﹣=．即点D的坐标为（﹣4，）．设直线CD的解析式为y=ax+b，由点C、D在直线CD的图象上可知：，解得：．∴直线CD的解析式为y=x+．令y=0，则有x+=0，解得：x=﹣6．∴直线CD与x轴的交点坐标为（﹣6，0）．23．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，若∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE与BF相交于H，BF与AD的延长线相交于G．求证：（1）CD=BH；（2）AB是AG和HE的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）根据已知利用AAS判定△BEH≌△DEC，从而得到BH=DC；（2）根据两组角对应相等的两个三角形相似得到△BEH∽△GBA，相似三角形的对应边成比例所以BH•AB=EH•AG，由于BH=DC=AB所以推出了AB2=GA•HE．【解答】证明：（1）∵在▱ABCD中，DE⊥BC，∠DBC=45°，∴∠DEC=∠BEH=90°，DE=BE，∵∠EBH+∠BHE=90°，∠DHF+∠CDE=90°，∴∠EBH=∠EDC，在△BEH与△DEC中，，∴△BEH≌△DEC．∴BH=DC；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AG∥BC，∠A=∠C=∠BHE，AB=CD，∴∠G=∠HBE，∴△BEH∽△GBA，∴BH•AB=EH•AG，∵BH=DC=AB，∴AB2=GA•HE．24．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入抛物线的解析式可求得b的值，然后可得到抛物线的解析式，从而可求得抛物线的对称轴，再依据对称性可求得D（2，3），B（3，0），最后依据待定系数法求得AD的解析式可求得直线AD与x轴正方向的夹角；（2）设E（m，﹣m2+2m+3），则F（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），EF=﹣m2+m+2．然后证明△EFG为等腰直角三角形，从而得到EF=（1+）EF，于是可求得l与m的关系式；（3）先利用配方法求得点M的坐标，然后根据①AM为矩形的对角线时，②当AM为矩形的一边时两种情况求解即可．【解答】解：（1）∵将点A（﹣1，0）代入抛物线的解析式得：﹣1﹣b+3=0，解得：b=2，∴y=﹣x2+2x+3．∴抛物线的对称轴为直线x=1．令x=0得：y=3，则C（0，3）．∵点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），B（3，0）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（2，3）代入得：，解得：k=1，b=1，∴直线AD的解析式为y=x+1．∴直线AD与x轴正方向的夹角为45°．（2）如图1所示：设E（m，﹣m2+2m+3），则F（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），EF=﹣m2+2m+2﹣m=﹣m2+m+2．∵∠EGF=90°，∠EFG=45°，∴△EFG为等腰直角三角形．∴l=EF+FG+EG=EF+EF+EF=（1+）EF=（1+）（﹣m2+m+2）=﹣（）m2+（+1）m+2+2．（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4）．①AM为矩形的对角线时，如图2所示：∵由矩形的性质可知：N为AM的中点，A（﹣1，0），M（1，4），∴N（0，2）．∵由两点间的距离公式可知：MN==．∴NQ1=NQ2=，∴Q1（0，2+），Q2（0，2﹣）．②当AM为矩形的一边时，如图3所示：过Q3作Q3E⊥y轴，垂直为E，过Q4作Q4F⊥y 轴，垂足为F．∵在△ANO中，AO=1，ON=2，∴tan∠ANO=，∴tan∠MNP4=，∴P4M MN=，NP4=MN=．∴P4Q3=．∴P4E=P4Q3=1，EQ3=P4Q3=2．∵OE=OP4﹣P4E=4.5﹣1=3.5，∴Q3的坐标为（2，3.5）．∵点Q3与Q4关于点N对称，∴Q4（﹣2，）．综上所述，点Q的坐标为（0，2+），或（0，2﹣）或（2，3.5）或（﹣2，）．25．如图，⊙O与过点O的⊙P交于AB，D是⊙P的劣弧OB上一点，射线OD交⊙O于点E，交AB延长线于点C．如果AB=24，tan∠AOP=．（1）求⊙P的半径长；（2）当△AOC为直角三角形时，求线段OD的长；（3）设线段OD的长度为x，线段CE的长度为y，求y与x之间的函数关系式及其定义域．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先设OP的延长线交AB于点H，连接AP，由垂径定理可求得AH的长，然后由三角函数，求得OH的长，再设⊙P的半径为r，由在Rt△AHP中，AH2+PH2=AP2，即可求得答案；（2）首先过点P作PG⊥OD于点G，求得OA的长，易证得△PGO∽△OHA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案；（3）首先过点H作HI⊥OC于点I，可得PG∥HI，然后由平行线分线段成比例定理，求得OI，再由△OHI∽△OCH，求得答案．【解答】解：（1）设OP的延长线交AB于点H，连接AP，∵AH=AB=×24=12，tan∠AOP=，∴OH==18，设⊙P的半径为r，在Rt△AHP中，AH2+PH2=AP2，∴（18﹣r）2+122=r2，解得：r=13，答：⊙P的半径长为13；（2）过点P作PG⊥OD于点G，则OA===6，∵∠AOC=90°，∴∠POG+∠AOH=90°，∵∠AOH+∠OAH=90°，∴∠POG=∠OAH，∴△PGO∽△OHA，∴，即=，解得：OD=4；（3）如图2，过点H作HI⊥OC于点I，则OE=OA=6，∴PG∥HI，∴，即，∴OI=x，∵∠O是公共角，∠OUH=∠OHC=90°，∴△OHI∽△OCH，∴，∴，∴y=﹣6（0＜x＜6）．像平时有价值的升学文章，像自招、校园开放日消息、历年中考分数线，那些文章我都放在公众号菜单栏那个按钮上的专题那里了，还有什么细化的升学问题，你们可以关注公众号给我留言，我看到会第一时间回复你们的——小编编。
上海长宁初三数学二模
2016学年第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.已知 3=4x y，那么下列各式中正确的是( )A.74=+y x y ；B. 3-=y x x ；C.3102=+x y x ； D.x －y y ＝14 . 2.把不等式组⎩⎨⎧<-≥+02,132x x 的解集表示在数轴上，正确的表示为( )3.在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为( )-1321-2-1321-2-1321-2-2123-1A ．12；B ．2； C ．3；D ．3. 4.如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D的路径匀速前进到点D 为止.在这个过程中，△APD 的面积S 随时 间t 的变化关系用图像表示正确的是( )5.已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则( ) A. AP 2＝AB ·PB ； B. AB 2＝AP ·PB ；C. PB 2＝AP ·AB ；D. AP 2＋BP 2＝AB 2.6.下列说法中，正确的是( )A. 一组数据-2，-1，0，1，1，2的中位数是0；B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式；C. 购买一张福利彩票中奖是一个确定事件；D. 分别写有三个数字-1，-2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为13.tSt StStSDCBAOOOO二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：313a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________．8.在实数范围内因式分解：23x -=_________． 9.已知函数xx x f 1)(+=，那么）（1-2f =_________． 10.已知反比例函数x k y 1-=的图象经过一、三象限，则实数k 的取值范围是_________．11.抛物线a x x y ++=2-2的对称轴是_________．12.方程11x -=的解为_________．13.已知关于x 的方程02-2=+k kx x 有两个相等的实数根，那么实数k =_________． 14.某物流仓储公司用Ａ、Ｂ两种型号的机器人搬运物品，已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克物品，A 型机器人搬运1000千克物品所用时间与B 型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A 型机器人每小时搬运物品x 千克，列出关于x 的方程为_________．15.化简：=-)313-2b a a （________. 3，16.如图，在菱形ABCD 中，EF ∥BC ，31=BE AE ，EF ＝ 则CD 的长为________.17.在△ABC 中，已知BC =4 cm ，以边AC 的中点P 为圆心1 cm 为半径画⊙P ，以边AB 的中点Q 为圆心x cm 长为半径画⊙Q ，如果⊙P 与⊙Q 相切，那么x =_________cm ．18.如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°.设BE =a ，DC =b ，那么AB =_________．（用含a 、b 的式子表示AB ）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：01)2017(45tan 33)21(++---ο．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=+++=062-30-4222y x xy x y x ，.21．（本题满分10分）已知直线321-+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点. （1）求∠ABO 的正切值；（2）如果点A 向左平移12个单位到点C ，直线l 过点C 且与直线1-32y x =+平行，求直线l 的解析式.22．（本题满分10分）小明在海湾森林公园放风筝.如图所示，小明在A 处，风筝飞到C 处，此时绳长BC 为40米，若小明双手牵住绳子的底端B 距离地面米，从B 处测得C 处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE .(计算结果精确到米，)23．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，点P 是AC 边上的一点，过点P 作与BC 平行的直线PQ ，交AB 于点Q ，点D 在 BC 边上，联结AD 交PQ 于点E ，且CP QECD BD=，点G 在BC 的延长线上，∠ACG 的平分线CF 交直线PQ 于点F ．3 1.732≈QFEAP（1）求证：PC=PE ；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形.24.（本题满分12分）已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA=OB=6，∠AOB=30°.（1）求点A、B的坐标；（2）开口向上的抛物线经过原点O和点B ，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知MN= 32，P(m，2）（m>0),求m的值.yxBAO25.（本题满分14分）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6 cm，BC=8 cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k·AP（k >0），连接PC、PQ．（1）求⊙O的半径长；（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△CPQ∽△ABC，且∠ACB=∠CPQ，求k的值.2016学年第二学期初三数学教学质量检测试卷参考答案及评分建议一、选择题：1．A ； 2．B ； 3．B ； 4．C ； 5．C ； 6．D ．二、填空题：7．3ab ； 8．(x x +； 9． 10．1k >；11．直线1x =； 12．2x =； 13．0或1； 14．100080020x x =-； 15．3a b +r r ； 16．12； 17．1或3； 18三、解答题：19．解：原式=(231-+． ··············· （8分）． ···················· （2分）20．解：由①得20x y +=或20x y -=． ············ （2分）原方程组可化为（Ⅰ）2203260.x y x xy x y +=⎧⎨-+++=⎩，或（Ⅱ）2203260.x y x xy x y -=⎧⎨-+++=⎩，（4分）解（Ⅰ），方程组无解； ·············· （1分）解（Ⅱ）得方程组的解是1124x y =-⎧⎨=-⎩，； 2236x y =-⎧⎨=-⎩，. ······ （2分） 所以，原方程组的解为1124x y =-⎧⎨=-⎩，；2236x y =-⎧⎨=-⎩，.······· （1分） 21．解：（1）由题意得，A （6，0），B （0，3）． ······ （3分） 在Rt △ABO 中，6tan 23OA ABO OB ∠===． ······· （2分） （2）∵点A 向左平移12个单位得到点C ，∴C （6-，0）．（1分）∵直线l 与直线1+32y x =-平行，∴设直线l 的解析式为12y x b =-+. ······· （1分）∵直线l 经过点C ，∴()1062b =-⨯-+，∴b=3-． · （2分） ∴直线l 的解析式为132y x =--． ········ （1分）22．解：过点B 作BD sin CDCBD BC∠=sin604034.64CD =︒⨯≈QE AE BD AD =AE EP AD DC =QE EP BD DC =CP QE CD BD =CP EPCD DC= ············ （1分） ∴AC =2PC ， EF =2PE ∵PC =PE∴AC= EF ·················· （1分）∴四边形AECF 是矩形 ． ··········· （1分）24．解：（1）∵OB =6，∴ B （6，0）． ··········· （1分）过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ．∵OA =6，∠AOB =30°，∴AH =3，OH = ···· （1分）∴ A （3）．·············· （1分）（2）∵抛物线经过原点O 和点B ，∴该抛物线的对称轴为直线3x =． （1分）设该抛物线与x 轴交于点D ， ∵△OBE 为等腰直角三角形，∴ED =OD=BD ．∴ E （3，3-）． ········· （1分） 设该抛物线的解析式为()233y a x =--．将原点（0，0）代入得，13a =． ········ （1分） ∴()21333y x =--． ·············· （1分） （3）设直线OA 的解析式为y kx =.∵A （3）∴3y x =，当2y =时，x = · （1分）设直线2y =与直线OA 交于点Q ，得∠PQA =30°.当点P 在点Q 右侧时，过点P 作PG ⊥MN ，垂足为点G ．由垂径定理，得NG =1分）∴cos 2PNG ∠=，∴∠PNG =30°. ········ （1分）∴点N 与点Q 重合，∴2m =， ······· （1分） 当点P 在点Q 左侧时，同理可得，点M 与点Q 重合，∴2m =． ··· （1分） 25．解：（1）联结OC ．∵AB 是⊙O 的直径，∴OA =OB =OC ， ················· （1分） ∴∠OAC ＝∠OCA ，∠OCB ＝∠OBC ， ········ （1分） 又∵∠OAC +∠OCA +∠OCB +∠OBC =180°，∴∠OCA +∠OCB =90°．即∠ACB =90°．····· （1分）∵AC =6，BC =8，∴10AB =．∴⊙O 的半径为5． ·············· （1分） （2）过点P 作PD ⊥BC ，垂足为点D ．∵AP =x ，∴BQ =2x ，CQ =8-2x ，PB =10-x ．······ （1分） 在Rt △PDB 中， ∵sin PD B PB ∠=，∴61010PDx =-． ·········· （1分） ∴365PD x =-． ················ （1分）∴()113826225y CQ PD x x ⎛⎫=⋅=--⎪⎝⎭()2342240455x x x =-+<<（2分） （3）（i ） 当∠PQC =∠B 时，因为∠PQC >∠B ，不合题意，舍去．····························· （1分） （ii ）当∠PQC =∠A 时，∠PCQ =∠B ，此时点P 和点O 重合，∴AP = PC =5． ····· （1分）∵cos cos PCQ B ∠=∠，∴5810CQ =． ∴254CQ =． ················· （1分） ∴257844BQ =-=． ·············· （1分） ∴7174520BQ k AP ==⨯=． ············· （1分）。
2016年上海市金山区、长宁区中考数学、语文、英语二模试卷及答案
龄的众数是
.
14. 在□ABCD 中, 对角线 AC、BD 交于点 O, 设 AB m , AD n , 如果
用向量 m 、 n 表示向量 AO , 那么 AO =
.
15. 如图, OA 是⊙O 的半径, BC 是⊙O 的弦, OA⊥BC, 垂足为 D, 如果
B
第 16 题图
△ABC 绕着点 B 旋转得△A＇BC＇, 点 A 的对应点 A＇落在边 BC
上, 那么点 C 和点 C＇之间的距离等于
.
A
第 18 题图
三、解答题（本大题共 7 题, 满分 78 分）
B
C
【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】
19.（本题满分 10 分）
计算:
sin 45o
B. k 0 , b 0 ; D. k 0 , b 0 .
3. 如果关于 x 的方程 mx2 mx 1 0 有两个相等的实数根, 那么 m 等于（ ）
A. 4 或 0 ;
1
B. ;
4
C. 4 ;
D. 4 .
4. 一组数据 1、2、3、4、5、15 的平均数和中位数分别是（ ）
2016 年金山区、长宁区初三数学第二次模拟试卷
（满分:150 分, 完成时间:100 分钟）
2016上海中考数学二模试卷含闵行,普陀,杨浦,虹口,黄浦,松江,浦东,长宁8个区包括答案
闵行区2015-2016学年第二学期九年级质量调研考试2016.4数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如果单项式22n a b c是六次单项式，那么n的值取（A）6；（B）5；（C）4；（D）3．2（A；（B（C1；（D1．3．下列函数中，y随着x的增大而减小的是（A）3y x=；（B）3y x=-；（C）3yx=；（D）3yx=-．4．一鞋店销售一种新鞋，试销期间卖出情况如下表，对于鞋店经理来说最关心哪种尺码的鞋畅销，那么下列统计量对该经理来说最有意义的是（A）平均数；（B）中位数；（C）众数；（D）方差．5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（A）正五边形；（B）等腰梯形；（C）平行四边形；（D）圆．6．下列四个命题，其中真命题有（1）有理数乘以无理数一定是无理数；（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等；（4）如果正九边形的半径为a，那么边心距为sin20a⋅o．（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：22-= ▲ ．8．在实数范围内分解因式：32a a -= ▲ ． 92=的解是 ▲ ． 10．不等式组30,43x x x -≥⎧⎨+>-⎩的解集是 ▲ ．11．已知关于x 的方程20x x m --=没有实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ．12．将直线213y x =-+向下平移3个单位，那么所得到的直线在y 轴上的截距为 ▲ ．13．如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边 形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊 的等对角线四边形的名称 ▲ ．14．如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，且BC = 3AD ，点E 是边DC 的中点．设AB a =uu u r r ，AD b =uuu r r ，那么 AE =uu u r ▲ （用a r 、b r的式子表示）．15．布袋中有大小、质地完全相同的4个小球，每个小球上分别标有数字1、2、3、4，如果从布袋中随机抽取两个小球，那么这两个小球上的数字之和为偶数的概率是 ▲ ．16．9月22日世界无车日，某校开展了“倡导绿色出行”为主题的调查，随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师人数是 ▲ .17．点P 为⊙O 内一点，过点P 的最长的弦长为10cm ，最短的弦长为8cm ，那么OP的长等于 ▲ cm ．18．如图，已知在△ABC 中，AB = AC ，1tan 3B ∠=，将△ABC 翻折，使点C 与点A 重合，折痕DE 交边BC 于点D ，交边AC 于点E ，那么BDDC的值为 ▲ ． ABD C（第14题图）EABC（第18题图）（第16题图） 乘公车 y % 步行 x %骑车 25%私家车 15%学生出行方式扇形统计图师生出行方式条形统计图三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）110212(cos60)32--++-o．20．（本题满分10分）解方程：222421242xx x x x x-+=+--．21．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，已知在△ABC中，∠ABC = 30º，BC = 8，sin A∠=，BD是AC边上的中线．求：（1）△ABC的面积；（2）∠ABD的余切值．22．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i =1∶512，且AB = 26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53º时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8≈o，cos530.6≈o，tan53 1.33≈o，cot530.75≈o）．BCD（第21题图）BDC（第22题图）F23．（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知在矩形ABCD 中，过对角线AC 的中点O 作 AC 的垂线，分别交射线AD 和CB 于点E 、F ，交边DC 于 点G ，交边AB 于点H ．联结AF ，CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形； （2）如果OF = 2GO ，求证：2GO DG GC =⋅． 24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =++与x 轴交于 点A （-1，0）和点B ，与y 轴相交于点C （0，3），抛物线的对称轴为直线l ． （1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M 的坐标；（2）如果直线y kx b =+经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，点C 关于直 线l 的对称点为N ，试证明四边形CDAN（3）点P 在直线l 上，且以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切， 求点P 的坐标．（第24题图）（第23题图）AB CDE FGOH25．（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在△ABC中，AB = AC = 6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD = 2，联结CD交AH于点E．（1）如图1，如果AE = AD，求AH的长；（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与⊙A内切，求边BC的长；（3）如图3，联结DF．设DF = x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（第25题图3)普陀区2015-2016学年度第二学期初三质量调研数学试卷 2016年4月13日（时间：100分钟，满分析150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、据统计，2015年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000人次，80016000用科学记数法表示是（ ）（A ）8.0016⨯610； （B ）8.0016710⨯； （C ）8100016.8⨯； （D ）9100016.8⨯2、下列计算结果正确的是（ ）（A ）824a a a =⋅; （B ）()624a a =; （C ）()222b a ab =; （D ）()222b a b a -=-.3、下列统计图中，可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是（ ）（A ）折线图； （B ）扇形图； （C ）统形图； （D ）频数分布直方图。
【2016长宁区初三数学二模卷（含答案）】
2012年初三数学教学质量检测试卷(测试时间:100分钟,满分:150分)考生注意：1．本试卷含三个大题,共25题．答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分) 1.23)x (-的计算结果是( )A. 5-xB. 6x -C. 5xD. 6x2.已知242与+a 是同类二次根式,实数a 的值可以是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.反比例函数xy 10-=的图像在直角坐标平面的( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 4.已知下列图案,其中为轴对称图形的是( )A. B. C. D.5.把2456000保留3个有效数字,得到的近似数是( ) A. 246 B. 2460000 C. 2.456×106 D. 2.46×1066.下列命题中,真命题的个数有( )①长度相等的两条弧是等弧；②不共线的三点确定一个圆； ③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直弦的直径平分这条弦. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.分解素因数：12 = ▼ . 8.函数11)(-=x x f 的定义域是 ▼ .9.方程0-2=x x 的解是 ▼ . 10.计算：x x x 21--= ▼ .11.在一个不透明的袋子里,装有5个红球、3个白球,它们除颜色外大小材质都相同,从中任意摸出一个球,摸到红球的概率是 ▼ .第16题图 ODE CBA第18题图D‘A’PH G FADCB E yxABOC12.不等式组⎩⎨⎧-<>-12062x x x ，的解集是 ▼ .13.已知数据54321a ,a ,a ,a ,a 的平均数是a ,则数据543217a ,a ,a a,,a ,a 的平均数是 ▼ (结果用a 表示) .14.国家实施惠农政策后,某镇农民人均收入经过两年提高44%,设这两年该镇农民人均收入平均年增长率是x ,列出关于x 的方程 ▼ .15.已知一斜坡的坡比3:1=i ,坡角为α,则=αcos ▼ .16.如图, AB 是⊙O 的直径,弦CE ⊥AB ,垂足为D 点,若AB =4,32=AC ,则CE = ▼ . 17.已知点G 是等边△ABC 的中心, 设a AB =，b =AC ,用向量a 、b 表示=AG ▼ . 18.如图,矩形纸片ABCD 沿EF 、GH 同时折叠,B 、C 两点恰好同时落在AD 边的P 点处, 若∠FPH =︒90,PF =8,PH =6, 则图中阴影部分的面积为 ▼ .三、解答题:(19、20、21、22题每题10分,23、24题每题12分,25题14分,满分78分) 19.计算：()()1451211-︒-+-+tan -π. 20.解方程组：⎩⎨⎧=+-=-.y xy x ，xy x 1440222 21.如图,在直角坐标平面中,等腰△ABC 的顶点A 在第一象限, B (2,0),C (4,0),△ABC 的面积是3. (1)若x 轴表示水平方向,设从原点O 观测点A 的仰角为α, 求αtan 的值；(2)求过O 、A 、C 三点的抛物线解析式,并写出抛物线的对称轴 和顶点坐标.22.今年3月5日,某中学团委组织全校学生参加“学习雷锋,服务社会”的活动.九年级1班全体同学分为三组参加打扫绿化带、去敬老院服务和到社区文艺演出的活动.小明同学统计了当天本班学生参加三项活动的人数,并制作如下条形统计图和扇形统计图.请根据小明同学所作的两个图形解答：(1)九年级1班共有 ▼ 名学生;(2)去敬老院服务的学生占九年级1班学生的百分比是 ▼ ； (3)补全条形统计图的空缺部分.23.如图,等腰梯形ABCD 中, AD ∥BC,AB = DC, AC ⊥BD ,垂足为点O ,过D 点作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E.(1)求证: △BDE 是等腰直角三角形； (2)已知55CDE =∠sin ,求AD :BE 的值.OB C EDA24.在Rt △ABC 中, AB =BC =4,∠B =︒90,将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点P 处,将三角板绕点P 旋转,三角板的两直角边分别与边AB 、BC 或其延长线上交于D 、E 两点(假设三角板的两直角边足够长),如图(1)、图(2)表示三角板旋转过程中的两种情形. (1)直角三角板绕点P 旋转过程中,当BE = ▼ 时,△PEC 是等腰三角形；(2)直角三角板绕点P 旋转到图(1)的情形时,求证:PD =PE ；(3)如图(3),若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的点M 处,设AM : MC =m : n (m 、n 为正数),试判断MD 、ME 的数量关系,并说明理由.25.如图,在直角坐标平面中,O 为原点,A (0,6), B (8,0).点P 从点A 出发, 以每秒2个单位长度的速度沿射线AO 方向运动,点Q 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运图（1） 图（2） 图（3）MABCDEED PPEDABCCBA九年级1班参加“学习雷锋,服务社会”活动人数条形统计图九年级1班参加“学习雷锋,服务社会”活动人数扇形统计图O30%社区文艺演出去敬老院服务打扫绿化带252015105人数活动类型社区文艺演出去敬老院服务打扫绿化带动.P 、Q 两动点同时出发,设移动时间为t (t >0)秒.(1)在点P 、Q 的运动过程中,若△POQ 与△AOB 相似,求t 的值；(2)如图(2),当直线PQ 与线段AB 交于点M ,且51MA BM 时,求直线PQ 的解析式； (3)以点O 为圆心,OP 长为半径画⊙O ,以点B 为圆心,BQ 长为半径画⊙B ,讨论⊙O 和⊙B 的位置关系,并直接写出相应t 的取值范围.2012年初三数学教学质量检测试卷参考答案图（1） 图（2） (备用图)MyxOBAQPA BOxy QPyxBA O一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分) 1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. B二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)7. 2×2×3 8. 1>x 9. 0 ; 1 10. )1(222-+-x x x x 11. 85 12. 3>x13. 2a 14. %144)1(2=+x 15.10103 16. 32 17. b a 3131+ 18. 5408三、解答题:(19、20、21、22题每题10分,23、24题每题12分,25题14分,满分78分)19.解：原式=2111211+=+++--）（（原式中每个数或式化简正确得2分，结果正确2分）20.解：由① 得0=x 或 0=-y x （2分） 由②得12=-y x 或 12-=-y x （2分）分别联立得⎩⎨⎧=-=120y x x⎩⎨⎧-=-=120y x x ⎩⎨⎧=-=-120y x y x ⎩⎨⎧-=-=-120y x y x （2分） 解得⎩⎨⎧==210y x ⎩⎨⎧-==21y x ⎩⎨⎧==11y x ⎩⎨⎧-=-=11y x （4分）21. 解：（1）作AH ⊥BC ，垂足为H . （1分）∵△ABC 是等腰三角形 ∴H 是BC 中点∵B (2,0),C (4,0) ∴H （3,0） （1分）321A BC =⋅=∆AH BC S ∴AH =3 A (3,3) 1==αOH AH tan （2分）（2）据题意，设抛物线解析式为)0(2≠+=a bx ax y （1分）A (3,3)B (4,0) 代入得⎩⎨⎧+=+=b a b a 4160393 解得 ⎩⎨⎧=-=41b a （2分）所求解析式为x x y 42+-= （1分） 对称轴直线 2=x ，顶点（2,4） （2分）22.（1）（3分）50 ； （2）（3分）20% ； （3）（4分）10（图略）23. （1）证: ∵AD//BE 且BE//AC∴ACED 是平行四边形 ∴AC=DE （2分）PE DCB AHG MABCDE∵等腰梯形ABCD ∴AC=BD ∴BD=DE （2分） ∵AC ⊥BD ∴∠BOC =90°∵AC//DE ∴∠BOC =∠BDE =90°∴△BDE 是等腰直角三角形. （2分） （2）解：∵AD//BC ∴BCADOBOD OC OA == ∴OBBDOC AC=∵等腰梯形ABCD ∴AC=BD ∴OC=OB OA=OD （2分） ∵AC//DE ∴∠CDE=∠DCO ∴55=∠=∠DCO sin CDE sin在Rt △DCO 中，设OD=k ，DC =5k (k>0)，则OC =k OD -DC 222= （2分） ∵平行四边形ACDE ∴AD= CE∴21==OC OD OB OD ∴21=BC AD ∴31=BE AD （2分） 24.解：（1）BE = 0 、2 、 224±； 4分（每个结果1分）（2）证：联结BP .∵AB=BC 且∠ABC =90° ∴∠C =90°又∵P 是AC 中点 ∴BP ⊥AC ，BP=PC 且 ∠ABP=∠CBP =45°∴∠CPE + ∠EPB =90°∵DP ⊥PE ∴∠BPD + ∠EPB =90° ∴∠BPD = ∠CPE在△DPB 和△EPC 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C ABP CP BP CPE BPD∴△DPB ≌△EPC （3分）∴PD=PE （1分）（3）解：过M 分别作AB 、BC 的垂线，垂足分别为G 、H . 由作图知，∠MGA = ∠MGB = ∠MHB =∠MHE =90° 又 ∵∠B = 90° ∴∠GMH = 90°∴∠GMD + ∠DMH =90°∵∠DMH + ∠HME =90° ∴∠GMD = ∠HME∴△MGD ∽△MHE ∴M EM DHM G M = ① （1分） ∵n m M C AM= ∴nm m AC AM+= ∵∠MGA = ∠B =90° ∴GM//BC ∴nm m ACAMBC G M+== 即n m m BC GM +⋅=② 同理 n m n AB HM +⋅= ∵AB=B C ∴ nm n BC HM +⋅=③ （2分） ②③代入①得nm=ME MD （1分）G NMQP y xBA O25. （1）据题意，t 秒时 AP=2t BQ= tOP =t 26- OQ= 8+t （1分） 若△POQ ∽△AOB 则 当OB OQOA OP =时 即 88626tt -+= 解得548=t ，0=t （舍）当OA OQOB OP =时 即 686268tt -+= 解得25=t ，57-t =（舍） （3分） ∴当548=t 或25时 △POQ ∽△AOB .（2）过M 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为N 、G . （1分） 据题意PO//MN ∴BAMB OA MN =∵51=MAMB∴61=ABMB ∴61=OAMN∴MN =1 同理 320=MG ），（1320M ∵OQ = 8+t ∴t NQ +=34 Rt △MNQ 中 t NQMNMQN tan +==∠341Rt △MNQ 中 t8t26+-==∠OQ OPPQO tan∴t +341t t +-=826 解得 67=t t=0（舍） ∴P （0，311） （3分） 设PQ 直线解析式：)0(311≠+=k kx y ），（1320M 代入 3113201+⋅=k 解得52-=k ∴PQ 直线解析式：31152+-=x y （1分） （3）当3140<<t 且t ≠3时 两圆外离 ； 当314=t 时 两圆外切；当14314<<t 时 两圆相交； 当14=t 时 两圆内切； 当14>t 时 两圆内含. （每个结果1分，共5分）以下是附加文档，不需要的朋友下载后删除，谢谢顶岗实习总结专题13篇第一篇:顶岗实习总结为了进一步巩固理论知识，将理论与实践有机地结合起来，按照学校的计划要求，本人进行了为期个月的顶岗实习。
2016上海各区初中数学二模试题及解答
十分遗憾最低的同学仍然只得了 56 了。这说明本次考试分数的众数是（
）
A、82；
B、91；
C、11；
D、56；
5、如果点 K、L、M、N 分别是四边形 ABCD 的四条边 AB、BC、CD、DA 的中点，且四边形 KLMN
是菱形，那么下列选项正确的是（
）
A、AB⊥BC；
B、AC⊥BD；
C、AB=BC；
6、如图 1，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，
D、AC=BD；
AD
点 E 在 BC 上，点 F 在 AB 上，将梯形 ABCD 沿直线 EF 翻折，
F
使得点 B 与点 D 重合。如果 AD 1 ，那么 AF 的值是（
）
BC 4
BF
A、 1 ； 2
B、 3 ； 5
C、 2 ； 3
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
1
计算： 273 (
3
1)2
1 2
1
2 3 1
M C
N
B
A
（第 18 题图）
20．（本题满分 10 分）
解方程组：
x 2y 1
x2
3xy
2y2
0
21．（本题满分 10 分，其中每小题各 5 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y kx b (k 0) 的图像经过 A(0, 2) , B(1, 0)
BF 相交于 H，BF 与 AD 的延长线相交于 G.求证：
（1）CD=BH； （2）AB 是 AG 和 HE 的比例中项.
A
D
G
HF
B
2016年中考数学二模试卷(带答案)
2016年中考数学二模试卷一、选择题：本大题共12小题，每题3分，共36分．1．﹣8的立方根是（）A．2 B．2C．﹣D．﹣22．统计显示，2013年底某市各类高中在校学生人数约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为（）A．11.4×104 B．1.14×104 C．1.14×105 D．0.114×1063．函数中自变量x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x＜2 D．x＜﹣24．下列计算正确的是（）A．a2+a2=2a4 B．3a2b2÷a2b2=3abC．（﹣a2）2=a4D．（﹣m3）2=m95．抛物线y=﹣6x2可以看作是由抛物线y=﹣6x2+5按下列何种变换得到（）A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位6．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A．12米B．4米C．5米D．6米7．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB 于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（）A．4﹣π B．4﹣2πC．8+πD．8﹣2π8．按一定规律排列的一列数：，，，…其中第6个数为（）A．B．C．D．9．在一次体育达标测试中，九年级（3）班的15名男同学的引体向上成绩如下表所示：成绩（个）8 9 11 12 13 15人数 1 2 3 4 3 2这15名男同学引体向上成绩的中位数和众数分别是（）A．12，13 B．12，12 C．11，12 D．3，410．下列四个命题：①对角线互相垂直的平行四边形是正方形；②，则m≥1；③过弦的中点的直线必经过圆心；④圆的切线垂直于经过切点的半径；⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等；其中正确的命题有（）个．A．1 B．2 C．3 D．411．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B．4 C．2D．412．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：每题3分，共24分．13．计算：（﹣）=．14．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=．15．=．16．折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5，tan∠EFC=，则BC=．17．如图，Rt△A′BC′是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点A、B、C′在同一条直线上，在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=2，AB=4，则斜边AB旋转到A′B所扫过的扇形面积为．18．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围是．19．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=．20．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②；③DP2=PH•PB；④．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共60分．21．（8分）某校课题研究小组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随即抽查部分同学体育测试成绩（由高到低分A、B、C、D四个等级），根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）该课题研究小组共抽查了名同学的体育测试成绩，扇形统计图中B级所占的百分比b=，D级所在小扇形的圆心角的大小为；（2）请直接补全条形统计图；（3）若该校九年级共有600名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）的人数．22．（8分）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离．23．（12分）杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元．按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．25．（12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止移动，DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4.5）． 解答下列问题：（1）当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上？（2）连接PE ，设四边形APEC 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式，是否存在某一时刻t ，使面积y 最小？若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明理由； （3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．26．（12分）如图所示，抛物线y=ax 2+c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （﹣2，0），B （﹣1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A ，B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD =4S △ABM 成立，求点P 的坐标．2016年内蒙古包头市昆都仑区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题3分，共36分．1．﹣8的立方根是（）A．2 B．2C．﹣D．﹣2【考点】立方根．【分析】直接利用立方根的定义分析得出答案．【解答】解：﹣8的立方根是：﹣2．故选：D．【点评】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．2．统计显示，2013年底某市各类高中在校学生人数约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为（）A．11.4×104 B．1.14×104 C．1.14×105 D．0.114×106【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：11.4万=1.14×105，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．函数中自变量x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x＜2 D．x＜﹣2【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【解答】解：依题意，得x+2≥0，解得x≥﹣2，故选B．【点评】注意二次根式的被开方数是非负数．4．下列计算正确的是（）A．a2+a2=2a4 B．3a2b2÷a2b2=3abC．（﹣a2）2=a4D．（﹣m3）2=m9【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】分别利用合并同类项法则以及单项式除以单项式运算法则和积的乘方运算法则化简，进而判断得出答案．【解答】解：A、a2+a2=2a2，故此选项错误；B、3a2b2÷a2b2=3，故此选项错误；C、（﹣a2）2=a4，正确；D、（﹣m3）2=m6，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式除以单项式运算和积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．抛物线y=﹣6x2可以看作是由抛物线y=﹣6x2+5按下列何种变换得到（）A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先得到两个抛物线的顶点坐标，然后根据顶点坐标判断平移的方向和单位长度．【解答】解：∵y=﹣6x2+5的顶点坐标为（0，5），而抛物线y=﹣6x2的顶点坐标为（0，0），∴把抛物线y=﹣6x2+5向下平移5个单位可得到抛物线y=﹣6x2．故选B．【点评】本题考查了抛物线的几何变换：抛物线的平移问题可转化为其顶点的平移问题，抛物线的顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）．6．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A．12米B．4米C．5米D．6米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．【解答】解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：，∴AC=BC×=6，∴AB===12．故选A．【点评】此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键．7．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB 于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（）A．4﹣π B．4﹣2πC．8+πD．8﹣2π【考点】扇形面积的计算；切线的性质．【分析】根据圆周角定理可以求得∠A的度数，即可求得扇形EAF的面积，根据阴影部分的面积=△ABC的面积﹣扇形EAF的面积即可求解．【解答】解：△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=90°．则扇形EAF的面积是：=π．故阴影部分的面积=△ABC的面积﹣扇形EAF的面积=4﹣π．故选A．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，正确求得扇形的圆心角是解题的关键．8．按一定规律排列的一列数：，，，…其中第6个数为（）A．B．C．D．【考点】算术平方根．【分析】观察这列数，得到分子和分母的规律，进而得到答案．【解答】解：根据一列数：，，，可知，第n个数分母是n，分子是n2﹣1的算术平方根，据此可知：第六个数是，故选C．【点评】此题考查了数字的变化类，从分子、分母两个方面考虑求解是解题的关键，难点在于观察出分子的变化．9．在一次体育达标测试中，九年级（3）班的15名男同学的引体向上成绩如下表所示：成绩（个）8 9 11 12 13 15人数 1 2 3 4 3 2这15名男同学引体向上成绩的中位数和众数分别是（）A．12，13 B．12，12 C．11，12 D．3，4【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数与众数的定义，从小到大排列后，中位数是第8个数，众数是出现次数最多的一个，解答即可．【解答】解：第8个数是12，所以中位数为12；12出现的次数最多，出现了4次，所以众数为12，故选B．【点评】本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．10．下列四个命题：①对角线互相垂直的平行四边形是正方形；②，则m≥1；③过弦的中点的直线必经过圆心；④圆的切线垂直于经过切点的半径；⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等；其中正确的命题有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题与定理．【分析】利用正方形的判定方法、垂径定理及其推理、圆的有关性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；②，则m≥1，正确；③过弦的中点的且垂直于弦的直线必经过圆心，故错误；④圆的切线垂直于经过切点的半径，正确；⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等，正确，正确的有3个，故选C；【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法、垂径定理及其推理、圆的有关性质等知识，难度不大．11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B．4 C．2D．4【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，S=底×高=2×2=4，菱形ABCD故选D．【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=﹣，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=﹣，所以④正确．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab ＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题：每题3分，共24分．13．计算：（﹣）=﹣．【考点】分式的混合运算．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=•=﹣•=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=1．【考点】概率公式．【分析】根据白球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．【解答】解：由题意知：，解得n=1．【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．=5．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】分别根据数的开方法则、0指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=2﹣4×+1+4=2﹣2+5=5．故答案为：5．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、0指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质是解答此题的关键．16．折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5，tan∠EFC=，则BC=10．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据tan∠EFC=，设CE=3k，在RT△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，根据∠BAF=∠EFC，利用三角函数的知识求出AF，然后在RT△AEF中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案．【解答】解：设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE==5k，∴DC=AB=8k，∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，∴tan∠BAF=tan∠EFC=，∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，在Rt△AFE中，由勾股定理得AE===5k=5，解得：k=1，∴BC=10×1=10；故答案为：10．【点评】此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答，有一定难度．17．如图，Rt△A′BC′是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点A、B、C′在同一条直线上，在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=2，AB=4，则斜边AB旋转到A′B所扫过的扇形面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】根据题意可知斜边AB旋转到A'B所扫过的扇形面积为扇形ABA′的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：AB=4，∠ABA′=120°，所以s==π．【点评】主要考查了扇形面积的求算方法．面积公式有两种：（1）、利用圆心角和半径：s=；（2）、利用弧长和半径：s=lr．针对具体的题型选择合适的方法．18．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围是m≥3．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先解第一个不等式，然后根据不等式组的解集即可确定m的范围．【解答】解：，解①得x＜3，∵不等式组的解集是x＜3，∴m≥3．故答案是：m≥3．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=50°．【考点】切线的性质．【分析】连接DF，连接AF交CE于G，由AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，得到，由于EF是⊙O的切线，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根据外角的性质和圆周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到结果．【解答】解：连接DF，连接AF交CE于G，∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴，∵EF是⊙O的切线，∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，∵∠DFE=∠DCF，∠GFD=∠AFC，∠EFG=∠EGF=65°，∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，故答案为：50°．方法二：连接OF，易知OF⊥EF，OH⊥EH，故E，F，O，H四点共圆，又∠AOF=2∠ACF=130°，故∠E=180°﹣130°=50°【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．20．如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ．给出下列结论： ①△ABE ≌△DCF ；②；③DP 2=PH •PB ；④．其中正确的是 ①③ ．（写出所有正确结论的序号）【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF ，∠A=∠ADC ，AB=CD ，证得△ABE ≌△DCF ，①正确；②由于∠FDP=∠PBD ，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP ∽△BPH ，得到===tan∠DCF=，②错误；③由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC ，推出△DPH ∽△CPD ，得到=，PB=CD ，等量代换得到DP 2=PH •PB ，③正确；④设正方形ABCD 的边长是3，则PB=BC=AD=3，求得∠EBA=30°，得出AE 、BE 、EP 的长，由S △BED =S ABD ﹣S ABE ，S △EPD =S △BED ，求得=，④错误；即可得出结论．【解答】解：①∵△BPC 是等边三角形， ∴BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， ∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD ，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， 在△ABE 与△CDF 中，，∴△ABE ≌△DCF （ASA ），故①正确；②∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠FCB=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，∴===tan∠DCF=，故②错误；③∵∠FDP=15°，∴∠PDH=30°∴∠PDH=∠PCD，∵∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CDP，∴=，∴DP2=PH•CD，∵PB=CD，∴DP2=PH•PB，故③正确；④设正方形ABCD的边长是3，∵△BPC为正三角形，∴∠PBC=60°，PB=BC=AD=3，∴∠EBA=30°，∴AE=ABtan30°=3×=，BE===2，∴EP=BE﹣BP=2﹣3，S=S ABD﹣S ABE=×3×3﹣×3×=，△BEDS △EPD =S △BED =×=，∴==，故④错误；∴正确的是①③； 故答案为：①③．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定、等边三角形的性质、正方形的性质、三角形面积计算、三角函数等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积计算、三角函数是解决问题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共60分．21．某校课题研究小组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随即抽查部分同学体育测试成绩（由高到低分A 、B 、C 、D 四个等级），根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）该课题研究小组共抽查了 80 名同学的体育测试成绩，扇形统计图中B 级所占的百分比b= 40% ，D 级所在小扇形的圆心角的大小为 18° ； （2）请直接补全条形统计图；（3）若该校九年级共有600名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C 级以上，含C 级）的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据A 组人数及其百分比可得抽查总人数，将B 级人数除以总人数可得其百分比，用D 等级人数占被抽查人数的比例乘以360°即可；（2）总人数减去A 、B 、D 三等级人数可得C 等级人数，补全条形图即可；（3）用样本中C等级及其以上（即A、B、C三等级）人数占被抽查人数的比例乘以总人数600可得．【解答】解：（1）课题研究小组共抽查学生：20÷25%=80（名），b=×100%=40%，D级所在小扇形的圆心角的大小为×360°=18°；故答案为：80，40%，18．（2）C等级人数为：80﹣20﹣32﹣4=24（名），补全条形统计图如图：（3）600×=570（人），答：估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）的约有570人．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C 处的距离．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】由已知可得△ABC中∠BAC=30°，∠BCA=45°且AC=10海里．要求BC的长，可以过B作BD⊥BC于D，先求出AD和CD的长．转化为运用三角函数解直角三角形．【解答】解：如图，过B点作BD⊥AC于D．∴∠DAB=90°﹣60°=30°，∠DCB=90°﹣45°=45°．设BD=x，在Rt△ABD中，AD==x，在Rt△BDC中，BD=DC=x，BC=，∵AC=5×2=10，∴x+x=10．得x=5（﹣1）．∴BC=•5（﹣1）=5（﹣）（海里）．答：灯塔B距C处海里．【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23．（12分）（2016•包头二模）杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元．按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由．【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【分析】（1）设y=kx+b，则由图象可求得k，b，从而得出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围100≤x≤180；（2）设公司第一年获利W万元，则可表示出W=﹣（x﹣180）2﹣60≤﹣60，则第一年公司亏损了，当产品售价定为180元/件时，亏损最小，最小亏损为60万元；（3）假设两年共盈利1340万元，则﹣x2+36x﹣1800﹣60=1340，解得x的值，根据100≤x≤180，则x=160时，公司两年共盈利达1340万元．【解答】解：（1）设y=kx+b，则由图象知：，解得k=﹣，b=30，∴y=﹣x+30，100≤x≤180；（2）设公司第一年获利W万元，则W=（x﹣60）y﹣1500=﹣x2+36x﹣3300=﹣（x﹣180）2﹣60≤﹣60，∴第一年公司亏损了，当产品售价定为180元/件时，亏损最小，最小亏损为60万元；（3）若两年共盈利1340万元，因为第一年亏损60万元，第二年盈利的为（x﹣60）y=﹣x2+36x﹣1800，则﹣x2+36x﹣1800﹣60=1340，解得x1=200，x2=160，∵100≤x≤180，∴x=160，∴每件产品的定价定为160元时，公司两年共盈利达1340万元．【点评】本题是一道一次函数的综合题，考查了二次函数的应用，还考查了用待定系数法求一次函数的解析式．24．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出∠OCF+∠DCB=90°，即可得出答案；（2）利用圆周角定理得出∠ACB=90°，利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，∴∠CBA=∠ODC，又∵∠CFD=∠BFO，∴∠DCB=∠BOF，∵CO=BO，∴∠OCF=∠B，∵∠B+∠BOF=90°，∴∠OCF+∠DCB=90°，∴直线CD为⊙O的切线；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCO=∠ACB，又∵∠D=∠B∴△OCD∽△ACB，∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=3，∴=，即=，解得；DC=．【点评】此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，得出△OCD∽△ACB 是解题关键．25．（12分）（2016•昆都仑区二模）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s 的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；（2）作PM⊥BC，将四边形的面积表示为S△ABC ﹣S△BPE即可求解；（3）假设存在符合条件的t值，由相似三角形的性质即可求得．【解答】解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP=AQ；∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，∴∠EQC=45°；∴∠DEF=∠EQC；∴CE=CQ；由题意知：CE=t，BP=2t，∴CQ=t；∴AQ=8﹣t；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；则AP=10﹣2t；∴10﹣2t=8﹣t；解得：t=2；答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；（2）如图1，过P作PM⊥BE，交BE于M，∴∠BMP=90°；在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB=，∴=，∴PM=，∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6﹣t，∴y=S△ABC ﹣S△BPE=BC•AC﹣BE•PM=6×8﹣（6﹣t）×t=t2﹣t+24=（t﹣3）2+，∵a=，∴抛物线开口向上；∴当t=3时，y最小=；答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2．（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；如图2，过P作PN⊥AC，交AC于N∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；∵∠PAN=∠BAC，∴△PAN∽△BAC，∴，∴，∴PN=6﹣tAN=8﹣t，∵NQ=AQ﹣AN，。
2016年长宁、金山区初三二模及参考答案
2016年长宁、金山区初三二模教案（14）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1是同类二次根式的是（ ）A B ； C ； D2、如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ）A 、0k >，0b >；B 、0k >，0b <；C 、0k <，0b >；D 、0k <，0b <.3、如果关于x 的方程210mx mx ++=有两个相等的实数根，那么m 等于（ ）A 、4或0；B 、41； C 、4； D 、4±.4、一组数据1、2、3、4、5、15的平均数和中位数分别是（ ）A 、5、5；B 、5、4；C 、5、5.3；D 、5、3.5、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A 、等边三角形；B 、等腰梯形；C 、平行四边形；D 、圆.6、下列命题中，真命题是（ ）A 、两个无理数相加的和一定是无理数；B 、三角形的三条中线一定交于一点；C 、菱形的对角线一定相等；D 、同圆中相等的弦所对的弧一定相等.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、计算：=-23.8、分解因式:=-229y x .9x =的根是 .10、函数12y x=-的定义域是 . 11、把直线2y x =-+向上平移3个单位，得到的直线表达式是 .12、如果抛物线2221y ax a x =+-的对称轴是直线1x =-，那么实数=a .13、某校为了发展校园足球运动，组建了校足球队，队员年龄分布如图1，则这些队员年龄的众数是 .图114、在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，设AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r ，如果用向量m u r 、n r 表示向量AO u u u r，那么AO =u u u r.15、如图2，OA 是⊙O 的半径，BC 是⊙O 的弦，OA BC ⊥，垂足为D ，如果3OD =，2DA =，那 么BC = .图2 图316、如图3，在22⨯的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A 和B ，在余下．．的格点中 任取一点C ，使ABC △为直角三角形的概率是 .17、已知AB 、AC 分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么BAC ∠的度数是度 . 18、如图4，在ABC △中，5AB AC ==，8BC =，将ABC △绕着点B 旋转得'''C B A △，点A 的对应 点A '，点C 的对应点C '，如果点A '在边BC 上，那么点C 和点C '之间的距离等于 .图4三、解答题（本大题共7题，满分78分）19、计算：︒+-⋅--+︒-30cot )13(12)21()45(sin 12102.20、解方程组：.222320x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩.21、如图5，在平面直角坐标系xOy 中，点(2,0)A ，(1,)P m (0)m >和Q 关于x 轴对称. （1）求证：直线OP ∥直线AQ ；（2）过点P 作x PB ∥轴，与直线AQ 交于点B ，如果AP BO ⊥，求点P 的坐标.图522、如图6，在ABC Rt △中，︒=∠90C ，斜边AB 的垂直平分线分别交边AB 、BC 于点E 和点D ，已知:2BD CD = （1）求ADC ∠的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论；求tan15︒的值；（结果保留根号）.图623、如图7，BD 是ABC △的角平分线，点E 、F 分别在BC 、AB 上，且AB DE ∥，DEF A ∠=∠. （1）求证：BE AF =；（2）设BD 与EF 交于点M ，联结AE ，交BD 于点N ，求证：BN MD BD ND ⋅=⋅.图724、如图8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于点A 和点B ，已知点A 的坐 标为(1,0)，与y 轴相交于点(0,3)C ，抛物线的顶点为点P . （1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点P 的坐标； （2）如果点D 在此抛物线上，DF⊥x 轴于点F ，DF 与直线PB 相交于点E ，设点D 的横坐标为t（3t >），且:2:1DE EF =，求点D 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求证：DPE BDE ∠=∠.图825、如图9，在ABC Rt △中，︒=∠90ACB ，5AB =，4sin 5A =，P 是边BC 上的一点，PE AB ⊥，垂足为E ，以点P 为圆心，PC 为半径的圆与射线PE 相交于点Q ，线段CQ 与边AB 交于点D .（1）求AD 的长；（2）设CP x =，PCQ △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C 作CF AB ⊥，垂足为F ，联结PF 、QF ，如果PQF ∆是以PF 为腰的等腰三角形，求CP 的长.图9 备用图2016年长宁、金山区初三二模参考答案一、选择题二、填空题三、解答题 19、32-.20、原方程组的解是：113234x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2233x y =-⎧⎨=-⎩.21、（1）略 （2）()3,1P .22、（1）︒=∠30ADC ； （2）3215tan -=︒.23、（1）略； （2）略.24、（1）243y x x =-+，(2,1)P -； （2）(4,3)D ； （3）略.25、（1）3AD =； （2）225y x =，342x ≤≤； （3）2或2411.。
上海市长宁区中考数学二模试卷(含解析)
中考数学二模试卷、选择题（共6小题，每小题4分，满分24 分）=-B • =3 C• 一= 一D：1 ='=—B . =3 C. —D. 一x+y 7 s-y y 3 yc的解集在数轴上可表示为(K-2<0A. * 百*3-2 -1 0 1 23.在正方形网格中，△ ABC的位置如图所示，贝U cos / B的值为（）4. 如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A T B T C^D的路径匀速前进到D为止.5. 已知F为线段AB的黄金分割点，且AF< PB,则（）A. AF2=AB?PBB. A B=AP?PBC. P B"=AP?ABD. Ah+BF^A^1 .已知二=匸，那么下列各式中正确的是（y 4y 4A.2.不等式组1S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（6. 下列说法中，正确的是（）A. —组数据-2,- 1, 0, 1, 1, 2的中位数是0B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式C. 购买一张福利彩票中奖是一个确定事件D. 分别写有三个数字-1， - 2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）1 37 .计算：（a s b）= _________ .&在实数范围内分解因式：X2- 3= ______ .9. 已知函数f （x）=丄丄，那么f （〔- 1）= .x10. 已知反比例函数y=—丄的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是x11 .抛物线y= - x2+2x+a的对称轴是 _______ .12. 方程让-1=1的解为___________ .13. 已知关于x的方程x2- 2kx+k=0有两个相等的实数根，那么实数k= ______ .14. 某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克物品，A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A型机器人每小时搬运物品x千克，列出关于x的方程为_____________ 15. 化简：2 - 3(. > ')=AF 1EF// BC, = . , EF=3,则CD的长为BE 317. 在△ ABC中，已知BC=4cm以边AC的中点P为圆心1cm为半径画O P,以边AB的中点Q为圆心x cm长为半径画O Q如果O P与O Q相切，那么x= _________ cm.18. ___________ 如图，在Rt△ ABC中，AB=AC D、E是斜边BC上的两点，且/ DAE=45 .设BE=a, DC=b 那么AB= （用含a、b的式子表示AB）.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. （10 分）计算：（.厂 1 2- | - 3+ T tan45 ° |+ （—）°.20. （1°分）解方程组:々乎.3 K3-xy+x+2y+6=021. （1°分）已知直线y= - x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，设0为坐标原点.（1）求/ ABO勺正切值；（2）如果点A向左平移12个单位到点C,直线I过点C且与直线y= - , x+3平行，求直线I的解析式.22. （1°分）小明在海湾森林公园放风筝•如图所示，小明在A处，风筝飞到C处，此时线长BC为4°米，若小明双手牵住绳子的底端B距离地面1.5米，从B处测得C处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE （计算结果精确到0.1米，—沁1.732 ）23. （12分）如图，在△ ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ 交AB 于点Q点D在线段BC上，联接AD交线段PQ于点E,且三=三，点G在BC延长线上，/ ACG的平分线交直线PQ于点F.2 求证：PC=PE3 当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形.24. ( 12分)已知△ OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA=OB=6 / AOB=30 .(1)求点A B的坐标；(2)开口向上的抛物线经过原点O和点B,设其顶点为巳当厶OBE 为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；(3)设半径为2的O P与直线OA交于M N两点，已知MN=2—, P ( m 2)( m> 0),求m的值.25. (14分)如图，△ ABC的边AB是O O的直径，点C在O O上，已知AC=6cm BC=8cm 点P、Q分别在边AB BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k?A( k> 0),联接PC PQ(1 )求0 O的半径长；(2)当k=2时，设AP=x,A CPQ的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)如果△ CPQ M^ ABC相似，且/ ACB=/ CPQ 求k 的值.参考答案与试题解析一、选择题(共6小题，每小题4分，满分24分)1已知’上上，那么下列各式中正确的是( )y 4A. = 1 B •亠=3 C. 1' ' =「D ='s+y 7 x-y s 3 y 4【考点】S1:比例的性质.【分析】根据比例的基本性质(两内项之积等于两外项之积)作出选择.【解答】解：•止= 的两内项是y、3，两外项是x、4,y 434x=—y, y= x, 3y=4x .4 3A、由原式得，4 ( x+y) =7y，即3y=4x，故本选项正确；B由原式得，3 ( x- y) =x，即2x=3y，故本选项错误；C由原式得，10x=3 (x+2y)，即6y=7x，故本选项错误；D由原式得，4 ( x- y) =y，即3x=5y，故本选项错误.故选A.【点评】本题考查了比例的基本性质•难度不大，是基础题.（2x+3>l2. 不等式组.的解集在数轴上可表示为（）A. •. *B. ■. C-3 -2-1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 -3-2-10 1 2【考点】CB解一元一次不等式组；C4:在数轴上表示不等式的解集【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案.【解答】解：解不等式2x+3 > 1，得：x >- 1，解不等式x-2V 0,得：x v 2，.不等式组的解集为-1 w x v 2，故选：B.【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.3. 在正方形网格中，△ ABC的位置如图所示，贝U cos / B的值为（）IH!J I 4* *1"! "jl *1A. B. —C. —D.—2 2 2 3【考点】T1:锐角三角函数的定义.【分析】作ADL BC,可得AD=BD=5利用勾股定理求得AB,再由余弦函数的定义求解可得.【解答】解：如图，作AD L BC于点D,贝U AD=5 BD=5• AB= j，.：訂=；L「=5 :,••• cos / B=.^= _,AB 刃2 2故选：B.【点评】本题主要考查余弦函数的定义和勾股定理，构建直角三角形是解题的关键.4. 如图，在四边形ABCD中,动点P从点A开始沿A T B T C^D的路径匀速前进到D为止.在这个过程中，△ APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）【分析】根据点P 的运动过程可知：△ APD 的底边为AD,而且AD 始终不变，点P 到直线AD的距离APD 的高，根据高的变化即可判断 S 与t 的函数图象. 【解答】 解：设点P 到直线AD 的距离为h , •••△ APD 的面积为：-一 ADh ,2当P 在相等AB 运动时，此时h 不断增大， 当P 在线段BC 上运动时, 此时h 不变，当P 在线段CD 上运动时, 此时h 不断减小， 故选（C ）【点评】本题考查函数图象， 解题的关键是根据点 P 到直线AD 的距离来判断s 与t 的关系, 本题属于基础题型.5. 已知P 为线段AB 的黄金分割点，且 AP< PB,则（ ） A. AF 2=AB?PBB . A B=AP?PBC. P B=AP?ABD. Ah+B 戸=A^ 【考点】S3:黄金分割.【分析】把一条线段分成两部分， 使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样Or【考点】E7:动点问题的函数图象.的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（丄丄）叫做黄金比.2【解答】解：••• P为线段AB的黄金分割点，且AP v PB,••• PB2=AP?AB故选C.【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记定义是解题的关键.6. 下列说法中，正确的是（）A. —组数据-2,- 1, 0, 1, 1, 2的中位数是0B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式C. 购买一张福利彩票中奖是一个确定事件D. 分别写有三个数字-1 , - 2, 4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为.一【考点】X6:列表法与树状图法；V2:全面调查与抽样调查；W4中位数；X1 :随机事件.【分析】根据中位数、全面调查和抽样调查、事件的分类以及概率的求法分别对每一项进行分析，即可得出答案.【解答】解：A、数据-2, - 1, 0, 1, 1, 2的中位数是二丄，故本选项错误；B质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用抽样调查方式，故本选项错误；C购买一张福利彩票中奖是一个不确定事件，故本选项错误；D分别写有三个数字-1 , - 2, 4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为.，故本选项正确；故选D.【点评】此题考查了中位数、全面调查和抽样调查、事件的分类以及概率的求法. 用到的知识点为：可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件；概率=所求情况数与总情况数之比.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）1 3 37. 计算：（a - b）3= ab3.【考点】2F：分数指数幕.【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得答案.【解答】解：原式=a二b3=ab3,故答案为：ab3.【点评】本题考查了积的乘方，禾U用积的乘方是解题关键.&在实数范围内分解因式：x2- 3= (x+x -_ ___.【考点】58:实数范围内分解因式；54:因式分解-运用公式法.【分析】把3写成—的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式.【解答】解：x2- 3=x2-( . —) 2= (x+ _)( x - _).【点评】本题考查平方差公式分解因式，把3写成—的平方是利用平方差公式的关键.9.已知函数f (x)=——，那么f ( -- 1) = 2+ ；.【考点】E5:函数值；76：分母有理化.【分析】把x= 一 - 1直接代入函数f (x)=八即可求出函数值.【解答】解：因为函数f (x) =■,X所以当x= ■- 1 时，f (x) =「''[.=2+ ■.【点评】本题比较容易，考查求函数值.(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；(2 )函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个.10.已知反比例函数y= 的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是k> 1【考点】G4反比例函数的性质.【分析】根据反比例函数y=—的图象经过一、三象限得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可.【解答】解：•••反比例函数y= 的图象经过一、三象限,••• k - 1 > 0,即k > 1.故答案为：k > 1.【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键.11 .抛物线y= - x 2+2x+a 的对称轴是 直线x=1 .【考点】H3:二次函数的性质. 【分析】先根据抛物线的解析式得出 a 、b 的值，再根据二次函数的对称轴方程即可得出结论.【解答】解：•••抛物线的解析式为 y= - x 2+2x+a , ••• a= - 1, b=2,故答案为：x=1【点评】 本题考查的是二次函数的性质，即二次函数 y=ax 2+bx+c (a * 0)的对称轴直线 x=2a12.方程 ——=1的解为 x=2 .【考点】AG 无理方程.【分析】方程两边平方转化为整式方程， 求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到无 理方程的解.【解答】 解：方程两边平方得：x -仁1, 解得：x=2,经检验x=2是原方程的解， 故答案为：x=2【点评】 此题考查了无理方程，无理方程注意要检验.13.已知关于x 的方程x 2- 2kx+k=0有两个相等的实数根，那么实数 k= k=0或k=1【考点】AA 根的判别式.【分析】由方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4k 2- 4k=0,解之即可得出结论.【解答】 解：T 关于x 的方程x 2- 2kx+k=0有两个相等的实数根， ••△ = (- 2k ) 2 - 4k=4k 2- 4k=0, 解得：k=0或k=1 .•••其对称轴是直线 x=-b------------- =12X(—1).故答案为：k=0或k=1.【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当厶=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键.14•某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克物品，A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A型机器人每小时搬运物品x千克，列出关于x的方程为_匚二=800【考点】B6:由实际问题抽象出分式方程•【分析】根据A、B两种机器人每小时搬运物品间的关系可得出B型机器人每小时搬运物品（x - 20）千克，再根据A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等即可列出关于x的分式方程，由此即可得出结论•【解答】解：设A型机器人每小时搬运物品x千克，则B型机器人每小时搬运物品（x-20）千克，•/ A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，...igo o =800x x-20故答案为：L—=丄」x x-20【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出关于x 的分式方程•本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键.T 丄T T T T15 .化简：2 - 3 （二一-）=—-13；_ .【考点】LM *平面向量.【分析】根据向量的加减运算法则进行计算即可得解.【解答】解: 2 - - 3 U --；）,=2 -】+3 ',=-+3 ' •故答案为：-+3 •【点评】本题考查了平面向量，熟记向量的加减运算法则是解题的关键.EF〃BC -=；，EF=3,则CD 的长为」【考点】S9:相似三角形的判定与性质；L8:菱形的性质.【分析】要求CD的长，只要求出菱形的任意一条边长即可，根据题意可以求得△ AEF^A ABC从而可以求得BC的长，本题得以解决.【解答】解：•••在菱形ABCD中, EF// BC, 丄=—,EF=3,BE 3AE 1•••△AEF^A ABC AB=BC=CD=DA …-,AB 4.「"■• < -，. -• :■，解得，BC=12• CD=12故答案为：12.【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答.17. 在△ ABC中，已知BC=4cm以边AC的中点P为圆心1cm为半径画O P,以边AB的中点Q为圆心x cm长为半径画O Q如果O P与O Q相切，那么x= 1 或3 cm.【考点】MK相切两圆的性质.【分析】根据三角形的中位线的性质得到PQ^BC=2cm①当O P与O Q相外切时，②当O P与O Q相内切时，列方程即可得到结论.【解答】解：I BC=4cm点P是AC的中点，点Q是AB的中点，• PQ=z;BC=2cm①当O P与O Q相外切时，PQ=1+x=2• x=1cm,②当O P与O Q相内切时，PQ=|X- 1|=2 ,••• x=3cm （负值舍去），•••如果O P与O Q相切，那么x=1cm或3cm,故答案为：1或3.【点评】本题考查了相切两圆的性质，三角形的中位线的性质，注意相切两圆的两种情况.18. 如图，在Rt△ ABC中，AB=AC D、E是斜边BC上的两点，且/ DAE=45 .设BE=a, DC=b【考点】KD全等三角形的判定与性质；KW等腰直角三角形.【分析】将厶ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△ AFB只要证明厶FAE^A DAE推出EF=ED / ABF= / C=45 ,由 / EBF= / ABF+ / ABE=90 ,推出ED=EF=J/ + b'，可得BC=a+b+ —. ,根据AB=BC?cos45即可解决问题.【解答】解：将△ ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△ AFB.证明：•••△DAC^A FAB•AD=AF / DAC=/ FAB•••/ FAD=90 ,•••/ DAE=45 ,•••/ DAC+/ BAE=Z FAB+Z BAEK FAE=45 ,在厶FAE和△ DAE中，f DA=FA< ZDAE=ZFAE,AE=AE•△FAE^A DAE•EF=ED Z ABF=Z C=45 ,•••/ EBF=Z ABF+Z ABE=90 ,（用含a、b的式子表示AB二ED=EF=，二BC=a+b+ /十才••• AB=BC?cos45 二宁（a+b+故答案为宁（a+b+ 一——）【点评】本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. （10 分）（2017?长宁区二模）计算：（，）「1- | - 3+ T tan45 ° |+ （—）°,【考点】2C:实数的运算；6E:零指数幕；6F:负整数指数幕；T5:特殊角的三角函数值.【分析】原式利用零指数幕、负整数指数幕法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果.【解答】解：原式=2 - 3+ _+1= 一.【点评】此题考查了实数的运算，零指数幕、负整数指数幕，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.20. （1°分）（2017?长宁区二模）解方程组:【考点】AF:高次方程.【分析】由①得：2x - y=0, 2x+y=0，这样原方程组化成两个二元二次方程组，求出每个方程组的解即可.由①得：2x- y=0, 2x+y=0,f2z-y=0 f2z+y=0原方程组化为：①，②I 3x -xy+x+2rH6=0 | 3x -xy+x+2rH6=0【解答】解:4x2-y2=0 ①【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组 题的关键.21. ( 10分)(2017?长宁区二模)已知直线 y=- ,_x+3与x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点， 设O 为坐标原点.(1) 求/ ABO 的正切值；(2) 如果点A 向左平移12个单位到点C ,直线I 过点C 且与直线y= - x+3平行，求直线I 的解析式.【考点】FF :两条直线相交或平行问题；Q3:坐标与图形变化-平移；T7:解直角三角形. 【分析】(1)根据已知条件得到 A (6, 0), B (0, 3),求得OA=6 OB=3,根据三角函数 的定义即可得到结论；(2)将点A 向左平移12个单位到点C,于是得到C (- 6, 0),设直线I 的解析式为y=- —x+b ，把C (- 6, 0)代入y= - —x+b 即可得到结论.2 2【解答】 解：(1 )•••直线y=-：x+3与x 轴、y 轴分别交于 A B 两点， ••• A (6, 0), B ( 0, 3), •••OA=6 OB=3 •••/ AOB=90 ,x0A 6 门• tan / ABO —=2;(2)将点A 向左平移12个单位到点C,• C (- 6 , 0),•••直线l 过点C 且与直线y= - . x+3平行， 设直线I 的解析式为y= - ,_ x+b ,把 C （- 6, 0）代入 y= x+b 得 0=— — 川（-6） +b ,(降次)是解此解方程组①得: ，方程组②无解,所以原方程组的解为:2 2b= - 3,•••直线I的解析式为y= -—x - 3.2【点评】本题考查了两直线平行或相交问题，坐标与图形变换-平移，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键.22. （10分）（2017?长宁区二模）小明在海湾森林公园放风筝.如图所示，小明在A处, 风筝飞到C处，此时线长BC为40米，若小明双手牵住绳子的底端B距离地面1.5米，从B处测得C处的仰角为60°,求此时风筝离地面的高度CE （计算结果精确到0.1米，二~1.732 ）知 ___________【考点】TA解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】过点B作BD丄CE于点D,由锐角三角函数的定义求出CD的长，根据CE=CD+D即可得出结论.【解答】解：过点B作BD丄CE于点D,•/ AB丄AE, DEI AE, BD丄CE•四边形ABDE是矩形，•DE=AB=1.5 米.•/ BC=40米，/ CBD=60 ,•CD=BC?s in60 =40X 一=20 -，•CE=CD+DE=20_+1.5 ~ 20X 1.73+1.5 ~ 36.1 （米）.答：此时风筝离地面的高度CE是36.1米.咚 (4)A E【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.23. （12分）（2017?长宁区二模）如图，在△ ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ交AB于点Q,点D在线段BC上，联接AD交线段PQ于点E,且,CD BD 点G在BC延长线上，/ ACG的平分线交直线PQ于点F.（1）求证：PC=PE（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形.【考点】S9:相似三角形的判定与性质；【分析】（1）根据相似三角形的性质得到出丄亠，于是得到结论；CD CD（2）根据平行线的性质得到/ PFC=/ FCG根据角平分线的性质得到/ PCF=/ FCG等量代换得到/ PFC=/ FCG根据等腰三角形的性质得到PF=PC得到PF=PE由已知条件得到AP=CP 推出四边形AECF是平行四边形，于是得到结论.【解答】（1）证明：T PQ// BC,•••△AQ0A ABD △AEP^A ADCLC:矩形的判定.，「二等量代换得到='，推.•座型匹型BD莎而苛’.CD -而，•空座方-而，.CD 石，•PC=PE(2 )• PF// DG•••/ PFC=/ FCG•/ CF平分/ PCG•/ PCF=/ FCG•/ PFC=/ FCG•PF=PC•PF=PE•P是边AC的中点，•AP=CP•四边形AECF是平行四边形，•PQ// CD•/ PEC玄DCE•/ PCE=/ DCE•/ PCE+/ PCF^- (/ PCD/ PCG =90。
2016年上海市长宁区中考数学二模试卷与答案
2016年上海市长宁区中考数学二模试卷及答案一、选择题1．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．2．如果一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜03．如果关于x的方程mx2+mx+1=0有两个相等的实数根，那么m等于（）A．4或0 B． C．4 D．±44．一组数据1、2、3、4、5、15的平均数和中位数分别是（）A．5、5 B．5、4 C．5、3.5 D．5、35．在以下几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形 C．平行四边形D．圆6．下列命题中，真命题是（）A．两个无理数相加的和一定是无理数B．三角形的三条中线一定交于一点C．菱形的对角线一定相等D．同圆中相等的弦所对的弧一定相等二、填空题7．3﹣2= ．8．因式分解：x2﹣9y2= ．9．方程的根是．10．函数y=的定义域是．11．把直线y=﹣x+2向上平移3个单位，得到的直线表达式是．12．如果抛物线y=ax2+2a2x﹣1的对称轴是直线x=﹣1，那么实数a= ．13．某校为了发展校园足球运动，组建了校足球队，队员年龄分布如图所示，则这些队员年龄的众数是．14．在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，设，，如果用向量、表示向量，那么= ．15．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为D点，如果OD=3，DA=2，那么BC= ．16．如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是．17．已知AB、AC分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠BAC的度数是度．18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC绕着点B旋转的△A′BC′，点A的对应点A′，点C的对应点C′．如果点A′在BC边上，那么点C和点C′之间的距离等于多少．三、解答题19．（sin45°）2+（﹣）0﹣•+cot30°．20．解方程组：．21．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点P（1，m）（m＞0）和点Q关于x轴对称．（1）求证：直线OP∥直线AQ；（2）过点P作PB∥x轴，与直线AQ交于点B，如果AP⊥BO，求点P的坐标．22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E和点D，已知BD：CD=2：．（1）求∠ADC的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）．23．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF=∠A．（1）求证：BE=AF；（2）设BD与EF交于点M，联结AE交BD于点N，求证：BN•MD=BD•ND．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A和点B，已知点A的坐标为（1，0），与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为P．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点P的坐标；（2）如果点D在此抛物线上，DF⊥x轴于点F，DF与直线PB相交于点E，设点D的横坐标为t（t ＞3），且DE：EF=2：1，求点D的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求证：∠DPE=∠BDE．25．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．2016年上海市长宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【考点】同类二次根式．【分析】直接利用同类二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A、，无法化简，故与不是同类二次根式；B、=2，故与不是同类二次根式；C、=2，故与，是同类二次根式；D、=2，故与不是同类二次根式；故选：C．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．2．如果一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】因为一次函数y﹦kx﹢b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，即函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，即可确定k，b的符号．【解答】解：由题意得，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，k＞0，b＜0．故选B．【点评】一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．3．如果关于x的方程mx2+mx+1=0有两个相等的实数根，那么m等于（）A．4或0 B． C．4 D．±4【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值，同时还要考虑二次项的系数不能为0．【解答】解：∵关于x的方程mx2+mx+1=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即m2﹣4×m×1=0，解得：m=0或m=4，又∵二次项的系数不能为0，∴m=4，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根．且注意一元二次方程的二次项系数不为0．4．一组数据1、2、3、4、5、15的平均数和中位数分别是（）A．5、5 B．5、4 C．5、3.5 D．5、3【考点】中位数；算术平均数．【分析】根据平均数和中位数的定义结合选项选出正确答案即可．【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：1、2、3、4、5、15，故平均数为：（1+2+3+4+5+15）÷6=5；中位数为：（3+4）÷2=3.5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，属于基础题，解题的关键是熟练掌握其概念．5．在以下几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形 C．平行四边形D．圆【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】常规题型．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选D．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．下列命题中，真命题是（）A．两个无理数相加的和一定是无理数B．三角形的三条中线一定交于一点C．菱形的对角线一定相等D．同圆中相等的弦所对的弧一定相等【考点】命题与定理．【分析】根据菱形的性质、无理数的性质、三角形中线的性质以及同圆中相等的弦所对的弧不一定相等即可判断．【解答】解：A、错误．例如1+与1﹣都是无理数，它们的和是有理数．B、正确．C、错误．菱形的对角线不一定相等．D、错误．应该是同圆中相等的弦所对的劣弧或优弧相等．故选B．【点评】本题考查命题与定理、无理数的性质、三角形中线的性质、菱形的性质、圆的有关知识，解题的关键是正确理解概念，记住这些基本性质，属于中考常考题型．二、填空题7．3﹣2= ．【考点】负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据幂的负整数指数运算法则计算．【解答】解：原式==．故答案为：．【点评】本题考查的是幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．8．因式分解：x2﹣9y2= （x+3y）（x﹣3y）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解即可．【解答】解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．9．方程的根是x=1 ．【考点】无理方程．【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x的值，然后进行检验即可．【解答】解：两边平方得：2﹣x=x2，整理得：x2+x﹣2=0，解得：x=1或﹣2．经检验：x=1是方程的解，x=﹣2不是方程的解．故答案是：x=1．【点评】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．10．函数y=的定义域是x≠2．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，2﹣x≠0，解得x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11．把直线y=﹣x+2向上平移3个单位，得到的直线表达式是y=﹣x+5 ．【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】利用上下平移时k的值不变，只有b发生变化，由上加下减得出即可．【解答】解：直线y=﹣x+2向上平移2个单位长度得到了新直线，那么新直线解析式为y=﹣x+2+3=﹣x+5．故答案为：y=﹣x+5．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟记直线解析式平移的规律：“上加下减，左加右减”是解题的关键．12．如果抛物线y=ax2+2a2x﹣1的对称轴是直线x=﹣1，那么实数a= 1 ．【考点】二次函数的性质．【分析】直接利用二次函数对称轴公式求出a的值．【解答】解：∵抛物线y=ax2+2a2x﹣1的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣1=﹣解得：a=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆二次函数对称轴公式是解题关键．13．某校为了发展校园足球运动，组建了校足球队，队员年龄分布如图所示，则这些队员年龄的众数是14 ．【考点】众数；条形统计图．【分析】根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数．【解答】解：观察条形统计图知：为14岁的最多，有8人，故众数为14岁，故答案为：14．【点评】考查了众数的定义及条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂条形统计图及了解众数的定义，难度较小．14．在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，设，，如果用向量、表示向量，那么= + ．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后由四边形ABCD是平行四边形，求得，继而求得答案．【解答】解：如图，四边形ABCD是平行四边形，∴=，AO=AC，∵，∴=+=+，∴=（+）=+．故答案为： +．【点评】此题考查了平面向量的知以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．15．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为D点，如果OD=3，DA=2，那么BC= 8 ．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OB，求出OB，根据垂径定理求出BC=2BD，根据勾股定理求出BD即可．【解答】解：如图，连接OB，∵OA⊥BC，OA过O，∴BC=2BD，∠ODB=90°，∵OD=3，DA=2，∴OA=2+3=5，∴OB=OA=5，在Rt△ODB中，由勾股定理得：BD===4，∴BC=2BD=8，故答案为：8．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理得出BC=2BD是解此题的关键．16．如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是．【考点】概率公式；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】网格型．【分析】由取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，∴使△ABC为直角三角形的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．已知AB、AC分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠BAC的度数是15或105 度．【考点】正多边形和圆．【分析】有两种情形：①如图1中，∠BAC=∠CAO﹣∠BAO，②如图2中，∠BAC=∠BAE+∠EAC，分别计算即可．【解答】解：如图1中，∠BAC=∠CAO﹣∠BAO=60°﹣45°=15°，如图2中，∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°+15°=105°，故答案为15或105．【点评】本题考查正多边形与圆的有关知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC绕着点B旋转的△A′BC′，点A的对应点A′，点C的对应点C′．如果点A′在BC边上，那么点C和点C′之间的距离等于多少．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】作AD⊥BC于D，C′E⊥BC于E，如图1，先利用等腰三角形的性质得到BD=CD=BC=4，再利用勾股定理计算出AD=4，接着利用旋转的性质得A′B=A′C′=AB=5，△A′BC′≌△ABC，则利用面积法可求出CE，然后在Rt△A′C′E中利用勾股定理计算C′E，于是可在Rt△C′CE中利用勾股定理计算出CC′．【解答】解：作AD⊥BC于D，C′E⊥BC于E，如图1，∵AB=AC，∴BD=CD=BC=4，在Rt△ABD中，AD==4，=×3×8=12，∴S△ABC∵△ABC绕着点B旋转的△A′BC′，∴A′B=A′C′=AB=5，△A′BC′≌△ABC，∴A′C=3，S=12，△A′BC′=•5•CE，而S△A′BC′∴•5•CE=12，解得CE=，在Rt△A′C′E中，C′E==，∴CE=3﹣=，在Rt△C′CE中，CC′==．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是关键Rt△CC′E，利用勾股定理计算CC′的长．三、解答题19．（sin45°）2+（﹣）0﹣•+cot30°．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】依据特殊角的三角函数值、零指数幂、分数值数幂、负整数指数幂化简各式，再根据分式的性质、分母有理化进一步化简可得．【解答】解：原式=+1﹣×+=+1﹣2×+=﹣+=﹣3﹣+=﹣．【点评】本题主要考查分式的混合运算能力，掌握混合运算的运算顺序是根本、前提，准确计算特殊角的三角函数值、零指数幂、分数值数幂、负整数指数幂是解题的关键．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】用代入法求解，将方程①变为x=2y+3，代入到②中解方程可得．【解答】解：解方程由方程①，得：x=3+2y ③，把③代入②，得：（3+2y）2+（3+2y）y﹣2y2=0，整理，得：4y2+15y+9=0解得：，y=﹣32把代入③得：，把y 2=﹣3代入③，得：x 2=﹣3．故原方程组的解是：，．【点评】本题主要考查解高次方程的能力，用代入法把二元二次方程组转成一元二次方程来解是关键．21．在平面直角坐标系xOy 中，点A （2，0），点P （1，m ）（m ＞0）和点Q 关于x 轴对称．（1）求证：直线OP∥直线AQ ；（2）过点P 作PB∥x 轴，与直线AQ 交于点B ，如果AP⊥BO，求点P 的坐标．【考点】菱形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）设直线OP 和AQ 的解析式分别为y=k 1x 和 y=k 2x+b 2．由题意得出点Q 的坐标为（1，﹣m ），k 1=m ，，解方程组得出，得出k 1=k 2=m 即可，（2）证明四边形POAQ 是菱形，得出PO=AO ，由勾股定理得出，得出，即可点P 的坐标．【解答】（1）证明：设直线OP 和直线AQ 的解析式分别为y=k 1x 和 y=k 2x+b 2．根据题意，得：点Q 的坐标为（1，﹣m ），k 1=m ，，解得：，∵k 1=k 2=m ，∴直线OP∥直线AQ ；（2）解：∵OP∥AQ，PB∥OA，AP⊥BO，∴四边形POAQ 是菱形，∴PO =AO ，∴，∴．∵m＞0，∴，∴点P的坐标是．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、一次函数的解析式、勾股定理、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出m是解决问题（2）的关键．22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E和点D，已知BD：CD=2：．（1）求∠ADC的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）．【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．【专题】计算题．【分析】（1）连接AD，设BD=2k，则CD=k，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=2k，然后只需在Rt△ACD 中运用三角函数就可解决问题；（2）当∠ACD=30°时，易得∠B=15°，要求tan15°的值，只需求，只需用k的代数式分别表示出AC和BC就可解决问题．【解答】解：（1）连接AD，如图．设BD=2k，则CD=k．∵DE垂直平分AB，∴AD=BD=2k．在Rt△ACD中，∵∠C=90°，∴cos∠ADC===，∴∠ADC=30°；（2）∵AD=BD，∴∠B=∠DAB．∵∠ADC=30°，∠B+∠DAB=∠ADC，∴∠B=∠DAB=15°．在Rt△ACD中，∵∠C=90°，∴．在Rt△ABC中∵∠C=90°，∴，∴．【点评】本题主要考查了三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用已知条件和第（1）小题的结论是解决第（2）小题的关键．23．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF=∠A．（1）求证：BE=AF；（2）设BD与EF交于点M，联结AE交BD于点N，求证：BN•MD=BD•ND．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）先证明四边形ADEF为平行四边形得到AF=DE，再证明∠DBE=∠BDE得到BE=DE，则BE=AF；（2）如图，根据平行线分线段成比例定理，由EF∥AC得到AF：AB=DM：BD，等线段代换得DE：AB=DM：BD，再由DE∥AB得到DE：AB=DN：BN，则DM：BD=DN：BN，然后利用比例的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵DE∥AB，∴∠A+∠ADE=180°，∵∠DEF=∠A，∴∠DEF+∠ADE=180°，∴EF∥AD，∴四边形ADEF为平行四边形，∴AF=DE，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBE=∠ABD，∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF；（2）如图，∵EF∥AC，∴AF：AB=DM：BD，∵AF=DE，∴DE：AB=DM：BD，∵DE∥AB，∴DE：AB=DN：BN，∴DM：BD=DN：BN，即BN•MD=BD•ND．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．解决本题的关键是灵活应用平行线分线段成比例定理．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A和点B，已知点A的坐标为（1，0），与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为P．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点P的坐标；（2）如果点D在此抛物线上，DF⊥x轴于点F，DF与直线PB相交于点E，设点D的横坐标为t（t ＞3），且DE：EF=2：1，求点D的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求证：∠DPE=∠BDE．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将A（1，0）、C（0，3）代入抛物线的解析式可求得关于b、c的方程组，解得b、c 的值可求得抛物线的解析式，最后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）过点P作PG⊥AB，垂足为G．先求得点B的坐标，由点B和点P的坐标可知△PBG为等腰直角三角形，从而可证明△BEF为等腰直角三角形，设点D的坐标为（t，t2﹣4t+3），然后求得EF，DF 的长（用含t的式子表示），最后根据PF与EF的数量关系列出关于t的一元二次方程，从而可求得t的值；（3）先求得DE，BE，PE的长，接下来再证明DE2=BE•PE，从而可得到EBD∽△EDP，最后依据相似三角形的性质可求得∠DPE=∠BDE．【解答】解：（1）∵将A（1，0）、C（0，3）代入得：，解得：b=﹣4，c=3．∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴点P的坐标为（2，﹣1）．（2）过点P作PG⊥AB，垂足为G．∵令y=0得：x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3，0）．又∵P（2，﹣1），∴PG=BG=1．∴∠GBP=45°．∴∠EBF=45°．又∵∠EFB=90°，∴∠EBF=∠FEB=45°．∴BF=EF．设D（t，t2﹣4t+3），则DF=t2﹣4t+3，则BF=T﹣3．∵DE：EF=2：1，∴DF=3EF=3（t﹣3）．∴t2﹣4t+3=3（t﹣3）．解得：t1=4，t2=3（舍去）．∴D（4，3）．（3）∵t=4，∴EF=BF=4﹣3=1．∴点E的坐标为（4，1）．∴BE==，ED=DF﹣EF=3﹣1=2，PE==2．∴DE2=22=4，BE•PE==4．∴DE2=BE•PE．又∵∠DEB=∠PED，∴△EBD∽△EDP．∴∠DPE=∠BDE．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要利用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定、一元二次方程的解法、勾股定理以及相似三角形的性质和判定，证得DE2=BE•PE从而得到△EBD∽△EDP是解题的关键．25．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．【考点】圆的综合题；勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（1）易证AD=AC，只需运用三角函数和勾股定理求出AC即可；（2）过点Q作QH⊥BC于H，如图1，只需用x的代数式表示QH就可解决问题；（3）由于△PQF是以PF为腰的等腰三角形，故需分PF=PQ和PF=FQ两种情况讨论，只需将等腰三角形的性质和三角函数相结合，就可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，sinA=，∴BC=AB•sinA=5×=4，∴AC==3．∵PC=PQ，∴∠PCQ=∠PQC．∵PE⊥AB即∠QED=90°，∴∠EQD+∠EDQ=90°．∵∠ACD+∠PCQ=90°，∴∠EDQ=∠ACD．∵∠CDA=∠EDQ，∴∠ACD=∠CDA，∴AD=AC=3；（2）过点Q作QH⊥BC于H，如图1，∵∠PBE+∠BPE=90°，∠PBE+∠A=90°，∴∠BPE=∠A，∴sin∠HPQ=sin∠A=，∴sin∠HPQ==．∵PQ=PC=x，∴QH=x，∴S=PC•QH=x•x=x2（≤x＜4）；△PCQ（3）①当PF=PQ时，则有PF=PQ=x=PC．过点P作PG⊥CF于G，如图2，则CG=CF．∵CF⊥AB，∴S=AC•BC=AB•CF，△ABC∴CF==，∴CG=．∵∠PCG=90°﹣∠FCA=∠A，∴cos∠PCG=cos∠A=，∴cos∠PCG==，∴x=PC=CG=×=2；②当PF=FQ时，∵FE⊥PQ，∴PE=PQ=x，∴cos∠BPE===，∴x=．综上所述：当△PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角函数、同角或等角的余角相等、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．沁园春·雪北国风光，千里冰封，万里雪飘。
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2016年上海市长宁区中考数学二模试卷及答案一、选择题1．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B．C．D．2．如果一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜03．如果关于x的方程mx2+mx+1=0有两个相等的实数根，那么m等于（）A．4或0 B．C．4 D．±44．一组数据1、2、3、4、5、15的平均数和中位数分别是（）A．5、5 B．5、4 C．5、3.5 D．5、35．在以下几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形 C．平行四边形D．圆6．下列命题中，真命题是（）A．两个无理数相加的和一定是无理数B．三角形的三条中线一定交于一点C．菱形的对角线一定相等D．同圆中相等的弦所对的弧一定相等二、填空题7．3﹣2=．8．因式分解：x2﹣9y2=．9．方程的根是．10．函数y=的定义域是．11．把直线y=﹣x+2向上平移3个单位，得到的直线表达式是．12．如果抛物线y=ax2+2a2x﹣1的对称轴是直线x=﹣1，那么实数a=．13．某校为了发展校园足球运动，组建了校足球队，队员年龄分布如图所示，则这些队员年龄的众数是．14．在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，设，，如果用向量、表示向量，那么=．15．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为D点，如果OD=3，DA=2，那么BC=．16．如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是．17．已知AB、AC分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠BAC的度数是度．18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC绕着点B旋转的△A′BC′，点A的对应点A′，点C的对应点C′．如果点A′在BC边上，那么点C和点C′之间的距离等于多少．三、解答题19．（sin45°）2+（﹣）0﹣•+cot30°．20．解方程组：．21．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点P（1，m）（m＞0）和点Q关于x轴对称．（1）求证：直线OP∥直线AQ；（2）过点P作PB∥x轴，与直线AQ交于点B，如果AP⊥BO，求点P的坐标．22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E和点D，已知BD：CD=2：．（1）求∠ADC的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）．23．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF=∠A．（1）求证：BE=AF；（2）设BD与EF交于点M，联结AE交BD于点N，求证：BN•MD=BD•ND．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A和点B，已知点A的坐标为（1，0），与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为P．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点P的坐标；（2）如果点D在此抛物线上，DF⊥x轴于点F，DF与直线PB相交于点E，设点D的横坐标为t （t＞3），且DE：EF=2：1，求点D的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求证：∠DPE=∠BDE．25．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP 的长．2016年上海市长宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B．C．D．【考点】同类二次根式．【分析】直接利用同类二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A、，无法化简，故与不是同类二次根式；B、=2，故与不是同类二次根式；C、=2，故与，是同类二次根式；D、=2，故与不是同类二次根式；故选：C．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．2．如果一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】因为一次函数y﹦kx﹢b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，即函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，即可确定k，b的符号．【解答】解：由题意得，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，k＞0，b＜0．故选B．【点评】一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．3．如果关于x的方程mx2+mx+1=0有两个相等的实数根，那么m等于（）A．4或0 B．C．4 D．±4【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值，同时还要考虑二次项的系数不能为0．【解答】解：∵关于x的方程mx2+mx+1=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即m2﹣4×m×1=0，解得：m=0或m=4，又∵二次项的系数不能为0，∴m=4，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根．且注意一元二次方程的二次项系数不为0．4．一组数据1、2、3、4、5、15的平均数和中位数分别是（）A．5、5 B．5、4 C．5、3.5 D．5、3【考点】中位数；算术平均数．【分析】根据平均数和中位数的定义结合选项选出正确答案即可．【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：1、2、3、4、5、15，故平均数为：（1+2+3+4+5+15）÷6=5；中位数为：（3+4）÷2=3.5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，属于基础题，解题的关键是熟练掌握其概念．5．在以下几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形 C．平行四边形D．圆【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】常规题型．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选D．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．下列命题中，真命题是（）A．两个无理数相加的和一定是无理数B．三角形的三条中线一定交于一点C．菱形的对角线一定相等D．同圆中相等的弦所对的弧一定相等【考点】命题与定理．【分析】根据菱形的性质、无理数的性质、三角形中线的性质以及同圆中相等的弦所对的弧不一定相等即可判断．【解答】解：A、错误．例如1+与1﹣都是无理数，它们的和是有理数．B、正确．C、错误．菱形的对角线不一定相等．D、错误．应该是同圆中相等的弦所对的劣弧或优弧相等．故选B．【点评】本题考查命题与定理、无理数的性质、三角形中线的性质、菱形的性质、圆的有关知识，解题的关键是正确理解概念，记住这些基本性质，属于中考常考题型．二、填空题7．3﹣2=．【考点】负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据幂的负整数指数运算法则计算．【解答】解：原式==．故答案为：．【点评】本题考查的是幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．8．因式分解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解即可．【解答】解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．9．方程的根是x=1．【考点】无理方程．【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x的值，然后进行检验即可．【解答】解：两边平方得：2﹣x=x2，整理得：x2+x﹣2=0，解得：x=1或﹣2．经检验：x=1是方程的解，x=﹣2不是方程的解．故答案是：x=1．【点评】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．10．函数y=的定义域是x≠2．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，2﹣x≠0，解得x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11．把直线y=﹣x+2向上平移3个单位，得到的直线表达式是y=﹣x+5．【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】利用上下平移时k的值不变，只有b发生变化，由上加下减得出即可．【解答】解：直线y=﹣x+2向上平移2个单位长度得到了新直线，那么新直线解析式为y=﹣x+2+3=﹣x+5．故答案为：y=﹣x+5．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟记直线解析式平移的规律：“上加下减，左加右减”是解题的关键．12．如果抛物线y=ax2+2a2x﹣1的对称轴是直线x=﹣1，那么实数a=1．【考点】二次函数的性质．【分析】直接利用二次函数对称轴公式求出a的值．【解答】解：∵抛物线y=ax2+2a2x﹣1的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣1=﹣解得：a=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆二次函数对称轴公式是解题关键．13．某校为了发展校园足球运动，组建了校足球队，队员年龄分布如图所示，则这些队员年龄的众数是14．【考点】众数；条形统计图．【分析】根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数．【解答】解：观察条形统计图知：为14岁的最多，有8人，故众数为14岁，故答案为：14．【点评】考查了众数的定义及条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂条形统计图及了解众数的定义，难度较小．14．在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，设，，如果用向量、表示向量，那么=+．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后由四边形ABCD是平行四边形，求得，继而求得答案．【解答】解：如图，四边形ABCD是平行四边形，∴=，AO=AC，∵，∴=+=+，∴=（+）=+．故答案为：+．【点评】此题考查了平面向量的知以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．15．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为D点，如果OD=3，DA=2，那么BC=8．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OB，求出OB，根据垂径定理求出BC=2BD，根据勾股定理求出BD即可．【解答】解：如图，连接OB，∵OA⊥BC，OA过O，∴BC=2BD，∠ODB=90°，∵OD=3，DA=2，∴OA=2+3=5，∴OB=OA=5，在Rt△ODB中，由勾股定理得：BD===4，∴BC=2BD=8，故答案为：8．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理得出BC=2BD是解此题的关键．16．如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是．【考点】概率公式；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】网格型．【分析】由取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，∴使△ABC为直角三角形的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．已知AB、AC分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠BAC的度数是15或105度．【考点】正多边形和圆．【分析】有两种情形：①如图1中，∠BAC=∠CAO﹣∠BAO，②如图2中，∠BAC=∠BAE+∠EAC，分别计算即可．【解答】解：如图1中，∠BAC=∠CAO﹣∠BAO=60°﹣45°=15°，如图2中，∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°+15°=105°，故答案为15或105．【点评】本题考查正多边形与圆的有关知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC绕着点B旋转的△A′BC′，点A的对应点A′，点C的对应点C′．如果点A′在BC边上，那么点C和点C′之间的距离等于多少．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】作AD⊥BC于D，C′E⊥BC于E，如图1，先利用等腰三角形的性质得到BD=CD=BC=4，再利用勾股定理计算出AD=4，接着利用旋转的性质得A′B=A′C′=AB=5，△A′BC′≌△ABC，则利用面积法可求出CE，然后在Rt△A′C′E中利用勾股定理计算C′E，于是可在Rt△C′CE中利用勾股定理计算出CC′．【解答】解：作AD⊥BC于D，C′E⊥BC于E，如图1，∵AB=AC，∴BD=CD=BC=4，在Rt△ABD中，AD==4，∴S△ABC=×3×8=12，∵△ABC绕着点B旋转的△A′BC′，∴A′B=A′C′=AB=5，△A′BC′≌△ABC，∴A′C=3，S△A′BC′=12，而S△A′BC′=•5•CE，∴•5•CE=12，解得CE=，在Rt△A′C′E中，C′E==，∴CE=3﹣=，在Rt△C′CE中，CC′==．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是关键Rt△CC′E，利用勾股定理计算CC′的长．三、解答题19．（sin45°）2+（﹣）0﹣•+cot30°．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】依据特殊角的三角函数值、零指数幂、分数值数幂、负整数指数幂化简各式，再根据分式的性质、分母有理化进一步化简可得．【解答】解：原式=+1﹣×+=+1﹣2×+=﹣+=﹣3﹣+=﹣．【点评】本题主要考查分式的混合运算能力，掌握混合运算的运算顺序是根本、前提，准确计算特殊角的三角函数值、零指数幂、分数值数幂、负整数指数幂是解题的关键．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】用代入法求解，将方程①变为x=2y+3，代入到②中解方程可得．【解答】解：解方程由方程①，得：x=3+2y ③，把③代入②，得：（3+2y）2+（3+2y）y﹣2y2=0，整理，得：4y2+15y+9=0解得：，y2=﹣3把代入③得：，把y2=﹣3代入③，得：x2=﹣3．故原方程组的解是：，．【点评】本题主要考查解高次方程的能力，用代入法把二元二次方程组转成一元二次方程来解是关键．21．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点P（1，m）（m＞0）和点Q关于x轴对称．（1）求证：直线OP∥直线AQ；（2）过点P作PB∥x轴，与直线AQ交于点B，如果AP⊥BO，求点P的坐标．【考点】菱形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）设直线OP和AQ的解析式分别为y=k1x和y=k2x+b2．由题意得出点Q的坐标为（1，﹣m），k1=m，，解方程组得出，得出k1=k2=m即可，（2）证明四边形POAQ是菱形，得出PO=AO，由勾股定理得出，得出，即可点P 的坐标．【解答】（1）证明：设直线OP和直线AQ的解析式分别为y=k1x和y=k2x+b2．根据题意，得：点Q的坐标为（1，﹣m），k1=m，，解得：，∵k1=k2=m，∴直线OP∥直线AQ；（2）解：∵OP∥AQ，PB∥OA，AP⊥BO，∴四边形POAQ是菱形，∴PO=AO，∴，∴．∵m＞0，∴，∴点P的坐标是．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、一次函数的解析式、勾股定理、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出m是解决问题（2）的关键．22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E和点D，已知BD：CD=2：．（1）求∠ADC的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）．【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．【专题】计算题．【分析】（1）连接AD，设BD=2k，则CD=k，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=2k，然后只需在Rt△ACD中运用三角函数就可解决问题；（2）当∠ACD=30°时，易得∠B=15°，要求tan15°的值，只需求，只需用k的代数式分别表示出AC和BC就可解决问题．【解答】解：（1）连接AD，如图．设BD=2k，则CD=k．∵DE垂直平分AB，∴AD=BD=2k．在Rt△ACD中，∵∠C=90°，∴cos∠ADC===，∴∠ADC=30°；（2）∵AD=BD，∴∠B=∠DAB．∵∠ADC=30°，∠B+∠DAB=∠ADC，∴∠B=∠DAB=15°．在Rt△ACD中，∵∠C=90°，∴．在Rt△ABC中∵∠C=90°，∴，∴．【点评】本题主要考查了三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用已知条件和第（1）小题的结论是解决第（2）小题的关键．23．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF=∠A．（1）求证：BE=AF；（2）设BD与EF交于点M，联结AE交BD于点N，求证：BN•MD=BD•ND．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）先证明四边形ADEF为平行四边形得到AF=DE，再证明∠DBE=∠BDE得到BE=DE，则BE=AF；（2）如图，根据平行线分线段成比例定理，由EF∥AC得到AF：AB=DM：BD，等线段代换得DE：AB=DM：BD，再由DE∥AB得到DE：AB=DN：BN，则DM：BD=DN：BN，然后利用比例的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵DE∥AB，∴∠A+∠ADE=180°，∵∠DEF=∠A，∴∠DEF+∠ADE=180°，∴EF∥AD，∴四边形ADEF为平行四边形，∴AF=DE，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBE=∠ABD，∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF；（2）如图，∵EF∥AC，∴AF：AB=DM：BD，∵AF=DE，∴DE：AB=DM：BD，∵DE∥AB，∴DE：AB=DN：BN，∴DM：BD=DN：BN，即BN•MD=BD•ND．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．解决本题的关键是灵活应用平行线分线段成比例定理．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A和点B，已知点A的坐标为（1，0），与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为P．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点P的坐标；（2）如果点D在此抛物线上，DF⊥x轴于点F，DF与直线PB相交于点E，设点D的横坐标为t （t＞3），且DE：EF=2：1，求点D的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求证：∠DPE=∠BDE．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将A（1，0）、C（0，3）代入抛物线的解析式可求得关于b、c的方程组，解得b、c的值可求得抛物线的解析式，最后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）过点P作PG⊥AB，垂足为G．先求得点B的坐标，由点B和点P的坐标可知△PBG为等腰直角三角形，从而可证明△BEF为等腰直角三角形，设点D的坐标为（t，t2﹣4t+3），然后求得EF，DF的长（用含t的式子表示），最后根据PF与EF的数量关系列出关于t的一元二次方程，从而可求得t的值；（3）先求得DE，BE，PE的长，接下来再证明DE2=BE•PE，从而可得到EBD∽△EDP，最后依据相似三角形的性质可求得∠DPE=∠BDE．【解答】解：（1）∵将A（1，0）、C（0，3）代入得：，解得：b=﹣4，c=3．∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴点P的坐标为（2，﹣1）．（2）过点P作PG⊥AB，垂足为G．∵令y=0得：x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3，0）．又∵P（2，﹣1），∴PG=BG=1．∴∠GBP=45°．∴∠EBF=45°．又∵∠EFB=90°，∴∠EBF=∠FEB=45°．∴BF=EF．设D（t，t2﹣4t+3），则DF=t2﹣4t+3，则BF=T﹣3．∵DE：EF=2：1，∴DF=3EF=3（t﹣3）．∴t2﹣4t+3=3（t﹣3）．解得：t1=4，t2=3（舍去）．∴D（4，3）．（3）∵t=4，∴EF=BF=4﹣3=1．∴点E的坐标为（4，1）．∴BE==，ED=DF﹣EF=3﹣1=2，PE==2．∴DE2=22=4，BE•PE==4．∴DE2=BE•PE．又∵∠DEB=∠PED，∴△EBD∽△EDP．∴∠DPE=∠BDE．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要利用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定、一元二次方程的解法、勾股定理以及相似三角形的性质和判定，证得DE2=BE•PE从而得到△EBD∽△EDP是解题的关键．25．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP 的长．【考点】圆的综合题；勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（1）易证AD=AC，只需运用三角函数和勾股定理求出AC即可；（2）过点Q作QH⊥BC于H，如图1，只需用x的代数式表示QH就可解决问题；（3）由于△PQF是以PF为腰的等腰三角形，故需分PF=PQ和PF=FQ两种情况讨论，只需将等腰三角形的性质和三角函数相结合，就可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，sinA=，∴BC=AB•sinA=5×=4，∴AC==3．∵PC=PQ，∴∠PCQ=∠PQC．∵PE⊥AB即∠QED=90°，∴∠EQD+∠EDQ=90°．∵∠ACD+∠PCQ=90°，∴∠EDQ=∠ACD．∵∠CDA=∠EDQ，∴∠ACD=∠CDA，∴AD=AC=3；（2）过点Q作QH⊥BC于H，如图1，∵∠PBE+∠BPE=90°，∠PBE+∠A=90°，∴∠BPE=∠A，∴sin∠HPQ=sin∠A=，∴sin∠HPQ==．∵PQ=PC=x，∴QH=x，∴S△PCQ=PC•QH=x•x=x2（≤x＜4）；（3）①当PF=PQ时，则有PF=PQ=x=PC．过点P作PG⊥CF于G，如图2，则CG=CF．∵CF⊥AB，∴S△ABC=AC•BC=AB•CF，∴CF==，∴CG=．∵∠PCG=90°﹣∠FCA=∠A，∴cos∠PCG=cos∠A=，∴cos∠PCG==，∴x=PC=CG=×=2；②当PF=FQ时，∵FE⊥PQ，∴PE=PQ=x，∴cos∠BPE===，∴x=．综上所述：当△PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角函数、同角或等角的余角相等、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．。