小学奥数 3-3-2 行程综合问题.教师版

1. 运用各种方法解决行程内综合问题。

2. 发现一些综合问题中，行程与其它模块的联系，并解决奥数综合问题。

行程问题是奥数中的一个难点，内容多而杂。而在行程问题中，还有一些尤其复杂的综合问题。它们大致可以分为两类：

一、 行程内综合，把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中，这就是一道行程内综合

题目。例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起，把流水行船和发车间隔结合起来等等。

二、 学科内综合，这种问题就不只是行程问题了，把行程问题和其它知识模块里的思想方法结合

在一起，这种综合性题目的难度也很大，比如行程与策略综合等等。

本讲内容主要就是针对这种综合性题目。虽然题目难度偏大，但是这种题目在杯赛和小升初试题中是很受“偏爱”的。所以很重要。

模块一、行程内综合

【例 1】 邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。

他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返

回，邮递员什么时候可以回到邮局?

【考点】变速问题与走停问题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。①邮递员到达对面山里需时间：

12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l 0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。

法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时) 回到邮局的。

【答案】5时

【例 2】 小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟．已知小红下山的速度

是上山速度的1.5倍，如果上山用了3小时50分，那么下山用了多少时间？

【考点】变速问题与走停问题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 上山用了3小时50分，即60350230⨯+=(分)，由2303010530÷+=（），

得到上山休息了5次，走了230105180

-⨯=(分)．因为下山的速度是上山的1.5倍，所以下山走了180 1.5120÷= (分)．由120304÷=知，下山途中休息了3次，所以下山共用12053135+⨯=(分)2=小时15分．

行程综合问题

知识精讲 教学目标

【答案】2小时15分

【例 3】 已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑

3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着

周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？

【考点】环形跑道与猎狗追兔 【难度】5星 【题型】解答

【解析】 方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49．

设单位时间内猫跑1米，则狗跑259米，兔跑4925

米． 狗追上猫一圈需25675300194⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭单位时间， 兔追上猫一圈需496253001252⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭

单位时间． 猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是6754的整数倍，又是6252的整数倍． 6754与6252

的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即]()675,62567562516875,8437.5424,22⎡⎡⎤⎣===⎢⎥⎣⎦

． 上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．

此时，猫跑了8437.5米，狗跑了258437.523437.59⨯

=米，兔跑了498437.516537.525

⨯=米． 方法二：根据题意，猫跑35步的路程与狗跑21步的路程、兔跑25步的路程相等；而猫跑15步的时间与狗跑25步、兔跑21步的时间相同． 所以猫、狗、兔的速度比为152521::352125，它们的最大公约数为 ()[]15,25,211525211,,35212535,21,253557

⎛⎫== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭， 即设猫的速度为151225353557÷=⨯⨯⨯，那么狗的速度为251625213557

÷=⨯⨯⨯，则兔的速度为211441253557

÷=⨯⨯⨯． 于是狗每跑3300(625225)4÷-=

单位时追上猫； 兔每跑25300(441225)18

÷-=单位时追上猫． 而[]()3,2532575,4184,182

⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以猫、狗、兔跑了752单位时，三者相遇． 猫跑了

752258437.52⨯=米，狗跑了7562523437.52⨯=米，兔跑了7544116537.52

⨯=米． 【答案】16537.5米

【例 4】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后

甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。

求甲原来的速度。

【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑

一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒

的路程之和等于 400米，24V +24（V +2 ）=400 易得V = 173

米/秒 【答案】173米/秒

【例 5】 环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑120米，乙每分

跑100米，两人都是每跑200米停下休息1分。甲第一次追上乙需多少分？

【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 55分。解：甲比乙多跑500米，应比乙多休息2次，即2分。在甲多休息的2分内，乙又跑了

200米，所以在与甲跑步的相同时间里，甲比乙多跑500＋200＝700（米），甲跑步的时间为700÷（120－100）＝35（分）。共跑了120×35＝4200（米），中间休息了4200÷200－1＝ 20（次），即20分。所以甲第一次追上乙需35＋20＝55（分）。

【答案】55分

【例 6】 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙

第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的

地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是 米．

【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 如图，设跑道周长为1，出发时甲速为2，则乙速为5．假设甲、乙从A 点同时出发，按逆时针

方向跑．由于出发时两者的速度比为2:5，乙追上甲要比甲多跑1圈，所以此时甲跑了

21(52)23÷-⨯=，乙跑了53；此时双方速度发生变化，甲的速度变为2(125%) 2.5⨯+=，乙的速度变为5(120%)4⨯-=，此时两者的速度比为2.5:45:8=；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1

圈，则此次甲跑了51(85)53÷-⨯=，这个53

就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程．从环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是52133

-=个周长，又可能是51233

-=个周长． 那么，这条环形跑道的周长可能为21001503÷=米或11003003÷=米． 【答案】300米

【例 7】 如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A 点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分）

道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥泞

道路上两人的速度均为每秒4米。两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距A 点还

有 米。