浙江省中考数学综合提升训练几何应用型问题
【大题精编】2023届浙江省中考数学复习 专题9 几何综合问题 解答题30题专项提分计划解析版
【大题精编】2023届浙江省中考数学复习专题9 几何综合问题解答题30题专项提分计划（浙江省通用）1．（2022·浙江衢州·模拟预测）（1）如图1，在矩形ABCD 中，ADC Ð的平分线交BC 于点.E 交AB 的延长线于点F ，求证：BE BF =；（2）如图2，若G 是EF 的中点，连接AG 、CG 、AC ，请判断AGC V 的形状，并说明理由．（3）如图3，作BED Ð的角平分线EH 交AB 于点H ，已知9AB =，2BH AH =，求BC 的长．（2）解：AGC V 为等腰直角三角形，理由如下：如图，连接BG，由（1）可知BEF △为等腰直角三角形，∴AF AD BC ==，∵G 为EF 中点，∴BG FG =，45EBG Ð=°，在△AGF 和△CGB 中，GF GB F CBG AF BC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS AGF CGB ≌△△，∴AG CG =，AGF BGC Ð=Ð，∴BGF AGB AGB AGC Ð+Ð=Ð+Ð，∴90AGC BGF Ð=Ð=°，∴AGC V 为等腰直角三角形；（3）解：如图，在BH 上截取BN BE =，连接NE ，∵92AB BH AH ==，，∴36AH BH ==，，∵45BEF Ð=°，∴135BED Ð=°，∵EH 平分BED Ð，∴67.5BEH Ð=°，2．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图1，在ABC V 中，90C Ð=°，30B Ð=°，作CAB Ð平分线AF 交BC 于点F ，以AF 为边作等腰直角AFE △，且90AFE Ð=°，如图2将AFE △绕点F 每秒3°的速度顺时针旋转得到三角形DFE （当点D 落在射线FB 上时停止旋转），则旋转时间为t 秒．(1)当t ＝ 秒，DE AB ∥；(2)在旋转过程中，DF 与AB 的交点记为M ，如图3，若AMF V 为等腰三角形，求t 的值；(3)当边DE 与边AB 、BC 分别交于点P 、Q 时，如图4，连接AE ，设BAE x Ð=°，AED y Ð=°，DFB z Ð=°，试探究x ，y ，z 之间的关系．【答案】(1)5(2)10或25或40(3)105x y z ++=【分析】（1）根据平行线的性质可得，45DEF BPE Ð=Ð=°，再利用三角形外角的性质得BFE Ð的度数，从而得出旋转的角度，可得答案；（2）分AFM FAM Ð=Ð或AFM AMF Ð=Ð或MAF AMF Ð=Ð，分别求出旋转的角度，从而解决问题；（3）利用三角形外角的性质知BPE BAE AED x y =Ð+Ð=°+°Ð，45BQP DFB D z Ð=Ð+Ð=°+°，再根据三角形内角和定理可得答案．【详解】（1）解：当DE AB ∥时，45DEF BPE Ð=Ð=°，∴453015BFE BPE B Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵起始状态30BFE Ð=°，∴()301535t =-¸=，故答案为：5；（2）解：当30AFM FAM Ð=Ð=°，30310t =°¸°=，当75AFM AMF Ð=Ð=°时，75325t =°¸°=，当30MAF AMF Ð=Ð=°时，120AFM Ð=°，120340t =°¸°=，综上：t ＝10或25或40；（3）解：∵BPE Ð是APE V 的外角，∴BPE BAE AED x y =Ð+Ð=°+°Ð，∵BQP Ð是DFQ V 的外角，∴45BQP DFB D z Ð=Ð+Ð=°+°，在BQP V 中，3045180B BQP BPQ z x y Ð+Ð+Ð=°+°+°+°+°=°，∴105x y z ++=．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解决问题（2）的关键．运用三角形外角的性质是解决问题（3）的关键．3．（2022·浙江杭州·翠苑中学校考二模）在图1，图2，图3中，AF BE ，是ABC V 的中线，AF BE ⊥，垂足为P ．设BC a AC b AB c ＝，＝，＝．(1)①如图1，当=45ABE а，c ==a ，b = ．②如图2，当30ABE Ð=°，8c =时，=a ，b = ．(2)观察（1）中的计算结果，猜想222a b c ，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明．），连接EF ，则EF 是ABC V AE EF ^，，是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，21EP FP ==，，，②如图2，连接EF ，则EF 是ABC V 的中位线．30ABE AE BF AB Ð=°^，，Q 434AP BP AP \===，，12,32PF EF PE \====27,213AE BF \==，如图3，连接EF ，则EF 是∴1,2EF AB EF AB =∥，∴ABP FEP V V ∽，∴2AP BP FP EP ==，4．（2022·浙江丽水·一模）在菱形ABCD 中，6AB =，=60A а，点E 在AD 边上，4AE =，点P 是边AB 上一个动点，连结EP ，将AEP △沿EP 翻折得到FEP V ．(1)当EF AB ∥时，求AEP Ð的度数；(2)若点F 落在对角线BD 上，求证：DEF BFP V :V ；(3)若点P 在射线BA 上运动，设直线PF 与直线BD 交于点H ，问当AP 为何值时，BHP V 为直角三角形．∵菱形ABCD 中，=60A а，∴AD =AB ，ADB V 是等边三角形，∴60ADB ABD Ð=Ð=°∵FEP V 是由AEP △翻折得到，∴60EFP A Ð=Ð=°，由翻折的性质可得：AP =FP ，EF 设AP =x ，则FP =x ，∵∠PHB =90°，∴150APF Ð=°，30BPH Ð=°30K Ð=°由折叠的性质可得：APE FPE Ð=Ð∵EQ ⊥AB ，60A Ð=°∴30AEQ Ð=°，PEQ EPQ Ð=Ð=∴122AQ AE ==，2242EQ =-∵EM ⊥AB ，60EAM Ð=°，∴60AEM Ð=°，12AM AE =由折叠的性质可得：APE Ð∵EM ⊥AB ，45APE Ð=°∴2EM PM a ==+，在Rt AEM V 中，EM AE =由翻折的性质可得：AP =FP ，EF =∵∠PHB =90°，∠PBH =60°，∴30BPH Ð=°，∵60EAB Ð=°∴120PAE PFE Ð=Ð=°5．（2022·浙江绍兴·一模）如图①，在正方形ABCD 中，点E 与点F 分别在线段,AC BC 上，且四边形DEFG 是正方形．(1)试探究线段AE与CG的关系，并说明理由．AB，(2)如图②若将条件中的四边形ABCD与四边形DEFG由正方形改为矩形，=3 BC．=4AE CG在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认①线段,为正确的关系，并说明理由．△为等腰三角形时，求CG的长．②当CDE6．（2022·浙江嘉兴·一模）如图1，已知正方形ABCD 和正方形CEFG ，点B 、C 、E 在同一直线上，(1)BC m m =>，1CE =．连接AF BG 、．(1)求图1中AF 、BG 的长（用含m 的代数式表示）．(2)如图2，正方形ABCD 固定不动，将图1中的正方形CEFG 绕点C 逆时针旋转a 度（090a °<£°），试探究AF 、BG 之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，在（2）条件下，当点A ，F ，E 在同一直线上时，连接CF 并延长交AD 于点H ，若FH =，求m 的值．∵正方形ABCD 和正方形CEFG ∴∠ABC =∠BCD =∠CGD =∠CGH 在Rt △BCG 中，由勾股定理，得∵正方形ABCD和正方形∴∠ACB=∠FCG=45°，∴∠ACB+∠ACG=∠FCG+∠∴∠BCG=∠ACF，∵正方形ABCD和正方形∴∠CAD=∠CFE=45°，CD∵∠CFE=∠CAF+∠ACF，∴∠FAH=∠ACF，∵∠AHF=∠CHA，7．（2022·浙江宁波·校考三模）【基础巩固】(1)如图①，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，ACD B Ð=Ð，求证∶ABC DCA V V ∽；(2)【尝试应用】如图②，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 上，AED Ð与C Ð互补，24BE EC ==，，求AE 的长；(3)【拓展提高】如图③，在菱形ABCD 中，E 为其内部一点，AED Ð与C Ð互补，点F 在CD 上，EF AD ∥，且2AD EF =，31AE CF ==，，求DE 的长．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ∥，AB CD =∵EF AD ∥，∴四边形AGFD 是平行四边形，8．（2022·浙江温州·统考模拟预测）已知：如图，MAN Ð为锐角，AD 平分MAN Ð，点B ，点C 分别在射线AM 和AN 上，AB AC =．(1)若点E 在线段CA 上，线段EC 的垂直平分线交直线AD 于点F ，直线BE 交直线AD 于点G ，求证：EBF CAG Ð=Ð；(2)若（1）中的点E 运动到线段CA 的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想EBF Ð与CAG Ð的数量关系并证明你的结论．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）如图1，连接EF 、CF ，由中垂线的性质就可以得出EF CF =，就有FEC FCE Ð=Ð，由AFB AFC V V ≌就可以得出ABF ACF Ð=Ð，由180FEC FEA Ð+Ð=°就可以得出180FEC FEA Ð+Ð=°，得出A 、B 、F 、E 四点共圆，再得出EBF CAG Ð=Ð；（2）如图2，连接EF 、CF ，由中垂线的性质就可以得出EF CF =，就有FEC FCE Ð=Ð，由AFB AFC V V ≌就可以得出ABF ACF Ð=Ð，就有AEF ABF Ð=Ð，近而得出A 、B 、F 、E 四点共圆，就有EBF FAC Ð=Ð，从而得出180EBF CAG Ð+Ð=°．【详解】（1）解：如图1，连接EF 、CF ，EC Q 的垂直平分线交直线AD ，EF CF \=，FEC FCE \Ð=Ð，AD Q 平分MAN Ð，BAF CAF\Ð=Ð．在AFB △和AFC △中AB AC BAF CAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=îAFB AFC \V V ≌，ABF ACF \Ð=Ð，ABF ACF \Ð=Ð，ABF FCE \Ð=Ð．180FEC FEA Ð+Ð=°Q ，180ABF AEF \Ð+Ð=°，则A 、B 、F 、E 四点共圆，EBF CAG \Ð=Ð；（2）解：180EBF CAG Ð+Ð=°理由：如图2，连接EF 、CF ，EC Q 的垂直平分线交直线AD ，EF CF \=，FEC FCE \Ð=Ð，AD Q 平分MAN Ð，BAF CAF \Ð=Ð．在AFB △和AFC △中AB AC BAF CAFAF AF =ìïÐ=Ðíï=îAFB AFC \V V ≌，ABF ACF \Ð=Ð，ABF FCE \Ð=Ð．则A 、B 、F 、E 四点共圆，EBF FAC \Ð=Ð．180FAC CGA Ð+Ð=°Q ，180EBF CAG Ð+Ð=°Q ．【点睛】本题考查角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，四点共圆的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．9．（2022·浙江杭州·校考二模）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在AD ，DC 上（不与A ，D ，C 重合），连接BE ，AF ，BE 与AF 交于点G ，与AC 交于点H ．已知AF BE =，AF 平分DAC Ð．(1)求证：AF BE ⊥．(2)若BHO △的面积为1S ，BDE △的面积为2S ，求12S S 的值．10．（2022·浙江丽水·统考一模）如图，在矩形ABCD 中，302DBC AB Ð=°=，，连接对角线BD ，点E 以1个单位每秒的速度从点D 出发，向点B 运动，运动时间为t ，过点E 作EM AE ^，交BC 于点M ．(1)如图1，当2t =时，求ME 的长．(2)在点E 在运动过程中，AME Ð的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出AME Ð的大小．）90,,ABM AON AO OC \Ð=Ð=°=Q ∴NO 垂直平分AC ，CN AN \=，,AN MN =Q CN MN \=．【点睛】本题综合考查了等边三角形、全等三角形、相似三角形和三角函数等知识，灵活运用条件证明等边三角形求证所需条件，掌握各种全等三角形、相似三角形的判定方法是解题的关键．11．（2022·浙江金华·校联考模拟预测）如图1，在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，AE ⊥AB ，AE ，BC 的延长线交于点F ，在线段BF 上取点M ，N （点M在B ，N 之间），使得BM =FN =18MN ．当点P 从点M 匀速运动到点N 处时，点Q 恰好从点F 匀速运动到点A 处．连接AP ．设MP =x ，AQ =y ，已知y =－x +8．(1)求BF ，AF 的长．(2)当PQ ⊥BC 时（如图2），求FPQ △的周长．(3)①当V APQ 是以AP 为腰的等腰三角形时，求x 的值．②将PQ 绕点Q 顺时针旋转90°得线段P ¢Q ，若点P ¢落在四边形ABCD 的内部，请直接写出x 的取值范围．12．（2022·浙江丽水·统考一模）如图，矩形ABCD ，点P 是对角线AC 上的动点（不与A 、C 重合），连接PB ，作PE PB ^交射线DC 于点E ．已知6AD =，8AB =．设AP 的长为x ．(1)如图1，PM AB ^于点M ，交CD 于点N ．求证：BMP PNE △△∽；(2)试探究：PE PB是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当PCE V 是等腰三角形时，请求出所有x 的值．图甲【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三13．（2022·浙江宁波·统考二模）【证明体验】(1)如图1，△ABC 中，D 为BC 边上任意一点，作DE AC ^于E ，若12CDE A Ð=Ð，求证：△ABC 为等腰三角形；【尝试应用】(2)如图2，四边形ABCD 中，90D Ð=°，AD CD =，AE 平分BAD Ð，180BCD EAD Ð+Ð=°，若2DE =，6AB =，求AE 的长；【拓展延伸】(3)如图3，△ABC 中，点D 在AB 边上满足CD BD =，1902ACB B Ð=°+Ð，若AC =，20BC =，求AD 的长．14．（2022·浙江杭州·统考二模）如图1，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为AD 上一点，CE 与BD 交于点F ．(1)若AE CE =，BD CE ^，①求tan DEC Ð．②如图2，连接AF ，当3BC =时，求AF 的值．(2)设()01DE k k AD =<<，记CBF V 的面积为1S ，四边形ABFE 的面积为2S ，求21S S 的最大值．15．（2022·浙江金华·校联考三模）在四边形ABCD 中，5AB AD ==，10BC CD ==，90B Ð=°．(1)如图1，①求证：90D Ð=°；②求C Ð的正切值；(2)如图2，动点M 从点D 出发，以1个单位每秒速度，沿折线DA AB -运动，同时，动点N 从点B 出发，以2个单位每秒速度，沿射线BC 运动，当点M 到达点B 时，点M ，N 同时停止运动，设运动时间为t 秒，以MN 为斜边作Rt MNP △，使点P 落在线段AB 或AD 上，在整个运动过程中，当不再连接其他线段，且图中存在与MNP △相似的三角形时，求t 的值．DE CF =，设DE CF x ==，则10CE x =-，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，即可得出结果；（2）按照点M 、N 、P 的位置，MNP NPB D D ∽或MNP PNB D D ∽，以及当三角形全等也是特殊的相似，进行分类讨论，求出t 的值即可．【详解】（1）证明：①连接AC ，如图所示：∵在△ABC 和△ADC 中，AB AD BC CD AC AC =ìï=íï=î，∴()SSS ABC ADC D D ≌，∴90D B Ð=Ð=°；②过点A 作AE BC ∥，交CD 于点E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，如图所示：90EFC B Ð=Ð=°Q ，∴AB EF ∥，∴四边形ABFE 为平行四边形，∵∠EFC =90°，∴四边形ABFE 为矩形，∴5EF AB ==，∠AEF =90°，∴EF AD =，90DAE AED Ð+Ð=°Q ，90DEA CEF Ð+Ð=°，∴DAE CEF Ð=Ð，90D EFC Ð=Ð=°Q ，∴()ASA ADE EFC D D ≌，∴DE CF =，设DE CF x ==，则10CE x =-，∵222CE CF EF =+，()222105x x \-=+，（2）①当点M 在AD 上，BA ，交EM 于点G ，如图所示：∵MNP NPB D D ∽，∴NMP BNP Ð=Ð，PNM Ð∵90PMN PNM Ð+Ð=°，7②当点M 在AD 上，MNP PNB D D ∽时，过点交EM 于点G ，过点P 作PH ⊥MN 于点∵ME BC ∥，∴18090GEF EFB Ð=°-Ð=°，∴90GEF EFB B Ð=Ð=Ð=°，∴四边形GEFB 为矩形，③当M 与A 点重合，N 与C 点重合时，相似比为1，符合要求，此时1052t ==④当点M 在AB 上，N 在BC 的延长线上时，∵MN =MN ，∴此时MNP MNB D D ≌，∴NP =NB =2t ，PM =MB =10-t ，【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关的三角形判定的性质和判定，作出辅助线，进行分类讨论是解题的关键．16．（2022·浙江金华·校联考二模）如图，菱形ABCD 中，5AB =，8AC =，点E 是射线AC 上的一个动点，将线段BE 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，连接DE 、DF ．(1)求证：ED EF =；(2)如图2，连接BD ，CF ，当BED V 与EFC V 相似时，求CE 的长；(3)当点D 关于直线EF 的对称点落在菱形的边上时，求AE 的长．（3）①当点F 与点D 重合时，点E 在AO 上时，点目要求，如图所示：根据解析（1）可知，BE =DE ，∵EO ⊥BD ，∴90BED Ð=°，∵BO =DO ，∴132EO BD ==，∵AO =4，∴1AE AO EO =-=；。
备战中考数学(浙教版)综合能力提升练习(含解析)
2021备战中考数学〔浙教版〕综合才能提升练习〔含解析〕一、单项选择题1.单项式4x5y与2x2〔-y〕3z的积是〔〕A.8x10y3zB.8x7〔-y〕4zC. -8x7y4zD. -8x10y3z2.以下图形不是立体图形的是〔〕A.球B.圆柱C.圆锥D.圆3.以下画图语言表述正确的选项是〔〕A.延长线段AB至点C ，使AB=ACB.以点O为圆心作弧C.以点O为圆心，以AC长为半径画弧D.在射线OA上截取OB=a ，BC=b ，那么有OC=a+b4.某扇形的面积为12πcm2，圆心角为120°，那么该扇形的半径是〔〕A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm5.假设有意义，那么a的取值范围是〔〕A.a≥0B.a≥3C.a＞-3D.a≥-36.抛物线y=x2+3x+c经过三点，那么的大小关系为〔〕A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy中，A点坐标为(3,4)，将OA绕原点O顺时针旋转180°得到OA'，那么点A'的坐标是()A.(-4,3)B.(-3,-4)C.(-4,-3)D.(-3,4)8.在同一平面内，三条直线的交点个数不能是〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个9.钟表在5点30分时，它的时针和分针所成的锐角是〔〕．A.15°B.70°C.30°D.90°10.一个几何体的主视图和左视图都是正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是〔〕A.长方体B.正方体C.圆锥D.圆柱11.假设a2=〔﹣5〕2，b3=〔﹣5〕3，那么a+b的值为〔〕A.0B.±10C.0或10D.0或﹣10二、填空题12.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，那么CE的长为________．13.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，假设△ABE的面积为18，CE=4，那么线段BE的长为________．14.如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=8，BC=6，CD△AB ，垂足为D ，那么tan△BCD 的值是________.15.如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边中线，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交点分别为点E、F，直线EF与AD相交于点O，假设OA=2，那么△ABC外接圆的面积为________．16.假设规定“*〞的运算法那么为：a*b=ab﹣1，那么2*3=________．17.某人在1〜6月份的收入如下：800元、880元、750元、1200元、340元、800元．那么此人在这6个月中的收入极差为________．18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B〔3，1〕，B′〔6，2〕．请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化答复以下问题：①假设点A〔，3〕，那么A′的坐标为________②△ABC与△A′B′C′的相似比为________19.一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，那么m应满足的条件是________ .20.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分△ABC，交AC于点D。
2020年浙江省中考数学几何综合题冲刺训练含解析
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
7、如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．
∴A，G，C共线，AB-AE=AD-AH，
∴HD=EB，
延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，
∴GC⊥MN，∠NGO=∠AGE=30°，
∴ =cos30°= ，
∵GC=2OG，
∴ = ，
∵HGND为平行四边形，
∴HD=GN，
∴HD：GC：EB=1： ：1．
①请探究AD与BD之间的位置关系：；
②若AC＝BC＝ ，DC＝CE＝ ，则线段AD的长为；
【拓展延伸】
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝ ，BC＝ ，CD＝ ，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．
在Rt△ABF中，BF＝ ＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，
（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．
（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．
浙江省中考数学综合提升训练数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想在解题中的应用一、选择题1. (2014·呼和浩特)实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中，正确的是( )(第1题)A. ac>bcB. |a－b|＝a－bC. －a<－b<－cD. －a－c>－b－c2. 如图①是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图②拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是( )(第2题)A. abB. (a＋b)2C. (a－b)2D. a2－b23. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；③abc>0；④b＝2a.其中正确的结论有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个,(第3题)) ,(第4题))4. 小明在学习锐角三角函数时，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是( )A. 3＋ 2B. 2＋1C. 2－1D. 5－24二、填空题5. (2014·山东东营)如图，有两棵树，一棵高12 m ，另一棵高6 m ，两树相距8 m ，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，则小鸟至少要飞行________m.,(第5题)) ,(第6题))6. 在开展“国学诵读”活动中，某校为了了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1300名学生中一周的课外阅读时间不少于7 h 的人数是________．7. 已知三角形的三边长分别是2n ＋1，2n 2＋2n ，2n 2＋2n ＋1(n 为正整数)，则该三角形中的最大角等于________．(第8题)8. 在一次数学活动中，为了求12＋122＋123＋…＋12n 的值，小明设计了如图所示的图形．利用这个几何图形求式子12＋122＋123＋…＋12n 的值为________．9. 已知0<x <12，则x 2＋4＋（12－x ）2＋9的最小值为________． 三、解答题10. (2014·广东珠海)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边AD 在x 轴上，点B 在第四象限，直线BD 与反比例函数y ＝mx的图象交于点B ，E .求：(第10题)(1)反比例函数及直线BD的表达式．(2)点E的坐标．11. 若关于x的一元二次方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0有一根大于1，一根小于－1，求a的取值范围．12. (2015·山东淄博)如图①所示为一把折叠椅子，图②是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG与MN的距离为42 cm，AB＝43 cm，CF＝42 cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°.求两根较粗钢管AD和BC的长 (结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 80°≈0.98，cos 80°≈0.17，tan 80°≈5.67，sin 60°≈0.87，cos 60°≈0.5，tan 60°≈1.73)．(第12题)13. 如图①，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB 相切于动点P，连结CP.(1)当⊙O与直角边AC相切时，如图②所示，求此时⊙O的半径r的长．(2)随着切点P的位置不同，弦CP的长也会发生变化，试求出弦CP的长的取值范围．(3)当切点P在何处时，⊙O的半径r有最大值？试求出这个最大值．(第13题)参考答案1．D 2．C 3．B[由图象可知，当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c <0；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c >0；当x ＝0时，y ＝c ＝0，∴abc ＝0．∵对称轴为直线x ＝－b2a ＝－1，∴b ＝2a ．∴①②④正确，③错误．]4．B[由折叠的性质，得AB ＝BE ，AE ＝EF ．∵∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＝∠EAB ＝45°，∴∠EAF ＝∠EFA ＝45°2＝22．5°，∴∠FAB ＝67．5°．设AB ＝x ，则EF ＝AE ＝2x ，∴tan ∠FAB ＝tan 67．5°＝FB AB ＝2x ＋x x＝2＋1．] 5．10 6．520 7．90°[∵(2n ＋1)2＋(2n 2＋2n )2＝4n 2＋4n ＋1＋4n 4＋8n 3＋4n 2＝4n 4＋8n 3＋8n 2＋4n ＋1，(2n 2＋2n ＋1)2＝4n 4＋8n 3＋8n 2＋4n ＋1，∴(2n ＋1)2＋(2n 2＋2n )2＝(2n 2＋2n ＋1)2，∴此三角形是直角三角形，∴最大角等于90°．] 8．1－12n [由图可知：12＝1－12，12＋122＝1－122，12＋122＋123＝1－123，…，∴12＋122＋123＋…＋12n ＝1－12n ．](第9题解)9．13[作出图形如解图．赋予式子x 2＋4＋（12－x ）2＋9如下的几何意义：CD ＝x 2＋4，CE ＝（12－x ）2＋9，∴求x 2＋4＋（12－x ）2＋9的最小值，即求CD ＋CE 的最小值，当D ，C ，E 三点共线时值最小，最小值为DE ＝122＋（2＋3）2＝13．]10．(1)反比例函数的表达式为y ＝－2x，直线BD 的表达式为y ＝－x －1． (2)点E (－2，1)．(第11题解)11．由题意可知，抛物线y ＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2与x 轴的交点一个在点(1，0)的右边，另一个在点(－1，0)的左边，且开口向上，大致图象如解图所示．由图可知，当x ＝1时，y <0；当x ＝－1时，y <0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a －a 2<0，解得－2<a <0． 12．过点F 作FH ⊥AB 于点H ，过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，则FH ＝42 cm ．在Rt △BFH 中，∵∠FBH ＝60°，FH ＝42 cm ，∴BF ＝42sin60°≈48．28(cm)．又∵CF ＝42 cm ，∴BC ＝BF ＋CF ＝48．28＋42≈90．3(cm)．在Rt △BDQ 中，∵∠DBQ ＝60°，∴BQ ＝DQtan60°．在Rt △ADQ 中，∵∠DAQ ＝80°，∴AQ ＝DQtan80°．∵BQ ＋AQ ＝AB ，∴DQtan60°＋DQtan80°＝43，解得DQ ≈56．999(cm)．在Rt △AD Q 中，∵∠DAQ ＝80°，DQ ＝56．999 cm ，∴AD ＝56.999sin80°≈58．2(cm)．答：两根较粗钢管AD 和BC 的长分别为58．2 cm ，90．3 cm ． 13．(1)过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，过点O 作OR ⊥PC 于点R ．在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5．∵AC ，AP 都是⊙O的切线，∴点O 在BC 上，AP ＝AC ＝3．∴PB ＝2．易知PQ ∥AC ，∴BQ BC ＝PQ AC ＝PB AB ＝25．∴PQ ＝65，BQ ＝85．∴CQ ＝BC －BQ ＝125．∴PC ＝PQ 2＋CQ 2＝655．∵OR ⊥PC ，∴∠CRO ＝∠CQP ，CR ＝12PC ＝3 55．∵∠OCR ＝∠PCQ ，∴△COR ∽△CPQ ．∴OC CR ＝PC CQ ，即r 3 55＝6 55125，解得r ＝32． (2)当PC 最短时，PC 为AB 边上的高线，此时PC ＝3×45＝125；当PC 最长时，点P 与点B 重合，此时PC ＝BC ＝4，∴125≤PC ≤4．(第13题解)(3)如解图，当点P 与点B 重合时，⊙O 的半径r 最大，点O 在BC 的垂直平分线上，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则BD ＝12BC ＝2．∵AB 是⊙O 的切线，∴∠ABO ＝90°，∴∠ABC ＋∠OBC ＝90°＝∠BOD ＋∠OBD ，∴∠ABC ＝∠BOD ．∴BD OB ＝sin ∠BOD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝35，∴OB ＝103，即半径r 的最大值为103．。
浙教版中考实际应用性问题(含知识要点,例题及练习参考答案)
专题一 实际应用性问题实际应用性问题是指有实际背景或实际意义的数学问题.这些问题充分表达了贴近学生生活、关注社会热点、形式多样等特点,注重考查学生思维的灵活性和深刻性,要求解题者具有较丰富的生活常识和较强的阅读水平以及数学建模水平.实际应用性问题涉及的背景有商品买卖、存款和贷款,最优方案、行程问题、交通运输、图案设计、农业生产和生物繁殖等.实际应用性问题在各地的试卷中成为必考内容,表达了素质教育的要求和新课程标准的理念,由于它们来自生活和生产实践,所以参考条件较多,思维也有一定的深度,解答方法灵活多样.【典型例题】例1. 某饮料厂为了开发新的产品,用A 、B 两种果汁原料各19千克、17.2千克,试制甲、〔1〕假设甲种饮料需配制x 千克.请你写出满足题意的不等式组,并求出其解.〔2〕设甲种饮料每千克本钱为4元,乙种饮料每千克本钱为3元.这两种饮料的本钱总额为y 元,请写出y 与x 的函数表达式.并根据〔1〕的运算结果,确定当甲种饮料配制多少千克时,甲、乙两种的本钱总额最低.分析：根据表格的信息和其他条件知甲种原料用量不大于19千克,乙种原料用量不大于17.2千克,可得出〔1〕的不等式组.〔2〕由“本钱总额＝甲种饮料本钱＋乙种饮料本钱〞这个关系式,可列出函数表达式.再运用函数的性质,可确定最低总本钱.解：〔1〕由条件得05025019030450172..()..().x x x x +-≤+-≤⎧⎨⎩ 解得2830≤≤x 〔2〕依题意得y x x x x =+-=+≤≤43501502830()()由一次函数性质知：k ＝1＞0,y 随x 的增大而增大.∴当x ＝28时,甲、乙两种饮料的本钱总额最少.即y ＝28＋150＝178〔元〕.例2. 高为12.6米的教学楼ED 前有一棵大树AB 〔如图甲〕.〔1〕某一时刻测得大树AB,教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC＝2.4米,DF＝7.2米,求大树AB的高度.〔2〕用皮尺、高为h米的测角仪,请你设计另一种测量大树AB高度的方案.要求：a. 在图乙上画出你设计的测量方案示意图,并将应测数据标记在图上.〔长度用字母m、n…表示,角度用希腊字母α、β…表示〕b. 根据你所画的示意图和标注的数据,计算大树AB高度.〔用字母表示〕分析：〔1〕可用同一时刻物高与影长成正比获得大树高度.〔2〕中的设计方案,要求同学们能根据平时的学习体验及解直角三角形的有关知识获得测量大树的方案.注意的是不要无视了测角仪的高度.解：〔1〕连AC、EF∵太阳光线是平行线,∴AC∥EF∴∠ACB＝∠EFD∵∠ABC＝∠EDF＝90°∴△ABC∽△EDF∴ABEDBCDF=∴AB1262472 ...=∴AB＝4.2答：大树AB的高是4.2米.〔2〕如图测角仪高度为h米,用皮尺可测得测角仪离树距离为m米,用测角仪测得树顶仰角为α, 即BN＝GM＝m在Rt△AMG中,AG＝m·tanα∴AB＝〔m·tanα＋h〕米例3. 甲、乙两同学开展“投球进筐〞比赛,双方约定：①比赛分6局进行,每局在指定区域内将球投向筐中,只要投进一次后该局便结束.②假设一次未进可再投第二次,以此类推,但每局最多只能投8次,假设8次投球都未进,该局也结束；③计分规那么如下：a. 得分为正数或0；b. 假设8次都未投进,该局得分为0；c. 投球：次数越多,得分越低；d. 6局比赛的总分高者获胜.〔1〕设某局比赛第n 〔n ＝1,2,3,4,5,6,7,8〕次将球投进,请你按上述约定,用公式、表格或语言表达等方式,为甲、乙两位同学制定一个把n 换算为得分M 的计分方案.〔2〕假设两人6局比赛的投球情况如下.〔其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数,“×〞表示该局比赛8次投球都未进〕.第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 第六局 甲 5 × 4 8 1 3 乙 8 2 4 2 6 × 根据上述计分规那么和你制定的计分方案,确定两人谁在这次比赛中获胜.分析：将实际问题中的计分与投球次数之间进行量化的设计方案,只要满足计分规那么的要求即可.因而可获得不同方案.解：〔1〕方案一,如下表：n 〔次〕 1 2 3 4 5 6 7 8 M 〔分〕 8 7 6 5 4 3 2 1 〔未进球计0分〕,显然上述方案符合计分规那么要求.方案二：将球投进筐的次数n 〔次〕与得分M 〔分〕之间用关系式表示为：次未进时计分为M n12080() 显然这一计分方案也符合计分规那么的要求.〔2〕由方案一：可算得甲的得分为：4＋0＋5＋1＋8＋6＝24〔分〕乙的得分为：1＋7＋5＋7＋3＝23〔分〕由此可知,在这次比赛中甲获胜.由方案二：甲的每局得分分别为：24分、0分、30分、15分、120分、40分；乙的每局得分分别为：15分、60分、30分、60分、20分、0分.∴甲的总得分为229分；乙的总得分为185分.由此知：甲在这次比赛中获胜.例4. 光华农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台,现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦；其中30台派往A 地区,20台派往B 地区. 两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A 地区 1800元 1600元B 地区 1600元 1200元〔1〕设派往A 地区x 台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 〔元〕,求y 与x 间的函数关系式.并写出x 的取值范围.〔2〕假设使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元,说明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来.〔3〕如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提出一条合理的建议.分析：在〔1〕中,由派往A 地乙型收割机为x 台.能够正确地用代数式表示往A 地的甲型收割机,派往B 地的甲、乙型收割机是问题的关键.根据条件可得相应的租赁费用和调运方案.解：〔1〕假设派往A地区的乙型收割机为x台.那么派往A地区的甲型收割机为〔30－x〕台派往B地区的乙型收割机为〔30－x〕台派往B地区的甲型收割机为[20－〔30－x〕]＝〔x－10〕台∴y＝1600x＋1800(30－x)＋1200(30－x)＋1600(x－10) ＝200x＋74000.由实际问题情境，必有xxx≥-≥-≥⎧⎨⎪⎩⎪0 300100∴1030≤≤x即x的取值范围是：10≤x≤30〔x是正整数〕〔2〕由题意得：200x＋74000≥79600解得：x≥28由于10≤x≤30∴x取28、29、30这三个值.∴有3种不同分配方案.①当x＝28时,即派往A地区甲型收割机2台,乙型收割机28台,派往B地区甲型收割机18台,乙型收割机2台.②当x＝29时,即派往A地区甲型收割机1台,乙型收割机29台,派往B地区甲型收割机19台,乙型收割机1台.③当x＝30时,即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区.〔3〕由于一次函数y＝200x＋74000的性质知：y随着x的增大而增大.∴当x＝30时,y取得最大值.如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高,只需x＝30,此时y＝6000＋74000＝80000.建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区,20台甲型收割机全部派往B地区,可使公司获得的租金最高.例5. 如图〔1〕,一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm,顶点C1处有一只昆虫甲,在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙,〔盒壁厚度忽略不计〕〔1〕假设昆虫甲在顶点C1处静止不动,如图〔1〕,在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E,再连结AE、EC1,昆虫乙如果沿路径A→E→C1爬行,那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲,仔细体会其中的道理,并在图〔1〕中画出另一条路径,使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行,同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲.〔请简要说明画法〕.〔2〕如图〔2〕假设昆虫甲从顶点C1以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行.同时昆虫乙从顶点A以2cm/s的速度在盒壁上爬行,那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？〔精确到1s〕.分析：此题难点是两个点是动点,且昆虫乙的路径不惟一,因而确定昆虫乙的几种可能路径是关键；这就必须了解正方体的平面展开图.在〔1〕中,类似地在DD 1、CD 、A 1B 1、A 1D 1或BC 的中点与A,C 1连结的线段上找到由A →C 1的最短路径；在〔2〕中可利用直角三角形的知识获得结论.解：〔1〕略.〔2〕由〔1〕知：当昆虫甲从顶点C 1沿棱C 1C 向顶点C 爬行的同时,昆虫乙可以沿以下四种路径中的任意一种爬行.可以看出,图〔3〕、〔4〕的路径相等,图〔5〕、〔6〕的路径相等.①设昆虫甲从顶点C 1沿棱C 1C 向顶点C 爬行的同时,昆虫乙从顶点A 按路径A →E →F 爬行捕捉到昆虫甲需x 秒钟.由图〔3〕在Rt △ACF 中()()21020222x x =-+解得x ＝10设昆虫甲从顶点C 1沿棱C 1C 向顶点C 爬行的同时,昆虫乙从顶点A 按路径A →E 3→F 爬行捕捉昆虫甲需y 秒钟.由图〔5〕,在Rt △ADF 中()()22010222y y =-+解得y ≈8∴昆虫乙从顶点A 爬行捕捉昆虫甲至少需8s.数学应用与实践包含实际问题中的方案设计问题以及依据数学特征进行的活动,操作和用数学知识解决实际问题等,解这类问题时应注重于对生活中的实际问题进行恰当的分析,从中能够找出与之相关的数学模型,并借助数学知识予以解决,其中所涉及的分类讨论思想、实际问题模型化的思想以及转化的思想方法十分重要,是解决这类问题的关键.【模拟试题】〔做题时间：45分钟〕一、填空.1. 一商店把某件商品按九折出售仍可获得20%的利润率,假设该商品的进价是每价30元,那么该件商品的标价是_____________.2. 小明家粉刷房间,雇了5个工人,干了10天完成,用去涂料费为4800元,粉刷的面积为150m2,最后结算工钱时,有以下三种方案：〔1〕按工算,每人每天工资30元；〔2〕按涂料费用算,涂料费用的30%作为工钱.〔3〕按粉面积算,每平方米付工钱12元.请你帮小明家出主意,选择方案_____________付钱最合算.3. 某公司今年5月份的纯利是a万元,如果每个月纯利润的增长率都是x,那么预计7月份的纯利润将到达_____________万元.4. 有一旅客携带了30kg行李从南京国际机场乘飞机去天津,按民航规定,旅客最多可免费携带20kg行李,超过局部每公斤按飞机票价的1.5%购置行李票,现该旅客购置了120元的行李票,那么他的飞机票价格应是_____________.5. 某兴趣小组决定去市场购置A、B、C三种仪器,其单价分别为3元,5元,7元,购置这批仪器需花费62元,后经过讨价还价,最后以每种各下降1元成交,结果只花了50元就买下了这批仪器,那么A种仪器最多可买_____________件.6. 某市近年来经济开展迅速,据统计,该市国内生产总值1990年为8.6亿元,1995年为10.4亿元,2000年为12.9亿元,经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2022年该市国内生产总值将到达_____________亿元.7. 如图1,某公园入口原有三级台阶,每级台阶高为20cm,宽为30cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起点为C,现在斜坡的坡度∠BCA设计为12°,求AC的长度为_____________.图18. 居民楼的采光是人们关心的一个重要问题,冬至是一年中太阳光与地面所成夹角最小的时期,此时只要太阳光在如图2,两楼之间不互相挡住阳光,那么一年四季均不为互相挡住阳光了,设此时太阳光与地面的夹角为30°,两楼高均为30米,问两楼之间的水平距离L至少为_____________米时两楼之间才能不互相挡住阳光照射.图2二、选择题.9. 某商品价格为a 元,降价10%后,又降价10%,销售猛增,商店决定再提价20%,提价后这种商品的价格为〔 〕A. a 元B. 1.08a 元C. 0.972a 元D. 0.96a 元10. 小李买了20本练习本,店主给他八折优惠,结果廉价了32元,那么每本练习本的标价是〔 〕A. 2元B. 4元C. 8元D. 6元11. 小王在一次野外活动中捡到一块矿石,回家后,他使用一把刻度尺,一只圆柱形的玻璃杯和足量的水,就测量出这块石头的体积,如果他量出玻璃杯的内直径d,把矿石完全浸在水中,测出杯中水面上升了的高度为h,那么小王的这块石头的体积是〔 〕A. π42d h B. π22d h C. πd h 2 D. 42πd h 12. 如图3,边长为12m 的正方形塘的周围是草地,池塘边A 、B 、C 、D 处各有一棵树,且AB ＝BC ＝CD ＝3m,现在用长为4m 的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上,为了使羊在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在〔 〕图3A. A 处B. B 处C. C 处D. D 处13. 如图4,在正方形铁片上剪下一个圆形和扇形,使之恰好围成一个圆锥模型,设圆的半径为r,扇形的半径为R,那么圆形的半径与扇形半径之间的关系是〔 〕图4A. R r =2B. R r =94C. R r =3D. R r =414. 如图5在一个房间内,有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a m,此时梯子的倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子顶端距离地面的距离NB 为b m,梯子的倾斜为45°,这间房间的宽AB 一定是〔 〕A. a b m +2B. a b m -2C. b mD. a m图5三、15. 某下岗工人在再就业中央的扶持下,创办了“润扬〞报刊零售点,对经营的某种晚报,该工人提供了如下信息：①买进每份0.2元,卖出每份0.3元；②一个月内〔以30天计〕,有20天每天可以卖出200份,其中10天每天只能卖出120份；③一个月内,每天从报社买进的报纸份数必须相同,当天卖不掉的报纸,以每份0.1元退回给报社.〔〔2〕设每天从报社买进该晚报x 份〔120200≤≤x 〕时,月利润为y 元,试求出y 与x 的函数关系式,并求月利润的最大值.16. 足球比赛的记分规那么为：胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分,一支球队在某个赛季中共需比赛14场中,现已比赛了8场,输了1场,得17分.请问：〔1〕前8场球比赛中,这支球队共胜了多少场？〔2〕这支球队打满14场赛,最高能得多少分？〔3〕通过比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛得分不低于29分,就可以到达预期目标,请你分析一下,在后面的六场赛中这支球队至少要胜几场,才能到达预期目标.17. 某农场为防风沙在一山坡上种植一片树苗,并安装了自动喷灌设备,一瞬间,喷出的水流呈抛物线.如图6所示,建立直角坐标系,喷水头B 高出地面1.5米,喷水管与山坡所成的夹角∠BOA 约为63°,水流最高点C 的坐标为〔2,3.5〕.图6〔1〕求此水流抛物线的解析式；〔2〕求山坡所在的直线OA 的解析式〔解析式中的系数精确到0.1〕；〔3〕计算水喷出后落在山坡上的最远距离OA 〔精确到0.1米〕18. 某生活小区的居民筹集资金1600元,方案一块上、下两底分别为10m 、20m 的梯形空地上种植花木〔如图7〕.图7〔1〕他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花,单价为8元/m 2,当△AMD 地带种满花后,〔图7中阴影局部〕共花了160元,请计算种满△BMC 地带所需的费用.〔2〕假设其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/m 2和10元/m 2,应选择种哪种花木,刚好用完所筹集的资金？19. 我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书,有两个印刷厂前来联系制作业务,甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费,另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变,而制版费900元那么六折优惠,且甲乙两厂都规定：一次印刷的数量至少是500份.〔1〕分别求两个印刷厂的收费y〔元〕与印刷数量x〔份〕的函数关系,并指出自变量x的取值范围.〔2〕如何根据印刷的数量选择比拟合算的方案？如果这个中学要印制2000份录取通知书,那么应中选择哪一个厂？需要多少费用？请做完之后,再看答案【试题答案】一、填空：1. 402. 应选方案〔2〕3. a x ()12+4. 8005. 56. 16.11亿元7. 约222cm8. 303米≈52米二、选择：9. C 10. C 11. A12. B 13. D 14. D三、解做题：15. 〔1〕300 390〔2〕y x x =+≤≤240120200() 当x ＝200时,y 最大值为440元16. 〔1〕答：前8场比赛中,这个球队共胜了5场〔2〕最高能得17＋〔14－8〕×3＝35分〔3〕由题意得：以后的6场比赛中,只要得分不低于12分即可,故胜不少于4场一定能到达目标,而胜3场平3场,正好到达预期目标,所以在以后的比赛中这个球队至少要胜3场17. 〔1〕设y a x n k =-+()2, 由题意得：y a x =-+().2352将B 〔0,1.5〕代入得a =-12∴抛物线的解析式为y x =--+122722() 或y x x =-++122322 〔2〕∠AOX ＝27°,设坡面所在直线上一点坐标为〔x,y 〕那么tan tan 2727°，°==y xy x 即坡面OA 所在直线方程为y x =12〔3〕由y x y x x ==-++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12122322 解得x y ==⎧⎨⎩3819..,∴OA =+381922..≈4.2米 答：略.18. 解：〔1〕∵四边形ABCD 是梯形,∴AD ∥BC,∴△AMD ∽△CMB∴S S AD BC AMDCMB △△==()214∵种植△AMD 地带花费160元,∴1608202=()m ∴S cm CMB △=802, △BMC 地带的花费为80×8＝640〔元〕 〔2〕解设△AMD,△BMC 的高分别为h 1,h 2,梯形ABCD 的高为h, ∵S h AMD △==1210201,∴h 14=， 又h h h 122128==，∴ ∴S AD BC h ABCD 梯形××=+==12123012180() ∴S S AMB DMC △△°－+=-=180208080 ∴160＋640＋80×12＝1760〔元〕 160＋640＋80×10＝1600〔元〕∴应种植茉莉花刚好用完所筹资金.19. 解：〔1〕y x 甲×=+1580%900. =+≥12900500.()x x 且为自然数y x 乙×=+1590060%. =+15540.x〔2〕由〔1〕得：y y x 甲乙-=-36003. 当360030-=.x即x =1200时,费用相同当x >1200时,甲廉价,当x <1200时,乙廉价. 那么当x =2000时,应选甲要：1220009003300.×+=〔元〕。
中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________专题02三角形之直角、等腰问题 题型训练训练题01【2023·内蒙古·中考真题】如图，在Rt ABC △中90,3,1ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒，得到AB C ''△．连接BB '，交AC 于点D ，则AD DC 的值为 ．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处俯角为60︒，楼顶C 点处的俯角为30︒，已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的高度BC （结果保留根号）训练题03【2023·广东·中考真题】2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂10m AC BC ==，两臂夹角100ACB ∠=︒时，求A ，B 两点间的距离．(结果精确到0.1m ，参考数据sin500.766︒≈ cos500.643︒≈ tan50 1.192︒≈)训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD 的中点A 处竖直上升30米到达B 处，测得博雅楼顶部E 的俯角为45︒，尚美楼顶部F 的俯角为30︒，已知博雅楼高度CE 为15米，则尚美楼高度DF 为 米．（结果保留根号）训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】如图1，嘉淇在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M ．(1)在图1中，过点A 画出水平线，并标记观测M 的仰角α．若铅垂线在量角器上的读数为53︒，求α的值；(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地1.5米，站在B 处观测M 的仰角为（1）中的α，向前走1.25米到达D 处，此时观测点M 的仰角为45︒，求树MN 的高度．（注：3tan 374︒≈ 3sin 375︒≈ 4cos375≈︒） 训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】如图 在等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥于点G 点M N 分别是DE DG 上的动点 且DN EM = 则FM FN +的最小值为 ．训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】如图 直线y ＝x ﹣3分别交x 轴 y 轴于B A 两点 点C （0 1）在y 轴上 点P 在x 轴上运动 则2PC ＋PB 的最小值为 ．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】如图 腰长为22+2的等腰ABC 中 顶角∠A ＝45° D 为腰AB 上的一个动点将ACD 沿CD 折叠 点A 落在点E 处 当CE 与ABC 的某一条腰垂直时 BD 的长为 ．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】如图 ABC 和AGF 是等腰直角三角形 90BAC G ∠=∠=︒ AGF 的边AF AG 交边BC 于点D E ．若4=AD 3AE = 则BEDC 的值是 ．训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】如图在直角△BAD中延长斜边BD到点C 使得BD=2DC 连接AC 如果则的值是（）A．B．C．D．答案&解析5 tanB3=tan CAD∠3 3351315训练题01【2023·内蒙古·中考真题】【答案】5【简证】因为tan 311tan 4522ABC CD ABD α∠=⎧⇒=⇒=⎨∠=︒⎩ 故5AD DC =【常规法】解：过点D 作DF AB ⊥于点F∵90ACB ∠=︒ 3AC = 1BC =∴223110AB =+=∵将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△∴==10AB AB ' 90BAB '∠=︒∴ABB '是等腰直角三角形∴45ABB '∠=︒又∵DF AB ⊥∴45FDB ∠=︒∴DFB △是等腰直角三角形∴DF BF =∵1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 即=10AD DF ∵ 90C AFD ∠=∠=︒ CAB FAD ∠=∠∴AFDACB ∴DF AF BC AC= 即3AF DF = 又∵=10AF DF -45°α∴10=4 DF∴105=10=42AD⨯51=3=22CD-∴52==512ADCD故答案为：5．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】【答案】大楼的高度BC 为303m ．【分析】如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥ 则四边形CQHB 是矩形 可得QH BC = BH CQ = 求解3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= 可得704030CQ BH ==-= tan 30103PQ CQ =︒= 可得403103303BC QH ==-=．【详解】解：如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥则四边形CQHB 是矩形 ∴QH BC = BH CQ =由题意可得：80AP = 60PAH ∠=︒ 30PCQ ∠=︒ 70AB = ∴3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= ∴704030CQ BH ==-= ∴tan 30103PQ CQ =︒=∴403103303BC QH ==-= ∴大楼的高度BC 为303m ．训练题03【2023·广东·中考真题】【答案】15.3m【分析】连接AB 作作CD AB ⊥于D 由等腰三角形“三线合一”性质可知2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中利用sin AD ACD AC∠=求出AD 继而求出AB 即可．【详解】解：连接AB 作CD AB ⊥于D∵AC BC = CD AB ⊥∴CD 是边AB 边上的中线 也是ACB ∠的角平分线∴2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中 10m AC = 50ACD ∠=︒ sin AD ACD AC ∠= ∴sin 5010AD ︒= ∴10sin50100.7667.66AD =︒≈⨯=∴()227.6615.3215.3m AB AD =≈⨯=≈答：A B 两点间的距离为15.3m ．训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】【答案】3053-/5330-+【分析】过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N 首先证明出四边形ECAM 是矩形 得到15AM CE == 然后根据等腰直角三角形的性质得到15AC EM BM === 进而得到15==AD AC 然后利用30︒角直角三角形的性质和勾股定理求出53BN = 即可求解．【详解】如图所示 过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N由题意可得 四边形ECAM 是矩形 ∴15AM CE == ∵30AB = ∴15BM AB AM =-= ∵博雅楼顶部E 的俯角为45︒ ∴45EBM ∠=︒ ∴45BEM ∠=︒ ∴15AC EM BM ===∵点A 是CD 的中点 ∴15==AD AC 由题意可得四边形AMFN 是矩形 ∴15NF AD == ∵尚美楼顶部F 的俯角为30︒ ∴60NBF ∠=︒ ∴30BFN ∠=︒ ∴2BF BN =∴在Rt BNF △中 222BNNF BF += ∴()222152BN BN +=∴解得53BN =∴3053FD AN AB BN ==-=-．故答案为：3053-．训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】【答案】(1)37︒(2)树MN 的高度为5.25米【分析】(1)根据互余的性质计算即可．(2) 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米．解直角三角形求解即可．【详解】（1）如图1；905337α=︒-︒=︒；（2）如图 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米． 在Rt APM △中 4( 1.5)tan 373MP AP x ==-︒（米） 在Rt MCP 中 1.5CP MP x ==-（米） 4( 1.5)( 1.5) 1.253AC AP CP x x ∴=-=---=（米） 解得 5.25x =． 答：树MN 的高度为5.25米．训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】【答案】23【分析】过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 证得AEM FDN ≅ 利用全等三角形的性质证得FN AM = 求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长 在Rt AEF 中利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 如图所示∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF ==∴45DEF ∠=︒ 222222EF =+=∴9045AEM DEF ∠=︒-∠=︒∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥∴45FDN ∠=︒∴FDN AEM ∠=∠在AEM △和FDN 中AE DF AEM FDN EM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEM FDN≅()SAS ∴FN AM =∴求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长∴在Rt AEF 中()222222223AF AE EF =+=+=的最小值为23即FM FN故答案为：23训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】【答案】4【分析】过P作PD⊥AB于D依据△AOB是等腰直角三角形可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD进而得到△BDP是等腰直角三角形故PD22=PB当C P D在同一直线上时CD⊥AB PC+PD的最小值等于垂线段CD的长求得CD的长即可得出结论．【详解】如图所示过P作PD⊥AB于D∵直线y＝x﹣3分别交x轴y轴于B A两点令x＝0 则y＝﹣3；令y＝0 则x＝3∴A（0 ﹣3）B（3 0）∴AO＝BO＝3又∵∠AOB＝90°∴△AOB是等腰直角三角形∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD∴△BDP是等腰直角三角形∴PD22=PB∴2PC+PB2=（PC22+PB）2=（PC+PD）当C P D在同一直线上即CD⊥AB时PC+PD的值最小最小值等于垂线段CD 的长此时△ACD是等腰直角三角形又∵点C（0 1）在y轴上∴AC＝1+3＝4∴CD22=AC＝22即PC+PD的最小值为22∴2PC+PB的最小值为222⨯=4 故答案为：4．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】【答案】2或22【分析】分两种情况：当CE ⊥AB 时 设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45° 由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5° 证明△BCM ≌△DCM 得到BM ＝DM 证明△MDE 是等腰直角三角形 即可得解；当CE ⊥AC 时 根据折叠的性质 等腰直角三角形的判定与性质计算即可；【详解】当CE ⊥AB 时 如图设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45°由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5°∵等腰△ABC 中 顶角∠A ＝45°∴∠B ＝∠ACB ＝67.5°∴∠BCM ＝22.5°∴∠BCM ＝∠DCM在△BCM 和△DCM 中90BMC DMC CM CM BCM DCM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCM ≌△DCM （ASA ）∴BM ＝DM由折叠得：∠E ＝∠A ＝45° AD ＝DE∴△MDE 是等腰直角三角形∴DM ＝EM设DM ＝x 则BM ＝x DE 2=x∴AD 2=x ．∵AB＝22+2∴2x2x＝22+2 解得：x2=∴BD＝2x＝22；当CE⊥AC时如图∴∠ACE＝90°由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°∵等腰△ABC中顶角∠A＝45°∴∠E＝∠A＝45°AD＝DE∴∠ADC＝∠EDC＝90°即点D E都在直线AB上且△ADC△DEC△ACE都是等腰直角三角形∵AB＝AC＝＝22+2∴AD22=AC＝22BD＝AB﹣AD＝（22+2）﹣（22）2=综上BD的长为2或22．故答案为：2或22．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】【答案】916【分析】利用等腰直角三角形的性质先证明AED BEA ∽ 可得34BE AE AB AD ==,设3BE x = 则4AB x AC ==,再证明ADE CDA △∽△ 可得34AC AE CD AD == 可得163CD x = 从而可得结论． 【详解】解：∵ABC 和AGF 是等腰直角三角形 ∴45,B F FAG AB AC ∠=∠=∠=︒=∵AEB AED ∠=∠∴AED BEA ∽∴AD AE DE AB BE AE ==,而4=AD 3AE = ∴34BE AE AB AD == 设3BE x = 则4AB x AC ==同理可得：ADE CDA △∽△∴AD AE DE CD AC AD == ∴34AC AE CD AD == ∴BE AC AB CD = ∴344x x x CD =,即163CD x = ∴3916163BE x CD x ==.训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】【答案】D【详解】解：如图 延长AD 过点C 作CE ⊥AD 垂足为E∵ 即∴设AD ＝5x 则AB ＝3x∵∠CDE ＝∠BDA ∠CED ＝∠BAD∴△CDE ∽△BDA∴∴CE ＝ DE ＝∴AE ＝ ∴tan ∠CAD ＝．5tanB 3=53AD AB =12CE DE CD AB AD BD ===32x 52x 152x 15CE AE =。
浙教版初中数学初三中考冲刺：几何综合问题--知识讲解(提高)
中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．（2016•太原校级自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【思路点拨】（1）结论：FG=CE，FG∥CE．如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（2）结论仍然成立．如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（3）结论仍然成立．如图3中，设DE与FC的延长线交于点M，证明方法类似．【答案与解析】解：（1）结论：FG=CE，FG∥CE．理由：如图1中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．（2）结论仍然成立．理由：如图2中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE ，CF=DE ，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF ⊥DE ，∵GE ⊥DE ，∴EG ∥CF ，∵EG=DE ，CF=DE ，∴EG=CF ，∴四边形EGFC 是平行四边形．∴GF=EC ，∴GF=EC ，GF ∥EC ．（3）结论仍然成立．理由：如图3中，设DE 与FC 的延长线交于点M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠ABC=∠DCE=90°，∴∠CBF=∠DCE=90°在△CBF 和△DCE 中，，∴△CBF ≌△DCE ，∴∠BCF=∠CDE ，CF=DE∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF ⊥DE ，∵GE ⊥DE ，∴EG ∥CF ，∵EG=DE ，CF=DE ，∴EG=CF ，∴四边形EGFC 是平行四边形．∴GF=EC ，∴GF=EC ，GF ∥EC ．【总结升华】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，注意这类题目的解题规律，图形变了，条件不变，证明的方法思路完全一样，属于中考常考题型．举一反三：【变式】已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合）， 在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+．（1）求证：ADE ∆∽BEC ∆；（2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．【答案】（1）证明：∵EC DE ⊥，∴︒=∠90DEC ．∴︒=∠+∠90BEC AED ． 又∵︒=∠=∠90B A ，∴︒=∠+∠90EDA AED ．∴EDA BEC ∠=∠．∴ADE ∆∽BEC ∆．（2）证明：如图，过点E 作EF BC //，交CD 于点F ，∵E 是AB 的中点，容易证明)(21BC AD EF +=． 在DEC Rt ∆中，∵ CF DF =，∴ CD EF 21=． ∴ )(21BC AD +CD 21=． ∴ CD BC AD =+．（3）解：AED ∆的周长DE AD AE ++=m a +=，m a BE -=．设x AD =，则x a DE -=．∵ ︒=∠90A ，∴ 222AD AE DE +=．即22222x m x ax a +=+-． ∴ am a x 222-=． 由（1）知ADE ∆∽BEC ∆，∴ 的周长的周长BEC ∆∆ADE BE AD =m a a m a --=222am a 2+=． ∴ BEC ∆的周长⋅+=ma a 2ADE ∆的周长a 2=． ∴ BEC ∆的周长与m 值无关．2．在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC＝3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【思路点拨】(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解.(2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解.(3)D 在BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.【答案与解析】（1）结论：CF ⊥BD ；证明如下： AB=AC ，∠ACB =45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．（2）CF ⊥BD ．(1)中结论仍成立．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴DQ=4-x ，易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ= ，∴44CP x x =-， 24x CP x ∴=-+．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x ．过A 作AQ ⊥BC ，24x CP x ∴=+． 【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．3．（2015•河南模拟）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 坐在点B ′处．自主探究：（1）当=1时，如图1，延长AB ′，交CD 于点M ． ①CF 的长为 ；②判断AM 与FM 的数量关系，并证明你的结论．（2）当点B ′恰好落在对角线AC 上时，如图2，此时CF 的长为 ，= ．拓展运用：（3）当=2时，求sin ∠DAB ′的值．【思路点拨】（1）①利用相似三角形的判定与性质得出FC=AB即可得出答案；②利用翻折变换的性质得出∠BAF=∠MAF，进而得出AM=FM；（2）根据翻折变换的性质得出∠BAE=∠MAF，进而得出AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；（3）根据①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，②如图3，当点E在线段BC 的延长线上时，延长AD交B′E于点N，分别利用勾股定理求出即可．【答案与解析】解：（1）①当=1时，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴==1，∴FC=AB=6，②AM=FM，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴∠BAF=∠AFC，∵△ABE沿直线AE翻折得到△AB′E，∴∠BAF=∠MAF，∴∠MAF=∠AFC，∴AM=FM；（2）如图2，∵当点B′恰好落在对角线AC上时，∴∠1=∠2，∵AB∥FC，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AC=FC，∵AB=BC=6，∴AC=FC=6，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴===，（3）①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴==2，∵AB=6，∴CF=3，∴DF=CD+CF=9，由（1）知：AM=FM，∴AM=FM=9﹣DM，在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM′2=（9﹣DM）2﹣62，解得：DM=，则MA=，∴sin∠DAB′==，②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，延长AD交B′E于点N，由（1）知：AN=EN，又BE=B′E=12，∴NA=NE=12﹣B ′N ，在Rt △AB ′N 中，由勾股定理得：B ′N 2=（12﹣B ′N ）2﹣62，解得：B ′N=， AN=，∴sin ∠DAB ′==．故答案为：6；6，． 【总结升华】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用相关性质和进行分类讨论得出是解题关键．类型二、几何计算型问题4．已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，， 求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）属于纯静态问题，只要证两边的三角形全等就可以了.(2)是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的.题目给定∠MPQ=60°，其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通过相似三角形找比例关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当x 取对称轴的值时y 有最小值，接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解.【答案与解析】（1）证明：∵MBC △是等边三角形∴60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠∵M 是AD 中点∴AM MD =∵AD BC ∥∴60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠∴AMB DMC △≌△∴AB DC =∴梯形ABCD 是等腰梯形．（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠ ∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠ ∴BMP QPC =∠∠∴BMP CQP △∽△ ∴PC CQ BM BP= ∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-， ∴444x y x -=- ∴2144y x x =-+（3）解：PQC △为直角三角形， ∵()21234y x =-+ ∴当y 取最小值时，2x PC ==∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ =︒∠，∴30CPQ =︒∠，∴90PQC =︒∠∴PQC △为直角三角形.【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解.如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的.举一反三：【：几何综合问题 例3】【变式】已知：如图，N 、M 是以O 为圆心，1为半径的圆上的两点，B 是MN 上一动点（B 不与点M 、N 重合），∠MON=90°，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ 是矩形，求OA 的值.【答案】（1）是．证明：连接OB，如图①，∵BA⊥OM，BC⊥ON，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．∴AB∥OC，AB=OC，∵E、G分别是AB、CO的中点，∴AE∥GC，AE=GC，∴四边形AECG为平行四边形．∴CE∥AG，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形；（2）解：如图②，5．在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S11P FC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.图1 备用图【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转90°的条件.旋转90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了.(2)是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论.【答案与解析】（1）①直线1FG与直线CD的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线1FG 与直线CD 的交点为H ．∵线段1EC EP 、分别绕点E 逆时针旋转90°依次得到线段1EF EG 、，∴111190PEG CEF EG EP EF EC ∠=∠===°，，．∵1190G EF PEF ∠=-∠°，1190PEC PEF ∠=-∠°， ∴11G EF PEC ∠=∠． ∴11G EF PEC △≌△． ∴11G FE PCE ∠=∠． ∵EC CD ⊥，∴190PCE ∠=°， ∴190G FE ∠=°．∴90EFH ∠=°．∴90FHC ∠=°．∴1FG CD ⊥．②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B ADC ∠=∠． ∵461tan 3AD AE B ===，，， ∴45tan tan 3DE EBC B =∠==，． 可得4CE =．由（1）可得四边形EFCH 为正方形．∴4CH CE ==． FDC BAE 图1 G 2 G 1P 1 H P 2①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时，∵1114FG CP x PH x ===-，， ∴11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯⨯=△． ∴212(4)2y x x x =->． ②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C H 、两点重合）时，∵1114FG CP x PH x ===-，， ∴11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯=△． ∴212(04)2y x x x =-+<<． ③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11PFG △不存在．综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是212(4)2y x x x =->或212(04)2y x x x =-+<<． 【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 举一反三： 【变式】已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB ；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．【答案】（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，∴∠EPA=∠FPB，由角平分线的性质，得PE=PF，∴△EPA≌△FPB，即PA=PB；。
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数的实际应用-几何问题【含答案】
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数的实际应用-几何问题一、单选题1．在平面直角坐标系中，已知点M ，N 的坐标分别为，若抛物线(−1，3)，(3，3)与线段MN 只有一个公共点，则的取值范围是（ ）y =x 2−2mx +m 2−m +2m A ．或B ．或−1⩽m <07−17<m⩽7+17−1⩽m <0m >7−17C ．或D ．m <07−172<m⩽7+172−1⩽m⩽7+1722．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB=2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD=x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P 从点A 出发，以 cm/s 的速度沿AB 方向运2动到点B ．动点Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度沿折线AC CB 方向运动到点B ．设△APQ 的→面积为y （cm 2）.运动时间为x （s ），则下列图象能反映y 与x 之间关系的是（ ）A．B．C．D．4．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数y=的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）14(x−4)2A．5B．C．4D．17﹣4π2255．已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）A．B．C．D．4522521692096．如图，抛物线y=ax2+2ax-3a(a>0)与x轴交于A，B顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D’，点A对应点C，连接DD’，CD’，DC，当△CDD’是直角三角形时，a的值为（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 12321332133312337．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE﹣ED﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是()A ．AE=6cmB ．sin∠EBC =45C ．当0＜t≤10时，D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形y =25t 28．如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）A ． cm 2B ． cm 2C ． cm 2D ． cm 2332392327239．如图， 在平面直角坐标系中放置 ， 点 .现将 沿Rt △ABC ，∠ABC =90∘A(3，4)△ABC x 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻转 14 次， 则经过 △A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3… 三顶点的抛物线解析式为（ ）△A 14B 14C 14A ．B ．y =−35(x−51)(x−55)y =−512(x−51)(x−55)C ．D ．y =−35(x−55)(x−60)y =−512(x−55)(x−60)10．用一根长为50 cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A ．y ＝－x 2＋50x B ．y ＝x 2－50x C ．y ＝－x 2＋25xD ．y ＝－2x 2＋2511．如图，点E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH.设A 、E 两点间的距离为x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知一个直角三角形的两边长分别为a 和5，第三边长是抛物线y=x²-10x+21与x 轴交点间的距离，则a 的值为( )4141A．3B．C．3或D．不能确定二、填空题ABCD BC=8,AB=6E CD C,D CE13．如图，矩形中，，点为边上一动点（不与重合）、以CEFG CE:CG=3:4BF,ОOE OE为边向外作矩形，且，连接点是线段BF的中点.连接，则的最小值为 .A(3,3)B(0,2)A y=x2+bx−9AB14．如图，已知点，点，点在二次函数的图象上，作射线AB A45°C C，再将射线绕点按逆时针方向旋转，交二次函数图象于点，则点的坐标为 15．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ．16．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 m2.17．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长，则这个养鸡场最大面积24m 10m 为 .m 218．在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为60°，在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，在抛物线y=x 2（x ＞0）上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是 三、综合题19．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长方形空地上修建一个长方形花圃.已知AB=20m ，BC=30m ，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 米，花圃的面x 积为 （ ）.S m 2（1）求 关于 的函数关系式；S x （2）如果通道所占面积是184 ，求出此时通道的宽 的值；m 2x （3）已知某园林公司修建通道每平方米的造价为40元，花圃每平方米的造价是60元，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过花圃宽的 ，则通道宽为13多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y= （x ＞0，m ＞1）图象上一点，m 3−m 2x 点A 的横坐标为m ，点B （0，﹣m ）是y 轴负半轴上的一点，连接AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使得AD=AC ，过点A 作AE 平行于x 轴，过点D 作y 轴平行线交AE 于点E ．（1）当m=3时，求点A 的坐标；（2）DE= ，设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式和自变量的取值范围；（3）连接BD ，过点A 作BD 的平行线，与（2）中的函数图象交于点F ，当m 为何值时，以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？21．如图，矩形ABCD 的四个顶点在正△EFG 的边上，已知正△EFG 的边长为2，记矩形ABCD 的面积为S ，边长AB 为x 。
中考数学总复习《几何综合问题(一次函数的实际综合应用)》专项提升训练(带答案)
中考数学总复习《几何综合问题（一次函数的实际综合应用）》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．点P 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P 向x 轴，y 轴作垂线段，若垂线段的长度的和为2，则点P 叫做“好垂点”．例如：如图中的()11P ，是“好垂点”．(1)在点()1，2A ，()133522B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，中，是“好垂点”的点为 ； (2)求函数21y x =-+的图象上的“好垂点”的坐标．(3)若二次函数223y x bx =+-的图象上存在4个“好垂点”，求b 的取值范围．(4)已知T 的圆心T 的坐标为()10-，，半径为r ． 若T 上存在“好垂点”，则r 的取值范围是 ．2．如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点()2,C m 为直线2y x =+上一点，直线y x b =-+过点C ．(1)求m 和b 的值；(2)直线y x b =-+与x 轴交于点D ，动点P 从点D 开始以每秒1个单位的速度向x 轴负方向运动（点P 不与点D ，点A 重合）．若点P 在线段DA 上，设点P 的运动时间为t 秒． ①若ACP △的面积为10，求t 的值；②是否存在t 的值，使ACP △是以AP 为腰的等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求、C分别在>．AB BC为顶点的三角形与OAC相似？两点，点(2C，(1)求m 和b 的值；(2)直线12y x b =-+与x 轴交于点D ，动点P 从点D 开始以每秒1个单位的速度向x 轴负方向运动．设点P 的运动时间为t 秒．①若点P 在线段DA 上，且ACP △的面积为10，求t 的值；②是否存在t 的值，使ACP △为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 为()2,0，顶点D 为()0,4．(1)直接写出直线BC 的解析式：____________；(2)点M 与点A 关于y 轴对称，点N 为正方形边上一点，且45DMN ∠=，直接写出点N 的坐标：____________；(3)将正方形沿y 轴向下平移(0)t t >个单位，直至点D 落在x 轴上．设正方形在x 轴下方的部分面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，直线24y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的直线交x 轴于C （点C 在A 左侧），且ABC 面积为10．(1)求点C的坐标及直线BC的解析式；(2)如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG左侧作等腰直角FGQ，其中90∠=︒，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐FGQ标；(3)如图2，若M为线段BC上一点，且满足AMB AOB=S S△△，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．8．在同一平面直角坐标系中，我们规定点的两种移动方式：从点(,)x y移动到点(2,1)++称为x y一次甲方式移动；从点(,)x y移动到点(1,3)x y++称为一次乙方式移动．(1)若原点O经过两次甲方式移动，得到点M；原点O经过两次乙方式移动，得到点N．设过点M，N的直线为1l，求直线1l的解析式；(2)若原点O连续移动10次（每次按甲方式或乙方式移动），最终移动到点Q．试说明：无论每次按甲方式还是乙方式移动，最终点Q都落在一条确定的直线上；设这条直线为2l，请求出直线2l的解析式；(3)将（2）中的直线2l向下平移30个单位得到直线3l．分别在上述直线1l2l3l上取点AB C设点A B C的横坐标分别为a b c且a b试探究：当A B C三点共线时a b c之间有何数量关系？说明理由．9．【问题提出】△的面积为3 则ABC的面积（1）如图①点D为ABC的边AC的中点连接BD若ABD为_______；【问题探究】（2）如图②在平面直角坐标系中点A在第一象限连接OA作AB x⊥轴于点B若2AB OB = 25OA = 过点B 的直线l 将OAB 分成面积相等的两部分 求直线l 的函数表达式；【问题解决】（3）如图③ 在平面直角坐标系中 四边形OABC 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图 其中O 为坐标原点 ()()()24,728,425,0A B C ，， 为了方便驻区单位 计划过点O 修一条笔直的道路1l （路宽不计） 并且使直线1l 将四边形OABC 分成面积相等的两部分 记直线1l 与AB 所在直线的交点为D 再过点A 修一条笔直的道路2l （路宽不计） 并且使直线2l 将OAD △分成面积相等的两部分 你认为直线1l 和2l 是否存在？若存在 请求出直线1l 和2l 的函数表达式；若不存在 请说明理由．10．如图 在矩形ABCD 中 4AD = 6AB = 动点P Q 均以每秒1个单位长度的速度分别从点D 点C 同时出发 其中点P 沿折线D A B →→方向运动 点Q 沿折线C B A →→方向运动 当两者相遇时停止运动．运动时间为t 秒 PQD 的面积为y ．(1)请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；(2)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象 并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象 直接写出PQD 的面积大于4时t 的取值范围．11．如图 在平面直角坐标系中 直线AB 交x 轴 y 轴于(,0)A a 和(0,)B b 两点 其中a 和b 是方程212320x x -+=的两个实数根 且b a >．使PBC的面积最大？若存在PBC面积的最大值．若没有13．如图点()4,C t在第四象限段OB上．连接于点E交折线段(1)求点A B的坐标；(2)设点E F的纵坐标分别为1y2y当04≤≤时12m-为定值求t的值；y y(3)在（2）的条件下分别过点E F作EG FH垂直于y轴垂足分别为点G H当06≤≤时求长方形EGHF周长的最大值．m14．已知四边形OABC是边长为4的正方形分别以OA OC、所在的直线为x轴y轴建立如图所示的平面直角坐标系直线l经过A C、两点．(1)求直线l的函数表达式；(2)如下图若点D是OC的中点E是直线l上的一个动点求使OE DE+取得最小值时点E的坐标．(3)如下图过点O作AC的垂线垂足为点M点P是直线l上的一个点点Q是y轴上的一个点以,,O P Q为顶点的三角形与OMP全等请直接写出所有符合条件的点P的坐标．15．如图1 在平面直角坐标系xoy中等腰直角AOB的斜边OB在x轴上顶点A的坐标为()2,2与AOB重叠部分为轴对称图形时轴交于点(4,0)A-使得QAB为等腰直角三角形？若存在参考答案：5b<(4)2-或8423．(1)1 (2)4 (3)352+或352或32或3132+或3132-+4．(1)()4,8- (2)16y x=- (3)存在 ()()()()0,2,0,4,0,6,0,12---5．(1)4m = 5b = (2)①7 ②存在 4t =秒或()1242-秒或()1242+秒或8秒6．(1)214=-+y x (2)：10877，⎛⎫ ⎪⎝⎭或401877⎛⎫⎪⎝⎭， (3)当02t <≤时 254S t =；当24t <≤时 55S t =-7．(1)443y x =+ ()3,0C -； (2)1230,7G ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()20,1G -； (3)19,03⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 8．(1)210y x =-+ (2)250y x =-+ (3)43b c a =-9．（1）6；（2）24y x =-+；（3）存在 直线1l 的函数表达式为17y x = 直线2l 的函数表达式为152y x =- 10．(1)()()30442847t t y t t ⎧<≤⎪=⎨-+<<⎪⎩ (2)当04x <≤时 y 随x 的增大而增大 当47x <≤时 y 随x 的增大而减小 (3)463t <<解题过程：（1）解：依题意 44614AD BC AB ++=++=则相遇时间为14711=+； DP CQ t ==当04t <≤时 点P 在AD 上 Q 在BC 上 ∴1632y t t =⨯=当47t <≤时 142PQ t =-∴()11414222y PQ AD t =⨯=⨯⨯-428t =-+4∴4a = 8b =∴224845AB =+=；（2）设OBD ∠的度数为m ︒ 而90BOE ∠=︒ ∴90BEO m ∠=︒-︒∴90FED BEO m ∠=∠=︒-︒∵DE 的垂直平分线交x 轴负半轴于点F∴FE FD =∴90FED FDE m ∠=∠=︒-︒∴()1802902DFE m m ∠=︒-︒-︒=︒；（3）如图 过B 作BQ DF ⊥于Q 过D 作DT BO ⊥于T由（2）得90FDE FED m ∠=∠=︒-︒∵BF BD =∴90BFD BDF m ∠=∠=︒-︒∴()1802902FBD m m ∠=︒-︒-︒=︒∵BF BD = BQ DF ⊥∴FBQ DBQ DBT m ∠=∠=∠=︒而DT BO ⊥ DQ BQ ⊥∴FQ DQ DT == 设FQ DQ DT x === OT y =FOD BOD S S = DFE BOE S S =2OE xy = 解得4xy OE =FOD BOD S S =可得：24xy y x ⎛⎫+ ⎪28320y +-=解得：434y =-12．(1)223y x x =--+(2)存在()1,2Q -使得QAC △的周长最小(3)存在31524P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得PBC 面积最大 最大为278 解题过程：（1）解：将1,0A ()3,0B -代入2y x bx c =-++中得10930b c b c -++=⎧⎨--+=⎩ ∴23b c =-⎧⎨=⎩． ∴抛物线解析式为：223y x x =--+；（2）解：∵抛物线解析式为()222314y x x x =--+=-++ ∴抛物线的对称轴为直线=1x -连接BQ由对称性可知BQ AQ =∴AQC 的周长CA AC AQ AC CQ BQ =++=++ ∵A C 为定点∴AC 为定值∴当CQ BQ +最小时 AQC 的周长最小∴当B C Q 三点共线时 CQ BQ +最小 即AQC 的周长最小在223y x x =--+中 当0x =时 2233y x x =--+=C ∴的坐标为()0,3设直线BC 解析式为y kx b '=+∴303k b b ''-+=⎧⎨=⎩∴13k b =⎧⎨='⎩3yx 3y x 中 当时 1y =-+()1,2-∴存在()1,2Q -使得QAC 的周长最小；）解：设()PBPC S S =△∴当S 四边形BPCO S ∴四边形12BE =⋅∴点P 坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴存在31524P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得PBC 面积最大 最大为278．13．(1)()0,9A ()6,0B(2)6-(3)26解题过程：（1）解：∵直线392y x =-+交y 轴于点A 交x 轴于点B∴当0y =时 得：3902x -+= 解得：6x =当0x =时 得：9y =∴()0,9A ()6,0B ；（2）设OC 的解析式为y kx = 过点()4,C t ∴4t k =∴4tk =∴OC 的解析式为()04ty x t =<∵点(),0P m 在线段OB 上 过点P 作x 轴的垂线 交边AB 于点E 交折线段OCB 于点F 且点EF 的纵坐标分别为1y 2y 04m ≤≤∴1392y m =-+ 24ty m =∴1233992424t t y y m m m ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭∵12y y -为定值 即3924t m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为定值∴3024t+=解得：6t =-；（3）①当04m ≤≤时129EF y y =-=（定长） 在点P 运动到图中点P ' 此时直线经过点C 即4m =∴044k b b=+⎧⎨=⎩ 解得14k b =-⎧⎨=⎩ 直线l 的函数表达式4y x =-+；（2）解：如图所示 连接BE BD ，由正方形的性质可得OA BA BC OC ===又∵AC AC =∴()SSS OAC BAC △≌△∴OAE BAE ∠=∠又∵AE AE =∴()SAS OAE BAE △≌△∴OE BE =∴DE OE DE BE +=+∴当B D E 、、三点共线时 DE BE +最小 即此时OE DE +取得最小值 设DB 所在直线为()1110y k x b k =+≠∵点D 是OC 的中点 ()04C ，∴()02D ，又∵()44B ，∴111442k b b =+⎧⎨=⎩∴11122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线DB 为122y x =+33⎝⎭∴()224x x +=∴422x =-在4y x =-+中 当422x =-时 22y =∴P 点坐标为()42222-，； 如图所示 当POM OPQ △≌△时同理可得PQ CQ OM CM === 24OC OM == ∴22PQ CQ OM CM ====∴422OQ =+∴P 点坐标为()22422-+，； 如图所示 当OMP PQO ≌△△时∴PM OQ OM PQ ==，同理可得2222OM CM OC === 设OQ PM x == 则4CQ PQ x ==- 242222CP CQ x CM MP x ==-=+=+ 解得422x =-直线AOB COP S S S ∆∆=-1122AM OB OP PC =⋅-⋅2111424222m m m =⨯⨯-⋅=-．当24m <<时 如图②．COB AOP S S S ∆∆=-1122PC OB OP AM =⋅-⋅114222m m m =⨯⨯-⨯=．当4m >时 如图③COP AOB S S ∆∆=-1122PC OP OB AM =-2111424222m m m =-⨯⨯=-．与AOB重叠部分为轴对称图形无重叠部分(3)Q 的坐标为(3,7)-或(7,4)-或7(2-7)2 解题过程：（1）在94y x =中 令2x =得92y =9(2,)2C ∴； 设直线1l 的解析式为y kx b =+ 把(4,0)A - 9(2,)2C 代入得： 40922k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线1l 的解析式为334y x =+； （2）如图：设(,0)M m 则3(,3)4D m m + 9(,)4E m m 2DE =39|3|244m m ∴+-= 3322m ∴-=或3322m -=- 解得23m =或103m = M ∴的坐标为2(3 0)或10(3 0)； （3）在334y x =+中 令0x =得3y =(0,3)B ∴①当B 为直角顶点时 过B 作BH y ⊥轴于H 如图：QAB 为等腰直角三角形 AB QB ∴= 90QBA ∠=︒ 90ABO QBH BQH ∴∠=︒-∠=∠ 90AOB QHB ∠=︒=∠ (AAS)ABO BQH ∴≌ 4OA BH ∴== 3OB QH == 7OH OB BH ∴=+= Q ∴的坐标为(3,7)-； ②当A 为直角顶点时，过Q 作QT x ⊥轴于T ， 如图：同理可得(AAS)AQT BAO ≌ 3AT OB ∴== 4QT OA == 7OT OA AT ∴=+= Q ∴的坐标为(7,4)-； ③当Q 为直角顶点时，过Q 作WG y ⊥轴于G 过A 作AW WG ⊥于W ，如图：同理可得(AAS)AQW QBG ≌ AW QG ∴= QW BG = 设(,)Q p q ∴(4)3q p p q =-⎧⎨--=-⎩ 解得7272p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Q ∴的坐标为7(2-， 7)2； 综上所述 Q 的坐标为(3,7)-或(7,4)-或7722⎛⎫- ⎪⎝⎭，。
浙教版初中数学几何计算型综合问题(含答案)
几何计算型综合问题【考点透视】几何计算型综合问题，是以计算为主线的综合各种几何知识的问题.在近年全国各地中考试卷中占有相当的分量.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想. 解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决.值得注意的是近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力……力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去.【典型例题】例1 在生活中需要测量一些球（如足球、篮球…）的直径，某学校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线AD、CB分别与球相切于点E、F，则E、F即为球的直径．若测得AB的长为41.5cm，∠ABC=37°.请你计算出球的直径（精确到1cm）分析：本题实际上是解直角梯形ABFE中的问题，作AG⊥CB于G，在Rt△ABG中，求出AG即可．解：作AG⊥CB于G，∵AD、CB分别与圆相切于E、F，∴EF⊥FG，EF⊥EA，∴四边形AGFE是矩形，∴AG=EF在Rt△ABG中，AB=41.5，∠ABG=37°，∴AG=AB·sin∠ABG=41.5×sin37°≈25.∴球的直径约为25cm.说明：将几何计算题与研究性学习问题和方案设计问题有机的结合起来，是近年中考题的又一热点．这类题一般难度不太大，关键是考查建模能力.例2．在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在DABCQ P直线翻折得△AB ’E ，那么△AB ’E 与四边形AECD 重叠部分的面积是 .分析：解答本题首先要根据题意，画出图形（如图11-2）然后根据对称性和相关几何知识进行求解．解：在Rt △ABE 中，∵∠B=45°，AB=2，∴AE=BE=2 ，∴S △ABE =1． 由翻折知：△AB ’E ≌△ABE ，∴EB ’=EB=2 ∴B ’C=BB ’－BC=22－2， ∵四边形ABCD 是菱形，∴CF ∥BA ．∴∠ B ’FC=∠B ’AB=90°, ∠B ’CF=∠B=45° ∴CF=2222-=BC ∴S △B’FC =221CF =32－2∴S 阴=S △AB’E －S △CFB’=22－2．说明：图形折叠问题的本质是全等变换, 也是近年中考题中的一个亮点．这类问题的解决方法是要抓住因折叠而形成的等线段和等角，这些相等关系是解决问题的关键.常用代数方程求解．例3．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t ≤6），那么： ⑴当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？⑵求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论； ⑶当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？分析：⑴中应由△QAP 为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP，由AQ=6－t ，AP=2t ，可求出t 的值；⑵中四边形QAPC 是一个不规图形，其面积可由矩形面积减去△DQC 与△PBC 的面积求出；⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此须分类讨论.解：⑴AP=2t ，DQ=t ，QA=6－t ，当QA=AP ，即6－t=2t ，t=2（s ）时，△QAP 为等腰直角三角形；⑵S △DQC =21·12·t=6t, S △PBC =21·6·(12－2t)=36－6t, ∴S 四边形QAPC =12·6－6t －（36－6t ）=36（cm 2），由计算结果可见：在P 、Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变； ⑶∵∠QAP=∠ABC=90°，①当BC AP AB QA =时，△QAP ∽△ABC ，∴62126tt =-，解之得t=1.2（s ）； ②当AB AP BC QA =时，△PAQ ∽△ABC ，∴12266tt =-，解之得t=3（s ）. 故当t=1.2s 或3s 时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似.说明：本例是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓其本质，揭示出变中不变的规律．其结论也可提出：“P 、Q 两点到对角线AC 的距离之和保持不变”，四边形QAPC 的面积也可由△QAC 与△CAP 的面积求出，；⑶中考察了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.例4. 当你进入博物馆的展览厅时，你知道站何处观赏最理想？如图，设墙壁上的展品最高处点P 距离场面a 米，最低处点Q 距离场面b 米，观赏者的眼睛点E 距离地面m 米．当过点P 、Q 、E 三点的圆与过点E 的水平线相切于点E 时，视角∠PEQ 最大，站在此处观赏最理想．(1)设点E 到墙壁的距离为x ，求a 、b 、m 、x 的关系式； (2)当a=2.5，b=2，m=1.6时，求：○1和墙壁的距离为x 米；○2视角∠PEQ 的度数（精确到1度） 解：(1)∵水平直线HE 切⊙O 于点E. ∴HE 2=QH ·HP又HE=x ，QH=b －m ，PH=a －m ， ∴x 2=（a －m ）（b －m ）.(2)○1当a=2.5，b=2，m=1.6时，由(1)中所得： x 2=（2.5－1.6）（2－1.6）∴x=0.6 ∴点E 与墙壁距离x 的值为0.6米.○2作OD ⊥PR 于D ，则∠POQ=2∠POD ，∵∠POQ=2∠PEQ ， ∴∠PEQ=∠POD.在Rt △POD 中，tan ∠POD=125=OD PD ∴∠PEQ=23°说明：将几何计算题富于一个实际情境是中考中的一个新视点，符合新课程标准的精神，在今后的中考命题将会有很强的生命力，解这类题时，要能从实际中抽象出纯数学问题，然后利用相关知识解决问题.复习中应注意对常规题进行演变，有对针性训练.例5.如图,方形ABCD 的AB 边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，DF 切半圆于F点E ，交AB 的延长线于点F ，BF=4． 求：(1)cos ∠F 的值；(2)BE 的长.分析：(1)要求cos ∠F 的值，就要把∠F “放”到直角三角形中，由于DF 是半圆切线，只要连结OF 即可，然后利用相似三角形与切割线定理，求出OF 、EF ；(2)利用勾股定理和相似三角形即可求得．解：(1)连结OE.∵DF 切半圆于E ， ∴∠OEF=90°，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠DAF=90°， ∴∠OEF=∠DAF.又∵∠F 为公共角，∴△OEF ∽△DAF. ∴21===AB OE DA OE AF EF .即AF=2EF. ∵DF 切半圆O 于E ，∴EF 2=FB ·FA=BF ·2EF ， ∴EF=2BF=8，AF=2EF=16.∴AB=AF －BF=12，FO=21AB+BF=21×12+4=10. 在Rt △OEF 中，cos ∠F=54108==FO EF . (2)连结AE ，∵DF 切半圆于E ，∴∠EAF=∠BEF. ∵∠F=∠F ，∴△BEF ∽△EAF. ∴21168===AF EF EA BE .设BE=k(k ＞0)，则AE=2k ， ∵AB 为半圆O 的直径， ∴∠AEB=90°.在Rt △AEB 中，AE 2+BE 2=AB 2，（2k ）2+k 2=122, ∴BE=k=5512. 说明：在相似形、圆等问题中渗透三角形函数知识、方程知识，围绕有关相似比、面积之比来命题是近年中考题命题又一新特点．解这类题要善于把三角函数的值与线段比相互转化，并能设参数来表示有关线段，运用勾股定理或相似三角形的有关比例式来解决．例6．已知：如图与⊙O 2相交于A 、B 两点，O 1在⊙O 2上，⊙O 2的弦BC 切⊙O 1与B ，延长BO 1、CA 交于点P ，PB 与⊙O 1交于点D ．O 2O 1图①图②⑴求证：AC 是⊙O 1的切线；⑵如果PD=1，⊙O 1的半径为2，求BC 的长．分析：⑴由于AC 与⊙O 1有共公点A ，只要证AC ⊥AO 1即可． ⑵欲证AD ∥O 1C ，借公共弦这一“桥梁”．证∠ACO 1=∠PAD ， ⑶根据图形借助切割线及其推论或三角形相似，通过线段比来解决.解：⑴连结AO 1，∵BC 是⊙O 1的切线，∴∠O 1BC=90°, ∵四边形AO 1BC 是⊙O 2的内接四边形，∴∠O 1BC+∠O 1AC=180°.∴∠O 1AC=90°，∴AC 是⊙O 1的切线 ⑵连结AB,∵PC 切⊙O 1于点A, ∴∠PAD=∠ABP, 又∠ACO 1=∠ABO 1 ,∴∠PAD=∠ACO 1 ∴AD ∥O 1C⑶∵PC 是⊙O 1的切线，PB 是⊙O 1的割线，∴PA 2=PD·PB ∵PD=1，PB=5，∴PA=5∵AC 、BC 分别切⊙O 1于A 、B ∴O 1B ⊥BC ，O 1A ⊥PC ∴∠PBC=∠PAO 1=90° 又∠P=∠P ∴△PBC ∽△PAO 1 ∴552,1==BC PA PB AO BC 即 ∴BC=52 说明：解几何计算综合题要善于把复杂的几何图形“分解”为若干个基本图形，并综合这些基本图形的性质及图形中元素的内在联系去思考，则能快速找到解题途径．如本题若把原图分解为下列①②两个图形，则⑶的解题思路一目了然．例7.有一长方形的餐厅，长10m ，宽7m ，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5m 的圆形（如图1所示）.在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5m 的前提下，问此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方14×20方格纸内画出设计示图1图2图3图4意图.（提示：①画出的圆应符合比例要求；②为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上）分析：这是一道方案设计问题，图2中每一正方形小格宽度均表示0.5m ，餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子，就看能否在图2中画出三个或四个半径为三格宽的圆，并使圆与圆之间、圆与方格纸外边框之间的间距不少于一格，我们可以按画三个圆、画四个圆分别计算.解：此餐厅内能摆下三套和四套同样大小的圆桌和椅子.摆放三套与四套的设计方案参考图3、图4，只要满足如下条件：① 每个圆的半径为1.5cm ；② 每个圆的圆心到方格纸外边框的距离不小于2cm ； ③ 任意两圆的圆心距不小于3.5cm.说明：对于一道运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断.该试题是在考生容易想象的情境中考查学生用数学的能力，源于生活，打破常规，重视学生探究问题的能力的培养和动手操作意识的形成，这是今后中考试题的一个方向.ABCPQABC习题11⒈如图，在△ABC 中,已知BC=6,∠C=600,sinA=0.8,求AB 和AC 的长.(结果保留根号)⒉如图，挂着“庆祝凤凰广场竣工”条幅的氢气球升在广场上空，已知气球的直径为4m ，在地面A 点测得气球中心O 的仰角∠OAD=60°，测得气球的视角∠BAC=2°（AB 、AC 为⊙O 的切线，B 、C 为切点）则气球中心O 离地面的高度OD 为（ ）。
浙江省2021年中考数学复习测试专题提升(一) 代数式在几何中的应用
第二轮 中考核心素养提升专题提升(一) 代数式在几何中的应用利用代数式解决图形分割问题．例1 如图S1－1，一个长方形被分割成四个正方形①②③④和一个长方形⑤，为了知道⑤的周长，只需测量哪个正方形的周长( C )(图S1－1)A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】 设①的边长为a ，②的边长为b ，则③的边长为a ＋b ，④的边长为2a ＋b ，于是⑤的长和宽分别为3a ＋b 和b －a ，则⑤的周长为4(a ＋b )是③的周长． 例2 如图S1－2，一个平行四边形被分割成两个等腰直角三角形(面积都是S 1)、两个直角三角形(面积都是S 2)和一个正方形(面积是S 3)，那么这个平行四边形的面积等于( A )(图S1－2)A ．4S 1B ．4S 2C ．4S 2＋ S 3D ．3S 1＋4S 3【解析】 设等腰直角三角形的直角边长为a ，正方形的边长为c ，则S 2＝12(a＋c )(a －c )＝12a 2－12c 2，∴S 2＝S 1－12S 3，∴S 3＝2S 1－2S 2，∴S平行四边形＝2S 1＋2S 2＋S3＝2S1＋2S2＋2S1－2S2＝4S1.(1)图形分割问题往往难以用几何的方法来解决，而设一个或几个字母表示线段长，用代数式__计算__的方法有时反而会轻松解决．1．如图S1－3，一个大矩形被分割成四个正方形(用字母A，B，C，D表示)和一个小矩形，四边形MNPQ由其中的三个正方形的对角线和小矩形的对角线顺次连结而成，如果需求出四边形MNPQ的面积，只需知道其中一个正方形的边长，那么表示这个正方形的字母是(B)(图S1－3)A．A B．B C．C D．D【解析】设正方形D的边长为a，正方形A的边长为x，则S四边形MQPN ＝12x2＋12(x＋a)2＋12(x＋2a)2＋12(x－a)(x＋3a)＋a2＝2x2＋4ax＋2a2＝2(x＋a)2，恰好是正方形B面积的2倍．2．如图S1－4，在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图S1－4(1)，图S1－4(2)两种方式放置(图S1－4(1)，图S1－4(2)中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图S1－4(1)中阴影部分的面积为S1，图S1－4(2)中阴影部分的面积为S2.当AD－AB＝2时，S2－S1的值为(B)(图S1－4)A．2a B．2bC．2a－2b D．－2b【解析】设AD＝x，AB＝y，则x－y＝2.S1＝(y－a)·a＋(y－b)(x－a)，S2＝y(x－a)＋(a－b)(y－a)，S2－S1＝y(x－a)＋(a－b)(y－a)－(y－a)·a－(y－b)(x－a)＝(x－a)(y－y＋b)＋(y－a)(a－b－a)＝b·x－ab－b·y＋ab＝b(x－y)＝2b.利用代数式解决角的计算和证明问题．例3如图S1－5，在△ABC中，点D，E在边BC上，AB＝BE，AC＝DC.(图S1－5)(1)当∠BAC＝90°时，求∠DAE的度数；(2)小明猜想：不论∠BAC是几度，总有∠DAE＝12∠BAC.你认为小明的猜想对吗？为什么？解：(1)45°；(2)设∠B＝x，∠C＝y，则∠BAC＝180°－x－y.由AB＝BE，得∠BAE＝180°－x2.同理，∠DAC＝180°－y2，于是∠DAE＝180°－x2＋180°－y2－(180°－x－y)＝x＋y2.所以小明的猜想不正确．例4将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼成如图S1－6(1)的形状，使点A，F，C，D在同一条直线上，∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF，AC＝DF，连结AE，BD.取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α°(0≤α≤90)，连结OB，OE，AE，BD，如图S1－6(2)．当EF平分∠AEO时，探究∠BOD与∠AOE的数量关系，并说明理由．(图S1－6)解：设∠OEF＝x，易证OA＝OB＝OD＝OE，OC＝OF，∴△BOC≌△EOF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°－x.∵AO＝EO，∠AEO＝2x，∴∠AOE＝180°－4x，∴∠AOF＝180°－4x－(90°－x)＝90°－3x，∴∠BOD＝90°－x－(90°－3x)＝2x，∴2∠BOD＋∠AOE＝180°.(2)角的计算和证明问题用纯几何方法难以处理时，可以设一个或几个__字母__表示角，用__代数计算__的方法往往是捷径．3．如图S1－7，△ABC和△CDE都是正三角形，求证：∠ADB－∠DBE＝60°.(图S1－7)证明：因为△ADC≌△BEC，所以可设∠DAC＝∠EBC＝x°，∠DBC＝y°，则∠ADB ＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－(60°－x)－(60°－y)＝60°＋x＋y＝60°＋∠DBE，即∠ADB－∠DBE＝60°.4．如图S1－8，在△ABC中，点D在边AC上，点E在边AB上，AB＝AC，BD＝BC，AD＝DE＝BE.求∠A的度数．(图S1－8)解：设∠EDB＝∠EBD＝x°，则∠A＝∠DEA＝2x°，∠C＝∠BDC＝∠ABC＝3x°，于是8x＝180°，则∠A的度数为45°.利用代数式解决线段的计算和证明问题．例5如图S1－9，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G.试判断EG与FG是否相等，并说明理由．(图S1－9)解：设AD＝a，BC＝b，那么利用切线长定理得AD＝DE＝a，BC＝CE＝b.由△DEG∽△DCB，得EGb＝aa＋b，则EG＝aba＋b.同理可得FG＝aba＋b，所以EG＝FG.(3)利用代数式解决几何问题的一般步骤如下：①设__字母__；②寻找等量关系；③用__字母__表示有关的量；④对得到的代数式进行__计算或变形__．5. 如图S1－10，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，作正方形ACDE 和正方形BCGH ，BE 交AC 于点I ，AH 交BC 于点J ，求证：CI ＝CJ .(图S1－10)证明：设BC ＝a ，CD ＝b ，利用相似三角形分别计算CI ，CJ 的长，证法同例5.给一些特殊图形(如矩形、等边三角形、等腰直角三角形)建立一个平面直角坐标系，再结合代数式解决问题的方法叫做建系法，建系法对解决含这些特殊图形的问题往往会有意想不到的效果．知识储备：已知平面直角坐标系上两点A (x 1，x 2)，B (y 1，y 2)，则线段AB 的中点表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，线段AB 的长度表示为（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.例6 如图S1－11，四边形ABCD 是边长为6的正方形，点E 在边AB 上，BE ＝4，过点E 作EF ∥BC ，分别交BD ，CD 于点G ，F ，若M ，N 分别是DG ，CE 的中点，则MN 的长是__13__．(图S1－11) (图D S 1－1) 【解析】 如图DS1－1，以点B 为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，则G (4，4)，D (6，6)，C (6，0)，E (0，4)．因为M ，N 分别是DG ，EC 的中点，所以M (5，5)，N (3，2)，则MN ＝（5－3）2＋（5－2）2＝13.例7 定义：如图S1－12(1)，点A ，B 在线段MN 上，若以线段MA ，AB ，BN 为边恰好能组成一个直角三角形，则称点A ，B 为线段MN 的勾股分割点．如图S1－12(2)，在△ABC 中，在∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，延长BA 到点M ，延长AB 到点N ，使点A ，B 恰好是线段MN 的勾股分割点(AB >MA ，AB >BN )，过点M ，N 分别作AC ，BC 的平行线交于点P .猜想PC 的长度是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．(图S1－12)解：如图DS1－2，以AB 的中点为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)．设MA ＝a ，BN ＝b ，则M (－a －1，0)，N (b ＋1，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 2，a ＋b ＋22，于是PC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋22－12＝a 2＋b 22.(图DS1－2)因为a 2＋b 2＝22＝4，所以PC ＝2，即PC 的长是定值 2.(4)上述两例如果用纯几何的方法计算，会添加较多的辅助线，并且计算难度较大，利用__平面直角坐标系__，再结合设字母的代数思想，思考的难度和计算的难度都会相对降低．6．如图S1－13，正方形ABCD 的边长为10，G ，H 在正方形ABCD 内，AG ＝CH ＝8，BG ＝DH ＝6，连结GH ，则线段GH 的长为__22__．(图S1－13)【解析】 如图DS1－3，以点B 为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，先由等积法计算出G ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，185，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫265，325，(图D S 1－3)则GH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫265－2452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫325－1852＝2 2. 7．如图S1－14，在矩形ABCD 中，AB ＝84，AD ＝42，点M 是AD 的中点，点N 在边AB 上，BN ＝2AN ，线段CM 与DN 交于点O ，点P 在OC 上，BP 平分四边形BCON 的面积，连结DP ，则△CDP 的面积为__546__．(图S1－14) 图DS1－4) 【解析】 如图DS1－4，以A 点为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，则D (0，42)，B (84，0)，C (84，42)，N (28，0)，直线DN 的解析式为y ＝－32x ＋42，直线CM 的解析式为y ＝14x ＋21，得O (12，24)，连结OA 易求S 四边形ANOM ＝462，S四边形BCON＝2184，则S△BCP＝1092，设P(x，y)，则（84－x）·422＝1092，解得x＝32，则y＝29，S△CDP＝546.1．如图ZS1－1，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成2个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为(A)(图ZS1－1) (图DT1－1)A．①②B．②③C．①③D．①②③【解析】如图DT1－1，设③和②的边长分别为a，b，则长方形的周长为8b，①的周长为4b，②的周长为4b，③的周长为4a.2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图ZS1－2－1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图ZS1－2－2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C)(图ZS1－2－1) (图ZS1－2－2)A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边长为b，较短直角边长为a，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2，阴影部分的面积＝c 2－b 2－a (c －b )＝a 2－ac ＋ab ＝a (a ＋b －c )，较小两个正方形重叠部分的长＝a －(c －b )，宽＝a ，则较小两个正方形重叠部分的的面积＝a (a ＋b －c )，∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积．3．如图ZS1－3，已知AE ＝10，点D 为AE 上的一点，在AE 同侧作正方形ABCD ，正方形DEFH ，G ，M 分别为对角线AC ，HE 的中点，连结GM .当点D 沿着线段AE 由点A 向点E 移动时，四边形AGME 的面积变化情况为( B )(图ZS1－3)A ．不变B ．先减小后增大C ．先增大后减小D ．一直减小【解析】 如图DT1－2，过点G 作GK ⊥AD 于点K ，过点M 作MN ⊥DE 于点N .设AD ＝x ，DE ＝10－x ，(图DT1－2)则AK ＝GK ＝DK ＝12x ，MN ＝DN ＝NE ＝10－x 2，容易求得四边形AGME 的面积为14x 2－52x ＋25＝14(x －5)2＋754(0<x <10)， 由二次函数的性质可知其面积变化是先减小后增大．4．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图ZS1－4的矩形由两个这样的图形拼成，若a ＝3，b＝4，则该矩形的面积为__24__．(图ZS1－4)【解析】设小正方形的边长为x.∵a＝3，b＝4，∴斜边长＝3＋4＝7，∴(3＋x)2＋(x＋4)2＝72，整理得，x2＋7x－12＝0，则该矩形的面积为(x＋3)(x＋4)＝x2＋7x＋12＝12＋12＝24.5．如图ZS1－5(1)，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连结四条线段得到如图ZS1－5(2)的图案，如果阴影部分的面积与空白部分的面积相等，那么大正方形的边长与小正方形的边长的比值为__3＋1__．(1) (2)(图ZS1－5)【解析】如图DT1－3，设AC＝m，BD＝1，(图DT1－3)则大正方形的面积为m2，小正方形的面积为1.设AB＝CD＝a，由题意得2a＋1＝2a 2，易得4a 2＝m 2，解得a ＝3＋12，m ＝3＋1. 6．如图ZS1－6，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 边上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 的度数为__36°__．图ZS1－6【解析】 设∠A ＝x ，则∠ABD ＝x ，∠BDC ＝∠C ，∠C ＝∠ABC ＝2x ，易得5x ＝180°，则∠A ＝36°.7．如图ZS1－7，已知在平面上从点O 出发有5条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，其中∠AOB ＝3∠DOE ，OC 平分∠BOD ，∠BOC ＋2∠DOE ＝70°，则∠AOE 的度数为__140°__．图ZS1－7【解析】 设∠DOE ＝x ，则∠AOB ＝3x ，设∠BOC ＝∠DOC ＝y ，由题意得2x ＋y ＝70°，于是∠AOE ＝3x ＋y ＋y ＋x ＝2(2x ＋y )＝140°.8．如图ZS1－8，一个矩形被分割成11个正方形，原矩形的长为a ，宽为b (a >b )，则a b ＝__6968__．(图ZS1－8) (图DT1－4)【解析】 如图DT1－4，设图中左上角的正方形边长为m ，则每个正方形的边长如图中正方形内的代数式，∴a b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋59m ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫53m ＋2327m ＝6968. 9．如图ZS1－9，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，四边形DCEF 为矩形，P ，Q 分别为DE ，AB 的中点，若BD ＝1，DC ＝2，则PQ ＝__52__．(图ZS1－9)【解析】 如图DT1－5，以B 为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，由中点坐标的意义可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，则PQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－322＝52.(图DT1－5)10．如图ZS1－10，已知三角形ABC 的面积为1cm 2，且BC ＝CD ，AD ＝3DE ，AC 与BE 交于点F .那么四边形CDEF 的面积为__715__．(图ZS1－10) (图DT1－6) 【解析】 如图DT1－6，S △CDF ＝x ，S △DEF ＝y ，易得S △BCF ＝x ，S △AEF ＝2y .由S △ABC＝S △ACD 可得S △ABF ＝3y ，于是x ＋3y ＝1.由S △ABE ＝2S △BDE 得5y ＝2(2x ＋y )，解得x ＝15，y ＝415，则四边形CDEF 的面积为715.11．如图ZS1－11，已知在正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P .求证：AP ＝AB .(图ZS1－11)解：以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，直线BA 为y 轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，易得直线BE 的解析式为y ＝12x ，直线CF 的解析式为y ＝－2x ＋4，解得交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45以下略． 12．如图ZS1－12，AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC ，BC .(图ZS1－12)(1)求证：∠BAC ＝∠BCP ；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，∠CP A 的平分线交AC 于点D ，你认为∠CDP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若没有变化，求出∠CDP 的度数． 解：(1)略 (2)设∠BPC ＝2x ，∠A ＝∠BCP ＝y ，则∠CDP ＝x ＋y ，而∠ABC ＝2x ＋y ，易得y ＋(2x ＋y )＝90°，则∠CDP ＝x ＋y ＝45°.13．如图ZS1－13，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P .问：EP 与PD 是否相等？证明你的结论．(图ZS1－13)解：先证△AEP∽△ABC，得EPBC＝AEAB.①△AED∽△OBC，得EDBC＝AEOB＝AE12AB＝2AEAB.②由①②得ED＝2EP，则EP＝PD.。
2022年春浙教版九年级数学中考二轮复习《几何图形最值问题》专题提升训练(附答案)
2022年春浙教版九年级数学中考二轮复习《几何图形最值问题》专题提升训练（附答案）一．垂线段最短1．已知⊙O的半径为5，P是⊙O内的一点，且OP＝3，若过点P任作一直线交⊙O于A、B两点，则△AOB周长的最小值为．二．菱形的性质2．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．4三．轴对称-最短路线问题3．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．B．C．6D．34．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．B．2C．2D．45．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（）A．B．C．5D．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为（）A．B．C．5D．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上的动点，E是BC上的动点，则AE+DE的最小值为（）A．3+2B．10C．D．8．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10B．8C．5D．610．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°11．如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角12．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．B．4C．D．514．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）A．B．C．D．15．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（）A．2B．2+C．4D．4+216．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．2C．3D．17．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）A．B．1C．D．218．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（）A．6B．3C．2D．4.519．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l 对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（）A．4B．3C．2D．2+20．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1B．C．2D．+121．如图所示，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是（）A．14B．28C．6D．1022．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）A．3B．4C．5D．623．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别为AB，BC 边上的中点，则MP+NP的最小值是（）A．2B．1C．D．24．如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是．25．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．26．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．27．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．28．已知∠AOB＝60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM ＝4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是．29．如图，∠BAC＝30°，M为AC上一点，AM＝2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为．30．在锐角三角形ABC中，BC＝，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是．31．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．32．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是．33．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．34．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD 上一动点，则EP+AP的最小值为．35．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE 的最小值为．36．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．37．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝．38．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是．39．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE＝2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是．40．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：．41．问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．42．（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB＝∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．43．如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB＝10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON＝30°，新开发区B到公路MN的距离BC＝3千米．（1）新开发区A到公路MN的距离为；（2）现要在MN上某点P处向新开发区A，B修两条公路P A，PB，使点P到新开发区A，B的距离之和最短．此时P A+PB＝（千米）．44．需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．45．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．46．几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P A+PB＝A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求P A+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．47．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）48．某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电．已知居民小区A、B分别到主干线l的距离AA1＝2km，BB1＝1km，且A1B1＝4km．（1）如果居民小区A、B在主干线l的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？参考答案一．垂线段最短1．解：如图，CD为过P点的直径，CD⊥AB于P，则AB为过P点最短的弦，即此时△AOB的周长有最小值，∵OP⊥AB，∴P A＝PB，在Rt△AOP中，AP＝＝4，∴AB＝8．∴△AOB周长的最小值为18，故答案为：18．二．菱形的性质2．解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′．∴EP+FP＝EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP ＝EP+F′P＝EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，∵AF＝2，AE＝1，∴DF＝DF′＝AE＝1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′＝AD＝3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．三．轴对称-最短路线问题3．解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，∴PN+PM+MN＝ND+MN+MC＝DC，∠COD＝∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC＝2∠AOB ＝120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH＝DH，∵∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝，CH＝OH＝，∴CD＝2CH＝3．故选：D．4．解：如图，在BA上截取BE＝BN，因为∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠EBM＝∠NBM，在△BME与△BMN中，所以△BME≌△BMN（SAS），所以ME＝MN．所以CM+MN＝CM+ME≥CE．因为CM+MN有最小值．当CE是点C到直线AB的距离时，即C到直线AB的垂线段时，CE取最小值为：4×sin60°＝．故选：C．5．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′D⊥AB交BC、AB分别于点E、D，则A′D的长度即为AE+DE的最小值，AA′＝2AC＝2×3＝6，∵∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，∴AB＝，∴sin∠BAC＝，∴A′D＝AA′•sin∠BAC＝6×＝，即AE+DE的最小值是．故选：B．6．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝，即P A+PB的最小值为．故选：D．7．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′D⊥AB交BC、AB分别于点E、D，则A′D的长度即为AE+DE的最小值，AA′＝2AC＝2×6＝12，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB＝＝＝10，∴sin∠BAC＝＝＝，∴A′D＝AA′•sin∠BAC＝12×＝，即AE+DE的最小值是．故选：D．8．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C＝50°，∴∠DAB＝130°，∴∠HAA′＝50°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠F AD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，故选：D．9．解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB 于F点，AC＝5，AC边上的高为＝＝2，所以BE＝4．∵△ABC∽△EFB，∴＝，即＝EF＝8．故选：B．10．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN＝5，∴DM+CN+MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；故选：B．11．解：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，∴CB＝CB′，又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，∴CB′+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．故选：D．12．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″的长即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB＝120°，∴∠AA′M+∠A″＝60°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°，故选：B．13．解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10．∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，∴CM＝＝＝，即PC+PQ的最小值为．故选：C．14．解：A、PQ+QM＝8+2＝10km；B、∵QM+PM＝P′Q，P′Q2＝82﹣（5﹣2）2+（5+2）2＝104，∴P′Q＝2km＞10km；C、QM+PR＝5+＞10；D、PM+QM＝5+＞10．综上所述，A选项铺设的管道最短．故选：A．15．解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置，∵M，N分别是AB，BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AC，∴，∴PM′＝PN，即：当PM+PN最小时P在AC的中点，∴MN＝AC∴PM＝PN＝1，MN＝∴AC＝2，AB＝BC＝2PM＝2PN＝2∴△ABC的周长为：2+2+2＝4+2 ．故选：D．16．解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴P′D＝P′B，∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2．故所求最小值为2．故选：A．17．解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′＝BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N＝AB＝1，∴MP+NP＝M′N＝1，即MP+NP的最小值为1，故选：B．18．解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P、M使PE+PM取得最小值，PE+PM＝PE′+PM＝E′M，∵四边形ABCD是菱形，∴点E′在CD上，∵AC＝6，BD＝6，∴AB＝＝3，由S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•E′M得×6×6＝3•E′M，解得：E′M＝2，即PE+PM的最小值是2，故选：C．19．解：连接CC′，如图所示．∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，∴∠ABC＝∠A′＝60°，A′B＝BC＝A′C′，∴A′C′∥BC，∴四边形A′BCC′为菱形，∴点C关于BC'对称的点是A'，∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，最小值为AA′的长．∵AA′＝AB+A′B＝2+2＝4，∴AD+CD的最小值为4．故选：A．20．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A＝120°，∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当P′Q⊥AB时PK+QK的值最小，在Rt△BCP′中，∵BC＝AB＝2，∠B＝60°，∴P′Q＝CP′＝BC•sin B＝2×＝．故选：B．21．解：如图：作EE′⊥BD交BC于E′，连接E′F，则E′F就是HE+HF的最小值，∵E、F分别是边AB、AD的中点，∴E′F AB，而由已知可得AB＝＝10，∴HE+HF的最小值为10．故选：D．22．解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝＝5，作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD＝AB，∴AE＝AE′，∵F是BC的中点，∴E′F＝AB＝5．故选：C．23．解：作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′＝BN，∴四边形AM′BN是平行四边形，∴PN∥AB，又N是BC边上的中点，∴PN是△CAB的中位线，∴P是AC中点，∴PM∥BN，PM＝BN，∴四边形PMBN是平行四边形，∵BM＝BN，∴平行四边形PMBN是菱形．∴MP+NP＝BM+BN＝BC＝1．故选：B．24．解：延长CB到C′，使C′B＝CB＝2，连接DC′交AB于P．则DC′就是PC+PD 的和的最小值．∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴AD∥BC，∴∠A＝∠PBC′，∠ADP＝∠C′，∴△ADP∽△BC′P，∴AP：BP＝AD：BC′＝3：2，∴PB＝AP，∵AP+BP＝AB＝5，∴AP＝3，BP＝2，∴PD＝＝＝3，PC′＝＝＝2，∴DC′＝PD+PC′＝3+2＝5，∴PC+PD的最小值是5，故答案为5．25．解：作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作A'E⊥AC于E，交BC 于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，∴BC＝＝9，S△ABC＝AB•AC＝BC•AF，∴3×＝9AF，AF＝2，∴AA'＝2AF＝4，∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，∴∠A'＝∠C，∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，∴△AEA'∽△BAC，∴，∴，∴A'E＝，即AD+DE的最小值是；故答案为：．26．解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝．故答案为．27．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PC、PD．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝6．∵∠POC＝∠POD，∴OP⊥CD，∴OQ＝6×＝3，∴PQ＝6﹣3设MQ＝x，则PM＝CM＝3﹣x，∴（3﹣x）2﹣x2＝（6﹣3）2，解得x＝6﹣9，∴MN＝2MQ＝12﹣18，∵S△PMN＝MN×PQ，S△MON＝MN×OQ，∴S四边形PMON＝S△MON+S△PMN＝MN×PQ+MN×OQ＝MN×OP＝×（12﹣18）×6＝36﹣54．故答案为36﹣54．28．解：过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，则MN′的长度等于PM+PN的最小值，即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，∵∠ON′M＝90°，OM＝4，∴MN′＝OM•sin60°＝2，∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2．29．解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，则NQ的长即为PM+PQ的最小值，连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM＝DN，∵∠NPB＝∠APQ，∴∠N＝∠BAC＝30°，∵∠BAC＝30°，AM＝2，∴MD＝AM＝1，∴MN＝2，∴NQ＝MN•cos∠N＝2×＝，故答案为：．30．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC＝，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE＝BC•cos45°＝4×＝4．故答案为：4．31．解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE＝DE+EC′＝DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE＝∠CBE＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝2，∵D是BC边的中点，∴BD＝1，根据勾股定理可得DC′＝＝．故答案为：．32．解：点A关于x轴的对称点A1的坐标是（0，﹣3），过点B向x轴作垂线与过A1和x 轴平行的直线交于C，则A1C＝6，BC＝8，∴A1B＝＝10∴从A、B两点到奶站距离之和的最小值是10．故填10．33．解：如图：作ME⊥AC交AD于E，连接EN，则EN就是PM+PN的最小值，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴BN＝BM＝AM，∵ME⊥AC交AD于E，∴AE＝AM，∴AE＝BN，AE∥BN，∴四边形ABNE是平行四边形，∴EN＝AB，EN∥AB，而由题意可知，可得AB＝＝5，∴EN＝AB＝5，∴PM+PN的最小值为5．故答案为：5．34．解：如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，∴AB＝BC＝4，AB•CE′＝8，∴CE′＝2，在Rt△BCE′中，BE′＝＝2，∵BE＝EA＝2，∴E与E′重合，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A、C关于BD对称，∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE的长＝2，故答案为2．35．解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED＝B′E+ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD＝，在Rt△B′BG中，BG＝＝＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG中，B′D＝＝＝．故BE+ED的最小值为．故答案为：．36．解：连接DE．∵BE的长度固定，∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可，∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，∴P′D＝P′B，∴PB+PE的最小长度为DE的长，∵菱形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∠DAB＝60°，∴△BCD是等边三角形，又∵菱形ABCD的边长为2，∴BD＝2，BE＝1，DE＝，∴△PBE的最小周长＝DE+BE＝+1，故答案为：+1．37．解：取AB的中点Q，连接M，NQ，NQ交BD于P，连接MP，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴∠QBP＝∠MBP，AB∥CD，AB＝BC＝CD，∵BM＝BC，BQ＝AB，∴BM＝BQ．∴BP垂直平分QM，∴Q，M关于BD对称，∴PM+PN＝PQ+PN＝NQ，此时MP+NP的值最小，∵CN＝CD，∴CN＝BQ．∵CN∥BQ，∴四边形BQNC是平行四边形，QN∥BC．∴NQ＝BC，QP为△ABD的中位线，∴点P为BD的中点，连接AC，则AC经过点P，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且CP＝AC＝3，BP＝BD＝4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝＝5，即NQ＝5，∴MP+NP＝5，故答案为：5．38．解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DH⊥BA于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为D，∴FD＝FB，∴FE+FB＝FE+FD≥DE．只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝120°，∴∠HAD＝60°，∵DH⊥AB，∴AH＝AD，DH＝AD，∵菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，∴AE＝2，AH＝2，∴EH＝4，DH＝2，在Rt△EHD中，DE＝＝＝2，∴EF+BF的最小值为2．故答案为：2．39．解：如图，作EO⊥AC，并延长EO交AD于点E′，∵对角线AC平分∠BAD，∠BAD＝90°，∴点E、E′关于AC对称，∴PE＝PE′，AE＝AE′，∴PE+PB的最小值即线段BE′的长．∵AE＝2，AB＝6，∴AE′＝2，在直角三角形ABE′中，由勾股定理得，BE′＝＝＝2，∴PE+PB的最小值是2．故答案为2．40．解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线，∵BC＝6，BC边上的高为4，∴DE＝3，DD′＝4，∴D′E＝＝＝5，∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E＝3+5＝8，故答案为：8．41．解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时P A+PB最小，且等于AE．作直径AC′，连接C′E．根据垂径定理得＝．∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∠DOE＝30°，∴∠AOE＝90°，∴∠C′AE＝45°，又AC′为圆的直径，∴∠AEC′＝90°，∴∠C′＝∠C′AE＝45°，∴C′E＝AE＝AC′＝2，即AP+BP的最小值是2．故答案为：2；（2）如图，在斜边AC上截取AB′＝AB，连接BB′．∵AD平分∠BAC，∴∠B′AM＝∠BAM，在△B′AM和△BAM中，∴△B′AM≌△BAM（SAS），∴BM＝B′M，∠BMA＝∠B′MA＝90°，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°，AB′＝AB＝10，∴B′F＝AB′•sin45°＝AB•sin45°＝10×＝5，∴BE+EF的最小值为．42．解：（1）BP+PE的最小值＝＝＝．（2）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，连接OA′，AA′，OB．∵点A与A′关于CD对称，∠AOD的度数为60°，∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，P A＝P A′，∵点B是的中点，∴∠BOD＝30°，∴∠A′OB＝∠A′OD+∠BOD＝90°，∵⊙O的直径CD为4，∴OA＝OA′＝2，∴A′B＝2．∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B＝2．（3）如图d：首先过点B作BB′⊥AC于O，且OB＝OB′，连接DB′并延长交AC于P．（由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB＝∠APD）．43．解：（1）∵BC＝3，∠AOC＝30°，∴OB＝6．过点A作AE⊥MN于点E，AO＝AB+OB＝16，∴AE＝8．即新开发区A到公路的距离为8千米；（2）过D作DF⊥AE的延长线（点D是点B关于MN的对称点），垂足为F．则EF＝CD＝BC＝3，AF＝AE+EF＝AE+BC＝11，过B作BG⊥AE于G，∴BG＝DF，∵BG＝AB•cos30°＝5，∴，连接PB，则PB＝PD，∴P A+PB＝P A+PD＝AD＝14（千米）．44．解：点P就是飞机场所在的位置．（5分）45．解：（1）+；（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（3）如右图所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED ＝3，连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数的最小值．过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，所以AE＝＝＝13，即的最小值为13．46．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB＝PD，由题意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE＝；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，P A+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC＝60°∴∠A′OC＝120°，∵AO＝CO，AO＝A′O∴∠OA'C＝∠OCA'＝30°，作OD⊥A′C于D，则∠A′OD＝60°∵OA′＝OA＝2∴A′D＝∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB 于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°，在Rt△MON中，MN＝＝＝10．即△PQR周长的最小值等于10．47．答：如图：．48．解：（1）连接AB，AB与l的交点就是所求分支点M分支点开在此处，总线路最短．过B作l的平行线与AA1的延长线交于F，设A1M＝x，则MB1＝4﹣x，∵BB1⊥l，AA1⊥l，∴∠BB1M＝∠AA1M＝90°，又∠AMA1＝∠BMB1，∴△B1BM∽△A1AM，∴＝，即＝，解得A1M＝x＝，在直角三角形ABF中，AF＝AA1+A1F＝2+1＝3，BF＝B1A1＝4，由勾股定理得AB＝＝5，所以分支点M在线段A1B1上且距A1点千米处，最短线路的长度为5千米；（2）如图（2），作B点关于直线l的对称点B2，连接AB2交直线l于点M，此处即为分支点，由（1）知，A1M长度为千米．。
浙江省中考数学综合提升训练 图形与变换
图形与变换一、选择题1. (2015·浙江宁波)如图所示为由五个相同的小立方体搭成的几何体，则它的俯视图是( ),(第1题))2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为( )3. 小明在镜子中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8：00的是下图中的( )4. 如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，则黑球经桌边反弹最后进入球洞的序号是( )A. ①B. ②C. ⑤D. ⑥,(第4题)) ,(第5题))5. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置．若OB＝23，∠C＝120°，则点B′的坐标为( )A. (3，3)B. (3，－3)C. (6，6)D. (6，－6)6. 如图是一张足够长的矩形纸条ABCD，以点A所在直线为折痕折叠纸条，使点B落在边AD上，折痕与边BC交于点E.然后将其展平，再以点E所在直线为折痕，使点A落在边BC上，折痕EF交边AD于点F，则∠AFE的大小是( )(第6题)A. 22.5°B. 45°C. 60°D. 67.5°二、填空题7. (2015·山东泰安)如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为(2，0)，点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为________．,(第7题)) ,(第8题))8. 一个零件三视图的尺寸如图所示(单位：cm)，那么该零件的体积是________cm3.9. 如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于________．,(第9题)) ,(第10题))10. 如图①所示为边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm3.11. 有一个正六面体色子，放在桌面上，将色子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动2015次后，色子朝下一面的点数是________．(第11题)三、解答题12. 已知：如图，直线AB与直线BC交于点B，D是直线BC上一点．求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B，D两点的距离相等(在题目的原图中完成作图，保留作图痕迹)．(第12题)13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，C(3，0)．(1)①画出线段AC关于y轴对称的线段AB.②将线段AC绕点C顺时针旋转一个角度，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD.(2)若直线y＝kx平分(1)中的四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．(第13题)14. 已知△ABC是等边三角形，点A与点D的坐标分别是A(4，0)，D(10，0)．(1)如图①，当点C与点O重合时，求直线BD的函数表达式．(2)如图②，点C从点O出发沿y轴向下移动，当以点B为圆心，AB长为半径的⊙B与y轴相切(切点为C)时，求点B的坐标．(第14题)15. (2015·浙江嘉兴)小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图①所示)，侧面示意图为图②；使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′的位置(如图③所示)，侧面示意图为图④.已知OA＝OB＝24 cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12 cm.(第15题)(1)求∠CAO′的度数．(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少？(3)如图④，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′沿顺时针方向旋转多少度？参考答案1．A 2．C 3．B 4．A 5．D[由旋转的性质，得∠BOB ′＝75°．在菱形ABCD 中，易得∠BAO ＝∠C ＝120°，OA ＝AB ，∴∠BOA ＝30°．∴∠B ′OA ＝45°．过点B ′作B ′D ⊥x 轴于点D ，则B ′D ＝OD ＝22OB ′＝6．] 6．D[根据题意可作出符合条件的图形，如解图．(第6题解)由轴对称性可知四边形ABEB ′是正方形，∴∠AEB ＝45°，∴∠AEA ′＝180°－45°＝135°．再由轴对称性知∠AEF ＝∠A ′EF ＝12×135°＝67．5°，最后由平行线的性质知∠AFE ＝∠A ′EF ＝67．5°．]7．(4，23) 8．240 9．12 10．1000[设长方体的高为x (cm)，据题图①可得其宽为(15－x ) cm ．根据题意，得15－x ＝2x ，解得x ＝5，故长方体的高为5 cm ，宽为10 cm ，长为20 cm ，则长方体的体积为5×10×20＝1000(cm 3)．] 11．5[观察图象知道点数3和点数4相对，点数2和点数5相对，且4次一循环，∵2015÷4＝503……3，∴滚动2015次后与第三次相同，朝上一面的点数为2，∴朝下一面的点数为5．] 12．作法：以D 为顶点，DC 为边作∠FDC ＝∠ABC ，再作出DB 的垂直平分线，交直线FD 于点E ．则点E 即为所求，画图略． 13．(1)略 (2)43． 14．(1)∵点A (4，0)，∴OA ＝4．∵△ABC 为等边三角形，∴OA 边上的高为23，∴点B 的坐标为(2，－2 3)．设直线BD 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧2k ＋b ＝－23，10k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34，b ＝－532.∴直线BD 的函数表达式为y ＝34x －532． (2)∵以AB 长为半径的⊙B 与y 轴相切于点C ，∴BC 与y 轴垂直．∵△ABC 是等边三角形，点A (4，0)，∴BC ＝8，OC ＝43，∴点B 的坐标为(8，－43)． 15．(1)∵O ′C ⊥OA 于点C ，OA ＝OB ＝24 cm ，∴sin ∠CAO ′＝O ′C O ′A ＝O ′C OA ＝1224＝12，∴∠CAO ′＝30°．(第15题解)(2)如解图，过点B 作BD ⊥AO ，交AO 的延长线于点D ．∵∠AOB ＝120°，∴∠BOD ＝60°．∵sin ∠BOD ＝BD OB ，∴BD ＝OB ·sin ∠BOD ＝24×32＝123．∵O ′C ⊥OA ，∠CAO ′＝30°，∴∠AO ′C ＝60°．∵∠AO ′B ′＝120°，∴∠AO ′B ′＋∠AO ′C ＝180°，∴O ′B ′＋O ′C －BD ＝24＋12－123＝36－123，∴显示屏的顶部B ′比原来升高了(36－123) cm ． (3)显示屏O ′B ′应绕点O ′沿顺时针方向旋转30°．理由如下：如解图，电脑显示屏O ′B ′绕点O ′沿顺时针方向旋转α度至O ′E 处，过点O ′作O ′F ∥OA ，则∠FO ′A ＝∠CAO ′＝30°．∵电脑显示屏O ′B ′与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO ′F ＝120°．∵∠AO ′B ′＝120°，∴∠EO ′B ′＝∠FO ′A ＝30°，即α＝30．∴显示屏O ′B ′应绕点O ′沿顺时针方向旋转30°．。
初三数学相似三角形的综合应用浙江试题
初三数学相似三角形的综合应用一. 本周教学内容：相似三角形的综合应用二. 重点、难点：合理应用相似三角形断定和性质求解综合应用题三. 知识回忆1. 复习相似三角形常用的五种断定2. 复习相似三角形的性质例1. Rt ΔABC 中，CD 为斜边AB 上的高，AB=334CD 求∠A 、∠B 的度数 解：∵CD 为Rt ΔABC 斜边AB 上的高∴由射影定理，CD 2=AD ·DB又DB=AB-AD 且AB=334CD ∴CD 2=AD 〔AB-AD 〕=AD 〔334CD-AD 〕 ∴AD 2-334CD ·AD+ CD 2=0 解关于AD 的方程，得33CD AD 或者3 ∴∠A=60º或者30º，∠B=30º或者60º例2. 如图，Rt ΔABC 中∠BAC=Rt ∠，AD ⊥BC 于D ，AE 为角平分线，ΔABE 与ΔAED 的面积分别记为S 1=30，S 2=6，求ΔABC 的面积S分析：显然S=S ΔABE+S ΔAED+SΔADC=S 1+ S 2+ S ΔADC=36+ S ΔADC ∴如何求得S ΔADC 为此题求解的关键 不妨设S ΔADC=x∵ΔADC ∽ΔBDA ∴〔AB AC 〕2=306+x =36x∴只需从题设条件推出另一个关于X 的ABAC的比值即可 解：∵CA ⊥AB ，AD ⊥CB ∴ΔADC ∽ΔBDA ∴〔AB AC 〕2=306+x =36x又由内角平分线性质定理ABACEB CE =且306+=x EB CE ∴=AB AC 306+x ∴〔306+x 〕2=36x 解方程，得x=4或者9 ∴S=36+x=40或者45例3. 如图，Rt ∆ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ，求证：FG 2=CF •BF解析：欲证式即FGCFBF FG =由“三点定形〞，ΔBFG 与ΔCFG 会相似吗？显然不可能。
【2021浙江中考数学】方程在几何中的应用含答案
方程在几何中的应用利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导角度关系．例1如图S2－1，∠1＝75°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A的度数为_ __．(图S2－1)例2如图S2－2，在△ABC中，AC＝BC＝AD，EB＝EA，DB＝DE，则∠C＝__．(1)推导角度关系时，常常利用等腰三角形____的性质，也可利用三角形的外角等于____的性质．1．如图S2－3，在△ABC中，AB＝AC，点P，Q分别在AC，AB上，且AP＝PQ＝QC ＝BC，则∠A＝__．(图S2－3)2．如图S2－4，在△ABC中，AB＝BC＝CD，AD＝AE，DE＝BE，则∠C的度数为___．(图S2－4)在折叠问题中利用勾股定理构造方程．例3如图S2－5，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，若AB＝8，BC＝10，则EC的长为____．(图S2－5)例4直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图S2－6折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则DE的长为____．(图S2－6)(2)解决折叠问题时，我们往往将边的数量关系集中在一个__三角形，再利用___构造方程．3．如图S2－7，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A 与BC的中点D重合，折痕为MN，则BN＝____．(图S2－7)4．如图S2－8，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为边AD上一点，将△ABP沿BP 翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD，则AP＝____．(图S2－8)图形中若有直角三角形，利用勾股定理构造方程，是求线段长度的常用方法．例5如图S2－9，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于点D，则AD＝____．(图S2－9)例6如图S2－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AC上，CE⊥BD于点E，若AD＝5，CE＝12，则AB＝__．(图S2－10) (图DS2－1)(3)若两个直角三角形有公共边，则利用___可以将这两个三角形的其他边建立关系．5．将两张大小相同的纸片，每张都被分成7个大小相同的矩形，放置方式如图S2－11，重合的顶点记作A，顶点C在另一张纸的分隔线上，若BC＝28，则AB的长为_．6．如图S2－12，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，若CE＝35，且∠ECF＝45°，则CF的长为__210__．(图S2－12) (图DS2－2)寻找相似三角形，利用比例线段构造方程．例7在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图S2－13放置，则矩形ABCD的面积为___．例8如图S2－14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4.点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB，交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为___．(图S2－14)(4)条件中既有平行线，又有角平分线，则一定出现_ _．7．如图S2－15，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝4，连结AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为___．(图S2－15)8．如图S2－16，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF与AD相交于点E，与BC的延长线相交于点F，那么AF＝____．(图S2－16)在以圆为背景的问题中寻找方程．例9如图S2－17，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且BE＝EF，若EF与以CD为直径的圆恰好相切，求AE的长．(图S2－17) (图DS2－3)例10如图S2－18，已知半圆O的直径AB为12，OP＝1，C为半圆上一点，连结CP.将CP沿着射线AB方向平移至DE，若DE恰好与⊙O相切于点D，求平移的距离．(图S2－18)(图DS2－4)(5)利用____三角形或____三角形的性质构造方程是解决含圆问题的常见方法．9．如图S2－19，⊙O 是等腰直角三角形△ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上的一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，求AE 的长．(图S2－19)10．如图S2－20，在⊙O 中，弦BC ，DE 交于点P ，延长BD ，EC 交于点A ，BC ＝10，BP ＝2CP ，若BD AD ＝23，求DP 的长．1．若等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为15和27的两部分，则这个等腰三角形的底边长是( A )A ．6B ．22C ．6或22D ．10或182．如图ZS2－1，点B ，C 在∠DAE 的边上，AB ＝BC ，CB ＝CD ，∠EBD ＝75°，则∠A的度数是()(图ZS2－1)A．30°B．40°C．45°D．50°3．如图ZS2－2，在直角三角形ABC中，∠C是直角，G为AB上一点，过点G分别作AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，若四边形EGFC是正方形，AE＝4，FB＝9，则正方形EGFC的边长是________．(图ZS2－2)4．如图ZS2－3，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为____．(图ZS2－3)5．如图ZS2－4，在Rt△ABC中，在∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD的长为____.(图ZS2－4)6．如图ZS2－5，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为___．(图ZS2－5)7．将三角形纸片ABC按如图ZS2－6的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长是____．(图ZS2－6)8．如图ZS2－7，∠CAB＝90°，AB＝BD＝4，CB⊥BD交AD于点E，BE＝1，则AC＝____．(图ZS2－7)9．如图ZS2－8是由9个等边三角形拼成的六边形，若中间的小等边三角形的边长是1，则六边形的周长是___．(图ZS2－8)10．某杂志的徽标是我国古代“弦图”的变形(如图ZS2－9)，该图可由Rt△ABC绕点O同向连续旋转三次(每次旋转90°)而得，有“数学风车”的动感．假设中间小正方形的面积为1，整个徽标(含中间小正方形)的面积为92，AD＝2，则徽标的外围周长为____．(图ZS2－9)11．如图ZS2－10，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于点O，则AB＝__．(图ZS2－10)12．如图ZS2－11，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，将△ABE沿着BE 翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF，DC相交于点G，若DG＝16，BC＝24，则FH＝____．(图ZS2－11) (图DT2－2)13．如图ZS2－12，在△ABC中，D，E两点分别在边BC，AB上，DE∥AC，过点E 作EF∥DC交∠ACB的平分线于点F，连结DF，若∠EDF＝∠B，且BC＝4，BD＝1，则EF的长是___．(图ZS2－12) (图DT2－3)14．如图ZS2－13，在在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别在BC，AC上，且AE＝CD，AD，BE相交于点P，连结PC，若∠CPD＝∠PBD，求BD的长．(图ZS2－13)15．如图ZS2－14，已知⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，延长BO交AC于点D，连结OA，OC，若AD2＝AB·DC，求OD的长．(图ZS2－14)答案专题提升(二)方程在几何中的应用利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导角度关系．例1如图S2－1，∠1＝75°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A的度数为__15°__．(图S2－1)例2如图S2－2，在△ABC中，AC＝BC＝AD，EB＝EA，DB＝DE，则∠C＝__72°__．(图S2－2)【解析】设∠BAD＝∠ABE＝x，则∠EBD＝∠BED＝2x，∠BAC＝∠ABC＝3x，∠C ＝∠ADC＝4x.在△ABC中，3x＋3x＋4x＝180°，解得x＝18°，∴∠C＝72°.(1)推导角度关系时，常常利用等腰三角形__等边对等角__的性质，也可利用三角形的外角等于__与它不相邻的两个内角的和__的性质．1．如图S2－3，在△ABC中，AB＝AC，点P，Q分别在AC，AB上，且AP＝PQ＝QC＝BC ，则∠A ＝__⎝⎛⎭⎫1807°__．(图S2－3)2．如图S2－4，在△ABC 中，AB ＝BC ＝CD ，AD ＝AE ，DE ＝BE ，则∠C 的度数为__36°__．(图S2－4)【解析】 设∠EDB ＝∠EBD ＝x ，则∠ADE ＝∠AED ＝2x ，∠C ＝∠A ＝180°－4x ，∠CDB ＝∠CBD ＝2x .∵∠ADC ＝2x ＋x ＋2x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠C ＝36°.在折叠问题中利用勾股定理构造方程．例3 如图S2－5，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在边BC 上的点F 处，若AB ＝8，BC ＝10，则EC 的长为__3__．(图S2－5)【解析】由折叠，得AF＝AD＝10，∴BF＝AF2－AB2＝6，∴CF＝4.设EC＝x，则EF＝DE＝8－x.在Rt△CEF中，(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，∴EC＝3.例4直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图S2－6折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则DE的长为__154__．(图S2－6)(2)解决折叠问题时，我们往往将边的数量关系集中在一个__直角__三角形，再利用__勾股定理__构造方程．3．如图S2－7，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A 与BC的中点D重合，折痕为MN，则BN＝__4__．(图S2－7)4．如图S2－8，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为边AD上一点，将△ABP沿BP 翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD，则AP＝__4.8__．(图S2－8)【解析】由已知可得，△ODP≌△OEG，∴OP＝OG，DP＝GE，∴DG＝EP.设AP＝EP＝x，则GE＝DP＝6－x，DG＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.在Rt△BCG中，62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8，∴AP＝4.8.图形中若有直角三角形，利用勾股定理构造方程，是求线段长度的常用方法．例5如图S2－9，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于点D，则AD＝__12__．(图S2－9)【解析】设BD＝x，则DC＝14－x.∵AB2－BD2＝AD2＝AC2－CD2，∴132－x2＝152－(14－x)2，解得x＝5，∴AD＝12.例6如图S2－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AC上，CE⊥BD于点E，若AD＝5，CE＝12，则AB＝__202__．(图S2－10) (图DS2－1)【解析】如图DS2－1，补全正方形AFBC，延长CE交AF于点G.由CG⊥BD，得CD＝AG.∵DE2＝DG2－GE2＝DC2－CE2，∴DG2－AG2＝GE2－CE2，即52＝EG2－122，∴EG＝13.设AG＝CD＝x.在△ACG中，x2＋(5＋x)2＝(12＋13)2，即(x＋20)(x－15)＝0，解得x＝15或x＝－20(舍去)，故AB＝20 2.(3)若两个直角三角形有公共边，则利用__勾股定理__可以将这两个三角形的其他边建立关系．5．将两张大小相同的纸片，每张都被分成7个大小相同的矩形，放置方式如图S2－11，重合的顶点记作A，顶点C在另一张纸的分隔线上，若BC＝28，则AB的长为__72__．(图S2－11)【解析】设小矩形的宽为x，则AB＝AC＝7x，可得BC2－x2＝AC2－(6x)2，即(28)2－x2＝(7x)2－(6x)2，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)，∴AB＝7 2.6．如图S2－12，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，若CE＝35，且∠ECF＝45°，则CF的长为__210__．(图S2－12) (图DS2－2)【解析】如图DS2－2，延长FD至点G，使得DG＝BE，连结CG，EF.可得△BCE≌△DCG，∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，可得△GCF≌△ECF，∴EF＝GF＝DF＋BE.∵BE＝CE2－CB2＝3，∴AE＝3.设DF＝x，则AF＝6－x，EF＝x ＋3.在Rt△AEF中，(x＋3)2＝(6－x)2＋32，解得x＝2，∴CF＝210.寻找相似三角形，利用比例线段构造方程．例7 在矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图S2－13放置，则矩形ABCD 的面积为__965__．(图S2－13)【解析】 由已知可得△ABE ≌△ECF ，△ECF ∽△FDG ， ∴AB ＝CE ，BE ＝CF ，DF CE ＝FG EF ＝12，∴AB ＝2BE .设BE ＝x ，则AB ＝2x .在Rt △ABE 中，x 2＋(2x )2＝42，∴x 2＝165，∴S 矩形ABCD ＝2x ·3x ＝6x 2＝965.例8 如图S2－14，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4.点P 是边AC 上一动点，过点P 作PQ ∥AB ，交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为__1513__．(图S2－14)【解析】 ∵PQ ∥AB ，∴AP BQ ＝AC BC ＝34，易证QB ＝QD ，∴QP ＝2QB .设BQ ＝x ，则AP ＝34x ，QP ＝2x ，QC ＝4－x . ∵PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB ，∴CQ CB ＝PQ AB ，即4－x 4＝2x 5，解得x ＝2013，∴AP ＝1513.(4)条件中既有平行线，又有角平分线，则一定出现__等腰三角形__．7．如图S2－15，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD ＝AB ＝4，连结AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为__3－5__．(图S2－15)【解析】 由已知可得，GE ＝BC ＝AC ＝2，EH ∥AC ，∴AD ＝2 5.易证HA ＝HE .设HG ＝x ，则HA ＝HE ＝2＋x .∵EH ∥AC ，∴△DHG ∽△DAC ，∴DH DA ＝HG AC ，即25－（2＋x ）25＝x 2，解得x ＝3－5， ∴HG ＝3－ 5.8．如图S2－16，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EF 与AD 相交于点E ，与BC 的延长线相交于点F ，那么AF ＝__6__．(图S2－16) 【解析】 ∵AD 平分∠BAC ，∴CD BD ＝AC AB ＝23，∴CD ＝2，BD ＝3.∵EF 垂直平分AD ，∴AF ＝DF ，∴∠ADF ＝∠DAF ，∴∠F AC ＝∠B .∴△F AC ∽△FBA ，∴CF AF ＝AF BF .设AF ＝DF ＝x ，则CF ＝x －2，BF ＝x ＋3，∴x －2x ＝x x ＋3，解得x ＝6，∴AF ＝6.在以圆为背景的问题中寻找方程．例9 如图S2－17，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝8，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且BE ＝EF ，若EF 与以CD 为直径的圆恰好相切，求AE 的长．(图S2－17) (图DS2－3) 解：如图DS2－3，过点E 作EH ⊥BC 于点H .设AE ＝BH ＝x .∵BE ＝EF ，∴HF ＝BH ＝x .由切线长定理得，EM ＝ED ＝8－x ，FM ＝FC ＝8－2x .在Rt △EFH 中，42＋x 2＝(16－3x )2，解得x 1＝6－6，x 2＝6＋6(舍去)，∴AE ＝6－ 6. 例10 如图S2－18，已知半圆O 的直径AB 为12，OP ＝1，C 为半圆上一点，连结CP .将CP 沿着射线AB 方向平移至DE ，若DE 恰好与⊙O 相切于点D ，求平移的距离．(图S2－18) (图DS2－4) 解：如图DS2－4，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连结OD ，则CM ＝MD .由平移得CD ∥PE ，CD ＝PE ，∴∠1＝∠2.∵∠DMO ＝∠ODE ＝90°，∴△DMO ∽△ODE ，∴MD OD ＝OD OE .设CD ＝x ，则MD ＝x 2，OE ＝x ＋1，∴12x 6＝6x ＋1，解得x 1＝8，x 2＝－9(舍去)， ∴平移的距离为8.(5)利用__直角__三角形或__相似__三角形的性质构造方程是解决含圆问题的常见方法．9．如图S2－19，⊙O 是等腰直角三角形△ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上的一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，求AE 的长．(图S2－19)解：设AE ＝x ，则CE ＝4－x .∵△ADE ∽△BCE ，∴AE BE ＝AD BC ＝15， ∴BE ＝5x .在Rt △BCE 中，(4－x )2＋42＝(5x )2，解得x 1＝1，x 2＝－43(舍去)，∴AE ＝1.10．如图S2－20，在⊙O 中，弦BC ，DE 交于点P ，延长BD ，EC 交于点A ，BC ＝10，BP ＝2CP ，若BD AD ＝23，求DP 的长．(图S2－20) (图DS2－5) 解：如图DS2－5，过点C 作CH ∥DE 交AB 于点H .设DP ＝2x .∵DP CH ＝BD BH ＝BP BC ＝23，∴CH ＝3x ，AD ＝BH ，∴BD ＝AH .∵HC DE ＝AH AD ＝23，∴DE ＝92x ，∴PE ＝52x . ∵△BPD ∽△EPC ，∴PB PE ＝PD PC ，解得x 1＝2103，x 2＝－2103(舍去)， ∴PD ＝4103.1．若等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为15和27的两部分，则这个等腰三角形的底边长是( A )A ．6B ．22C ．6或22D ．10或182．如图ZS2－1，点B ，C 在∠DAE 的边上，AB ＝BC ，CB ＝CD ，∠EBD ＝75°，则∠A 的度数是( B )(图ZS2－1)A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°3．如图ZS2－2，在直角三角形ABC 中，∠C 是直角，G 为AB 上一点，过点G 分别作AC ，BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，若四边形EGFC 是正方形，AE ＝4，FB ＝9，则正方形EGFC 的边长是__6______．(图ZS2－2)4．如图ZS2－3，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12，过A ，D 两点的⊙O 与BC 边相切于点E ，则⊙O 的半径为__254__．(图ZS2－3)5．如图ZS2－4，在Rt △ABC 中，在∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，则AD 的长为__85__.(图ZS2－4)6．如图ZS2－5，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D ′处，则重叠部分△AFC 的面积为__10__．(图ZS2－5)7．将三角形纸片ABC 按如图ZS2－6的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF .已知AB ＝AC ＝6，BC ＝8，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长是__4或247__．(图ZS2－6)8．如图ZS2－7，∠CAB ＝90°，AB ＝BD ＝4，CB ⊥BD 交AD 于点E ，BE ＝1，则AC ＝__152__．(图ZS2－7)【解析】 ∵AB ＝BD ，∴∠BAE ＝∠D ，∴∠CEA ＝∠DEB ＝90°－∠D ＝90°－∠BAE ＝∠CAE ，∴AC ＝EC .设AC ＝EC ＝x ，则BC ＝x ＋1.在Rt △ABC 中，x 2＋42＝(x ＋1)2，解得x ＝152.∴AC ＝152. 9．如图ZS2－8是由9个等边三角形拼成的六边形，若中间的小等边三角形的边长是1，则六边形的周长是__30__．(图ZS2－8)【解析】 如图DT2－1，设第二小的等边三角形的边长为x ，则其他等边三角形的边长分别为x ＋1，x ＋2，x ＋3，由图形，得x ＋3＝2x ，解得x ＝3，∴六边形的周长为7x ＋9＝30.(图DT2－1)10．某杂志的徽标是我国古代“弦图”的变形(如图ZS2－9)，该图可由Rt △ABC 绕点O 同向连续旋转三次(每次旋转90°)而得，有“数学风车”的动感．假设中间小正方形的面积为1，整个徽标(含中间小正方形)的面积为92，AD ＝2，则徽标的外围周长为__48__．(图ZS2－9)【解析】 设BC ＝x ，则AC ＝x ＋3.由题意，得12x (x ＋3)×4＋1＝92，∴2x 2＋6x ＝91，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝2x 2＋6x ＋9＝100＝10，∴徽标的外围周长为(10＋2)×4＝48.11．如图ZS2－10，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，若AC ，BC 边上的中线BE ，AD 垂直相交于点O ，则AB ＝__25__．(图ZS2－10)【解析】 由题意可得，点O 为△ABC 的重心，AE ＝12AC ＝3，BD ＝12BC ＝4.设OD ＝x ，OE ＝y ，则AO ＝2x ，BO ＝2y .在Rt △BOD 中，x 2＋4y 2＝42.在Rt △AOE 中，4x 2＋y 2＝32，∴5x 2＋5y 2＝25，∴x 2＋y 2＝5.在Rt △AOB 中，AB 2＝（2x ）2＋（2y ）2＝2 5.12．如图ZS2－11，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，连结BE ，将△ABE 沿着BE 翻折得到△FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF ，DC 相交于点G ，若DG ＝16，BC ＝24，则FH ＝__218__．(图ZS2－11) (图DT2－2) 【解析】 如图DT2－2，连结GE .由题意可得，DE ＝AE ＝FE ，∴Rt △EFG ≌Rt △EDG (HL)，∴FG ＝DG ＝16.设DC ＝AB ＝BF ＝x ，则CG ＝16－x ，BG ＝x ＋16.在Rt △BCG 中，(x ＋16)2＝(16－x )2＋242，解得x ＝9，∴CG ＝7.∵∠BFH ＝∠BCG＝90°，∴△BFH ∽△BCG ，∴BF BC ＝FH CG ，∴FH ＝218.13．如图ZS2－12，在△ABC 中，D ，E 两点分别在边BC ，AB 上，DE ∥AC ，过点E 作EF ∥DC 交∠ACB 的平分线于点F ，连结DF ，若∠EDF ＝∠B ，且BC ＝4，BD ＝1，则EF 的长是__7－132__．(图ZS2－12) (图DT2－3) 【解析】 如图DT2－3，延长EF 交AC 于点M .设EF ＝x .∵EF ∥DC ，∴∠BDE ＝∠FED .又∵∠EDF ＝∠B ，∴△EDF ∽△DBE ，∴ED 2＝BD ·EF ，∴ED ＝x .由题意可得，四边形EMCD 是平行四边形，MF ＝MC ，∴FM ＝ED ＝x ，EM ＝CD ＝3，∴x ＋x ＝3，解得x 1＝7－132，x 2＝7＋132(舍去)，∴EF ＝7－132.14．如图ZS2－13，在在边长为2的等边三角形ABC 中，D ，E 分别在BC ，AC 上，且AE ＝CD ，AD ，BE 相交于点P ，连结PC ，若∠CPD ＝∠PBD ，求BD 的长．(图ZS2－13)解：设∠CPD ＝∠PBD ＝x ，BD ＝m .由题意可得，△BAE ≌△ACD ，∴∠DAC ＝∠ABE ＝60°－x ，AE ＝CD ＝2－m ，∴∠BAD ＝x ，∠CEP ＝120°－x ，CE ＝m .∴∠BPD ＝∠ABE ＋∠BAD ＝60°，∴∠CPE ＝120°－x ，∴∠CEP ＝∠CPE ，∴CP ＝CE ＝m ，∵∠CPD ＝∠PBC ，∴△CPD ∽△CBP ， ∴CD CP ＝CP CB ，即2－m m ＝m 2，解得m 1＝5－1，m 2＝－5－1(舍去)，∴BD ＝5－1.15．如图ZS2－14，已知⊙O 的半径为1，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，延长BO 交AC 于点D ，连结OA ，OC ，若AD 2＝AB ·DC ，求OD 的长．(图ZS2－14)解：设OD ＝x ，则BD ＝1＋x .由题意可得△BOA ≌△AOC ，∴∠CAO ＝∠OBA ，∴△ADO ∽△BDA ，∴AD BD ＝OD AD ＝AO AB ，即AD 1＋x＝x AD ＝1AB ， ∴AD ＝x 2＋x ，AB ＝x 2＋x x . ∵DC ＝AC －AD ＝AB －AD ，AB ·DC ＝AD 2，∴x 2＋x x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x x －x 2＋x＝x 2＋x ， 整理得x 2＋x －1＝0，解得x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52(舍去)， ∴OD ＝5－12.。
中考数学总复习 考点跟踪训练47 几何应用性问题(无答案)(2021学年)
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考点跟踪训练４7 几何应用性问题A组基础过关练一、选择题1。
（２0１4黄石)如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠２的度数是（)A. 30°B. 60°C。
9０°Ｄ. 120°2．(201４扬州)如图,已知正方形的边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（)A. 0.1 Ｂ。
０.2Ｃ。
0。
3 D。
0.４３. (２01４荆州)如图,已知圆柱底面的周长为4ｄm,圆柱高为2ｄm，在圆柱的侧面上，过点Ａ和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( )Ａ. 4错误!dm B. 2错误!dmC。
2错误!dm Ｄ。
４错误!dm４。
(２014南通）如图，一个半径为ｒ的圆形纸片在边长为a(a≥２错误!ｒ)的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分"的面积是( )A。
错误!ｒ2B。
错误!r2C. （3错误!-π）ｒ2D. πr2二、填空题5．(2013宿迁）如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O,分别取OＡ、OB的中点Ｃ、D,量得ＣD=２０ｍ,则Ａ、Ｂ之间的距离是_＿______m。
6. （201３泰安)如图，某海监船向正西方向航行,在Ａ处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向,海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东4５°方向,又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东6０°方向，若海监船的速度为5０海里／小时,则A、B之间的距离为__＿＿＿＿＿_海里(取错误!≈1.7 ,结果精确到0。
初三数学应用性题浙江版
初三数学应用性题某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：数学应用性题通过数学的学习，应该能够解决一些具有实际意义的数学问题，鉴于此，数学的应用性题是中考数学的一个热点。
数学应用性题涉及的知识较多且表现出题的综合性，主要涉及到的知识是数与式，方程与函数，不等式以及基础的几何知识，近年来也常常涉及到概率统计的知识，而这些知识的综合应用常常是通过数学上建模来实现的。
数学应用性题的求解结果，应该综合题目反映的客观实际，并舍去与之相悖的解答。
【典型例题】例 1. 一种五年即可成材的树木在成长期间的年生长率为18%，以后每年的生长率减为10%。
当树木成材后既可砍树售材，也可继续让其生长，若只计10年的情况，问：哪种处理树木的方案可得到更多的木材量？为什么？解：第一种方案实际上是种植了两个5年，若设这两种方案的木材获得量分别为M 、N ，且小树苗的得材量为Q 。
则()5%181Q 2M +=。
()()5++=%101%181Q N 5 ∴()()551.12%181Q N M -+=-∵Q ()0%1815>+，01.125>-，∴N M >。
说明：第一种方案的得材量更多一些。
例2. 某村果农今年收获枇杷20吨，桃子12吨，现计划租用甲、乙两种货车共8辆运输到外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨①果农有几种方案，使安排甲、乙货车一次性将水果运输到外地销售？②若甲、乙货车每辆要付运输费300元和240元，问：果农选择哪种运输方案才使得运费最少？最少的运费是多少元？解析：若设安排甲种货车x 辆。
则由题意得()20x 82x 4≥-+且()12x 82x ≥-+解得4x 2≤≤，又x 为整数∴2x =，3，4。
计算：当甲、乙两种车的运费分别为辆元/300和240元/辆时，总运费最少的是方案①，即安排2辆甲种车，6辆乙种车此时的运费是2040元。
此题是建立不等式（组）模型并求解的数学应用题。
2020年浙江省台州市中考数学提升训练试卷B卷附解析
2020年浙江省台州市中考数学提升训练试卷B 卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．小帆走路时发现自己的影子越来越长，这是因为（ ）A ．走到路灯下，离路灯越来越近B ．从路灯下走开，离路灯越来越远C ．路灯的灯光越来越亮D ．人与路灯的距离与影子的长短无关如果用□表示1个立方体，用 •用■表示三个立方体叠加，那么下图由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）B D3．若反比例函数的图象x k y =经过点（－3，4），则此函数图象必定不经过点（ ） A ．（3，－4）B ．（4，－3）C ．（－4，3）D ．（－3，－4） 4．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为 .（ ） 5．为了了解本校初三年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试1分钟仰卧起坐的次数，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图．那么仰卧起坐次数在25～30次的频率是（ ）Ａ．0.4 Ｂ．0.3 Ｃ．0.2 Ｄ．0.16．下列定理中无逆定理的是（ ）A ．平行四边形的两组对边分别相等B ．平行四边形的两组对角分别相等C ．三角形的中位线平行于第三边D ．四边形的内角和为360°7．下列关于菱形的对角线的说法中错误．．的是（ ） A ．互相平分 B ．互相垂直 C ．相等 D ．每一条对角线平分一组对角8．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．510x -=B ．71y x +=C ．2232x y -=D ．2310m m -+=9．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时，上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是（ ）A ．37．2分钟B ．48分钟C ．30分钟D ．33分钟10．若使分式2x x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x ≠- C ．2x >- D ．2x <11．已知：关于y x ,的方程组y x ，a y x a y x -⎩⎨⎧-=++-=+则3242的值为 （ ） A ．－1 B ．1-a C ．0 D ．1二、填空题12．如图，地面A 处有一支燃烧的蜡烛（长度不计），一个人在A 与墙BC 之间运动，则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而 (填“变大”、“变小”或“不变”）．13．如图，过点P 画⊙O 的切线PQ ，Q 为切点，过P ﹑O 两点的直线交⊙O 于A ﹑B 两点，且2sin ,12,5P AB ∠==则OP=__________． 14．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=，AD AB =．点E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与CE 相交于P ，则DPE ∠=． 15．已知平行四边形的面积是144cm 2，相邻两边上的高分别为8cm 和9cm ，则这个平行四边形的周长为 ． 16．已知一次函数y=kx-k+4的图象与y 轴的交点坐标是(0，-2)，那么这个一次函数的表达式是 ．17．已知不等式组⎩⎨⎧--++112m x n m x ＜＞的解集为－1＜x ＜2，则(m ＋n)2008＝_______________．18．某市房产开发公司向中国建设银行贷年利率分别为 6% 和 8% 的甲、乙两种款共 500万元，一年后利息共 34 万元. 求两种贷款的数额各是多少？设甲、乙两种贷款分别为x 万元，y 万元，根据题意可得方程组： ．解答题19．某班举行“环保知识”竞赛，共 25 题，规定做对一题得 4 分，做错或不做，每题扣1 分，若一位同学答对了 23 题，则他能得 分.20．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为元时，获得的利润最多.21．如图，校园内有一块梯形草坪ABCD，草坪边缘本有道路通过甲、乙、丙路口，可是有少数同学为了走捷径，在草坪内走了一条直“路”EF，假设走1步路的跨度为0.5米，结果他们仅仅为了少走________步路，就踩伤了绿化我们校园的小草（“路”宽忽略不计）．三、解答题22．补全图 1中实物的三视图.23．若函数比例函数23y m x--=-是关于x的反比例函数．(2)m m(1）求 m 的值并写出其函数解析式；(2）求当3y=时，x 的值．24．在□ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于E，F，AE，BF相交于点M.(1) AE⊥BF；(2)求证：DF=CE.25．李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘，在它的四个角上均有一棵大柳树．李大伯准备开挖池塘，使池塘面积扩大一倍，又想保持柳树不动．如果要求新池塘成平行四边形的形状，请问李大伯的愿望能否实现?若能，请画出你的设计；若不能，请说明理由．26．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.(1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；(2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；(3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴.27．如图，AB⊥BC 于B，∠1=55°，∠2= 35°，直线a、b平行吗？请说明理由．28．某商场共有若干名售货员，某周五商场抽调 5 名售货员去整理仓库，这天的营业额为 120 万元；周六是双休日的第一天，商场估计顾客较多，所以从其他部门抽调了 6名职工充当售货员，这一天的营业额为 180万元. 经过统计发现，这两天中每人每天的平均营业额刚好相等. 该商场共有售货员多少人？29．A，B是平面上的两个固定点，它们之间的距离为5 cm，请你在平面上找一点C(1)要使点C到A，B两点的距离之和等于5 cm ，则C点在什么位置?(2)要使点C到A，B两点的距离之和大于5 cm ，则点C在什么位置?(3)能使点C到A，B两点的距离之和小于5 cm吗?为什么?30．计算：(1) (+56) +（-23) +(-56) +(-68)；(2)(-43)+[(-16)+（+25)+(-47)]；(3)2132 ()()()(1) 3443 -+-+-+-【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．B3．D4．45．A6．C7．C8．D9．A10．A11．D二、填空题12．变小13．1514．120°15．68cm16．y=6x-217．118．5006%8%34x y x y +=⎧⎨+=⎩19． 9020．7021．4三、解答题22．23．（1）由22031m m m -≠⎧⎨--=-⎩，得m=-1，∴3y x-=； (2）当3y =33x ==- 24．(1)略 (2)提示：DE=AD=BC=CF25．能．图略26．（1）A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1)(2）A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1)(3）△A1B1C1与△A2B2C2关于直线3=x轴对称.a∥b28．27 人29．(1)点C(为5 cm) 30．(1) -91 (2) -81 (3)1 33 -。
2022年浙江省台州市中考数学提升训练试卷B卷附解析
2022年浙江省台州市中考数学提升训练试卷B 卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图所示的的几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在ABC △中，90C AC BC ∠=，，的长分别是方程27120x x -+=的两个根，ABC△内一点P 到三边的距离都相等．则PC 为（ ）A ．1B 2C ．322D ．223．圆锥的底面直径是8，母线长为12，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）A ． 60°B ． 120°C ． 150°D ． 180° 4．圆的半径为13cm ，两弦AB CD ∥，24cm AB =，10cm CD =，则两弦AB CD ，的距离是（ ）A ．7cmB ．17cmC ．12cmD ．7cm 或17cm5．4的结果的是（ ） A ．-2 B ．2 C ．2±D ．16 6．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，先应当假设这个三角形中（ ）A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60°7．以下命题的逆命题为真命题的是（ ）A ．三个角相等的三角形是等边三角形B ．关于某点成中心对称的两个图形全等C ．三角形的中位线平行于第三边D ．全等三角形的对应角相等8．如图，水平放置的甲、乙两区域分别由若干大小完全相同的黑色、白色正三角形组成，小明随意向甲、乙两个区域各抛一个小球，P （甲）表示小球停在甲中黑色三角形上的概率，P （乙）表示小球停在乙中黑色三角形上的概率，下列说法中正确的是（ ）A ．P （甲）>P （乙）B ． P （甲）= P （乙）C ． P （甲）< P （乙）D ． P （甲）与P （乙）的大小关系无法确定9． 利用因式分解计算2009200822-，则结果是（ ） A ．2 B ．1 C ．20082 D ．-110．如图，四边形EFGH 是四边形ABCD 平移后得到的，则下列结论中正确的个数是（ ） ①平移的距离是线段AE 的长度；②平移的方向是点C 到点F ；③线段CF 与线段DG 是对应边；④平移的距离是线段DG 的长度．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）A ．对应点连线与对称轴垂直B ．对应点连线被对称轴平分C ．对应点连线被对称轴垂直平分D ．对应点连线互相平行二、填空题12．直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点0到直线l 的距离为 3，则 r 的取值范围是 ．13．如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，⊙O 1和⊙02分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则O 1O 2=__________.14． 在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是 米．15．已知a 是方程210x x --=的一个根，则代数式3222a a --的值为 .16．如图，用(0，0)表示0点的位置，用(3，2)表示P 点的位置，则可用 表示Q 点的位置．A CB A ' B 'C ' 图2 图117．如果三角形底是（23x -）cm ，高是4 cm ，而面积不大于20 cm 2，那么x 的取值范围是 ． 18．如图，∠1与∠2是两条直线被AC 所截形成的内错角，那么这两条直线为与 ．19．如图所示的五家银行行标中，是轴对称图形的有 (填序号)．20．根据图，完成下列填空：∠BOD=∠B0C+ ；∠AOC= + ；∠AOB= + + ；∠AOD+∠BOC= - ．21．若关于x 的方程39x =与4x k +=有相同的解，则代数式212kk -的值为 .三、解答题22．已知锐角△ABC ，如图，画 内 接 矩 形DEFG ，使 DE 在BC 边上，点G 、F 分别在AB 、AC 边上，DE ：GD=2：1.23．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象相交于 A ．B 两点， (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的取值范围．24．说明多项式22221x mx m +++的值恒大于0.25．如图，如果∠2+ 3 = 180∠，那么a 与b 平行吗？请说明理由.26．化简：(1)24(1)(1)(1)(1)x x x x +-+-+；(2) 6(2)(2)(53)(53)m n n m m n m n -+-+-27．配套的桌椅高度之间存在着一定的数量关系. 现测得两套不同的标准桌椅，相应的高 度为：桌高 75.0 cm ，椅子高 40. 5 cm ；桌高70.2cm ，椅子高37.5 cm ．已知配套的桌高 y(cm)与椅子高 x(cm)之间存在的关系为y ax b =+．现有一套办公 桌椅，椅子高为 44 cm ，办公桌高为 80. 5 cm ．请你判断一下这套办公桌椅是否配套.28．下面第一排表示了各袋中球的情况，请你用第二排的语言来描述摸到红球的可能性大小，并用线连起来.29．根据下列要求，在图中作图.(1)作线段AB和射线CA；(2)作直线BC，过点A 作，MN∥BC；(3)过点A 作AD⊥BC，垂足为点 D．30．计算35(251)(精确到 0.01).【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．B3．B4．Ｄ5．B6．B7．A8．B9．C10．B11．B二、填空题12．3r >13． 65 14．0.515．-316．(9，3)17．31322x <≤18． AB ，CD19．①②③20．∠DOC ；∠AOD ，∠DOC ；∠AOD ，∠DOC ，∠COB ；∠AOB ，∠DOC21．1349-三、解答题22．(1)画矩形 G ′D ′E ′F ′，使 D ′E ′在BC 边上，G ′在 AB 边上，且 D ′E ′：D ′G ′=2：1；(2)连结 BF ′，并延长交 AC 于F ；(3)过F 画 FE ⊥BC 于E ，画 FG ∥BC 交AB 于G ；(4)过G 画 GD ⊥BC 于D ；所作四边形 DEFG 就是所求的矩形.23．（1）由题意得，m=2×3=6．∴6yx=，∴当 x=-1 时，n=-6．∴23|6k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，∴24kb=⎧⎨=-⎩，∴24y x=-(2)当 x<—1 或 0<x<3 时，一次函数的值大于反比例函数的值24．原式=22()110x m m+++≥>25．平行．理由：∵∠2+∠3=180°，∠2=∠4，∴∠4+∠3=180°，∴a∥b．26．（1）-2；(2)223n m-27．配套28．略29．如图，(1)线段AB和射线CA 即为所求；(2)直线BC和直线MN即为所求；(3)AD即为所30．3.24。
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几何应用型问题一、选择题1. 如图，为了估计池塘岸边A，B两点之间的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15 m，OB＝10 m，则点A，B间的距离不可能是( )A. 5 mB. 10 mC. 15 mD. 20 m,(第1题)) ,(第2题))2. 如图，在体育课上，小丽的铅球成绩为6.4 m，她投出的铅球落在( )A. 区域①B. 区域②C. 区域③D. 区域④3. (2015·四川绵阳)如图，要在宽为22 m的九州大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2 m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直．当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应设计为( )A. ()113－22m11－22m B. ()C. ()113－4m11－23m D. (),(第3题)) ,(第4题))4. (2015·浙江宁波)如图，小明家的住房平面图呈矩形，被分割成3个正方形和2个矩形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图矩形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题5. 如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的某运动员把球从点N击到了对方区域内的点B 处(路线近似看作一条线段)．已知网高OA＝1.52 m，OB＝4 m，OM＝5 m，则该运动员起跳后的击球点N离地面的距离MN＝________m.,(第5题)) ,(第6题))6. 如图，在长为14 m，宽为10 m的矩形展厅内，要划出三个形状、大小完全一样的小矩形摆放水仙花，则每个小矩形的周长为________m.7. 如图，有一张直径是2m的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：(1)AB的长为________m.(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________m.,(第7题)) ,(第8题))8. 陈老师要为他家的矩形餐厅(如图)选择一张餐桌，并且想按如下要求摆放：餐桌一侧靠墙，靠墙对面的桌边留出宽度不小于80 cm的通道，另两边各留出宽度不小于60 cm的通道．那么在下面四张餐桌中，其大小规格符合要求的餐桌是________(填序号)．9. (2015·浙江绍兴)实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1∶2∶1，用两个相同的管子在容器的5 cm高度处连通(即管子底离容器底5 cm)，现三个容器中，只有甲中有水，水位高1 cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1 min，乙的水位上升56cm，则开始注入________min的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.,(第9题)) ,(第10题))10. 一走廊拐角的横截面如图所示，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m ，EF ︵所在圆的圆心为O ，半径为1 m ，且∠EOF ＝90°，DE ，FG 分别与⊙O 相切于E ，F两点．若水平放置的木棒MN 的两个端点M ，N 分别在AB 和BC 上，且MN 与⊙O 相切于点P ，P 是EF ︵的中点，则木棒MN 的长度为________m.三、解答题11. (2015·河南)如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30°，朝大树方向下坡走6 m 到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°.若坡角∠FAE ＝30°，求大树的高度(结果精确到1 m ，参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73)．(第11题)12. 一个透明的敞口正方体容器ABCD －A ′B ′C ′D ′里装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE ＝α，如图①所示)．探究：如图①，液面刚好过棱CD ，并与棱BB ′ 交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示．解决问题：(第12题)(1)CQ 与BE 的位置关系是________，BQ 的长是________dm.(2)求液体的体积(参考算法：直棱柱体积V 液＝底面积S △BCQ ×高AB )．(3)求α的度数⎝⎛⎭⎪⎫注：sin 49°＝cos 41°≈34，tan 37°≈34.拓展：在图①的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图③和图④是其正面示意图．若液面与棱C ′C 或CB 相交于点P ，设PC ＝x ，BQ ＝y ，分别就图③和图④求y 关于x 的函数表达式，并写出相应的α的取值范围．(第12题)延伸：在图④的基础上，于容器底部正中间位置嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图⑤，隔板高NM ＝1 dm ，BM ＝CM ，NM ⊥BC .继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm 3.参考答案 1．A 2．D 3．D[延长OD ，BC 相交于点P ．∵AB ＝22 m ，∴OB ＝11 m ．∵∠ODC ＝90°，∠BCD ＝120°，∠B ＝90°，∴∠BOD ＝60°．∴∠P ＝30°．在Rt △OBP 中，∵∠P ＝30°，OB ＝11 m ，∴BP ＝OB tan P ＝11tan 30°＝113(m)．在Rt △CDP 中，∵∠P ＝30°，CD ＝2 m ，∴CP ＝CD sin P ＝2sin 30°＝4(m)．∴BC ＝BP －CP ＝(113－4)m ．] 4．A[设原住房平面图矩形的周长为2l ，①的长和宽分别为a ，b ，②③的边长分别为c ，d ．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ＋d ，①c ＝b ＋d ，②a ＋b ＋2c ＝l ，③①－②，得a －c ＝c －b ，∴a ＋b＝2c ．将a ＋b ＝2c 代入③，得4c ＝l ，∴2c ＝12l (定值)．将2c ＝12l 代入a ＋b ＝2c ，得a ＋b ＝12l ，∴2(a ＋b )＝l (定值)．而由已列方程组得不到d ，∴分割后不用测量就能知道周长的图形标号为①②．]5．3．42 6．16 7．(1)1 (2)148．①②③④[①80＋60×2＝200<230，80＋80＝160<180，∴符合；②64＋60×2＝184<230，100＋80＝180，∴符合；③45×2＋60×2＝210<230，45×2＋80＝170<180，∴符合；④餐桌长为60＋2×30＝120，120＋80＝200<230，60＋60×2＝180，∴符合．∴①②③④四种规格的餐桌都符合要求．] 9．35或3320或17140[由甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1∶2∶1，得底面面积之比为1∶4∶1．∵注水1 min ，乙的水位上升56cm ．∴注水1 min ，丙的水位上升103cm ．设开始注入t (min)的水量后，甲与乙的水位高度之差是0．5 c m ，甲与乙的水位高度之差是0．5 cm 有三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时，有1－56t ＝0．5，解得t ＝35min ；②当甲的水位低于乙的水位，甲的水位不变时，有56t －1＝0．5，解得t ＝95．∵103×95＝6＞5，∴此时丙容器已向乙容器溢水．∵5÷103＝32(min)，56×32＝54(cm)，即经过32min ，丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升54 cm ，∴54＋2×56⎝ ⎛⎭⎪⎫t －32－1＝0．5，解得t ＝3320；③当甲的水位低于乙的水位，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，∵乙的水位到达管子底部的时间为32＋⎝⎛⎭⎪⎫5－54÷56÷2＝154(min)，∴5－1－2×103⎝ ⎛⎭⎪⎫t －154＝0．5，解得t ＝17140．综上所述，开始注入35，3320，17140min 的水量后，甲与乙的水位高度之差是0．5 cm ．] 10．42－2[连结OB ，延长OF 交BC 于点H ，延长OE 交AB 于点K ．∵DE ，FG 分别与⊙O 相切于E ，F 两点，∴OE ⊥ED ，OF ⊥FG ．∵AB ∥DE ，BC ∥FG ，∴OK ⊥AB ，OH ⊥BC ．又∵∠EOF ＝90°，∴四边形BKOH 是矩形，∵两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m ，⊙O 的半径为1 m ，∴OK ＝OH ＝2，∴矩形BKOH 是正方形，∴∠OBK ＝∠OBH ＝45°．∵P 是EF ︵的中点，∴OB 经过点P ．∵正方形BKOH 的边长为2，∴OB ＝22．∵OP ＝1，∴BP ＝22－1．∵P 是MN 与⊙O 的切点，∴OB ⊥MN ．易证△BPM ≌△BPN (ASA )，∴MP ＝NP ．∴MN ＝2BP ．∵BP ＝22－1，∴MN ＝2×(22－1)＝(42－2)m ．] 11．过点D 作DG ⊥BC 于点G ，DH ⊥CE 于点H ，则四边形DHCG 为矩形，故DG ＝CH ，CG ＝DH ．在Rt △AHD 中，∵∠DAH ＝30°，AD ＝6 m ，∴DH ＝3 m ，AH ＝33≈5．19(m)．∴CG ＝3 m ．设BC ＝x (m)，则BG ＝(x －3)m ．在Rt △ABC 中，∵BC ＝x (m)，∠BAC ＝48°，∴AC ＝x ta n48°≈x 1.11≈0．90x (m)．在Rt △BDG 中，∵BG ＝(x －3)m ，∠BDG ＝30°，∴DG ＝3(x －3)≈(1．73x －5．19)m ．∴1．73x －5．19＝0．90x ＋5．19，解得x ≈13，即大树的高度约为13 m ． 12．探究：(1)CQ ∥BE 3 (2)易知BC ＝4 dm ，BQ ＝3 dm ，AB ＝4 dm ，∴V 液＝12S △BCQ ·AB ＝12×4×3×4＝24(dm 3)． (3)在Rt △BC Q 中，tan ∠BCQ ＝BQ BC ＝34，∴α＝∠BCQ ≈37°． 拓展：当容器逆时针旋转时，0°≤α≤37°．∵液体体积不变，∴12(x ＋y )×4×4＝24，∴y ＝－x ＋3．当容器顺时针旋转时，同理可得12(4－x )y ·4＝24，∴y ＝124－x．当液面恰好到达容器口沿，即点Q 与点B ′重合时，如解图①．由BB ′＝4，且12PB ·BB ′·4＝24，得PB ＝3．∴tan ∠PB ′B ＝34，∴∠PB ′B ≈37°，∴α＝∠B ′PB ＝53°．此时37°≤α≤53°．(第12题解)延伸：当α＝60°时，如解图②所示，设FN ∥EB ，GB ′∥EB ，过点G 作GH ⊥BB ′于点H ．在Rt △B ′GH 中，GH ＝MB ＝2，∠GB ′B ＝30°，∴HB ′＝23，∴MG ＝BH ＝4－23<1＝MN ，此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt △FMN 和直角梯形MBB ′G 为底面的直棱柱．∵S △FMN ＋S 梯形MBB ′G ＝12×1×33＋12×(4－23＋4)×2＝8－1136，∴V 溢出＝24－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1136＝223 3－8≈4．7(dm 3)>4 dm 3，∴溢出的液体能达到4 dm 3．。