高中数学竞赛专题讲座---函数方程与迭代

函数方程与迭代
1.迭代法
先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题： 五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？ 设桃子的总数为x 个．第i 只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为i x 个，则14(1)5
i i x x -=-, 1,2,3,4,5i =.且0x x =．设44()(1)(4)455f x x x =-=+-．于是:14()(4)45
x f x x ==+-, 224(())()(4)45x f f x x ==+-,334((()))()(4)45
x f f f x x ==+-, 444(((())))()(4)45x f f f f x x ==+-,554((((()))))()(4)45
x f f f f f x x ==+-,由于剩下的桃子数都是整数,∴5
5|4x +．∴最小的x 为：5543121x =-=． 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代．
一般地，设:f D D →是一个函数，对x D ∀∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，…，(1)()()(())n n f x f f x +=，n N *∈，则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代，并称n 为()()n f x 的迭代指数．反函数记为()()n f x -．
一些简单函数的n 次迭代如下：
（1）若()f x x c =+，则()()n f x x nc =+； （2）若()f x ax =，则()()n n f x a x =；
（3）若()a f x x =，则()()n n a f x x =； （4）若()1x f x ax =
+，则()()1n x f x nax =+； （5）若()f x ax b =+（1a ≠），则()1()1n
n n
a f x a x
b a -=+-； ()()n f x 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用数学归纳法．
1．求迭代后的函数值
例1 自然数k 的各位数字和的平方记为1()f k ，且11()[()]n n f k f f k -=，求(11)n f （n N *
∈）的值域. 解：由条件可知： Λ;169)652()256()11(;256)961()169()11(;
169)94()49()11(;49)61()16()11(;
164)4()11(;4)11()11(21621521421321221=++===++===+===+======+=f f f f f f f f f f f
所以(11)n f （n N *∈）的值域为{4,16,49,169,256}。

例2 设12()1
f x x =+，而11()[()]n n f x f f x +=，n N *∈．记(2)1(2)2n n n f a f -=+，求99a . 解：∵32)2(1=f ，∴811-=a ,1)2(2)2(1+=-n n f f ,2)2(1)2(2121
)2(211)2(22)2(1)2(1111+-⋅-=++-+=+-----n n n n n n f f f f f f 即121--=n n a a ，故10198992
1)21(81-=--=a 。

例3 求解函数方程：x x x f x f x x f cos )11()1()11(
=-++-++-)1,0(±≠x 解：设11)(+-=x x x g ，则x x g g g g x g ==))))(((()()4(并且x x g g x g 1))(()2(-==，x x x g g g x g -+==11)))((()3(，于是原方程变为：x x g f x g f x g f cos )]([][)]([)3()2(=++, ①
令)(x g x =得：)(cos )()]([)]([)3()2(x g x f x g f x g f =++ ②
令)()2(x g x =得：)(cos )]([)()]([)2()3(x g x g f x f x g f =++
③
令)()3(x g x =得：)(cos )]([))(()()3()2(x g x g f x g f x f =++ ④ 由①②③④得： x x g x g x g x f cos 2)(cos )(cos )(cos )(3)3()2(-++=,∴)cos 211cos 1cos 11(cos 31)(x x
x x x x x f --++++-=. 2．不动点法 一般地，若()f x ax b =+，则把它写成()()11b b f x a x a a =-
+--,因而 ……()()()11n n b b f x a x a a =-+-- 这里的1b a
-就是方程ax b x +=的根．一般地，方程()f x x =的根称为函数()f x 的不动点． 如果0x 是函数()f x 的不动点，则0x 也是()()n f
x 的不动点．可用数学归纳法证明．利用不动点能较
快地求得函数()f x 的n 次迭代式． 3．相似法
若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1()x ϕ-，使得1
()((()))f x g x ϕϕ-=，我们称()f x 通过()x ϕ和()g x 相似，简称()f x 和()g x 相似，其中()x ϕ称为桥函数．
如果()f x 和()g x 相似，即1()((()))f x g x ϕϕ-=，则有：()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=．
4. 函数方程的一般解法
函数方程的变化多，求解技巧性很强，往往涉及不同领域的数学知识，特别是附加了条件的函数，更是五花八门，各有巧妙。

迭代只是其中的一种方法，在高中数学各级竞赛中，都有可能会遇到函数方程的问题，还有可能会用到观察法、代换法、柯西法、赋值法（特殊值法）等几种典型的求解函数的方法。

如： (2)2()(),11b b f x a x a a =-
+--(3)3()()11b b f x a x a a =-+--
1．代换法
例4（2007越南数学奥林匹克）设b 是一个正实数，试求所有函数R R f →:，使得
)3(3)()(1)(1)(y y f b x y f b b b x f y x f y y -+⋅=+-+-+对任意实数x 、y 均成立。

解：将原方程变形为：1)(3))(()(-++⋅+=++y f b x y x y b x f b y x f (x , )R y ∈
① 令x b x f x g +=)()(，则①等价于1)(3)()(-⋅=+y g x g y x g (x , )R y ∈
②
在②中令0=y 得1)0(3)()(-⋅=g x g x g )(R x ∈这表明1)0(0)(==g x g 或
(1) 若0)(=x g )(R x ∈，则x b x f -=)( (2) 若1)0(=g ，在②式中令0=x 得：1)(1)(33)0()(--=⋅=y g y g g y g ,即0)(31)(=--y g y g )(R y ∈ ③ 考虑函数t t h t -=-13)(，它的导函数13ln 3)('1-=-t t h ，则11)(log log 0)('33<+=⇔=e t t h .于是可知0
)(=t h 有两根11=t 和c t =2)10(<<c .于是③式等价于1)(=y g 或c R y ∈(, c 为满足10<<c 的常量）
假设存在R y ∈0使c y g =)(0，则)(3)()()0(101)(0000y g c y g y y g g y g -⋅=⋅=-==-- ∴c c
y g ≠-=-1)(0或1，∴c y g =)(0矛盾，因此1)(=y g )(R y ∈，∴x b x f -=1)( 综上知：x x b x f b x f -=-=1)()(和
说明：代换法是解函数方程最基本方法，很多函数方程中所特有的性质是通过代换法去发现的。

本题也是通过代换法打开了解题的思路。

2．柯西法
例5 设)(x f 为定义在实数集R 上的单调连续函数，试解函数方程)()()(y x f y f x f +=⋅。

解：由)()()(y x f y f x f +=⋅用归纳法得：)()()()(2121n n x x x f x f x f x f ΛΛ++=
当n x x x ===Λ21时，有)()]([nx f x f n =. ①
若1=x ，n x f n f )]([)(=，令a f =)1(，得n a n f =)(,在①式中令n x 1=得：)1()]1([f n
f n = 因)(x f 定义在实数集R 上，n 是偶数时，必有0)1(≥f ，这样0≥a ，∴n a n
f 1)1(= 若m 为正整数，利用上式得：n m
m n m a a n f n n n f n m f n m f ===+++=⋅=)()]1([)111()1()(1Λ.在原方程中，令0=y 有：)()0()(x f f x f =⋅，因)(x f 单调)(x f 不恒为0，∴01)0(a f ==.在原方程中，令x y -= 有n m x y -=-=(n , )N m ∈，则有)0()()(f n m f n m f =⋅-即n m
n m a a n m f n m f --===-1)()(1)((又因为)(n m f -有意义，∴0,a >这样，我们便在有理数集内求得了函数方程)0()(>=a a x f x .
又因)(x f 单调，不能恒为1，则)10()(≠>=a a a x f x 且为指数函数,当α=a 为无理数，设i i b a <<α且a i , b i 为无限接近于α的有理数.则由)(x f 单调知ααa f =)(，∴原方程的解为)10()(≠>=a a a x f x 且
说明：柯西法是由解柯西方程)()()(y f x f y x f +=+而归纳出来的方法。

3．特殊值法
例6 （2008年IMO 第4题）求所有的函数),0(),0(:+∞→+∞f 满足对所有的正实数ω，x , y , z ，yz x =ω都有：2
22
22222)()())(())((z y x z f y f x f f ++=++ωω
解：令1====z y x ω得：1)1()1())1((2=⇒=f f f ,对任意0>t 令t =ω，1=x ，t z y ==得：t t t f t f 21)(21))((22+=+,去分母整理：0))()(1)((=--t t f t tf ，所以对每个0>t 有t t f =)(或者t t f 1)(= ① 若存在b , ),0(+∞∈c ，使得b b f ≠)(，c c f 1)(=，则由①知，b , c 都不等于1。

且b
b f 1)(=，
c c f =)(，令b =ω，c x =，bc z y ==，则bc c b bc f c b 2)(21222
2+=+，所以)
()(2232c b b c b c bc f ++=,又因bc bc f =)(或者bc bc f 1)(=；若bc bc f =)(则1)
(42232=⇒=⇒++=b c c b c b b c b c bc 矛盾 若bc
bc f 1)(=，则1)(12422232=⇒=⇒++=c b c b c b b c b c bc 矛盾 所以x x f =)()),0((1)(),0((+∞∈=+∞∈x x
x f x 或者经检验满足。

4．观察函数特有的性质并利用其解题
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性及所具有的特殊形式，在解题的过程中需要对其进行观察判断并利用其解决问题。

例7（2007日本数学奥林匹克决赛）求定义域为正实数集，值域为实数集的函数f ，满足：
2
)()()(y x f y f x f +≤+，y x y x f y y f x x f ++≥+)()()(，其中x 、y 为任意实数。

解：令t y x ==)0(>t ，∴)2()(4t f t f ≤及)2()(4t f t f ≥，∴)(4)2(t f t f =)0(>t ,重复应用这个等式m 次得：)(2)2(2t f t f m m =，再令x
x f x g )()(=。

下面证明对任意的正整数n 和任意的两实数t ，有)()(t ng nt g =， 显然当m n 2=时，命题成立。

又因为题中第二个不等式等价于)()()(y x g y g x g +≥+，∴对任意的n 、t 有)()()()(t ng t g t g nt g =++≤Λ，若取)(+∈N m m ，满足n m >2，
则：)(2)()2()())2(()()2(t g t g n t ng t n g nt g t g m m m m =-+≤-+≤
另一方面，有)(2)2(t g t g m m =故上式中不等式号均为等号，即)()2()())2(()(t g n t ng t n g nt g m m -+=-+ 因此必有)()(t ng nt g =. ①
再证明：g 为单调不增函数；对于正实数t ，有2
)2()2()(t t f t f t f +≤+, 由于)(4)2(2)2()()(t tg t tg t f t tg t f ==⇒=,)(9)3(3)3(t tg t tg t f ==，则0)()(2
9)(5≤⇒≤t g t tg t tg ,故对于所有的x , y )0(y x <<，有)()()()(y g x y g x g x g ≥-+≥,故g 为单调不增函数. ②
设0)1(≤=a g ，接下来证明：at t g =)()0(>t .
反设对正实数t 有at t g <)(，则存在一个有理数),(+∈N q p q p 满足t q p >及a q
p t g <)(，另一方面：由a q p g q p p g q q p g ===)1()(1)(，有)()(q p g t g <与t q
p >及g 的单调不增矛盾，同理若at t g >)(，也得到矛盾，因此，对于正实数t ，有at t g =)(从而，)0()()(2≤==a ax x xg x f ，对于这样的f ，有
0)(2
2)()()(2≤-=+-+y x a y x f y f x f ，0)()()(=++-+y x y x f y y f x x f 均满足。

∴2)(ax x f =为所求 说明：该题关键是抓住函数具有①②两个特有特征而对此进行解答。

抓住函数特征和性质来求解函数
方程问题，是最常用的方法。

本讲从五个角度来讨论了求解函数方程的方法，在解答函数方程的问题时，这几个方法用的较为平凡，希望大家在平时学习中注意总结与归纳，函数方程问题在国内外各级竞赛中要求都比较高，望引起大家重视。