高中数学竞赛专题讲座---函数方程与迭代
竞赛讲座函数
第一章 函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。
定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。
定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。
定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。
定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。
A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。
集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。
通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x1(x ≠0).定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。
定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义7 函数的性质。
（1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)<f (x 2)(f (x )>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。
函数迭代和函数方程课件
1 2 3
函数方程的基本概念 函数方程是指包含未知函数的方程。例如，$f(x) + f(2x) = 3x$是一个函数方程。
解函数方程的方法 解函数方程的方法包括代换法、迭代法、微分法 等。这些方法可以帮助我们找到满足给定条件的 函数。
函数方程的应用 函数方程在数学、物理、工程等领域有广泛的应 用。例如，在物理学中，牛顿第二定律就是一个 典型的函数方程。
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函数方程的应用场景
数学建模
在解决实际问题时，常常需要 建立数学模型，其中涉及到的 未知数或符号可以通过函数方
程求解。
物理问题
在研究物理现象或规律时，有 时需要通过建立和解决函数方 程来得出结论。
工程问题
在解决工程问题时，常常需要 建立数学模型，其中涉及到的 未知数或符号可以通过函数方 程求解。
经济问题
迭代函数的性质
迭代函数通常具有封闭性、递归性、可计算性和复杂性等性质。这些性质决定了迭代函数 的性质和行为。
迭代函数的收敛性
对于某些迭代函数，当迭代次数趋于无穷时，函数的值会趋于某个固定值，这种性质称为 收敛性。例如，$f(x) = x/2$的迭代序列${f^n(x)}$会收敛到0。
具体函数方程的解析
在数学研究中，迭代函数和函数 方程经常结合使用，以相互补充
和加强。
通过将迭代函数的动态变化过程 与函数方程的等式关系相结合， 可以更全面地研究函数的性质和
行为。
在解决一些复杂的数学问题时， 迭代函数和函数方程的结合应用 可以提供更有效的方法和思路。
04
例解析
具体迭代函数的解析
迭代函数的基本概念
迭代函数是指通过将函数作用于自身而得到的函数。例如，$f(x) = x^2$是一个迭代函数， 因为$f(f(x)) = (x^2)^2 = x^4$。
高一数学竞赛讲座2函数方程与函数迭代
函数方程与函数迭代函数方程问题一直是各国重大竞赛中的热点问题，以IMO 为例，在已进行的四十七届竞赛的试题中，有30多道是函数方程的试题，几乎是每届一题.在我国冬令营与国家集训队的测试题中，函数方程问题也是屡见不鲜的.究其原因，它往往是给出较弱的条件，却要从中得出甚强的结论（一般是要直接求出表达式）.【基础知识】表示某一类（或某一个）函数所具有的一定性质的关系式叫做函数方程（其中()f x 为未知函数）.如果一个函数对其定义域内变量的一切值均满足所给的方程，则称()f x 为这个函数方程的解.寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，就是解函数方程.我们粗略地归纳其典型的解题方法，主要可以分成以下几类： 1.换元法： 2.解方程（组）法 3.待定系数法 4.代值减元法当所给的函数方程中变量不止一个时，和普通方程一样，求解时首先要设法减少变量个数，代值减元就是一种减少变量的方法，它通过适当地对自变量赋于特殊值，从而简化方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.5.柯西法先求出对于自变量取所有正整数的值时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值，有理数值以及取实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到方程的解.这里我们给出一个定理：柯西函数方程的解定理：若()f x 是单调（或连续）函数，且满足()()()f x y f x f y +=+(,),x y R ∈则()(1).f x xf =（我们将此定理的证明放于例题中进行讲解.）6.递归法借助数列对函数方程加以研究的方法.设()f n 是定义在R +上的函数，如果存在递推关系S 和初始条件1(1),f a =当知道(1),(2),,()f f f n 的值后，由S 可以惟一确定(1)f n +的值，我们称()f n 为递归函数.递推法主要解决递归函数问题.7.不动点法一般地，设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，或称00(,)x x 为函数()y f x =图象的不动点.对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后利用数学归纳法证明，往往会使算法简单些.【典例精析】【例1】已知11()(),x xf x f x x--+=求().f x 〖分析〗令1,x t x -=则1,1x t =-再令1,1y t=-则1,y t y -=因此可以将所得三个等式看成是关于11(),(),()1x f x f f x x --的三个方程，便可解得().f x解：设1,x t x -=则1,1x t =-代入原式，得11()(),11f f t t t +=--即11()()1,11f f x x x+=+-- ○1 设1,1t x =-则代入原式，得111()()1.1t t f f t t t --+=+-即1121()(),1x x f f x x x--+=- ○2 将○1○2与原方程联立，解得321().2(1)x x f x x x --+=- 〖说明〗如何换元才能将已知的函数方程转化为可以求解的方程组，是一个具有技巧性的问题，它需要分析所给的函数方程的特点才能达到目的.本例通过再次换元得到关于11(),(),()1x f x f f x x--的方程组，消去11(),(),1x f f x x--从而求得().f x 【例2】证明：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f ，满足条件： (1) 对所有非零实数x ，f (x )=xf (1x)；（2）对所有的x ≠－y 的非零实数对(x ,y )，有f (x )+f (y )=1+f (x +y ) 2.证明：f (x )=x +1显然适合（1）、（2）。
高中数学竞赛题：函数迭代含详解
高中数学竞赛专题训练：函数迭代一、单选题1．设1()f x =对任意自然数n ，定义11()(())n n f x f f x +=.则1993()f x 的解析式为（）AB C D 2．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()02=f ，对任意x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立.则()1998=f .（）A ．3996B ．1998C ．1997D ．03．已知函数()f x 在(0,)+∞上有定义且为增函数，并满足1()(())1f x f f x x⋅+=.则(1)f =（）A ．1B ．0C ．12+D ．124．已知()11xf x x+-=，记()()1f x f x =，()()()()11,2,k k f x f f x k +== ，则()2007f x =（）A ．11x x+-B ．11x x -+C ．xD ．1x-5．已知对每一对实数x 、y ，函数f 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--．若()11f =，则满足()()f n n n Z =∈的个数是（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数多个6．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有()()()10 5 f x f x f x +=+-．若()50f =，则()2005f 的值为（）．A ．2000B ．2005C ．2008D ．07．设函数()f x 的定义域是(,)∞+∞对于下列四个命题:(1)若()f x 为奇函数,则()()f f x 也为奇函数;(2)若()f x 为周期函数,则()()f f x 也为周期函数;(3)若()f x 为单调递减函数,则()()f f x 为单调递增函数;(4)若方程()()f f x x =有实根,则方程()f x x =也有实根,其中,正确的命题共有个（）A ．1B ．2C ．3D ．48．设()1211x f x x -=+,对2n ≥,定义()()()11n n f x f f x -=.若()2912x f x x +=-,则()2009 f x =______.9．设()()211xf x eg x ln x -＝，＝（＋）.则不等式()()()()1f g x g f x -的解集为_______.10．已知()[]12,0,1f x x x =-∈，那么方程()()()12f f f x x =的解的个数是_________.11．已知函数()f x 满足()()()3,1000;=+5,<1000.x x f x f f x x -≥⎧⎪⎨⎪⎩则()84f =________.12．设函数()f x 定义在R 上，对任意x R ∈，()110062f x +=+()310054f -=.则()2013f =___________.13．设定义在整数集上的函数f ，满足()()14,2000,n 19,2000.n n f f f n n -≥⎧⎪=⎨⎡⎤+<⎪⎣⎦⎩则()1989f =_____.14．设函数()f n 定义在正整数集上，对于任一正整数n ，有()()43f f n n =+，且对任意非负整数k ，有()1221k k f +=+．则()2303f =__________．15．设f(x)为定义在整数集上的函数,满足条件(1)()11f =,()20f =;(2)对任意的x 、y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-则()2015f =______.三、解答题16．已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠.若方程()f x x =无实根，求证：方程()()f f x x =也无实根.17．已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，()02f =，对任意x R ∈，有()()5254f x f x +=--，①()()3256f x f x -=-②，求()2012f 的值.18．对任意正整数m ，n ，定义函数(,)f m n 满足如下三个条件：①(1,1)1f =；②(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++；③(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-．（1）求(3,1)f 和(1,3)f 的值；（2）求(,)f m n 的解析式．参考答案：1．C【详解】n=1时，()1f x =假设n k =时，()k f x =则1n k =+时，()1k f x +==所以()1993f x 故答案为C2．D【详解】令2x =-，则有()()()224f f f =-+，即()()()224.f f f +=()()()()42204f f f x f x ∴==⇒+=，即()f x 是以4为周期的函数.()()()199********.f f f ∴=⨯+==3．D【详解】设()1f a =，1x =.由已知函数等式得()()()1111f f f +=，()11af a +=，()11f a a+=.设1x a =+，有()()11111f a f f a a ⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭，11111f a a a ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，()11 11f a f a a ⎛⎫+== ⎪+⎝⎭.由()f x 是增函数，则有1111a a+=+，解得a=当()112f =时，有()()11111a f f a a <=<+=<矛盾，所以()112f =.选D.4．B【详解】()111x f x x +=-，()()1223121111, 111f f x f x f x f x f x ++-==-==--+，()34311f f x x f +==-据此，()4111n xf x x++=-，()()424311, 1n n x f x f x x x ++-=-=+，()4n f x x=因2007为4n+3型，故选B.5．B【详解】令1y =得()()()111f x f f x x +=+--，即()()12f x f x x +=++．令0x =得()()102f f =+．由()11f =知()01f =-．当n N +∈时，()()()()()()()113101012nnk k n n f n f k f k f k f ==+⎡⎤=--+=++=-⎣⎦∑∑．同理，()()312n n f n -+-=--．所以，()()312n n f n +=-，n Z ∈．令()f n n =，解得2n =-或1n =．6．D【详解】由题意得()()()()5105fx f x f x -+=-+，所以，()()()101515f x f x f x +=-=--从而，()()()2550f x f x f x =--=-故()f x 是以50为周期的周期函数.因此，()()()20055040550f f f =⨯+==.7．C【详解】若()f x )为奇函数,则()()()()()()f f x f f x f f x -=-=-.故()()f f x 也为奇函数.因此,命题(1)正确.若()f x 为周期函数,设T 为()f x 的一个周期,则()()()()f f x T f f x +=.故()()f f x 也为周期函数，因此,命题(2)正确.若()f x 为单调递减函数,则对任何x y <,由:()()()()()()f x f y f f x f f y >=<.故()()f f x 为单调递增函数，因此,命题(3)正确.但命题(4)不正确例如,取：()2,011,0;0, 1.x x f x x x ⎧=≠⎪==⎨⎪=⎩或；则()()4,010,0;1, 1.x x f f x x x ⎧+≠⎪==⎨⎪=⎩或；.故方程()()f f x x =有01、两个实根,但0x ≠或1时,()2f x x x =+>,而()()01,10f f ==,知方程()f x x =没有实根.8．12xx+-【详解】因为()3012x x f x f x +⎛⎫== ⎪-⎝⎭,所以,()()311f x f x =.而2009306629=⨯+,于是,()()20092912xf x f x x+==-.故答案为12xx +-9．(]1,1-【详解】注意到()()()()2f g x g f x x -=.故()()()()2f g x g f x x -=.又定义域为()1,-+∞，从而，不等式的解集为(]1,1-.10．8【详解】∵()12f x x =-112,0,2121,,12x x x x ⎧⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩即()f x 有关于x 的两个一次表达式.同理,()()f f x 有关于()f x 的两个一次表达式,而每个()f x 有关于x 的两个表达式,以所()()f f x 有关于x 的四个一次表达式.同理,()()()f f f x 有关于x 的八个不同的一次表达式,因此,所求方程解的个数是8.11．997【详解】记()()()()()n n f x f f f x个.则()()()()()1848489999f f f f === ()()()()()()18518418310041001998f ff===()()()()()()18418318210031000997f f f===()()()()()()18318218310029991004f f f ===()()()()()()18218118210019981003f ff===()()()18110001000997f f ==== .因此，()84997f =.12．12+【详解】由题意知()112f =+12=+()13100724f ==，()()1120131007100622f f =+==.13．()19891990f =【详解】(1989)[(2008)](1994)[(2013)](1999)[(2018)](2004)1990f f f f f f f f f f =======14．4607【详解】注意到23432303343434342=+⨯+⨯+⨯+⨯.而()()()()()4343f n f f f n f n +==+，则()()2332303343434342f f =++⨯+⨯+⨯=…()()()234323444433434343423434343421230342124607f =+⨯+⨯+⨯+=+⨯+⨯+⨯++=++-=15．1±【详解】在条件(2)中令0x =,则()()()()()011f y f f y f f y =-+，由()11f =,知()()010f f y -=.在上式中令0y =,则()()()01000f f f =⇒=.在条件(2)分别令1,1,2x =-得()()()()()1110f y f f y f f y +=-+()1f y =-,()()()()()1112f y f f y f f y -=--+()()()()1111f f y f f y =--=-+,()()()()()2211f y f f y f f y +=-+-()()1f f y =-，由()()()111f y f f y -=-+()()()12f y f f y =-+()()()21f y f f y ⇒=-()11f ⇒-=±.若()11f -=,则()()2f y f y +=，由条件(1)知()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，经检验,f 满足条件故()20151f =.若()11f -=-,则()()2f y f y +=-()()()01x 141,14x f x mod x mod ⎧⎪=≡⎨⎪-≡-⎩，为偶数，，经检验,f 满足条件故()20151f =-.综上,()20151f =±.16．见解析【详解】将函数式()()20f x ax bx c a =++≠代入方程()f x x =，移项后，得()210ax b x c +-+=()0a ≠.已知这个方程无实根，所以它的判别式为负，即()21140b ac ∆=--<.进而，由()()()()()2f f x a f x bf x c =++，将()f x 的表达式代入方程()()f f x x =，得()()222a ax bx cb ax bxc c x++++++=()0a ≠.变形，得()()222220a ax bx c x ax b ax bx c x bx c x ⎡⎤⎡⎤++-++++-++-=⎣⎦⎣⎦，提公因式，得()()22110ax b x c a ax bx c x b ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦，即()()()22110f x x a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤-+++++=⎣⎦⎣⎦.由条件知方程()0f x x -=无实根，所以，上面这个四次方程()()22110a x a b x ac b +++++=与有相同的实根.所得辅助二次方程的判别式是()()()2222221411444a b a ac b a b b ac ⎡⎤∆=+-++=+---⎣⎦()()()22221144440a b ac a a ⎡⎤=---=∆-<⋅-<⎣⎦，所以，这个辅助二次方程无实根，进而推出原四次方程()()f f x x =无实根.17．2【详解】在式①中取()1322x y y R =-∈，得()()212f y f y +=-.在式②中取()1233x y y R =+∈，得()()12f y f y =-，于是，()()2f y f y +=，即()f x 是一个周期为2的函数，故()()()201221006002f f f =⨯+==.18．（1）(3,1)11f =，(1,3)7f =（2）22(,)231f m n m mn n m n =++--+【分析】（1）由已知关系式直接推得即可；（2）由(1,1),(1,2),,f f 依次推出(1,)f n ，再由(1,),(2,)f n f n ，L ，依次推出(,)f m n 即可.【详解】解：（1）因(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++，令1m n ==代入得:(2,1)(1,1)2(11)145f f =++=+=，令2m =，1n =代入得:(3,1)(2,1)2(21)5611f f =++=+=，又(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-，令1m n ==代入得：(1,2)(1,1)2(111)123f f =++-=+=．令1m =，2n =代入得：(1,3)(1,2)2(121)347f f =++-=+=．（2）由条件②可得(2,1)(1,1)2(11)22f f -=⨯+=⨯，(3,1)(2,1)2(21)23f f -=⨯+=⨯，……(,1)(1,1)2(11)2f m f m m m --=⨯-+=⨯．将上述1m -个等式相加得：2(,1)2(23)(1,1)1f m m f m m =++⋅⋅⋅++=+-．由条件③可得：(,2)(,1)2(11)2f m f m m m -=+-=，(,3)(,2)2(21)2(1)f m f m m m -=+-=+，……(,)(,1)2(11)2(2)f m n f m n m n m n --=⨯+--=⨯+-．将上述n 1-个等式相加得：2(,)2[(1)(2)(2)]1f m n m m m m n m m =+++++⋅⋅⋅++-++-22231m m n n m n =++--+．【点睛】本题主要考查了函数的递推关系式，注意观察规律，细心完成即可.。
【推荐下载】高中数学竞赛第34讲函数迭代与函数方程教案
第34讲函数迭代与函数方程本节主要内容有函数迭代与函数方程问题．在研究函数的表达式或函数性质时，通常是没有给出函数的解析式，往往只给出函数的某些性质，而要求出函数的解析式，或证明该函数具有另外的一些性质，或证明满足所给性质的函数不存在或有多少个，或求出该函数的某些特殊函数值……。
A 类例题例1 已知x x e f xsin )(3，则函数()f x 。
解令xe t；则ln 0xt t，。
将此代入x xe f xsin )(3式可得ttt f ln sin ln )(3（0t ）。
即3()ln sin ln f x x x（0x ）代入(1)式，显然其满足方程x x e f x sin )(3。
说明解函数方程(())()f x g x （其中()x 及()g x 是已知函数）时，可设()t x ，并在的反函数存在时，求出反函数1()xt ；将它们代回原来的方程式以求出()f x 。
但若()x 为未知函数时，这个方法就不能用了。
由于代换后的函数未必与原函数方程等价，所以最后一定要检验所得到的解是否满足原来的函数方程。
例2 已知)(x f 为多项式函数，解函数方程xxx f x f 42)1()1(2（1）分析由于)(x f 为多项式函数，注意)1(x f 与)1(x f 和)(x f 的次数是相同的。
解因为)(x f 为多项式函数，而)1(x f 与)1(x f 并不会改变)(x f 的次数，故由(1)可知)(x f 为二次函数。
不妨设c bxaxx f 2)(，则22(1)(1)(1)(2)()f xa xb x cax a b x a b c ，22(1)(1)(1)(2)()f x a x b x c axb a x a bc ，所以22(1)(1)222()24f xf x axbx a c xx ，所以22,24,0,ab ac解得1,2,1,a b c所以12)(2xxx f 。
易检验出此)(x f 确实满足x xx f x f 42)1()1(2。
高二数学竞赛班一试讲义--函数迭代与函数方程
3．设
f1(x)
2 ，而 x 1
fn1 (x)
f1[ fn (x)] ， n N ．记 an
fn (2) 1 fn (2) 2
，则 a99
．
4．设
f
(x)
x 1
，记
x 1
fn (x)
f {f[ f(x)]} ，则
思考：设 an f (n) (x) ，则 an f (an1) ， a0 x ， a1 f (x) ，转化为数列递推。
2．函数方程：将含有未知函数的等式称为函数方程. 3．柯西方法解函数方程的步骤是：先求出对于自变量取所有自然数时函数方程的解具有的
形式，然后依次证明对自变量取整数值、有理数值以及实数值时函数方程的解仍具有这
例 5．设定义在[0，2]上的函数 f (x) 满足下列条件：
①对于 x [0, 2] ，总有 f (2 x) f (x) ，且 f (x) 1， f (1) 3 ；
②对于 x, y [1, 2] ，若 x y 3 ，则 f (x) f ( y) f (x y 2) 1 ．
f
(x)
lim
n
f
(xn )
lim
n
xn
f
(1)
xf
(1)
综上所述，对于任意实数 x ，有 f (x) xf (1)
4．递推法函数方程.
二、例题精析
例 1．设 f : D E R \ 0，1，且 f (x) f ( x 1) 1 x
x
○1
求 f (x) .（第 32 届美国普特南数学竞赛题）
函数方程与迭代(PPT)3-1
f ( x1 )[ f ( x2 x1 ) 1] 0 x R 时， f ( x) 为单调递增函数
Q f (1) 2, 则 f (2) f (1) f (1) 4 f (3x x2) 4 f (2),3x x2 2 1 x 2
∴不等式的解集为{x | 1 x 2} （4） f (3) f (1 2) f (1) f (2) 8
方程[ f ( x)]2 1 f ( x 3) f (2) 1 可化为[ f ( x)]2 1 f (3) f ( x) 5,
2
2
即[ f ( x)]2 4 f ( x) 5 0, 解得f ( x) 1或f ( x) 5 （舍），
由（1）得 x=0.故原方程的解为 x=0.
3.⑴ f (x) f (x 0) f (x) f (0), x 0 时, f (x) 1, f (0) 1
⑵
f (x)
f(x 2
x ) [ f ( x )]2 ≥ 0 .假设存在某个
使f ( x0 )
0，
则对任何 x 0,有f (x) f [(x x0 ) x0] f (x x0 ) f (x0 ) 0 与已知矛盾，
5.函数方程的解法: 代换法（或换元法） 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数
的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数 待定系数法
当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得
球，是土星上和木星大红斑类似的长时间维持的大型风暴圈。土星环年，意大利天文学家伽利略观测到在土星的球状本体旁有奇怪的附属物。9 年，荷兰学者惠更斯证实这是离开本体的光环。7年意大利天文学家卡西尼，发现土星光环中间有一条暗缝（后称卡西尼环缝），他还猜测光环 是由无数小颗粒构成。两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测，但在这二百年间，土星环通常被看做是一个或几个扁平的固体物质盘。直到8 年，英国物理学家麦克斯韦从理论上论证了土星环是无数个小卫星在土星赤道面上绕土星旋转的物质系统。土星环位于土星的赤道面上。在空间 探测前，从地面观测得知土星环有五个，其中包括三个主环（A环、B环、C环）和两个暗环（D环、E环）。B环宽又亮，它的内侧是C环，外侧 是A环。A、B两环之间为宽约8公里的卡西尼缝，是；泰国试管婴儿/ ；天文学家卡西尼在7年发现的，产生环缝的 原因是因为光环中有卫星运行，卫星的引力造成的。B环的内半径9,公里，外半径,公里，宽度,公里，可以并排安放两个地球。A环的内半径,公里， 外半径7,公里，宽度,公里。C环很暗，它从B环的内边缘一直延伸到离土星表面只有,公里处，宽度约9,公里。99年在C环内侧发现了更暗的D环， 它几乎触及土星表面。在A环外侧还有一个E环，由非常稀疏的物质碎片构成，延伸在五、六个土星半径以外。979年9月“先驱者”号探测到两 个新环──F环和G环。F环很窄，宽度不到8公里离土星中心的距离为.个土星半径，正好在A环的外侧。G环离土星很远展布在离土星中心大约～ 个土星半径间的广阔地带。“先驱者”号还测定了A环、B环、C环和卡西尼缝的位置、宽度，其结果同地面观测相差不大“先驱者”号的紫外辉 光观测发现，在土星的可见环周围有巨大的氢云环本身是氢云的源。除了A环、B环、C环以外的其他环都很暗弱。土星的赤道面与轨道面的倾角 较大，从地球上看，土星呈现出南北方向的摆动，这就造成了土星环形状的周期变化。仔细观测发现，土星环内除卡西尼缝以外，还有若干条旅 行者号98年拍摄的土星照片旅行者号98年拍摄的土星照片(张)缝，它们是质点密度较小的区域，但大多不完整且具有暂时性。只有A环中的恩克 缝为永久性，不过，环缝也不完整。科学家认为这些环缝都是土星卫星的引力共振造成的，犹如木星的巨大引力摄动造成小行星带中的柯克伍德 缝一样。“先驱者”号在A环与F环之间发现一个新的环缝，称为“先驱者缝”，还测得恩克缝宽度为9公里。由观测阐明土星环的本质要归功于 美国天文学家基勒，他在8
函数方程与迭代(2019年新版)
B f(x)+2 f ( 1 ) =3x.满足方程 f(x)=f(-x)的实数( ). x (A)恰有一个 (B)恰有两个 (C) 有无穷多个 (D) 不存在
思考
2.(第
14
届(2003
年)希望杯高一第
1
试)设
f1( x)
Байду номын сангаас
2 x1
,
21 而
与叔牙足也 莫如与秦王遇於渑池 必轻楚矣 留二日 又诛其将 其游诸侯见尊礼如此 曰：“胙所从来远 能以伎能立名者甚多 压纽 顾王策安所决耳 郡不出铁者 楚考烈王卒 治乱以相 三百人者闻秦击晋 任重权不可以非理挠 作高祖功臣侯者年表第六 鲁句践与荆轲博 二十一年 故之大
卜官 齐有司趋而进曰：“请奏宫中之乐 其明年 大破之 端和将河内 ”臣意对曰： 自意少时 舜曰：“女其往视尔事矣 是复阏与之事 ”上曰：“吾闻李斯相秦皇帝 及岱宗 平公四年卒 阴阳相错 迹至籍少公 八年 晋使中行献子伐齐 恐事之不合 自知见卖 轻车武射也 举袂而言曰：
赦之 晏婴与晋叔向语 势非寡也 ”会饮田氏 而大农颜异诛 郑人或谓子贡曰：“东门有人 禅云云；夥颐见杀 塞临晋 故百物皆化；於是天子乃令王然于、柏始昌、吕越人等 攻惠公 晋阳反 何谓贤 而踪迹验问 使子击守之 春夏以水 次曰季友 知唯德之不建 简子书藏之府 不为不孝
自齐王毁废孟尝君 战於番吾之下 由是反鲁 破之 赐毕万魏 ”王曰：“吾以五而伐一 故不得王；坛三垓 至周厉王 正北 秦归燕太子 晋侯病 ” 项王亡将锺离眛家在伊庐 各有所由兴 破荆军 见且斩爱姬 丙辰 生致之雒阳 怠惰之为安 虽不当世 与上会留 掩细柳 反为楚 孝王新得齐人
高中数学竞赛辅导05竞赛辅导(五)函数方程与迭代
∴
∴
f ( n 1) f ( n )
f (n) n 2
1 2
,
,∴ f (1 9 9 8 ) 9 9 9
高中数学竞赛辅导 7
2012-8-28
4. (教程 P9 3 6 )已知函数 f(x)对于 x>0 有意义， 且满 足条件 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是增函数. ⑴证明 f(1)=0; ⑵若 f(x)+f(x－2)≥2 成立，求 x 的取值范围.
5
) k k
2
50
2
，
(3
3) y
时，
S min 50
2
取得最小值，其最小值是
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450 (3 3 )
2
25 2
(3
3)
11
2
k 高中数学竞赛辅导
.
又∵
1 a
c
，c＞1
∴a
1 c
1
a＜c,∴
b t1
c t
10
0
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高中数学竞赛辅导
2.在边长为 10 的正三角形 ABC 中，以如图所示的方式内接两个正方形 (甲、 乙两个正方形有一边相重叠， 都有一边落在 BC 上， 甲有一顶点在 AB 上，乙有一顶点在 AC 上） ，试求这样内接的两个正方形面积和的最小值．
2
f (0) 1
x
x
.假设存在某个 x 0 R , 使 f ( x 0 ) 0 ，
则对任何 x 0, 有 f ( x )
高中数学竞赛课程讲座—函数
【校本课程数学竞赛讲义】 第二章 函数§2.1 函数及其性质一、函数的基本性质：1. 函数图像的对称性 （1）奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。
（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。
若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。
（3）若函数满足()(2)f x f a x =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。
（4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。
2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。
判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)a y x a x=+>的图像和单调区间。
3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。
若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。
（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。
（2）若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为T a的周期函数。
（3）若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。
（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。
高中数学专题复习讲座之一——函数
专题讲座之一-----函数、方程与不等式山西省平遥中学 常毓喜函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的．函数是高中数学的主线，方程与不等式则是它的重要组成部分．一、深化对函数概念的认识集合、映射是函数的基础，定义域、值域、对应法则是函数的组成部分，而反函数是函数概念的延伸．1．集合与映射集合的重点是集合的表示、集合的运算及集合之间的关系等．【例1】设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π==Z k ,24k x x N ,Z k ,42k x x M 则 A ．N M = B ． N M C ．M N D ．φ=⋂N M【分析】思路一是对k 分奇、偶数进行讨论；思路二是利用数形结合的思想解决；三思路是把集合表示为列举法．C【例2】已知集合M={-1,0,1},N={2,3,4,5,6},映射f ：M →N ，使对任意x ∈M ，都有x+f(x)+xf(x)为奇数，这样的映射f 个数是多少？【分析】根据映射的定义，集合M 中的每一个元素在集合N 中都有唯一是元素和它对应，所以分三步考虑：先考虑M 中的元素1，它在集合N 中的象可以是任意一个元素，有5种情况；其次考虑0，它的象只能是奇数，所以有2种情况；对于元素-1，同样有5种情况．故共有2⨯5⨯5=50个．【例3】集合A ={1,2,3}，集合B={a,b}，映射f:A →B 满足:B={f(m)|m ∈A}，这样的映射f 的个数为A ．3B ．5C ．6D ．8【分析】根据题意，集合B 中的每一个元素在集合A 中均有原象．所以这样的映射共有1223C C =6．2．函数概念≠ ⊂ ≠ ⊂【例4】已知函数f(x),其定义域为D ，集合A={(x,y)|y=f(x), x ∈D},B={(x,y)|x=1}，则A ∩B 中所含元素个数是A ．0B ．1C ．2D ．0或1【分析】首先要识别集合语言，其次要认识问题的本质．从函数的观点看，就是求函数的图象与直线的交点个数．考虑到1是否属于集合D 是不确定的，所以当1∈D 时有1个交点，当1∉D 时有0个交点．故选D ．注意：在求函数的值域时，有两种方法值得注意，一是反函数法．这种方法从理论上讲是不成立的；另一种是判别式法，它使用的前提是函数的定义域为R ，或R 中除去有限个数．3．反函数【例5】期为T ，若函数y=f(x),x ∈(0,T)有反函数y=f -1(x), x ∈D ，则函数y=f(x), x ∈(T,2T)的反函数是A ．y=f -1(x), x ∈DB ． y=f -1(x-T), x ∈DC ． y=f -1(x+T), x ∈D D ． y=f -1(x)+T, x ∈D【分析】本题主要考查反函数的概念以及它的本质．首先由y=f(x),x ∈(0,T)有反函数y=f -1(x), x ∈D 得函数y=f(x), x ∈(T,2T)即y=f(x-T), x ∈(T,2T)有反函数y=f -1(x)+T, x ∈D ，故选D ．【例6】函数2e e y xx --=的反函数 A ．是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数B ．是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数C ．是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数D ．是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数【分析】函数与它的反函数在对称的区间上具有相同的增减性；一般的偶函数没有反函数．所以马上可以排除B 、D ，又原函数是增函数，故应选A ．二、强化对函数性质的研究函数的性质主要包括：单调性、奇偶性、周期性及最值等．1．函数的单调性求单调区间的方法：（1）定义法；（2）导数法；注意：区域函数的单调区间时，不管用什么方法，一定要注意函数的定义域，因为函数的单调区间是其定义域的子集．2．函数的奇偶性互为反函数 y=f(x) y=f -1(x)判断函数奇偶性的方法：先判断函数的定义域是否关于原点对称；再判断f(x)与f(-x)的关系．3．函数的最值求函数最值的方法有：定义法、不等式性质法、函数单调性法、数形结合法、还元法、导数法等．注意：①求函数的最值时一定要考虑定义域对其的影响．②函数的周期性要求不高，只要知道其定义，知道三角函数的周期计算公式，会求一些简单的三角函数（即经过简单的三角变换后可以利用公式）的周期即可．【例7】已知函数f(x)=)Z c ,b ,a (cbx 1ax 2∈++是奇函数，又f(2)<3,f(1)=2． （1） 求a,b,c 的值；（2） 判断函数f(x)在(-∞,-1)上的单调性．【分析】从方程观点看，有3个未知数，2个方程1个不等式，注意a,b,c均为整数，所以这个问题可以解决．【解】（1）由已知f(x) 是奇函数，所以f(-x)=-f(x),得 cbx 1ax c bx 1ax 22++-=+-+解得c=0． 又f(1)=2,即2b=a+1． f(2)<3, 即3b21a 4<+． 把2b=a+1代入得：31a 1a 4<++，解得：-1<a<2, 所以a=0或a=1． 若a=0，则b=0．5与b ∈Z 矛盾；若a=1，则b=1．故a=1，b=1，C=0．（2）f(x)=x 1x +=x+x 1,当x ∈ (-∞,-1)时，f /(x)=1-21x>0．所以函数f(x)在(-∞,-1)上是增函数．【说明】对于（1）还可以利用f(-1)= -f(1)求c ；对于（2）也可以用单调性的定义判断．我们应重视对函数f(x)= ax+xb 有关性质的掌握． 【例8】设函数f(x)对任意的x,y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x>0时f(x)<0,f(1)=-2．（1）求f(x)在 [-3,3] 上的最值；（2）解关于x 的不等式：21f(bx 2)-f(x)>21f(b 2x)-f(b)（b 2≠2）． 【解】（1）令x=- y ，则f(0)=f(x)+f(-x)．令x=y=0，则f(0)= f(0)+f(0),所以f(0)=0,故f(-x)=-f(x), 所以f(x)是奇函数．设x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则x 1-x 2<0, x 2-x 1>0．因为f(x 2)-f(x 1)= f(x 2)+ f(-x 1)=f(x 2-x 1)<0,故f(x 2)<f(x 1)．所以f(x)是减函数．当x=3时，f(x)min =f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)= -6;当x=-3时，f(x)max =f(-3)=-f(3)= 6(2) 由21f(bx 2)-f(x)>21f(b 2x)-f(b)得：21f(bx 2) -21f(b 2x)> f(x)-f(b)， 21f(bx 2-b 2x)> f(x-b),即f(bx 2-b 2x)>2 f(x-b)，而2 f(x-b)= f(2x-2b)， 所以f(bx 2-b 2x)> f(2x-2b)，f(x)是减函数，故bx 2-b 2x <2x-2b ，即bx 2- (b 2+2) x +2b<0,(x-b)(bx-2)<0．当b=0时，解得：x>0；当b>2时，解得：b2<x<b ； 当-2<b<0时，解得：x<b 2或x>b ；当b<-2时，解得：x>b2或x<b ； 当0<b<2时，解得：b<x<b2； 所以，当b=0时，不等式的解集为：{x|x>0}；当b>2时，不等式的解集为：{x|b 2<x<b}；当-2<b<0时，不等式的解集为：{x|x<b2或x>b}；当b<-2时，不等式的解集为：{x|x>b2或x<b}； 当0<b<2时，不等式的解集为：{x|b<x<b2}； 注意:一般地,有以下结论．【结论1】给出三个条件:①函数f(x)是定义在R 上的偶函数(或函数f(x)的图象关于x=0对称)；②f(x)的图象关于直线x=a 对称；(或对任意实数x ，都有f(a+x)=f(x-a))③f(x)是一个以2a 为周期的周期函数．则由上述三个条件中的任意两个可推出第三个．推论:给出三个条件: ①函数f(x)的图象关于直线x=a 对称；②函数f(x)的图象关于直线x=b 对称；③f(x)是一个以2(b-a)为周期的周期函数．(b ≠a)则由上述三个条件中的任意两个可推出第三个．【结论2】给出三个条件:①函数f(x)是定义在R 上的奇函数；②f(x)的图象关于直线x=a 对称；③f(x)是一个以4a 为周期的周期函数． 则由上述三个条件中的任意两个可推出第三个．推论1: 给出三个条件:①函数f(x) 的图象关于点(b, c )对称；②f(x)的图象关于直线x=a 对称；③f(x)是一个以4(b-a)为周期的周期函数．(b ≠a) 则由上述三个条件中的任意两个可推出第三个．推论2: 给出三个条件:①函数f(x)的图象关于点(a, c )对称；②f(x)的图象关于点(b, c )对称；③f(x)是一个以2(b-a)为周期的周期函数． (b ≠a) 则由上述三个条件中的任意两个可推出第三个．三、重视对二次函数的再认识二次函数是高考的热点之一，它的应用也比较广泛．二次函数既简单又具有丰富的内涵和外延． 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系． 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题．同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础． 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了．学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式:①一般式c bx ax y 2++=)0(≠c 中有三个参数c b a ,,． 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数． ②两根式()().21x x x x a y --=③顶点式a 4b ac 4a 2b x a y 22-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ． 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；二是图像特征,从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法． ①二次函数的图像关于直线a b x 2-=对称，关系ab x x -=+21也反映了二次函数的一种对称性．②二次函数的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根． 所以存在实数n m ,使得n m <且0)()(<n f m f ⇔在区间()n m ,上，必存在0)(=x f 的唯一的实数根．③因为二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 在区间]2,(a b --∞和区间),2[+∞-ab 上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得．【例9】已知二次函数的图象经过A （-1，2）、B （3，2）、C （-2，7）三点，求二次函数的解析式．【解法一】设二次函数的解析式为f(x)=ax 2+bx+c ，则由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+-7242392c b a c b a c b a ，解得：a=1,b=-2,c=-2．所以二次函数的解析式为f(x)=x 2-2x-1．【解法二】因为二次函数的图象经过A （-1，2）、B （3，2），所以抛物线的对称轴方程为x=1,故设二次函数的解析式为f(x)=a(x-1)2+n,把A （-1，2）、C （-2，7）代入得：⎩⎨⎧=+=+7924n a n a ，解得a=1, n=-2，所以f(x)=x 2-2x-1． 【解法三】方程f(x)-2=0的两根为-1,3,所以可设f(x)-2=a(x+1)(x-3)． 把点C （-2，7）代入,得: a=1,故f(x)-2=(x+1)(x-3)= x 2-2 x-3,即f(x)= x 2-2x-1．【思考】已知二次函数f(x)对任意实数x 都有f(x -2)= f(-x -2),它在y 轴上的截距为1,且被x 轴截得的线段长为22,求函数f(x)的解析式．【例10】设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的两个根x 1,x 2满足0< x 1< x 2<a1． （1）当x ∈(0, x 1)时，证明x<f(x)< x 1； （2）设函数f(x)的图象关于直线x=x 0对称，证明：x 0<21x ． 【分析】（1）设F(x)= f(x)-x=a(x-x 1)(x-x 2),则当x ∈(0, x 1)时， x<f(x)< x 1⇐0<f(x)-x<x 1-x ⇐ 0<a(x-x 1)(x-x 2) <x 1-x ⇐0< a (x 2-x)<1⇐ 0< x 2-x<a1,易证． （2）由已知x 1+x 2=ab 1--，所以： x 0=a b 2-=a ax ax a x x a 2121)(2121-+=-+〈2211x a ax =． 【例11】已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x ．（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：2x 110->x ；（2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围．【分析】条件4221<<<x x 实际上给出了x x f =)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化．【解】设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x ．（1）由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩⎨⎧><0)4(0)2(g g ，即⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b a a b ，两式相加得12<a b ，所以，10->x ; （2）由a a b x x 4)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a ． 又0121>=a x x ，所以21,x x 同号． ∴ 21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1)1(1202212b a x x , 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g解之得 41<b 或47>b ． 【例12】已知函数f(x)=ax 2+bx+c(a>b>c)满足f(1)=0,在其图象上有两个点A(m 1,f(m 1)),B(m 2,f(m 2)),且a 2+(f(m 1)+f(m 2))a+ f(m 1)f(m 2)=0．（1）求证：b ≥0；（2）问能否证明f(m i +3)(i=1,2)中至少有一个正数，并证明你的结论．【分析】（1）由f(1)=0，得a+b+c=0．又a>b>c ，得a>0,c<0．又a 2+(f(m 1)+f(m 2))a+ f(m 1)f(m 2)=0, 得f(m 1)=-a, f(m 2)= -a ．即at 2+bt+c+a=0有两个根是m 1,m 2，所以△=b 2-4a(c+a)≥0．将b=- (a+c)代入上式得：(a+c)(c-3a)≥0．由已知c-3a ≤0，所以a+c ≤0，故b=- (a+c)≥0．（2）因为f(m 1+3)+ f(m 2+3)=6a(m 1+m 2)+6b+16a=6a(ab -)+6b+16a =16a>0．从而可得，f(m 1+3)与f(m 2+3)之间至少有一个正数．【思考】注意f(m 1)=f(m 2)= -a ．所以m 1与m 2关于x=a2b -对称．不妨设m 1≤m 2，故只要证明f(m 2+3) >0即可，而f(m 2+3) >0⇔ m 2+3 >1，这可以利用m 2 >a2b -加以证明． 实际上，原题的结论可以改为f(m i +k)(i=1,2,k>1．5)中至少有一个正数．【例13】已知二次函数f x ax bx c ()=++2，当-≤≤11x 时，有-≤≤11f x ()，求证：当-≤≤22x 时，有-≤≤77f x ()．【分析】研究)(x f 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数c b a ,,． 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑)1(f ，)1(-f ，)0(f ，这样做的好处有两个：一是c b a ,,的表达较为简洁，二是由于01和±正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的．要考虑()x f 在区间[]7,7-上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑()x f 在区间端点和顶点处的函数值．【解】由题意知：c b a f c f c b a f ++==+-=-)1(,)0(,)1(，∴ )0()),1()1((21)),0(2)1()1((21f c f f b f f f a =--=--+=， ∴ f x ax bx c ()=++2()2221)0(2)1(2)1(x f x x f x x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=． 由-≤≤11x 时，有-≤≤11f x ()，可得,1)1(≤f (),11≤-f ()10≤f ．∴ ()()()()7)0(3)1(1303113)2(≤+-+≤--+=f f f f f f f ,()()()()7)0(3)1(3103131)2(≤+-+≤--+=-f f f f f f f ．（1）若[]2,22-∉-ab ，则()x f 在[]2,2-上单调，故当[]2,2-∈x 时， ))2(,)2(max()(max f f x f -=∴ 此时问题获证．（2）若[]2,22-∈-a b ，则当[]2,2-∈x 时，)2,)2(,)2(max()(max ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a b f f f x f 又()72411214)1()1(2022422<=+⋅+≤--⋅+=⋅+≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f a b f b a b c a b c a b f ，∴ 此时问题获证．综上可知：当-≤≤22x 时，有-≤≤77f x ()．【思考】设()()f x ax bx c a =++≠20，若()10f ≤，()f 11≤，()11f ≤－,试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤54． 四、突出函数、方程与不等式之间的联系 【例14】不等式组.2233,0⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 的解集是 A ．}20|{<<x x B ．}5.20|{<<x x C ．}60|{<<x x D ．}30|{<<x x 【分析】不等式解集的端点是它所对应的方程的根，或者是它所对应的函数的定义域的端点．根据这个特点，我们可以把上述选项中的右端的值代入，检验是否为不等式所对应的方程的根即可．容易得到2、2.5、3均不是方程的根， 所以选C.【例15】已知i,m,n 是正整数，且1<i ≤m <n ． (Ⅰ)证明:n i P m i <m i P n i ．(Ⅱ)证明: (1+m)n >(1+n)m ．【证明】（Ⅰ）从不等式角度考虑：①n i P m i <m i P n i ⇐ i i n i i m n P m P <⇐个个i i n 1i n n 2n n 1n n n m 1i m m 2m m 1m m m +--⋅-⋅<+--⋅-⋅ ⇐n k n m k m -<- ⇐ nk m k > ⇐ m <n ． ②因为1<i ≤m <n ，所以0<nm <1，则由真分数的性质得： 1i n 1i m 2n 2m 1n 1m n m +-+->>-->--> ，于是由不等式的性质得：1i n 1i m 2n 2m 1n 1m n m n m i+-+---⋅--⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛ =i n i m P P ，所以n i P m i <m i P n i （Ⅱ）①从不等式角度考虑：由二项式定理有(1+m)n =∑=n 0i in i C m ，(1+ n) m =∑=mi i m i C n ， 又!i P C ,!i P C i n i n i m im==，而n i P m i <m i P n i ，所以i m i i n i C n C m >， 从而∑=n 2i i n i C m >∑=m 2i i m i C n ,又1m 11n 10m 00n 0C n C m ,C n C m ==，所以∑=n 0i in i C m >∑=m 0i i m iC n即(1+m)n >(1+n)m ．②(1+n)m = 个m )n 1()n 1)(n 1(+⋅⋅++个)m n (111-⋅⋅<n )n)m n ()n 1(m (-++=(1+m)n ．③从函数的角度考虑：(1+m)n >(1+n)m ⇔ nln(1+m)>mln(1+n) ⇔ n)n 1ln(m )m 1ln(+>+ 构造函数f(x)=x)x 1ln(+, 当x>2时，ln(1+x)>1,因为f /(x)=2x)x 1ln(x 1x +-+=)x 1(x )x 1ln()x 1(x 2+++-=)x 1(x )x 1ln()]x 1ln(1[x 2++-+-<0,所以函数f(x)=x x )1ln(+在（2，+∞）上是减函数，而m <n ，所以nn m m )1ln()1ln(+>+． 【注意】若从函数图象的角度看：作函数y=ln(1+x)的图象（如图），设A(m,ln(1+m)),B(n,ln(1+n))是函数图象的两点,显然k OA >k OB ,即nn m m )1ln()1ln(+>+． 导数既是一个重要的概念，也是解决函数有关问题的一个有力的工具．利用它可以解决函数中有关单调性极值和最值等有关问题，还可以用来证明一些不等式．【例16】证明:当x>0时,ln(x+1)>x -21x 2． 【分析】这个不等式的左边是对数式,右边是多项式，用常规的方法不易证明．所以可以从函数的角度考虑． 【解】设f(x)= ln(x+1)- x +21x 2,则f /(x)=1x x x 11x 12+=--+)(．显然当x>0时, f /(x)>0．这就是说，函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,而f(0)=0,所以当x>0时f(x)>f(0)=0,即ln(x+1)>x -21x 2． 【例17】 已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如右图，则A ．b ∈(-∞,0)B ． b ∈(0,1)C ． b ∈(1,2)D ． b ∈(2,+∞)【分析一】从函数的角度考虑：f /(x)=0即3ax 2+2bx+c=0有两个正根x 1,x 2，所以a ，b 异号，且当x<x 1时f(x)为增函数，所以f /(x) >0,从而a>0,b<0．故选A ．【分析二】从方程的角度考虑：f(x)=0有三个根0、1、2，即f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,所以有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=024800d c b a d c b a d ⇒3a+b=0,b=-3a,c=2a ． 又f(3)>0,即27a+9b+c>0,所以a>0,b<0．故选A ．【分析三】从不等式角度考虑：设f(x)=ax(x-1)(x-2)，则图象可以看成是用数轴标根法解不等式f(x)>0的图（去掉y 轴）．容易判断a>0,展开后可得：b=-3a ．所以b<0,故应选A ． 【变式】已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如右图，问在a,b,c,d 中有零吗？对于非零数是正还是负？ 【探究】显然f(0)=d<0，而 f(x)=a(x -x 1)(x -x 2)(x -x 3)．所以a>0．又x 1,x 2,x 3是f(x)=0的三个根，所以ax 13+bx 12+cx 1+d=0①, ax 23+bx 22+cx 2+d=0,② ax 33+bx 32+cx 3+d=0③,两式相减，得a(x 12+x 1x 2+x 22)+b(x 1+x 2)+c=0, ④a(x 22+x 3x 2+x 32)+b(x 3+x 2)+c=0, ⑤再相减，得a(x 1+x 2+x 3)+b=0⑥, 所以b>0．又由④，得c<0．故a>0，b>0，c<0，d<0．【再探究】由f(x)=a(x -x 1)(x -x 2)(x -x 3)=ax 3-a (x 1+x 2+x 3) x 2+a(x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1)x+ax 1x 2x 3所以，-a(x 1+x 2+x 3)=b, a(x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1)=c, ax 1x 2x 3=d ．同样可以得出结论．*【例18】已知a>0，函数f(x)=ax -bx 2．（1）当b>0时，若对任意x ∈R 都有f(x)≤1，证明a≤2b ；（2）当b>1时，对任意x ∈[0,1], |f(x)|≤1的充要条件是b -1≤a ≤2b ;（3）当0<b ≤1时，讨论对任意x ∈[0,1], |f(x)|≤1的充要条件.【分析】①考查对二次函数的性质合配方法的理解、掌握合应用．本题的二次函数开口向下,所以该函数在定义域上有最大值，没有最小值.因而第一小题的本质就是求该函数的取得最大值时的条件.二(2)(3)小题的本质是二次函数在某闭区间上的最值问题.【解法一】(1) f(x)=ax -bx 2≤f(b 2a )=222b 4b a b 2a -=b 4a 2≤1.所以a 2≤4b,a ≤2b . (2) 显然，二次函数f(x)=ax -bx 2在[0, b 2a ]上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,b 2a 上是减函数.所以|f(x)|≤1(x ∈[0,1])的充要条件是:当b 2a ≥1时, f(1)≤1; 当b 2a <1时,-1 ≤f(1)<f(b2a )≤1.即当a ≥2b 时,a ≤1+b; 当a<2b 时,b -1≤a ≤2b . 又b>1,所以当a ≥2b 时,a ≤1+b 不成立,故b -1≤a ≤2b .(3)若0<b ≤1,则.b 1a b 2b 1a b 2a +≤≤⇔⎩⎨⎧+≥≥.b 2a 0b2a 1b b 2a 0<<⇔⎩⎨⎧≤≤-<< 所以当0<b ≤1时，对任意x ∈[0,1], |f(x)|≤1的充要条件是: a ≤1+b.【分析】②考查对不等式知识的掌握以及代数变换能力．若着眼于代数变换,也可从不等式的变换入手.【解法二】(1)原问题等价于bx 2-ax +1≥0恒成立,所以△=a 2-4b ≤0. |f(x)|≤1⇔|x|·|a-bx|≤1⇔|a-bx|≤|x |1(x ≠0)⇔bx -|x |1≤a ≤bx+|x |1(x ≠0). (2)若b>1，则对任意x ∈[0,1], bx -|x |1≤b -1（x=1时取等号）； bx+|x |1≥2b （x=b 1时取等号）。
竞赛讲座函数与方程
函数的观点和方法解决常见数学问题的解题规律。在解题中，充分、合理地运用函数与方程的 思想方法，会产生意想不到的效果 方程 f(x)＝0 的解就是函数 y＝f(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标， 函数 y＝f(x)也可以看作二 元方程 f(x)－y＝0 通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满 足的方程，希望通过方程（组）来求得这些量．这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研 究运动中的等量关系． 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系 或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造 方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程 思想是动中求静，研究运动中的等量关系； 3．函数方程思想的几种重要形式 (1)函数和方程是密切相关的，对于函数 y＝f(x)，当 y＝0 时，就转化为方程 f(x)＝0，也 可以把函数式 y＝f(x)看做二元方程 y－f(x)＝0。 (2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数 y＝f(x)，当 y＞0 时，就转化为不等式 f(x) ＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式； (3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重 要； (4)函数 f(x)＝(1+x)^n (n∈N )与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比 较系数法可以解决很多二项式定理的问题； (5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程 组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论； (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达 式的方法加以方程思想
竞赛培训讲义：函数(如皋中学：童云飞)
第一讲：函数函数是近代数学的一个核心概念，有了函数，整个数学就进入了变量数学的时代，分析学从此发端便一发而不可收。
在全国高中数学联赛中，函数的重要地位是不言而喻的，每年一试中至少一道填空题，一道解答题。
在更高级别的数学竞赛（CMO，IMO）中，函数迭代和函数方程也是常考常新的内容，汇集了人类的智慧。
本讲我主要给大家介绍我们需要掌握的一些和函数有关的思想方法和解题技能，并且通过问题的解决来提高大家的运算能力和培养遇繁不乱，锲而不舍的数学品格。
一：例题选讲1. 求实数的取值范围，使得对于任意的实数和任意的，恒有.2. 设，若，，.证明：对于任意，有 .3. 已知是关于的一元二次方程的两个根，且若函数，（1）求的值；（2）对任意的正数，求证：.4. 求所有的实数使得函数的值域包含区间 .5. 证明：满足不等式的实数的集合可以表示为一些互不相交的区间之并，试求出这些区间长度的总和.6. 已知，若对任意一组满足上述条件的，都有求的最小值.7. 定义在上的函数满足：①对任意，都有 ② 当 时，有 .求证：（1）函数在上的图像关于原点对称；（2）函数在上是单调减函数；（3）8. 设三边的长度为，其所对角分别为，且满足，判断该三角形的形状，并给出证明.二．课后研讨题（务必先独立思考，再研讨）1. 已知函数，在的最大值与参数有关，问：取什么值时最小？并证明之.2. 已知对于任意的恒成立，求的取值范围.3. 已知关于的方程有个正实数根，求的最小值.4. 已知，求证：5. 已知，若对一切实数，都有求证：6. 已知是实数，函数，.当时，.(1) 求证：;(2) 求证：当时，;(3) 设，当时，的最大值为，求 .7. 求实数的取值范围，使得不等式对恒成立.8. 已知外心为，内心为，求证：.9. 已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围.10. 已知，求证：，并确定等号成立的所有的值.11. 已知不等式对于恒成立，求的取值范围.12. 已知、是方程（）的两个不等实根，函数的定义域为[，].（Ⅰ）求（Ⅱ）证明：对于，若，则.13. 设正实数 满足，求函数的值域（其中表示不超过的最大整数）.14. 已知函数 .(1) 若，则（2）若则（3）对于任意的，问以的值为长的三条线段是否可以构成三角形？请说明理由.15. 设实数满足：（i） (ii)(iii) . 求的最大值及达到最大值时的16. 已知二次函数，若在时，求证：当时，17. 设二次函数满足条件：(1) 当时，，且（2）当时，（3）在上的最小值为0.求最大的实数，使得存在，只要，就有18. 设函数，对于给定的负数，有一个最大的正数使得在整个区间上，不等式 | 都成立. 问：为何值时，最大？求出这个最大的，证明你的结论.19. 设是大于的实数，二次函数有两个属于区间的实数根.(1) 证明：存在一个以为边长的三角形；(2) 证明：全国高中数学联赛五年真题演练1. 已知函数，当时，，试求的最大值.2. 证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得 .3. 已知函数的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为.求证：．4. 解不等式．5. 设函数，实数满足，求的值.6. 设，记，对所有正整数，. 证明：.7. 设函数对所有实数都满足，求证：存在4个函数满足：a) 对，是偶函数，且对任意实数，;b) 对任意实数，有 .8. 设是周期函数，和1是的周期且．证明：（Ⅰ）若为有理数，则存在素数，使是的周期；（Ⅱ）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足，且每个都是的周期．。
函数方程与迭代(PPT)5-1
x R 均为满足 f ( x) 0 . ⑶任取 x1 , x2 R且x1 x2 , 则 x2 x1 0, f ( x2 x1 ) 1
f ( x2 ) f ( x1) f [( x2 x1) x1] f ( x1) f ( x2 x1) f ( x1) f ( x1)
3.⑴ f (x) f (x 0) f (x) f (0), x 0 时, f (x) 1, f (0) 1
⑵
f (x)
f(x 2
x ) [ f ( x )]2 ≥ 0 .假设存在某个
2
2
x0
R, 使f ( x0 )
0，
则对任何 x 0,有f (x) f [(x x0 ) x0] f (x x0 ) f (x0 ) 0 与已知矛盾，
四、函数方程与迭代 1．函数方程的定义：含有未知函数的等式叫做函数方程.如 f(x＋1)=x、 f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x＋2)=f(x)等.其中 f(x)是未知函数 2.函数方程的解：能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解. 如 f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解 3.解函数方程:求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程 4.定理（柯西函数方程的解） 若 f(x)是单调（或连续）函数且满足 f(x＋y)=f(x)＋f(y) (x,y∈R)、则 f(x)=xf(1).
第三讲 函数的方程与迭代
第三讲 函数的方程迭代主讲人：高云1、函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M)f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2)f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。
有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M)2、不定方程有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，91分给小儿子，应该怎样分呢？ 问题：一个老人有n 头马，他打算把a 1分给大儿子，b 1分给二儿子，c1分给小儿子，并满足 A<b<c, a|n+1, b|n+1, c|n+1, (a 1+b 1+c1)(n+1)=n 问老人的马的匹数n 有多少种可能分法？显然就是求方程a 1+b 1+c 1=1 n n 满足条件a<b<c 且a|n+1, b|n+1, c|n+1的整数解的问题，像这样未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（例如有理数、整数、或正整数）的方程或方程组，就称为不定方程。
3、高斯函数[x]定义：[x]－表示不超过x 的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x 的小数部分函数y={x}, {x}=x －[x]。
图象：性质：① y=[x]的定义域为R ，值域为Z ，y={x}定义域为R ，值域为[0,1)，是周期函数。
y=[x] y={x}②对任意实数x ，有x －1<[x]≤[x]+1； ③[x]是不减函数，即当x ≤y 时，有[x]≤[y]； ④[x+m]=[x]+m ⇔m ∈Z ； ⑤对一切实数x,y 有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1, {x+y}≤{x}+{y}； ⑥ 若x ≥0, y ≥0，则[xy]≥[x]·[y]；⑦ [－x]=⎩⎨⎧---不是整数 为整数 x x x x 1][][ ⑧ 若n ∈N*, x ∈R ，则[nx]≥n[x]；⑨ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x ][，其中x ∈(0,+∞), n ∈N*； ⑩ 把n!中素数p 的最高次记为p(n!)，则p(n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2p n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k p n ，这里p k ≤n ≤p k+1； 取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。
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函数方程与迭代1.迭代法先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题： 五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？ 设桃子的总数为x 个．第i 只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为i x 个，则14(1)5i i x x -=-, 1,2,3,4,5i =.且0x x =．设44()(1)(4)455f x x x =-=+-．于是:14()(4)45x f x x ==+-, 224(())()(4)45x f f x x ==+-,334((()))()(4)45x f f f x x ==+-, 444(((())))()(4)45x f f f f x x ==+-,554((((()))))()(4)45x f f f f f x x ==+-,由于剩下的桃子数都是整数,∴55|4x +．∴最小的x 为：5543121x =-=． 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代．一般地，设:f D D →是一个函数，对x D ∀∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，…，(1)()()(())n n f x f f x +=，n N *∈，则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代，并称n 为()()n f x 的迭代指数．反函数记为()()n f x -．一些简单函数的n 次迭代如下：（1）若()f x x c =+，则()()n f x x nc =+； （2）若()f x ax =，则()()n n f x a x =；（3）若()a f x x =，则()()n n a f x x =； （4）若()1x f x ax =+，则()()1n x f x nax =+； （5）若()f x ax b =+（1a ≠），则()1()1nn na f x a xb a -=+-； ()()n f x 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用数学归纳法．1．求迭代后的函数值例1 自然数k 的各位数字和的平方记为1()f k ，且11()[()]n n f k f f k -=，求(11)n f （n N *∈）的值域. 解：由条件可知： Λ;169)652()256()11(;256)961()169()11(;169)94()49()11(;49)61()16()11(;164)4()11(;4)11()11(21621521421321221=++===++===+===+======+=f f f f f f f f f f f所以(11)n f （n N *∈）的值域为{4,16,49,169,256}。
例2 设12()1f x x =+，而11()[()]n n f x f f x +=，n N *∈．记(2)1(2)2n n n f a f -=+，求99a . 解：∵32)2(1=f ，∴811-=a ,1)2(2)2(1+=-n n f f ,2)2(1)2(2121)2(211)2(22)2(1)2(1111+-⋅-=++-+=+-----n n n n n n f f f f f f 即121--=n n a a ，故101989921)21(81-=--=a 。
例3 求解函数方程：x x x f x f x x f cos )11()1()11(=-++-++-)1,0(±≠x 解：设11)(+-=x x x g ，则x x g g g g x g ==))))(((()()4(并且x x g g x g 1))(()2(-==，x x x g g g x g -+==11)))((()3(，于是原方程变为：x x g f x g f x g f cos )]([][)]([)3()2(=++, ①令)(x g x =得：)(cos )()]([)]([)3()2(x g x f x g f x g f =++ ②令)()2(x g x =得：)(cos )]([)()]([)2()3(x g x g f x f x g f =++③令)()3(x g x =得：)(cos )]([))(()()3()2(x g x g f x g f x f =++ ④ 由①②③④得： x x g x g x g x f cos 2)(cos )(cos )(cos )(3)3()2(-++=,∴)cos 211cos 1cos 11(cos 31)(x xx x x x x f --++++-=. 2．不动点法 一般地，若()f x ax b =+，则把它写成()()11b b f x a x a a =-+--,因而 ……()()()11n n b b f x a x a a =-+-- 这里的1b a-就是方程ax b x +=的根．一般地，方程()f x x =的根称为函数()f x 的不动点． 如果0x 是函数()f x 的不动点，则0x 也是()()n fx 的不动点．可用数学归纳法证明．利用不动点能较快地求得函数()f x 的n 次迭代式． 3．相似法若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1()x ϕ-，使得1()((()))f x g x ϕϕ-=，我们称()f x 通过()x ϕ和()g x 相似，简称()f x 和()g x 相似，其中()x ϕ称为桥函数．如果()f x 和()g x 相似，即1()((()))f x g x ϕϕ-=，则有：()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=．4. 函数方程的一般解法函数方程的变化多，求解技巧性很强，往往涉及不同领域的数学知识，特别是附加了条件的函数，更是五花八门，各有巧妙。
迭代只是其中的一种方法，在高中数学各级竞赛中，都有可能会遇到函数方程的问题，还有可能会用到观察法、代换法、柯西法、赋值法（特殊值法）等几种典型的求解函数的方法。
如： (2)2()(),11b b f x a x a a =-+--(3)3()()11b b f x a x a a =-+--1．代换法例4（2007越南数学奥林匹克）设b 是一个正实数，试求所有函数R R f →:，使得)3(3)()(1)(1)(y y f b x y f b b b x f y x f y y -+⋅=+-+-+对任意实数x 、y 均成立。
解：将原方程变形为：1)(3))(()(-++⋅+=++y f b x y x y b x f b y x f (x , )R y ∈① 令x b x f x g +=)()(，则①等价于1)(3)()(-⋅=+y g x g y x g (x , )R y ∈②在②中令0=y 得1)0(3)()(-⋅=g x g x g )(R x ∈这表明1)0(0)(==g x g 或(1) 若0)(=x g )(R x ∈，则x b x f -=)( (2) 若1)0(=g ，在②式中令0=x 得：1)(1)(33)0()(--=⋅=y g y g g y g ,即0)(31)(=--y g y g )(R y ∈ ③ 考虑函数t t h t -=-13)(，它的导函数13ln 3)('1-=-t t h ，则11)(log log 0)('33<+=⇔=e t t h .于是可知0)(=t h 有两根11=t 和c t =2)10(<<c .于是③式等价于1)(=y g 或c R y ∈(, c 为满足10<<c 的常量）假设存在R y ∈0使c y g =)(0，则)(3)()()0(101)(0000y g c y g y y g g y g -⋅=⋅=-==-- ∴c cy g ≠-=-1)(0或1，∴c y g =)(0矛盾，因此1)(=y g )(R y ∈，∴x b x f -=1)( 综上知：x x b x f b x f -=-=1)()(和说明：代换法是解函数方程最基本方法，很多函数方程中所特有的性质是通过代换法去发现的。
本题也是通过代换法打开了解题的思路。
2．柯西法例5 设)(x f 为定义在实数集R 上的单调连续函数，试解函数方程)()()(y x f y f x f +=⋅。
解：由)()()(y x f y f x f +=⋅用归纳法得：)()()()(2121n n x x x f x f x f x f ΛΛ++=当n x x x ===Λ21时，有)()]([nx f x f n =. ①若1=x ，n x f n f )]([)(=，令a f =)1(，得n a n f =)(,在①式中令n x 1=得：)1()]1([f nf n = 因)(x f 定义在实数集R 上，n 是偶数时，必有0)1(≥f ，这样0≥a ，∴n a nf 1)1(= 若m 为正整数，利用上式得：n mm n m a a n f n n n f n m f n m f ===+++=⋅=)()]1([)111()1()(1Λ.在原方程中，令0=y 有：)()0()(x f f x f =⋅，因)(x f 单调)(x f 不恒为0，∴01)0(a f ==.在原方程中，令x y -= 有n m x y -=-=(n , )N m ∈，则有)0()()(f n m f n m f =⋅-即n mn m a a n m f n m f --===-1)()(1)((又因为)(n m f -有意义，∴0,a >这样，我们便在有理数集内求得了函数方程)0()(>=a a x f x .又因)(x f 单调，不能恒为1，则)10()(≠>=a a a x f x 且为指数函数,当α=a 为无理数，设i i b a <<α且a i , b i 为无限接近于α的有理数.则由)(x f 单调知ααa f =)(，∴原方程的解为)10()(≠>=a a a x f x 且说明：柯西法是由解柯西方程)()()(y f x f y x f +=+而归纳出来的方法。
3．特殊值法例6 （2008年IMO 第4题）求所有的函数),0(),0(:+∞→+∞f 满足对所有的正实数ω，x , y , z ，yz x =ω都有：22222222)()())(())((z y x z f y f x f f ++=++ωω解：令1====z y x ω得：1)1()1())1((2=⇒=f f f ,对任意0>t 令t =ω，1=x ，t z y ==得：t t t f t f 21)(21))((22+=+,去分母整理：0))()(1)((=--t t f t tf ，所以对每个0>t 有t t f =)(或者t t f 1)(= ① 若存在b , ),0(+∞∈c ，使得b b f ≠)(，c c f 1)(=，则由①知，b , c 都不等于1。