专题——函数迭代
高中数学竞赛专题讲座---函数方程与迭代
函数方程与迭代1.迭代法先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题： 五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？ 设桃子的总数为x 个．第i 只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为i x 个，则14(1)5i i x x -=-, 1,2,3,4,5i =.且0x x =．设44()(1)(4)455f x x x =-=+-．于是:14()(4)45x f x x ==+-, 224(())()(4)45x f f x x ==+-,334((()))()(4)45x f f f x x ==+-, 444(((())))()(4)45x f f f f x x ==+-,554((((()))))()(4)45x f f f f f x x ==+-,由于剩下的桃子数都是整数,∴55|4x +．∴最小的x 为：5543121x =-=． 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代．一般地，设:f D D →是一个函数，对x D ∀∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，…，(1)()()(())n n f x f f x +=，n N *∈，则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代，并称n 为()()n f x 的迭代指数．反函数记为()()n f x -．一些简单函数的n 次迭代如下：（1）若()f x x c =+，则()()n f x x nc =+； （2）若()f x ax =，则()()n n f x a x =；（3）若()a f x x =，则()()n n a f x x =； （4）若()1x f x ax =+，则()()1n x f x nax =+； （5）若()f x ax b =+（1a ≠），则()1()1nn na f x a xb a -=+-； ()()n f x 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用数学归纳法．1．求迭代后的函数值例1 自然数k 的各位数字和的平方记为1()f k ，且11()[()]n n f k f f k -=，求(11)n f （n N *∈）的值域. 解：由条件可知： Λ;169)652()256()11(;256)961()169()11(;169)94()49()11(;49)61()16()11(;164)4()11(;4)11()11(21621521421321221=++===++===+===+======+=f f f f f f f f f f f所以(11)n f （n N *∈）的值域为{4,16,49,169,256}。
函数迭代和函数方程(数学竞赛讲稿)
第一讲函数迭代和函数方程一、基本知识简述1．函数迭代设是DD的函数，对任意，记，定义，，则称函数为的n次迭代. 将含有未知函数的等式称为函数方程.的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出的表达式，然后证明，证明时，常用数学归纳法.定理若对于任意的，有（1）则.证由（1）及数学归纳法不难证明：对于任意的正整数及有理数，有（2）在（2）中令，得（3）在（2）中令，得，.，，.当时，（4）由（3），（4）知，（5）对于任意的，设，则有即.注：在定理4中，若加上为连续函数这一条件，则有.定理4的证明方法叫做柯西方法，这一方法的基本步骤是依次求出正整数的函数值、整数的函数值、有理数的函数值，在函数连续的条件下，进一步求出实数的函数值..1．方法解读例1 已知为一次函数，且，求.解设，显然.令，得，即为的不动点.由定理1知，，，解之得，所以.例2 已知，求.解，，∴，，由数学归纳法易知.注：在函数迭代中，通过观察得出的函数要用数学归纳法给予严格证明.例3设函数，满足，且，都有（1）求.解（方法1）在（1）中将互换，则有（2）由（1），（2）得（3）在（3）中令，则有，即.易证是方程（1）的解.（方法2）在（1）中令，得（4）即.为了求出，需要求，为此在（1）中令，得，从而有，代入（4）可得.例4已知函数是的映射，满足：（1）对任意非负整数，有，（2），有，求.解在（2）中令，并记，则有.由于数列是递增数列，由定理3知，.若，矛盾，所以，，从而有.又因为，容易得.所以，.例5求所有的的映射，使得，均有（1）求.解设，在（1）中令，则有由（2）知的值域为，所以的值域为R.又若，则，由（2）得，所以，这表明是的双射.因此，使得.在（1）中令，得（3）由（2），（3）知，所以，，.在（1）中令，得（4）在（4）中令，注意到由（3）可知，从而有，故，有（5）由（4），（5）可知（6）因此，,有或.假设存在非零实数，使得，而，那么在（1）中令，得，又由（6）知或，矛盾，所以方程（1）的解是或.例6 设是定义在正整数集上且取正整数值的严格递增函数，，当互素时，有（1）证明：对一切正整数，.证，.又，.若结论不成立，设使的最小正整数为，则.，又，.由于是严格递增的，故当时，有（2）当为奇数时，2与互素，故（3）由于，所以，从而由（2）得（4）（4）与（3）矛盾.当为偶数时，2与互素，从而有（5）因为，所以，由（2）得（6）（6）与（5）矛盾.综上可知，，有.例7 求所有函数，使得，有（1）解，若，则，，，，故是的单射.下证.当时，在（1）中取，得.因为上式左边3个数均为正整数，所以只能全为1，故，即时结论成立.假设时，有，那么当时，由是单射知，从而有，进而有，即（2）（3）（4）将上述3式相加，得.又，从而知不等式（2），（3），（4）全取等号，故，即对于结论成立.由归纳法原理知，.例8.设在实数上都有定义，连续且不恒为0，求方程式(7)的解？【解】：任取，对任意的，存在使得，(可取，)将此代入(7)式可得令，则(8)因为在上连续上连续。
函数迭代和函数方程课件
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函数方程的基本概念 函数方程是指包含未知函数的方程。例如，$f(x) + f(2x) = 3x$是一个函数方程。
解函数方程的方法 解函数方程的方法包括代换法、迭代法、微分法 等。这些方法可以帮助我们找到满足给定条件的 函数。
函数方程的应用 函数方程在数学、物理、工程等领域有广泛的应 用。例如，在物理学中，牛顿第二定律就是一个 典型的函数方程。
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函数方程的应用场景
数学建模
在解决实际问题时，常常需要 建立数学模型，其中涉及到的 未知数或符号可以通过函数方
程求解。
物理问题
在研究物理现象或规律时，有 时需要通过建立和解决函数方 程来得出结论。
工程问题
在解决工程问题时，常常需要 建立数学模型，其中涉及到的 未知数或符号可以通过函数方 程求解。
经济问题
迭代函数的性质
迭代函数通常具有封闭性、递归性、可计算性和复杂性等性质。这些性质决定了迭代函数 的性质和行为。
迭代函数的收敛性
对于某些迭代函数，当迭代次数趋于无穷时，函数的值会趋于某个固定值，这种性质称为 收敛性。例如，$f(x) = x/2$的迭代序列${f^n(x)}$会收敛到0。
具体函数方程的解析
在数学研究中，迭代函数和函数 方程经常结合使用，以相互补充
和加强。
通过将迭代函数的动态变化过程 与函数方程的等式关系相结合， 可以更全面地研究函数的性质和
行为。
在解决一些复杂的数学问题时， 迭代函数和函数方程的结合应用 可以提供更有效的方法和思路。
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例解析
具体迭代函数的解析
迭代函数的基本概念
迭代函数是指通过将函数作用于自身而得到的函数。例如，$f(x) = x^2$是一个迭代函数， 因为$f(f(x)) = (x^2)^2 = x^4$。
高中数学竞赛题：函数迭代含详解
高中数学竞赛专题训练：函数迭代一、单选题1．设1()f x =对任意自然数n ，定义11()(())n n f x f f x +=.则1993()f x 的解析式为（）AB C D 2．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()02=f ，对任意x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立.则()1998=f .（）A ．3996B ．1998C ．1997D ．03．已知函数()f x 在(0,)+∞上有定义且为增函数，并满足1()(())1f x f f x x⋅+=.则(1)f =（）A ．1B ．0C ．12+D ．124．已知()11xf x x+-=，记()()1f x f x =，()()()()11,2,k k f x f f x k +== ，则()2007f x =（）A ．11x x+-B ．11x x -+C ．xD ．1x-5．已知对每一对实数x 、y ，函数f 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--．若()11f =，则满足()()f n n n Z =∈的个数是（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数多个6．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有()()()10 5 f x f x f x +=+-．若()50f =，则()2005f 的值为（）．A ．2000B ．2005C ．2008D ．07．设函数()f x 的定义域是(,)∞+∞对于下列四个命题:(1)若()f x 为奇函数,则()()f f x 也为奇函数;(2)若()f x 为周期函数,则()()f f x 也为周期函数;(3)若()f x 为单调递减函数,则()()f f x 为单调递增函数;(4)若方程()()f f x x =有实根,则方程()f x x =也有实根,其中,正确的命题共有个（）A ．1B ．2C ．3D ．48．设()1211x f x x -=+,对2n ≥,定义()()()11n n f x f f x -=.若()2912x f x x +=-,则()2009 f x =______.9．设()()211xf x eg x ln x -＝，＝（＋）.则不等式()()()()1f g x g f x -的解集为_______.10．已知()[]12,0,1f x x x =-∈，那么方程()()()12f f f x x =的解的个数是_________.11．已知函数()f x 满足()()()3,1000;=+5,<1000.x x f x f f x x -≥⎧⎪⎨⎪⎩则()84f =________.12．设函数()f x 定义在R 上，对任意x R ∈，()110062f x +=+()310054f -=.则()2013f =___________.13．设定义在整数集上的函数f ，满足()()14,2000,n 19,2000.n n f f f n n -≥⎧⎪=⎨⎡⎤+<⎪⎣⎦⎩则()1989f =_____.14．设函数()f n 定义在正整数集上，对于任一正整数n ，有()()43f f n n =+，且对任意非负整数k ，有()1221k k f +=+．则()2303f =__________．15．设f(x)为定义在整数集上的函数,满足条件(1)()11f =,()20f =;(2)对任意的x 、y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-则()2015f =______.三、解答题16．已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠.若方程()f x x =无实根，求证：方程()()f f x x =也无实根.17．已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，()02f =，对任意x R ∈，有()()5254f x f x +=--，①()()3256f x f x -=-②，求()2012f 的值.18．对任意正整数m ，n ，定义函数(,)f m n 满足如下三个条件：①(1,1)1f =；②(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++；③(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-．（1）求(3,1)f 和(1,3)f 的值；（2）求(,)f m n 的解析式．参考答案：1．C【详解】n=1时，()1f x =假设n k =时，()k f x =则1n k =+时，()1k f x +==所以()1993f x 故答案为C2．D【详解】令2x =-，则有()()()224f f f =-+，即()()()224.f f f +=()()()()42204f f f x f x ∴==⇒+=，即()f x 是以4为周期的函数.()()()199********.f f f ∴=⨯+==3．D【详解】设()1f a =，1x =.由已知函数等式得()()()1111f f f +=，()11af a +=，()11f a a+=.设1x a =+，有()()11111f a f f a a ⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭，11111f a a a ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，()11 11f a f a a ⎛⎫+== ⎪+⎝⎭.由()f x 是增函数，则有1111a a+=+，解得a=当()112f =时，有()()11111a f f a a <=<+=<矛盾，所以()112f =.选D.4．B【详解】()111x f x x +=-，()()1223121111, 111f f x f x f x f x f x ++-==-==--+，()34311f f x x f +==-据此，()4111n xf x x++=-，()()424311, 1n n x f x f x x x ++-=-=+，()4n f x x=因2007为4n+3型，故选B.5．B【详解】令1y =得()()()111f x f f x x +=+--，即()()12f x f x x +=++．令0x =得()()102f f =+．由()11f =知()01f =-．当n N +∈时，()()()()()()()113101012nnk k n n f n f k f k f k f ==+⎡⎤=--+=++=-⎣⎦∑∑．同理，()()312n n f n -+-=--．所以，()()312n n f n +=-，n Z ∈．令()f n n =，解得2n =-或1n =．6．D【详解】由题意得()()()()5105fx f x f x -+=-+，所以，()()()101515f x f x f x +=-=--从而，()()()2550f x f x f x =--=-故()f x 是以50为周期的周期函数.因此，()()()20055040550f f f =⨯+==.7．C【详解】若()f x )为奇函数,则()()()()()()f f x f f x f f x -=-=-.故()()f f x 也为奇函数.因此,命题(1)正确.若()f x 为周期函数,设T 为()f x 的一个周期,则()()()()f f x T f f x +=.故()()f f x 也为周期函数，因此,命题(2)正确.若()f x 为单调递减函数,则对任何x y <,由:()()()()()()f x f y f f x f f y >=<.故()()f f x 为单调递增函数，因此,命题(3)正确.但命题(4)不正确例如,取：()2,011,0;0, 1.x x f x x x ⎧=≠⎪==⎨⎪=⎩或；则()()4,010,0;1, 1.x x f f x x x ⎧+≠⎪==⎨⎪=⎩或；.故方程()()f f x x =有01、两个实根,但0x ≠或1时,()2f x x x =+>,而()()01,10f f ==,知方程()f x x =没有实根.8．12xx+-【详解】因为()3012x x f x f x +⎛⎫== ⎪-⎝⎭,所以,()()311f x f x =.而2009306629=⨯+,于是,()()20092912xf x f x x+==-.故答案为12xx +-9．(]1,1-【详解】注意到()()()()2f g x g f x x -=.故()()()()2f g x g f x x -=.又定义域为()1,-+∞，从而，不等式的解集为(]1,1-.10．8【详解】∵()12f x x =-112,0,2121,,12x x x x ⎧⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩即()f x 有关于x 的两个一次表达式.同理,()()f f x 有关于()f x 的两个一次表达式,而每个()f x 有关于x 的两个表达式,以所()()f f x 有关于x 的四个一次表达式.同理,()()()f f f x 有关于x 的八个不同的一次表达式,因此,所求方程解的个数是8.11．997【详解】记()()()()()n n f x f f f x个.则()()()()()1848489999f f f f === ()()()()()()18518418310041001998f ff===()()()()()()18418318210031000997f f f===()()()()()()18318218310029991004f f f ===()()()()()()18218118210019981003f ff===()()()18110001000997f f ==== .因此，()84997f =.12．12+【详解】由题意知()112f =+12=+()13100724f ==，()()1120131007100622f f =+==.13．()19891990f =【详解】(1989)[(2008)](1994)[(2013)](1999)[(2018)](2004)1990f f f f f f f f f f =======14．4607【详解】注意到23432303343434342=+⨯+⨯+⨯+⨯.而()()()()()4343f n f f f n f n +==+，则()()2332303343434342f f =++⨯+⨯+⨯=…()()()234323444433434343423434343421230342124607f =+⨯+⨯+⨯+=+⨯+⨯+⨯++=++-=15．1±【详解】在条件(2)中令0x =,则()()()()()011f y f f y f f y =-+，由()11f =,知()()010f f y -=.在上式中令0y =,则()()()01000f f f =⇒=.在条件(2)分别令1,1,2x =-得()()()()()1110f y f f y f f y +=-+()1f y =-,()()()()()1112f y f f y f f y -=--+()()()()1111f f y f f y =--=-+,()()()()()2211f y f f y f f y +=-+-()()1f f y =-，由()()()111f y f f y -=-+()()()12f y f f y =-+()()()21f y f f y ⇒=-()11f ⇒-=±.若()11f -=,则()()2f y f y +=，由条件(1)知()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，经检验,f 满足条件故()20151f =.若()11f -=-,则()()2f y f y +=-()()()01x 141,14x f x mod x mod ⎧⎪=≡⎨⎪-≡-⎩，为偶数，，经检验,f 满足条件故()20151f =-.综上,()20151f =±.16．见解析【详解】将函数式()()20f x ax bx c a =++≠代入方程()f x x =，移项后，得()210ax b x c +-+=()0a ≠.已知这个方程无实根，所以它的判别式为负，即()21140b ac ∆=--<.进而，由()()()()()2f f x a f x bf x c =++，将()f x 的表达式代入方程()()f f x x =，得()()222a ax bx cb ax bxc c x++++++=()0a ≠.变形，得()()222220a ax bx c x ax b ax bx c x bx c x ⎡⎤⎡⎤++-++++-++-=⎣⎦⎣⎦，提公因式，得()()22110ax b x c a ax bx c x b ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦，即()()()22110f x x a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤-+++++=⎣⎦⎣⎦.由条件知方程()0f x x -=无实根，所以，上面这个四次方程()()22110a x a b x ac b +++++=与有相同的实根.所得辅助二次方程的判别式是()()()2222221411444a b a ac b a b b ac ⎡⎤∆=+-++=+---⎣⎦()()()22221144440a b ac a a ⎡⎤=---=∆-<⋅-<⎣⎦，所以，这个辅助二次方程无实根，进而推出原四次方程()()f f x x =无实根.17．2【详解】在式①中取()1322x y y R =-∈，得()()212f y f y +=-.在式②中取()1233x y y R =+∈，得()()12f y f y =-，于是，()()2f y f y +=，即()f x 是一个周期为2的函数，故()()()201221006002f f f =⨯+==.18．（1）(3,1)11f =，(1,3)7f =（2）22(,)231f m n m mn n m n =++--+【分析】（1）由已知关系式直接推得即可；（2）由(1,1),(1,2),,f f 依次推出(1,)f n ，再由(1,),(2,)f n f n ，L ，依次推出(,)f m n 即可.【详解】解：（1）因(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++，令1m n ==代入得:(2,1)(1,1)2(11)145f f =++=+=，令2m =，1n =代入得:(3,1)(2,1)2(21)5611f f =++=+=，又(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-，令1m n ==代入得：(1,2)(1,1)2(111)123f f =++-=+=．令1m =，2n =代入得：(1,3)(1,2)2(121)347f f =++-=+=．（2）由条件②可得(2,1)(1,1)2(11)22f f -=⨯+=⨯，(3,1)(2,1)2(21)23f f -=⨯+=⨯，……(,1)(1,1)2(11)2f m f m m m --=⨯-+=⨯．将上述1m -个等式相加得：2(,1)2(23)(1,1)1f m m f m m =++⋅⋅⋅++=+-．由条件③可得：(,2)(,1)2(11)2f m f m m m -=+-=，(,3)(,2)2(21)2(1)f m f m m m -=+-=+，……(,)(,1)2(11)2(2)f m n f m n m n m n --=⨯+--=⨯+-．将上述n 1-个等式相加得：2(,)2[(1)(2)(2)]1f m n m m m m n m m =+++++⋅⋅⋅++-++-22231m m n n m n =++--+．【点睛】本题主要考查了函数的递推关系式，注意观察规律，细心完成即可.。
函数迭代与不动点迭代法
函数迭代与不动点迭代法函数迭代和不动点迭代法是数值分析中常用的数值迭代方法，用于求解方程或优化问题。
它们在不同的应用领域都有广泛的应用，并且具有简单易懂、易于实现等优点。
本文将介绍函数迭代的基本原理和步骤，并详细介绍不动点迭代法的定义、性质以及求解过程。
函数迭代函数迭代是一种基本的数值迭代方法，用于求解非线性方程或优化问题。
它的基本思想是通过多次迭代，使得每次迭代得到的结果趋近于方程的根或优化问题的极值点。
函数迭代的基本步骤如下：1.选择一个初始值x0作为迭代的起点。
2.根据迭代公式x n+1=f(x n)，计算出下一个迭代点x n+1。
3.判断是否达到迭代的停止条件。
如果满足停止条件，则输出近似解x n+1；否则，返回第2步。
函数迭代的收敛性与迭代函数f(x)的选择密切相关。
如果函数迭代收敛，即x n收敛于方程的根或优化问题的极值点，那么我们可以通过多次迭代得到近似解。
反之，如果函数迭代发散或者收敛速度非常慢，那么我们需要考虑其他的数值方法。
不动点迭代法不动点迭代法是函数迭代的一种特殊形式，它通过将方程转化为f(x)=x的形式，求解方程的根或优化问题的极值点。
不动点迭代法的基本思想是选择一个适当的迭代函数g(x)，通过迭代公式x n+1=g(x n)，不断迭代，直到找到满足f(x)=x的不动点。
不动点迭代法的步骤如下：1.将方程f(x)=x转化为g(x)=x的形式，即f(x)=x等价于g(x)−x=0。
2.选择一个初始值x0作为迭代的起点。
3.根据迭代公式x n+1=g(x n)，计算出下一个迭代点x n+1。
4.判断是否达到迭代的停止条件。
如果满足停止条件，则输出近似解x n+1；否则，返回第3步。
不动点迭代法的关键是选择合适的迭代函数g(x)。
迭代函数g(x)应该满足以下条件：1.在方程f(x)=x的根或优化问题的极值点附近，迭代函数g(x)的导数g′(x)存在且连续。
2.在方程f(x)=x的根或优化问题的极值点附近，满足|g′(x)|<1。
函数迭代和函数方程
2.5函数迭代和函数方程一、基本知识简述 1． 函数迭代设f 是D →D 的函数，对任意D x ∈，记x x f=)()0(，定义))(()()()1(x f f x f n n =+，*N n ∈，则称函数)()(x fn 为)(x f 的n 次迭代.一些简单函数的n 次迭代如下： （1） 若a x x f +＝)(，则)()(x f n na x +＝；（2） 若ax x f ＝)(，则)()(x fn x a n ＝； （3） 若ax x f ＝)(，则)()(x fn na x ＝；（4） 若axx x f +1)(＝，则)()(x f n nax x +1＝；（5） 若)1()(≠+a b ax x f ＝，则)()(x fn ab a b n x a --+-11)(＝； )()(x f n 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出)()(x fn 的表达式，然后证明，证明时，常用数学归纳法.2． 函数方程含有未知函数的方程称为函数方程，如果一个函数)(x f 对其定义域内自变量的一切取值均满足所给的函数方程，则称)(x f 为该方程的解.证明函数方程无解或寻求鞭解的过程就是解函数方程. 一般用以下方法：（1） 代换法：将方程中的自变量适当地以别的自变量代换，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数.（2） 赋值法：根据所给的条件，适当地对自变量赋予某些特殊值，从而简化函数方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.（3） 待定系数法：当函数方程中的未知函数是多项式时，可用此法经比较系数而求解.（4） 递推法：设)(x f 是定义在整数集＊N 是的函数，如果存在一个递推关系S和初始条件1)1(a f ＝，当知道了)1(f ，,),2( f ，)(n f 的值，由S 可以惟一地确定)1(+n f 的值，递推法主要用于解决递归函数问题.二、例题1.求函数迭代后的表达式例1设11)(+-=x x x f 记fn n x f f f x f 个)])([()(=，求)(1999x f例2已知函数3)(+=x x g ，)](5[)(1x g g x f -=.记)]([)(2x f f x f =，)]([)(23x f f x f =，)]([)(1x f f x f n n -= ，则函数)(),(2x f x f ，)(3x f 的表达式依次为＿＿＿，＿＿＿＿，＿＿＿；而)(x f n 的表达式为＿＿＿＿. 2.求迭代后的函数值例3自然数k 的各位数字和的平方记为已知函数)(1x f ，且)]([)(1k f f k f n n -=，求 )11(n f （*N n ∈）的值域.例4已知函数k n f =)(，k 是循环小数0.918273645的小数点后的第n 位数字，则))]([( x f f f 的值为＿＿＿＿.例5设121)(+=x x f ，而))(()(11x f f x f n n =＋，（*N n ∈），记2)2(1)2(+-=n n n f f a ，求99a例6.在自然数集N 上定义的函数⎩⎨⎧+-=)]7([3)(n f f n n f ),1000(),1000(<≥n n 求)90(f 的值.3.解函数方程例7.已知),0,(-∞∈x 函数)(x f 满足xx f x f 51)(3)(2=-，求)(x f 的最小值及相应的x 值.［同类变式］函数)(x f 满足xx f x f 5)(3)(2=--，求)(x f例8.已知xx xx x f f +-++=-12111)(2)(，求)(x f 的表达式.例9.实数集R 上的函数)(x f y =满足：（1）22121212sin 42cos )(2)()(x a x x f x x f x x f +=-++),,(21是常数a R x x ∈ （2）1)()0(4==πf f （3）当],0[4π∈x 时，2)(≤x f 试求：（1）函数)(x f y =的解析式 （2）常数a 取值范围.4.由函数方程函数值例10.如果)()()(y f x f y x f =+，并且2)1(=f ，求)1999()2000()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f ++++的值例11.定义在R 上的函数)(x f ，恒有)()()(y f x f y x f +=+，若4)16(=f ，求)2003(f . 例12.若)(x f 是定义域为R 的函数，并且)(1)](1)[2(x f x f x f +=-+，32)1(+=f ，求)1997(f 的值. 三、习题 1. 若⎩⎨⎧=为无理数为有理数，x x x f ,01)( 则)]([x f f 的值 ( )(A)等于1 (B)等于0(C)可能为1，也可能为0 (D)可能是0,1以外的数2.已知1)1(+=-x x f ，则)12(+x f ＝ （ ） (A) x 2 (B) 12+x (C) 22+x (D) 32+x3. 已知43)(2+-=x x x f ，486950183))((234++++=x x x x x g f ,那么)(x g 的各项系数和为（ ）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 114. 若函数)(x f ，满足)()()(y f x f y x f +=+R y x ∈,，则下列各式中不恒成立的是（ ） (A) 0)0(=f (B) )1(3)3(f f = (C) )1()(2121f f = (D) 0)()(<-x f x f5.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧--=101)(x x f 000>=<x x x 定义)]([)()2(x f f x f =，)]([)()1()(x ff x f n n -=，*),2(N n n ∈≥，且)()()1(x f x f =，那么关于n 的方程0)2001()(=n f的最小下整数解为 （ ）(A) 2000 (B) 2001 (C) 2002 (D) 2003 (二)填空题6.已知函数,)(2q px x x f ++= R x q p ∈、、,又集合{}x x f x A ==)(|，{}x x f f x B ==)]([|.{}3,1-=A ，则B ＝＿＿＿＿7.已知11)(+-=x x x f ，12)(-+=bx a x x g ，且xx g f 21))((=，则a=______,b=_________.8.设函数2)1()(2+-=x x f （x ≤0）,函数)(x g 适合x x g f =)]([，则)(x g _______.9. 已知函数22)(+--=+x x a x f ，且3)]([=a f f ，则a=________.10.已知)(x f 是一次函数，且10231024)()10(+=x x f，则)(x f ＝＿＿＿＿＿11.若函数)(x f 满足条件x f x f x=-)(4)(1，则)(x f 的最小值是＿＿＿＿. 12.设)(x f y =是定义在R 上的函数，且对于任意实数a,b,有ab b af f =)]([，则)1999(f 13. 设121)(+=x x f ，而))(()(11x f f x f n n =＋，（*N n ∈），记2)0(1)0(+-=n n n f f a ，求100a(三)解答题14. 设],0[2πα∈，函数)(x f y =的定义域为[0,1],且0)0(=f ，1)1(=f ，当y x ≥时，有)()sin 1(sin )()(2y f x f f y x αα-+=+，求 （1）)(),(4121f f ； （2）α的值；（3）函数)2sin()(x x g -=α的单调递增区间.。
函数方程和函数迭代问题
函数方程和函数迭代问题第四讲函数方程和函数迭代问题在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质.一. 探求函数的解析式1,换元法换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解. 例1 解函数方程 f(x)+f(xx 1-)=1+x (x ≠0,x ≠1) 例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c 为实常数,求f(x)2.赋值法赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的.例3 已知定义在R 的函数满足⑴ f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)cos2x 2+4asin 2x 2 (x 1,x 2∈R,a 为常数)⑵ f(0)=f(4π)=1 ⑶ 当x ∈[0, 4π]时,f(x)≤2 试求⑴函数f(x)的解析式;⑵常数a 的取值范围.例4 f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x)⑴ f[xf(y)]f(y)=f(x+y);⑵ f(2)=0⑶ 当0≤x ＜2 f(x)≠03递推法例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=23,且对任意x,y ∈N,有 f(x+y)=(1+1+x y )f(x)+(1+1+y x )f(y)+x 2y+xy+xy 2,求f(x) 4. 柯西法柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解例6 设f(x) 是定义在有理数集上的函数,且对任意的有理数x,y 有f(x+y)=f(x)+f(y),试求f(x)5, 待定系数法这一方法的其本思想是:当f(x)是多顸式时,可设f(x)=a 0x n +a 1x n-1+….+a n (a 0≠0),代入函数方程的两端,然后比较方程两端x 最高次幂的指数和x 同次幂的系数,便可得出关于n 及a 0 a 1…a n .的方程组,解这个方程组便可确定n 及a 0 a 1…a n 的值,从而得到函数方程的解例７确定符合下列条件的所有多项式f(x) f(x+1)=21f[f(x)]+23 6 , 利用不等式夹逼利用不等式夹逼求解函数方程,主要是利用下列几个明显的结论:⑴ 若对任意x ∈I, 有f(x)≥g(x) 及f(x)≤g(x)则对任意x ∈I,有f(x)＝g(x)⑵ 若对任意x,y ∈I,有f(x)≤g(y)则交换x,y 得f(y)≤g(x)于是对任意的x,y ∈I 有f(x)＝g(y)由此可得f(x)＝常数(x ∈I).⑶ 若f:N →N 满足m ≤f(n)＜m+1或m-1＜f(n)≤m 或m-1＜f(n)＜m+1(m,n ∈N)则f(n)=m,例8 设f(x) 是具有下列性质的函数⑴ f(n)对每一正整数n 有定义;⑵ f(n)是正整数;⑶ f(2)=2⑷ f(mn)=f(m)f(n),对一切m,n 成立;⑸ f(m)＞f(n),当m ＞n 时试证: f(m)=f(n)例9 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,它的值域也是全体自然数所成的集N,并且对任意两个自然m 与n,只要m ≥n 就有f(m) ≥n, 试证: f(m)= m 对任意的自然数m 成立.例10 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,满足: ⑴f(n )的值域为整数;⑵当m ＜n 时,f(m)＜f(n);⑶当m,n 互素时,f(mn)=f(m)f(n),试求符合上述条件的一切函数f(x).二. 探求函数的值在各级各类数学竞赛中除了求函数方程的解以外,还经常遇到由函数方程给出的特殊定义的抽象函数,要求参赛者探求其函数的特殊的函数值.例11. 设N 是自然数集, f(x)是定义在N 上并在N 内取值的函数,且对x,y ∈N,有f[f(x)+y]=x+y,求f(1988)的所有可能的值例12. 设f(n )对所有正整数有定义,取非负整数值,并且对所有正整数m,n 有f(m+n)-f(m)-f(n)=0或1.又f(2)=0.f(3)＞0,f(9999)=3333,求f(1982).例13. 设f(x),g(x)是定义在正整数集Z +上并取整数的严格递增函数,如果它们满足:⑴f(Z +) ∪ g ( Z +) = Z +(⑵f(Z +) ∩ g ( Z +) =⑶g(n)=f(f(n))+1试求f(240).三.讨论函数的性质探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。
函数迭代和函数方程
2.函数方程
1.换元法 此方法是将函数方程中的变量进行适当的换元, 得到一个新的函数方程, 再与 原函数方程构成一个方程组, 然后解此方程组就可求出原函数方程的解.但要注意 在换元时也许使函数的定义域发生了变化,需通过验证来证实.
例3. 已知实值函数F ( x)满足F ( x) + F ( x −1 ) = 1 + x(∗)( x ∈ R, 且x ≠ 0,1), 求F ( x). x
证 : 先证明对于任意自然数k , 只要n ≥ k , 则f (n) ≥ k .我们用数学归纳法证 : 当k = 1时, 显然,1是f (n)的值域中的最小数, 所以命题成立. 假设命题对于自然数k成立, 则当n ≥ k + 1时, n − 1 ≥ k ,由假设f (n − 1) ≥ k ,当然 f ( f (n − 1)) ≥ k . 由已知f (n) > f ( f (n − 1))得f (n) > k .于是有f (n) ≥ k + 1.即当n ≥ k + 1时, 命题也成立.从 而不等式f (n) ≥ k对于任意自然数k和任何不小于k的自然数n成立.取k = n, 则f (n) ≥ n. 再令n = f (k ), 则f ( f (k )) ≥ f (k ).又f (k + 1) > f ( f (k )), 故f (k + 1) > f (k ), 即函数f (k )是 严格递增函数. 因对于任意的n, f (n + 1) > f ( f (n)), 又f (k )严格递增, 故有n + 1 > f (n), 即f (n) ≤ n, 但已 证明f (n) ≥ n, 从而只能有f (n) = n成立.
函数迭代和函数方程
函数的变换与迭代
函数的变换与迭代一、函数变换1.函数平移：–水平平移：f(x + a)–垂直平移：f(x) + b2.函数缩放：–水平缩放：f(ax + b)–垂直缩放：f(x) * c3.函数反射：–y = f(-x) 为关于y轴的对称–y = -f(x) 为关于x轴的对称–y = f(x) 为关于原点的对称二、函数迭代1.迭代概念：–函数迭代：将函数的结果作为输入再次输入函数中，得到新的输出。
–迭代序列：a_n = f(a_(n-1))，其中a_0为初始值。
2.迭代规律：–收敛迭代：lim(n→∞) a_n 存在，称为收敛。
–发散迭代：lim(n→∞) a_n 不存在，称为发散。
3.迭代举例：–平方迭代：a_n = a_(n-1)^2–立方迭代：a_n = a_(n-1)^3三、函数变换与迭代的应用1.几何变换：–缩放和平移在几何图形中的应用，如图形放大、缩小、平移等。
2.物理应用：–振动方程的迭代求解，如简谐振动、非线性振动等。
–电磁场的迭代计算，如麦克斯韦方程组的求解。
3.计算机科学：–迭代算法：如斐波那契数列、矩阵幂的计算等。
–分形生成：如分形树、雪花曲线等的生成。
四、中小学生的学习内容和身心发展1.学习内容：–函数的基本概念和性质。
–函数的图像和几何变换。
–函数的迭代规律和应用。
2.身心发展：–培养学生的逻辑思维能力。
–提高学生的创新意识和实践能力。
–增强学生的数学美感和审美能力。
五、教学策略和方法1.教学策略：–结合实例讲解函数变换和迭代。
–通过问题驱动，引导学生探索函数变换和迭代规律。
–注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
2.教学方法：–讲授法：讲解函数变换和迭代的基本概念和性质。
–实践法：让学生动手实践，绘制函数图像，观察迭代规律。
–讨论法：分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
习题及方法：1.习题一：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(x)向左平移2个单位后的函数表达式。
答案：f(x + 2) = 2(x + 2) + 3 = 2x + 7解题思路：根据函数平移的规则，将函数f(x)中的x替换为x + 2，得到新的函数表达式。
自主招生专题——函数迭代与不动点问题
岛 ％琵 一 砖既％
中学 数学 杂志
２ ０ １ ３年第 ７期
自主 招 生 专 题 —— 函数 迭代 与 不动 点 问题
华 南师 范大 学数 学科 学 学院 ５ １ ０ ６ ３ １ 凌明 灿
函数 迭 代是 函数 的重要 分 支 ， 其 理论 与方 法 在 计 算数 学 等领域 中有 广 泛 的应 用 ， 各 高校 在 自主招 生 中有 一定 的考查 ． 不 动 点 则 是 函数 迭 代 的一 个 美
妙性质 ， 如精灵般活跃在迭代 问题 中， 往往起到“ 四
两拨 千斤 ”的功效． 自主招 生 考 试 中 ， 函数 迭代 中 的
不变性 质 与常 系数 分 式 递 推关 系 尤 为 热 门 ， 这 两类
有唯一 不 动点 ， 则ｌ 厂 （ ） 也有 唯一 不动点 ．
证明 设 。 是ｆ （ ｆ （ ） ） 的唯一不动点 ， 即ｆ （ ｆ
证 法．
练习 ３ 解方程 ： ＝ ＾ 、 ／ ２ ＋ √２ ＋ √２ ＋ ￣ ／ ２ ＋ ．
（ 令 ） ＝ ￣ ／ ２ ＋ ， 则原方程为 ＝ ｆ ４ （ ） ． ＝ － 厂 （ ）
设
。 ） ） ＝ 。 ， 令ｆ （ 。 ） ＝ｔ ≠ 。 ， 则ｆ （ ｔ ） ＝ 。 ，
的解 为 ＝ ２ ， 利用例 ２证 其唯 一性． ）
２ 分式 线性 递推关 系
ｒ 上 Ⅱ ＋６
点（ 。 ， ｔ ） 与（ ｔ ， 。 ） 关于 ｙ ＝ ｘ对称且 都在 ｙ Ｉ 厂 （ ） 上． ｙ
Ｉ 厂 （ ） 与ｙ ＝ ｘ必有 交 点 ， 从而ｆ （ ） ＝ 必 有 实数 根 ，
在 实数 根．
（ ２ ） ） 为单 调 递 增 函数 时 ， 是 否有 Ｍ＝ Ⅳ？并
专题——函数迭代
专题-----函数迭代利用了一个函数自身复合多次，这就叫做迭代。
一般地，设f ：D →D 是一个函数，对任意的x ∈D ，记f (0)(x)=x ，f (1)(x)=f(x)f (2)(x)=f(f(x))，…，f (n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代，并称n 为f (n)(x)的迭代指数。
如果f (n)(x)有反函数，则记为f (-n)(x).于是迭代指数可以取所有整数. 对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的. 若f(x)=x+c ，则f (n)(x)=x+nc. 若f(x)=x 2，则f (n)(x)=x 2n.若f(x)=ax+b ，则f(n)(x)=a n x+aa n--11b(a ≠). 函数的迭代的理论与方法在计算数学和微分动力系统等领域中有着很重要的应用。
然而，由于它的一些方法和结果是初等的，又较有趣，因而在数学竞赛中屡有出现。
⑴观查法例1、设f(x)=3x+2，证明：存在正整数m ，使f (100)(m)能被1988整除。
证 因为f(x)=3x+2，所以 f (100)(x)=3100x+(399+398+…+3+1)·2， f (100)(m)=3100m+(399+398+…+3+1)·2.由于（3，1988）=1，因此（3100，1988）=1.根据裴蜀恒等式，存在正整数u ，v ，使得：1988u-3100v=1. 记n=2(399+398+…+3+1)，那么由1988 3100v-1 ,知：1988 n(3100v+1). 因此，取m=nv ，则1988 3100m+n.从而命题得证。
注 裴蜀恒等式是：设（x ，y ）=1，则存在正整数u ，v,使得 ux-vy=1.例2、 设).(.12)()(2x f x x x f n 计算-=答案： .222()(1)nnn nx f x x x =--⑵不动点求函数迭代：把f(x)写成f(x)=-21(x-3π)+3π，则 f (2)(x)=(-21)2(x-3π)+3π,f (3)(x)=(-21)3(x-3π)+3π,f (n)(x)=(-21)n (x-3π)+3π.把f(x)变形，找到了一个较易求f n (x)r 表达式。
函数迭代与周期函数性质
函数迭代与周期函数性质在数学中，函数迭代和周期函数是两个常见的概念。
函数迭代是指通过反复应用一个函数来产生一系列值的过程，而周期函数则是在一定区间内具有重复性质的函数。
在本文中，我们将探讨函数迭代和周期函数的性质及其在数学中的应用。
函数迭代函数迭代是指通过多次反复应用一个函数，将前一次的输出作为下一次的输入，从而产生一系列值的过程。
具体而言，给定一个函数f(x)，我们可以将函数的迭代定义为：$$ x_1 = f(x_0) \\\\ x_2 = f(x_1) \\\\ x_3 = f(x_2) \\\\ \\cdots \\\\ x_n = f(x_{n-1}) $$其中，x0是初始值，$x_1,x_2,x_3,\\cdots,x_n$ 表示迭代过程中生成的一系列值。
函数迭代可以使用循环结构来实现，也可以使用递归方式来表达。
函数迭代在数学中具有广泛的应用。
例如，在数值分析中，函数迭代可以用来求解方程的根。
通过选择适当的初始值和迭代函数，我们可以逐步逼近方程的根，从而得到一个近似解。
此外，函数迭代还可以用来研究动态系统的行为，通过观察函数迭代的收敛性和周期性，我们可以揭示系统的稳定性和混沌性质。
周期函数周期函数是指在一定区间内具有重复性质的函数。
具体而言，对于一个函数f(x)，如果存在一个常数T>0，使得对于任意x，都有f(x+T)=f(x)成立，则称函数f(x)为以T为周期的周期函数。
其中，T称为函数的周期。
周期函数在数学中具有重要的性质和应用。
首先，周期函数具有周期的性质，即在一个周期内的函数值是相同的。
这可以大大简化周期函数的研究和计算。
其次，周期函数的图像具有重复性质，可以通过一个周期内的图像来推断整个函数的图像。
这在图像处理和信号处理中具有重要的应用。
周期函数具有丰富的类型和变化。
最简单的周期函数是常数函数，其图像在整个定义域上是相同的。
另一类常见的周期函数是三角函数，包括正弦函数和余弦函数。
函数迭代不动点法的运用
函数迭代不动点法的运用
函数迭代不动点法（Fixed-Point Iteration Method）是一种数值计算方法，用于寻找函数的不动点（即满足f(x) = x的点），通常用于解非线性方程的近似解。
迭代不动点法可以通过重复应用函数的迭代过程，逐步逼近不动点。
该方法的基本思想是先将原方程转换为等价的形式，使其可以通过迭代求解。
以下是函数迭代不动点法的一般步骤：
1.将原始方程f(x) = x转换为x = g(x)的形式，其中g(x)是一个
新函数。
2.选择一个初始近似值x0。
3.迭代过程：重复应用迭代公式xn+1 = g(xn)，直到满足停止
准则，例如达到所需的精度或迭代次数。
4.返回最终的逼近解xn，即不动点的近似值。
函数迭代不动点法的成功与否与选择的迭代函数g(x)密切相关。
选择适当的迭代函数是关键。
一个有效的选择应该满足以下条件：
•g(x)在迭代区间（通常是一个区间）内连续。
•g(x)在迭代区间内有唯一的不动点（x = g(x)的解）。
•迭代函数g(x)对于初始近似值x0收敛到不动点。
但需要注意的是，并不是所有的函数都适合使用函数迭代不动点法。
某些函数可能在特定区间内不满足上述条件，导致迭代不收敛或产生不稳定的结果。
函数迭代不动点法在数学和计算科学中有广泛的应用，如解方程、求解非线性方程组和优化问题等。
它是一种简单且直观的方法，但在实践中需要认真选择迭代函数，并控制迭代过程以避免不收敛或产生误差。
导数与函数的迭代法
导数与函数的迭代法导数和函数的迭代法是微积分中的两个重要概念，它们分别用于研究函数的变化率和逼近函数的解。
在本文中，我们将探讨导数的基本定义和性质，以及函数的迭代法在数值计算中的应用。
一、导数的基本定义和性质导数是描述函数变化率的重要工具，常常被用于解决实际问题和优化算法。
在微积分中，导数的定义如下：设函数y=f(x)，其中f(x)在点x处有定义，如果极限：lim┬(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/△x存在，那么该极限就被称为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)，即：f'(x)=lim┬(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/△x导数的意义在于描述函数在某一点的瞬时变化率，可以用来确定函数的极值点、切线方程等。
导数具有以下几个基本性质：1. 可加性：若函数y=f(x)和g(x)在点x处都可导，则[f(x)+g(x)]' = f'(x) + g'(x)。
2. 可乘性：若函数y=f(x)和g(x)在点x处都可导，则[f(x)g(x)]' =f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
3. 基本函数导数：常数函数f(x)=c的导数为0，幂函数f(x)=x^n(n为常数)的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
二、函数的迭代法函数的迭代法是一种数值计算方法，常用于求解方程的近似解。
通过反复迭代函数的计算，不断逼近方程的解，直到满足所设定的精度要求。
函数的迭代法的基本思想如下：1. 选择一个初始值x0，将其代入原方程，得到x1=f(x0)。
2. 将x1代入原方程，计算x2=f(x1)。
3. 重复以上步骤，直到满足所设定的精度要求，即|x_n+1 - x_n | < ε，其中ε为所要求的精度。
函数的迭代法可以用于求解非线性方程、递推关系式等，是一种简单而有效的数值计算方法。
三、导数与函数的迭代法的关系导数和函数的迭代法在数学和计算中有着密切的联系。
第三讲 函数的方程与迭代
第三讲 函数的方程迭代1、函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M) f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2) f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。
有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M) 2、不定方程有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，91分给小儿子，应该怎样分呢？问题：一个老人有n 头马，他打算把a1分给大儿子，b 1分给二儿子，c1分给小儿子，并满足A<b<c, a|n+1, b|n+1, c|n+1, (a1+b1+c 1)(n+1)=n 问老人的马的匹数n 有多少种可能分法？显然就是求方程a1+b1+c1=1n n 满足条件a<b<c且a|n+1, b|n+1, c|n+1的整数解的问题，像这样未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（例如有理数、整数、或正整数）的方程或方程组，就称为不定方程。
3、高斯函数[x]定义：[x]－表示不超过x 的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x 的小数部分函数y={x}, {x}=x －[x]。
图象：性质： ① y=[x]的定义域为R ，值域为Z ，y={x}定义域为R ，值域为[0,1)，是周期函数。
y=[x] y={x}② 对任意实数x ，有x －1<[x]≤[x]+1； ③ [x]是不减函数，即当x ≤y 时，有[x]≤[y]；④ [x+m]=[x]+m ⇔m ∈Z ；⑤ 对一切实数x,y 有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1, {x+y}≤{x}+{y}； ⑥若x ≥0, y ≥0，则[xy]≥[x]·[y]；⑦ [－x]=⎩⎨⎧---不是整数 为整数 x x x x 1][][⑧ 若n ∈N*, x ∈R ，则[nx]≥n[x]； ⑨⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x ][，其中x ∈(0,+∞), n ∈N*； ⑩ 把n!中素数p 的最高次记为p(n!)，则p(n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2p n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k p n ，这里p k ≤n ≤p k+1； 取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。
几何画板迭代详解之：函数迭代[共五篇]
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几何画板迭代详解之：函数迭代[共五篇]第一篇：几何画板迭代详解之：函数迭代几何画板迭代详解之：函数迭代佛山市南海区石门中学谢辅炬【多项式f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e求根】【分析】多项式求根的迭代式是xn+1=xn-【步骤】1.新建参数a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n＝5。
2.新建函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e，画出它的图像。
3.在图像上任取一点A，度量A的横坐标xA。
4.计算xA-f(xA)f(xA)；计算f(xA-)。
f'(xA)f'(xA)f(xA)f(xA)，f(xA-【图表】【绘制点】。
得到点B。
)单击''f(xA)f(xA)f(xn)。
'f(xn)5.依次选择xA-6.度量B的横坐标xB。
7.选中点A，和参数n，按住Shift键，单击【变换】菜单【深度迭代】，弹出迭代对话框，单击点B。
结果如图1所示。
图 1图 28.选择迭代像，单击【变换】菜单【终点】，得到迭代的终点C，度量C点的横坐标xC。
9.观察表格可知，显示方程的一个近似根是0.42。
10.拖动A点，改变它的位置。
观察表格可知道方程的另外一个近似根是3.41。
如图2所示。
【MIRA】【步骤】1.在平面上取一点A，度量A的横坐标xA和纵坐标yA。
2.新建参数a＝0.4，b=0，99875。
（b取得尽量接近1）(1-a)x23.新建函数f(x)=ax+。
1+x24.计算f(xA)＋byA,f(f(xA)＋byA)-xA。
注意这里用的是函数嵌yA,f(f(xA)＋byA)-xA，B点的颜色套。
顺次选择这两个结果，单击【图表】【绘制（x，y）】。
得到点B。
5.顺次选择点B和三个计算结果：f(xA)＋bxA。
单击菜单【显示】【颜色】【参数】，单击确定。
发现变了，其实B点已经隐藏起来，看到的是同一位置上的另外一个点B’。
6.新建参数n＝1500，选择A点和参数n作深度迭代。
关于迭代函数的某些研究
关于迭代函数的某些研究迭代函数研究1.什么是迭代函数迭代函数是一种计算机算法，可用于快速求解一些复杂的数学问题。
它的概念是利用最近给定的输入值来开发一种重复计算，使得计算较快，并能得出更准确的结果。
它是分段函数的一种拟合技术，可以用于进行最值计算，从而确定解决某些数学问题所需的最佳参数。
2.常见的迭代函数迭代函数的常见类型包括拟牛顿法、拟共轭梯度法、共轭拉格朗日法、布罗洛兹法和勒让德法等。
3.拟牛顿法拟牛顿法是一种迭代函数，它基于牛顿法进行改进，通过改变算法参数，将牛顿法引入到更复杂的问题中。
它可以与其他迭代函数一起使用，通过迭代不断改善结果，找到最优解。
4.拟共轭梯度法拟共轭梯度法是一种启发式算法，基于梯度优化算法，可用于最小化目标函数。
它建立在一种新的共轭方法的基础上，不仅能得到最小值，而且能够在给定时间内收敛。
5.共轭拉格朗日法共轭拉格朗日法是一种基于拉格朗日函数的不定积分优化算法，它使用迭代函数来最大化或最小化函数值，并且可以与其他迭代函数结合使用。
6.布罗洛兹法布缪洛兹法是一种较新的迭代函数，可以用于快速求解某些问题的参数。
它比其他迭代函数更快，性能更优。
7.勒让德法勒让德法是一种优化算法，属于一种灵活的迭代函数，可以用于解决约束优化问题。
它也可以与其他迭代函数结合使用，有助于改善求解性能。
综上所述，迭代函数是一种灵活的计算机算法，可以快速解决复杂的数学问题，常见的迭代函数有拟牛顿法、拟共轭梯度法、共轭拉格朗日法、布罗洛兹法和勒让德法等。
此外，它也可以与其他算法结合使用，从而使某些数学问题的解决更加可靠、准确、快速。
§5[1][1].2 函数迭代法
![§5[1][1].2 函数迭代法](https://img.taocdn.com/s3/m/7acd93280066f5335a812119.png)
t 0
时：y ( 0 )
h,
y ( 0 ) 0
h
小球垂直向下位移 y 所满足的微分方程为 my mg ky mg kv 该微分方程的解为
y h mg k t m g k
2 2 h m
x3 (x2 )
x2 x1 x 3 x 2
2
x1 2 x 2 x 3
§5.2 函数迭代法 不断进行下去，归纳有：
x n 1 ( x n ) x n 2 ( x n 1 ) 2 x n x n 2 x n 1 x n 1 x n 2 x n 1 x n 2
x1
x 0 2 x1 x 2
0 . 60988
不 一 样
1 2 1 2
ln( 4 0 . 60988 ) 0 . 61043 ln( 4 0 . 61043 ) 0 . 61035
x2
x1 x 3 x 2
2
x1 2 x 2 x 3
0 . 61036
0
y
(1 e
t
)
令y 0 解以上方程即可求得小球落到地面时所用的时间 t
§5.2 函数迭代法
采用迭代法求解，将把方程化成
t (t ) k mg h m k (1 e
h m t
)
其中| ( t ) | | 20 e 取初值： t
20 t
|,
当t
1时，满足 | ( t ) | 1
2
( x1 ), x 3
(x2 )
迭代公式可能收 于是迭代公式为： 敛，可能发散。
2-7数列的本质——函数迭代
134专题7 数列的本质—函数迭代秒杀秘籍:第一讲 函数迭代和数列的关系已知函数)(x f y =满足+1=()n n a f a ，则一定有+1211=()()()n n n n a f a f a f a -==，故函数)(x f y =通过反复迭代产生的一系列数构成了数列{}n a 或者记为{}{}n n b x 、，而数列的每一项与函数迭代的关系可以如下表所示：下面以函数21y x =+和数列121n n a a +=+1．数列的递推式和函数的迭代式是有着相同的法则的，故数列的任何一项()+1,n n a a 都在函数)(x f y =上． 2．数列的通项公式是函数对1a 迭代1-n 次的结果，即11()n n a f a -=，每一次由于迭代产生出的因变量成为下一次迭代的自变量．3．数列的首相1a 对整个数列有很大的影响，当迭代不断重复出现同一结果时，我们将其称为不动点．秒杀秘籍:第二讲 函数的迭代图像——蛛网图函数的迭代图像，简称蛛网图或者折线图，函数)(x f y =和直线y x =共同决定． 其步骤如下：1．在同一坐标系中作出)(x f y =和y x =的图像（草图），并确定不动点．（如图1所示）图1 图22．在找出不动点之后，确定范围，将不动点之间的图像放大，并找出起始点1a （如图2所示） 3．由1a 向)(x f y =作垂直于x 轴的直线与)(x f y =相交，并确定交点()12,a a ． 4．由()12,a a 向y x =作平行于x 轴的直线与y x =相交，并确定交点()22,a a ． 5．由()22,a a 向)(x f y =作垂直于x 轴的直线与)(x f y =相交，并确定交点()23,a a ． 重复4，5，直至找到点()1,n n a a +的最终去向．135图3 图4【例1】设数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式．【例2】设数列{}n a满足11(0),n a a a a +=>= 证明：存在常数M ，使得对于任意的*n N ∈，都有n a M ≤．【例3】首项为正数的数列{a n }满足2*11(3),,4n n a a n N +=+∈若对*n N ∈，一切都有1n n a a +>，求a 1的取值范围．图5 图6图7 图8秒杀秘籍:第三讲 蛛网图与数列的单调性定理1：)(x f y =的单调增区间存在两个不动点x 1，x 2（x 1<x 2)，且在两个不动点之间形成一上凸的图形时，（如图9）则数列)(1n n a f a =+在两个不动点之间的区间是递增的，即1n n a a +>，在两不动点以外的区间则是递减的，即1n n a a +<．136定理2：)(x f y =的单调增区间存在两个不动点x 1，x 2（x 1<x 2)，且在两个不动点之间形成一下凹的图形时，（如图10）则数列)(1n n a f a =+在两个不动点之间的区间是递减的，即1n n a a +<，在两不动点以外的区间则是递增的，即1n n a a +>．图9 图10综上可得，当)(x f y =的单调增区间位于上凸内或者下凹外时，即当迭代起点1a 位于此区域时，一定有1n n a a +>同理，当迭代起点1a 位于单调增区间的上凸外或者下凹内时，一定有1n n a a +<．数列的极限根据蛛网图可知，当一数列{}n a 为单调上凸曲线时，迭代点()1,n n a a +会无限靠近大的不动点2x ，我们将这个大的不动点2x 称为数列{}n a 的极限，记为2n n lima x →∞=；当一数列{}n a 为单调下凹曲线时，迭代点()1,n n a a +会无限靠近小的不动点1x ，我们将这个小的不动点1x 称为数列{}n a 的极限，记为1n n lima x →∞=．几种常见的函数迭代图（未画折线）()()20y a x h h a =-+> ()()20y a x h h a =-+<)00y a ,b =>> ()a x by a d b c c x d+=>+ 顶点为不动点抛物线 顶点为不动点的抛物线 横着的抛物线 二四象限反比例函数的平移函数 请思考： n n lim a h →∞= n n lim a h →∞= 1n n lima x →∞= 2n n lima x →∞=秒杀秘籍:第四讲 由耐克函数的迭代产生的数列1371．已知函数)0(21)(>+=a xax x f ，数列{}n a 满足+1=()n n a f a，求不动点得，00001,2a x x x x =+=不动点为耐克函数的顶点（图11），思考：为什么()102af (x )x a x=+>的不动点一定是顶点？ 2．已知函数()()102af (x )x h h ax h=-++>-，数列{}n a 满足+1=()n n a f a ，求此函数的不动点得，()00001,2ax h x h x h x h-=-+=-，故可知不动点)h h 为耐克函数的顶点（图12）．图11 图12结论：耐克函数一般为收缩函数，即01121n n n x a a a a a +-<<<<<<．【例4】数列{}n x 满足()1142n n n x x n N x *+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，若(),0lim >=∞→A A x n n 则=A _________． 【例5】数列{}n x 满足()110,2n n n a x x a n N x *+⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭，若()0lim >=∞→A A x n n，则=A _________． 【例6】设2>a ，数列{}n x 满足()()*+∈-==N n x x x a x n nn 12,211，求证：2>n x ，且11<+nn x x ．【例7】数列{}n a 满足：n n n a a a a 12,211+==+，求证：na n 1231+<<．秒杀秘籍:第五讲 迭代函数与周期数列问题已知()1n n n aa b a ad bc ca d ++=<+，求{}n a 的通项可由函数ax by f (x )cx d+==+和直线y x =的折线图决定．函数)(x f y =和直线y x =一定没有交点，即函数)(x f y =一定没有不动点．定理3 当()1()f x f x -=时，()()()212;n n f x f x f x x -==．例如：()()af x a R x=±∈（反比例函数，如图13）；()f x a x =-（与直线y x =垂直的直线，如图14）138()ax b f x cx d+=+，当0a d +=（将反比例函数()0ky k x =>向右向上移动相等的距离得到的图像，如图15）图13 图14 图15定理4 函数()ax b f x cx d +=+，当()2a d ad bc +=-时，()()()()()323123;;n n n f x f x f x f x f x x --=== （将反比例函数()0ky k x =<仅向右或者向上移动相同单位得到的图像，如图16，图17）。
函数迭代的作用
函数迭代是一种重复反馈过程的活动，其目的通常是为了接近并到达所需的目标或结果。
每一次对过程的重复被称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会被用来作为下一次迭代的初始值。
在数学中，迭代可以指函数迭代的过程，即反复地运用同一函数计算，前一次迭代得到的结果被用于作为下一次迭代的输入。
在计算机科学中，迭代是程序中对一组指令（或一定步骤）的重复。
它既可以被用作通用的术语（与“重复”同义），也可以用来描述一种特定形式的具有可变状态的重复。
此外，迭代法在计算数学中非常重要，可以用于求解各种非线性方程和优化问题。
同时，在动力系统中，函数迭代可以揭示复杂系统的演化规律和混沌现象。
将迭代法和计算机强大的处理能力相结合，我们能创造出很有价值的数据结构和算法。
因此，函数迭代的作用是帮助我们通过反复应用某个函数或算法，逐渐接近我们想要的目标或结果，同时揭示系统的内在规律和性质。
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专题-----函数迭代利用了一个函数自身复合多次，这就叫做迭代。
一般地，设f ：D →D 是一个函数，对任意的x ∈D ，记f (0)(x)=x ，f (1)(x)=f(x)f (2)(x)=f(f(x))，…，f (n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代，并称n 为f (n)(x)的迭代指数。
如果f (n)(x)有反函数，则记为f (-n)(x).于是迭代指数可以取所有整数. 对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的. 若f(x)=x+c ，则f (n)(x)=x+nc. 若f(x)=x 2，则f (n)(x)=x 2n.若f(x)=ax+b ，则f(n)(x)=a n x+aa n--11b(a ≠). 函数的迭代的理论与方法在计算数学和微分动力系统等领域中有着很重要的应用。
然而，由于它的一些方法和结果是初等的，又较有趣，因而在数学竞赛中屡有出现。
⑴观查法例1、设f(x)=3x+2，证明：存在正整数m ，使f (100)(m)能被1988整除。
证 因为f(x)=3x+2，所以 f (100)(x)=3100x+(399+398+…+3+1)·2， f (100)(m)=3100m+(399+398+…+3+1)·2.由于（3，1988）=1，因此（3100，1988）=1.根据裴蜀恒等式，存在正整数u ，v ，使得：1988u-3100v=1. 记n=2(399+398+…+3+1)，那么由1988 3100v-1 ,知：1988 n(3100v+1). 因此，取m=nv ，则1988 3100m+n.从而命题得证。
注 裴蜀恒等式是：设（x ，y ）=1，则存在正整数u ，v,使得 ux-vy=1.例2、 设).(.12)()(2x f x x x f n 计算-=答案： .222()(1)nnn nx f x x x =--⑵不动点求函数迭代：把f(x)写成f(x)=-21(x-3π)+3π，则 f (2)(x)=(-21)2(x-3π)+3π,f (3)(x)=(-21)3(x-3π)+3π,f (n)(x)=(-21)n (x-3π)+3π.把f(x)变形，找到了一个较易求f n (x)r 表达式。
一般地，若f （x ）=ax+b ，则把它成f (x)=a(x-a b -1)+ab-1.因而 f (2)(x)=a (x-a b -1)+a b -1. f (3)(x)=a (x-a b -1)+a b-1.f (n)(x)=a a b -1)+ab-1. 这里的a b -1就是方程ax+b=x 的根。
一般地，我们称f(x)=x 的根为函数f(x)的不动点.则ab -1是f(x)=ax+b 的不动点。
如果x 0是)(x f 的不动点，则x 0也是)()(x f n 的不动点。
这一点用数学归纳法是容易证明的。
利用不动点能较快地求得)(x f 的n 次迭代式。
例3、若9319)(2+=x x f ，求)()(x f n 。
解 令.631931922-==+x x ，x 则 ，x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=63163119)(2 ，x x f63163119)(22)2(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+= .63163119)(2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x f n n③函数迭代应用：在国内外数学竞赛中，不断出现一些要用到各种技巧的函数迭代和函数方程问题。
主要有三个方面：（1）研究函数的性质；（2）求函数的值；（3）确定函数的解析表达式。
下面通过例题来介绍解决这些问题的方法和技巧。
例4、设N 是自然数集合，k ∈N 。
如果有一个函数f ：N →N 是严格递增的，且对于每个n ∈N ，都有f （f (n )）=k n 。
证明：对每个n ∈N ，都有12+k k n ≤f (n )≤21+k n .证 因为f :N →N 是严格递增的，故对任意的n ∈N ，f (n +1)-f (n)≥1.于是当m ＞n 时。
f (m )-f (n )=∑--=1n m i [f (n+i+1)-f (n+i )]≥m-n.从而f (f (n ))-f (n )≥f (n )-n ，即kn-f (n )≥f (n )-n .所以 f (n )≤21+k n . 所以kn ≤21+k f (n )，即f (n )≥12+k kn .从而命题得证. 说明 对于本题，若去求函数f 的表达式，则此路不通.如果认为f (n )=kn ，则有两个严重错误。
一是当k 不是完全平方数时，f 不是N →N 的函数，二是即使k 是完全平方数，f (n )=k n 也不是满足条件的唯一函数。
例5、 设函数f (x )对所有x ＞0有意义，且满足下列条件：（1）对于x ＞0，有f (x )f [f (x )+x1]=1; （2）f (x )在（0，+∞）上严格递增。
求f (1)的值。
解 设f (1)=a ，则当x=1时，由条件(1)得f (a +1)=a1. 令x =a +1，由条件(1)得f (a +1)f [f (a +1)+11+a ]=1，即：f (a 1+11+a )=a =f (1). 由于f (x )在（0，+∞）上是严格递增的，所以：a 1+11+a =1.解得a =251±，则1＜a =f (1)＜f (a +1)=a1＜1，矛盾.所以，a =251-，即f (1)=251-. 例6 、证明：不存在函数f :R +→R +，使得对任何正实数x 、y ，都有(f (x ))2≥f (x+y)(f (x )+y). ①证 用反证法.假设存在这样的函数f ，则由①式，得 (f (x ))2+f (x )y -f (x+y )f (x )-f (x +y )y =f (x )y. 所以： f (x )-f (x+y )≥yx f yx f +)()(.②由②式知，f (x )是减函数.首先，我们证明：对任意正实数x ，都有：f (x )-f (x+1)≤21. 事实上，对于x ＞0，存在一个正整数n ，使得：nf (x )≥1③于是当k =0，1，2，…，n-1时，利用②式和③式，得n nk x nf n n n n k x f n n k x f n k x f n k x f 21)(11)(1)?()1()(≥++=+++≥++-+. 所以∑-=1n k (f (x+n k )-f (x+n k 1-))≥n ·n 21=21，即 f (x 0)-f (x 0+m )=∑-=++-+100))1()((m i i x f i x f ≥m ·21≥f (x 0). 所以f (x 0+m )≤0，矛盾.于是命题得证.说明 在证明“否定”命题时，我们常常用反证法.例7、设Q +是全体正有理数集.试作一个函数f ：Q +→Q +，使得对一切x ,y ∈Q +，都有f (xf (y ))=yx f )(. ①解 满足①式的函数f 较难看出，我们的想法是从①式导出几个容易捉摸的式子.而①式中的f (xf (y ))最麻烦，希望能避开这个麻烦.令x =1代入①式，得：f (f (y ))=yf )1(. ②而f (1)是容易求得的.令y =f (1)代入②式，得f (f (f (1)))=1.所以f (f (1))=f (1)1(f )=f (f (f (1)))=1， 考虑函数f 为单射，则f (1)=f (f (1))=1.于是②式为：f (f (y ))=y1.③ 用f (y )代换③式中的y ，得f (f (f (y )))=)(1y f ，再利用②式，使得 f (y 1)=)(1y f （利用了f (1)=1）.④用y =f (z 1)代入①式，得f (xf (f (z 1)))=f (x )/f (z1)，结合 ⑤这就是说，满足①式的函数f 必定满足③式和⑤式.另一方面，满足③式和⑤式的f 必定满足①式.这只需在⑤式中令x =f (y )，则：f (z )=f (f (y ))=y1（利用了③式）， 即得①式，而③式和⑤式比①式简单。
现在来构造满足③，⑤式的函数f .设p i 是第i 个质数（例如p 1=2,p 2=3）,令 p i +1，若i 是奇数，11-i p ，若i 是偶数。
⑥这样定义的函数f 对质数p ，显然有f (f (p ))=p1，即满足③式.对于x ∈Q +，x 可表示成 x =p 11a p 22a …p ann ，其中a 1，a 2，…an 是整数，令f (x )=f (p 1)a 1f (p 2)a 2…f (p n )an .⑦由⑥，⑦两式定义的Q +→Q +的函数f 显然满足③，⑤式，从而满足①式。
例8、 f 是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条件：对任何x ,y ＞1及u,v ＞0，都成立f (x u y v )≤f (x )vy f u 41)(41. ①试确定所有的这样的函数f .解 先将①式化为一元函数，为此令x =y ,u =v ，则得f (x 2u )≤f (x )u21.再将2u 代换知，对所有x ＞1，u＞0，均有f (x u )≤f (x )1/u .②f (pi )=令y =x u ，v =1/u ，则x =y 1/u =y v ,u =1/v.代入②式，得f (y )≤f (y v )v . 用x 代换y ，u 代换v ，则对所有x ＞1，u ＞0，又有f (x u )≥f (x )1/u . ③ 由②，③式便知f (x u )=f (x )1/u .④取x =e ，t=e u (则u=1nt).当u 从0变到+∞时，t 从1变到+∞.于是④式为 f (t )=f (e )1/1nt .令f (e)=a ＞1，用x 代替t ，则：f (x )=a 1/1n x ，a ＞1 ⑤ 下面验证⑤式所给出的函数满足①式.利用算术-调和平均不等式,有211nyv nx u +≥2/(ny v nx u 1111+), 所以nx u 141+ny v 141≥ny v nx u 111+, f (x u y v)=a nxu nx v 141141+=f (x )()v u y f 4141. 这就证明了对所有a ＞1,⑤式所给出的函数f (x )即为所求.说明 当所给的函数方程(或不等式)含有较多变量，常常先将它化为一个变量的方程（或不等式）.另外，利用不等式来证等式的技巧也是处理这类问题的常用方法。
例9、设R 是全体实数的集合.试求出所有的函数f ：R →R ，使得对于R 中的一切x 和y ，都有f (x 2+f (y ))=y +(f (x )))2.①解 先求f (0).令x =0，t =(f (0))2，代入①式，得f (f (y ))=y +t .②由②式，可知f (f (x 2+f (f (y ))))=x 2+f (f (y ))+t.③由①式，可得 f (f (x 2+f (f (y ))))=f [ (f (x ))2+f (y )]=y+[f (f (x ))]2.④从②,③,④式便得x 2+y+2t=y+(x+t)2，即2t =t 2+2tx 对任意实数x 均成立。