解函数方程的几种方法

例2.1已知 ,求 .
分析 此题是一个最基本的函数方程问题，要求解函数 的表达式，就需要将 和 进行转化.当然，我们可以先用换元法把 , 用 代替，消去 , ，就得到一个关于 的解析式，再用 替代 ，于是得解.但这里我们还给出了另外的解法，就是用 的参数表达式进行求解.
解法一 令 ,所以
，
因为
,
所以
,
即
.
又因为
,
所以
， ，
故
， .
解法二 设所求函数 的参数表达式
，
，
即得
，（1）
.（2）
，消去参数 ，得
，
整理，得
， , ，
即
, , .
在本题中，由于三角函数可以相互转化，很容易看出 与 之间的联系，然后直接利用换元法进行转化，但考虑到 （或 ）的定义域，这个环节一般容易出错.故一般采用后面介绍的参数法相对来说也就简单多了.
2函数方程的常见解法
由于函数与方程的性质极多，解题的方法也形式多样，出现较为频繁的有换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法、数学归纳法等等.
2.1换元法（代换法）
换元法又叫代换法或引进辅助未知数法或定义法.将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不发生变化），得到一个新的较为简单的函数方程，然后直接求解未知函数.但值得注意的是，某些换元会导致函数的定义域发生变化，这时就需要进行验证换元的可行性.
首先，我们会给出函数方程的相关概念包括函数方程的定义、函数方程的解以及解函数方程.
其次，利用函数与方程的基本性质，就中学数学中常出现的方法进行归纳并结合相应的例题解析.当然由于中学数学中考查点的不同，我们的讨论也有所侧重.对常见的方法包括换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法等均会加重笔墨，尤其会给出一些较为典型的例题分析以及巧解的方法，而对于不常用的方法本文也会提到，以让读者了解到比较前全面的函数方程问题的解题策略.
绪论
在数学研究的许多领域中如代数学、几何学、概率论等都涉及函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型.函数方程因此一直受到广泛关注，是当今数学研究的一个十分重要的课题.由于函数方程形式多样，涉及面广，难度大，需要大量的数学基础知识.尤其是在中学数学教学中，函数方程是最基本、最易出现的问题，也是历年高考的重点.在中学教学和国外数学竞赛中，经常遇到函数方程问题.这类题目一般是求解某一给定的函数方程，而数学上尚无一般方法可循.当然，较大一部分中学生在遇到这类问题时，常常没有比较清晰的解题思路.本文就着重以函数与方程的性质来讨论函数方程在中学数学中的应用，及解决问题的途径，并通过实际问题的求解过程来阐述.
解 令 ，其中 为非负整数.由(ii)得
.（1）
若 ，则
，
矛盾.故 ，由（i）有
.（2）
若 ，则
，
于是由（i），得
，（3）
但（2）与（3）矛盾，故 是惟一解.当 时，式（1）为
，
此函数满足条件（i）、（ii），所以得惟一解 .
例2.2.2解函数方程 .
分析 此题是函数方程里较为典型的一个问题，在很多文章中都有提到.本题中方程含有 两个未知数，对于一个方程，首先想到的就是消元，考虑到三角函数 的特殊性质，可用一些比较特殊的值分别去代换 ，再求得 的表达式.
2.3迭代周期法（递推法）
函数迭代是一类特殊的函数复合形式.一般由函数方程找出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方程的解法.
例2.3.1对任意正整数 ，令 定义为 的各位数字和的平方，求 .
分析 本题是迭代的简单运用题，由“ 定义为 的各位数字和的平方”入手，可以找出11与函数方程以及函数值之间的关系，结合数列相关知识通过 次迭代从而求解.
2.2赋值法
赋值和代换是确定适合函数方程的函数性质的基本方法，根据所给条件，在函数定义域赋与变量一个或几个特殊值，使方程化繁为简，从而使问题获解.
例2.2.1函数 （ 为非负整数），满足：
（i）对任意非负整数 ，有 ；
（ii）对任意 ，有 .
求 的值.
分析 本题欲求 的值，则须了解 有什么性质.由条件（i）、（ii）可以联想到 的取值是本题的关键，而分别利用条件（i）、（ii）进行推导，并结合反证法推出矛盾，得到 的唯一值，进而得解.
解 在原方程中令 , 得
，（1）
再令 , 得
，（2）
又再令 , 得
，（3）
（1）+（2）-（3）得
.
令 ， 并将 换成 得
,（ , 均为任意常数）.
代入（1）式验证
.
所以 是函数方程（1）的解.
赋值法是很特殊的一种方法，首先它考验人们的“眼力”，即根据所给出的式子找出其规律；其次，就是“笔力”即计算方面的能力，所赋的值即某些特殊值要有助于解题；最后，不难看出赋值法其实就是与代换法、消元法等方法相结合的一种方法.如例2.2.1就是赋值法与反证法相结合，例2.2.2是赋值法、代换法、消元法结合的典型.
解 由已知有 ，
，
，
，
，
，
…
从而当 为大于3的奇数时，
，
当 为大于3的偶数时，
，
故
.
例2.3.2设 定义在自然数集 上，且对任意 ，都满足 , ，求 .
解 令 ,得
，
再依次令 , …, ,有
，
，Hale Waihona Puke Baidu
…
，
，
依次代入，得
… ，
所以
， .
前面的例2.3.1仅是迭代的入门题，可以直接根据函数方程找出函数值之间的关系，然后通过 次迭代进行求解.而在迭代问题中，很大一部分题目并不是仅借助迭代的思想来解决的，而是综合所学知识进行求解.如例4.2就是赋予一些特殊值，再利用递推法简化问题，从而求解.
1.2函数方程的解
设某一函数 对自变量在其定义域的所有值均满足某已知方程，那么把 就叫做已知函数方程的解.即能使函数方程成立的 就叫做函数方程的解.函数方程的解可能是一个函数，也可能是若干个函数或无穷多个函数或无解.如偶函数、奇函数、 分别是上述各方程的解.
1.3解函数方程
求函数方程的解或证明函数方程无解的过程就称为解函数方程.即指的是在不给出具体函数形式，只给出函数的一些性质和一些关系式而要确定这个函数，或求出某些函数值，或证明这个函数所具有的其他性质.
最后，就种种方法进行总结归纳.“法无定法”，关键在于人们对问题的观察、分析，进而选择最优的方法来解决问题.很多情况下，由于解决的途径并不唯一，所以在解决问题的时候一般采用多种方法同步求解，以达到简化求解过程的目的.
1函数方程的一些相关概念
1.1函数方程的定义
含有未知函数的等式叫做函数方程.如 ， ， 等，其中 即是未知函数.