函数方程和函数迭代问题

第四讲函数方程和函数迭代问题

在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质.

一. 探求函数的解析式

1,换元法

换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解. 例1 解函数方程 f(x)+f(x

x 1-)=1+x (x ≠0,x ≠1) 例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c 为实常数,求f(x)

2.赋值法

赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的.

例3 已知定义在R 的函数满足

⑴ f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)cos2x 2+4asin 2x 2 (x 1,x 2∈R,a 为常数)

⑵ f(0)=f(

4

π)=1 ⑶ 当x ∈[0, 4π]时,f(x)≤2 试求⑴函数f(x)的解析式;

⑵常数a 的取值范围.

例4 f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x)

⑴ f[xf(y)]f(y)=f(x+y);

⑵ f(2)=0

⑶ 当0≤x ＜2 f(x)≠0

3递推法

例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=2

3,且对任意x,y ∈N,有 f(x+y)=(1+1

+x y )f(x)+(1+1+y x )f(y)+x 2y+xy+xy 2,求f(x) 4. 柯西法

柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解

例6 设f(x) 是定义在有理数集上的函数,且对任意的有理数x,y 有

f(x+y)=f(x)+f(y),

试求f(x)

5, 待定系数法

这一方法的其本思想是:当f(x)是多顸式时,可设f(x)=a 0x n +a 1x n-1+….+a n (a 0≠0),代入函数方程的两端,然后比较方程两端x 最高次幂的指数和x 同次幂的系数,便可得出关于n 及a 0 a 1…a n .的方程组,解这个方程组便可确定n 及a 0 a 1…a n 的值,从而得到函数方程的解

例７ 确定符合下列条件的所有多项式f(x) f(x+1)=21f[f(x)]+2

3 6 , 利用不等式夹逼

利用不等式夹逼求解函数方程,主要是利用下列几个明显的结论:

⑴ 若对任意x ∈I, 有f(x)≥g(x) 及f(x)≤g(x)则对任意x ∈I,有f(x)＝g(x)

⑵ 若对任意x,y ∈I,有f(x)≤g(y)则交换x,y 得f(y)≤g(x)于是对任意的x,y ∈I 有f(x)＝g(y)由此可得f(x)＝常数(x ∈I).

⑶ 若f:N →N 满足m ≤f(n)＜m+1或m-1＜f(n)≤m 或m-1＜f(n)＜m+1(m,n ∈N)则f(n)=m,

例8 设f(x) 是具有下列性质的函数

⑴ f(n)对每一正整数n 有定义;

⑵ f(n)是正整数;

⑶ f(2)=2

⑷ f(mn)=f(m)f(n),对一切m,n 成立;

⑸ f(m)＞f(n),当m ＞n 时

试证: f(m)=f(n)

例9 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,它的值域也是全体自然数所成的集N,并且对任意

两个自然m 与n,只要m ≥n 就有f(m) ≥n, 试证: f(m)= m 对任意的自然数m 成立.

例10 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,满足: ⑴f(n )的值域为整数;⑵当m ＜n 时,f(m)

＜f(n);⑶当m,n 互素时,f(mn)=f(m)f(n),试求符合上述条件的一切函数f(x).

二. 探求函数的值

在各级各类数学竞赛中除了求函数方程的解以外,还经常遇到由函数方程给出的特殊定义

的抽象函数,要求参赛者探求其函数的特殊的函数值.

例11. 设N 是自然数集, f(x)是定义在N 上并在N 内取值的函数,且对x,y ∈N,有

f[f(x)+y]=x+y,

求f(1988)的所有可能的值

例12. 设f(n )对所有正整数有定义,取非负整数值,并且对所有正整数m,n 有f(m+n)-f(m)-f(n)=0

或1.

又f(2)=0.f(3)＞0,f(9999)=3333,

求f(1982).

例13. 设f(x),g(x)是定义在正整数集Z +上并取整数的严格递增函数,如果它们满足:⑴f(Z +) ∪ g ( Z +) = Z +

(⑵f(Z +) ∩ g ( Z +) =

⑶g(n)=f(f(n))+1

试求f(240).

三.讨论函数的性质

探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期

性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。而解决这类问题 的办法就是要“穿脱”函数符号“f ”，下面我们从具体的例子谈一谈“穿脱”的技巧与方法.

1 单调性穿脱法

对于特殊函数的单调性,我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数“f ”进行“穿脱”,

进而达到化简的目的,由此使问题获得解答.

例14 设函数y=f(x)定义在R 上,当x ＞0时, f(x)＞1且对任意m,n ∈R 有f(m+n)=f(m)f(n),

当m ≠n 时,f(m)≠f(n).