函数方程和函数迭代问题
第四讲函数方程和函数迭代问题
在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质.
一. 探求函数的解析式
1,换元法
换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解. 例1 解函数方程 f(x)+f(x
x 1-)=1+x (x ≠0,x ≠1) 例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c 为实常数,求f(x)
2.赋值法
赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的.
例3 已知定义在R 的函数满足
⑴ f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)cos2x 2+4asin 2x 2 (x 1,x 2∈R,a 为常数)
⑵ f(0)=f(
4
π)=1 ⑶ 当x ∈[0, 4π]时,f(x)≤2 试求⑴函数f(x)的解析式;
⑵常数a 的取值范围.
例4 f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x)
⑴ f[xf(y)]f(y)=f(x+y);
⑵ f(2)=0
⑶ 当0≤x ＜2 f(x)≠0
3递推法
例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=2
3,且对任意x,y ∈N,有 f(x+y)=(1+1
+x y )f(x)+(1+1+y x )f(y)+x 2y+xy+xy 2,求f(x) 4. 柯西法
柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解
例6 设f(x) 是定义在有理数集上的函数,且对任意的有理数x,y 有
f(x+y)=f(x)+f(y),
试求f(x)
5, 待定系数法
这一方法的其本思想是:当f(x)是多顸式时,可设f(x)=a 0x n +a 1x n-1+….+a n (a 0≠0),代入函数方程的两端,然后比较方程两端x 最高次幂的指数和x 同次幂的系数,便可得出关于n 及a 0 a 1…a n .的方程组,解这个方程组便可确定n 及a 0 a 1…a n 的值,从而得到函数方程的解
例７ 确定符合下列条件的所有多项式f(x) f(x+1)=21f[f(x)]+2
3 6 , 利用不等式夹逼
利用不等式夹逼求解函数方程,主要是利用下列几个明显的结论:
⑴ 若对任意x ∈I, 有f(x)≥g(x) 及f(x)≤g(x)则对任意x ∈I,有f(x)＝g(x)
⑵ 若对任意x,y ∈I,有f(x)≤g(y)则交换x,y 得f(y)≤g(x)于是对任意的x,y ∈I 有f(x)＝g(y)由此可得f(x)＝常数(x ∈I).
⑶ 若f:N →N 满足m ≤f(n)＜m+1或m-1＜f(n)≤m 或m-1＜f(n)＜m+1(m,n ∈N)则f(n)=m,
例8 设f(x) 是具有下列性质的函数
⑴ f(n)对每一正整数n 有定义;
⑵ f(n)是正整数;
⑶ f(2)=2
⑷ f(mn)=f(m)f(n),对一切m,n 成立;
⑸ f(m)＞f(n),当m ＞n 时
试证: f(m)=f(n)
例9 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,它的值域也是全体自然数所成的集N,并且对任意
两个自然m 与n,只要m ≥n 就有f(m) ≥n, 试证: f(m)= m 对任意的自然数m 成立.
例10 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,满足: ⑴f(n )的值域为整数;⑵当m ＜n 时,f(m)
＜f(n);⑶当m,n 互素时,f(mn)=f(m)f(n),试求符合上述条件的一切函数f(x).
二. 探求函数的值
在各级各类数学竞赛中除了求函数方程的解以外,还经常遇到由函数方程给出的特殊定义
的抽象函数,要求参赛者探求其函数的特殊的函数值.
例11. 设N 是自然数集, f(x)是定义在N 上并在N 内取值的函数,且对x,y ∈N,有
f[f(x)+y]=x+y,
求f(1988)的所有可能的值
例12. 设f(n )对所有正整数有定义,取非负整数值,并且对所有正整数m,n 有f(m+n)-f(m)-f(n)=0
或1.
又f(2)=0.f(3)＞0,f(9999)=3333,
求f(1982).
例13. 设f(x),g(x)是定义在正整数集Z +上并取整数的严格递增函数,如果它们满足:⑴f(Z +) ∪ g ( Z +) = Z +
(⑵f(Z +) ∩ g ( Z +) =
⑶g(n)=f(f(n))+1
试求f(240).
三.讨论函数的性质
探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期
性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。而解决这类问题 的办法就是要“穿脱”函数符号“f ”，下面我们从具体的例子谈一谈“穿脱”的技巧与方法.
1 单调性穿脱法
对于特殊函数的单调性,我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数“f ”进行“穿脱”,
进而达到化简的目的,由此使问题获得解答.
例14 设函数y=f(x)定义在R 上,当x ＞0时, f(x)＞1且对任意m,n ∈R 有f(m+n)=f(m)f(n),
当m ≠n 时,f(m)≠f(n).
⑴证明:f(0)=1;
⑵证明: f(x)在R 上是增函数;
⑶设A={(x,y) │f(x 2)f(y 2)＜f(1)＝
A={(x,y) │f(ax+by+c=1,a,b,c ∈R,a ≠0)
若A ∩B=?求a,b,c 满足的条件
例15 已知定义在R +上的函数F(x)满足条件:①:对定义域上任意的x,y 都有F(x)+F(y)=F(xy);
②当x>1时F(x)>0,试求:
⑴求证F(x
1)=-F(x); ⑵求证: F(x) 在R +上为增函数;
⑶若F(3)=1,且a 为正实数时,解关于x 的不等式 F(x)-F(x
a -21)≥2 例16 已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a 和
b 是实数.试证:
⑴证明命题:如果a+b ≥0那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
⑵判断⑴中的逆命题是否正确,并证明你的结论.
2 反函数穿脱法
灵活自如地处理原函数f(x)与反函数f -1(x),并能熟练地运用
f -1 (f(x))=x,f(f -1(x))=x 进行穿脱函数符号“f ”，这是极为常用而又重要的方法.
引理 若f(x),g(x)互为反函数,且f(a+b)=f(a) f(b),则g(mn)=g(m)+g(n)
例17 已知函数f(x)满足:①f(
2
1)=1;②函数的值域为[-1,1];③严格递减; ④f(xy)= f(x)+f(y).试求:⑴求证: 41不在f(x)的定义域内⑵求不等式f -1(x)f -1(x -11)≤21的解集 3定义探求法
在求解有关函数方程的问题时,我们经常会遇到要证明某函数为周期性函数,此时我们一般
采用周期函数的定义来求解,探求函数的有关性质.
例18 设a>0, f(x)是定义在实数集上的一个实值函数,且对每一实数x,有 f(x+a)=21+2)]([)(x f x f -
⑴证明: f(x)是周期函数;
⑵对a=1,具体给出一个这样的非常数的函数f(x)
四 函数迭代中的”穿脱”技巧
设函数y=f(x),并记f n (x)=f(f(f …(fx)…),其中n 是正整数, f n (x)叫做函数f(x)的n 次迭代,函数
迭代是一种特殊的函数复合形式,在现代数学中占有很重要的地位,尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现,成为热点问题之一,以引起广在数学爱好者的关注.由f(x)(或f n (x)的表达式”穿上”或”脱去”n -1个函数符号得出f n (x)(或f(x))的函数迭代问题,这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探
索.
1程序化穿脱
“穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上f,或从外至内一层层脱去f,往往是一种程序化的模式,
例19 已知f(x)=21x x
+ ,求f n (x).
2实验法穿脱
许多情况下,求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作,还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性,实验是发现的源泉,是发现规律的金钥匙.
例20 函数定义在整数集上,且满足
f(n)= n-3 (n ≥1000)
f[f(n+5)](n ＜1000求f(84)
例21 对任意的正整数k,令f 1(k)定义为k 的各位数字和的平方.对于n ≥2令f n (k)=f 1(f n-1(k)),求f 1988(11).
3周期性穿脱
在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性,利用周期性穿脱要能达到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题过程.
例22 定义域为正整数的函数,满足:
f(n)= n-3 (n ≥1000)
f[f(n+7)](n ＜1000.
试求f(90)
练习
1.设n 是自然数,f(n)为n 2+1(十进制)的数字之和,f 1(n)=f(n),求的f 100(1990)值.
2.已知f(x)是一次函数,且f 10(x)=1024x+1023,求f(x)的解析式,
3.已知f(x)=1
12+-x x .设f 35(x)=f 5(x),求f 28(x). 4.设f(x)是定义在实数集上的函数,且满足f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x).
(1) 试证: f(x)是周期函数;
(2) 若f(1)=2+3求f(1989)的值
5. 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且对任意实数x,y,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy,求f(x).
6设.f(n)是定义在N 上且在N 内取值的函数,且对每个n ∈N,有f(n+1)≥f[f(n)],求证:对每个n ∈N,f(n)=n. 7若.f(x
x +-11)=x,求f(x) 8. 对任意实数x,y,函数f(x)满足关系式f(x+y)=f(x 2)+f(2y).求f(1985)的值.
9已知af(2x-3)+bf(3-2x)=2x,a 2≠b 2,求f(x)
10已知二次函数f(x)满足条件①f(-1)=0;②对一切x 之值有x ≤f(x)≤21(1+x 2)成立,试求f(x)的解析式
数学实验迭代(方程求解)
实验六 迭代（方程求解） 一.实验目的：认识迭代数列，考察迭代数列的收敛性.并学会用Mathematica 系统对线性和非线性的方程组进行迭代求解. 二.实验环境：计算机，Mathematica 数学软件,Word 文档，课本。 三.实验的基本理论和方法： 给定迭代函数f(x)以及一个初值0x 利用1(),0,1,n n x f x n +==???迭代得到数列n x ，0,1,n =???.如果数列n x 收敛与某个* x ，则有**()x f x =.即* x 是方程 ()x f x =的解.由此用如下的方法求方程()0g x =的近似解。 将方程()0g x =改写为等价的方程()x f x =，然后选取一初值利用 1(),0,1,n n x f x n +==???做迭代.迭代数列n x 收敛的极限就是()0g x =的解.线 性方程组以及非线性方程组的求解与单变量的方程求解方法类似.实验内容和步骤 四.实验内容与结果 1.线性方程组 ⑴编写给定初值0x 及迭代函数()f x ，迭代n 次产生相应的序列. ⑵给函数()(2/)f x x x =+初值为0进行迭代80次所产生的迭代序列并显示. 输入程序： Iterate f_,x0_,n_Integer :Module t ,i,temp x0, AppendTo t,temp ; For i 1,i n,i ,temp f temp ;AppendTo t,temp ; t f x_: x 2x 2; Iterate f,1.,80 运行结果得：
1.,1.5,1.41667,1.41422,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421 输入程序： NTIterate g_,x0_,n_Integer : Module i,var x0,t ,h, h x_Dt g x ,x; For i 1,i n,i ,AppendTo t,var ; If h var0,var N var g var h var ,20, Print"Divided by Zero after",i, "'s iterations."; Break ; t g x_:x^32; NTIterate g,1,40 运行结果得：
高中数学竞赛专题讲座---函数方程与迭代
函数方程与迭代 1.迭代法 先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题： 五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？ 设桃子的总数为x 个．第i 只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为i x 个，则14(1)5 i i x x -=-, 1,2,3,4,5i =.且0x x =．设44()(1)(4)455f x x x =-=+-．于是:14()(4)45 x f x x ==+-, 224(())()(4)45x f f x x ==+-,334((()))()(4)45 x f f f x x ==+-, 444(((())))()(4)45x f f f f x x ==+-,554((((()))))()(4)45 x f f f f f x x ==+-,由于剩下的桃子数都是整数,∴5 5|4x +．∴最小的x 为：5543121x =-=． 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代． 一般地，设:f D D →是一个函数，对x D ?∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，…，(1)()()(())n n f x f f x +=，n N *∈，则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代，并称n 为()()n f x 的迭代指数．反函数记为()()n f x -． 一些简单函数的n 次迭代如下： （1）若()f x x c =+，则()()n f x x nc =+； （2）若()f x ax =，则()()n n f x a x =； （3）若()a f x x =，则()()n n a f x x =； （4）若()1x f x ax = +，则()()1n x f x nax =+； （5）若()f x ax b =+（1a ≠），则()1()1n n n a f x a x b a -=+-； ()()n f x 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用数学归纳法． 1．求迭代后的函数值 例1 自然数k 的各位数字和的平方记为1()f k ，且11()[()]n n f k f f k -=，求(11)n f （n N * ∈）的值域. 解：由条件可知： Λ;169)652()256()11(;256)961()169()11(; 169)94()49()11(;49)61()16()11(; 164)4()11(;4)11()11(21621521421321221=++===++===+===+======+=f f f f f f f f f f f
专题——函数迭代
专题-----函数迭代 利用了一个函数自身复合多次，这就叫做迭代。一般地，设f ：D →D 是一个函数，对任意的x ∈D ，记f (0)(x)=x ，f (1)(x)=f(x)f (2)(x)=f(f(x))，…，f (n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代，并称n 为f (n)(x)的迭代指数。 如果f (n)(x)有反函数，则记为f (-n)(x).于是迭代指数可以取所有整数. 对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的. 若f(x)=x+c ，则f (n)(x)=x+nc. 若f(x)=x 2 ，则f (n) (x)=x 2n . 若f(x)=ax+b ，则f(n)(x)=a n x+a a n --11b(a ≠). 函数的迭代的理论与方法在计算数学和微分动力系统等领域中有着很重要的应用。然而，由于它的一些方法和结果是初等的，又较有趣，因而在数学竞赛中屡有出现。 ⑴观查法 例1、设f(x)=3x+2，证明：存在正整数m ，使f (100)(m)能被1988整除。 证 因为f(x)=3x+2，所以 f (100)(x)=3100x+(399+398+…+3+1)·2， f (100)(m)=3100m+(399+398+…+3+1)·2. 由于（3，1988）=1，因此（3100，1988）=1.根据裴蜀恒等式，存在正整数u ，v ，使得：1988u-3100v=1. 记n=2(399+398+…+3+1)，那么由1988 3100v-1 ,知：1988 n(3100v+1). 因此，取m=nv ，则1988 3100m+n.从而命题得证。 注 裴蜀恒等式是：设（x ，y ）=1，则存在正整数u ，v,使得 ux-vy=1. 例2、 设).(.1 2)()(2 x f x x x f n 计算-= 答案： . 2 22()(1) n n n n x f x x x = -- ⑵不动点求函数迭代：把f(x)写成f(x)=-21(x-3π)+3 π ，则 f (2)(x)=(-21)2(x-3π)+3π,f (3)(x)=(-21)3(x-3π)+3π,f (n)(x)=(-21)n (x-3π)+3 π. 把f(x)变形，找到了一个较易求f n (x)r 表达式。一般地，若f （x ）=ax+b ，则把它成 f (x)=a(x- a b -1)+a b -1.
高一数学竞赛讲座2函数方程与函数迭代
函数方程与函数迭代 函数方程问题一直是各国重大竞赛中的热点问题，以IMO 为例，在已进行的四十七届竞赛的试题中，有30多道是函数方程的试题，几乎是每届一题.在我国冬令营与国家集训队的测试题中，函数方程问题也是屡见不鲜的.究其原因，它往往是给出较弱的条件，却要从中得出甚强的结论（一般是要直接求出表达式）. 【基础知识】 表示某一类（或某一个）函数所具有的一定性质的关系式叫做函数方程（其中()f x 为未知函数）.如果一个函数对其定义域内变量的一切值均满足所给的方程，则称()f x 为这个函数方程的解.寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，就是解函数方程. 我们粗略地归纳其典型的解题方法，主要可以分成以下几类： 1.换元法： 2.解方程（组）法 3.待定系数法 4.代值减元法 当所给的函数方程中变量不止一个时，和普通方程一样，求解时首先要设法减少变量个数，代值减元就是一种减少变量的方法，它通过适当地对自变量赋于特殊值，从而简化方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题. 5.柯西法 先求出对于自变量取所有正整数的值时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值，有理数值以及取实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到方程的解.这里我们给出一个定理： 柯西函数方程的解定理：若()f x 是单调（或连续）函数，且满足()()()f x y f x f y +=+ (,),x y R ∈则()(1).f x xf =（我们将此定理的证明放于例题中进行讲解.） 6.递归法 借助数列对函数方程加以研究的方法.设()f n 是定义在R +上的函数，如果存在递推关系S 和初始条件1(1),f a =当知道(1),(2),,()f f f n 的值后，由S 可以惟一确定(1)f n +的值，我们称()f n 为递归函数.递推法主要解决递归函数问题. 7.不动点法 一般地，设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，或称00(,)x x 为函数()y f x =图象的不动点. 对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后利用数学归纳法证明，往往会使算法简单些. 【典例精析】 【例1】已知11()(),x x f x f x x --+=求().f x 〖分析〗令 1,x t x -=则1,1x t =-再令1 ,1y t =-则1,y t y -=因此可以将所得三个等式看成是关于11 (),(),()1x f x f f x x --的三个方程，便可解得().f x 解：设1,x t x -=则1,1x t =-代入原式，得11()(),11f f t t t +=--即11 ()()1,11f f x x x +=+-- ○ 1 设1,1t x = -则代入原式，得111()()1.1t t f f t t t --+=+-即1121()(),1x x f f x x x --+=- ○2 将○1○2与原方程联立，解得321 ().2(1) x x f x x x --+= - 〖说明〗如何换元才能将已知的函数方程转化为可以求解的方程组，是一个具有技巧性的问题，它需要分
[第4讲]函数迭代和函数方程(上)
1．函数迭代 ⑴ 函数迭代的定义 设:f D D '→（其中D D '?）是一个函数，对任意x D ∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =， (2)()(())f x f f x =，(3)((()))f f f f x =，……，(1)()()(())n n f x f f x +=，……， 则称()()n f x 是函数()f x 在D 上的n 次迭代，并称n 是()()n f x 的迭代指数． 如果()()n f x 有反函数，则记为()()n f x -，于是，迭代指数可取所有整数． ⑵ 简单的函数迭代 求一个函数的n 次迭代，是数学竞赛中的一种基本题型．对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的． 若()f x x c =+，则()n f x nc =+，(1)()f x x c -=-，()()n f x x nc -=-． 若3 ()f x x =，则() 3()n n f x x =，1(1) 3 ()f x x -=，1 () 3()n n f x x -=． 若()f x ax b =+，则()()11n n b b f x a x a a ??=-+ ?--??，(1) 1()11b b f x x a a a -??=-+ ?--??， ()1()11n n b b f x x a a a -??= -+ ?--??． ⑶ 函数迭代的求法 ①数学归纳法 这里用到的是先猜后证的想法，即先对函数()f x 迭代几次，观察出其规律，然后猜测出 ()()n f x 的表达式，最后用数学归纳法证之．这种方法只适用于一些较为简单的函数． ②递归法 设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知，且0a D ∈， 2 函数迭代与函数方程
方程求根的迭代法
§4.1 引 言 绪论中讲到方程求根得二分法，但二分法收敛速度慢，有必要掌握新的方法。 §4.1.1迭代法的思想 迭代法是一种逐次逼近法，使用某个固定公式（迭代公式）反复校正，逐步精确，直到满足精度。 迭代法求根分两步： 1） 猜测初值 2）迭代 如求解初值问题00' )(),,(y x y y x f y ==用梯形公式 111[(,)(,)2 n n n n n n h y y f x y f x y +++≈+ + （1） 看作关于1+n y 的函数方程，按欧拉公式提供猜测值),() 0(1n n n n y x hf y y +=+，代入（1）得 )],(),([2 ) 0(11) 1(1+++++ =n n n n n n y x f y x f h y y 若) 1(1+n y 仍不满足要求，则将它代入（1）式，继续得到校正值) 2(1+n y ，写成迭代公式 )],(),([2 ) (11) 1(1 k n n n n n k n y x f y x f h y y ++++++ = （2） 一般地，为了求一元非线性方程0)(=x f 的根，可以先将其转换为如下的等价形式 ()x x ?= （3） 式（3）中连续函数()x ?称为迭代函数，其右端含未知数，不能直接求解。先用根的某个猜测值0x 代入（3），构造迭代公式：()k k x x ?=+1。如果迭代值k x 有极限，则称迭代收敛，极限值k k x x ∞ →=lim * 就是方程（3）的根。 几何意义P127图4-1 为使迭代法有效，必须保证它的收敛行，()x ?满足什么条件，才能保证收敛？以最简单的线性迭代()d kx x +=?，可以看出收敛的充分必要条件()1' <=k x ?。几何意义P127 图4-2,3,4,5。 §4.1.3 压缩映像原理 设* x 是方程()x x ?=的根，则由微分中值定理 ))(()()(* '*1* k k k x x x x x x -=-=-+ε???，如果存在10<≤L ，使得 ],[b a x ∈有() k k x x L x x L x -≤-?≤+* 1*' ? ，则迭代误差0e L e k k ≤，由于10<≤L ， 故0→k e ，即迭代收敛。
解函数方程的几种方法
绪论 在数学研究的许多领域中如代数学、几何学、概率论等都涉及函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型.函数方程因此一直受到广泛关注，是当今数学研究的一个十分重要的课题.由于函数方程形式多样，涉及面广，难度大，需要大量的数学基础知识.尤其是在中学数学教学中，函数方程是最基本、最易出现的问题，也是历年高考的重点.在中学教学和国外数学竞赛中，经常遇到函数方程问题.这类题目一般是求解某一给定的函数方程，而数学上尚无一般方法可循.当然，较大一部分中学生在遇到这类问题时，常常没有比较清晰的解题思路.本文就着重以函数与方程的性质来讨论函数方程在中学数学中的应用，及解决问题的途径，并通过实际问题的求解过程来阐述. 首先，我们会给出函数方程的相关概念包括函数方程的定义、函数方程的解以及解函数方程. 其次，利用函数与方程的基本性质，就中学数学中常出现的方法进行归纳并结合相应的例题解析.当然由于中学数学中考查点的不同，我们的讨论也有所侧重.对常见的方法包括换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法等均会加重笔墨，尤其会给出一些较为典型的例题分析以及巧解的方法，而对于不常用的方法本文也会提到，以让读者了解到比较前全面的函数方程问题的解题策略. 最后，就种种方法进行总结归纳.“法无定法”，关键在于人们对问题的观察、分析，进而选择最优的方法来解决问题.很多情况下，由于解决的途径并不唯一，所以在解决问题的时候一般采用多种方法同步求解，以达到简化求解过程的目的. 1函数方程的一些相关概念 1.1函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程.如()() f x f x -=， =-，()() f x f x +=等，其中() f x即是未知函数. f x f x (1)() 1.2函数方程的解 设某一函数() f x对自变量在其定义域的所有值均满足某已知方程，那么把 f x就叫做函数方程的f x就叫做已知函数方程的解.即能使函数方程成立的() () 解.函数方程的解可能是一个函数，也可能是若干个函数或无穷多个函数或无解.如偶函数、奇函数、()1 =-分别是上述各方程的解. f x x 1.3解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程就称为解函数方程.即指的是在不给出具体函数形式，只给出函数的一些性质和一些关系式而要确定这个函数，
函数迭代与函数方程初步
本讲主要讲述竞赛数学中六大模块之一的函数方程问题. 在联赛大纲中明确要求函数方程问题在联赛中不作过高要求，也就是说专业级的函数方程问题一般都在冬令营乃至集训队的考试中出现，在联赛中出现的函数方程问题一般难度不高.本讲的目标是能够解决联赛级别的函数方程问题. 函数迭代严格来说其实并不算函数方程的内容，联赛中涉及到的函数迭代问题一般来说也就是寻找迭代规律进而探求一般表达式这种类型，即确定()()((((()))n n f x f f f f x =??????1442443 的具体表达式； 函数方程，是指这样一种特殊的方程，它的解是某一个函数表达式.绝大部分函数方程的求解需要 用到高深的数学工具.能用初等数学方法求解的函数方程数量不多，且其方法往往非常独特巧妙，难以想到.因此函数方程问题成为高难度数学竞赛命题者青睐的对象，在2010年IMO 中第1、3题都是函数方程问题，每年的IMO 中也至少会出现一道函数方程问题. 联赛与高考中的函数方程问题很多并不要求求出函数解析式，而是要求根据给定的函数方程探究该函数的性质：对称性、奇偶性、单调性、周期性并进而证明某个相关命题或确定某个特定的函数值； 根据函数方程求解析式的方法一般有：1、赋值法；2、换元法；3、迭代解方程组法；4、柯西法等等. 本讲我们主要关注前面这些常规的解法，而对于柯西法以及函数方程的较专业的解法本讲只是略讲. 这里仅给出一些利用基本的找规律方法来解决的问题,而桥函数方法、不动点方法这里不涉及.实际上，如果我们令()()()01,,n n a x a f x a f x ===，那么函数迭代问题就变成了递归数列求通项问题，因此我们主要在以后的递归数列一讲讲述此类问题. 知识点睛 经典精讲 8.1函数迭代问题 本讲关键词 第8讲 函数迭代与函 数方程初步
函数方程和函数迭代问题
第四讲函数方程和函数迭代问题 在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质. 一. 探求函数的解析式 1,换元法 换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解. 例1 解函数方程 f(x)+f(x x 1-)=1+x (x ≠0,x ≠1) 例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c 为实常数,求f(x) 2.赋值法 赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的. 例3 已知定义在R 的函数满足 ⑴ f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)cos2x 2+4asin 2x 2 (x 1,x 2∈R,a 为常数) ⑵ f(0)=f( 4 π)=1 ⑶ 当x ∈[0, 4π]时,f(x)≤2 试求⑴函数f(x)的解析式; ⑵常数a 的取值范围. 例4 f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x) ⑴ f[xf(y)]f(y)=f(x+y); ⑵ f(2)=0 ⑶ 当0≤x ＜2 f(x)≠0 3递推法 例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=2 3,且对任意x,y ∈N,有 f(x+y)=(1+1 +x y )f(x)+(1+1+y x )f(y)+x 2y+xy+xy 2,求f(x) 4. 柯西法 柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解 例6 设f(x) 是定义在有理数集上的函数,且对任意的有理数x,y 有 f(x+y)=f(x)+f(y), 试求f(x) 5, 待定系数法 这一方法的其本思想是:当f(x)是多顸式时,可设f(x)=a 0x n +a 1x n-1+….+a n (a 0≠0),代入函数方程的两端,然后比较方程两端x 最高次幂的指数和x 同次幂的系数,便可得出关于n 及a 0 a 1…a n .的方程组,解这个方程组便可确定n 及a 0 a 1…a n 的值,从而得到函数方程的解
函数方程的几种方法
函数方程 三、求解函数方程的几种方法： 一．代换法 1．解函数方程：x x x f x f +=-+1)1 ( )( (1) 解：令1,0,1 ≠-=y y y x ；则x y -=11，将此代入：y y y f y y f 1 2)11()1(-=-+- 或x x x f x x f 1 2)11()1(-=-+-。(2) 此时(1)及(2)并无法解出)(x f ；所以我们再令1,0,11≠-=z z x 此代入（1）式则可得z z z f z f --=+-12)()11(，即x f x f =+-)()11(将(1)，(2)及(3)联立，则可得到一个以)1(),11(),(x x f x f x f --一次方程组；我们利用消去法来解此问题． (1)+(3)： x x x x x x f 1212)1()(2----++=)1(21)(23---= ?x x x x x f 。 经检验是原函数方程的解． 2．（2007越南数学奥林匹克）设b 是一个正实数，试求所有函数R f :得 )3(3)()(1)(1)(y y f b x y f b b b x f y x f y y -+?=+-+-+对任意实数x 、y 均成立。 解：将原方程变形为：1 )(3))(()(-++?+=++y f b x y x y b x f b y x f ， (x , 令x b x f x g +=)()(，则①等价于1)(3)()(-?=+y g x g y x g ，(x , )R y ∈② 在②中令0=y 得1)0(3)()(-?=g x g x g )(R x ∈这表明1)0(0)(==g x g 或。 1）若0)(=x g )(R x ∈，则x b x f -=)(； 2）若1)0(=g ，在②式中令0=x 得：1)(1)(33)0()(--=?=y g y g g y g ，即 0)(31)(=--y g y g 。)(R y ∈③ 考虑函数t t h t -=-13)(，它的导函数13ln 3)('1-=-t t h ，则11)(l o g l o g 0)('33<+=?=e t t h ，于是可知0)(=t h 有两根11=t 和c t =2)10(< 第三讲 函数的方程迭代 主讲人：高云 1、函数迭代 定义和符号 设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M) f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2) f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。 有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M) 2、不定方程 有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把 21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？ 这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，9 1分给小儿子，应该怎样分呢？ 问题：一个老人有n 头马，他打算把a 1分给大儿子，b 1分给二儿子，c 1分给小儿子，并满足 A 2011年协作体夏令营系列讲座(八) 函数方程与函数迭代 福州一中 龚梅勇 许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战意味，因此，在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐，其形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：（1）探求函数的解析式；（2）探求函数的值；（3）讨论函数的性质.本文主要讲解求函数解析式的几种常用方法. 一. 知识与方法 1. 函数方程的定义:含有未知函数的等式叫做函数方程. 2. 函数方程的解:能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解. 3. 解函数方程:求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程. 4. 柯西函数方程的解定理:若()f x 是单调（或连续）函数且满足 ()()()(,)f x y f x f y x y R +=+∈, 则()(1)f x xf =. 5. 定义：设()x f 是定义在D 上函数，记()0 ,f x x = ()()1,f x f x = ()()()2f x f f x = , , ()()1n n f x f f x -=，则称()n f x 是()x f 在D 上的n 次迭代。 讲座八 参考答案 2011-7-22 二．范例选讲 1．代换法（或换元法） 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换，得到一个或几个新的函数方程，然后设法求得未知函数. 例1.(1)已知x f x x 2)1e 1 e (=-+，求).(x f (2)已知32 231311()32f x x x x x x x x -=+-+++-，求).(x f 例1.解:(1)令1e 1e -+=x x y ，则11ln -+=y y x ，带入原方程得到1 1 ln 2)(-+=y y y f ，即为 ()1)f x x =>. (2)32 3232131111()32()()4f x x x x x x x x x x x x -=-+-+++=-+-+， 故32 ()4()f x x x x R =++∈ 例2.设220,ab a b ≠≠,求1()()af x bf cx x +=的解. 例2.解：分别令1,x x t t ==得 11()()af bf t c t t +=（1） 1 ()()af t bf ct t +=（2） 由（1），（2）组成方程组解得222() ()()c at b f t a b t -=- 即：22 2() ()()c ax b f x a b x -=- 例3.解函数方程x x x f x f +=-+1)1 ()(. 例3.解：令u u x 1-=，代入原式得1121 1u u f f u u u --????+= ? ?-???? (1) u x -=11，代入原式得：()1211u f f u u u -?? += ?--?? (2) 又：()11u f u f u u -?? +=+ ??? (3) 三个方程中仅含有()111u f u f f u u -???? ? ?-????、、 ∴由方程组(1)(2)(3)得()321 ()21u u f u u u --=- 即：()() ()321 0,121x x f x x x x x --=≠≠- 检验：111121 11) 1(21)1()(2 3 23+=?? ? ??----?? ? ??--??? ??-+---=-+x x x x x x x x x x x x x x x f x f 所以{}1,0\,) 1(21 )(23R x x x x x x f ∈?---=.经检验上式满足条件. 函数迭代中的”穿脱”技巧 设函数y=f(x),并记fn(x)=f(f(f…(fx)…),其中n 是正整数, fn(x)叫做函数f(x)的n 次迭代,函数迭代是一种特殊的函数复合形式,在现代数学中占有很重要的地位,尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现,成为热点问题之一,以引起广在数学爱好者的关注.由f(x)(或fn(x)的表达式”穿上”或”脱去”n -1个函数符号得出fn(x)(或f(x))的函数迭代问题,这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索. 1程序化穿脱 “穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上f,或从外至内一层层脱去f,往往是一种程序化的模式, 例 已知f(x)=2 1x x + ,求fn(x). 2实验法穿脱 许多情况下,求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作,还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性,实验是发现的源泉,是发现规律的金钥匙. 例函数定义在整数集上,且满足 f(n)= n-3 (n≥1000) f[f(n+5)](n ＜1000求f(84) 例21 对任意的正整数k,令f1(k)定义为k 的各位数字和的平方.对于n≥2令fn(k)=f1(fn-1(k)),求f1988(11). 3周期性穿脱 在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性,利用周期性穿脱要能达到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题过程. 例定义域为正整数的函数,满足: f(n)= n-3 (n≥1000) f[f(n+7)](n ＜1000. 试求f(90) 练习 1.设n 是自然数,f(n)为n2+1(十进制)的数字之和,f1(n)=f(n),求的f100(1990)值. 2.已知f(x)=11 2+-x x .设f35(x)=f5(x),求f28(x). 例4．求函数 232 +-+=x x x y 的值域。 0232322≥-=+-?+-+=x y x x x x x y 两边平方得2)32(2 -=-y x y ，从而 23≠y 且3222 --=y y x 。 1、将方程x5 +5x3– 2x + 1 = 0 改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，并给 出解释。 （1）画图： x1=-6:0.01:6; x2=-3:0.01:3; x3=-1:0.01:1; x4=-0.8:0.01:-0.75; y1=x1.^5 +5*x1.^3-2*x1+1; y2=x2.^5 +5*x2.^3-2*x2+1; y3=x3.^5 +5*x3.^3-2*x3+1; y4=x4.^5 +5*x4.^3-2*x4+1; subplot(2,2,1),plot(x1,y1) ,title('子图(1)') ,grid on, subplot(2,2,2),plot(x2,y2) ,title('子图(2)'),grid on, subplot(2,2,3),plot(x3,y3) ,title('子图(3)'),grid on, subplot(2,2,4),plot(x4,y4) ,title('子图(4)') ,grid on, 由图可知x 的初值应在（-0.78，0.76）之间。 （2）解：第一步构造迭代函数 x f x () 53512 x x x ++= 1()x f x = 32121555x x x x =-+- 2()x f x = 32521x x x x =-+- 3()x f x = 第二步 利用加速迭代收敛法变形后： 5342 41012515x x x x x --+=-- 1()x f x = 62352435322 x x x x x x x --=++- 2()x f x = 2 5328561 x x x x x x -+=++- 3()x f x = 第三步 迭代 设定初值 00.75x =- 1()n n x f x +=n=0,1,2,3……… 用 MA TLAB 编程 x=-077;y=-0.77;z=-0.77; for k=1:30 x=(-4*x^5-10*x^3+1)/(2-5*x^4-15*x^2); y=(2*y^6+4*y^2-3*y)/(5*y^3+3*y^5+2*y-2); z=(8*z^2-2*z)/(z^5+5*z^3+6*z-1); x,y,z; end 迭代结果为： x = -61.5948 y = -0.7685 第四讲函 在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质. 一. 探求函数的解析式 函数方程的求解事实上也是一个探求函数解析式的过程,而函数方程常见的初等解法有许多,下面对其作进一步详尽的介绍. 1,换元法 换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解. 例1 解函数方程 f(x)+f(x x 1-)=1+x (x ≠0,x ≠1) f(x)=x+1/x+1/(1-x) 例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c 为实常数,求f(x) f(x)=c/(a-b)x+c/(a+b) 2.赋值法 赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的. 例3 已知定义在R 的函数满足 ⑴ f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)cos2x 2+4asin 2x 2 (x 1,x 2∈R,a 为常数) f(x)=(a-1)(sin2x-cos2x)+a ⑵ f(0)=f( 4 π)=1 ⑶ 当x ∈[0, 4π]时,f(x)≤2 试求⑴函数f(x)的解析式; ⑵常数a 的取值范围. 例4 f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x) ⑴ f[xf(y)]f(y)=f(x+y); ⑵ f(2)=0 ⑶ 当0≤x ＜2 f(x)≠0 f(x)= 0,x>=2 2/(2-x),x<2 3递推法 这一方法的其本思想是:当f(x)是定义在自然数集上的函数(实际上就是通项为a n =f(n)的数列)时,可根据题中所给函数方程,通过持殊值得到关于f(n)的递推关系,然后根据递推关系求出(即数列{a n}的通项表达式) 例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=2 3,且对任意x,y ∈N,有 f(x+y)=(1+1+x y )f(x)+(1+1 +y x )f(y)+x 2y+xy+xy 2,求f(x) 4. 柯西法 柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解 例4-2 证明0sin 1=--x x 在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于 4102 1-?的根要迭代多少次？ 例4-3 求解方程x e x -=的根，要求取5.00=x ,分别用简单迭代法、迭代法的加速方法：)(1)(111k k k k k x x p p x x x ---==+++?，以及埃特金方法求解，要求误差应满足5110-+<-k k x x 。 例4-4 当R 取适当值时，曲线2x y =与222)8(R x y =-+相切，试用迭代法求切点横坐标的近似值，要求不少于4位有效数字，也不求R 。 例4-5 分别用单点弦割法和双点弦割法求020102)(23=-++=x x x x f 的根，要求6110-+<-k k x x 。 例4-6 用牛顿法求解Leonardo 方程 02010223=-++x x x 要求 6110-+<-k k x x 。 例4-10 能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式。 （1）4/)sin (cos x x x +=； （2）x x 24-=。 例4-11为求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x + =，迭代公式 2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式 3/121)1(k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式 2/11)1/(1-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似根。 例4-15 设0,00>>x a ，证明迭代公式 )3/()3(221a x a x x x k k k k ++=+ 是计算a 的三阶方法。 例4-18 试给出简化牛顿公式（单调弦割法） ,2,1,0),(/)(01='-=+n x f x f x x n n n 收敛的一个充分条件。又设f(x)在[a,b]内有单根x*，证明 n n n x x x f m x x -?'≤-+10)(1*，其中)(min x f m b x a '=≤≤。 例4-20 已知方程f(x)=0。 （1）导出迭代求根公式 ) ()()]([2)()(221n n n n n n n x f x f x f x f x f x x ''-''-=+； （2）证明对f(x)=0的单根，（1）的公式是具有三阶收敛速度； （3）讨论在f(x)=0的重根附近，（1）的公式的收敛速度。 例7-2 已知函数方程1)2(=-x e x ，（1）确定有根区间[a,b]；（2）构造不动点迭代公式使之对任意初始近似],[0b a x ∈，迭代方法均收敛；（3）用所构造的公式计算根的近似值，要求3110--<-k k x x 。 例 7-3 考虑求解方程0123cos 2=+-x x 的迭代公式 ,2,1,0,cos 3 241=+=+k x x k k （1）试证：对任意初始近似R x ∈0，该方法收敛； （2）取40=x ，求根的近似值3 110-+≤-k k x x ； （3）所给方法的收敛阶是多少？ 例7-4 对于迭代函数)2()(2-+=x C x x ?，试讨论： （1）当C 为何值时，),2,1,0)((1 ==+k x x k k ?产生的序列{}k x 收敛于2； （2）C 取何值对收敛最快？数学竞赛专题讲座第三讲函数的方程与迭代
第8讲_函数方程与函数迭代_福州一中__龚梅勇
函数迭代中的”穿脱”技巧
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方程迭代