函数迭代与函数方程初步

本讲主要讲述竞赛数学中六大模块之一的函数方程问题.

在联赛大纲中明确要求函数方程问题在联赛中不作过高要求，也就是说专业级的函数方程问题一般都在冬令营乃至集训队的考试中出现，在联赛中出现的函数方程问题一般难度不高.本讲的目标是能够解决联赛级别的函数方程问题.

函数迭代严格来说其实并不算函数方程的内容，联赛中涉及到的函数迭代问题一般来说也就是寻找迭代规律进而探求一般表达式这种类型，即确定()()((((()))n n

f x f f f f x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅1442443

的具体表达式；

函数方程，是指这样一种特殊的方程，它的解是某一个函数表达式.绝大部分函数方程的求解需要

用到高深的数学工具.能用初等数学方法求解的函数方程数量不多，且其方法往往非常独特巧妙，难以想到.因此函数方程问题成为高难度数学竞赛命题者青睐的对象，在2010年IMO 中第1、3题都是函数方程问题，每年的IMO 中也至少会出现一道函数方程问题.

联赛与高考中的函数方程问题很多并不要求求出函数解析式，而是要求根据给定的函数方程探究该函数的性质：对称性、奇偶性、单调性、周期性并进而证明某个相关命题或确定某个特定的函数值；

根据函数方程求解析式的方法一般有：1、赋值法；2、换元法；3、迭代解方程组法；4、柯西法等等.

本讲我们主要关注前面这些常规的解法，而对于柯西法以及函数方程的较专业的解法本讲只是略讲.

这里仅给出一些利用基本的找规律方法来解决的问题,而桥函数方法、不动点方法这里不涉及.实际上，如果我们令()()()01,,n n a x a f x a f x ===，那么函数迭代问题就变成了递归数列求通项问题，因此我们主要在以后的递归数列一讲讲述此类问题.

知识点睛

经典精讲

8.1函数迭代问题

本讲关键词

第8讲 函数迭代与函

数方程初步

【例1】 （1）若函数()21f x x

=

+且()()()n n

f x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 144424443，则()

()991f = ． （2）()x

f x x c

=

+，c 为常数，求()()n f x .

【例2】 分别求下列函数的n 次迭代：

（1）()f x x b =+ （2）(),1f x ax b a =+≠ （3）()2f x ax =

经典精讲

8.2函数方程问题

【例3】 (1) 已知1

,0,11x f x x x

⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭求)(x f .

(2)函数)(x f 在0=x 处没有定义，但对所有非零实数x 有：x x f x f 312)(=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+，求)(x f

【例4】 求这样的函数()f x ，它对一切实数x 有意义，且对1x ≠满足1

(1)()()1

x x f f x x x +--=-.

【例5】 设():\{0,1}f x R R →满足1

()(

)1x f x f x x

-+=+，求)(x f .

【例6】 ():f x N N ++→满足(1)1f =，()()(),,f m n f m f n mn m n N ++=++∈,求)(x f .

【例7】 ():f x R R →满足,a b R ∀∈,有(())f af b ab =，试求(2010)f .

【例8】 设():f x R R →,满足方程(2)(2)()(),()0,f x f y f x y f x y f π+=+⋅-=且)(x f 不恒为0,求证

)(x f 为周期函数并求其周期；并探讨)(x f 的奇偶性

【例9】 设():f x R R →为增函数，,x y R ∀∈,有(())()(0)f f x y f x y f +=++，求)(x f .

【例10】设():

f x Q R

→满足,x y Q

∀∈,有()()()

f x y f x f y

+=+，求)

(x

f.

【例11】设():

f x R R

→为连续函数，且f (x)不恒为0,,x y R

∀∈,有()()()

f x y f x f y

+=⋅，求)

(x

f.

【例12】求所有的函数++

Q Q

f→

：,使得

() ()()2()

()

f xy

f x f y xyf xy

f x y

++=

+

.

【演练1】分别求下列函数的n 次迭代： （1）()2f x x c =+ （2）()3

f x x c

=+

实战演练

【演练2】():f x R R →满足：1

()()(1)12

f x x f x ++-=，求(0),(1),f f 以及()f x 的所有可能解.

【演练3】已知集合():f x N R +→满足

223

()(1)()(1)(),(1)112

y x f x y f x f y x y xy xy f x y +=++++++=++，求)(x f .

【演练4】():f x Q R →满足()()()()1,(1)2f xy f x f y f x y f =-++=，求)(x f .

【演练5】如果对任意实数x ，y ，均有

()()

||22f x f y x y f x y +-⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥ ①

则称()f x 为“强凸”函数. 取n 为1≥的正整数，对任意整数i ，定义“差分”1+⎛⎫⎛⎫

∆=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

i i i f f n n ② （Ⅰ）在①中取()2i i x y n

n +⎛⎫

=

⎪⎝⎭，，，试证：14+∆∆+i i n ≥ ③ （Ⅱ）证明:

1

1

4n n n i

i i i n --+==∆

∆+∑∑≥ ④