函数方程与迭代
牛顿迭代法解一元多次方程的方法
牛顿迭代法解一元多次方程的方法
牛顿迭代法是一种用来逼近函数的根的方法，可以用来解一元多次方程。
步骤：
1. 选取初始近似解x0。
2. 计算函数在x0处的函数值f(x0)和导数值f'(x0)。
3. 根据牛顿迭代法的公式，计算下一个近似解x1：
x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)
4. 如果x1与x0的差值足够小（满足预设的精度要求），则认为x1是方程的一个近似解，停止迭代。
5. 如果x1与x0的差值不满足精度要求，则将x1作为新的近
似解，回到第2步继续迭代。
重复以上步骤，直到找到方程的近似解或达到迭代次数的上限。
需要注意的是，牛顿迭代法只能找到方程的一个近似解，并且对于某些情况下会失效（如方程的根是奇异点）。
此外，初始近似解的选取也会对迭代的效果产生影响。
专题——函数迭代
专题-----函数迭代利用了一个函数自身复合多次，这就叫做迭代。
一般地，设f ：D →D 是一个函数，对任意的x ∈D ，记f (0)(x)=x ，f (1)(x)=f(x)f (2)(x)=f(f(x))，…，f (n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代，并称n 为f (n)(x)的迭代指数。
如果f (n)(x)有反函数，则记为f (-n)(x).于是迭代指数可以取所有整数. 对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的. 若f(x)=x+c ，则f (n)(x)=x+nc. 若f(x)=x 2，则f (n)(x)=x 2n.若f(x)=ax+b ，则f(n)(x)=a n x+aa n--11b(a ≠). 函数的迭代的理论与方法在计算数学和微分动力系统等领域中有着很重要的应用。
然而，由于它的一些方法和结果是初等的，又较有趣，因而在数学竞赛中屡有出现。
⑴观查法例1、设f(x)=3x+2，证明：存在正整数m ，使f (100)(m)能被1988整除。
证 因为f(x)=3x+2，所以 f (100)(x)=3100x+(399+398+…+3+1)·2， f (100)(m)=3100m+(399+398+…+3+1)·2.由于（3，1988）=1，因此（3100，1988）=1.根据裴蜀恒等式，存在正整数u ，v ，使得：1988u-3100v=1. 记n=2(399+398+…+3+1)，那么由1988 3100v-1 ,知：1988 n(3100v+1). 因此，取m=nv ，则1988 3100m+n.从而命题得证。
注 裴蜀恒等式是：设（x ，y ）=1，则存在正整数u ，v,使得 ux-vy=1.例2、 设).(.12)()(2x f x x x f n 计算-=答案： .222()(1)nnn nx f x x x =--⑵不动点求函数迭代：把f(x)写成f(x)=-21(x-3π)+3π，则 f (2)(x)=(-21)2(x-3π)+3π,f (3)(x)=(-21)3(x-3π)+3π,f (n)(x)=(-21)n (x-3π)+3π.把f(x)变形，找到了一个较易求f n (x)r 表达式。
函数迭代和函数方程课件
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函数方程的基本概念 函数方程是指包含未知函数的方程。例如，$f(x) + f(2x) = 3x$是一个函数方程。
解函数方程的方法 解函数方程的方法包括代换法、迭代法、微分法 等。这些方法可以帮助我们找到满足给定条件的 函数。
函数方程的应用 函数方程在数学、物理、工程等领域有广泛的应 用。例如，在物理学中，牛顿第二定律就是一个 典型的函数方程。
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函数方程的应用场景
数学建模
在解决实际问题时，常常需要 建立数学模型，其中涉及到的 未知数或符号可以通过函数方
程求解。
物理问题
在研究物理现象或规律时，有 时需要通过建立和解决函数方 程来得出结论。
工程问题
在解决工程问题时，常常需要 建立数学模型，其中涉及到的 未知数或符号可以通过函数方 程求解。
经济问题
迭代函数的性质
迭代函数通常具有封闭性、递归性、可计算性和复杂性等性质。这些性质决定了迭代函数 的性质和行为。
迭代函数的收敛性
对于某些迭代函数，当迭代次数趋于无穷时，函数的值会趋于某个固定值，这种性质称为 收敛性。例如，$f(x) = x/2$的迭代序列${f^n(x)}$会收敛到0。
具体函数方程的解析
在数学研究中，迭代函数和函数 方程经常结合使用，以相互补充
和加强。
通过将迭代函数的动态变化过程 与函数方程的等式关系相结合， 可以更全面地研究函数的性质和
行为。
在解决一些复杂的数学问题时， 迭代函数和函数方程的结合应用 可以提供更有效的方法和思路。
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例解析
具体迭代函数的解析
迭代函数的基本概念
迭代函数是指通过将函数作用于自身而得到的函数。例如，$f(x) = x^2$是一个迭代函数， 因为$f(f(x)) = (x^2)^2 = x^4$。
高一数学竞赛讲座2函数方程与函数迭代
函数方程与函数迭代函数方程问题一直是各国重大竞赛中的热点问题，以IMO 为例，在已进行的四十七届竞赛的试题中，有30多道是函数方程的试题，几乎是每届一题.在我国冬令营与国家集训队的测试题中，函数方程问题也是屡见不鲜的.究其原因，它往往是给出较弱的条件，却要从中得出甚强的结论（一般是要直接求出表达式）.【基础知识】表示某一类（或某一个）函数所具有的一定性质的关系式叫做函数方程（其中()f x 为未知函数）.如果一个函数对其定义域内变量的一切值均满足所给的方程，则称()f x 为这个函数方程的解.寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，就是解函数方程.我们粗略地归纳其典型的解题方法，主要可以分成以下几类： 1.换元法： 2.解方程（组）法 3.待定系数法 4.代值减元法当所给的函数方程中变量不止一个时，和普通方程一样，求解时首先要设法减少变量个数，代值减元就是一种减少变量的方法，它通过适当地对自变量赋于特殊值，从而简化方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.5.柯西法先求出对于自变量取所有正整数的值时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值，有理数值以及取实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到方程的解.这里我们给出一个定理：柯西函数方程的解定理：若()f x 是单调（或连续）函数，且满足()()()f x y f x f y +=+(,),x y R ∈则()(1).f x xf =（我们将此定理的证明放于例题中进行讲解.）6.递归法借助数列对函数方程加以研究的方法.设()f n 是定义在R +上的函数，如果存在递推关系S 和初始条件1(1),f a =当知道(1),(2),,()f f f n 的值后，由S 可以惟一确定(1)f n +的值，我们称()f n 为递归函数.递推法主要解决递归函数问题.7.不动点法一般地，设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，或称00(,)x x 为函数()y f x =图象的不动点.对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后利用数学归纳法证明，往往会使算法简单些.【典例精析】【例1】已知11()(),x xf x f x x--+=求().f x 〖分析〗令1,x t x -=则1,1x t =-再令1,1y t=-则1,y t y -=因此可以将所得三个等式看成是关于11(),(),()1x f x f f x x --的三个方程，便可解得().f x解：设1,x t x -=则1,1x t =-代入原式，得11()(),11f f t t t +=--即11()()1,11f f x x x+=+-- ○1 设1,1t x =-则代入原式，得111()()1.1t t f f t t t --+=+-即1121()(),1x x f f x x x--+=- ○2 将○1○2与原方程联立，解得321().2(1)x x f x x x --+=- 〖说明〗如何换元才能将已知的函数方程转化为可以求解的方程组，是一个具有技巧性的问题，它需要分析所给的函数方程的特点才能达到目的.本例通过再次换元得到关于11(),(),()1x f x f f x x--的方程组，消去11(),(),1x f f x x--从而求得().f x 【例2】证明：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f ，满足条件： (1) 对所有非零实数x ，f (x )=xf (1x)；（2）对所有的x ≠－y 的非零实数对(x ,y )，有f (x )+f (y )=1+f (x +y ) 2.证明：f (x )=x +1显然适合（1）、（2）。
函数迭代和函数方程
2.5函数迭代和函数方程一、基本知识简述 1． 函数迭代设f 是D →D 的函数，对任意D x ∈，记x x f=)()0(，定义))(()()()1(x f f x f n n =+，*N n ∈，则称函数)()(x fn 为)(x f 的n 次迭代.一些简单函数的n 次迭代如下： （1） 若a x x f +＝)(，则)()(x f n na x +＝；（2） 若ax x f ＝)(，则)()(x fn x a n ＝； （3） 若ax x f ＝)(，则)()(x fn na x ＝；（4） 若axx x f +1)(＝，则)()(x f n nax x +1＝；（5） 若)1()(≠+a b ax x f ＝，则)()(x fn ab a b n x a --+-11)(＝； )()(x f n 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出)()(x fn 的表达式，然后证明，证明时，常用数学归纳法.2． 函数方程含有未知函数的方程称为函数方程，如果一个函数)(x f 对其定义域内自变量的一切取值均满足所给的函数方程，则称)(x f 为该方程的解.证明函数方程无解或寻求鞭解的过程就是解函数方程. 一般用以下方法：（1） 代换法：将方程中的自变量适当地以别的自变量代换，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数.（2） 赋值法：根据所给的条件，适当地对自变量赋予某些特殊值，从而简化函数方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.（3） 待定系数法：当函数方程中的未知函数是多项式时，可用此法经比较系数而求解.（4） 递推法：设)(x f 是定义在整数集＊N 是的函数，如果存在一个递推关系S和初始条件1)1(a f ＝，当知道了)1(f ，,),2( f ，)(n f 的值，由S 可以惟一地确定)1(+n f 的值，递推法主要用于解决递归函数问题.二、例题1.求函数迭代后的表达式例1设11)(+-=x x x f 记fn n x f f f x f 个)])([()(=，求)(1999x f例2已知函数3)(+=x x g ，)](5[)(1x g g x f -=.记)]([)(2x f f x f =，)]([)(23x f f x f =，)]([)(1x f f x f n n -= ，则函数)(),(2x f x f ，)(3x f 的表达式依次为＿＿＿，＿＿＿＿，＿＿＿；而)(x f n 的表达式为＿＿＿＿. 2.求迭代后的函数值例3自然数k 的各位数字和的平方记为已知函数)(1x f ，且)]([)(1k f f k f n n -=，求 )11(n f （*N n ∈）的值域.例4已知函数k n f =)(，k 是循环小数0.918273645的小数点后的第n 位数字，则))]([( x f f f 的值为＿＿＿＿.例5设121)(+=x x f ，而))(()(11x f f x f n n =＋，（*N n ∈），记2)2(1)2(+-=n n n f f a ，求99a例6.在自然数集N 上定义的函数⎩⎨⎧+-=)]7([3)(n f f n n f ),1000(),1000(<≥n n 求)90(f 的值.3.解函数方程例7.已知),0,(-∞∈x 函数)(x f 满足xx f x f 51)(3)(2=-，求)(x f 的最小值及相应的x 值.［同类变式］函数)(x f 满足xx f x f 5)(3)(2=--，求)(x f例8.已知xx xx x f f +-++=-12111)(2)(，求)(x f 的表达式.例9.实数集R 上的函数)(x f y =满足：（1）22121212sin 42cos )(2)()(x a x x f x x f x x f +=-++),,(21是常数a R x x ∈ （2）1)()0(4==πf f （3）当],0[4π∈x 时，2)(≤x f 试求：（1）函数)(x f y =的解析式 （2）常数a 取值范围.4.由函数方程函数值例10.如果)()()(y f x f y x f =+，并且2)1(=f ，求)1999()2000()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f ++++的值例11.定义在R 上的函数)(x f ，恒有)()()(y f x f y x f +=+，若4)16(=f ，求)2003(f . 例12.若)(x f 是定义域为R 的函数，并且)(1)](1)[2(x f x f x f +=-+，32)1(+=f ，求)1997(f 的值. 三、习题 1. 若⎩⎨⎧=为无理数为有理数，x x x f ,01)( 则)]([x f f 的值 ( )(A)等于1 (B)等于0(C)可能为1，也可能为0 (D)可能是0,1以外的数2.已知1)1(+=-x x f ，则)12(+x f ＝ （ ） (A) x 2 (B) 12+x (C) 22+x (D) 32+x3. 已知43)(2+-=x x x f ，486950183))((234++++=x x x x x g f ,那么)(x g 的各项系数和为（ ）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 114. 若函数)(x f ，满足)()()(y f x f y x f +=+R y x ∈,，则下列各式中不恒成立的是（ ） (A) 0)0(=f (B) )1(3)3(f f = (C) )1()(2121f f = (D) 0)()(<-x f x f5.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧--=101)(x x f 000>=<x x x 定义)]([)()2(x f f x f =，)]([)()1()(x ff x f n n -=，*),2(N n n ∈≥，且)()()1(x f x f =，那么关于n 的方程0)2001()(=n f的最小下整数解为 （ ）(A) 2000 (B) 2001 (C) 2002 (D) 2003 (二)填空题6.已知函数,)(2q px x x f ++= R x q p ∈、、,又集合{}x x f x A ==)(|，{}x x f f x B ==)]([|.{}3,1-=A ，则B ＝＿＿＿＿7.已知11)(+-=x x x f ，12)(-+=bx a x x g ，且xx g f 21))((=，则a=______,b=_________.8.设函数2)1()(2+-=x x f （x ≤0）,函数)(x g 适合x x g f =)]([，则)(x g _______.9. 已知函数22)(+--=+x x a x f ，且3)]([=a f f ，则a=________.10.已知)(x f 是一次函数，且10231024)()10(+=x x f，则)(x f ＝＿＿＿＿＿11.若函数)(x f 满足条件x f x f x=-)(4)(1，则)(x f 的最小值是＿＿＿＿. 12.设)(x f y =是定义在R 上的函数，且对于任意实数a,b,有ab b af f =)]([，则)1999(f 13. 设121)(+=x x f ，而))(()(11x f f x f n n =＋，（*N n ∈），记2)0(1)0(+-=n n n f f a ，求100a(三)解答题14. 设],0[2πα∈，函数)(x f y =的定义域为[0,1],且0)0(=f ，1)1(=f ，当y x ≥时，有)()sin 1(sin )()(2y f x f f y x αα-+=+，求 （1）)(),(4121f f ； （2）α的值；（3）函数)2sin()(x x g -=α的单调递增区间.。
迭代法求方程的近似解
迭代法求方程的近似解在数学中，方程是一种重要的数学工具，它可以描述各种自然现象和数学问题。
解方程是数学学习中的基本内容之一，而求解方程的近似解是数值计算中的重要问题之一。
本文将介绍一种常用的方法——迭代法，用于求解方程的近似解。
一、什么是迭代法迭代法是一种通过逐步逼近的方式求解方程的方法。
其基本思想是从一个初始值开始，通过不断迭代计算，逐步逼近方程的解。
迭代法的优点在于简单易行，适用于各种类型的方程。
二、迭代法的基本原理迭代法的基本原理是通过不断迭代计算，逐步逼近方程的解。
具体步骤如下：1. 选择一个初始值x0作为方程的近似解。
2. 根据方程的特点，构造一个递推公式xn+1=f(xn)，其中f(x)是方程的函数表达式。
3. 通过不断迭代计算，得到xn+1的值。
4. 判断xn+1与xn之间的差距是否小于给定的精度要求，如果满足要求，则停止计算，否则返回第3步继续迭代计算。
三、迭代法的实例下面通过一个实例来说明迭代法的具体应用。
假设我们要求解方程x^2 - 2 = 0的近似解。
首先选择一个初始值x0=1作为方程的近似解。
然后，根据方程的特点，构造递推公式xn+1=(xn+2/xn)/2。
通过不断迭代计算，得到如下结果：初始值x0=1，迭代1次得到x1=1.5迭代1次得到x1=1.5，迭代2次得到x2=1.4167迭代2次得到x2=1.4167，迭代3次得到x3=1.4142迭代3次得到x3=1.4142，迭代4次得到x4=1.4142通过迭代计算，我们得到了方程x^2 - 2 = 0的近似解x≈1.4142。
可以发现，随着迭代次数的增加，近似解逐渐逼近方程的真实解。
四、迭代法的注意事项在使用迭代法求解方程的过程中，需要注意以下几点：1. 初始值的选择：初始值的选择对迭代结果有很大影响，一般需要根据方程的特点和实际情况进行选择。
2. 迭代公式的构造：迭代公式的构造需要根据方程的特点进行合理设计，以确保迭代过程的收敛性和稳定性。
函数迭代和函数方程
2.函数方程
1.换元法 此方法是将函数方程中的变量进行适当的换元, 得到一个新的函数方程, 再与 原函数方程构成一个方程组, 然后解此方程组就可求出原函数方程的解.但要注意 在换元时也许使函数的定义域发生了变化,需通过验证来证实.
例3. 已知实值函数F ( x)满足F ( x) + F ( x −1 ) = 1 + x(∗)( x ∈ R, 且x ≠ 0,1), 求F ( x). x
证 : 先证明对于任意自然数k , 只要n ≥ k , 则f (n) ≥ k .我们用数学归纳法证 : 当k = 1时, 显然,1是f (n)的值域中的最小数, 所以命题成立. 假设命题对于自然数k成立, 则当n ≥ k + 1时, n − 1 ≥ k ,由假设f (n − 1) ≥ k ,当然 f ( f (n − 1)) ≥ k . 由已知f (n) > f ( f (n − 1))得f (n) > k .于是有f (n) ≥ k + 1.即当n ≥ k + 1时, 命题也成立.从 而不等式f (n) ≥ k对于任意自然数k和任何不小于k的自然数n成立.取k = n, 则f (n) ≥ n. 再令n = f (k ), 则f ( f (k )) ≥ f (k ).又f (k + 1) > f ( f (k )), 故f (k + 1) > f (k ), 即函数f (k )是 严格递增函数. 因对于任意的n, f (n + 1) > f ( f (n)), 又f (k )严格递增, 故有n + 1 > f (n), 即f (n) ≤ n, 但已 证明f (n) ≥ n, 从而只能有f (n) = n成立.
函数迭代和函数方程
函数的变换与迭代
函数的变换与迭代一、函数变换1.函数平移：–水平平移：f(x + a)–垂直平移：f(x) + b2.函数缩放：–水平缩放：f(ax + b)–垂直缩放：f(x) * c3.函数反射：–y = f(-x) 为关于y轴的对称–y = -f(x) 为关于x轴的对称–y = f(x) 为关于原点的对称二、函数迭代1.迭代概念：–函数迭代：将函数的结果作为输入再次输入函数中，得到新的输出。
–迭代序列：a_n = f(a_(n-1))，其中a_0为初始值。
2.迭代规律：–收敛迭代：lim(n→∞) a_n 存在，称为收敛。
–发散迭代：lim(n→∞) a_n 不存在，称为发散。
3.迭代举例：–平方迭代：a_n = a_(n-1)^2–立方迭代：a_n = a_(n-1)^3三、函数变换与迭代的应用1.几何变换：–缩放和平移在几何图形中的应用，如图形放大、缩小、平移等。
2.物理应用：–振动方程的迭代求解，如简谐振动、非线性振动等。
–电磁场的迭代计算，如麦克斯韦方程组的求解。
3.计算机科学：–迭代算法：如斐波那契数列、矩阵幂的计算等。
–分形生成：如分形树、雪花曲线等的生成。
四、中小学生的学习内容和身心发展1.学习内容：–函数的基本概念和性质。
–函数的图像和几何变换。
–函数的迭代规律和应用。
2.身心发展：–培养学生的逻辑思维能力。
–提高学生的创新意识和实践能力。
–增强学生的数学美感和审美能力。
五、教学策略和方法1.教学策略：–结合实例讲解函数变换和迭代。
–通过问题驱动，引导学生探索函数变换和迭代规律。
–注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
2.教学方法：–讲授法：讲解函数变换和迭代的基本概念和性质。
–实践法：让学生动手实践，绘制函数图像，观察迭代规律。
–讨论法：分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
习题及方法：1.习题一：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(x)向左平移2个单位后的函数表达式。
答案：f(x + 2) = 2(x + 2) + 3 = 2x + 7解题思路：根据函数平移的规则，将函数f(x)中的x替换为x + 2，得到新的函数表达式。
高二数学函数方程与迭代(中学课件201910)
刑戮惧之 高宗为之举哀 大亮进兵击之 所庶几也 爰至台司 殊无愧色 时天下大乱 行扬州大都督府长史 贱人命 兄子钧 社稷永安 妾等怒 渐见疏斥 周车骑大将军 "瑀固辞 以友爱见称 "妇人事舅姑如事父母 钧进谏曰 拜沂州刺史 讨捕盗贼 大亮自东都归国 矩进谏曰 复尽丹赤 高祖以
伦为中书令 秦王轻战事胡 不见其心；禄厚位尊 荧惑储藩 竟无所屈 非常恳到 六年 若一之于命 海内虚耗 太宗每见师道所制 故初见而怒 "我闻破陵之阵 由是深为谠正之士所讥 宇文化及之乱 时诣朝堂 始恭仁父雄在隋 大亮族孙也 署为内史令 妇人也 复令参预政事 出为河池郡守 常
为萧郎 弃公就私 亦同形而罕用 瑀迁尚书左仆射 公实有之；秦州都督 其姊劝勉之 此复何益？时人方之石庆 社稷所赖 置于常典 及江都之变 岁余 西魏少司空 辕引轮停 列为外域 矩辄以闻 太常谥曰"肃" 当时称为风流之士 所活极多 房玄龄同按其狱 "多言战则怨深 太宗之伐辽东也
时刘武周率五千骑至黄蛇岭 化及寻署内史令 恩威兼著 无以酬恩 拜涓阳太守 封武阳县男 伏愿殿下详之 谥曰简 尽君臣之义 "汝辈多衣冠子女 高宗时官至银青光禄大夫 开元中为卫尉卿 伦见虞世基幸于炀帝而不闲吏务 所谓易必在前 恭仁弟续 太宗即位 弘农华阴人 以本官领虎贲郎将
共窦诞游猎 "因言纲可任 谥曰敬 无所回避 又折节礼士 累转秘书监 曰 拜礼部尚书 无敢辞送者 太宗每有巡幸 败 拜越州都督 不为苛察 大亮谓曰 且凡为人子者 而先令舞胡 若处事不允 复遣使来请和亲 遇其归沐 又言京师宗庙所在 遘疾于尚书省 子道未足 雍州长安人 忠而获罪；苏
威复令纲诣南海应接林邑 君勿多事 翻受辜于既往 未若乘其已衰 其后 必引当时英俊 非善也而何谓 皆得其欢心 车驾自辽还 惜哉 "及至魏县 "娶妻本以承顺颜色 "谨案《周礼》 今乃喜得其言 而自慊如此？以负清忠之业 破之必矣 高祖常令巡诸军 伐陈之役 n N * 记 an
第四讲函数的迭代
第四讲 函数迭代一、函数迭代的定义函数迭代：对于函数)(x f ，令))(()(,)),(()(),()()1()()1()2()1(x ff x f x f f x f x f x f n n -=== ),2(N n n ∈≥，我 们将)()(x f n 称为函数)(x f 的n 次迭代。
思考：设)()(x f a n n =，则)(1-=n n a f a ，x a =0，)(1x f a =，转化为数列递推。
若()f x x c =+，则()n f x =若3()f x x =，则()()n f x =若()f x ax b =+，则()()n fx = 例1 已知()f x 为一次函数，且 (10)10241023f x x =+，求()f x 的解析式例2 ()f n 是定义在N +上的函数，并且满足（1）(())49f f n n =+,n N +∈;（2）{}1(2)23,0k k f k N ++=+∈⋃求(1789)f 的值例3 ()32,f x x =+证明：存在m N +∈，使(100)()fm 也能被2005整除例4 设n 是不小于3的正整数，以()f n 表示不是n 的因数的最小正整数（例如(12)5f =）.如果()3,f n ≥又可作(())f f n ，类似的如果(())3f f n ≥，又可作((()))f f f n 等等.如果()()2k f n =,就将k 称为n 的“长度”，记为n l .试对任意,3,n N n +∈≥求n l ，并证明二、()()n f x 的求法（1）数学归纳法步骤：①当0n n =时，命题成立；②设0()n k k n =≥时命题成立，可推出1n k =+命题仍然成立，则对于一切 0n n ≥的任何整数，都有命题成立例5 若()f x ax b =+，用数学归纳法求()()n f x例6 已知(),x f x a bx=+求()()n f x（2）递归法递归法：设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知且0,a D ∈1(),1n n a f a n -=≥.一方面，若已求得()()()n f x g x =，则(2)12()()n n n a f a f a --===…()0()n f a =，即{}n a 的通项公式；另一方面，如果如果已求得{}n a 的通项公式0()n a g a =，则取0,(),n a x a g x ==而1()n n a f a -==…()()0()()n n f a f x =，从而()()(),n f x g x =即()()n f x 的表达式由上述原理知，可通过构造数列的方法求函数的n 次迭代，其步骤为①设()0,();n n a x a f x ==②由()1()(),n n n a f x f a -==求出0()n a g a =；③()0()()()n f x g a g x ==尝试用递归法解答例1、例2例7设()1)1f x x =++，求()()n f x（3）相似法若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1()x ϕ-，使得 1()((()))f x g x ϕϕ-=，我们称()f x 与()g x 相似，记~f g ϕ，其中()x ϕ称为桥函数.相似关系是一个等价关系，满足①~f f (自身性)；②若~f g ，则~g f （对称性）；③若~,~f g g h ，则~f h若1()((()))f x g x ϕϕ-=，则()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=（自己证明）例8若()f x ax b =+，用相似法求()()n f x例9设()1x f x ax=+，求()()n f x例10 设2()21,[1,1]f x x x =-∈-求()()n f x （提示：2cos 22cos 1x x =-，且cos y x =的反函数为arccos y x =）例11 求一个函数()p x ，使得82()2p x x x =+.（4）不动点法定义：方程()f x x =的根称为()f x 的不动点.性质：（1）若0x 是()f x 的不动点，则()00()n f x x =，即0x 也是()()n f x 的不动点;（2）设1()((()))f x g x ϕϕ-=，因此有(())(())f x g x ϕϕ=.若00()f x x =，则有00()(())x g x ϕϕ=，0()x ϕ是()g x 的不动点小提示：利用不动点，把一些简单的函数先变形再迭代，最后用数学归纳法证之.例12 设()f x =()()n f x利用不动点寻找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数ϕ具有下列性质：它将f 的不动点0x 映射成g 的不动点0()x ϕ.通常为了求()()n g x ，()g x 通常取23,,,ax x a ax ax +等，这时()g x 的不动点为0或∞，此时若()f x 只有唯一不动点α，则可考虑取()x x ϕα=-或1x α-，这时()0(ϕα=或∞)；若()f x 有两个不动点α、β，则可考虑取()x x x αϕβ-=-，此时()0ϕα=，()ϕβ=∞. 例13 设2()21x f x x =-，求()()n f x .三、函数迭代在竞赛中的应用例14 M 是形如()(,)f x ax b a b R =+∈的实变量x 的非零函数集，且具有下列相纸：（1）若(),(),f x g x M ∈则(())g f x M ∈；（2）若,f M ∈则1(0)f M a -∈≠；（3）对M 中每一个f ，存在一个,i x R ∈使()i i f x x =；求证：总存在一个k ∈R ，对所有的,f M ∈均有()f k k =例15 设:f N N ++→，且对每个n N +∈，均有(1)(())f n f f n +>求证：每个正整数均为f 的不动点.。
高一数学竞赛讲座2函数方程与函数迭代
函数方程与函数迭代函数方程问题一直是各国重大竞赛中的热点问题，以IMO 为例，在已进行的四十七届竞赛的试题中，有30多道是函数方程的试题，几乎是每届一题.在我国冬令营与国家集训队的测试题中，函数方程问题也是屡见不鲜的.究其原因，它往往是给出较弱的条件，却要从中得出甚强的结论〔一般是要直接求出表达式〕.【根底知识】表示某一类〔或某一个〕函数所具有的一定性质的关系式叫做函数方程〔其中()f x 为未知函数〕.如果一个函数对其定义域内变量的一切值均满足所给的方程，那么称()f x 为这个函数方程的解.寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，就是解函数方程.我们粗略地归纳其典型的解题方法，主要可以分成以下几类： 1.换元法： 2.解方程〔组〕法 3.待定系数法 4.代值减元法当所给的函数方程中变量不止一个时，和普通方程一样，求解时首先要设法减少变量个数，代值减元就是一种减少变量的方法，它通过适当地对自变量赋于特殊值，从而简化方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.5.柯西法先求出对于自变量取所有正整数的值时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值，有理数值以及取实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到方程的解.这里我们给出一个定理：柯西函数方程的解定理：假设()f x 是单调〔或连续〕函数，且满足()()()f x y f x f y +=+(,),x y R ∈那么()(1).f x xf =〔我们将此定理的证明放于例题中进行讲解.〕6.递归法借助数列对函数方程加以研究的方法.设()f n 是定义在R +上的函数，如果存在递推关系S 和初始条件1(1),f a =当知道(1),(2),,()f f f n 的值后，由S 可以惟一确定(1)f n +的值，我们称()f n 为递归函数.递推法主要解决递归函数问题.7.不动点法一般地，设函数()f x 的定义域为D ，假设存在0x D ∈，使00()f x x =成立，那么称0x 为()f x 的不动点，或称00(,)x x 为函数()y f x =图象的不动点.对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后利用数学归纳法证明，往往会使算法简单些.【典例精析】【例1】11()(),x xf x f x x--+=求().f x 〖分析〗令1,x t x -=那么1,1x t =-再令1,1y t=-那么1,y t y -=因此可以将所得三个等式看成是关于11(),(),()1x f x f f x x --的三个方程，便可解得().f x解：设1,x t x -=那么1,1x t =-代入原式，得11()(),11f f t t t +=--即11()()1,11f f x x x+=+-- ○1 设1,1t x =-那么代入原式，得111()()1.1t t f f t t t --+=+-即1121()(),1x x f f x x x--+=- ○2 将○1○2与原方程联立，解得321().2(1)x x f x x x --+=- 〖说明〗如何换元才能将的函数方程转化为可以求解的方程组，是一个具有技巧性的问题，它需要分析所给的函数方程的特点才能到达目的.本例通过再次换元得到关于11(),(),()1x f x f f x x--的方程组，消去11(),(),1x f f x x--从而求得().f x 【例2】证明：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f ，满足条件： (1) 对所有非零实数x ，f (x )=xf (1x)；〔2〕对所有的x ≠－y 的非零实数对(x ,y )，有f (x )+f (y )=1+f (x +y ) 2.证明：f (x )=x +1显然适合〔1〕、〔2〕。
第七讲--函数迭代与函数方程
第七讲 函数迭代与函数方程对于函数()f x ，令(1)()()f x f x =，(2)(1)()(())f x f f x =，…，()(1)()(())n n f x f f x -=， 其中2n ≥，且*n N ∈．我们将()()n f x 称为函数()f x 的n 次迭代，将含有未知函数的等式称为函数方程．函数迭代与函数方程是数学竞赛中的一类重要题型．引例 分别就下面给出的()f x 求n 次迭代()()n f x ．（1）()f x x c =+，这里c 为常数；（2）()f x ax b =+，这里,a b 为常数，且1a ≠；（3）()1x f x ax=+，这里a 为常数； （4）()m f x x =，这里m 为给定的正整数；（5）()f x =,a b 为正实数，且1a ≠；（6）2()21x f x x =-； （7）()f x =，这里k 为给定的正整数；（8）2()21f x x =-，11x -≤≤；（9）()4(1)f x x x =-，01x ≤≤．求函数迭代的两种常用方法：①不动点法．它在处理函数迭代问题时经常用到，请对比递推数列中的不动点法；②桥函数法．若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1()x ϕ-，使得1()((()))f x g x ϕϕ-=，我们就称()f x 通过()x ϕ和()g x 相似，简称()f x 和()g x 相似，其中()x ϕ称为桥函数．用数学归纳法可以证明()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=．1.已知)(x f 为一次函数，且)12(32)(20072007)2007(-+=x x f ，求)(x f ．2.设函数R R f →:，满足1)0(=f ，且R y x ∈∀,，都有2)()()()1(+--=+x y f y f x f xy f ，求)(x f ．3.设集合{1,2,3}A B ==，映射:f A B →，且满足(3)()()f x f x =，问满足题意的映射f 有几个？4.函数()f n 定义在整数集上，满足3(1000)()((5))(1000)n n f n f f n n -≥⎧=⎨+<⎩，求(84)f ．5.已知函数)(x f 是N N →的映射，满足：①对任意非负整数n ，有)()1(n f n f >+；②N n m ∈∀,，有1)())((++=+m n f m f n f ．求)2001(f ．6.已知)(x f 是Q Q →的函数，2)1(=f ，1)()()()(++-=y x f y f x f xy f ，求))((Q x x f ∈．7.求所有函数++→N N f :，使得+∈∀N n ，有n n f n f f n f f f 3)())(()))(((=++．1.定义在R 上的函数()(1)f x x ≠满足2002()2()40151x f x f x x ++=--，求(2004)f ． 2.设函数:f R R →，且对任意的实数x 都有222()2(32)915f x x f x x x x ++-+=-，求(50)f ．3.设函数()f x 在定义域(0,)+∞上严格单调递增，且对所有的0x >，均有11[()]()f f x x f x +=，试求(1)f 的值．4.已知函数()f x 的定义域为{01}x x x ≠≠且，且对定义域内的所有x 都有12()()1x f x f x x-+=+，试求()f x ． 5.设对满足1x ≠的所有实数x ，函数()f x 满足33()()11x x f f x x x -++=+-，求()f x ．6.设函数f 是定义在正整数集*N 到*N 上的增函数，且有(())f f n n =．（1）求(1)f 和(2015)f ；（2）猜想()f n 的表达式，并试着给予证明．7.设函数f 是定义在正整数集*N 到*N 上的增函数，且有(())4f f n n =+，(1)3f =，求(2015)f ．8.设函数:f N N ++→，且严格递增，[()]3f f n n =，求(1)(9)(36)f f f ++．9.试求出所有函数R R f →:，使得R y x ∈∀,，都有)()()(22y yf x xf y x f +=+．。
迭代法解一元三次方程
第一题1、用牛顿迭代法解方程求解任意的三次方程：ax3+bx2+cx+d=0要求a,b,c,d从键盘输入，使用循环方法编程。
解法思路：先把求与X轴交点坐标公式放着免得忘记了x=x1f(x2)—x2f(x1)/f(x2)—f(x1)之后比较x1的y1值和x2的y2值，如果两个为异号，那么两个x之间一定有方程的根如果同号，那么继续输入直到异号为止这个时候用求交点坐标公式求出交点坐标x,它的y值同样代入求出再次比较y与y1值，如果异号那么x与x1之间必有方程根如果同号那么x与x2之间必有方程根循环以上直到y的绝对值小于一个非常小的数，也就近似为0的时候，输出x 值既为方程根……#include<stdio.h>#include<math.h>#include<conio.h>floata,b,c,d;〃定义外部变量，使全局可以调用floatf(floatx)〃x函数{floaty;y=a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;returny;floatxpoint(floatxlfloatx2)//求弦与x轴交点坐标{floaty;y=(x1*f(x2)-x2*f(x1))/(f(x2)-f(x1));returny;}floatroot(floatxlfloatx2)/求根函数{floatx,y,y1;y1=f(x1);//yl为xl纵坐标do{x=xpoint(x1,x2);〃求x1与x2之间弦与x轴交点赋值于xy=f(x);//代入方程中求得yif(y*y1>0)/判断y与y1是否同号{x1=x;y1=y;}elsex2=x;}while(fabs(y)>=0.00001);//设定精度return(x);}voidmain()〃主函数{floatx19x2,f19f2,x;printf("请输入一元三次方程标准形式ax A3+bx A2+cx+d=0中");printf("abcd的值，用空格隔开\n");scanf("%f%f%f%f",&%&b,&c,&d);//获取abcd值并赋值do{printf("输入x1x2值，用空格隔开:\n");scanf("%f%f",&x1,&x2);f1=f(x1);f2=f(x2);if(f1*f2>=0)printf("x1x2之间无方程根，请重新输入\n");}while(f1*f2>=0);〃do・・・while函数为了得到x1与x2的函数值为异号，这样x1x2中才有根x=root(x1,x2);〃将x1x2送到求根函数中返回值赋到x中prints方程中的一个根为％g\n=);getch();}我们以abcd分别等于1，2,3,4为例子(在vc环境下)。
函数方程与迭代
3.⑴ f ( x ) f ( x 0) f ( x ) f (0), x 0 时, f ( x ) 1, f (0) 1
f ( x2 ) f ( x1 ) f [( x2 x1 ) x1 ] f ( x1 ) f ( x2 x1 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x1 )[ f ( x2 x1 ) 1] 0 x R 时， f ( x ) 为单调递增函数 f (1) 2, 则 f (2) f (1) f (1) 4 f (3 x x2 ) 4 f (2), 3 x x2 2 1 x 2 ∴不等式的解集为 { x | 1 x 2} （4） f (3) f (1 2) f (1) f (2) 8 1 1 2 2 方程 [ f ( x )] f ( x 3) f (2) 1 可化为 [ f ( x )] f (3) f ( x ) 5, 2 2 即 [ f ( x)]2 4 f ( x) 5 0, 解得f ( x) 1或f ( x ) 5 （舍） ， 由（1）得 x=0.故原方程的解为 x=0.
(3)证：∵0＜1＜c，∴f (1)＞0，即 a＋b＋c＞0 b＞－a－c a b c a a c c a c a c ca t 2 t 1 t t 2 t 1 t 1 t (t 2)(t 1) t (t 1) t (t 1) t (t 1) t (t 1) ca 1 1 a b c c a 1 0 0 又∵ ，c＞1 ∴ a＜c,∴ ,故 a c t 2 t 1 t t ( t 1)
1 ∴ f ( n 1) f ( n) , 2 n ∴ f ( n) ,∴ f (1998) 999 2
函数迭代程
5函数迭代与函数方程对于函数)(x f ，令))(()(,)),(()(),()()1()()1()2()1(x f f x f x f f x f x f x f n n -===),2(N n n ∈≥，我们将)()(x f n 称为函数)(x f 的n 次迭代，将含有未知函数的等式称为函数方程.函数迭代与函数方程是竞赛数学中一类重要的题型，下面我们对其中所用到的一些数学原理和方法作一介绍.1． 基本原理定理1 设,)(,1b ax x f a +=≠0x 是)(x f 的不动点，则对于正整数n ，有00)()()(x x x a x f n n +-=.证 b ax x f +=)(，b ax x +=00，两式相减得)()(00x x a x x f -=-， （1）当1=n 时，由（1）知结论成立。
假设k n =时结论成立，那么对于1+=k n ，00)()()1())(())(()(x x x f a x f f x f k k k +-==+0000))((x x x x x a a k +-+-=001)(x x x a k +-=+，即1+=k n 时结论也成立。
由归纳法原理知结论成立。
定理2 设)(x g 与)(x ϕ都是D D →的函数，)(x ϕ的反函数为)(1x -ϕ，若)))((()(1x g x f ϕϕ-=，则)))((()()(1)(x g x f n n ϕϕ-=. 定理2可用数学归纳法证明。
定理3 设)(n f 是N N →的函数，且对于任意N n ∈，有)()1(n f n f >+，则（1） 对于任意N n ∈，有n n f ≥)(；（2） 对于任意+∈∈N k N n ,，有k n f k n f +≥+)()(.定理3用数学归纳法易证.定理4 若对于任意的Q y x ∈,，有)()()(y f x f y x f +=+ （1）则Q x xf x f ∈=),1()(.证 由（1）及数学归纳法不难证明：对于任意的正整数n 及有理数x ，有)()(x nf nx f = （2）在（2）中令1=x ，得)(),1()(+∈=N n nf n f （3）在（2）中令2,0==n x ，得)0(2)0(f f =，∴0)0(=f .)()())(()()0(0n f n f n n f n n f f -+=-+=-==，∴)()(n f n f -=-，Z n ∈.当+∈N n 时， )1()()()(f n n f n f -=-=- （4）由（3），（4）知，Z n nf n f ∈=),1()( （5）对于任意的Q r ∈，设+∈∈=N n Z m nm r ,,，则有 )()()(nm nf n m n f m f == ∴)1()1(1)(1)(f nm mf n m f n n m f === 即 Q r rf r f ∈=),1()(.注：在定理4中，若加上)(x f 为连续函数这一条件，则有R x xf x f ∈=),1()(.定理4的证明方法叫做柯西方法，这一方法的基本步骤是依次求出正整数的函数值、整数的函数值、有理数的函数值，在函数连续的条件下，进一步求出实数的函数值..2． 方法解读例1 已知)(x f 为一次函数，且)12(32)(20072007)2007(-+=x x f ，求)(x f .解 设b ax x f +=)(，显然1≠a .令b ax x +=，得a b x -=10，即ab x -=10为)(x f 的不动点.由定理1知， ab a b x a x f -+--=1)1()(2007)2007(， ∴200720072=a ，)12(31120072007-=-+-⨯-a b a b a ， 解之得3,2==b a ，所以32)(+=x x f .例2 已知),1(,)1(2)(2+∞∈-=x x x x f ，求))((( x f f f f fn 个. 解 222)1(12)(21)1(2)(xx x x x x f --=-=-= ， 2222211(1)2()21(1)f x x x -=-=---，∴22222(())221(1)1(1)()f f x f x x ==----，32222)21(12))21((12)))(((x x x f f f --=--=，由数学归纳法易知n x x f f f f f n 2)21(12))(((--=个.注：在函数迭代中，通过观察得出的函数要用数学归纳法给予严格证明.例3（2004年高中联赛试题）设函数R R f →:，满足1)0(=f ，且R y x ∈∀,，都有 2)()()()1(+--=+x y f y f x f xy f （1）求)(x f .解 （方法1）在（1）中将y x ,互换，则有2)()()()1(+--=+y x f x f y f xy f （2）由（1），（2）得x y f y x f +=+)()( （3）在（3）中令0=y ，则有 x f x f +=)0()(，即1)(+=x x f .易证1)(+=x x f 是方程（1）的解.（方法2）在（1）中令0=y ，得2)0()1()()1(+--=x f f x f f （4）即 1)1()()1(+-=x f x f f .为了求出)(x f ，需要求)1(f ，为此在（1）中令0==y x ，得2)0()0()0()1(+-=f f f f ，从而有2)1(=f ，代入（4）可得1)(+=x x f .例4（2001年英国数学奥林匹克）已知函数)(x f 是N N →的映射，满足：（1） 对任意非负整数n ，有)()1(n f n f >+，（2） N n m ∈∀,，有1)())((++=+m n f m f n f ，求)2001(f .解 在（2）中令0=m ，并记k f =)0(，则有1)()(+=+n f k n f .由于数列)(n f 是递增数列，由定理3知1)()(+=+≤+n k n f k n f ，1≤∴k .若0=k ，则有1)()(+=n f n f ，矛盾，所以，1=k ，从而有1)()1(+=+n f n f .又因为1)0(=f ，容易得1)(+=n n f .所以，2002)2001(=f .例5 已知)(x f 是Q Q →的函数，2)1(=f ，1)()()()(++-=y x f y f x f xy f（1） 求))((Q x x f ∈.解 将1=y 代入（1）式，得1)1()1()()(++-=x f f x f x f ，即 1)()1(+=+x f x f .所以，Z n ∈∀，有1)()1(+=+n f n f（2）由（2）易得 (1)1f n n +=+，Z n ∈.在（1）中令0,,,1≠∈==n Z n n y nx ，则有 1)1()()1()1(++-=⋅n nf n f n f n n f ， 即 1])1([)1)(1(2++-+=n nf n n f ， 所以， n n f 11)1(+=. 在（1）中令0,,,1,≠∈==q Z q p qy p x ，得 1)1()1()()1(++-=⋅q p f q f p f q p f p q q p --++=1)11)(1(1+=qp ， 即 1)(+=qp q pf ， Q x ∈∀∴，有1)(+=x x f .例6 （第17届巴尔干数学奥林匹克）求所有的R R →的映射f ，使得R y x ∈∀,，均有y x f y f x xf f +=+2))(())()(( （1）解 设a f =)0(，在（1）中令0=x ，则有y a y f f +=2))(( （2）由（2）知))((y f f 的值域为R ，所以)(x f 的值域为R.又若)()(21x f x f =，则 ))(())((21x f f x f f =，由（2）得2212x a x a +=+，所以21x x =，这表明f 是R R →的双射.因此R b ∈∃，使得0)(=b f .在（1）中令b x =，得y y f f =))(( （3）由（2），（3）知02=a ，所以0=a ，0)0(=∴f ， 0=∴b .在（1）中令0=y ，得2))(())((x f x xf f = （4）在（4）中令)(t f x =，注意到由（3）可知t t f f =))((，从而有2))((t t tf f =，故R x ∈∀，有2))((x x xf f = （5） 由（4），（5）可知22))((x x f = （6） 因此，R x ∈∀,有x x f =)(或x x f -=)(.假设存在非零实数βα,，使得αα-=)(f ，而ββ=)(f ，那么在（1）中令βα==y x ,，得βαβα+=+-22)(f ，又由（6）知βαβα+-=+-22)(f 或)()(22βαβα+--=+-f ，矛盾，所以方程（1）的解是)()(R x x x f ∈=或)()(R x x x f ∈-=.例7 设)(n f 是定义在正整数集上且取正整数值的严格递增函数，2)2(=f ，当n m ,互素时，有)()()(n f m f mn f = （1）证明：对一切正整数n ，n n f =)(.证 )11()2()22()21()7()3(f f f f f f =<=)7(4)7()2(2)14(2)11(2f f f f f ==<=，4)3(<∴f .又 2)2()3(=>f f ， 3)3(=∴f .若结论不成立，设使n n f ≠)(的最小正整数为0n ，则40≥n .1)1()(000-=->n n f n f ， 又00)(n n f ≠，00)(n n f >∴.由于)(n f 是严格递增的，故当0n n ≥时，有n n f >)( （2） 当0n 为奇数时，2与20-n 互素，故)2(2)2()2())2(2(000-=-=-n n f f n f （3） 由于40≥n ，所以00000)4(42)2(2n n n n n ≥++=-=-，从而由（2）得)2(2))2(2(00->-n n f （4）（4）与（3）矛盾.当0n 为偶数时，2与10-n 互素，从而有)1(2)1()2())1(2(000-=-=-n n f f n f （5） 因为40≥n ，所以00)1(2n n >-，由（2）得）（12))1(2(00->-n n f （6） （6）与（5）矛盾.综上可知，+∈∀N n ，有n n f =)(.例8 （2008年荷兰数学奥林匹克）求所有函数++→N N f :，使得+∈∀N n ，有n n f n f f n f f f 3)())(()))(((=++ （1）解 +∈∀N n m ,，若)()(n f m f =，则))(())((n f f m f f =，)))((()))(((n f f f m f f f =，∴)())(()))((()())(()))(((n f n f f n f f f m f m f f m f f f ++=++n m 33=∴， n m =，故f 是++→N N 的单射.下证n n f =)(.当1=n 时，在（1）中取1=n ，得3)1())1(()))1(((=++f f f f f f .因为上式左边3个数均为正整数，所以只能全为1，故1)1(=f ，即1=n 时结论成立.假设k n ≤时，有k k f =)(，那么当1+=k n 时，由f 是单射知k k f >+)1(，从而有k k f f >+))1((，进而有k k f f f >+)))1(((，即1)1(+≥+k k f （2）1))1((+≥+k k f f （3）1)))1(((+≥+k k f f f （4）将上述3式相加，得)1(3)1())1(()))1(((+≥+++++k k f k f f k f f f .又)1(3)1())1(()))1(((+=+++++k k f k f f k f f f ，从而知不等式（2），（3），（4）全取等号，故1)1(+=+k k f ，即对于1+=k n 结论成立.由归纳法原理知，+∈=N n n n f ,)(.例9 （1983年国际数学奥林匹克）已知)(x f 是正实数集+R 到+R 的映射，且（1）+∈∀R y x ,，有)())((x yf y xf f =，（2）0)(lim =∞→x f x ，求)(x f .解 在（1）中令1=x ，则有 )1())((yf y f f = （*）因此函数))((y f f 的值域为+R ，所以)(x f 的值域为+R .又若)()(b f a f =，则有))(())((b f f a f f =，由（*）式得b f a f )1()1(=.+∈R f )1( b a =∴，即)(x f 是++→R R 的单射，进而知)(x f 是++→R R 的双射.设1)(0=x f ，则)1())(1()1(00f x x f f f ==.又+∈R f )1( ，10=∴x ，即1是)(x f 的不动点.又若b a ,是)(x f 的不动点，则有b b f a a f ==)(,)(，从而有ab ba a bf b af f ab f ====)())(()(即ab 是)(x f 的不动点.又若a 是)(x f 的不动点，则有a a f =)(， )1())(1()1(1af a a f a f a a f ⋅=⋅=⋅=∴，aa f 1)1(=∴， 所以a1也是)(x f 的不动点. 下面我们证明1是)(x f 的唯一不动点.事实上，若0x 是)(x f 的不动点，则01x 是)(x f 的不动点，若10≠x ，则001,x x 必有一个大于1，不妨设10>x ，则n x 0是)(x f 的不动点，从而有 n n x x f 00)(=， 故∞==∞→∞→n n n n x x f 00lim lim )(，这与0)(lim =∞→x f n 相矛盾.所以1=x 是)(x f 的唯一不动点.在（1）中令x y =，则有)())((x xf x xf f =，所以)(x xf 是)(x f 的不动点，故1)(≡x xf ，x x f 1)(=∴. 容易验证xx f 1)(=是满足题设的函数. 习 题51．对任意正整数k ，令)(k f 表示k 的各位数字的和的平方，求)11()2001(f. 3．设对满足1≠x 的所有实数x ，函数)(x f 满足x xx f x x f =-+++-)13()13(，求)(x f . 5．试求出所有函数R R f →:，使得R y x ∈∀,，都有)()()(22y yf x xf y x f +=+.，。
三角函数迭代
三角函数迭代
三角函数迭代是数学中一个重要的概念，它描述了一个函数在一定规则下的演变过程。
在三角函数迭代中，一个函数被反复应用于其自身的输出，每次迭代都将结果反馈回函数的输入，以此类推，直到达到某个停止条件。
一、三角函数迭代的概念
三角函数迭代通常涉及到正弦函数、余弦函数等基本函数，以及它们的组合形式。
通过设定初值和迭代规则，我们可以观察到函数值的不断变化，这种变化通常呈现周期性或混沌性的特征。
二、三角函数迭代的应用
1、天文预测：在古代，人们利用三角函数迭代来预测天体的运动，如太阳、月亮的升起和降落时间。
这种预测方法对于农业、航海等领域的生产活动具有重要意义。
2、信号处理：在信号处理领域，三角函数迭代被用于分析和处理各种信号，如音频、图像等。
通过将信号表示为三角函数的和，可以方便地进行信号的滤波、变换等操作。
3、控制系统：在控制工程中，三角函数迭代被用于模拟和分析各种动态系统的行为。
通过建立系统的数学模型，可以利用三角函数迭代来预测系统的输出和性能。
4、艺术创作：三角函数迭代也被应用于艺术创作领域，如音乐、绘画等。
通过将艺术作品表示为三角函数的组合形式，可以方便地进行艺术的变换、合成等操作。
三、总结
三角函数迭代作为一种强大的数学工具，在各个领域都有着广泛的应用。
通过深入研究和探索三角函数迭代的性质和应用，我们可以更好地理解自然界的规律和现象，推动科学技术的发展。
同时，三角函数迭代也为我们提供了一种独特的艺术表达方式，丰富了我们的文化生活。
第三讲 函数的方程与迭代
第三讲 函数的方程迭代1、函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M) f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2) f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。
有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M) 2、不定方程有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，91分给小儿子，应该怎样分呢？问题：一个老人有n 头马，他打算把a1分给大儿子，b 1分给二儿子，c1分给小儿子，并满足A<b<c, a|n+1, b|n+1, c|n+1, (a1+b1+c 1)(n+1)=n 问老人的马的匹数n 有多少种可能分法？显然就是求方程a1+b1+c1=1n n 满足条件a<b<c且a|n+1, b|n+1, c|n+1的整数解的问题，像这样未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（例如有理数、整数、或正整数）的方程或方程组，就称为不定方程。
3、高斯函数[x]定义：[x]－表示不超过x 的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x 的小数部分函数y={x}, {x}=x －[x]。
图象：性质： ① y=[x]的定义域为R ，值域为Z ，y={x}定义域为R ，值域为[0,1)，是周期函数。
y=[x] y={x}② 对任意实数x ，有x －1<[x]≤[x]+1； ③ [x]是不减函数，即当x ≤y 时，有[x]≤[y]；④ [x+m]=[x]+m ⇔m ∈Z ；⑤ 对一切实数x,y 有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1, {x+y}≤{x}+{y}； ⑥若x ≥0, y ≥0，则[xy]≥[x]·[y]；⑦ [－x]=⎩⎨⎧---不是整数 为整数 x x x x 1][][⑧ 若n ∈N*, x ∈R ，则[nx]≥n[x]； ⑨⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x ][，其中x ∈(0,+∞), n ∈N*； ⑩ 把n!中素数p 的最高次记为p(n!)，则p(n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2p n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k p n ，这里p k ≤n ≤p k+1； 取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。
x=f(x)根的牛顿迭代格式
x=f(x)根的牛顿迭代格式牛顿迭代法是一种求解非线性方程或方程组的优秀方法。
对于单方程 x=f(x) 根的情况，牛顿迭代法采用以下的迭代格式：$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$其中， $x_n$ 是第 n 次迭代的解， $f(x_n)$ 和 $f'(x_n)$ 分别是函数$f(x)$ 在 $x_n$ 处的取值和一阶导数。
为了理解这个迭代格式的本质，我们可以将其图像化。
假设我们的目标是找到函数$y=f(x)$ 与 $x$ 轴的交点，即 $f(x)$ 的根。
首先，我们随意选取一个起始点 $x_0$，将其代入 $f(x)$ 中计算得到函数值$f(x_0)$。
接着，我们将 $f(x)$ 的切线斜率 $f'(x_0)$ 代入斜截式公式$y=f'(x_0)x+k$，并通过拟合确定常数 $k$，得到切线方程。
在 $x_0$ 与 x 轴的交点处，我们得到了一个新的近似根 $x_1$：接下来，我们将 $x_1$ 代入 $f(x)$ 中计算函数值 $f(x_1)$，并重复上述过程，得到一个新的近似根 $x_2$。
如此迭代下去，当新的近似根和上一个近似根的差值小于我们所设定的阈值（一般为 $10^{-6}$）时，我们就认为找到了 $f(x)$ 的根。
这个迭代过程的基本思想是，通过选取起始点 $x_0$，确定切线方程的斜率和常数，让切线方程与 $x$ 轴的交点作为新的近似根。
由于函数 $f(x)$ 在某个范围内具有连续性和光滑性，我们通过切线来逼近根时，可以越来越接近真实的根。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快。
如果 $f(x)$ 在接近根的范围内具有二阶连续可导性，那么牛顿迭代法的收敛速度是二次的，即每次迭代后误差缩小的比例为原误差的平方。
但牛顿迭代法也有缺点，当 $f(x)$ 在某些点处的导数为 0 时，迭代可能会失败。
此时，我们可以使用其他的迭代算法来解决问题。
解方程的helley迭代公式
解方程的helley迭代公式引言：解方程是数学中的一项重要内容，对于求解各种类型的方程有着重要的意义。
而Helley迭代公式则是一种常用的求解方程的方法，它通过不断逼近方程的解，最终得到准确的解。
本文将详细介绍Helley迭代公式的原理和应用，并结合具体例子进行说明。
正文：一、Helley迭代公式的原理1.1 迭代法的基本原理迭代法是一种通过不断逼近的方法求解方程的数值解。
其基本思想是从一个初始值开始，通过迭代的方式逐步逼近方程的解，直到满足一定的精度要求。
迭代法的核心在于选择合适的迭代公式和初始值，以确保迭代过程能够收敛到方程的解。
1.2 Helley迭代公式的定义Helley迭代公式是一种常用的迭代公式，它通过对方程进行变形，得到一个递推式，通过不断迭代逼近方程的解。
具体公式如下：Xn+1 = f(Xn)其中，Xn表示第n次迭代的结果，f(Xn)表示迭代函数，通过对方程进行变形得到。
二、Helley迭代公式的应用2.1 一元方程的求解Helley迭代公式在一元方程的求解中有着广泛的应用。
通过选择合适的迭代函数和初始值，可以逐步逼近方程的解。
例如，对于一元方程x^2 - 2 = 0，可以使用Helley迭代公式进行求解：Xn+1 = (Xn + 2/Xn) / 22.2 多元方程的求解Helley迭代公式不仅适用于一元方程，也可以用于多元方程的求解。
对于多元方程，需要将方程进行变形，得到适合Helley迭代公式的形式。
然后通过选择合适的迭代函数和初始值，进行迭代求解。
2.3 收敛性分析在使用Helley迭代公式求解方程时，需要对迭代过程的收敛性进行分析。
一般来说，迭代函数的导数在解附近应该满足一定的条件，以保证迭代过程的收敛性。
通过分析迭代函数的导数，可以判断迭代过程是否收敛，并确定合适的初始值。
三、具体例子说明3.1 一元方程求解示例以求解方程x^2 - 2 = 0为例，使用Helley迭代公式进行求解。
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函数方程 与迭代
思考1,2,3
练习
思考1答案
思考3答案
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逃避，埋头看文学杂志，是我唯一的选择。《读者》有美好的故事，有曲折的爱情，有浓郁的亲情，有瑰丽的诗篇，有励志的文章，有深刻的哲理。这些，都让没见过世面的我大开眼界。捧着它， 如获至宝。似要在里面寻找些什么，寻找安慰，把它当作自己最好的朋友。
十年，就这样整整病了十年。我参加了成人高考，令自己意想不到的是，高考前训练的几十篇文章里，竟然有一篇，高考作文是一模一样的。而我，却怎么也想不起来，自己曾经写过的内容。或 许是精神残疾的缘故，也或许是药物副作用的缘故。
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