[第4讲]函数迭代和函数方程(上)

1．函数迭代

⑴ 函数迭代的定义

设:f D D '→（其中D D '⊆）是一个函数，对任意x D ∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =， (2)()(())f x f f x =，(3)((()))f f f f x =，……，(1)()()(())n n f x f f x +=，……，

则称()()n f x 是函数()f x 在D 上的n 次迭代，并称n 是()()n f x 的迭代指数． 如果()()n f x 有反函数，则记为()()n f x -，于是，迭代指数可取所有整数． ⑵ 简单的函数迭代

求一个函数的n 次迭代，是数学竞赛中的一种基本题型．对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的．

若()f x x c =+，则()n f x nc =+，(1)()f x x c -=-，()()n f x x nc -=-． 若3

()f x x =，则()

3()n

n f

x x =，1(1)

3

()f

x x -=，1

()

3()n

n f

x x -=．

若()f x ax b =+，则()()11n n b b f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭，(1)

1()11b b f x x a a a -⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭， ()1()11n n b b

f x x a a a

-⎛⎫=

-+ ⎪--⎝⎭． ⑶ 函数迭代的求法 ①数学归纳法

这里用到的是先猜后证的想法，即先对函数()f x 迭代几次，观察出其规律，然后猜测出 ()()n f x 的表达式，最后用数学归纳法证之．这种方法只适用于一些较为简单的函数．

②递归法

设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知，且0a D ∈，

2

函数迭代与函数方程

1()n n a f a -=，1≥n ．一方面，若已求得()()()n f x g x =，则(2)()120()()()n n n n a f a f a f a --====，

即{}n a 通项公式；另一方面，如果已求得{}n a 的通项公式0()n a g a =，则取0a x =，()n a g x =，而()()10()()()n n n n a f a f a f x -==

==，从而()()()n f x g x =，即()()n f x 的表达式．

由上述知，函数的n 次迭代可以通过构造数列的方法来解，其步骤为 第一步，设0a x =，()()n n a f x =；

第二步，由()()n n a f x =1()n f a -=，求出0()n a g a =； 第三步，()0()()()n f x g a g x ==． ③相似法

相似法是求函数()f x 的n 次迭代的一个重要方法．若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数

1()x ϕ-，使得1()((()))f x g x ϕϕ-=，我们就称()f x 通过()x ϕ和()g x 相似，简称()f x 和()g x 相

似，记为~()f g ϕ，其中()x ϕ称为桥函数． 相似关系是一个等价关系，也就是说它满足： 自身性，~f f ；

对称性，若~f g ，则~g f ； 传递性，若~f g ，~g h ，则~f h ．

如果()f x 与()g x 相似，即1

()(()))（f x g x ϕϕ-

=， 那么()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=， 1()((()))g x f x ϕϕ-=，()()1()((()))n n g x f x ϕϕ-=． 这样一来，我们便把f 的迭代问题转化为g 的迭代问题． ④不动点法

关于x 的方程()f x x =的根称为()f x 的不动点．不动点法的基本思想是根据函数的不动点得出桥函数的一个性质，进而确定桥函数的形状，然后利用相似法求出函数的n 次迭代． 函数的不动点具有如下的性质：

若0x 是()f x 的不动点，则()00()n f x x =，即0x 也是()()n f x 的不动点．

设1()((()))f x g x ϕϕ-=，因此有(())(())f x g x ϕϕ=，若00()f x x =，则有00()(())x g x ϕϕ=，即

0()x ϕ是()g x 的不动点．

对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后用数学归纳法证之，会使计算简单些．

利用不动点找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数ϕ具有下列性质：它将f 的不动点0x 映成g 的不动点0()x ϕ，通常为了便于求解()()n g x ，()g x 通常为ax ，x a +，2ax ，3ax 等．

2．函数方程

⑴ 函数方程的定义

解为函数的方程为函数方程．例如()()(5)()，f x f x f x f x -=-+=等都是函数方程． ⑵ 函数方程解法

寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫作解函数方程，一般有以下几种方法： ①代换法

代换法是解函数方程的常用手段，其基本思想是：将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（当然在代换时应特别注意函数的定义域不能发生变化），得到一个新的函数方程，然

后设法求得未知数．如2(21)()f x x x x -=+∈R ，令21y x =-，则1

(1)2x y =+，于是

211()(1)(1)42f y y y =+++，即213

()44f x x x =++，经检验它是函数方程的解．

代换法在单变量函数方程中尤为多用． ②赋值法

所谓赋值法，就是对自变量赋予某些特殊的数值，从而挖掘出题中隐含的条件，并且通过这些新条件简化函数方程，逼近最终目标． 如函数:f →R R 满足()()

()0，，，f x f y f xy x y x y x y

+=

∈+≠+R ，求()f x ．

令1y =，得()(1)

()(1)1

f x f f x x x +=

≠-+，由此()(1)xf x f =．令0x =则(1)0f =，从而可知

()0(01)，f x x =≠-．令20，x y ==易得(0)(2)0f f ==；令10，x y =-=易知(1)(0)0f f -==．综上可知()0f x =．

③递归法

函数方程的递归解法，是一种借助于数列对函数方程加以研究的方法．

设()f n 是定义在正整数集+N 上的函数，如果存在一个递推关系S 和初始条件1(1)f a =，当知道(1)f ，(2)f ，…，()f n 的值后，由S 可以惟一地确定(1)f n +的值，我们就称()f n 为递归函数，递归法主要解决递归函数．

板块一 函数的迭代

【例 1】 已知()f n 是定义在+N 上的函数，并且满足

①(())49f f n n =+，n +∈N ，