[第4讲]函数迭代和函数方程(上)

1．函数迭代
⑴ 函数迭代的定义
设:f D D '→（其中D D '⊆）是一个函数，对任意x D ∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =， (2)()(())f x f f x =，(3)((()))f f f f x =，……，(1)()()(())n n f x f f x +=，……，
则称()()n f x 是函数()f x 在D 上的n 次迭代，并称n 是()()n f x 的迭代指数． 如果()()n f x 有反函数，则记为()()n f x -，于是，迭代指数可取所有整数． ⑵ 简单的函数迭代
求一个函数的n 次迭代，是数学竞赛中的一种基本题型．对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的．
若()f x x c =+，则()n f x nc =+，(1)()f x x c -=-，()()n f x x nc -=-． 若3
()f x x =，则()
3()n
n f
x x =，1(1)
3
()f
x x -=，1
()
3()n
n f
x x -=．
若()f x ax b =+，则()()11n n b b f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭，(1)
1()11b b f x x a a a -⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭， ()1()11n n b b
f x x a a a
-⎛⎫=
-+ ⎪--⎝⎭． ⑶ 函数迭代的求法 ①数学归纳法
这里用到的是先猜后证的想法，即先对函数()f x 迭代几次，观察出其规律，然后猜测出 ()()n f x 的表达式，最后用数学归纳法证之．这种方法只适用于一些较为简单的函数．
②递归法
设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知，且0a D ∈，
2
函数迭代与函数方程
1()n n a f a -=，1≥n ．一方面，若已求得()()()n f x g x =，则(2)()120()()()n n n n a f a f a f a --====，
即{}n a 通项公式；另一方面，如果已求得{}n a 的通项公式0()n a g a =，则取0a x =，()n a g x =，而()()10()()()n n n n a f a f a f x -==
==，从而()()()n f x g x =，即()()n f x 的表达式．
由上述知，函数的n 次迭代可以通过构造数列的方法来解，其步骤为 第一步，设0a x =，()()n n a f x =；
第二步，由()()n n a f x =1()n f a -=，求出0()n a g a =； 第三步，()0()()()n f x g a g x ==． ③相似法
相似法是求函数()f x 的n 次迭代的一个重要方法．若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数
1()x ϕ-，使得1()((()))f x g x ϕϕ-=，我们就称()f x 通过()x ϕ和()g x 相似，简称()f x 和()g x 相
似，记为~()f g ϕ，其中()x ϕ称为桥函数． 相似关系是一个等价关系，也就是说它满足： 自身性，~f f ；
对称性，若~f g ，则~g f ； 传递性，若~f g ，~g h ，则~f h ．
如果()f x 与()g x 相似，即1
()(()))（f x g x ϕϕ-
=， 那么()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=， 1()((()))g x f x ϕϕ-=，()()1()((()))n n g x f x ϕϕ-=． 这样一来，我们便把f 的迭代问题转化为g 的迭代问题． ④不动点法
关于x 的方程()f x x =的根称为()f x 的不动点．不动点法的基本思想是根据函数的不动点得出桥函数的一个性质，进而确定桥函数的形状，然后利用相似法求出函数的n 次迭代． 函数的不动点具有如下的性质：
若0x 是()f x 的不动点，则()00()n f x x =，即0x 也是()()n f x 的不动点．
设1()((()))f x g x ϕϕ-=，因此有(())(())f x g x ϕϕ=，若00()f x x =，则有00()(())x g x ϕϕ=，即
0()x ϕ是()g x 的不动点．
对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后用数学归纳法证之，会使计算简单些．
利用不动点找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数ϕ具有下列性质：它将f 的不动点0x 映成g 的不动点0()x ϕ，通常为了便于求解()()n g x ，()g x 通常为ax ，x a +，2ax ，3ax 等．
2．函数方程
⑴ 函数方程的定义
解为函数的方程为函数方程．例如()()(5)()，f x f x f x f x -=-+=等都是函数方程． ⑵ 函数方程解法
寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫作解函数方程，一般有以下几种方法： ①代换法
代换法是解函数方程的常用手段，其基本思想是：将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（当然在代换时应特别注意函数的定义域不能发生变化），得到一个新的函数方程，然
后设法求得未知数．如2(21)()f x x x x -=+∈R ，令21y x =-，则1
(1)2x y =+，于是
211()(1)(1)42f y y y =+++，即213
()44f x x x =++，经检验它是函数方程的解．
代换法在单变量函数方程中尤为多用． ②赋值法
所谓赋值法，就是对自变量赋予某些特殊的数值，从而挖掘出题中隐含的条件，并且通过这些新条件简化函数方程，逼近最终目标． 如函数:f →R R 满足()()
()0，，，f x f y f xy x y x y x y
+=
∈+≠+R ，求()f x ．
令1y =，得()(1)
()(1)1
f x f f x x x +=
≠-+，由此()(1)xf x f =．令0x =则(1)0f =，从而可知
()0(01)，f x x =≠-．令20，x y ==易得(0)(2)0f f ==；令10，x y =-=易知(1)(0)0f f -==．综上可知()0f x =．
③递归法
函数方程的递归解法，是一种借助于数列对函数方程加以研究的方法．
设()f n 是定义在正整数集+N 上的函数，如果存在一个递推关系S 和初始条件1(1)f a =，当知道(1)f ，(2)f ，…，()f n 的值后，由S 可以惟一地确定(1)f n +的值，我们就称()f n 为递归函数，递归法主要解决递归函数．
板块一 函数的迭代
【例 1】 已知()f n 是定义在+N 上的函数，并且满足
①(())49f f n n =+，n +∈N ，
②1(2)23k k f +=+，k ∈N ． 求(1789)f 的值．
【例 2】 ⑴设()f x ax b =+，求()()n f x ；
⑵设()x
f x ax b
=
+，求()()n f x ；
⑶设()1f x x =+，求()()n f x ．
【例 3】 ⑴设2
()21
x f x x =-，求()()n f x ；
⑵设1
()43
x f x x -=
-，求()()n f x ；
⑶设42
()1
x f x x -=+，求()()n f x ．
板块二 函数方程
【例 4】 ⑴定义在+R 上的函数()f x 满足关系式1()lg 1f x f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，求()f x ．
⑵求解函数方程1()11f x f x x ⎛⎫
+-=+ ⎪⎝
⎭，0x ≠，1．
⑶已知函数()f x 对任意x 、y 有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，求()f x ．
【例 5】 求所有满足下列条件的函数:f ++→N N ，使得
⑴(2)2f =；
⑵()()()f mn f m f n =⋅对所有m ，n 成立； ⑶若m n <，则()()f m f n <．
【例 6】 已知函数()f x 满足2()()1f x f x -=，0x >．求满足条件的一个()f x ．
习题1. 设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，123，，，n =，若
7()128381f x x =+，则a b += ．
习题2. 某同学从换乘中心出发坐车去第一家商店，在店里花了剩余的钱的一半，然后坐车返回换乘
中心．之后又坐车去第二家商店，在店里花了剩余钱的一半，然后坐车返回换乘中心．接着他用同样的方式进出第三家和第四家商店，当他返回换乘中心时候，发现身上只剩一元钱．若无论从换乘中心到商店还是从商店到换乘中心的车费都是一元钱，问：他在四家商店总共花
了多少钱
习题3. 设2()42f x x x =++，求()()n f x ．
习题4. 求解函数方程（写出一个符合方程的解即可），⑴⑵⑶小题中x ，y ∈R ，⑷小题中m ，n +∈N ：
⑴()()()f x y f x f y +=+； ⑵()()()f x y f x f y +=⋅； ⑶()()()f xy f x f y =+；
⑷()()()()f m f n f m n f m n +=+⋅-．
习题5. 已知:f →Z Z ，求满足下述条件的所有函数f ：
⑴对一切正数n ，(())f f n n =；
⑵对一切整数n，((2)2)
++=；
f f n n
⑶(0)1
f=。